Solución numérica de EDMétodos de Runge-Kutta

Juan Manuel Rodríguez Prieto

Método de Heun

• Para mejorar la estimación de la pendiente emplea la determinación de dos derivadas en el intervalo (una al inicio y otra al final).

• Las dos derivadas se promedian después con la finalidad de obtener una mejor estimación de la pendiente en todo el intervalo

0

1

0

1 1

1

( , )

( , ) ( , )

2

n n n n

n n n n

n n

y y f x y h

f x y f x y hy y

Predictor

Corrector

Método de Heun

• Con el método de Heun integre desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=1

• Recuerde que la solución analítica es:

0

1

0

1 11

( , )

( , ) ( , )

2

n n n n

n n n nn n

y y f x y h

f x y f x yy y

Predictor

Corrector

0.8' 0.5 4 xy y e

0.8 0.5 0.54( )0 2

1.3

x x xy e e e

Método de Heun• Con el método de Heun integre desde x=0 hasta x=4

con un tamaño de paso igual a h=10

1

0

1 11

( , )

( , ) ( , )

2

n n n n

n n n nn n

y y f x y h

f x y f x yy y

Predictor

Corrector

0.8' 0.5 4 xy y e

xn xn+1 yn yteorico f(n,yn) yn+1_0 f(xn+1,yn+1_0) pendiente promedio yn+1 Error global

0 1 2 2 3 5 6,402163714 4,701081857 6,701082 0,00%

1 2 6,701082 6,194631 5,551623 12,2527 13,68577738 9,618700081 16,31978 -8,18%

2 3 16,31978 14,84392 11,65224 27,97202 30,10669519 20,87946696 37,19925 -9,94%

3 4 37,19925 33,67717 25,49308 62,69233 66,7839558 46,13851844 83,33777 -10,46%

4 5 83,33777 75,33896 56,46124 139,799 148,4930979 102,4771675 185,8149 -10,62%

-9,80%

Metodo de Heun h=1

Método de Heun• Con el método de Heun integre desde x=0 hasta x=4

con un tamaño de paso igual a h=1Si disminuimos el h a la mitad, el error global disminuye cuatro veces

En cambio, si usamos el método de Euler, si disminuimos el h a la mitad el error disminuye a la mitad

0.8' 0.5 4 xy y e

Heun

h=1 -9,80%

h=0,5 -2,24%

h=0,25 -0,50%

Método de Heun vs. Método de Euler• Con el método de Heun integre desde x=0 hasta x=4

con un tamaño de paso igual a h=1

0.8' 0.5 4 xy y e

Euler Heun

Método de Heun vs. Método de Euler• Con el método de Heun integre desde x=0 hasta x=4

con un tamaño de paso igual a h=1

0.8' 0.5 4 xy y e

Heun Euler

h=1 -9,80% 22,81%

h=0,5 -2,24% 10,88%

h=0,25 -0,50% 4,95%

En el método de Euler, si reducimos en 2 el tamaño de h, el error se reduce a la mitad

En el método de Heun, si reducimos en 2 el tamaño de h, el error se reduce cuatro veces

Método del punto medio

1

2

1

2

'

1 1

2 2 2

1 1

2 2

( , )

2

2

( , )

( , )

n nn

n

nn

hn n n

n n hn n

f x yy y h

hx x

y f x y

y y f x y h

Método del punto medio• Con el método del punto medio integre desde x=0

hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=1

0.8' 0.5 4 xy y e

h xn xn+h/2 yn f(xn,yn) yn+(h/2)*f(xn,yn) f(xn+(h/2),yn+(h/2)*f(xn,yn)) yn+1 yteorico Error global(%)

1 0 0,5 2 3 3,5 4,217298791 6,217299 2 0,00%

1 1,5 6,217299 5,793514 9,11405595 8,723439716 14,94074 6,194631 0,37%

2 2,5 14,94074 12,34176 21,11161873 19,00041503 33,94115 14,84392 0,65%

3 3,5 33,94115 27,12213 47,50221791 42,02747813 75,96863 33,67717 0,78%

4 4,5 75,96863 60,1458 106,0415341 93,3721707 169,3408 75,33896 0,84%

Método de Runge Kutta del punto medio h=1

Método del punto medio• Con el método del punto medio integre desde x=0

hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=1

0.8' 0.5 4 xy y e

Método de Ralston

1

2 1

1 1 2

( , )

3 3( , )

4 4

1 2

3 3

n n

n n

n n

k f x y

k f x h y k h

y y k h k h

Método del punto medio• Con el método de Ralston integre desde x=0 hasta x=4

con un tamaño de paso igual a h=1

0.8' 0.5 4 xy y e

h xn xn+3h/4 yn f(xn,yn) yn+(3h/4)*f(xn,yn) f(xn+(3h/4),yn+(3h/4)*f(xn,yn)) yn+1 yteorico Error global(%)

1 0 0,75 2 3 4,25 5,163475202 6,442317 2 0,00%

1 1,75 6,442317 5,681005 10,70307079 10,86926447 15,58216 6,194631 4,00%

2 2,75 15,58216 12,02105 24,59794825 23,80107988 35,45656 14,84392 4,97%

3 3,75 35,45656 26,36442 55,22988192 52,72720673 79,39618 33,67717 5,28%

4 4,75 79,39618 58,43203 123,220201 117,1946375 177,0033 75,33896 5,39%

Método de Runge Kutta de Ralston h=1

Método del punto medio• Con el método de Ralston integre desde x=0 hasta x=4

con un tamaño de paso igual a h=1

0.8' 0.5 4 xy y e

Método del punto medio vs. Ralston• Integre desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso

igual a h=1

0.8' 0.5 4 xy y e

h punto medio ralston

1 0,66% 4,91%

0,5 0,23% 1,19%

0,25 0,06% 0,29%

En el método del punto, si reducimos en 2 el tamaño de h, el error se reduce cuatro veces

En el método de Ralston, si reducimos en 2 el tamaño de h, el error se reduce cuatro veces

Comparación de todos los métodos• Integre desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso

igual a h=1

0.8' 0.5 4 xy y e

Heun Euler punto medio ralston

h=1 -9,80% 22,81% 0,66% 4,91%

h=0,5 -2,24% 10,88% 0,23% 1,19%

h=0,25 -0,50% 4,95% 0,06% 0,29%

El método de Euler, posee el error más grande, debido a que el error es de orden h

Método de Runge-Kutta de tercer orden

1

2 1

3 1 2

1 1 2 3

( , )

1 1( , )

2 2

( , 2 )

14

6

n n

n n

n n

n n

k f x y

k f x h y k h

k f x h y k h k h

y y k k k

Método de Runge-Kutta de tercer orden• Con el método de Runge_kutta de tercer orden integre

desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=1

0.8' 0.5 4 xy y e

h xn xn+h/2 xn+h yn f(xn,yn) yn+(h/2)*f(xn,yn) f(xn+(h/2),yn+(h/2)*f(xn,yn)) yn-k1h+2k2h f(xn+h,yn-k1h+2k2h) yn+1 yteorico Error global(%)

1 0 0,5 1 2 3 3,5 4,217298791 7,434597581 5,184864923 6,175677 2 0,00%

1 1,5 2 6,175677 5,814325 9,082839368 8,739048007 17,83944732 10,89240604 14,78616 6,194631 0,31%

2 2,5 3 14,78616 12,41905 20,99568779 19,0583805 40,48387719 23,85076693 33,53672 14,84392 0,39%

3 3,5 4 33,53672 27,32435 47,19889279 42,17914069 90,57065591 52,84479283 75,01767 33,67717 0,42%

4 4,5 5 75,01767 60,62129 105,3283131 93,72878125 201,853947 117,4656266 167,1847 75,33896 0,43%

Método de Runge Kutta de tercer orden h=1

Método de Runge-Kutta de tercer orden• Con el método de Runge_kutta de tercer orden integre

desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=1

0.8' 0.5 4 xy y e

Método de Runge-Kutta de tercer orden• Con el método de Runge_kutta de tercer orden integre

desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=1

0.8' 0.5 4 xy y e

h runge kutta 3

1 0,384651%

0,5 0,051904%

0,25 0,006580%

Si disminuimos el h a la mitad, el error disminuye ocho veces con el método de Runga-Kutta de tercer orden

Método de Runge-Kutta de cuarto orden• Con el método de Runge_kutta de cuarto orden integre

desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=10.8' 0.5 4 xy y e

Método de Runge-Kutta de cuarto orden• Con el método de Runge_kutta de cuarto orden integre

desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=10.8' 0.5 4 xy y e

h Runge Kutta 4

1 0,12315997%

0,5 0,00754079%

0,25 0,00045801%

Si disminuimos el h a la mitad, el error disminuye 16veces con el método de Runga-Kutta de cuarto orden

Comparación de los métodos• integre desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso

igual a h=10.8' 0.5 4 xy y e

Heun Euler punto medioralston runge kutta 3 Runge Kutta 4

h=1 -9,80% 22,81% 0,66% 4,91% 0,384651% 0,12315997%

h=0,5 -2,24% 10,88% 0,23% 1,19% 0,051904% 0,00754079%

h=0,25 -0,50% 4,95% 0,06% 0,29% 0,006580% 0,00045801%

Comparación de los métodos• integre desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso

igual a h=10.8' 0.5 4 xy y e

Métodos Numéricos

Métodos Numéricos

Métodos Numéricos

Comparación de los métodos

Método de Euler para varios h

Métodos Numéricos

Método de Euler en Matlab

Método de Heun en Matlab