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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

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Ejemplos de aplicación del método Runge-Kutta ala resolución de problemas físicos con Matlab

Andrea Santamaría GarcíaUniversidad Autónoma de Madrid

Diciembre 2012

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Outline...1 Introducción

DescripciónLista de métodos Runge-KuttaConceptoBase de los métodos Runge-Kutta

...2 TeoríaDefinición teórica del método de Runge-Kutta

...3 Métodos Runge-KuttaMétodos de 1o ordenMétodos de 2o orden

...4 Búsqueda de propiedadesIntegrador simpléctico

...5 Aplicación a problemas físicosMovimientos periódicos y cuasiperiódicosEcuaciones no lineales

...6 Matlab EDO solvers

...7 Actualidad

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Descripción

El método de Runge-Kutta es un conjunto de métodos iterativos(implícitos y explícitos), cuyo objetivo es integrar ecuacionesdiferenciales ordinarias (EDO’s). Concretamente trata problemas devalor inicial.

Desarrolladopor losmatemáticosalemanes C.Runge yW.H.Kutta en1900

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Descripción

El método de Runge-Kutta es un conjunto de métodos iterativos(implícitos y explícitos), cuyo objetivo es integrar ecuacionesdiferenciales ordinarias (EDO’s). Concretamente trata problemas devalor inicial.

Desarrolladopor losmatemáticosalemanes C.Runge yW.H.Kutta en1900

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Lista de métodos Runge-Kutta

El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino unaimportante familia de métodos iterativos:

Métodos explícitosMétodo de Euler hacia delanteRunge-Kutta de 2o ordenRunge-Kutta de 3o ordenClásico Runge-Kutta de 4o orden

Métodos implícitosMétodo de Euler hacia atrásMétodos de Lobatto (IIIA, IIIB,IIIC)

Métodos adaptativos osemi-implícitosEuler modificadoHeunBogacki-ShampineCash-KarpDormand-PrinceFehlberg

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Concepto

La resolución de EDOs se lleva a cabo reemplazando las derivadaspor cocientes incrementales (diferencias finitas) con un paso temporal∆t = tn+1 − tn = τ adecuado..EDO de orden s..

......

dfs(t)dt

= F(t,y1,y2, ...ys)

El método de RK parte de unos valores iniciales e itera mediante unarelación de recurrencia que podemos obtener con:.Desarrollo de Taylor..

......

f (t + τ) = f (t)+ τ f ′(t)+12

τ2f ′′(t)+16

τ3f ′′′(t)+O(τ4)

f (t − τ) = f (t)− τ f ′(t)+12

τ2f ′′(t)− 16

τ3f ′′′(t)+O(τ4)

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Concepto

La resolución de EDOs se lleva a cabo reemplazando las derivadaspor cocientes incrementales (diferencias finitas) con un paso temporal∆t = tn+1 − tn = τ adecuado..EDO de orden s..

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dfs(t)dt

= F(t,y1,y2, ...ys)

El método de RK parte de unos valores iniciales e itera mediante unarelación de recurrencia que podemos obtener con:.Desarrollo de Taylor..

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f (t + τ) = f (t)+ τ f ′(t)+12

τ2f ′′(t)+16

τ3f ′′′(t)+O(τ4)

f (t − τ) = f (t)− τ f ′(t)+12

τ2f ′′(t)− 16

τ3f ′′′(t)+O(τ4)

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Base de los métodos Runge-Kutta

.Diferencias hacia delante..

......

df (t)dt

=f (t + τ)− f (t)

τ− 1

2τ f ′′(t)+O(τ3)

.Diferencias hacia atrás..

......

df (t)dt

=f (t)− f (t − τ)

τ+

12

τ f ′′(t)+O(τ3)

.Diferencias centrales..

......

1o orden: df(t)dt = f(t+τ)−f(t−τ)

2τ + 16 τ2f ′′′(t)+O(τ4)

2o orden: df (t)dt = f(t+τ)−2f (t)+f(t−τ)

τ2 + 112 τ2f (4)(t)+O(τ5)

La aproximación por desarrollos en serie de Taylor implica un error detruncamiento: O(τs+1)

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Base de los métodos Runge-Kutta

.Diferencias hacia delante..

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df (t)dt

=f (t + τ)− f (t)

τ− 1

2τ f ′′(t)+O(τ3)

.Diferencias hacia atrás..

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df (t)dt

=f (t)− f (t − τ)

τ+

12

τ f ′′(t)+O(τ3)

.Diferencias centrales..

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1o orden: df(t)dt = f(t+τ)−f(t−τ)

2τ + 16 τ2f ′′′(t)+O(τ4)

2o orden: df (t)dt = f(t+τ)−2f (t)+f(t−τ)

τ2 + 112 τ2f (4)(t)+O(τ5)

La aproximación por desarrollos en serie de Taylor implica un error detruncamiento: O(τs+1)

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Base de los métodos Runge-Kutta

.Diferencias hacia delante..

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df (t)dt

=f (t + τ)− f (t)

τ− 1

2τ f ′′(t)+O(τ3)

.Diferencias hacia atrás..

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df (t)dt

=f (t)− f (t − τ)

τ+

12

τ f ′′(t)+O(τ3)

.Diferencias centrales..

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1o orden: df(t)dt = f(t+τ)−f(t−τ)

2τ + 16 τ2f ′′′(t)+O(τ4)

2o orden: df (t)dt = f(t+τ)−2f (t)+f(t−τ)

τ2 + 112 τ2f (4)(t)+O(τ5)

La aproximación por desarrollos en serie de Taylor implica un error detruncamiento: O(τs+1)

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Base de los métodos Runge-Kutta

.Diferencias hacia delante..

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df (t)dt

=f (t + τ)− f (t)

τ− 1

2τ f ′′(t)+O(τ3)

.Diferencias hacia atrás..

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df (t)dt

=f (t)− f (t − τ)

τ+

12

τ f ′′(t)+O(τ3)

.Diferencias centrales..

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1o orden: df(t)dt = f(t+τ)−f(t−τ)

2τ + 16 τ2f ′′′(t)+O(τ4)

2o orden: df (t)dt = f(t+τ)−2f (t)+f(t−τ)

τ2 + 112 τ2f (4)(t)+O(τ5)

La aproximación por desarrollos en serie de Taylor implica un error detruncamiento: O(τs+1)

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Definición teórica del método de Runge-Kutta

Sea una EDO de primer orden:

r(t) = f (t, r(t)) ; f : Ω⊂ R×Rn → Rn con Ω conjunto abierto

y la condición de que el valor inicial de f sea: (t0, r0) ∈ Ω

.Expresión general del método RK de orden s..

......

rn+1 − rn

τ=

s

∑i=1

biki ; ki = f

(tn + ciτ , rn + τ

s

∑j=1

aijkj

)

τ=paso de la iteración(tn+1 = tn + τ)

ki=términos de aproximaciónintermedios

aij , bi y ci = coeficientes propiosdel esquema numérico elegido

RK consistente si∑i−1

j=1 aij = ci , i = 2...s

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Definición teórica del método de Runge-Kutta

Sea una EDO de primer orden:

r(t) = f (t, r(t)) ; f : Ω⊂ R×Rn → Rn con Ω conjunto abierto

y la condición de que el valor inicial de f sea: (t0, r0) ∈ Ω.Expresión general del método RK de orden s..

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rn+1 − rn

τ=

s

∑i=1

biki ; ki = f

(tn + ciτ , rn + τ

s

∑j=1

aijkj

)

τ=paso de la iteración(tn+1 = tn + τ)

ki=términos de aproximaciónintermedios

aij , bi y ci = coeficientes propiosdel esquema numérico elegido

RK consistente si∑i−1

j=1 aij = ci , i = 2...s

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Definición teórica del método de Runge-Kutta

Sea una EDO de primer orden:

r(t) = f (t, r(t)) ; f : Ω⊂ R×Rn → Rn con Ω conjunto abierto

y la condición de que el valor inicial de f sea: (t0, r0) ∈ Ω.Expresión general del método RK de orden s..

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rn+1 − rn

τ=

s

∑i=1

biki ; ki = f

(tn + ciτ , rn + τ

s

∑j=1

aijkj

)

τ=paso de la iteración(tn+1 = tn + τ)

ki=términos de aproximaciónintermedios

aij , bi y ci = coeficientes propiosdel esquema numérico elegido

RK consistente si∑i−1

j=1 aij = ci , i = 2...s

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. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Definición teórica del método de Runge-Kutta

Sea una EDO de primer orden:

r(t) = f (t, r(t)) ; f : Ω⊂ R×Rn → Rn con Ω conjunto abierto

y la condición de que el valor inicial de f sea: (t0, r0) ∈ Ω.Expresión general del método RK de orden s..

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rn+1 − rn

τ=

s

∑i=1

biki ; ki = f

(tn + ciτ , rn + τ

s

∑j=1

aijkj

)

τ=paso de la iteración(tn+1 = tn + τ)

ki=términos de aproximaciónintermedios

aij , bi y ci = coeficientes propiosdel esquema numérico elegido

RK consistente si∑i−1

j=1 aij = ci , i = 2...s

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Definición teórica del método de Runge-Kutta

Sea una EDO de primer orden:

r(t) = f (t, r(t)) ; f : Ω⊂ R×Rn → Rn con Ω conjunto abierto

y la condición de que el valor inicial de f sea: (t0, r0) ∈ Ω.Expresión general del método RK de orden s..

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rn+1 − rn

τ=

s

∑i=1

biki ; ki = f

(tn + ciτ , rn + τ

s

∑j=1

aijkj

)

τ=paso de la iteración(tn+1 = tn + τ)

ki=términos de aproximaciónintermedios

aij , bi y ci = coeficientes propiosdel esquema numérico elegido

RK consistente si∑i−1

j=1 aij = ci , i = 2...s

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Definición teórica del método de Runge-Kutta

Sea una EDO de primer orden:

r(t) = f (t, r(t)) ; f : Ω⊂ R×Rn → Rn con Ω conjunto abierto

y la condición de que el valor inicial de f sea: (t0, r0) ∈ Ω.Expresión general del método RK de orden s..

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rn+1 − rn

τ=

s

∑i=1

biki ; ki = f

(tn + ciτ , rn + τ

s

∑j=1

aijkj

)

τ=paso de la iteración(tn+1 = tn + τ)

ki=términos de aproximaciónintermedios

aij , bi y ci = coeficientes propiosdel esquema numérico elegido

RK consistente si∑i−1

j=1 aij = ci , i = 2...s

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

.Tabla de Butcher..

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c1 a11 a12 · · · a1s

c2 a21 a22 · · · a2s...

......

. . ....

cs as1 as2 · · · ass

b1 b2 · · · bs

=c A

bT

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

.Tabla de Butcher..

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c1 a11 a12 · · · a1s

c2 a21 a22 · · · a2s...

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cs as1 as2 · · · ass

b1 b2 · · · bs

=c A

bT

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Los esquemas de RK se dividen en:

Explícitos: si aij es triangular inferior con ai=j = 0

ki = f(

tn + ciτ , rn + τ ∑i−1j=1 aijkj

)→ evaluación explícita de rn+1

usando rn

No puede solucionar ecuaciones "densas"(stiff), ya que su regiónde estabilidad es muy pequeña

Implícitos: aij = 0 para j = i, ...,s

ki = f(tn + ciτ , rn + τ ∑s

j=1 aijkj)→ en cada iteración hay que

resolver un sistema de ecuaciones

Aumenta el tiempo de computación

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Los esquemas de RK se dividen en:

Explícitos: si aij es triangular inferior con ai=j = 0

ki = f(

tn + ciτ , rn + τ ∑i−1j=1 aijkj

)→ evaluación explícita de rn+1

usando rn

No puede solucionar ecuaciones "densas"(stiff), ya que su regiónde estabilidad es muy pequeña

Implícitos: aij = 0 para j = i, ...,s

ki = f(tn + ciτ , rn + τ ∑s

j=1 aijkj)→ en cada iteración hay que

resolver un sistema de ecuaciones

Aumenta el tiempo de computación

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Los esquemas de RK se dividen en:

Explícitos: si aij es triangular inferior con ai=j = 0

ki = f(

tn + ciτ , rn + τ ∑i−1j=1 aijkj

)→ evaluación explícita de rn+1

usando rn

No puede solucionar ecuaciones "densas"(stiff), ya que su regiónde estabilidad es muy pequeña

Implícitos: aij = 0 para j = i, ...,s

ki = f(tn + ciτ , rn + τ ∑s

j=1 aijkj)→ en cada iteración hay que

resolver un sistema de ecuaciones

Aumenta el tiempo de computación

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Los esquemas de RK se dividen en:

Explícitos: si aij es triangular inferior con ai=j = 0

ki = f(

tn + ciτ , rn + τ ∑i−1j=1 aijkj

)→ evaluación explícita de rn+1

usando rn

No puede solucionar ecuaciones "densas"(stiff), ya que su regiónde estabilidad es muy pequeña

Implícitos: aij = 0 para j = i, ...,s

ki = f(tn + ciτ , rn + τ ∑s

j=1 aijkj)→ en cada iteración hay que

resolver un sistema de ecuaciones

Aumenta el tiempo de computación

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. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Los esquemas de RK se dividen en:

Explícitos: si aij es triangular inferior con ai=j = 0

ki = f(

tn + ciτ , rn + τ ∑i−1j=1 aijkj

)→ evaluación explícita de rn+1

usando rn

No puede solucionar ecuaciones "densas"(stiff), ya que su regiónde estabilidad es muy pequeña

Implícitos: aij = 0 para j = i, ...,s

ki = f(tn + ciτ , rn + τ ∑s

j=1 aijkj)→ en cada iteración hay que

resolver un sistema de ecuaciones

Aumenta el tiempo de computación

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. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Los esquemas de RK se dividen en:

Explícitos: si aij es triangular inferior con ai=j = 0

ki = f(

tn + ciτ , rn + τ ∑i−1j=1 aijkj

)→ evaluación explícita de rn+1

usando rn

No puede solucionar ecuaciones "densas"(stiff), ya que su regiónde estabilidad es muy pequeña

Implícitos: aij = 0 para j = i, ...,s

ki = f(tn + ciτ , rn + τ ∑s

j=1 aijkj)→ en cada iteración hay que

resolver un sistema de ecuaciones

Aumenta el tiempo de computación

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Regiones de estabilidad para métodos Runge-Kutta explícitos eimplícitos

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Métodos de 1o orden.Método de Euler explícito (o hacia delante)..

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r(t + τ)− r(t)τ

= v(t) ;v(t + τ)− v(t)

τ=

F (r(t),v(t), t)m

Es estable si τ es lo suficientemente pequeño ya que el error vacon τ2

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. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Métodos de 1o orden.Método de Euler explícito (o hacia delante)..

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r(t + τ)− r(t)τ

= v(t) ;v(t + τ)− v(t)

τ=

F (r(t),v(t), t)m

Es estable si τ es lo suficientemente pequeño ya que el error vacon τ2

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. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

0 20 40 60 80−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8Solución del o.armónico, N=1000

Tiempo

Pos

ició

n

Euler explícitoSolución exacta

−10 −5 0 5 10−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8Espacio de fases o.armónico, N=1000

Posición

Mom

ento

Euler explícitoSolución exacta

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

0 20 40 60 80−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Solución del o.armónico, N=30000

Tiempo

Pos

ició

n

Euler explícitoSolución exacta

−2 −1 0 1 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Espacio de fases o.armónico, N=30000

Posición

Mom

ento

Euler explícitoSolución exacta

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Métodos de 1o orden

.Método de Euler implícito (o hacia atrás, o de Euler-Cromer)..

......

r(t + τ)− r(t)τ

= v(t + τ) ;v(t + τ)− v(t)

τ=

F (r(t),v(t), t)m

Conocido por ser mucho más estable que el método de Euler

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Métodos de 1o orden

.Método de Euler implícito (o hacia atrás, o de Euler-Cromer)..

......

r(t + τ)− r(t)τ

= v(t + τ) ;v(t + τ)− v(t)

τ=

F (r(t),v(t), t)m

Conocido por ser mucho más estable que el método de Euler

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

0 20 40 60 80−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Solución del o.armónico, N=1000

Tiempo

Pos

ició

n

Euler−CromerSolución exacta

−2 −1 0 1 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Espacio de fases o.armónico, N=1000

Posición

Mom

ento

Euler−CromerSolución exacta

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Métodos de 2o orden: Método del punto medio

.Objetivo..

......

r(t + τ)− r(t)τ

= v(

t +τ2

);

v(t + τ)− v(t)τ

=F (r(t + τ

2

),v(t), t)

m

.Obtención de los pasos mitad..

......

r(t + τ

2

)− r(t)

τ/2= v(t) ;

v(t + τ

2

)− v(t)

τ/2=

F (r(t),v(t), t)m

.Resultado..

......

r(t + τ)− r(t)τ

= v(t)+F (r(t),v(t), t)

mτ2

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Métodos de 2o orden: Método del punto medio

.Objetivo..

......

r(t + τ)− r(t)τ

= v(

t +τ2

);

v(t + τ)− v(t)τ

=F (r(t + τ

2

),v(t), t)

m

.Obtención de los pasos mitad..

......

r(t + τ

2

)− r(t)

τ/2= v(t) ;

v(t + τ

2

)− v(t)

τ/2=

F (r(t),v(t), t)m

.Resultado..

......

r(t + τ)− r(t)τ

= v(t)+F (r(t),v(t), t)

mτ2

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Métodos de 2o orden: Método del punto medio

.Objetivo..

......

r(t + τ)− r(t)τ

= v(

t +τ2

);

v(t + τ)− v(t)τ

=F (r(t + τ

2

),v(t), t)

m

.Obtención de los pasos mitad..

......

r(t + τ

2

)− r(t)

τ/2= v(t) ;

v(t + τ

2

)− v(t)

τ/2=

F (r(t),v(t), t)m

.Resultado..

......

r(t + τ)− r(t)τ

= v(t)+F (r(t),v(t), t)

mτ2

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......

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......

.....

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.

. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Métodos de 2o orden: Método del punto medio

..........

.....

......

.....

.....

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......

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.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Métodos de 2o orden: Método del punto medio

..........

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......

.....

.....

.....

......

.....

.....

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......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

.....

.

. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

0 20 40 60 80−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Solución del o.armónico, N=1000

Tiempo

Pos

ició

n

Punto medioSolución exacta

−2 −1 0 1 2−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Espacio de fases o.armónico, N=1000

Posición

Mom

ento

Punto medioSolución exacta

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

.....

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.

. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Conservación de la energía

0 10 20 30 40 50 60 700

5

10

15

20

25

30Conservación de la energía, N=1000

Tiempo

Ene

rgía

Euler explícitoEuler implícitoPunto medio

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

0 20 40 60 800.48

0.485

0.49

0.495

0.5

0.505

0.51

0.515

0.52

0.525Conservación de la energía, N=1000

Tiempo

Ene

rgía

Euler implícito

0 20 40 60 800.5

0.5005

0.501

0.5015

0.502

0.5025Conservación de la energía, N=1000

Tiempo

Ene

rgía

Punto medio

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

......

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

¿Qué métodos...

...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de laenergía, del momento, del momento angular, de la reversibilidadtemporal, de la estructura simpléctica etc.

Los métodos de Runge-Kutta están definidos para sistemas conespacio de fases lineal Rn y son independientes de la base en Rn

.Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento)..

......

Todos los métodos de RK preservan invariantes linealesI(y) = y1 + y2 (Ejemplo: masa total)

Sólo si biaij +bjaji = bibj se preservan invariantes

cuadráticas I(y) = y12 + y2

2 (Ejemplo: energía)

Ninguno de los métodos preserva invariantes cúbicas o nolineales

..........

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

.....

.....

.....

......

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

¿Qué métodos...

...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de laenergía, del momento, del momento angular, de la reversibilidadtemporal, de la estructura simpléctica etc.

Los métodos de Runge-Kutta están definidos para sistemas conespacio de fases lineal Rn y son independientes de la base en Rn

.Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento)..

......

Todos los métodos de RK preservan invariantes linealesI(y) = y1 + y2 (Ejemplo: masa total)

Sólo si biaij +bjaji = bibj se preservan invariantes

cuadráticas I(y) = y12 + y2

2 (Ejemplo: energía)

Ninguno de los métodos preserva invariantes cúbicas o nolineales

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

¿Qué métodos...

...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de laenergía, del momento, del momento angular, de la reversibilidadtemporal, de la estructura simpléctica etc.

Los métodos de Runge-Kutta están definidos para sistemas conespacio de fases lineal Rn y son independientes de la base en Rn

.Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento)..

......

Todos los métodos de RK preservan invariantes linealesI(y) = y1 + y2 (Ejemplo: masa total)

Sólo si biaij +bjaji = bibj se preservan invariantes

cuadráticas I(y) = y12 + y2

2 (Ejemplo: energía)

Ninguno de los métodos preserva invariantes cúbicas o nolineales

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

¿Qué métodos...

...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de laenergía, del momento, del momento angular, de la reversibilidadtemporal, de la estructura simpléctica etc.

Los métodos de Runge-Kutta están definidos para sistemas conespacio de fases lineal Rn y son independientes de la base en Rn

.Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento)..

......

Todos los métodos de RK preservan invariantes linealesI(y) = y1 + y2 (Ejemplo: masa total)

Sólo si biaij +bjaji = bibj se preservan invariantes

cuadráticas I(y) = y12 + y2

2 (Ejemplo: energía)

Ninguno de los métodos preserva invariantes cúbicas o nolineales

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

¿Qué métodos...

...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de laenergía, del momento, del momento angular, de la reversibilidadtemporal, de la estructura simpléctica etc.

Los métodos de Runge-Kutta están definidos para sistemas conespacio de fases lineal Rn y son independientes de la base en Rn

.Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento)..

......

Todos los métodos de RK preservan invariantes linealesI(y) = y1 + y2 (Ejemplo: masa total)

Sólo si biaij +bjaji = bibj se preservan invariantes

cuadráticas I(y) = y12 + y2

2 (Ejemplo: energía)

Ninguno de los métodos preserva invariantes cúbicas o nolineales

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

¿Qué métodos...

...preservan qué propiedades del sistema?, conservación de laenergía, del momento, del momento angular, de la reversibilidadtemporal, de la estructura simpléctica etc.

Los métodos de Runge-Kutta están definidos para sistemas conespacio de fases lineal Rn y son independientes de la base en Rn

.Conservación de las integrales primeras (ctes del movimiento)..

......

Todos los métodos de RK preservan invariantes linealesI(y) = y1 + y2 (Ejemplo: masa total)

Sólo si biaij +bjaji = bibj se preservan invariantes

cuadráticas I(y) = y12 + y2

2 (Ejemplo: energía)

Ninguno de los métodos preserva invariantes cúbicas o nolineales

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

.Reversibilidad temporal y simetría..

......

Un método numérico de un paso es simétrico y reversible en el tiemposi cambiando rn ↔ rn+1 y τ ↔−τ el método queda inalterado. Estoimpone las condiciones:

aij +as+1−i,s+1−j = bj ; b−i = bs+1−i ; ci = 1− cs+1−i

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

.Simplecticidad y conservación del volumen..

......

Simpléctico:(

∂ rn+1∂ rn

)TJ(

∂ rn+1∂ rn

)= J

Conservación del volumen:∣∣∣det

(∂ rn+1∂ rn

)∣∣∣= 1

Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas

Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos→ espacio de fases=variedad simpléctica

Teorema de Liouville: una región conexa del espacio fásico queevoluciona en el tiempo matiene su volumen constante si lospuntos frontera evolucionan siguiendo transformacionescanónicas → volumen invariante bajo un flujo Hamiltoniano

Como H,H= 0 el flujo Hamiltoniano también se conservaNoether−→ simetría → el generador de la simetria es el Hamiltoniano

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

.Simplecticidad y conservación del volumen..

......

Simpléctico:(

∂ rn+1∂ rn

)TJ(

∂ rn+1∂ rn

)= J

Conservación del volumen:∣∣∣det

(∂ rn+1∂ rn

)∣∣∣= 1

Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas

Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos→ espacio de fases=variedad simpléctica

Teorema de Liouville: una región conexa del espacio fásico queevoluciona en el tiempo matiene su volumen constante si lospuntos frontera evolucionan siguiendo transformacionescanónicas → volumen invariante bajo un flujo Hamiltoniano

Como H,H= 0 el flujo Hamiltoniano también se conservaNoether−→ simetría → el generador de la simetria es el Hamiltoniano

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

.Simplecticidad y conservación del volumen..

......

Simpléctico:(

∂ rn+1∂ rn

)TJ(

∂ rn+1∂ rn

)= J

Conservación del volumen:∣∣∣det

(∂ rn+1∂ rn

)∣∣∣= 1

Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas

Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos→ espacio de fases=variedad simpléctica

Teorema de Liouville: una región conexa del espacio fásico queevoluciona en el tiempo matiene su volumen constante si lospuntos frontera evolucionan siguiendo transformacionescanónicas → volumen invariante bajo un flujo Hamiltoniano

Como H,H= 0 el flujo Hamiltoniano también se conservaNoether−→ simetría → el generador de la simetria es el Hamiltoniano

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

.Simplecticidad y conservación del volumen..

......

Simpléctico:(

∂ rn+1∂ rn

)TJ(

∂ rn+1∂ rn

)= J

Conservación del volumen:∣∣∣det

(∂ rn+1∂ rn

)∣∣∣= 1

Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas

Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos→ espacio de fases=variedad simpléctica

Teorema de Liouville: una región conexa del espacio fásico queevoluciona en el tiempo matiene su volumen constante si lospuntos frontera evolucionan siguiendo transformacionescanónicas → volumen invariante bajo un flujo Hamiltoniano

Como H,H= 0 el flujo Hamiltoniano también se conservaNoether−→ simetría → el generador de la simetria es el Hamiltoniano

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

.Simplecticidad y conservación del volumen..

......

Simpléctico:(

∂ rn+1∂ rn

)TJ(

∂ rn+1∂ rn

)= J

Conservación del volumen:∣∣∣det

(∂ rn+1∂ rn

)∣∣∣= 1

Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas

Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos→ espacio de fases=variedad simpléctica

Teorema de Liouville: una región conexa del espacio fásico queevoluciona en el tiempo matiene su volumen constante si lospuntos frontera evolucionan siguiendo transformacionescanónicas → volumen invariante bajo un flujo Hamiltoniano

Como H,H= 0 el flujo Hamiltoniano también se conservaNoether−→ simetría → el generador de la simetria es el Hamiltoniano

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

.Simplecticidad y conservación del volumen..

......

Simpléctico:(

∂ rn+1∂ rn

)TJ(

∂ rn+1∂ rn

)= J

Conservación del volumen:∣∣∣det

(∂ rn+1∂ rn

)∣∣∣= 1

Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas

Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos→ espacio de fases=variedad simpléctica

Teorema de Liouville: una región conexa del espacio fásico queevoluciona en el tiempo matiene su volumen constante si lospuntos frontera evolucionan siguiendo transformacionescanónicas → volumen invariante bajo un flujo Hamiltoniano

Como H,H= 0 el flujo Hamiltoniano también se conservaNoether−→ simetría → el generador de la simetria es el Hamiltoniano

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

.Simplecticidad y conservación del volumen..

......

Simpléctico:(

∂ rn+1∂ rn

)TJ(

∂ rn+1∂ rn

)= J

Conservación del volumen:∣∣∣det

(∂ rn+1∂ rn

)∣∣∣= 1

Para ello el método tiene que preservar invariantes cuadráticas

Propiedad necesaria para integrar sistemas Hamiltonianos→ espacio de fases=variedad simpléctica

Teorema de Liouville: una región conexa del espacio fásico queevoluciona en el tiempo matiene su volumen constante si lospuntos frontera evolucionan siguiendo transformacionescanónicas → volumen invariante bajo un flujo Hamiltoniano

Como H,H= 0 el flujo Hamiltoniano también se conservaNoether−→ simetría → el generador de la simetria es el Hamiltoniano

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Integrador simpléctico

.Método "leapfrog"..

......

r(t +2τ)− r(t)2τ

= v(t + τ) ;v(t + τ)− v(t − τ)

2τ=

F (r(t),v(t), t)m

Utiliza diferencias centradas. Tiene paso ∆t = 2τ pero con la malla develocidades y posiciones intercalada. Si empezamos en t − τ = 0:

Calculamos velocidades en t +(2n−1)τCalculamos posiciones en t +2nτ

En t=0 necesitamos conocer v(−τ) para conocer v(τ) → diferenciashacia atrás:

v(−τ) = v(0)− τF (r(t),v(t), t)

m

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Integrador simpléctico

.Método "leapfrog"..

......

r(t +2τ)− r(t)2τ

= v(t + τ) ;v(t + τ)− v(t − τ)

2τ=

F (r(t),v(t), t)m

Utiliza diferencias centradas. Tiene paso ∆t = 2τ pero con la malla develocidades y posiciones intercalada. Si empezamos en t − τ = 0:

Calculamos velocidades en t +(2n−1)τ

Calculamos posiciones en t +2nτ

En t=0 necesitamos conocer v(−τ) para conocer v(τ) → diferenciashacia atrás:

v(−τ) = v(0)− τF (r(t),v(t), t)

m

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Integrador simpléctico

.Método "leapfrog"..

......

r(t +2τ)− r(t)2τ

= v(t + τ) ;v(t + τ)− v(t − τ)

2τ=

F (r(t),v(t), t)m

Utiliza diferencias centradas. Tiene paso ∆t = 2τ pero con la malla develocidades y posiciones intercalada. Si empezamos en t − τ = 0:

Calculamos velocidades en t +(2n−1)τCalculamos posiciones en t +2nτ

En t=0 necesitamos conocer v(−τ) para conocer v(τ) → diferenciashacia atrás:

v(−τ) = v(0)− τF (r(t),v(t), t)

m

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Integrador simpléctico

.Método "leapfrog"..

......

r(t +2τ)− r(t)2τ

= v(t + τ) ;v(t + τ)− v(t − τ)

2τ=

F (r(t),v(t), t)m

Utiliza diferencias centradas. Tiene paso ∆t = 2τ pero con la malla develocidades y posiciones intercalada. Si empezamos en t − τ = 0:

Calculamos velocidades en t +(2n−1)τCalculamos posiciones en t +2nτ

En t=0 necesitamos conocer v(−τ) para conocer v(τ) → diferenciashacia atrás:

v(−τ) = v(0)− τF (r(t),v(t), t)

m

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Integrador simpléctico

.Método "leapfrog"..

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r(t +2τ)− r(t)2τ

= v(t + τ) ;v(t + τ)− v(t − τ)

2τ=

F (r(t),v(t), t)m

Utiliza diferencias centradas. Tiene paso ∆t = 2τ pero con la malla develocidades y posiciones intercalada. Si empezamos en t − τ = 0:

Calculamos velocidades en t +(2n−1)τCalculamos posiciones en t +2nτ

En t=0 necesitamos conocer v(−τ) para conocer v(τ) → diferenciashacia atrás:

v(−τ) = v(0)− τF (r(t),v(t), t)

m

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

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.Leapfrog en forma del método de paso mitad..

......

r(t + τ)− r(t)τ

= v(

t +τ2

);

v(t + τ

2

)− v(t − τ

2

)τ

=F (r(t),v(t), t)

m

v(−τ2) = v(0)− τ

2F (r(0),v(0),0)

m

Es reversible en el tiempo

Para un potencial con simetría esférica conserva el momentoangular exactamenteEs simpléctico: no conserva la energia exactamente, pero esmuy estable → bueno para tiempos largos

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.Leapfrog en forma del método de paso mitad..

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r(t + τ)− r(t)τ

= v(

t +τ2

);

v(t + τ

2

)− v(t − τ

2

)τ

=F (r(t),v(t), t)

m

v(−τ2) = v(0)− τ

2F (r(0),v(0),0)

m

Es reversible en el tiempoPara un potencial con simetría esférica conserva el momentoangular exactamente

Es simpléctico: no conserva la energia exactamente, pero esmuy estable → bueno para tiempos largos

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.Leapfrog en forma del método de paso mitad..

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r(t + τ)− r(t)τ

= v(

t +τ2

);

v(t + τ

2

)− v(t − τ

2

)τ

=F (r(t),v(t), t)

m

v(−τ2) = v(0)− τ

2F (r(0),v(0),0)

m

Es reversible en el tiempoPara un potencial con simetría esférica conserva el momentoangular exactamenteEs simpléctico: no conserva la energia exactamente, pero esmuy estable → bueno para tiempos largos

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales

Utilizaremos el método del punto medio.

1/2 1/21

¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales

Utilizaremos el método del punto medio.

1/2 1/21

¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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Utilizaremos el método del punto medio.

1/2 1/21

¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibj

i=j=1→ 1× 12 +1× 1

2 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales

Utilizaremos el método del punto medio.

1/2 1/21

¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1

4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales

Utilizaremos el método del punto medio.

1/2 1/21

¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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Utilizaremos el método del punto medio.

1/2 1/21

¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bj

i=j=1→ 12 +

12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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Utilizaremos el método del punto medio.

1/2 1/21

¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b1

4

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales

Utilizaremos el método del punto medio.

1/2 1/21

¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales

Utilizaremos el método del punto medio.

1/2 1/21

¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i

→ b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales

Utilizaremos el método del punto medio.

1/2 1/21

¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 1

4

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales

Utilizaremos el método del punto medio.

1/2 1/21

¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales

Utilizaremos el método del punto medio.

1/2 1/21

¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i

→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales

Utilizaremos el método del punto medio.

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¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1

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Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales

Utilizaremos el método del punto medio.

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¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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. .Búsqueda de propiedades

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales

Utilizaremos el método del punto medio.

1/2 1/21

¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticas

Utilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales

Utilizaremos el método del punto medio.

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¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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Órbitas planetarias con diferentes potenciales

Utilizaremos el método del punto medio.

1/2 1/21

¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de Mercurio

Ec. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Órbitas planetarias con diferentes potenciales

Utilizaremos el método del punto medio.

1/2 1/21

¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- Heiles

Problema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Órbitas planetarias con diferentes potenciales

Utilizaremos el método del punto medio.

1/2 1/21

¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerpos

Rotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Órbitas planetarias con diferentes potenciales

Utilizaremos el método del punto medio.

1/2 1/21

¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Órbitas planetarias con diferentes potenciales

Utilizaremos el método del punto medio.

1/2 1/21

¿Simpléctico?

biaij +bjaji = bibji=j=1→ 1× 1

2 +1× 12 = 1 = b1b1 4

¿Reversibilidad temporal?

aij +as+1−i,s+1−j = bji=j=1→ 1

2 +12 = 1 = b14

b−i = bs+1−i → b−1 = b1 = 14

ci = 1− cs+1−i→ 1− 12 = 1

2 = c1 4

Conservación de órbitas, periódicas, cuasiperiódicas y caóticasUtilizado para simular movimientos de cuerpos celestes:

Precesión del perihelio de MercurioEc. de Henon- HeilesProblema de los 3 cuerposRotación caótica de Hiperión alrededor de Saturno...

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Órbitas planetarias con diferentes potenciales

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n =3.5, vx=0 AU/yr, v

y=5 AU/yr

x(AU)

y(A

U)

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Órbitas planetarias con diferentes potenciales

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n =4, vx=0 AU/yr, v

y=5 AU/yr

x(AU)

y(A

U)

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Órbitas planetarias con diferentes potenciales

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n =2, vx=0 AU/yr, v

y=5 AU/yr

x(AU)

y(A

U)

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

.Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa)..

......

dxdt

= xα −βxy ;dydt

= δxy − yγ

Con y = no de predadores, x = no de presas

xy= probabilidad de encontrarse

Presas

α= nacimiento medio -muerte media

β = interacción (eficiencia decaza del depredador)

Depredadores

yγ= muerte natural(depredadores = competencia)

δxy= tasa de reproducción porpresa comida

.Parámetros para la simulación..

...... α = 1 ; β = 0.5 ; γ = 0.25 ; δ = 0.2

..........

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

.Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa)..

......

dxdt

= xα −βxy ;dydt

= δxy − yγ

Con y = no de predadores, x = no de presas

xy= probabilidad de encontrarse

Presas

α= nacimiento medio -muerte media

β = interacción (eficiencia decaza del depredador)

Depredadores

yγ= muerte natural(depredadores = competencia)

δxy= tasa de reproducción porpresa comida

.Parámetros para la simulación..

...... α = 1 ; β = 0.5 ; γ = 0.25 ; δ = 0.2

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

.Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa)..

......

dxdt

= xα −βxy ;dydt

= δxy − yγ

Con y = no de predadores, x = no de presas

xy= probabilidad de encontrarse

Presas

α= nacimiento medio -muerte media

β = interacción (eficiencia decaza del depredador)

Depredadores

yγ= muerte natural(depredadores = competencia)

δxy= tasa de reproducción porpresa comida

.Parámetros para la simulación..

...... α = 1 ; β = 0.5 ; γ = 0.25 ; δ = 0.2

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

.Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa)..

......

dxdt

= xα −βxy ;dydt

= δxy − yγ

Con y = no de predadores, x = no de presas

xy= probabilidad de encontrarse

Presas

α= nacimiento medio -muerte media

β = interacción (eficiencia decaza del depredador)

Depredadores

yγ= muerte natural(depredadores = competencia)

δxy= tasa de reproducción porpresa comida

.Parámetros para la simulación..

...... α = 1 ; β = 0.5 ; γ = 0.25 ; δ = 0.2

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

.Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa)..

......

dxdt

= xα −βxy ;dydt

= δxy − yγ

Con y = no de predadores, x = no de presas

xy= probabilidad de encontrarse

Presas

α= nacimiento medio -muerte media

β = interacción (eficiencia decaza del depredador)

Depredadores

yγ= muerte natural(depredadores = competencia)

δxy= tasa de reproducción porpresa comida

.Parámetros para la simulación..

...... α = 1 ; β = 0.5 ; γ = 0.25 ; δ = 0.2

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

.Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa)..

......

dxdt

= xα −βxy ;dydt

= δxy − yγ

Con y = no de predadores, x = no de presas

xy= probabilidad de encontrarse

Presas

α= nacimiento medio -muerte media

β = interacción (eficiencia decaza del depredador)

Depredadores

yγ= muerte natural(depredadores = competencia)

δxy= tasa de reproducción porpresa comida

.Parámetros para la simulación..

...... α = 1 ; β = 0.5 ; γ = 0.25 ; δ = 0.2

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

.Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa)..

......

dxdt

= xα −βxy ;dydt

= δxy − yγ

Con y = no de predadores, x = no de presas

xy= probabilidad de encontrarse

Presas

α= nacimiento medio -muerte media

β = interacción (eficiencia decaza del depredador)

Depredadores

yγ= muerte natural(depredadores = competencia)

δxy= tasa de reproducción porpresa comida

.Parámetros para la simulación..

...... α = 1 ; β = 0.5 ; γ = 0.25 ; δ = 0.2

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

.Ecuaciones de Lotka-Volterra (ecs. predador-presa)..

......

dxdt

= xα −βxy ;dydt

= δxy − yγ

Con y = no de predadores, x = no de presas

xy= probabilidad de encontrarse

Presas

α= nacimiento medio -muerte media

β = interacción (eficiencia decaza del depredador)

Depredadores

yγ= muerte natural(depredadores = competencia)

δxy= tasa de reproducción porpresa comida

.Parámetros para la simulación..

...... α = 1 ; β = 0.5 ; γ = 0.25 ; δ = 0.2

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Ecuaciones de Lotka-Volterra

0 5 10 15 20 25 30 350

2

4

6

8

10

12Presas iniciales=5, Predadores iniciales=4

Tiempo (adimensional)

Nº

de p

resa

s y

pred

ador

es

PredadoresPresas

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Ecuaciones de Lotka-Volterra

0 1 2 3 4 5 60

2

4

6

8

10

12Presas iniciales=5, Predadores iniciales=4

Nº de presas

Nº

de p

reda

dore

s

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D

Utilizaremos el método "leapfrog"

Paquete de ondas: Ψ= C exp(−(x−x0)2

σ2 )exp(−(y−y0)2

σ2 )exp(ik0x)

C = 10 ; x0 = 0.025 ; y0 = 0.5 ; σ2 = 0.01 ; k0 = 40

Pozo de potencial: V = 0 x < 0.5 ; V =−1000 x > 0.5

Paso de iteración: τ = 0.00001 , No de iteraciones=200 , resoluciónespacial ∆x = 1/200

Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria

Función creada previamente calcula la parte imaginaria ent = t + τ

2 , t +3 τ2 ...

Función creada previamente calcula la parte real ent = t + τ, t +2τ ...Calculamos |Ψ|2

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D

Utilizaremos el método "leapfrog"

Paquete de ondas: Ψ= C exp(−(x−x0)2

σ2 )exp(−(y−y0)2

σ2 )exp(ik0x)

C = 10 ; x0 = 0.025 ; y0 = 0.5 ; σ2 = 0.01 ; k0 = 40

Pozo de potencial: V = 0 x < 0.5 ; V =−1000 x > 0.5

Paso de iteración: τ = 0.00001 , No de iteraciones=200 , resoluciónespacial ∆x = 1/200

Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria

Función creada previamente calcula la parte imaginaria ent = t + τ

2 , t +3 τ2 ...

Función creada previamente calcula la parte real ent = t + τ, t +2τ ...Calculamos |Ψ|2

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D

Utilizaremos el método "leapfrog"

Paquete de ondas: Ψ= C exp(−(x−x0)2

σ2 )exp(−(y−y0)2

σ2 )exp(ik0x)

C = 10 ; x0 = 0.025 ; y0 = 0.5 ; σ2 = 0.01 ; k0 = 40

Pozo de potencial: V = 0 x < 0.5 ; V =−1000 x > 0.5

Paso de iteración: τ = 0.00001 , No de iteraciones=200 , resoluciónespacial ∆x = 1/200

Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria

Función creada previamente calcula la parte imaginaria ent = t + τ

2 , t +3 τ2 ...

Función creada previamente calcula la parte real ent = t + τ, t +2τ ...Calculamos |Ψ|2

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D

Utilizaremos el método "leapfrog"

Paquete de ondas: Ψ= C exp(−(x−x0)2

σ2 )exp(−(y−y0)2

σ2 )exp(ik0x)

C = 10 ; x0 = 0.025 ; y0 = 0.5 ; σ2 = 0.01 ; k0 = 40

Pozo de potencial: V = 0 x < 0.5 ; V =−1000 x > 0.5

Paso de iteración: τ = 0.00001 , No de iteraciones=200 , resoluciónespacial ∆x = 1/200

Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria

Función creada previamente calcula la parte imaginaria ent = t + τ

2 , t +3 τ2 ...

Función creada previamente calcula la parte real ent = t + τ, t +2τ ...Calculamos |Ψ|2

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D

Utilizaremos el método "leapfrog"

Paquete de ondas: Ψ= C exp(−(x−x0)2

σ2 )exp(−(y−y0)2

σ2 )exp(ik0x)

C = 10 ; x0 = 0.025 ; y0 = 0.5 ; σ2 = 0.01 ; k0 = 40

Pozo de potencial: V = 0 x < 0.5 ; V =−1000 x > 0.5

Paso de iteración: τ = 0.00001 , No de iteraciones=200 , resoluciónespacial ∆x = 1/200

Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria

Función creada previamente calcula la parte imaginaria ent = t + τ

2 , t +3 τ2 ...

Función creada previamente calcula la parte real ent = t + τ, t +2τ ...Calculamos |Ψ|2

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. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D

Utilizaremos el método "leapfrog"

Paquete de ondas: Ψ= C exp(−(x−x0)2

σ2 )exp(−(y−y0)2

σ2 )exp(ik0x)

C = 10 ; x0 = 0.025 ; y0 = 0.5 ; σ2 = 0.01 ; k0 = 40

Pozo de potencial: V = 0 x < 0.5 ; V =−1000 x > 0.5

Paso de iteración: τ = 0.00001 , No de iteraciones=200 , resoluciónespacial ∆x = 1/200

Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria

Función creada previamente calcula la parte imaginaria ent = t + τ

2 , t +3 τ2 ...

Función creada previamente calcula la parte real ent = t + τ, t +2τ ...Calculamos |Ψ|2

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D

Utilizaremos el método "leapfrog"

Paquete de ondas: Ψ= C exp(−(x−x0)2

σ2 )exp(−(y−y0)2

σ2 )exp(ik0x)

C = 10 ; x0 = 0.025 ; y0 = 0.5 ; σ2 = 0.01 ; k0 = 40

Pozo de potencial: V = 0 x < 0.5 ; V =−1000 x > 0.5

Paso de iteración: τ = 0.00001 , No de iteraciones=200 , resoluciónespacial ∆x = 1/200

Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria

Función creada previamente calcula la parte imaginaria ent = t + τ

2 , t +3 τ2 ...

Función creada previamente calcula la parte real ent = t + τ, t +2τ ...

Calculamos |Ψ|2

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. . . .Introducción

. . . .Teoría

. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D

Utilizaremos el método "leapfrog"

Paquete de ondas: Ψ= C exp(−(x−x0)2

σ2 )exp(−(y−y0)2

σ2 )exp(ik0x)

C = 10 ; x0 = 0.025 ; y0 = 0.5 ; σ2 = 0.01 ; k0 = 40

Pozo de potencial: V = 0 x < 0.5 ; V =−1000 x > 0.5

Paso de iteración: τ = 0.00001 , No de iteraciones=200 , resoluciónespacial ∆x = 1/200

Separamos la función de onda en sus partes real e imaginaria

Función creada previamente calcula la parte imaginaria ent = t + τ

2 , t +3 τ2 ...

Función creada previamente calcula la parte real ent = t + τ, t +2τ ...Calculamos |Ψ|2

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. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

. . . . . . . . .Aplicación a problemas físicos Matlab EDO solvers Actualidad

Ec. de Schrödinger dependiente del tiempo 2D

.. Pozo de potencial .. Pared de potencial

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. . . . . . . . . .Métodos Runge-Kutta

. .Búsqueda de propiedades

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Matlab EDO solvers

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. . . .Teoría

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Aplicaciones actuales (las guays)

Quantum ChromodynamicsHybrid Monte Carlo (HMC)→ Molecular Dynamics → Leapfroghttp://arxiv.org/pdf/1109.3030.pdf

Quantum Field Theory

El grupo de Butcher (relacionada con el álgebra de Hopf) fueformulado para describir los métodos de Runge-KuttaHoy en día estos conceptos se usan en teoría de renormalizaciónde QFT perturbativas y geometría no conmutativa

http://www.impmc.upmc.fr/~brouder/BIT.pdfhttp://arxiv.org/pdf/hep-th/9904044.pdf

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Bibliografía altamente recomendada

Geometric Numerical Integration: Structure-PreservingAlgorithms for Ordinary Differential EquationsErnst Hairer, Christian Lubich, Gerhard Wanner (Springer)