el problema de kepler. aplicaciones del vector de laplace-runge-lenz en Órbitas perturbadas

Universidad Nacional de Educación a Distancia.

Facultad de Ciencias.

Departamento de Física.

Memoria del Trabajo Fin de Grado en Física.

EL PROBLEMA DE KEPLER.APLICACIONES DEL VECTOR DE

LAPLACE-RUNGE-LENZ EN ÓRBITASPERTURBADAS.

Gustavo Adolfo Pérez Sánchez.

Tutor: Dr. Álvaro Perea Covarrubias.

Curso 2014/2015

Esta obra está licenciada bajo la Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial 4.0 Internacional.

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http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/.

Gustavo Adolfo Pérez Sánchez.

EL PROBLEMA DE KEPLER.APLICACIONES DEL VECTOR DE

LAPLACE-RUNGE-LENZ EN ÓRBITASPERTURBADAS.

.

«No nos preguntamos qué propósito útil hay en el canto de lospájaros, cantar es su deseo desde que fueron creados para can-tar. Del mismo modo no debemos preguntarnos por qué la men-te humana se preocupa por penetrar los secretos de los cie-los...La diversidad de los fenómenos de la naturaleza es tangrande y los tesoros que encierran los cielos tan ricos, preci-samente para que la mente del hombre nunca se encuentre ca-rente de su alimento básico.»

Johannes Kepler.

i

Agradecimientos

Gracias. Mil gracias a todos aquellos que de alguna manera contribuyeron encierto momento y lugar , quizás sin saberlo muchos, a la puesta a punto deesta memoria, son artífices también de ella.

Gracias en particular:

A Ana María, mi compañera eterna, por su apoyo constante y desinteresadosiempre, y cómo no, por su paciencia infinita más de una vez.

A mis padres claro, siempre a ellos por todo, por educarme en el estudio de laciencia, por más y más , dar motivos concretos desvirtuaría al resto de ellos.

Al Dr. Álvaro Perea Covarrubias, mi tutor en este trabajo, por elegir un tema tanfascinente, por toda su colaboración, por dejarme el camino libre de obstáculosy facilitarme el trato y la comunicación haciéndola eficiente y limpia a parte deeficaz. Gracias Álvaro.

A la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED) y a la Universidadde Córdoba (UCO), porque ésto es sin duda producto de su enseñanza.

A mis grandes amigos Antonio, Pablo, Martín, colegas en esta ardua, tortuosa,y sin embargo maravillosa tarea de arrebatarle las ideas a Dios.

A todos los no nombrados por no extenderme, gracias y mil perdones, sé quesabrán excusarme.

ii

Resumen

Luego de una vista general del conocido Problema de Keplerde la mecánica celeste, su tratamiento bajo las ópticas newtoniana,lagrangiana, y mediante el llamado vector de Laplace-Runge-Lenz(LRL) que se conserva. Mostraremos el método de la dinámica delvector LRL que permite analizar ciertas características de las solu-ciones del problema bajo pequeñas perturbaciones, perturbacionesque quiebran la simetría que conduce a la conservación de tal vectorproduciendo por tanto una evolución temporal del mismo. Discuti-remos algunos casos de interés tanto para perturbaciones de tipocentral como no central, presentando la forma de proceder y los losresultados a los que se llega.

——————–

Abstract

After an overview of known Kepler Problem in celestial mecha-nics, its treatment under newtonian view , lagrangian, and throughthe Laplace - Runge -Lenz (LRL) vector that is preserved. We willshow the method of the dynamics of LRL vector to analyze somecharacteristics of the solutions of the problem under tiny perturba-tions , perturbations that break the symmetry leading to the conser-vation of the vector thereby producing a temporal evolution of this.We discuss some cases of interest to both kind, central and notcentral perturbations, presenting how to proceed and the obtainedresults.

iii

Índice general

1 Introducción. 6

2 El Problema De Kepler. 7

2.1 Breve Reseña Histórica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Tratamiento Newtoniano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Tratamiento Lagrangiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 El Vector de Laplace-Runge-Lenz. (LRL). . . . . . . . . . . . . . 16

3 Aplicaciones del vector LRL en órbitas perturbadas. 19

3.1 La perturbación orbital. Dinámica del vector LRL . . . . . . . . . 19

3.2 Precesión anómala del perihelio de Mercurio. La corrección re-lativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Precesión general del perihelio. La influencia planetaria. . . . . . 27

3.4 Perturbación dependiente de la velocidad. El arrastre atmosféri-co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Notas finales. 34

A Efecto de una perturbación δf ∼ −1/r3.Resolución analítica. 36

Referencias 40

iv

Índice de figuras

2.1 Trayectorias del Problema de Kepler según el valor de la excentricidad. Fuente:[8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Energía potencial total efectiva (curva en negro) como suma de las energíaspotenciales centrífuga y gravitacional (curvas en gris). Las energías E0 a E3

corresponden a distintas trayectorias cónicas, circular, elíptica, parabólica e hi-perbólica respectivamente. Los valores rmıny rmax (pericentro y apocentro) co-rresponden a los puntos en que se anula la velocidad radial en el caso de órbitaelíptica para la energía mecánica E1. El valor r0 corresponde al radio de órbi-ta circular para la energía mecánica en el mínimo de la energía potencial totalefectiva E0 = Uefmın

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Trayectoria abierta pero limitada, después de un número finito de oscilacionesentre rmıny rmax ésta no se cierra sobre si misma. Fuente: [8] . . . . . . . . 13

2.4 Representación de la degeneración orbital, distintas órbitas con excentricidadesdiferentes poseen la misma energía. Fuente: [1]. . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Representación del vector constante LRL A en cuatro puntos de una órbita elíp-tica. Obsérvese que está dirigido hacia el pericentro. . . . . . . . . . . . . . 17

3.1 Representación del modelo matemático utilizado para determinar la perturbaciónδf que ejerce un planeta de masa m′ en órbita circular en torno al Sol sobre laórbita de un planeta de masa m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Índice de cuadros

2.1 Clasificación de las órbitas según valores de la excentricidad y la energía. . . . 15

3.1 Valores de la precesión del perihelio Ωext de Mercurio debida a la influenciagravitacional de cada uno de los planetas del sistema solar y la contribucióntotal de éstos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Valores de la precesión del perihelio Ω y Ωan de los planetas del sistema solardebida a la influencia gravitacional neta del resto de planetas y causada por lacorrección relativista de la fuerza gravitacional respectivamente. . . . . . . . 31

v

1 Introducción.

El contenido de estas páginas corresponde, a la memoria del Trabajo de Fín deGrado conducente a la obtención del título de Graduado en Física por la Uni-versidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). Se enmarca bajo la lineade trabajo asignada «Simetría y Conservación. Simetría y Evolución», el temaen concreto fue elegido por el profesor tutor del trabajo, y en la humilde opinióndel alumno, de quien escribe éstas líneas, no podía haber estado más acerta-do. «El Problema de Kepler. Aplicaciones del vector de Laplace-Runge-Lenzen órbitas perturbadas», tal como aparece en la portada es el tema mismo atratar, una revisión bibliográfica que el lector, que si no está versado entende-mos que al menos dispone de conocimientos de física, ya se estará haciendouna idea de qué se trata y de lo que seguramente enseguida constatará.

Está estructurada la memoria en secciones de las cuales dos de ellas cons-tituyen la espina dorsal de la misma. En la primera sección, piedra angularpara la siguiente, presentaremos a modo de repaso general y no por ello ca-rente de cierto nivel, el conocido Problema de Kepler de la mecánica celeste,construyendo el marco físico-matemático para su resolución y tratándolo des-de la perspectiva tanto de la mecánica newtoniana como desde la lagrangiana.Posteriormente definiremos el llamado vector de Laplace-Runge-Lenz o vectorLRL que surge de forma natural del mismo problema y que se conserva comoconsecuencia de la existencia de ciertas simetrías, es por tanto una integralde movimiento que nos permitirá dar también con la solución, aunque en estecaso y en opinión de un servidor, de un modo más elegante.

En la segunda sección entraremos en materia por decirlo de alguna manera,presentaremos el método de la dinámica del vector LRL, una técnica de bajocoste en cuanto a esfuerzo se refiere y que permite analizar características delas soluciones del Problema de Kepler cuando éste se ve sometido a «peque-ñas» perturbaciones, que por lo general rompen la simetría que da origen ala conservación del vector LRL. El lector pudiere pensar llegado el momento,que la frase «pequeñas» es extenuante, que le resulta redundante y repetitivaa lo largo del texto, pronto comprenderá con toda seguridad que el mantenerrigor matemático exige ciertos «vicios», sobretodo, cuando de lo que se trataes de dejar claro algo importante, como en este caso, en el que las perturba-ciones deben ser pequeñas (en su momento se dejará claro que se entiendepor pequeñas) para dar validez al método de la dinámica del vector LRL.

Por último, solo decir que aunque el propósito principal de este trabajo de finde grado resulta evidente, pretender que no lo es sería sinuoso, también esde justicia hacer constar que el tema expuesto aquí, aunque de carácter intro-ductorio, ha supuesto tal gozo intelectual al autor, que quiere dejar la puertaabierta a una futura ampliación del texto.

UNED. 6 Trabajo de Fín de Grado en Física.

2 EL PROBLEMA DE KEPLER.

2 El Problema De Kepler.

2.1 Breve Reseña Histórica.

Johannes Kepler (Weil der Stadt, Alemania, 27 de diciembre de 1571 - Ratis-bona, Alemania, 15 de noviembre de 1630), publicó las tres leyes que descri-ben el movimiento de los planetas en órbitas cerradas alrededor del Sol, lasdos primeras en su obra Astronomia Nova, cuando aún no se conocía la leyde gravitación de Newton, Isaac Newton nacería el 25 de diciembre del año1642, doce años después de la muerte de Kepler. Así pués el descubrimien-to de Kepler fue experimental, basándose en los datos sobre el movimientoplanetario que se conocían hasta el momento, en particular las observacionesy datos acumulados por el astrónomo Tycho Brahe (1546-1601), a los cualespudo acceder después de su muerte a partir de 1602. Kepler fue ayudante deBrahe, quien acumuló datos sobretodo del movimiento de Marte, a partir deéstos Kepler concluyó que ninguno de los modelos hasta entonces encajabacon los datos analizados si se recurría a órbitas circulares, afortunadamente,la órbita de Marte es lo suficientemente excéntrica, de otro modo quizás Keplerno se hubiera percatado de este hecho. Kepler sabía que no podía deberse aerrores de Brahe, ya que conocía de la precisión de éste, concluyó entoncesque las órbitas no eran circulares sino elípticas con el Sol situado en uno delos focos, rompió así con el dogma de movimientos circulares de la época en1609 con su primera ley. La segunda ley afirma que la linea que une el Sol conel planeta, barre áreas iguales en tiempos iguales. Finalmente en 1619, en suobra Harmonices mundi (La armonía del mundo) Kepler publica la tercera leyque establece la proporcionalidad entre el cuadrado del período orbital de losplanetas en torno al Sol y el cubo del semieje mayor de la elipse que describen.

Con aparición la ley de atracción de las masas como fuerza central de potencialinverso de la distancia, las tres leyes pudieron ser deducidas matemáticamen-te. Esta deducción teórica solamente pudo hacerse, evidentemente, a partir dela obra de Newton como veremos a continuación.

2.2 Tratamiento Newtoniano.

Imaginemos dos masas puntuales o esféricas, m1y m2, aisladas y sometidasmutuamente a la interacción gravitatoria. Partamos pues de la Ley de Gravi-tación Universal y de la segunda ley de Newton, la ecuación diferencial quegobierna a este sistema se escribe:

·p = µ

··r = −Gm1m2

r3r, (2.1)

donde µ = m1m2

m1+m2es la masa reducida del sistema,G es la constante de gravi-

tación universal, r es la distancia que separa a ambas masas y, r = r2 − r1 esun vector de las coordenadas espaciales rectangulares (x, y, z) dirigido haciamasa m2 sobre el segmento que une ambas masas, con r2 y r1 radiovectores


2.2 Tratamiento Newtoniano.

de posición de dichas masas relativos al centro de masas del sistema1. Deesta manera el problema de los dos cuerpos, queda formalmente reducido alde un solo cuerpo de masa µ sometido a un campo de fuerzas central de tipogravitacional .

De la centralidad de la interacción, lo que la hace invariante frente a rotaciones (la isotropía espacial), se desprende de inmediato la conservación del momentoangular, en efecto, puesto que

.r y p son paralelos y teniendo en cuenta (2.1):

·L =

d

dt[r× p] =

.r× p+r×

.p = 0 + 0 = 0. (2.2)

De manera que L es un vector constante en el tiempo, el movimiento de lasdos masas por tanto está restringido a un plano definido por los vectores r y pperpendiculares a L. En este sentido se puede escoger un sistema coordenadopolar (r, θ) sobre el plano del movimiento, e introduciendo α ≡ Gm1m2 , laecuación (2.1) se reescribe como :

µ(..r − rθ2

)= − α

r2

µ(2rθ + rθ

)= 0

, (2.3)

en donde cada ecuación se corresponde con la componente según los unitariosr y θ del sistema coordenado polar respectivamente. La segunda ecuación delsistema anterior es la derivada respecto del tiempo de lamagnitud del momentoangular como puede comprobarse, expresa por tanto su conservación cuyamagnitud es L = µr2θ = cte. Sustituyendo entonces

.

θ en función de L en laprimera ecuación, resulta:

µ

[..r −

(L

µ

)21

r3

]= − α

r2. (2.4)

Para encontrar la ecuación de las trayectorias vamos obtener una relación en-tre r y θ eliminando el tiempo de la ecuación anterior. Escribiendo:

r =dr

dθθ =

L

µr2dr

dθ= −L

µ

d

dθ

(1

r

),

..r =

d

dθ

[−L

µ

d

dθ

(1

r

)]θ = −

(L

µ

)21

r2d2

dθ2

(1

r

),

(2.5)

y sustituyendo en (2.4) resulta:

1

r2

[d2

dθ2

(1

r

)+

(1

r

)]= − µ

L2fg, (2.6)

1En todo momento en este texto se pasará por alto el movimiento del centro de masas delsistema. Nótese que éste se mueve con un movimiento rectilíneo uniforme puesto que

·pCM = 0

(se encuentra libre de fuerzas) , por lo que no resulta relevante para el estudio del problema.



donde hemos hecho fg = − αr2 .

La ecuación anterior se conoce como Fórmula de Binet para el campo gravi-tacional, multiplicándola por r2 resulta una ecuación diferencial lineal, no ho-mogénea y de coeficientes constantes para la variable dependiente 1

r , cuyasolución inmediata pude comprobarse que es:

r =κ

1 + ε cos(θ − θ0), (2.7)

en donde hemos llamado,

κ ≡ L2

µα,

ε ≡ CL2

µα,

(2.8)

con θ0 un ángulo inicial que puede escogerse convenientemente igual a cerosin perder generalidad, y donde C, es una constante de integración que seobtiene de las condiciones iniciales del problema.

-Primera Ley de Kepler:

La expresión (2.7) representa la ecuación de una cónica en coordenadaspolares centrada en uno de sus focos, esto es, representa una parábola, unahipérbola o una elipse según sea el valor de la excentricidad ε que surge delas condiciones iniciales del problema, el valor de κ se conoce como«semilatus rectum» de la cónica, geométricamente es la altura perpendicularsobre el eje de simetría mayor alzada desde cualquiera de los focos hasta lacónica. Es pues este resultado, para el caso de una trayectoria elíptica, unademostración de la Primera Ley de Kepler.

En la figura 2.1 se muestran las distintas trayectorias del problema según el va-lor de la excentricidad, en el caso elíptico, obsérvese, los dos cuerpos giran entorno a un foco de la elipse (al centro en el caso circular), centro de masas delsistema, así, supuesto quem1 ≫ m2 póngase el caso del sistema Sol-Tierra, elcentro de masas estará desplazado hacia el Sol casi por entero, describiendola tierra pues, una trayectoria elíptica con el Sol situado en uno de sus focos.


2.3 Tratamiento Lagrangiano.

Figura 2.1: Trayectorias del Problema de Kepler según el valor de la excentricidad. Fuente: [8].

-Segunda Ley de Kepler:

Escribamos la expresión del área barrida por el vector r por unidad de tiempo:

dA =

∣∣∣∣∣12 (r× dr)

∣∣∣∣∣⇒ dAdt

=

∣∣∣∣∣ 12µ (r× p)

∣∣∣∣∣ = L

2µ= cte. (2.9)

Lo que se muestra es que ésta, conocida como velocidad areolar, es constantecomo consecuencia de la conservación del momento angular L. Se obtiene así,de un modo simple y natural, la Segunda Ley de Kepler. La Tierra entonces,y todos los demás planetas, barren en su trayectoria en torno al Sol, áreasiguales en tiempos iguales.

Dejaremos la Tercera Ley de Kepler para el apartado siguiente donde tratare-mos el problema desde el punto de vista de la Mecánica Lagrangiana y estu-diaremos energéticamente el sistema, lo dejaremos no por necesidad sino másbien por pura elección ya que ambas perspectivas, Lagrangiana y Newtoniana,conducen como no podía ser de otro modo a los mismos resultados.


El Lagrangiano de nuestro sistema de un «cuerpo equivalente» bajo un campocentral de tipo gravitacional, en coordenadas polares sobre el plano del movi-



miento, resulta de inmediato ser:

L =T − U =1

2µ

(.r2+ r2

·θ2)+

α

r. (2.10)

Visto que la coordenadas θ es cíclica en el lagrangiano, el momento conjugadocorrespondiente pθ = dL

d·θ

= µr2θ o momento angular, se conserva como yasabíamos. Por lo que introduciendo (2.10) en la ecuación de Euler-Lagrangepara la coordenada r , resulta después de expresar

.

θ en términos de L:

d

dt

(∂L∂r

)− ∂L

∂r= µ

[..r −

(L

µ

)21

r3

]+

α

r2= 0, (2.11)

que es la misma ecuación (2.4) obtenida en el apartado anterior. Al igual queallí hicimos, repitiendo los mismos pasos para llegar a la Fórmula de Binet (2.5), se obtiene sin más la ecuación de las trayectorias del problema. Cónicascomo ya vimos entonces.

Veamos ahora el Hamiltoniano del sistema, sabemos que se corresponde conla energía mecánica del sistema2:

E = H =1

2µ(

.r2+ r2

.

θ2)− α

r=

1

2µ

.r2+

1

2

L2

µr2− α

r, (2.12)

es fácil ver que en efecto es otra constante de movimiento pues de las Ecua-ciones Canónicas de Hamilton se tiene sin más que:

dHdt

= −∂L∂t

= 0, (2.13)

debido pues a que el Lagrangiano es explícitamente independiente del tiempo.Se conserva entonces la energía en este sistema como consecuencia de lahogeneidad del tiempo.

Fijémonos ahora en los dos últimos términos de la energía, éstos pueden re-cogerse en una única energía potencial, es nombrada energía potencial totalefectiva Uef , de modo que así, el problema quede reducido a uno unidimen-sional de la variable r. Puede entonces expresarse la energía como:

E =1

2µ

.r2+ Uef ⇒ Uef =

1

2

L2

µr2− α

r. (2.14)

Donde el último sumando de la energía potencial total efectiva corresponde alpotencial gravitacional, y el primero, es tradicionalmente conocido como ener-gía potencial centrífuga, dado que, teniendo éste dimensiones de energía, sise asocia a una energía potencial, su gradiente resulta:

2Esto es cierto siempre que la energía potencial sea independiente de la velocidad y, las trans-formaciones de coordenadas a las generalizadas no contengan explícitamente al tiempo. Refiérasepor ejemplo a [8],[4] para mayor información.



−∇r

(1

2

L2

µr2

)= − d

dr

(1

2µr2

.

θ2)

= µr.

θ2= Fc, (2.15)

es decir, se obtiene la expresión que históricamente es conocida como fuerzacentrífuga Fc.3

Figura 2.2: Energía potencial total efectiva (curva en negro) como suma de las energías poten-ciales centrífuga y gravitacional (curvas en gris). Las energías E0 a E3 corresponden a distintastrayectorias cónicas, circular, elíptica, parabólica e hiperbólica respectivamente. Los valores rmınyrmax (pericentro y apocentro) corresponden a los puntos en que se anula la velocidad radial enel caso de órbita elíptica para la energía mecánica E1. El valor r0 corresponde al radio de órbitacircular para la energía mecánica en el mínimo de la energía potencial total efectiva E0 = Uefmın

.

Pasemos ya a obtener por medio de la energía o Hamiltoniano del sistema laecuación de las trayectorias. Despejando .

r de (2.12) tenemos:

.r = +

√2

µ(E − U)− L2

µ2r2, (2.16)

donde por conveniencia se ha puesto la energía potencial gravitacional comoun potencial central U = U (r) de un modo más general. Escribiendo además:

dθ =dθ

dt

dt

drdr =

.

θ.rdr, (2.17)

3Debe recordar el lector que la fuerza centrífuga no es una fuerza de origen real, es una fuer-za de las llamadas ficticias, por lo que debe entenderse ésta y su energía potencial asociada,meramente como un artefacto matemático.



e introduciendo (2.16) en (2.17), y poniendo.

θ en función de L, después deoperar se obtiene:

θ − θ0 =

ˆ Lr2√

2µ(E − U − L2

2µr2

)dr. (2.18)

La integral anterior nos da la variación angular en función de r . Es interesantenotar de (2.16) que la velocidad radial .

r se anula en general para dos valoresde r, lo que implica que r oscila entre un rmIn y un rmax, valores conocidoscomo pericentro y apocentro respectivamente, vease la figura 2.2. Asi pues,la trayectoria está confinada entre estos dos valores, sin embargo, sólo se-rá cerrada si la variación angular en la integral anterior, evaluada entre dosmáximos o dos mínimos consecutivos es una fracción racional p/q de 2π , enefecto, puesto que así después de un número entero q de períodos, la posiciónde r = r (θ) volverá a ser la inicial. Para ciertas combinaciones de E,U, y L,(2.16) presentará una raíz doble, en tal caso, el valor de r se mantendrá cons-tante en el tiempo y el sistema presentará una situación de equilibrio establecon energía mínima E0 = Uefmın

, es el caso éste el de órbita circular de radior0.

La figura 2.3 siguiente muestra el caso de una trayectoria abierta, observe queen tal caso, después de un numero finito de oscilaciones entre los valores rmınyrmax, la órbita no se cierra. Un resultado importante, el Teorema de Bertrand,muestra que para potenciales centrales U ∝ rn+1, sólo se producirán órbitascerradas para los casos n = 1 y n = −2 4. El primer caso es el potencial elásti-co, el segundo corresponde justamente al caso del potencial gravitacional. Unademostración del teorema puede encontrarla en [4], Apéndice A.

Figura 2.3: Trayectoria abierta pero limitada, después de un número finito de oscilaciones entrermıny rmax ésta no se cierra sobre si misma. Fuente: [8]

Volviendo a la integral (2.18), escrita para el potencial gravitacional,

4Ciertos valores fraccionarios de n conducen también a órbitas cerradas, sin embrago, estoscasos no son de gran interés físico.



θ − θ0 =

ˆ Lr2√

2µ(E + α

r − L2

2µr2

)dr, (2.19)

resulta de fácil solución mediante el cambio u ≡ 1r , lo que conduce a la expre-

sión:

θ − θ0 = arccos

L2

µαr − 1√1 + 2EL2

µα2

, (2.20)

y que después de definir:

κ ≡ L2

µα,

ε ≡

√1 +

2EL2

µα2,

(2.21)

nos permite escribirla en la forma:

κ

r= 1 + ε cos(θ − θ0), (2.22)

que se corresponde pues con la ecuación de las trayectorias cónicas ya obte-nidas anteriormente mediante la segunda ley de Newton ( en la página 7). Eneste caso además, hemos podido escribir la excentricidad ε de tales cónicasen términos de la energía E del sistema y de la magnitud del momento angularL del mismo.

Teniendo ahora en cuenta que para una órbita elíptica, de (2.22) haciendo θ−θ0 = 0 e igual a π respectivamente, resulta el semieje mayor a,

rmın + rmax =κ

1 + ε+

κ

1− ε⇒

⇒ a =κ

1− ε2

(2.23)

y que junto con las dos expresiones de (2.21) se tiene que:

E =α

2κ

(ε2 − 1

)= − α

2a, (2.24)

resulta finalmente que la energía puede determinarse mediante el parámetroorbital a, esto es, mediante el semieje mayor de la elipse.

Lo anterior expresa la llamada degeneración orbital, es decir, dado que la ener-gía depende sólo del semieje mayor a, distintas órbitas, con distintas excen-tricidades, pueden corresponder al mismo valor de la energía. Obsérvese lafigura a continuación.



Figura 2.4: Representación de la degeneración orbital, distintas órbitas con excentricidadesdiferentes poseen la misma energía. Fuente: [1].

El cuadro siguiente muestra la clasificación de las órbitas, la cónica resultantesegún el valor de la excentricidad y de la energía.

Excentricidad (ε): Energía (E): Trayectoria:ε > 1 E > 0 Hipérbolaε = 1 E = 0 Parábola

0 < ε < 1 Uefmın< E < 0 Elipse

ε = 0 E = UefmınCírculo

Cuadro 2.1: Clasificación de las órbitas según valores de la excentricidad y la energía.

-Tercera Ley de Kepler:

De la Segunda Ley de Kepler (2.9), podemos escribir:

ˆ T

0

dt =2µ

L

ˆ A

0

dA ⇒ T =2µ

LA, (2.25)

siendo T el período orbital. Teniendo en cuenta la expresión para el área deuna elipse, resulta:

T =2µ

Lπab, (2.26)

con a y b los semiejes mayor y menor de la elipse respectivamente.

Finalmente, elevando al cuadrado la relación anterior, poniendoL2 = µαa(1− ε2

)de la primera de (2.21) y de (2.23), y sabiendo que para una elipse es b2 =a2(1− ε2

), queda:

T 2 =4π2µ

αa3. (2.27)


2.4 El Vector de Laplace-Runge-Lenz. (LRL).

La relación anterior expresa la Tercera Ley de Kepler, el cuadrado del períodoorbital es proporcional al cubo del semieje mayor de la trayectoria elíptica; sinembargo, téngase en cuenta que aquí aparece la masa reducida, por lo que laexpresión se refiere al problema equivalente de un cuerpo. Si en cambio hace-mosm1 ≫ m2 , como hicimos ya en la sección anterior, recordemos el sistemaSol-Tierra, entonces será µ ≃ m2 y puesto que es α ≡ Gm1m2, tenemos:

T 2 =4π2

Gm1a3, (2.28)

que sí es la relación enunciada por Kepler en 1619.


En el Problema de Kepler, aparece, además de las cantidades conservadas yavistas antes, a saber, la energía y el momento angular E y L respectivamente,una nueva cantidad conservada que surge en conexión con la clausura o cie-rre de las órbitas keplerianas y con la degeneración orbital, consecuencia enbuena parte de las particularidades y simetrías del potencial gravitacional, másconcrétamente las llamadas simetrías ocultas, transformaciones de las coor-denadas y los momentos que conducen a un grupo de rotaciones SO4 de unespacio euclidiano cuadridimensional5. Esta constante es un vector. Veámoslo,en efecto recordando que:

.p = −α

rr3

y L = r× µ·r, (2.29)

hagamos el producto vectorial de.p con L,

.p× L = −µα

r3[r×

(r×

.r)]

, (2.30)

desarrollando el triple producto vectorial entre corchetes, puede ponerse como:

.p× L = −µα

r3[r(r ·

.r)− r2

.r]

(2.31)

Ahora bien, dado que r ·.r = r

.r la expresión anterior, después de operar, queda:

.p× L = µα

( .rr−

.rrr2

)= µα

d

dt

( rr

), (2.32)

y finalmente, teniendo en cuenta que.

L = 0 (el momento angular se conserva),resulta que:

5Esta insólita aparición de un espacio cuadridimensional es algo llamativa y debe ser asumidamás como un artefacto matemático que como una propiedad físicamente tangible.



d

dt

(p× L− µαr

)= 0 ⇒ A ≡ p× L− µαr = cte (2.33)

Tal vector A es como hemos dicho una nueva constante de movimiento. Losfísicos han llamado a este vector, vector de Runge-Lenz, o más correctamente,vector de Laplace-Runge-Lenz o simplemente por siglas vector LRL.

Es inmediato comprobar que A · L = 0, lo que demuestra que el vector LRL seencuentra situado sobre el plano orbital. Para conocer su dirección, hagamosahora el producto escalar de A con r:

A · r = Ar cos θ = (p× L) · r− µαr · r = (r× p) · L− µαr = L2 − µαr, (2.34)

esto es,

r =

L2

µα

1 + Aµα cos θ

. (2.35)

Comparando la ecuación anterior con la ecuación (2.7), y teniendo en cuentaque allí puede hacerse θ0 = 0 convenientemente sin perder generalidad, tene-mos pues la ecuación de las trayectorias del Problema de Kepler sin más. Esasí éste otro modo de obtener los resultados anteriores, vemos que el vectorfijo LRL forma el mismo ángulo θ con r que éste último con el eje polar, estáentonces en dirección apsidal, y además, comparando nuevamente (2.35) con(2.7), se ve claramente que:

A = µαε ; A = µαεx, (2.36)

donde x es el vector unitario en la dirección del eje polar (dirección apsidal)hacia el pericentro. El módulo de A por tanto es proporcional a la excentricidadde la órbita.

Figura 2.5: Representación del vector constan-te LRL A en cuatro puntos de una órbita elíptica.Obsérvese que está dirigido hacia el pericentro.

Constituyen así, las componentes deA y L , más la energía E, siete cons-tantes de movimiento inmersas en elProblema de Kepler, debidas claro,como se ha advertido, a simetríaspresentes en el problema. Sin em-bargo, no son todas ellas indepen-dientes, para verlo, basta comparar(2.36) con la segunda expresión de(2.21) y después reordenar términospara llegar sin dificultad a la relación:

A2

µ2α2= 1 +

2EL2

µα2, (2.37)



que junto con A · L = 0 forma un sistema de dos ecuaciones con siete incógni-tas, lo que nos dice que el vector LRL no es independiente, depende de otrasdos constantes, E y L, siendo por tanto al final cinco las constantes de movi-miento verdaderamente independientes.

La existencia de esta constante de movimiento adicional fue demostrada porLaplace en su curso de Mécanique Céleste publicado en 1799. Posteriormen-te y de forma totalmente independiente, por Hamilton en 1845. Sin embargo,a pesar de estos descubrimientos y redescubrimientos, la existencia de estevector permaneció bastante ignorada hasta que Carl Runge lo popularizó enun curso de Análisis Vectorial publicado en 1919. Finalmente Wilhelm Lenz loutilizó en 1924 en el estudio cuántico del átomo de hidrógeno.


3 APLICACIONES DEL VECTOR LRL EN ÓRBITAS PERTURBADAS.

3 Aplicaciones del vector LRL en órbitas pertur-badas.

3.1 La perturbación orbital. Dinámica del vector LRL

Nuestro propósito ahora se centrará en estudiar los efectos que sobre las tra-yectorias orbitales del Problema de Kepler produce una perturbación añadida.Por perturbación, o más exactamente por pequeña perturbación, entendere-mos una fuerza δf que sumada a la fuerza gravitacional, modifique ligeramentela trayectoria original del problema no perturbado, esto último es debido, co-mo es de suponer, a que de un modo general las soluciones analíticas a lasecuaciones del problema perturbado sólo son posibles en algunos casos, yconducen en general a trayectorias que en poco o nada tienen que ver con lascónicas de Kepler estudiadas, así pues, la perturbación ha de ser lo suficiente-mente pequeña en comparación con la fuerza gravitacional (en el mínimo de laenergía potencial total efectiva), una pequeña perturbación pues, de modo quemediante los métodos perturbativos podamos asegurar que las soluciones vana ser cercanas a las del problema sin perturbar, para ésto basta con imponer ala fuerza perturbatriz la condición δf ≪ α/r20, donde r0 es como sabemos el ra-dio de órbita circular estable correspondiente al mínimo de la energía potencialtotal efectiva del problema sin perturbar.

Acabamos de comentar que en general, las soluciones analíticas al Proble-ma de Kepler perturbado no siempre son posibles, teniéndose que recurrir portanto a los métodos perturbativos, sin embargo, y por poner un ejemplo, en elcaso de una perturbación central de la forma δf = −λ/r3 , con λ una constantepositiva (véase el Apéndice A), se obtiene una ecuación diferencial lineal no ho-mogénea de coeficientes constantes al introducirla en la Fórmula de Binet (2.6),las soluciones analíticas de dicha ecuación resultan ser trayectorias espirales,pero cuando el valor de λ es suficientemente pequeño resultan cónicas cuyopericentro se desplaza con el tiempo. Dicho desplazamiento del pericentro esconocido usualmente como precesión del perihelio (pericentro con referenciaal Sol) o avance del perihelio, y en el caso de una trayectoria elíptica por ejem-plo, es como si el perihelio girase poco a poco como se aprecia en la figura2.3, tal efecto sobre las órbitas es la modificación que introduce la pequeñaperturbación en la solución del problema no perturbado.

Mediante el método de aproximaciones sucesivas de Picard por ejemplo, pue-de abordarse la resolución de la Fórmula de Binet bajo una pequeña perturba-ción cuando no es posible su resolución analítica, en ese caso se procede asuponer como solución, en primer orden de aproximación, la del problema noperturbado, que posteriormente se va corrigiendo en órdenes de aproximaciónsuperior mediante iteraciones sucesivas, así hasta obtener la exactitud desea-da. Por tanto, se van añadiendo a la solución sin perturbar, correcciones en lasque aparecen términos seculares responsables de efectos sobre las cónicascomo el comentado en el párrafo anterior, por supuesto, sobra decir que lasmodificaciones en las trayectorias no siempre resultarán en una pecesión delperihelio, esto dependerá en general de la forma matemática de la perturba-ción, pudiendo no manifestarse precesión alguna y sí presentarse o no otrasalteraciones.



En este epígrafe y en los siguientes mostraremos un método que resulta bas-tante económico a la hora de evaluar los efectos que sobre las órbitas aparecenal introducir una pequeña perturbación al Problema de Kepler. Dado que co-mo hemos visto, el vector LRL en el problema no perturbado está en direcciónapsidal, y su módulo es proporcional a la excentricidad de las orbitas, analizarentonces las variaciones en la trayectoria, como la precesión del perihelio oalteraciones en la excentricidad, se traduce esencialmente en obtener la tasade variación temporal del vector LRL bajo la perturbación, pues si gira el pe-rihelio con el tiempo , gira con el tiempo el vector LRL, y si varía en el tiempola excentricidad, lo hará igualmente el módulo del LRL.

Por simplicidad, en adelante supondremos que tratamos con un centro de fuer-zas de masa M en torno al cual gira en órbita elíptica un cuerpo de masa mde manera que sea M ≫ m , así α ≡ GMm y la aproximación µ ≃ m quedajustificada; en ningún modo el no hacer esto supone mayor dificultad, pero lasaplicaciones que aquí van a se expuestas sugieren hacer esta simplificaciónpor comodidad.

Empecemos ya escribiendo la Segunda Ley de Newton para el cuerpo demasam del Problema de Kepler con una perturbación general añadida y la derivadatemporal del momento angular del sistema bajo dicha perturbación, tenemospues:

.p = − α

r2r+ δf ;

·L = r×

·p = r× δf. (3.1)

Recordando los pasos del epígrafe anterior al definir el vector LRL, expresiones(2.29) a (2.35), haciendo uso ahora de las dos expresiones anteriores, resultaque es:

.p× L = mα

d

dt

( rr

)+ δf× L y p×

·L = p× (r× δf), (3.2)

donde en la primera expresión se ha hecho uso de (2.32) con µ ≃ m. Sumandolas dos relaciones anteriores tenemos:

.p× L+ p×

·L = mα

ddt

( rr

)+ δf× L+p× (r× δf), (3.3)

y finalmente queda:

.p× L+ p×

·L−mα

ddt

( rr

)=

d

dt

(p× L−mαr

)

=·A = δf× L+p× (r× δf).

(3.4)

La expresión anterior no es más que la derivada temporal del vector A, la evo-lución temporal del vector LRL bajo una perturbación general.



Es importante interpretar correctamente (3.4), el vector A que ahí varía conel tiempo se corresponde con el vector LRL del Problema de Kepler, esto es,el vector de Laplace-Runge-Lenz del problema en ausencia de perturbaciónalguna tal y como fue definido en la sección 2.4. Allí demostramos que tal vectorconstituye una constante de movimiento más, que se mantiene en direcciónapsidal de la órbita elíptica y que sumagnitud es proporcional a la excentricidadde la misma, pero en general, las órbitas del problema perturbado no presentaun vector similar, y por tanto (3.4) tal cual, no da información de interés a cercade las características de las órbitas del problema con perturbación.

Para aclarar las ideas, que desde luego pueden ser confusas, supongamosuna perturbación central sobre el Problema de Kepler de la forma δf = − β

r2 r,en la que β es una constante positiva tal que se verifica el criterio de pequeñaperturbación δf ≪ α/r20. La fuerza neta ejercida sobre la masa m es entonces:

F = − α

r2r− β

r2r = −α

′

r2r (3.5)

Nótese que por la particularidad de la perturbación; ésta no ha hecho más quecambiar la constante α del Problema de Kepler no perturbado por la nuevaconstante α

′= α + β, las soluciones analíticas del problema resultan ser las

misma; cónicas, se conserva entonces la energía y, de (2.10) se desprende deinmediato que el momento angular queda conservado también, dirigido segúnel unitario z perpendicular al plano del movimiento y tal que L = mr2

·θz como

allí mostramos. Ahora bien, la sustitución de la fuerza perturbatriz δf en (3.4)conduce a:

·A = − β

r2r×mr2

·θz = β

Lr2

θ = βLr2(−sen θ x+ cos θ y

)= 0, (3.6)

es decir, el vector LRL A del problema en cuestión no es una constante demovimiento, indica la existencia de una variación temporal de los ápsides en laórbita, lo cual resulta contradictorio a la vista de la equivalencia de las solucio-nes del problema con las del problema sin perturbar. Lo que está sucediendoaquí es que el vector LRL al que se refiere (3.6) es el vector A ≡ p× L−mαrdel problema no perturbado definido en (2.4), y es evidente que en este casoes el vector redefinido A′ ≡ p× L − mα

′ r quien cumple las propiedades deA del problema en ausencia de perturbación y no la cantidad A de la expre-sión anterior , por supuesto, esta redefinición es sólo posible siempre que laperturbación no quiebre las simetrías del Problema de Kepler como en este ca-so. Dicho ésto, la expresión (3.6) no es incorrecta en si misma, pero tampocoinforma de nada en especial.

Volvamos a la cantidad A ≡ p× L −mαr, por definición, independientementede la constante α y de los vectores p y L = r× p con que se construye, esun vector siempre situado sobre el plano definido por los vectores r y p , portanto se encuentra también siempre sobre el plano de las órbitas del proble-ma perturbado anterior. Recordando ahora que para una función del tiempof (r (t) , θ (t))) su promedio en un intervalo temporal t es:



⟨f (r (t) , θ (t))⟩ = 1

t

ˆ t+t

t

f (r (τ) , θ (τ)) dτ, (3.7)

que si además f es periódica en el tiempo con período T , es entonces:

⟨f (r (t) , θ (t))⟩ = 1

T

ˆ t+T

t

f (r (τ) , θ (τ)) dτ =1

T

ˆ T

0

f (r (t) , θ (t)) dt, (3.8)

luego, cambiando el período temporal T a período angular de 2π rads. sabiendoque es L = mr2

·θconstante en el Problema de Kepler no perturbado, nos es

conveniente reescribir la integral anterior en la forma:

⟨f (r (t) , θ (t))⟩ = 1

T

ˆ T

0

f (r (t) , θ (t)) dt =1

T

ˆ 2π

0

f (r (θ) , θ)

[dθ

dt

]−1

dθ

=m

TL

ˆ 2π

0

r2f (r (θ) , θ) dθ.

(3.9)

Con esto, finalmente tomemos (3.6) en promedio en un período ángular, y vea-mos que

⟨·A⟩

=mβ

T

ˆ 2π

0

(−sen θ x+ cos θ y

)dθ = 0. (3.10)

Resultado que indica que aunque el vector LRL del Problema de Kepler va-ría con el tiempo bajo la perturbación δf = − β

r2 r, en un período sus efectos enpromedio se anulan, y por tanto las soluciones no presentan diferencias enpromedio respecto de las soluciones en ausencia de perturbación, no hay va-riaciones apsidales netas, en coherencia con lo que cabía esperar y que yasabiamos de las soluciones analíticas.

Por tanto, en las aplicaciones tomaremos (3.4) en promedio y tendremos:

⟨·A⟩

= ⟨δf× L⟩+ ⟨p× (r× δf)⟩ , (3.11)

que es la evolución temporal media del vector LRL.

El uso de la dinámica del vector LRL en media temporal, en las aplicaciones aproblemas perturbados, es de suma importancia para obtener información deutilidad sobre las características de las soluciones y requiere de una correctainterpretación de (3.4). En [10] por ejemplo, queda de manifiesto un uso inco-rrecto del vector LRL al omitir el uso de medias temporales, tal como exponenlos autores allí, esto conduce a la pérdida de términos que, en el mejor de loscasos debido a las peculiaridades de cada perturbación , puede llegarse a solu-ciones correctas quedando inadvertida la situación, pero que de forma generalacarreará resultados equivocados respecto de la información que se pretendeobtener.



3.2 Precesión anómala del perihelio de Mercurio. La correc-ción relativista.

Al igual que el resto de los planetas de nuestro sistemas solar en mayor o me-nor medida, Mercurio, el primero y más pequeño de ellos, exhibe en su órbitauna precesión del perihelio que es debida en buena parte a la influencia gravi-tacional del resto de los planetas que orbitan el Sol , influencia que añade unaperturbación cuyo efecto, como veremos en el próximo epígrafe, es precisa-mente el de la precesión.

Fué el astrónomo y matemático francés Le Verrier (1811-1877), codescubridorde Neptuno en 1846, el primero en anunciar en 1859 una anomalía en el avan-ce del perihelio de Mercurio, calculó un desfase de 38′′ por siglo respecto delavance debido a la influencia gravitacional del resto de planetas. Le Verrier,como explicación del hallazgo, propuso la existencia de un cinturón o anillo demateria entre el Sol y Mercurio parecido al cinturón de asteroides entre Martey Júpiter, Ese mismo año un astrónomo amateur llamado Leecarbault, afirmóque llevaba tiempo observando un planeta pequeño en transitó por el Sol alque llamó Vulcano, la Real Sociedad Astronómica de Londres anunció a bom-bo y platillo entonces, que Vulcano era la explicación correcta de la presesiónanómala del perihelio de Mercurio. Todos estos argumentos fueron descarta-dos uno a uno, incluso se pensó en el achatamiento de los polos solares comoposible respuesta.

En en 1894 el astrónomo Asaph Hall (1829-1907) propuso alterar la Ley de laGravitación Universal de Newton, la ley del inverso del cuadrado de la distan-cia, añadiendo un término inverso del cubo de la distancia multiplicado por unaconstante que ajustó para que diera cuenta de la anomalía observada en Mer-curio. En 1895 Newcomb (1805-1909) publicó un trabajo sobre el movimientode los planetas rocosos del sistema solar en el que observó anomalías simila-res a las del perihelio de Mercurio en todos los planetas rocosos, incluso en laLuna aunque mucho más pequeñas. La nueva ley de Hall no daba cuenta deestas otras anomalías. Newcomb demostró que la nueva ley de gravitación deHall no era la respuesta correcta, pero puso en el candelero la posibilidad deque una nueva ley de gravitación pudiera ser la clave.

La idea de modificar la Ley de Gravitacion Universal se enmarca en el con-texto de las nuevas teorías de la gravedad que se volvieron muy populares afinales del siglo XIX, Muchos fueron los esfuerzos y muchos los impulsores deestas teorías que no terminaban por dar una explicación correcta de la anoma-lía, cuantitatívamente algunas de ellas daban cuenta de tan sólo una fraccióndel desfase observado y otras, no explicaban de modo general la anomalíaobservada en el resto de planetas.

La solución fue obtenida por primera vez gracias a la teoría de la gravedad deun físico alemán casi desconocido, el maestro de escuela Paul Gerber (1854-1909), publicada en 1898, la derivación era bastante poco clara y años mástarde se encontró que contenía errores (susceptibles de ser corregidos), aúnasí, obtuvo la fórmula correcta. Su idea consistía en aplicar una teoría de po-tenciales retardados similar a la utilizada en electrodinámica bajo la hipótesisde que la gravedad se propaga a una velocidad finita, que Gerber calculó que


3.2 Precesión anómala del perihelio de Mercurio. La corrección relativista.

coincidía con la velocidad de la luz c en el vacío, puede leerse en [3] una articu-lo que desarrolla esta idea. Gerber propuso entonces un potencial gravitacionalmodificado en la forma:

V(r,

.r)= −GM

r

1(1−

.rc

)2 , (3.12)

que como se aprecia depende no sólo de r sino también de la velocidad radial.r , por lo que la fuerza derivada de tal potencial es, aplicando la ecuación deEuler-Lagrange :

d

dt

[∂

∂.r

(1

2m

.r2)]

= m

[d

dt

(∂V

∂.r

)− ∂V

∂r

]⇒

⇒ f = −GMm

r2

(1−

.r

c

)−4[6r

..r

c2− 2

.r

c

(1−

.r

c

)+

(1−

.r

c

)2].

(3.13)

que deesarrollada en serie de potencias de .r/c, puede escribirse como:

f = −GMm

r2

(1− 3

.r2

c2+

6r..r

c2− 8

.r3

c3+

24r.r..r

c3− . . .

);

∣∣∣∣ .rc∣∣∣∣ < 1. (3.14)

La expresión anterior para la fuerza gravitacional, predice los valores correctos(o significativamente próximos) observados para la velocidad de precesión dela anomalía en el perihelio de Mercurio y en el resto de los planetas, en elcaso de Mercurio, observaciones actuales precisas dan unos 43′′ por siglo, sinembargo, como ya se señaló, tal solución carecía de una justificación y de unaargumentación clara y satisfactoria.

Quien puso punto y final al asunto, fue Albert Einstein en 1915 con sus teo-rías de la Relatividad Especial y General. De ellas se desprende un términoperturbativo de corrección a la fuerza gravitacional de la forma:

δf = −3β

r4r, (3.15)

con β ≡ GML2

mc2 , una constante. La mitad de la expresión anterior puede serexplicada desde el punto de vista de la teoría Especial de la Relatividad, (1/3)debida a la dilatación del tiempo y (1/6) consecuencia de la variación de lamasacon la velocidad. El resto se explica en el marco de la teoría general y tienesu origen en la velocidad finita de propagación de la interacción gravitacional(acción a distancia).

La corrección de Gerber conduce en primer orden de aproximación al resul-tado de Einstein para la velocidad de precesión anómala del perihelio, y trasla reimpresión del artículo de Gerber en 1917, varios detractores de Einsteinle acusaron de plagio. Einstein siempre manifestó que desconocía el oscuro



trabajo de Gerber, pero que incluso habiéndolo conocido, éllo no habría influi-do a la hora de desarrollar su teoría y de afirmar que sus resultados sobre laanomalía del perihelio, confirmaban su teoría de la relatividad.

La perturbación δf (3.15) satisface el criterio exigido por los métodos perturba-tivos δf ≪ α/r20, en efecto, pues para los valores tanto de Mercurio como delresto de planetas del sistema solar, es,

3βr20αr4

=3L6

(αm2c)2r4

≪ 1 (3.16)

en donde se ha tenido en cuenta que r0, el radio de órbita circular de mínimaenergía potencial efectiva del Problema de Kepler, de (2.22) y de la primera de(2.21), es,

r0 = κ ≡ L2

µα≃ L2

mα. (3.17)

y r = r (θ), la ecuación de las trayectorias orbitales del Problema de Kepler sinperturbación alguna. Por tanto, siguiendo la manera de operar en los métodosperturbativos, empleando ésta ecuación como solución en primera aproxima-ción al problema perturbado, esto es, empleando

r =κ

1 + ε cos θ, (3.18)

podemos aplicar la evolución temporal media del vector LRL (3.11) a la pertur-bación teniendo en cuenta además que, por ser ésta de tipo central, tenemosen este caso que ⟨p× (r× δf)⟩ = 0 , luego es:

⟨·A⟩

= ⟨δf× L⟩ = 3βL×⟨

rr4

⟩= 3β

⟨cos θr4

⟩L× x, (3.19)

donde se ha tenido en cuenta la constancia de L en la órbita no perturbada yque, debido a la simetría de la misma,

⟨rr4

⟩=

⟨cos θ x+ sen θ y

r4

⟩=

⟨cosθ xr4

⟩, (3.20)

siendo los vectores x e y , los unitarios en la dirección positiva del eje polar yperpendicular a éste en sentido positivo respectivamente.

Calculando el promedio en (3.20) mediante (3.9), resulta entonces,

⟨·A⟩

= 3β

⟨cos θ

r4

⟩L× x =

3βm

TL

[ˆ 2π

0

cos θr2

dθ

]L× x. (3.21)

Resolviendo la última integral, sustituyendo antes la solución en primer ordende aproximación (3.18),


3.2 Precesión anómala del perihelio de Mercurio. La corrección relativista.

ˆ 2π

0

cos θ

r2dθ =

1

κ2

ˆ 2π

0

cos θ (1 + ε cos θ)2 dθ =1

κ2

ˆ 2π

0

2ε cos2 θdθ

=2πε

κ2,

(3.22)

resultado que llevado a (3.21) y, recordando que según (2.23) es el semilatusrectum κ = a

(1− ε2

), queda:⟨

·A⟩

=6πβmε

Ta2 (1− ε2)2

LL× x. (3.23)

Convenientemente la expresión anterior puede reescribirse sustituyendo β ≡GML2

mc2 , junto con el hecho de que de la primera relación de (2.21) y de la expre-sión de κ anterior se deduce que es L2 = mαa(1−ε2) , y finalmente teniendo encuenta que el vector LRL de la órbita no perturbada es según (2.37) A = mαεx,⟨

·A⟩

=6πGM

c2Ta (1− ε2)L× A. (3.24)

Escrita de este modo, y comparándola con⟨·A⟩

= Ωan × A, (3.25)

resulta que por asimilación , en promedio, el vector LRL gira con velocidad an-gular Ωan , dicho de otro modo, la corrección relativista produce una precesiónΩan del perihelio, que viene dada por:

Ωan =6πGM

c2Ta (1− ϵ2). (3.26)

Relación que conM la masa del Sol ym la de Mercurio, y después de introducirel resto de parámetros orbitales del planeta, arroja el valor Ωan ≃ 43′′ por siglo,valor en destacable concordancia con el observado, que dependiendo de lafuente consultada está alrededor de los 43, 11′’ por siglo.

Se puede ver en (3.24) que el sentido de giro del perihelio es el mismo que eldel planeta en su órbita (Ωan tiene igual dirección y sentido que L). El ángulode ocurrencia entre un perihelio y el siguiente es mayor que 2π rads, por tanto,se dice que hay un atraso temporal del mismo (llega más tarde respecto de elde la órbita no perturbada), o visto de otra manera, hay un avance espacial delperihelio (está más adelante respecto de el de la órbita no perturbada).

Nótese también que el efecto será tanto más pronunciado cuanto mayor sea elsemieje mayor a y mayor sea la excentricidad ε de la órbita. Por consiguiente,Mercurio, el planeta más cercano al Sol y con la órbita más excéntrica, es el quepresenta precesión del perihelio más notoria. De otra forma, podemos decir queel desplazamiento relativista del perihelio es máximo en el caso de Mercurio,debido al hecho de que su velocidad orbital es muy alta, por lo que el parámetrorelativista v/c es elevado y los efectos relativistas se ven acusados.



3.3 Precesión general del perihelio. La influencia planetaria.

Como se mencionó al principio del epígrafe anterior, aparte de la precesiónanómala debida a los efectos relativistas, la órbita de los planetas del sistemasolar manifiestan una precesión del perihelio bastante más pronunciada, quees consecuencia de la perturbación que añade la influencia gravitacional delresto de planetas orbitando en torno al Sol.

Aquí entraremos más de lleno en el problema, y como se hizo antes, usaremosla dinámica del vector LRL en media temporal para determinar la velocidad deprecesión en este caso.

Para empezar supongamos un planeta de masam que orbita al Sol cuya masaes M , y otro de masa m′ que lo hace en una órbita exterior a la del primero.El segundo planeta ejerce como es obvio una influencia gravitacional sobre elprimero que perturba su órbita, para determinar la fuerza perturbatriz δf supon-dremos por simplicidad que todas las órbitas se sitúan sobre un mismo plano yademás, todas menos la del planeta perturbado consideradas circulares; des-preciaremos también el movimiento del Sol.

Estas hipótesis si bien no son ciertas, tan solo restarán en un tanto acepta-ble exactitud a los resultados y en cambio, añadirán claridad y simplicidad almodelo matemático que siempre puede ser ampliado teniendo en cuenta lascaracterísticas reales de problema.

Figura 3.1: Representación del modelo matemático utilizado para determinar la perturbación δfque ejerce un planeta de masa m′ en órbita circular en torno al Sol sobre la órbita de un planetade masa m.

Como se desprende de la figura anterior, el modelo matemático consiste enrepresentar al planeta de masa m′ en órbita exterior a la del planeta de masam, como una distribución de masa continua de densidad lineal λm′ sobre unanillo de radio R igual al radio de su órbita circular. Con lo dicho y de la figura,es inmediato ver que el potencial gravitacional debido al anillo, en la posición ren la que se encuentra la masa m es:



V (r) = −G

˛

anillo

λm′dl

|R− r| = −Gm′

2πR

ˆ 2π

0

Rdφ√R2 + r2 − 2Rr cosφ

; (3.27)

0 < r < R , r = R,

en donde φ representa el ángulo que forman los radiovectores R y r. La integralanterior puede ser escrita de un modo más conveniente haciendo η ≡ r

R ,

V (η) = −Gm′

πR

ˆ π

0

dφ√1 + η2 − 2η cosφ

; 0 ≤ η < 1, (3.28)

en la que el intervalo de integración se ha reducido a π rads dada la simetríaangular del integrando.

La fuerza perturbatriz es pues:

δf = −m∇rV (r) = −m∂V (η)

∂η

∂η

∂rr

=Gmm′

πR2

ˆ π

0

cosφ− η

(1 + η2 − 2η cosφ)3/2dφ r ; 0 ≤ η < 1.

(3.29)

Hay quematizar quematemáticamente las integrales de parámetro η que resul-tan tanto para el potencial como para la fuerza, convergen siempre que η = ±1, pero los valores negativos de η carecen de sentido físico alguno y para laperturbación de un planeta exterior es siempre η < 1. Tales integrales estánestrechamente ligadas con las llamadas funciones elípticas de primera y se-gunda especie, de hecho pueden escribirse en términos de estas funciones,sea como fuere, por este motivo no pueden ser resueltas en términos de lasfunciones elementales siendo necesario acudir a los métodos numéricos deresolución.

La perturbación obtenida satisface el criterio de losmétodos perturbativos siem-pre que,

1

π

m′

Mη2I(η) ≪ 1, (3.30)

donde hemos llamado I(η) a la integral de parámetro η de (3.29) . Su valores positivo y se acerca a cero conforme η también lo hace, esto es, cuandoR → ∞ , puesto que es R > r en nuestro caso siendo además m′ ≪ M , larelación anterior se satisface.

Al igual que hicimos en el epígrafe anterior, puesto que en este caso tambiénla perturbación es central, usando (3.11) tal como allí, con la ecuación de lastrayectorias orbitales r (θ) (3.18) del Problema de Kepler no perturbado comoprimer orden de aproximación, resulta:



⟨·A⟩

= ⟨δf× L⟩ = Gmm′

πR2

⟨I(η)r× L

⟩=Gmm′

πR2

⟨I(η)r

⟩× L

= −Gmm′L

πR2⟨I(η)cos θ⟩ L× x = −Gm2m′

πTR2

ˆ 2π

0

r2I(η)cos θ dθ L× x

= −Gm2m′

πTR2

ˆ 2π

0

I(η)κ2cos θ

(1 + ε cos θ)2dθ L× x

= − m′κ2

πTR2Mε

ˆ 2π

0

I(η)cos θ

(1 + ε cos θ)2dθ L×mαεx

= −2m′a2

(1− ε2

)2πTR2Mε

ˆ π

0

I(η)cos θ

(1 + ε cos θ)2dθ L× A,

(3.31)

con η ≡ r(θ)R .

Se tiene entonces que para la velocidad de precesión del perihelio Ωext, delplaneta de masa m debida a la influencia gravitacional del planeta exterior demasa m′ que:

Ωext =2m′a2

(1− ε2

)2πTR2Mε

∣∣∣∣∣ˆ π

0

I(η)cos θ

(1 + ε cos θ)2dθ

∣∣∣∣∣ . (3.32)

Puede probarse que los valores de la última integral «doble» de (3.31) sonnegativos para 0 < η < 1 y 0 < ε < 1 , por lo tanto, es inmediato que elsentido de giro del perihelio es el mismo que el del planeta que orbita (Ωext

tiene igual dirección y sentido que L) siendo además la velocidad de precesiónindependiente de la masa m del propio planeta.

El cuadro siguiente contiene los valores de la precesión del perihelio Ωext deMercurio debida a la influencia gravitacional de cada uno de los planetas delsistema solar y la contribución total de éstos. Han sido obtenidos mediantecálculo numérico con la expresión anterior.



Planeta: Ωext(′′ por siglo):

Venus 292,65Tierra + Luna 95,83

Marte 2,38Júpiter 156,84Saturno 7,57Urano 0,14Neptuno 0,04TOTAL 555,45

Cuadro 3.1: Valores de la precesión del perihelio Ωext de Mercurio debida a la influencia gravi-tacional de cada uno de los planetas del sistema solar y la contribución total de éstos.

Para el caso de la perturbación generada por la influencia de un planeta interiorde masa m′ en la órbita del planeta de masa m , basta tan sólo con hacer enla figura (3.1) R < r y, siendo ahora η ≡ R

r(θ) se obtiene:

δf = −Gmm′

πR3

ˆ π

0

η3cosφ− η

(1 + η2 − 2η cosφ)3/2dφ r ; 0 ≤ η < 1, (3.33)

que con la condición,

1

π

m′

MRηI(η) ≪ 1, (3.34)

entonces resulta,

⟨·A⟩

=2m′

πTMaε (1− ε2)

ˆ π

0

I(η) (1 + ε cos θ) cos θ dθ L× A, (3.35)

y finalmente,

Ωint =2m′

πTMaε (1− ε2)

ˆ π

0

I(η) (1 + ε cos θ) cos θ dθ. (3.36)

Los valores de la integral en este caso, son positivos para 0 < η < 1 y 0 < ε < 1,por lo que como antes, el sentido de giro del perihelio es el mismo que el delplaneta que orbita (Ωint tiene igual dirección y sentido que L), manteniéndosela independencia respecto de m en la velocidad de precesión.

El cuadro siguiente muestra los valores de la precesión general del perihelio Ωneta de los planetas del sistema solar debida a la influencia gravitacional delresto de planetas, también se muestra la precesión anómala del perihelio Ωan

causada por la corrección relativista de la fuerza gravitacional. Han sido obte-nidos con las expresiones anteriores (3.32), (3.36) y (3.26), mediante cálculonumérico.



Planeta: Ω(′′ por siglo).Ωan(

′′ por siglo):Contribución neta de todos los planetas:Mercurio 555,45 43Venus 1207,59 8,5

Tierra + Luna 1280,00 3,8Marte 3358,00 1,4Júpiter 752,25 0,06Saturno 1887,43 0,01Urano 277,11 0,002Neptuno 71,99 0,0008

Cuadro 3.2: Valores de la precesión del perihelio Ω y Ωan de los planetas del sistema solardebida a la influencia gravitacional neta del resto de planetas y causada por la corrección relativistade la fuerza gravitacional respectivamente.

En el caso de Mercurio por ejemplo, un cálculo más afinado teniendo en cuentala inclinación de las órbitas de los de planetas, y el hecho de que éstas no soncirculares si no elípticas, conduce un valor en torno a 532′′ por siglo para laprecesión general . Hay que decir además, que este valor y el de la precesiónanómala, se suman a la precesión general de los equinoccios respecto de lasestrellas «fijas» que asciende a 5025, 6′′ por siglo [8] para la Tierra.

3.4 Perturbación dependiente de la velocidad. El arrastre at-mosférico.

Vamos por último a aplicar la dinámica del vector LRL al caso de una perturba-ción dependiente de la velocidad de un cuerpo en órbita Kepleriana.

Supongamos un satélite artificial en órbita baja en torno a la Tierra. Los gasesatmosféricos ejercen sobre éste una fricción, y por tanto, una resistencia almovimiento o fuerza de arrastre que es proporcional a alguna potencia de lavelocidad del satélite, dependiendo de las propiedades de tales gases, comola densidad, temperatura, viscosidad, etc, y de la propia velocidad del satéliteen órbita, la dependencia puede ser lineal o cuadrática, en cualquier caso laperturbación ejercida sobre la órbita puede escribirse como:

δf = −βvn−1v, (3.37)

donde β es una constante positiva y n un entero positivo.

Supuesto que se satisface el criterio δf ≪ α/r20 (es así para los valores usua-les) para poder aplicar (3.11) a la perturbación, en este caso puesto que laperturbación no es central, se tiene,


3.4 Perturbación dependiente de la velocidad. El arrastre atmosférico.

⟨·A⟩

= ⟨δf× L⟩+ ⟨p× (r× δf)⟩

=⟨−βvn−1v× L

⟩+⟨mv×

(r×−βvn−1v

)⟩=⟨−2βvn−1v× L

⟩.

(3.38)

Sustituyendo de (2.33) v × L = A/m+ αr en la última expresión , y teniendo encuenta que el vector A permanece constante en la órbita no perturbada, queda,

⟨·A⟩

=−2β

m

⟨vn−1

⟩A− 2βα

⟨vn−1r

⟩. (3.39)

De la simetría que exhibe el vector velocidad v en la órbita no perturbada, sededuce que:

⟨vn−1r

⟩=⟨vn−1 cos θ

⟩x, (3.40)

que junto con el hecho de que esA = mαεx, (3.39) puede escribirse finalmentecomo:

⟨·A⟩

= −Γ (ε, α, β)A, (3.41)

donde hemos definido la constante positiva:

Γ (ε, α, β) =2β

mε

⟨vn−1 (ε+ cos θ)

⟩. (3.42)

Como según (3.31), la evolución temporal promedio del vector LRL es propor-cional al mismo vector LRL, concluimos que no aparece precesión ninguna delperihelio en este caso, sin embargo, la misma expresión muestra que el módulodel vector A decrece con el tiempo, o lo que es lo mismo, el vector LRL dismi-nuye su longitud con el tiempo, y por tanto, disminuye también con el tiempo laexcentricidad ε de la órbita. La órbita elíptica va tendiendo poco a poco haciala circularidad mientras el satélite va cayendo poco a poco hacia la Tierra, vaacercándose al foco de la elipse (centro de fuerzas) como consecuencia de ladisipación energética ocasionada por la fricción atmosférica.

Si (3.42) no dependiera de la excentricidad, entonces (3.41) sería fácilmenteintegrable y en promedio A decrecería exponencialmente con el tiempo, esteno es el caso, Γ (εα, β) dependerá de ε y por tanto de A en general , luego lasolución de (3.41) no será siempre una exponencial.

Resulta interesante el caso en que n = 1, es decir, el caso en que la fuerza dearrastre atmosférica depende linealmente de la velocidad del satélite en órbita.



En este caso, puesto que como puede probarse es⟨r⟩= ⟨cos θ⟩ x = −εx 6,

(3.39) se queda en,

⟨·A⟩

=−2β

mA− 2βα

⟨r⟩=

−2β

m

(A−mαεx

)= 0 (3.43)

por lo que en el caso δf = −βv, no hay variación temporal media ningunadel vector LRL, nuestro satélite va cayendo hacia la Tierra por disipación deenergía, pero no hay precesión del perihelio y la excentricidad se mantieneconstante en todo momento .

6En efecto, por consideraciones de simetría, resulta en este caso más fácil tomar el promedio delos ápsides de la órbita 1

2

[rmın

a+

(−rmax)a

]= −ε, que acudir directamente a la expresión(3.9).


4 Notas finales.

En la primera sección, hemos dado una repaso general al Problema de Keplertratándolo tanto desde la perspectiva de la mecánica Newtoniana como des-de la Lagrangiana. Luego hemos definido el vector de Laplace-Runge-Lenz ovector LRL que se conserva, y que junto al momento angular y a la energía for-ma un conjunto de siete cantidades conservadas de las cuales sólo cinco sonindependientes. Como ya se mencionó, la aparición de esta nueva constantees consecuencia de la existencia de simetrías ocultas, de las característicasparticulares del potencial gravitacional responsables de la degeneración de lasórbitas y del hecho de que éstas sean cerradas. Hemos finalmente tratado elproblema mediante el vector LRL obteniendo la ecuación de las trayectoriasorbitales del problema en cuestión.

En la segunda sección se ha presentado un método basado en la dinámica delvector LRL, concretamente en la evolución temporal promedio del vector, paraanalizar los efectos que aparecen sobre las órbitas sometidas a una pequeñaperturbación, dado que en general la perturbación quiebra la simetría, el vectorLRL deja de ser constante y dependiendo de la perturbación misma, los efectospueden o no resultar en una precesión del perihelio o en una variación tempo-ral de la excentricidad. Un método bastante económico a la hora de estudiar elcomportamiento apsidal de las órbitas del Problema de Kepler ante pequeñaspertubaciones, y que puede ser aplicado a órbitas de cualquier excentricidad(salvo cero como es evidente) y para perturbaciones no necesariamente cen-trales como vimos en la sección 3.4.

Las aplicaciones del método no se quedan sólo en las discutidas en estas pági-nas de ningún modo. Por poner ejemplos, el achatamiento de los polos terres-tres introduce una perturbación en la órbita de un satélite artificial modeladacomo,

δf = − (1−3 cos2 γ)3ηαR2

5r4 r,

con R el radio terrestre, η = (D−d)/D una constante en la que D y d son losdiámetros ecuatorial y polar terrestres respectivamente, y γ el ángulo que formael plano orbital del satélite con el eje de rotación de la Tierra; esta perturbacióntiene la misma forma (salvo factor constante) que la perturbación tratada enla sección 3.2, allí vimos que el efecto producido es el de la precesión delperihelio, por lo que en este caso también lo es.

La presión de radiación solar ejerce sobre los planteas en sus órbitas una pe-queña fuerza central cuya magnitud es proporcional 1/r2 , aplicando el método( en este caso puede ser resuelta analíticamente la Fórmula de Binet (2.6)) sellega a que una perturbación de este tipo no produce efecto alguno sobre laforma de las órbitas.


4 NOTAS FINALES.

En [2], los autores presentan una explicación alternativa al problema de la curvade rotación de las galaxias7 sin necesidad de introducir el concepto de materiaoscura, y ésto, mediante la aplicación de la dinámica del vector LRL a unacorrección cuántica del potencial gravitacional..

El vector también aparece relacionado al campo eléctrico como cabe esperar(el potencial eléctrico tiene esencialmente la misma forma que el gravitacional),y es utilizado en el estudio de partículas cargadas en presencia de camposmagnéticos.

No sólo en el marco de la mecánica clásica tiene utilidad el método, en mecá-nica cuántica, mediante una definición adecuada del vector LRL en términosde operadores, se obtiene de un modo elegante mediante éste, el espectro deenergías del átomo de hidrógeno, y puede usarse la dinámica del vector paraanalizar los efectos de perturbaciones añadidas al potencial eléctrico en dichoátomo. Del mismo modo que en el Problema de Kepler, la aparición del vec-tor LRL en mecánica cuántica es debida a la existencia de simetrías ocultaspropias de las características del potencial eléctrico, responsables de la inde-pendencia de los niveles de energía del átomo de hidrógeno con el momentoangular (la energía de éstos sólo depende del número cuántico principal n y node los números cuánticos de momento angular l y m ), esto es , de la existen-cia de degeneración en los orbitales de un modo similar a lo que ocurre en lasórbitas del Problema de Kepler.

Podríamos escribir líneas y líneas acerca del tema, el estudio minucioso delvector de Laplace-Runge-Lenz , las simetrías implicadas y sus entresijos lle-gan hasta las entrañas mismas de la mecánica teórica con un extenso y fasci-nante bagaje matemático; ante esto, el autor siente cierta sensación de trabajoinacabado, sensación que por fortuna, la intención introductoria de estas notas,mitiga.

Antes del punto y final, sólo dar las gracias al lector por mostrar interés en eltema y por dejar parte de su valioso tiempo en la lectura y comprensión deéstas hoy por hoy preliminares y humildes anotaciones.

7Las galaxias rotan en torno a su centro galáctico con velocidad creciente conforme la materiase aleja del mismo, debido como es lógico a quemayor masa ejerce gravedad sobre los puntosmasdistanciados. Lo que se ha observado sin embargo, es que esta velocidad se hace prácticamenteconstante a partir de cierta distancia; la presencia de materia oscura en el halo galáctico podríaexplicar esta paradoja pues una contraposición de fuerzas gravitacionales podría compensarse yanular las aceleraciones de los puntos distantes de la galaxia.


A Efecto de una perturbación δf ∼ −1/r3.Resolución analítica.

Supongamos un cuerpo de masa m sometido a la interacción gravitatoria deotro de masa M con M ≫ m , de modo que sea la masa reducida del sistemade los dos cuerpos µ ≃ m. Supongamos que una fuerza pertubatriz δf afectaa la masa m tal que,

δf = − λ

r3r, (A.1)

con λ una constante positiva.

En estas condiciones, la fuerza resultante sobre m es:

f = − α

r2r− λ

r3r, (A.2)

con α ≡ GMm.

Llevando la resultante anterior a la Fórmula de Binet (2.6), resulta que :

1

r2

[d2

dθ2

(1

r

)+

(1

r

)]= −m

L2

[− α

r2− λ

r3

]

=d2

dθ2

(1

r

)+

(1

r

)=

mα

L2+

m

L2

λ

r⇒ d2

dθ2

(1

r

)+[1− m

L2λ](1

r

)=

mα

L2.

(A.3)

La ecuación diferencial anterior en este caso es lineal en la variable(1r

)y de

coeficientes constantes. Es por tanto integrable y sus soluciones son distintassegún sean los casos m

L2λ < 1 , mL2λ > 1 ó m

L2λ = 1. Veásmoslo.

- En el caso mL2λ = 1 , trivialmente es,

d2

dθ2

(1

r

)=

mα

L2⇒ 1

r=

1

2θ2 + C1θ + C2. (A.4)

Solución que corresponde a una trayectoria en espiral descendente con C1 yC2 constantes de integración que se obtienen de las condiciones iniciales delproblema.

- En el caso mL2λ > 1, tenemos,

d2

dθ2

(1

r

)−∣∣∣1− m

L2λ∣∣∣ (1

r

)=

mα

L2⇒ 1

r= C1e

θ√|1− m

L2 λ| + C2e−θ

√|1− m

L2 λ|.

(A.5)


A EFECTO DE UNA PERTURBACIÓN δF ∼ −1/R3.RESOLUCIÓN ANALÍTICA.

Solución que también en este caso corresponde a una trayectoria en espiraldescendente.

-Y por último, en el caso mL2λ < 1 , resulta,

d2

dθ2

(1

r

)+[1− m

L2λ](1

r

)= α

m

L2⇒ 1

r=

α mL2

1− mL2λ

+C cos(θ

√1− m

L2λ− θ0

).

(A.6)

Esta solución resulta más interesante que las anteriores para lo que nos ocupa, corresponde a una trayectoria cónica que describe el cuerpo de masa m conla masa M en la posición de uno de los focos (al igual que en el Problema deKepler sin perturbar), pero en este caso particular, el argumento del coseno nosindica que el pericentro de la cónica precesa, concretamente avanza espacial-mente. El ángulo θ entre dos pasos consecutivos por el pericentro, haciendoθ0 = 0 lo que no restringe la generalidad, es:

θ

√1− m

L2λ = 2π ⇒ θ =

2π√1− m

L2λ, (A.7)

y el avance espacial del pericentro ∆θ por revolución ,

∆θ = 2π

(1√

1− mL2λ

− 1

). (A.8)

Aplicando ahora el método de la dinámica del vector LRL a la perturbación δf,supuesto que como siempre para ello ha de cumplirse:

δf ≪ α

r20⇒ λL4

r3m2α3≪ 1, (A.9)

donde como ya se sabe, r0 = κ ≡ L2

µα ≃ L2

mα , es el el radio de órbita circular enel mínimo de energía potencial efectiva del Problema de Kepler sin perturbar,y r = r (θ) la ecuación de las trayectorias del Problema de Kepler también sinperturbar. Así pues,

⟨·A⟩

= ⟨δf× L⟩ = λL×⟨

rr3

⟩= λ

⟨cos θr3

⟩L× x

=λm

TLκ

[ˆ 2π

0

(1 + ε cos θ) cos θdθ]L× x =

πλmε

TLκL× x

=πλ

TκαL× A =

πmλ

TL2L× A,

(A.10)

es decir, se obtiene para el avance espacial del pericentro por revolución:


∆θ =πm

L2λ. (A.11)

Esta expresión difiere claramente de la (A.8); sin embargo, dado que se satisfa-ce (A.9) para todo r de la trayectoria orbital, más aún lo hace para el apocentrormax de la misma, que según (2.23) con κ ≡ L2

µα ≃ L2

mα , es:

rmax =L2

mα

1− ε, (A.12)

de manera que resulta,

λL4

r3maxm2α3

=m

L2λ (1− ε) <

λL4

r3m2α3≪ 1. (A.13)

Si suponemos además que (A.9) es lo suficientemente menor que uno comopara asegurar que:

m

L2λ ≪ 1, (A.14)

entonces desarrollando (A.8) en serie de potencias de mL2λ ,

∆θ = 2π

[1 +

1

2

(m

L2λ)− 3

8

(m

L2λ)2

+ . . .

]− 1

, (A.15)

serie que converge siempre que mL2λ < 1 y como además se cumple (A.14),

resulta que despreciando los términos de orden dos y mayores en la sumaanterior, es,

∆θ ≃ πm

L2λ, (A.16)

que es exactamente el resultado (A.11) para el avance espacial del pericentropor revolución al que se llega mediante la dinámica del vector LRL.


A EFECTO DE UNA PERTURBACIÓN δF ∼ −1/R3.RESOLUCIÓN ANALÍTICA.


Referencias

Referencias

[1] Farina. O vetor de laplace-runge-lenz no problema de kepler. Caderno daFísica da UEFS, 04:115–159, 2006.

[2] Farina, Kort-Kamp,Mauro, Shapiro. Dynamics of the Laplace-Runge-Lenzvector in the quantum-corrected Newton gravity. Universidad Federal deJuiz de Fora, CEP: 36036-330, MG, Brazil, 2011.

[3] Giné. On the origin of the anomalous precession of mercury’s perihelion.Chaos, Solitons & Fractals, 38:1004–1010, November 2008.

[4] Goldstein. Mecánica Clásica. Editorial Reverté, S.A., Barcelona,1987.

[5] Hand, Finch. Analitical Mechanics. Cambridge University Press, NewYork, 1998.

[6] Leach, Flessas. Generalisations of the Laplace-Runge-Lenz Vector. Jour-nal of Nonlinear Mathematical Physics, 10(3):340–423, 2003.

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[9] Martínez,Miralles,Marco,Galadí-Enríquiez. Astronomía Fundamental.PUV, Valencia,2005.

[10] McDonald,Farina,Tort. Right and Wrong Use of the Lenz Vector for Non-Newtonian Potentials. Am. J. Phys, 58:540, 1990.

[11] Rañada. Dinámica Clásica. Fondo de Cultura Económica, ed., MéxicoDF., 2005.

[12] Vucetich. Introducción a la mecánica analítica. Universidad de BuenosAiers, Buenos Aires, 2009.


el problema de kepler. aplicaciones del vector de laplace-runge-lenz en Órbitas perturbadas

Science