trabajo de runge kuttaa final

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

CÁTEDRA: ESTABILIDAD DE SISTEMAS ELECTRICOS

CATEDRÁTICO: Ing. Torres Mayta Pedro

ALUMNOS: Astete Pérez David

Armas alzamora Daniel

Bonifacio Orihuela Elvis

Clemente huamanlaso Jurasi

Espinoza Quispe José A.

Hinostroza Millán Iván

Llacza Carmelo James E.

Noa meza Cristian

Paccori Pillpa Luther

SEMESTRE: X

2013 – I

ESTABILIDAD DE SISTEMAS DE POTENCIA 1


INDICE

Introducción ……………………………….. …………………3

ESTABILIDAD TRANSITORIA MÉTODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN...5

1. El problema de estabilidad …………………………………………………...5

2. Concepto de estabilidad transitoria …………………………………………………...6

3. Método de Runge Kutta …………………………………………………...6

3.1 introducción ……………………………………………………6

3.2 método de runge kutta 1 orden ……………………………………………………7

3.4 método de runge kutta 4 orden ……………………………………………………8

3.4.1 cuando el paso h esta fuera de la función …………………………………….8

3.4.2 cuando el paso h esta fuera de la función …………………………………...9

Ejemplo 1: ……….………………………………………….10

Ejemplo 2: …………………………………………………..15



INTRODUCCIÓN

A medida que el ser humano y la economía de los países se han desarrollado, la demanda de

energía ha aumentado constantemente, y dentro de este marco se ha producido un

crecimiento importante de la demanda energía eléctrica, que ha llegado a presentar un

porcentaje importante del consumo total de energía en el mundo.

En el Perú para poder satisfacer la creciente demanda, se ha ido fortaleciendo un sistema

eléctrico de potencia que se torna complejo. En los últimos años, la tendencia en la

producción de energía eléctrica ha sido deficitaria frente a la demanda de la misma, por lo

que para poder satisfacer dicha demanda una de las soluciones ha sido la interconexión de

sistemas, con sus ventajas y desventajas, asociando generadores que operan en paralelo y

cargas dentro de un gran sistema integrado.

Los sistemas eléctricos se han ido tornando cada vez más complejos y presentan una

variedad de retos de ingeniería tanto en el planeamiento, y construcción como la

operación del mismo.

El diseño total del sistema eléctrico de potencia debe ser afirmado sobre el control

automático y no sobre la respuesta lenta del operador humano. Para ser viable predecir el

funcionamiento del sistema, las nuevas exigencias han forzado a buscar siempre

herramientas más avanzadas de análisis y de síntesis.

En el presente trabajo, busca solucionar los problemas de la estabilidad transitoria utilizando el

método de Runge-Kutta de cuarto orden.

ESTABILIDAD TRANSITORIA



METODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN

1 EL PR OB LE M A DE ESTABILIDAD

El problema de estabilidad esta concernido con el comportamiento de las máquinas

sincrónicas después de haber sido perturbadas. Si la perturbación no involucra cualquier

cambio neto en la potencia, las máquinas deben retornar a su estado original. Si existe un

desbalance entre la potencia suplida y la carga, creado por un cambio en la carga, en

generación, o en las condiciones de la red, un nuevo estado de operación es necesario.

En cualquier caso todas las máquinas sincrónicas interconectadas deben permanecer en

sincronismo si el sistema es estable; todas ellas deben permanecer operando en paralelo y a la

misma velocidad.

El transitorio que sigue a una perturbación del sistema es oscilatorio por naturaleza; pero si

el sistema es estable, estas oscilaciones serán amortiguadas y llevarán al sistema a una

nueva condición de operación y de equilibrio. Estas oscilaciones, sin embargo, son

reflejadas como fluctuaciones en el flujo de potencia sobre las líneas de transmisión. Si una

interconexión conecta dos grandes grupos de máquinas y experimenta excesivas

fluctuaciones de potencia, esta puede ser disparada por su equipamiento de protecciones, de

tal modo, que desconecta los dos grupos de máquinas. Este problema refleja la estabilidad

de los dos grupos de máquinas, si la interconexión es disparada, los sistemas interconectados

deben operar como áreas independientes ya que tienen independencia operativa.

La estabilidad del sistema eléctrico de potencia es un importante problema en la seguridad de

la operación del sistema, la mayoría de los colapsos causados por inestabilidad ilustran la

importancia de este fenómeno. Históricamente, la inestabilidad transitoria ha sido un

problema de estabilidad dominante en la mayor parte de sistemas, y ha sido la preocupación

de la industria referente a la estabilidad del sistema.

La condición necesaria para la satisfactoria operación del sistema es que todas las



máquinas sincrónicas, empleadas para la generación de energía eléctrica, permanezcan en

sincronismo. Este aspecto de estabilidad es influenciado por la dinámica del ángulo del

rotor del generador y las relaciones potencia-ángulo.

Las diferentes formas de inestabilidad dependen de la configuración y la operación

de los sistemas eléctricos de potencia por lo que es necesario el entendimiento de la

complejidad de la operación, diseño y el uso de nuevas tecnologías y controles. Así también

el uso consistente de la terminología es requerido para desarrollar el criterio de operación y

diseño del sistema, de igual manera, las herramientas analíticas y procedimientos de estudio.

Los sistemas de potencia son sometidos a un amplio rango de disturbios, pequeños y grandes.

Pequeños disturbios ocurren continuamente en forma de cambios de carga; el sistema puede

ser capaz de ajustarse a las condiciones cambiantes y operar satisfactoriamente. Este

puede también ser capaz de soportar numerosos disturbios de una naturaleza severa,

tal como un corto circuito sobre una línea de transmisión o pérdida de un generador, de una

carga grande o de una interconexión entre dos áreas. Un gran disturbio puede conducir a

cambios estructurales debido al aislamiento de los elementos fallados.

La repuesta del sistema de potencia ante un disturbio puede involucrar a la mayoría del

equipo. Para una instancia, una falla sobre un elemento crítico seguido por el

aislamiento de los relés de protecciones, causará variaciones en flujos de potencia, voltajes

en las barras de la red y velocidades del rotor de las máquinas; debido a las variaciones de

voltaje deberán actuar conjuntamente los reguladores de voltaje de generadores y del sistema

de transmisión; para las variaciones de velocidad del generador deben actuar

los gobernadores (reguladores de velocidad); debido al cambio en la cargabilidad del

sistema actuarán los controles de generación; los cambios en voltaje y frecuencia

afectarán a las cargas en el sistema en niveles que varían dependiendo de sus características

individuales.

Adicionalmente, los dispositivos utilizados para proteger a los equipos individualmente

podrían responder a variaciones en las variables del sistema y causar el disparo del



equipamiento, debilitando al sistema y posiblemente conduciendo a la inestabilidad del

sistema.

En cualquier situación dada, sin embargo, las respuestas solamente de una cantidad limitada

de equipo pueden ser significativas. Por lo tanto, muchas consideraciones se hacen

generalmente para simplificar el problema y para centrarse en los factores que influencian el

tipo específico de problema de estabilidad.

La inestabilidad de un sistema también puede ocurrir sin pérdida de sincronismo, por

ejemplo puede llegar a ser inestable por colapso del voltaje, mantener el sincronismo no es

el problema en este caso, en su lugar la preocupación radica en la estabilidad y control de

voltaje. Esto ha creado la necesidad de revisar la definición y clasificación de estabilidad de

sistemas de potencia.

2 CONCEPTO DE ESTABILIDAD TRANSITORIA

La estabilidad transitoria es la capacidad del sistema de potencia de mantener el sincronismo

cuando es sometido a severas perturbaciones transitorias.

• Respuesta no lineal frente a perturbaciones severas

• Horizonte de tiempo de varios ciclos

3 METODO DE RUNGE KUTTA

3.1 INTRODUCCION

En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.

3.2 METODO DE RUNGE KUTTA 1 ORDEN



Todos los métodos de Runge-Kutta son generalizaciones de la fórmula básica de Euler, en la que la función pendiente f se remplaza por un promedio ponderado de pendientes en el intervalo xn x xn+1

donde las ponderaciones wi, i = 1, 2, …, m son constantes que satisfacen w1 + w2 + … + wm = 0, y ki es la función evaluada en un punto seleccionado (x, y) para el cual xn x xn+1.

El número m se llama el orden. Si tomamos m = 1, w1 = 1, k1 = f(x, yn), llegamos al método de Euler. Por consiguiente, se dice que el método de Euler es un método de Runge-Kutta de primer orden.

3.3 METODO DE RUNGE KUTTA 2ORDEN

Tratamos de hallar unas constantes de modo que la fórmula

Donde k1= f(xn, yn), k2= f(xn+h, yn+hk1)

Concuerdo con un polinomio de Taylor de grado 2 , las constantes deben satisfacer:

Luego

Donde w2 0.

Ejemplo: escogemos w2 = ½ , de donde w1 = ½ , = 1, = 1, y (2) se transforma en

yn+1= yn+(k1+ k2)h/2

donde k1= f(xn, yn), k2= f(xn+h, yn+hk1).

Puesto que xn + h = xn+1, yn + hk1 = yn + hf(xn, yn), es idéntica al método de Euler mejorado.


yn+1= yn+h(w1 k1+w2k 2+⋯+wmk m)

yn+1= yn+ak1+bk 2

w1+w2=1, w2 α=12

, y w2 β=12

w1=1−w2 , α= 12 w2

, y β= 12 w2


3.4 METODO DE RUNGE KUTTA 4 ORDEN

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como «RK4» o como «el método Runge-Kutta».

3.4.1 CUANDO EL PASO H ESTA FUERA DE LA FUNCION

Los llamados métodos de Runge-Kutta son una serie de algoritmos para calcular aproximaciones numéricas del valor de la solución de:

dydx

=f (x , y ) ; y ( x0 )= y0

en puntos de la forma siguiente:

x1=x0+h ; x2=x1+h ; etc

con muy buena precisión, sin que, para ello, sea necesario que los h sean muy pequeños.

El procedimiento consta de los siguientes pasos:

Para calcular un valor aproximado de la solución y1 en el punto

x1 = x0 + h, se calculan los siguientes números:

k 1=h f ( x0 , y0 )

k 2=h f ( x0+h2

, y0+k1

2)

k 3=h f ( x0+h2

, y0+k2

2)



k 4=h f ( x0+h , y0+k3 )

K0=16(k1+2k 2+2 k3+k 4 )

Entonces se toma:

y1= y0+K 0

Procediendo del mismo modo, calcularíamos el valor aproximado de

la solución, y2, en el punto x2 = x1 + h:

k 1=h f ( x1 , y1 )

k 2=h f ( x1+h2

, y1+k1

2)

k 3=h f ( x1+h2

, y1+k 2

2)

k 4=h f ( x1+h , y1+k3 )

K0=16(k1+2k 2+2k3+k 4 )

y2= y1+K0

3.4.2 CUANDO EL PASO H ESTA DENTRO DE LA FUNCION

Definiendo un problema de valor inicial como:



dydx

=f (x , y ) ; y ( x0 )= y0

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

y i+1= y I+116( k1+2k2+2k3+k4 )h

Dónde:

k 1=f ( x1 , y1 )

k 2= f ( x1+h2

, y1+hk 1

2)

k 3=f ( x1+h2

, y1+hk 2

2)

k 4=f ( x1+h , y1+hk 3 )

Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) más el producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado

de pendientes, donde

k 1

es la pendiente al principio del intervalo,

k 2

es la pendiente en el

punto medio del intervalo, usando

k 1

para determinar el valor de y en el punto xn+h/2 usando el

método de Euler.

k 3

es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando

k 2

para

determinar el valor de y;

k 4

es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y

determinado por

k 3

. Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:



pendiente=16( k1+2 k2+2 k3+k4 )

Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de O(h5), mientras que el error total acumulado tiene el orden O(h4). Por lo tanto, la convergencia del método es del orden de O(h4), razón por la cual es usado en los métodos computaciones.

EJEMPLO 1:

Determine y (0.5) utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden, en el intervalo de interés [0, 0.5], en 5 intervalos.

y’ =4e0.8x – 0.5y ; y(0) =2 ; y(0.5) =?

h =0.5 – 0 / 5 h =0.1

por lo tanto x0 =0, x1 =0.1, x2 =0.3, x4 =0.4, x5 =0.5

ITERACIÓN I i =0 ; x0 =0 ; y0 =2

K1 =f [0, 2] =4e(0.8*0) – (0.5 * 2)

K1 =3

K2 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3) /2] =f [0.05, 2.15] =4e(0.8*0.05) – (0.5 * 2.15)

K2 =3.088243

K3 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3.088243) /2] =f [0.05, 2.154412]

K3 =4e(0.8*0.05) – (0.5 * 2.154412)

K3 =3.086037



K4 =f [0 +0.1, 2 +(0.1 *3.086037)] =f [0.1, 2.308603]

K4 =4e(0.8*0.1) – (0.5 * 2.308603)

K4 =3.178846

y1(0.1) =2 +{0.1 /6 [3 +(2 *3.088243) +(2 *3.086037) +3.178846]}

y1(0.1) =2.308790

ITERACIÓN II i =1 ; x1 =0.1 ; y1 =2.308790

K1 =f [0.1, 2.308790] =4e(0.8*0.1) – (0.5 * 2.308790)

K1 =3.178753

K2 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.178753) /2] =f [0.15, 2.467727]

K2 =4e(0.8*0.15) – (0.5 * 2.467727)

K2 =3.276123

K3 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.276123) /2] =f [0.15, 2.472596]

K3 =4e(0.8*0.15) – (0.5 * 2.472596)

K3 =3.273689

K4 =f [0.1 +0.1, 2.308790 +(0.1 *3.273689)] =f [0.2, 2.636158]

K4 =4e(0.8*0.2) – (0.5 * 2.636158)

K4 =3.375964



y2(0.2) =2.308790 +{0.1 /6 [3.178753 +(2 *3.276123) +(2 *3.273689) +3.375964]}

y2(0.2) =2.636362

ITERACIÓN III i =2 ; x2 =0.2 ; y2 =2.636362

K1 =f [0.2, 2.636362] =4e(0.8*0.2) – (0.5 * 2.636362)

K1 =3.375862

K2 =f [0.2 +0.1/2, 2.6366362 +(0.1 *3.375862) /2] =f [0.25, 2.805155]

K2 =4e(0.8*0.25) – (0.5 * 2.805155)

K2 =3.483033

K3 =f [0.2 +0.1/2, 2.636362 +(0.1 *3.483033) /2] =f [0.25, 2.810513]

K3 =4e(0.8*0.25) – (0.5 * 2.810513)

K3 =3.480354

K4 =f [0.2 +0.1, 2.636362 +(0.1 *3.480354)] =f [0.3, 2.984397]

K4 =4e(0.8*0.3) – (0.5 * 2.984397)

K4 =3.592798

y3(0.3) =2.636362 +{0.1 /6 [3.375862 +(2 *3.483033) +(2 *3.480354) +3.592798]}

y2(0.3) =2.984619



ITERACIÓN IV i =3 ; x3 =0.3 ; y3 =2.984619

K1 =f [0.3, 2.984619] =4e(0.8*0.3) – (0.5 * 2.984619)

K1 =3.592687

K2 =f [0.3 +0.1/2, 2.984619 +(0.1 *3.592687) /2] =f [0.35, 3.164253]

K2 =4e(0.8*0.35) – (0.5 * 3.164253)

K2 =3.710392

K3 =f [0.3 +0.1/2, 2.984619 +(0.1 *3.710392) /2] =f [0.35, 3.170138]

K3 =4e(0.8*0.35) – (0.5 * 3.170138)

K3 =3.707450

K4 =f [0.3 +0.1, 2.984619 +(0.1 *3.707450)] =f [0.4, 3.355364]

K4 =4e(0.8*0.4) – (0.5 * 3.355364)

K4 =3.830829

y4(0.4) =2.984619 +{0.1 /6 [3.592687 +(2 *3.710392) +(2 *3.707450) +3.830829]}

y2(0.4) =3.355606

ITERACIÓN V i =4 ; x4 =0.4 ; y4 =3.355606

K1 =f [0.4, 3.355606] =4e(0.8*0.4) – (0.5 * 3.355606)

K1 =3.830708



K2 =f [0.4 +0.1/2, 3.355606 +(0.1 *3.830708) /2] =f [0.45, 3.547141]

K2 =4e(0.8*0.45) – (0.5 * 3.547141)

K2 =3.959747

K3 =f [0.4 +0.1/2, 3.355606 +(0.1 *3.959747) /2] =f [0.45, 3.553593]

K3 =4e(0.8*0.45) – (0.5 * 3.553593)

K3 =3.956521

K4 =f [0.4 +0.1, 3.355606 +(0.1 *3.956521)] =f [0.5, 3.751258]

K4 =4e(0.8*0.5) – (0.5 * 3.751258)

K4 =4.091669

y5(0.5) =3.355606 +{0.1 /6 [3.830708 +(2 *3.959747) +(2 *3.956521) +4.091669]}

La solución requerida es y5(0.5) =3.751521

EJEMPLO 2:

En este ejemplo, se analiza la estabilidad transitoria de una central térmica que consta de cuatro estaciones de 555 MVA, 24KV, 60Hz. Unidades que suministran energía a un Bus infinito a través de dos líneas de trasmisión mostradas en la figura 1

Figura 1



Las reactancias en la red que se muestran en la figura están por unidad con 2220 MVA, 24kV de base. (Referidos en la línea de trasmisión en el lado de alta del transformador). Se asume que las resistencias son insignificantes.

La condición inicial del sistema de operación, con cuantificaciones expresadas en por unidad con 2220 MVA, 24kV de base, se muestra de la siguiente manera.

P=0.9 Q=0.436(sobreexitado) Ēt=1.0 28.34 ° ĒB=0.90081 0 °

Los generadores son modelados en un circuito equivalente representado por un generador de modelo clásico con los siguientes parámetros expresados en por unidad con 2220 MVA, 24kV de base:

X dǀ =0.3 H=3.5 MW . s /MVA K D=0

En el circuito dos se muestran una falla trifásica en el punto F, y la falla es eliminada mediante el aislamiento del circuito de falla.

DETERMINAR:

a) Determine el tiempo de despeje de la falla crítica y el ángulo crítico mediante el cálculo de tiempo de respuesta del ángulo del rotor, mediante la integración numérica.

SOLUCIONCon el generador representado con el modelo clásico, el circuito equivalente del sistema se muestra en la siguiente figura.



Por la condición inicial de la operación, el voltaje en retraso X dǀ es.

Ēǀ=Ēt+ jX dǀ Ī t

Ēǀ=1.028.34 °+ jj0.3 (0.9− j 0.436 )

1.0−28.34 °

Ēǀ=1.1626 28.34 °

En la siguiente figura se muestra el circuito equivalente reducido representado en las tres condiciones del sistema: en la pre falla, durante la falla, y la post falla. También se muestra en la figura también se muestra en la figura son las expresiones correspondientes para la salida de la potencia eléctrica como una función de .

1) En la pre falla

Pe=1.1626 x0.90081

0.7752senδ

Pe=1.1341 senδ

2) Durante la falla

Pe=0

3) Post Falla.



Pe=1.1626 x0.90081

0.95senδ

Pe=1.1024 senδ

a) El tiempo de respuesta usando la integración numérica.

La ecuación:

2 Hw0

d2

d t 2=Pm−Pmax sin

Puede ser escritos de dos ecuaciones de primer orden:

P( Δwr)=1

2 HPm−Pmax sin

P( Δwr)=1

7.0¿ ……. Ecuación 3

P()=w0(Δ wr)P()=377 (Δw r) …… Ecuación 4

Dónde:

Pmax={ 1.351 antes de la falla0 durante la falla

1.1024 después de la falla

Los valores iniciales de y Δ wr son 41.77° y 0 pu, Respectivamente.

Cualquiera de los métodos de integración numérica se describen pueden ser usados para resolver estas ecuaciones 3 y 4. Para las ilustraciones consideramos el segundo método de Runge-Kutta. La



fórmula general está dado por los valores de , Δ wr y t para los (n+1 )sI … pasos de integración son

los siguientes:

(Δ wr)n+1=( Δw r)n+K1

I+K2I

2

δ n+1=δn+K1

II +K2II

2

t n+1=t n+∆ t

Dónde:

K1I=[0.1286−

Pmax

7.0sen (δ)n]∆ t

K1II=[377 (∆ wr)n ] ∆ t

K2I=[0.1286−

Pmax

7.0sen (δ n+ K1

II )]∆ t

K2II= {377 [(∆ w r)n+K 1

I ]}∆ t


trabajo de runge kuttaa final

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