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TRANSFORMADAS DE LAPLACE Recopilado y publicado por: Pedro González
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Transformadas de Laplace por definición
2. Transformadas de Laplace utilizando teoremas
3. Transformadas inversas
4. Derivada de transformada
5. Teorema de convolución
6. Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales (transformada)
7. Ecuaciones integrales
8. Ecuaciones integrodiferenciales
9. Circuitos
10. Sistemas de ecuaciones diferenciales(método de la transformada)
TRANSFORMADAS DE LAPLACE POR DEFINICIÓN:
1) 1Tf
L SS
e
S
e
S
edTe
STST 1
110
00
2) TTf
L 2
00 20
1
SS
e
S
TedT
S
e
S
TedTTeT
STSTSTSTST
S
evdTedv
dTduTu
STST
3) aTeTf
L
aSaS
edTedTedTeee
aSTaSTaTSTaTSTaT
1
0000
TRANSFORMADAS DE LAPLACE UTILIZANDO TEOREMAS:
1) TTsenTf 2cos2
L TTsen 2cos2 L Tsen2 + L T2cos = 44
222
S
S
S
2) 362 TTTf
L 362 TT L 2T + 6 L T - 3 L 1 = SSS
36223
3) 1331 233 TTTTTf
L 133 23 TTT = L 3T + 3 L 2T + 3 L T + L 1 = SSSS
1366234
4) TTT eeeTf 4222 211
L TT ee 4221 = L 1 + 2 L Te2+ L Te4
= 4
1
2
21
SSS
5) TTTTTTTT eeeeeeeeTf 53355510105
L TTTTTT eeeeee 5335 510105 L Te5- 5 L Te3
+ 10 L Te - 10 L Te+ 5 Te 3
-
L Te 5=
5
1
3
5
1
10
1
10
3
5
5
1
SSSSSS
TRANSFORMADAS DE LAPLACE (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
1) TeTf T 2cos2
L Te T 2cos2 L
84
2
42
2
42cos
22
2
22
SS
S
S
S
S
ST
SSSS
2) TseneTf T 3
L TseneT 3 L 102
3
91
3
9
33
22
1
21
SSSS
TsenSS
SS
TRANSFORMADAS INVERSAS:
1)L-1
3
1
S
!2
1 L
-1
3
!2
S=
2
2
1T
2) L-1
4
1
S
!3
1 L
-1
4
!3
S=
3
6
1T
3) L-1
52
481
SS L
-1
2
1
S+ L
-1
5
48
S=
42TT
4) L-1
2
3
12
SS= L
-1
642
144
SSS=
!1
4 L
-1
2
!1
S
!3
4 L
-1
4
!3
S
!5
1 L
-1
6
!5
S=
53
120
1
3
24 TTT
5) L-1
4
31
S
S= L
-1
4
23 133
S
SSS= L
-1
432
1331
SSSS=
L-1
S
1+ 3 L
-1
2
1
S+
!2
3L
-1
3
!2
S+
!3
1L
-1
4
!3
S=
32
6
1
2
331 TTT
6) L-1 TeT
SSS
2
21
2
111
7) L-1
14
1
S= L
-1
4
1
41
41
S L
-1
41
1
S=
Te 4
1
4
1
8) L-1
25
1
S L
-1
52
51
S=
5
1L
-1
52
1
S
Te 5
2
5
1
9) L-1
49
52S
7
5L
-1
49
72S
Tsen77
5
10) L-1
16
102S
S 10 L
-1 TS
S4cos10
162
11) L-1
9
622S
S= 2 L
-1
3
6
92
S
S L
-1 TsenTS
323cos29
32
12) L-1
632
5
SSS
561218
0589
0
565128189
5326263
632
5
632
222
CBA
CBA
CBA
SSCSSBSSA
SSCSSBSSA
SSSS
C
S
B
S
A
21A , 1B y 2
1C
L-1
632
5
SSS=
2
1 L
-1
2
1
S L
-1
2
1
3
1
S L
-1
6
1
S=
TTT eee 6
2132
21
13) L-1
4
12SS
41
41
22
2
22
14
0
0
14
14
4
1
4
ABAA
C
BA
CSBSAAS
SCBSSA
SSS
CBS
S
A
L-1
4
12SS
= 4
1 L
-1
4
11
S L
-1
42S
S= T2cos
4
1
4
1
14) L-1
41
122 SS
14
04
0
0
144
114
41
1
41
2323
22
2222
DB
CA
DB
CA
DDSCSCSBBSASAS
SDCSSBAS
SSS
DCS
S
BAS
0A , 31B , 0C y 3
1D
L-1
41
122 SS
= 3
1 L
-1
2*3
1
1
12
S L
-1 TsensenT
S2
6
1
3
1
4
22
TRANSFORMADAS INVERSAS (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
1)L-1
3
2
1
S
!2
1 L
-1 T
SSSS
eTTS
22
2
2
2
3 2
1
2
1!2
2) L-1
106
12 SS
L-1
11106
12 SS
L-1
196
12 SS
L-1
13
12
S L
-1
3
2 1
1
SS
S= senTe T3
3) L-1
52
12 SS
L-1
412
12 SS
L-1
41
12
S 2
1
L-1
1
2 4
2
SS
S Tsene T 2
2
1
4) L-1
346
522 SS
S L
-1
2525346
522 SS
S L
-1
2596
522 SS
S
L-1
253
11522
S
S L
-1
253
622
S
S L
-1
253
12
S 2 L
-1
253
32
S
S
5
1 L
-1
253
52
S2 L
-1
5
1
253
2
SS
S
S L
-1
3
2 25
5
SSS
TseneTe TT 55
15cos2 33
5) L-1
32 1
12
SS
S
53223
033
023
50
1223333
121111
1
12
111
22323423234
222233
32322
BABA
EDCBA
DCBA
CACCA
SESDSDSCSCSCSBBSBSBSASASASAS
SESSDSSCSSBSAS
SS
S
S
E
S
D
S
C
S
B
S
A
1B , 4D y 3E
L-1
32 1
12
SS
S= L
-1
S
5 L
-1
2
1
S L
-1
1
5
S L
-1
!2
3
1
42
S L
-1
3
1
!2
S=
TTT eTTeeT 2
2
3455
DERIVADA DE TRANSFORMADA:
1)L TT 2cos = dS
d1 L TT 2cos =
22
22
24
241
41
S
SS
S
S
dS
d
22
2
22
2
4
4
4
41
S
S
S
s
2) L dS
dTTsenh 13 L
222229
6
9
231
9
313
S
S
S
S
SdS
dTsenh
3) L 2
222 1
dS
dsenhTT L
2222
22
1
2
1
11
S
S
dS
d
SdS
dsenhT
22
22
1
18212
S
SSSS
32
2
42
2222
1
26
1
1812
S
S
S
SSS
4) L dS
dTsenTe T 162 L
2
2
2
36
616
SS
T
SdS
dTsene
362
61
2SdS
d
222404
4261
404
61
SS
S
SSdS
d
22 404
2412
SS
S
5) L dS
dTTe T 13cos3
L
3
2
3
913cos
SS
T
S
S
dS
dTe
93
31
2S
S
dS
d
22
2
2186
6231861
186
31
SS
SSSS
SS
S
dS
d
22
22
186
181221861
SS
SSSS
22
2
186
6
SS
SS
6) L 3
333 1
dS
dsenhTeT T
L
1
23
3
1
11
SS
T
SdS
dsenhTe
11
11
23
3
SdS
d
222
2
23
3
2
2211
2
11
SS
S
dS
d
SSdS
d
42
222
2
222222221
SS
SSSSSS
dS
d
42
222
42
2222
2
222222
2
222222
SS
SSSSS
dS
d
SS
SSSSS
dS
d
62
22232
32
2
2
2223812612122
2
8126
SS
SSSSSSSS
SS
SS
dS
d
62
23
62
222
2
3610810836
2
228126312122
SS
SSS
SS
SSSSSS
TRANSFORMADAS DE LAPLACE (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
1)L aSeaTu L S
e aS
1
2) L SeTu 223 L S
e S233
3) L aTTu L aTuaaT L aTuaT L aTau
aSe L T
aSae L 1
S
ae
S
e aSaS
2
4) L SeTuT 11 L 2S
eT
S
5) L 22 Tue T L
ST eTue 22 2 L 1
2
S
ee
ST
6) L 313 TuT L 3101013 TuT L 31093 TuT
3 L 1033 TuT L 3Tu Se 33
L SeT 310 L S
e
S
e SS 3
2
3 1031
7) L 55 TuTeT L 555 5 TueT T
L 55 5 TueT T
L 55 5 TueT
Se 5 L ST eTe 55 L
1
5
1
5
2
5
S
e
S
ee
SST
8) L ST eTueT 11 13 L
43
1
6
S
eeT
ST
TRANSFORMADAS INVERSAS (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):
1)L-1
3
2
S
e S
L-1
!2
11 2
3
Se
S L
-1
2
2
1
2
1!2 2222
3TuTeTe
S
SS
222
1 2 TuT
2) L-1
2
122
S
e S
L-1
2
21 42
S
ee SS
= L-1 2
2
1
S L
-1
SeS
2
2
1
L-1
SeS
4
2
1 422 222 TueTuee TTT
422 42222 TueTuee TTT
3) L-1
1SS
e S
= L-1
Se
SS
1
1
11
11
1
1
1
BA
BSSA
SSS
B
S
A
L-1
Se
SS
1
1= L
-1
Se
S
1 L
-1 111
1 1
TueTueS
TS
4) L-1
12
2
SS
e S
L-1
Se
SS
2
2 1
1
111
0
0
1
111
1
1
1
22
2
22
CAB
BA
CA
CSBBSASAS
CSSBSAS
SSS
C
S
B
S
A
L-1
Se
SS
2
2 1
1
= L
-1
211
111 2
2TueTe
SSS
TS
2222 2 TueTuTTu T
TEOREMA DE CONVOLUCIÓN:
1)L T
odTsene
senTTg
eTf T
)(
)(
L T
odTsene
L Te L
1
1
1
12SS
senT
2) L-1
41
1
SS L
-1
1
1
S L
-1
deeeeS
TT
TT 4
0
4
4
1
deee TT
44
0
5
1
55
54
0
54
0
54T
T
T
TT
T ee
eedee
55
4TT ee
3) L-1
21
1
SS L
-1
1
1
S L
-1
deeeeS
TT
TT 2
0
2
2
1
3
1
33
32
0
32
0
3222
0
TT
T
TT
TTT e
ee
edeedeee
33
2TT ee
4) L-1
2
1
1
S L
-1
1
1
SL
-1
1
1
S=
deeee TT
TT
0
TTTT
TTT
Teededeee 000
5) L-1
22 4S
S L
-1
42S
S L
-1
TsenT
S2
2
12cos
4
12
dTsenT
022
2
12cos dTsenTsen
T
22cos2cos22cos2
1
0
TT
dTsendTsen00
2 2cos22cos2
12cos2
2
1
dTsen
T
0 2
4cos12
2
1
T
dsenT0
42
12cos
2
1
T T T
dsenTdTsendTsen0 0 0
42cos4
14cos2
4
12
4
1
T
o
T
TTsenTsenTsen 4cos
4
12cos
4
14
4
12
4
12
4
1
0
0
TTsen
TTTTTsenTTTTTsensenTTsen
24
1
2cos24cos22cos4cos2cos422161
41
161
161
161
41
ECUACIONES DIFERENCIALES CON CONDICIONES INICIALES (TRANSFORMADA):
1) 1 yy 00 y
ss yySy 0 L 1
1
111
SSy
SSy ss
11
11
1
1
1
BA
BSSA
SSS
B
S
A
Ty L-1
S
1 L
-1
TeS
1
1
1
2) Tyy 2 10 y
ss yySy 20 L T
43
41
21
222
22
2
2
2
2
2
2
2
12
02
1
122
122
2
1
2
2
11
12
121
CABB
BA
CA
SCSBBSASAS
SCSSBSAS
SS
s
S
C
S
B
S
A
SS
sy
SSy
SySy
ss
ss
41Ty L
-1 2
11
S L
-1 4
32
1
S L
-1
TeTS
2
4
3
2
1
4
1
2
1
3) TeTyyy 2344 00 y , 00 y
sss yySyySyyS 4044002 L TeT 23
64242
4
2
2
6
22
6
244
6
2
644
SSSSSSy
SySyyS
s
sss
!5
6Ty L
-1
T
SS
eTS
25
2
6 20
1!5
4) Tfyy 00 y , 15 TuTf
ss yySy 0 L 15 Tu
5,5
1
5
1
1
5
1
5
51
BASSS
B
S
A
eSSSS
ey
S
eSy
SS
s
S
s
5Ty L-1
51
Se
S L
-1
15151
1TueTue
S
TS
1515 1 TueTu T
5) Tfyy 4 00 y , 10 y , 11 TuT
ss yySyyS 4002 L 11 Tu
4
1
4
144
1
11
4
141
22
22
2
2
SSS
CBS
S
A
SS
e
SSy
S
e
SSy
S
e
SyyS
S
S
S
S
S
ss
41A , 4
1B y 0C
4
1Ty L
-1
4
11
S L
-1
4
1
42
S
S L
-1
4
11
Se
S L
-1
2
1
42
SeS
SL
-1
4
22S
TsenTuTTuT 22
1112cos
4
11
4
12cos
4
1
4
1
6) 04 yy 10 y , 00 y , 10 y , 00 y
111
1
1
1
1
0
00000
222
2
4
2
34
34
234
S
S
SS
SS
S
SSy
SSSy
ySSyS
yyySySySyS
S
S
ss
Ss
Ty L-1 T
S
Scos
12
ECUACIONES INTEGRALES:
1) TdfTTfT
0
L Tf + L dfTT
0 L T
22
22
111
1
SSSF
SS
SFSF
1
1
1 222
2
SSS
SSF Ty L
-1 senTS
1
12
2)
T
dtfsenTTf0
42
2255
2255
5
22
5
5
222
1
5
1
41
2
1
41
1
14
2
22323
2222
22
2
22
22
2
22
2
2
2
22
22
SDSCSBBSASAS
SSDCSSBSAS
SS
S
S
DCS
S
B
S
A
SS
SSF
SS
SSF
S
SSF
SSSF
SFSS
SF
58
5225
0005
2
0
DBB
CAA
DB
BA
5
2Ty L
-1
55
812
S L
-1 TsenTS
555
8
5
2
5
52
3) senTedTscdfTf T
T
4020
23
2
22
2
2
2
22
2
22
2
22
1
1
1
44
11
1
11
14
1
1
1
4
1
1
1
1
1
4
1
12
1
1
1
4
12
SS
S
SS
S
SS
SSF
SSS
SSF
SSS
SSSF
SSS
SSFSF
8,8,4
4411
1
44
111
22
3
2
32
CBA
SCSBSA
S
S
S
C
S
B
S
A
Tf L-1
1
4'
S L
-1
2
1
8
S L
-1
3
1
8
S L
-1
2
1
1
S
L1 TTTT TeeTTee 2484
ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES:
1) 1960
T
dyTydT
dy 00 y
223
1
96
196
1960
SSSS
Sy
SSSy
SS
yyySy
ss
sss
Ty L-1
TTeS
3
23
1
2) T
dysenTy0
1 00 y
2222
2
11
1
1
111
1
110
S
S
Sy
SSSSy
S
y
SSySy
ss
ss
TsenTsenTTy2
1
CIRCUITOS:
1)Determine la corriente I(T) de un circuito ¨LRC¨ en serie, cuando L = 0.005 henrios, R =1 y C = 0.02
faradios.
11100 TuTE 00 I
S
e
S
SI
S
e
SS
SSI
S
e
SS
IISI
S
e
SS
IIISI
TudIIdT
dI
TudIC
RIdT
dIL
S
s
S
s
S
sss
Ss
ss
T
o
T
o
120000
100120000
10000200
120000
10000200
1100
50005.0
1110002.0
105.0
111001
22
1120000200002000020000
100
20000
100
200001
100
20000
1100100100100
222
TueTTeeTeTeTI
S
e
SS
e
S
SI
TTSTT
SS
s
2)Use la transformada de Laplace para determinar la carga en un capacitor de un circuito en serie (RC)
cuando 00 q , R = 2.5, C = 0.08 faradios y E(T) = 5u(T-3).
52
52
33
3
25
5
2
5
5
2555.2
55.1205.2355.125.2
1
BABSAAS
SSS
B
S
A
SS
eq
S
eSq
S
eqqSqTuqq
TEqcdT
dqR
S
s
S
s
S
ss
5
2Tq L
-1
5
21 3
Se
S L
-1 SeS
3
5
1
= 3
5
23
5
2 35 TueTu T
3)Aplique la transformada de Laplace para hallar la carga q(T). En el capacitor de un circuito ¨RC¨ en
serie cuando 00 q , R = 50, C = 0.01 faradios y E(T) = 50u(T-1)-50u(T-3).
21
21
3
3
12
2
1
2
22
5050100050
35015001.0
150
BABSAAS
SSS
B
S
A
SS
e
SS
eq
S
e
S
eqqSq
TuTuqdT
dq
SS
s
SS
ss
32
13
2
11
2
11
2
1
2
1
2
11
2
1
2
1
2
11
2
1
3212
33
TueTuTueTuTq
eS
eS
eS
eS
Tq
TT
SSSS
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES(MÉTODO DE LA TRANSFORMADA):
1)
xdT
dy
yxdT
dx
2
10
00
y
x
xy
yxx
2
020
00
ss
sss
xySy
yxxSx
4
92
21
49
4922
2
2
1
2
1
2
112
21021021
0
SSSSSxSSx
xSxxSxxSxSxSy
xSxyyxSx
ss
ssssssss
ssssss
TsenheS
TxT
SS2
3
3
2
3
22
1
214
92
23
TsenheTsenheTeTy
SSS
S
SS
Sy
SSSxSxy
TTT
s
sxs
2
3
3
2
2
3
4
3
2
3cosh
11
11
21
21
21
492
21
492
21
21
492
21
21
492
21
492
21
21
21
492
21
492
21
R/ TsenheTxT
2
3
3
22
1 y
TsenheTsenheTeTyTTT
2
3
3
2
2
3
4
3
2
3cosh 2
12
12
1
2)
yxdT
dy
yxdT
dx
5
2
20
10
y
x
yxy
yxx
5
2
sss
sss
yxySy
yxxSx
50
20
sss
sss
yxSy
yxSx
52
21
25
12
sss
sss
xySy
yxSx
1215
5121
SSyx
ySx
ss
ss
TsenTTySS
Sy
SSy
SSy
SSSyy
SSSySx
ySx
s
s
s
ss
ss
ss
33
73cos2
9
7
9
2
729
72110
2251110
121115
51015
22
2
2
2215
1121
Syx
SySx
ss
ss
TsenTTxSS
Sx
SSx
SxSSx
SSySSx
Syx
s
s
ss
ss
ss
33
53cos
9
5
9
5101
4111011
111211
41210
22
2
R/ TsenTTy 33
73cos2
TsenTTx 33
53cos