presentacion laplace

Solución de problemas Solución de problemas en circuitos eléctricos en circuitos eléctricos por transformada de por transformada de

Laplace.Laplace.

AUTORES: AUTORES:

Planteamiento del Planteamiento del ProblemaProblema

Al plantear ecuaciones en el dominio Al plantear ecuaciones en el dominio del tiempo a circuito eléctrico con del tiempo a circuito eléctrico con resistencias, inductores, y resistencias, inductores, y condensadores, aparecen ecuaciones condensadores, aparecen ecuaciones diferenciales con coeficientes diferenciales con coeficientes constantes y valores iniciales. constantes y valores iniciales.

Objetivos de la Objetivos de la InvestigaciónInvestigación

• Aplicar la transformada de Laplace Aplicar la transformada de Laplace en la solución de problemas en en la solución de problemas en circuitos eléctricos circuitos eléctricos

Objetivo Objetivo GeneralGeneral

• Presentar las generalidades Presentar las generalidades teóricas y prácticas del método.teóricas y prácticas del método.

Objetivos Objetivos EspecíficosEspecíficos

• Aplicar la teoría en diferentes casos Aplicar la teoría en diferentes casos que involucran, resistencias, que involucran, resistencias, fuentes y condensadores.fuentes y condensadores.

• Aplicar el método a un circuito Aplicar el método a un circuito eléctrico típico eléctrico típico

Objetivos de la Objetivos de la InvestigaciónInvestigación

Objetivos Objetivos EspecíficosEspecíficos

• Aplicaciones de la Transformada de Laplace, Aplicaciones de la Transformada de Laplace, para la solución de ecuaciones diferenciales.para la solución de ecuaciones diferenciales.

• En el caso de los circuitos eléctricos se En el caso de los circuitos eléctricos se puede trabajar por medio de modelos físicos puede trabajar por medio de modelos físicos haciendo más comprensible la solución del haciendo más comprensible la solución del problema.problema.

• Este estudio pretende ampliar, sintetizar y Este estudio pretende ampliar, sintetizar y aplicar, de manera sencilla la teoría tal como aplicar, de manera sencilla la teoría tal como se suele aplicar a los circuitos eléctricosse suele aplicar a los circuitos eléctricos

JustificaciónJustificación

Alcances y LimitacionesAlcances y Limitaciones

• Abarca aplicaciones básicas de la Abarca aplicaciones básicas de la transformada de Laplace.transformada de Laplace.

• Estudio de circuitos formados por fuentes, Estudio de circuitos formados por fuentes, resistencias, condensadores e inductores. resistencias, condensadores e inductores.

• Se hallarán las ecuaciones de corrientes y Se hallarán las ecuaciones de corrientes y voltajes en el tiempo. voltajes en el tiempo.

• No se analizan circuitos complejos que No se analizan circuitos complejos que involucren otros elementos de circuitos. involucren otros elementos de circuitos.

• Los resultados no serán contrastados Los resultados no serán contrastados experimentalmente experimentalmente

Bases TeóricasBases Teóricas

• Definición de Transformada de Definición de Transformada de LaplaceLaplace

0

)()]([)( dttfetfsF stL

• Propiedades de la Transformada de Propiedades de la Transformada de LaplaceLaplace

La transformada de Laplace es La transformada de Laplace es lineal lineal

)]([)]([)]()([ 2121 tftftftf LLL

Transformada de una derivada Transformada de una derivada

Bases TeóricasBases Teóricas

)0(...)0(.)]([.)( 1

1n

nnn

n

n

dt

fdfstfs

dt

tfd

LL

CondensadorCondensador y Capacitancia y Capacitancia ResistenciaResistencia Inductor e InductanciaInductor e Inductancia FuenteFuente

• Definición de términos básicosDefinición de términos básicos

Transformada de una integral Transformada de una integral

)]([.1

]).([0

tfs

dft

LL

Marco Metodológico Marco Metodológico

• Definir el caso de estudio.Definir el caso de estudio.• Identificar cada uno de los elementos Identificar cada uno de los elementos

del circuito eléctrico a resolver.del circuito eléctrico a resolver.• Plantear el diagrama del circuito Plantear el diagrama del circuito

eléctrico a resolver.eléctrico a resolver.• Establecer las ecuaciones diferenciales Establecer las ecuaciones diferenciales

que permitan resolver el circuito que permitan resolver el circuito eléctrico.eléctrico.

• Realizar la transformación del dominio Realizar la transformación del dominio del tiempo al de la frecuencia.del tiempo al de la frecuencia.

• Resolver el sistema algebraico obtenido Resolver el sistema algebraico obtenido al aplicar la transformada de Laplace.al aplicar la transformada de Laplace.

• Definir la señal de entrada o Definir la señal de entrada o perturbación.perturbación.

• En la medida de lo posible, aplicar la En la medida de lo posible, aplicar la transformación inversa para obtener la transformación inversa para obtener la solución de la ecuación diferencial solución de la ecuación diferencial planteada.planteada.

• Graficar y analizar los resultados.Graficar y analizar los resultados.

Marco Metodológico Marco Metodológico

Caso I: CIRCUITO RCLCaso I: CIRCUITO RCL

• Definición del casoDefinición del caso

• Elementos del circuitoElementos del circuito

• Diagrama del circuitoDiagrama del circuito

• Se aplica una la Ley de Kirchoff Se aplica una la Ley de Kirchoff

)()()()( tvctvltvrtv

• Aplicando las definiciones para cada Aplicando las definiciones para cada elemento del circuito elemento del circuito

t

dttiCdi

tdiLtiRtv

0

).(.1)(

.)(.)(


• Transformación al dominio de la Transformación al dominio de la frecuenciafrecuencia


sC

sIisIsLsIRsV

dttiCdi

tdiLtiRv(t)

t

.

)()0()(..)(.)(

).(.1)(

.)(.0

LLLL

22)(.

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asL

sVssI

• Corriente en el dominio de la Corriente en el dominio de la frecuenciafrecuencia

L

Ra

.2

2

.2.

1

L

R

CL


• Solución de la ecuación diferencialSolución de la ecuación diferencial Si se asume que el potencial aplicado Si se asume que el potencial aplicado

es de corriente directaes de corriente directa

s

vovotvV(s) LL )(

Aplicando la transformada inversa de Aplicando la transformada inversa de LaplaceLaplace

).(..)(

.)]([

.

22

tseneL

voti

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ta

1-1- LL

Circuito RCL

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0 1 2 3 4 5 6 7

Tiempo

Inte

nsi

dad

de

Co

rrie

nte

(i)


• Gráfica del resultadoGráfica del resultado

Caso II: Motor eléctrico Caso II: Motor eléctrico de corriente directade corriente directa

• Definición del CasoDefinición del Caso• Elementos del circuitoElementos del circuito • Diagrama del CircuitoDiagrama del Circuito

,

La

Ra

ia

Rf

Lf

if vf

Rozamiento: f Inercia: J

Armadura

Campo


• Relación torque – Corriente eléctricaRelación torque – Corriente eléctrica

)(.

)(...1

tiK

tiiKKT

f

faf

• Relación torque – Velocidad AngularRelación torque – Velocidad Angular

.. f

dt

dJT

• Ecuación de VoltajeEcuación de Voltaje

dt

tdiLtiRtV fffff

)(.)(.)(


• Ecuación diferencial del sistema físicoEcuación diferencial del sistema físico

dt

df

dt

dJ

K

Lf

dt

dJ

K

RtV ff

f

......)(

2

2

• Transformación al dominio de la Transformación al dominio de la frecuenciafrecuencia

).).(.(

)(.)(

fsJRsL

sVKsW

ff

f

Si se asume que el potencial aplicado Si se asume que el potencial aplicado es de corriente directaes de corriente directa

s

vovotvV(s) LL )(

J

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L

Rss

voJL

K

fsJRsLs

voKsW

f

f

f

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..

..

).).(..(

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• Ecuación en el dominio de la frecuenciaEcuación en el dominio de la frecuencia

• Solución de la ecuación diferencialSolución de la ecuación diferencial

La solución se obtiene realizando una La solución se obtiene realizando una expansión en fracciones parciales.expansión en fracciones parciales.


• Expansión en fracciones parcialesExpansión en fracciones parciales

J

fs

C

L

Rs

B

s

Avo

JL

K

J

fs

L

Rss

voJL

K

sW

f

ff

f

f

f..

...

..

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• Los valores de A, B, C son:Los valores de A, B, C son:

)(

1

)(

1.

1

babC

baaB

baA

f

f

L

Ra

J

fb

Con


• Aplicando la transformada inversaAplicando la transformada inversa


• Grafica Velocidad Angular - TiempoGrafica Velocidad Angular - Tiempo

Motor Eléctrico

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25 30 35 40Tiempo

w(t

)*L

f*J/

(K*v

o)

ConclusionesConclusiones• Se logró conocer la importancia de la técnica de Se logró conocer la importancia de la técnica de

transformada de Laplace en la resolución y transformada de Laplace en la resolución y análisis de circuitos eléctricos.análisis de circuitos eléctricos.

• Existe una equivalencia real entre los elementos Existe una equivalencia real entre los elementos principales de un circuito eléctrico como los principales de un circuito eléctrico como los resistores, condensadores e inductores en el resistores, condensadores e inductores en el dominio del tiempo y en el dominio de Laplace.dominio del tiempo y en el dominio de Laplace.

• La existencia de las equivalencias de circuitos La existencia de las equivalencias de circuitos permite la posibilidad de analizar circuitos permite la posibilidad de analizar circuitos eléctricos directamente en el dominio de eléctricos directamente en el dominio de Laplace sin tomar en cuenta el dominio del Laplace sin tomar en cuenta el dominio del tiempo.tiempo.

ConclusionesConclusiones

• La técnica de Transformada aplicada permite resolver La técnica de Transformada aplicada permite resolver ecuaciones diferenciales lineales relativamente ecuaciones diferenciales lineales relativamente complejas como el circuito de RCL y el motor eléctrico.complejas como el circuito de RCL y el motor eléctrico.

• Se obtuvo una solución en el tiempo para un circuito Se obtuvo una solución en el tiempo para un circuito RCl dando una función periódica amortiguada.RCl dando una función periódica amortiguada.

• Se resolvió el problema de un motor eléctrico Se resolvió el problema de un motor eléctrico resultando en una ecuación que es suma de resultando en una ecuación que es suma de exponenciales pero en el cual la frecuencia de exponenciales pero en el cual la frecuencia de rotación del motor se estabiliza a un valor dado por: rotación del motor se estabiliza a un valor dado por:

ba

vo

JL

K

f ..

.

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