apostila 2 - método de runge-kutta - 2015

1

Cálculo de Reatores 2 –UNAERP - Prof. Murilo D.M. Innocentini

UNIVERSIDADE DE RIBEIRÃO PRETO CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA

CÁLCULO DE REATORES 2

APOSTILA 2

MÉTODO DE RUNGE-KUTTA APLICADO A REATORES QUÍMICOS

Prof. Dr. Murilo Daniel de Mello Innocentini Curso de Engenharia Química

Universidade de Ribeirão Preto – UNAERP Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/5681181471077426

RIBEIRÃO PRETO - SP AGOSTO - 2015

http://lattes.cnpq.br/5681181471077426

2


1. Introdução

Existem diversos tipos de sistemas em Engenharia Química que podem ser

representados por problemas de valor inicial. Um reator em batelada pode ser descrito a partir

das concentrações em um instante de tempo (tipicamente t = 0) e das equações de balanço

material e de energia. Um problema típico consiste em determinar o tempo necessário para se

obter uma dada concentração de produto. A variável independente tempo (t) aparece

freqüentemente em problemas deste tipo. Outras variáveis podem ser utilizadas; um exemplo

é a determinação do perfil de temperatura T = f(z) ao longo de um trocador de calor, que pode

ser feita a partir da temperatura de entrada (em z = 0) e das equações de transferência de calor.

Neste caso, a variável independente é a posição ao longo do eixo do trocador de calor.

Um exemplo extremamente simples de um problema de valor inicial é

)y,t(fdt

dy (1)

Com condição inicial: t = 0 y = yo

Em aplicações práticas, muitas vezes necessitamos de mais de uma variável para

descrever o sistema. Muitos sistemas em Engenharia Química podem ser descritos por

sistemas de equações diferenciais do tipo:

)t,...z,y,x(fdt

dx (2)

)t,...z,y,x(gdt

dy (3)

)t,...z,y,x(wdt

dz (4)

Com condição inicial: t = 0 x = xo, y = yo, z = zo, ...

Observe que, em sistemas com condição inicial em t = to diferente de zero, basta

efetuar a mudança de variável = t-to para obter a condição inicial em = 0.

Dentre os métodos para a resolução numérica de uma integral, o método de Runge-

Kutta tem a vantagem de ser relativamente simples e de dar resultados mais precisos do que

outros métodos. Embora as demonstrações não sejam realizadas aqui, sugere-se a leitura de

material didático específico para a compreensão do método (Moderna Introdução às

Equações Diferenciais, Richard Bronson, Coleção Schaum, McGraw-Hill, 1977, pg. 285).

3


Figura 1. representação gráfica do método de Runge-Kutta de 4ª ordem. Em cada passo a

derivada é calculada 4 vezes: uma vez no ponto inicial, duas vezes em pontos intermediários e

uma vez em um ponto (estimado) no final. Dessas derivadas o valor da função final (mostrado

na figura como um ponto preenchido) é calculado.

2. Método de Runge-Kutta de 4ª ordem para 1 equação diferencial

Considere que a função derivada possa ser representada genericamente por:

)y;x(fdx

dy (5)

sendo x a variável independente.

A solução numérica para essa equação é dada por:

4321n1n kk2k2k6

1yy (6)

sendo:

)y;x(hfk nn1 (7)

)2

ky;

2

hx(hfk 1

nn2 (8)

)2

ky;

2

hx(hfk 2

nn3 (9)

)ky;hx(hfk 3nn4 (10)

E h é o intervalo (passo) na variável independente x:

hxx n1n (11)

4


As equações (6) a (11) são aplicadas quantas vezes necessárias para a obtenção da resposta.

Exemplo 1: considere a seguinte função: 2xydx

dy , com condição inicial: x = 0 y = 1.

Determine graficamente a solução y x no intervalo x entre 0 e 1. Compare com a solução

analítica. Use passo h = 0,2.

Resolução:

Neste caso: 2xy)y;x(f , com xo = 0 e yo = 1. Pelas equações (7) a (11):

Para xo = 0 e yo = 1:

0)1)(0)(2,0()1;0(hf)y;x(hfk 2oo1

02,0)1)(1,0)(2,0()1;1,0(hf)2

01;

2

2,00(hf)

2

ky;

2

hx(hfk 21

oo2

020402,0)01,1)(1,0)(2,0()01,1;1,0(hf)2

02,01;

2

2,00(hf)

2

ky;

2

hx(hfk 22

oo3

042,0)0204,1)(2,0)(2,0()0204,1;2,0(hf)0204,01;2,00(hf)ky;hx(hfk 23oo4

4321o1o kk2k2k6

1yy 042,0)0204,0(2)02,0(20

6

11y1

020,1y1

hxx o1o 2,00x1 2,0x1

Repetindo os cálculos:

xo= 0 x1= 0.2 x3= 0.4 x4= 0.6 x5= 0.8

yo= 1.000 y1= 1.020 y3= 1.087 y4= 1.220 y5= 1.471

k1= 0.000 k1= 0.042 k1= 0.095 k1= 0.178 k1= 0.346

k2= 0.020 k2= 0.065 k2= 0.129 k2= 0.240 k2= 0.486

k3= 0.020 k3= 0.067 k3= 0.133 k3= 0.251 k3= 0.529

k4= 0.042 k4= 0.095 k4= 0.178 k4= 0.346 k4= 0.799

x1= 0.2 x2= 0.4 x4= 0.6 x5= 0.8 x6= 1

y1= 1.020 y2= 1.087 y4= 1.220 y5= 1.471 y6= 2.000

5


A solução analítica para esse problema é dada por:

2xydx

dy xdx

y

dy2

x

x

y

y2

oo

xdxy

dy

2

x

2

x

y

1

y

12

o2

o

2

x

2

x

y

1

1y

2o

2

o

2

0

2

x

1

1

1y

22

2x2

2y

Comparando as soluções numérica e analítica:

x y num y ana Erro (%)

0.0 1.000 1.000 0.0000

0.2 1.020 1.020 0.0400

0.4 1.087 1.087 -0.0040

0.6 1.220 1.220 -0.0400

0.8 1.471 1.471 -0.0280

1.0 2.000 2.000 0.0000

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

y

Numérico

Analítico

3. Método de Runge-Kutta de 4ª ordem para sistema de 2 equações diferenciais

Considere o seguinte sistema de equações diferenciais:

)z;y;x(gdx

dz

)z;y;x(fdx

dy

(12)

onde x é a variável independente.

6


A solução numérica para esse sistema é dada por:

4321n1n kk2k2k6

1yy (13)

4321n1n ll2l2l6

1zz (14)

sendo:

)z;y;x(hfk nnn1 (15)

)z;y;x(hgl nnn1 (16)

)2

lz;

2

ky;

2

hx(hfk 1

n1

nn2 (17)

)2

lz;

2

ky;

2

hx(hgl 1

n1

nn2 (18)

)2

lz;

2

ky;

2

hx(hfk 2

n2

nn3 (19)

)2

lz;

2

ky;

2

hx(hgl 2

n2

nn3 (20)

)lz;ky;hx(hfk 3n3nn4 (21)

)lz;ky;hx(hgl 3n3nn4 (22)


hxx n1n (23)


Exemplo 2: considere o seguinte sistema de equações diferenciais:

xz2dx

dy

2x6dx

dz

com condição inicial: x = 0 y = 0 e z = 2. Determine a solução y x e z x no intervalo x

entre 0 e 1. Compare com a solução analítica. Use passo h = 0,1.

7


Resolução:

Neste caso: xz2)z;y;x(f e 2x6)z;y;x(g com xo = 0; yo = 0; zo = 2.

Pelas equações (13) a (23):

Para xo = 0, yo = 0 e zo = 2:

0)2)(0)(1,0()2;0;0(hf)z;y;x(hfk ooo1

0)0(6)1,0()2;0;0(hg)z;y;x(hgl 2ooo1

02,0)2)(05,0(2)1,0()2;0;05,0(hf)2

02;

2

00;

2

1,00(hf)

2

lz;

2

ky;

2

hx(hfk 1

o1

oo2

0015,0)05,0(6)1,0()2;0;05,0(hg)2

02;

2

00;

2

1,00(hg)

2

lz;

2

ky;

2

hx(hgl 21

o1

oo2

)00075,2;01,0;05,0(hf)2

0015,02;

2

02,00;

2

1,00(hf)

2

lz;

2

ky;

2

hx(hfk 2

o2

oo3

02,0)00075,2)(05,0(2)1,0(k3

)00075,2;01,0;05,0(hg)2

0015,02;

2

02,00;

2

1,00(hg)

2

lz;

2

ky;

2

hx(hgl 2

o2

oo3

0015,0)05,0(6)1,0(l 23

)0015,2;02,0;1,0(hf)0015,02;02,00;1,00(hf)lz;ky;hx(hfk 3o3oo4

04,0)0015,2)(1,0(2)1,0(k 4

)0015,2;02,0;1,0(hg)0015,02;02,00;1,00(hg)lz;ky;hx(hgl 3o3oo4

006,0)1,0(6)1,0(l 24

8


4321o1o kk2k2k6

1yy 04,0)02,0(2)02,0(20

6

10y1 02,0y1

4321o1o ll2l2l6

1zz 006,0)0015,0(2)0015,0(20

6

12z1

002,2z1

hxx o1o 1,00x1 1,0x1

Repetindo os cálculos:

xo= 0 x1= 0.1 x2= 0.2 x3= 0.3 x4= 0.4 x5= 0.5 x6= 0.6 x7= 0.7 x8= 0.8 x9= 0.9

yo= 0.000 y1= 0.020 y2= 0.080 y3= 0.182 y4= 0.327 y5= 0.523 y6= 0.779 y7= 1.108 y8= 1.531 y9= 2.075

zo= 2.000 z1= 2.002 z2= 2.016 z3= 2.054 z4= 2.128 z5= 2.25 z6= 2.432 z7= 2.686 z8= 3.024 z9= 3.458

k1= 0.0000 k1= 0.0400 k1= 0.0806 k1= 0.1232 k1= 0.1702 k1= 0.2250 k1= 0.2918 k1= 0.3760 k1= 0.4838 k1= 0.6224

l1= 0.0000 l1= 0.0060 l1= 0.0240 l1= 0.0540 l1= 0.0960 l1= 0.1500 l1= 0.2160 l1= 0.2940 l1= 0.3840 l1= 0.4860

k2= 0.0200 k2= 0.0602 k2= 0.1014 k2= 0.1457 k2= 0.1958 k2= 0.2558 k2= 0.3302 k2= 0.4250 k2= 0.5467 k2= 0.7032

l2= 0.0015 l2= 0.0135 l2= 0.0375 l2= 0.0735 l2= 0.1215 l2= 0.1815 l2= 0.2535 l2= 0.3375 l2= 0.4335 l2= 0.5415

k3= 0.0200 k3= 0.0603 k3= 0.1017 k3= 0.1464 k3= 0.1970 k3= 0.2575 k3= 0.3326 k3= 0.4282 k3= 0.5509 k3= 0.7085

l3= 0.0015 l3= 0.0135 l3= 0.0375 l3= 0.0735 l3= 0.1215 l3= 0.1815 l3= 0.2535 l3= 0.3375 l3= 0.4335 l3= 0.5415

k4= 0.0400 k4= 0.0804 k4= 0.1221 k4= 0.1673 k4= 0.2189 k4= 0.2809 k4= 0.3582 k4= 0.4568 k4= 0.5833 k4= 0.7458

l4= 0.0060 l4= 0.0240 l4= 0.0540 l4= 0.0960 l4= 0.1500 l4= 0.2160 l4= 0.2940 l4= 0.3840 l4= 0.4860 l4= 0.6000

x1= 0.1 x2= 0.2 x3= 0.3 x4= 0.4 x5= 0.5 x6= 0.6 x7= 0.7 x8= 0.8 x9= 0.9 x10= 1.0

y1= 0.020 y2= 0.080 y3= 0.182 y4= 0.327 y5= 0.523 y6= 0.779 y7= 1.108 y8= 1.531 y9= 2.075 y10= 2.773

z1= 2.002 z2= 2.016 z3= 2.054 z4= 2.128 z5= 2.250 z6= 2.432 z7= 2.686 z8= 3.024 z9= 3.458 z10= 4.000

A solução analítica para esse sistema é dada por:

2x6dx

dz dxx6dz 2

x

x

2z

z oo

dxx6dz

3

x

3

x6zz

3o

3

o

3

0

3

x62z

33

2x2z 3

xz2dx

dy )2x2(x2

dx

dy 3 x4x4dx

dy 4 dxx4x4dy 4

x

x

4y

y oo

dxx4x4dy

9


2

x

5

x

2

x

5

x4yy

2o

5o

25

o

2

0

5

0

2

x

5

x40y

2525

2

x

5

x4y

25

25 x2x8,0y

Comparando as soluções numérica e analítica:

x y num z num y ana z ana Erro y (%)Erro z (%)

0.00 0.0000 2.0000 0.0000 2.0000 0.000 0

0.10 0.0200 2.002 0.0200 2.002 0.015 0

0.20 0.0802 2.016 0.0803 2.016 0.060 2E-14

0.30 0.1817 2.054 0.1819 2.054 0.130 2E-14

0.40 0.3275 2.128 0.3282 2.128 0.222 4E-14

0.50 0.5233 2.250 0.5250 2.250 0.331 0

0.60 0.7787 2.432 0.7822 2.432 0.455 4E-14

0.70 1.1079 2.686 1.1145 2.686 0.584 3E-14

0.80 1.5311 3.024 1.5421 3.024 0.714 3E-14

0.90 2.0749 3.458 2.0924 3.458 0.837 3E-14

1.00 2.7735 4.000 2.8000 4.000 0.948 0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

y

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5z

analítico

numérico

10


4. Método de Runge-Kutta de 4ª ordem para sistema de 3 equações diferenciais

Considere o seguinte sistema de equações diferenciais:

)w;z;y;x(jdx

dw

)w;z;y;x(gdx

dz

)w;z;y;x(fdx

dy

(24)

onde x é a variável independente.

A solução numérica para esse sistema é dada por:

4321n1n kk2k2k6

1yy (25)

4321n1n ll2l2l6

1zz (26)

4321n1n mm2m2m6

1ww (27)

onde:

)w;z;y;x(hfk nnnn1 (28)

)w;z;y;x(hgl nnnn1 (29)

)w;z;y;x(hjm nnnn1 (30)

)2

mw;

2

lz;

2

ky;

2

hx(hfk 1

n1

n1

nn2 (31)

)2

mw;

2

lz;

2

ky;

2

hx(hgl 1

n1

n1

nn2 (32)

)2

mw;

2

lz;

2

ky;

2

hx(hjm 1

n1

n1

nn2 (33)

)2

mw;

2

lz;

2

ky;

2

hx(hfk 2

n2

n2

nn3 (34)

)2

mw;

2

lz;

2

ky;

2

hx(hgl 2

n2

n2

nn3 (35)

)2

mw;

2

lz;

2

ky;

2

hx(hjm 2

n2

n2

nn3 (36)

)mw;lz;ky;hx(hfk 3n3n3nn4 (37)

)mw;lz;ky;hx(hgl 3n3n3nn4 (38)

)mw;lz;ky;hx(hjm 3n3n3nn4 (39)


11


hxx n1n (40)


Exemplo 3: A reação irreversível em fase líquida elementar 2 A B deve ser realizada em

um reator descontínuo de volume útil 20 litros. Se o reator for carregado com uma solução 3

M do reagente A puro, então qual será a concentração após 20 minutos? Compare as

soluções numérica e analítica. Considere que a constante de velocidade para essa reação é k2

= 0,1 L/mol.min.

Resolução:

Para essa situação:

equação do reator:

)r(dt

dCA

A (1.1)

equação da reação:

2A2A Ck)r( (1.2)

de (1.1) e (1.2):

2A2

A Ckdt

dC

2A2

A Ckdt

dC (1.3)

com condição inicial: t = 0 CA = CAo = 3 M

12


Método numérico:

fazendo x = t e y = CA e substituindo o valor de k2 temos em (1.3):

2y1,0dx

dy com condição inicial: x = 0 y = 3

Aplicando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem (para 1 equação diferencial) com passo h =

0,2 min, temos como exemplo as 5 primeiras iterações:

xo= 0 x1= 0.2 x3= 0.4 x4= 0.6 x5= 0.8

yo= 3.000 y1= 2.830 y3= 2.679 y4= 2.542 y5= 2.419

k1= -0.180 k1= -0.160 k1= -0.143 k1= -0.129 k1= -0.117

k2= -0.169 k2= -0.151 k2= -0.136 k2= -0.123 k2= -0.111

k3= -0.170 k3= -0.152 k3= -0.136 k3= -0.123 k3= -0.112

k4= -0.160 k4= -0.143 k4= -0.129 k4= -0.117 k4= -0.107

x1= 0.2 x2= 0.4 x4= 0.6 x5= 0.8 x6= 1.0

y1= 2.830 y2= 2.679 y4= 2.542 y5= 2.419 y6= 2.308

O valor de CA para t = 20 min é, de acordo com o método numérico: CA = 0,429 M.

Método analítico:

Pela equação (1.3):

2A2

A Ckdt

dC dtk

C

dC22

A

A t

02

C

C2

A

A dtkC

dCA

Ao

tkC

1

C

12

AoA

Ao2

A

C

1tk

1C

3

1t1,0

1CA

13


Para t = 20 min:

3

1)20(1,0

1CA

M429,0CA

A figura a seguir apresenta a concordância excepcional entre os perfis de concentração

em função do tempo para os métodos de resolução analítico e numérico.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0 5 10 15 20 25 30

Tempo (min)

Conce

ntr

ação

, C

A (

M) Numérico

Analítico

14


Lista de exercícios

1) A reação irreversível de segunda ordem 2 A B + C é realizada isotermicamente em um

reator batelada (BSTR). 20 litros de uma solução contendo 40 moles de reagente A puro são

alimentados no reator. Sabendo-se que a constante de velocidade da reação é k2 = 0,5

L/mol.min, determine por método numérico a concentração do reagente A no reator após 15

minutos. Compare a solução com aquela obtida analiticamente.

2) Deseja-se realizar a reação irreversível elementar A + B C em um reator semi-batelada.

Uma solução de 10 litros do reagente A em concentração 2 molar deverá ser inicialmente

introduzida no reator. Na seqüência, o reagente B será alimentado, de modo contínuo e lento

no reator, em uma vazão de 100 mL/min, correspondendo a uma vazão molar de B de 1

mol/min durante 20 minutos. Após esse período de alimentação, o reator é mantido sob

agitação durante outros 20 minutos. Determine o perfil de concentração de A e de B no reator

durante os 40 minutos de reação. Compare esse perfil com aquele caso todos os reagentes

fossem alimentados de uma vez só no reator (operação em batelada pura). Considere que a

constante de velocidade é dada por: k2 = 0,3 L/mol.min. Use passo para resolução numérica h

= 0,5 min.

3) A produção de brometo de metila (CH3Br) ocorre pela reação irreversível elementar em

fase líquida: CNBr + CH3NH2 CH3Br + NCNH2, que é realizada em um reator semi-

batelada. Uma solução aquosa de metil amina (CH3NH2) em concentração de 0,025 mol/L

deve ser alimentada em vazão de 0,05 L/s em uma solução aquosa de CNBr contido em um

reator de vidro. O volume inicial do fluido no recipiente é de 5 L com CNBr em concentração

de 0,05 mol/L. A constante de velocidade da reação é k2 = 2,2 L/mol.s. Pede-se:

a) Obtenha os perfis de número de moles de reagentes e produtos (NA, NB, NC e ND) no reator

em função do tempo (400 segundos).

b) Obtenha os perfis de concentração de reagentes e produtos (CA, CB, CC e CD) no reator em

função do tempo (400 segundos).

c) Obtenha o perfil de grau de conversão (xA) do reagente CNBr no reator em função do

tempo (400 segundos).

d) Obtenha o perfil de taxa de reação (-rA) no reator em função do tempo (400 segundos).

Utilize o método de Runge-Kutta com passo h = 5 s. Pode ser utilizada programação

FORTRAN, BASIC, C++, PASCAL ou planilha Excel. Apresente todos os gráficos

separadamente em planilha Excel.

apostila 2 - método de runge-kutta - 2015

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