Transformada de Laplace

Elaborado por Ana C. Davalillo

CI.-11.765.245

Llamada así en honor al matemático y astrónomo francés Pierre-Simòn Laplace (1749-1827) considerado como uno de los más grandes científicos de la historia, a veces referido como el Newton de Francia

Dada f(t) = una función de tiempo t tal que f(t) = 0 para t > 0. Sea f(t) definida en

( 0,= Y). Se define la transformada de Laplace de f(t), como la función [f(t)] = F(s),

definida por la integral s = una variable compleja. El parámetro s se considerará real.

Es esto suficiente para las aplicaciones con Ecuaciones diferenciales lineales de

coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es

necesario trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo L = un

símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse

por la integral de Laplace.

La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales o en

análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos ≥ 0, es la

función F(s), definida por

siempre y cuando la integral esté definida. Cuando f(t) no es una función, sino una distribución

con una singularidad en 0, la definición es

.

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión

unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como

sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a,

donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t) . es

llamado el operador de la transformada de Laplace.

La idea consiste en convertir de alguna forma la ecuación de origen en una ecuación

algebraica en general mas sencilla de resolver y luego invertir el proceso de forma

que obtengamos la solución buscada. Es fácil comprobar que multiplicar dos números

cuales quiera, es mucho mas complicado que sumarlos, de ahí la utilidad e

importancia que tuvieron las primeras tablas de logaritmos.

La transformada de Laplace de una función f(t) existe si la integral de Laplace

converge. La integral ha de converger si f(t) es seccionalmente continua en todo

intervalo finito dentro del rango t > 0 y si es de orden exponencial cuando t tiende a

infinito.

Se dice que una función es seccionalmente continua o continua a trazos en un

intervalo de “infinito” <= t <= “beta” si es posible partir del intervalo en un número

finito de sub -intervalos de tal manera que la función sea continua en cada uno de

ellos y tenga límites a izquierda y derecha.

Analizando la transformada de Laplace por definición es una integral que va desde

menos infinito a más infinito y que tiene la siguiente forma: L[f(t)]=∫(e^-st)f(t)dt,

evaluada entre cero e infinito, lo que nos dice esta expresión es que si yo tengo una

función del tiempo, esta es igual a la integral desde menos infinito a más infinito de e

elevado a la menos s por t que multiplica a una función variante de t, cuando

resolvemos esta integral pasamos de una función que está en términos del tiempo t a

una función que está en términos de s, de hecho, decimos que vamos a pasar de

f(t)→F(s).

Las Matemáticas son la base de todas las Ingenierías, sobre todo la Ing. Civil donde se

amerita cálculos en todos sus elementos constructivos y de el comportamiento de los

mismos. Es por ello que el método Laplace tienen importancia fundamental en la

ingeniería así como también es relevante en la vida cotidiana, debido a que muchos

problemas se les da solución matemática mediante este tipo de ecuaciones.

El método de transformaciones Lapace en la Ingeniería, abarca desde la parte eléctrica

para el análisis de sistemas de circuitos eléctricos, así como también vibraciones

mecánicas para examinar el comportamiento de los sistemas.

Esta método resalta la importancia del estudio de las ecuaciones diferenciales para

modelar procesos físicos, mediante ecuaciones diferenciales ordinarias, el cual son

fundamentales en los programas de estudio de Ingeniería y Economía

En general, la transformada es adecuada para resolver sistemas de ecuaciones

diferenciales lineales con condiciones iniciales en el origen. Una de sus ventajas más

significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación

y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones

poli nómicas, mucho más fáciles de resolver.

En cuanto a los circuitos eléctricos pasivos son construidos con tres elementos básicos;

resistencia, capacitores e inductores y voltaje. El Flujo de corriente en el circuito esta

relacionado con carga.

La integración entre los elementos individuales que forman un circuito eléctrico esta

determinada por las leyes de kirchhoff donde;

Ley 1: La suma algebraica de todas las corrientes que entran en cualquier circuito o nodo

es igual a cero

Ley 2: La suma algebraica de la caída de voltaje alrededor de cualquier curva cerrada o

trayectoria en un circuito es cero.

El uso de estas leyes nos lleva a la ecuación de circuito, las cuales puedes ser analizadas

usando las técnicas de la trastornadora Laplace

Los sistemas mecánicos; por metro(mts) y Ns/m (Newtons y segundos por metro)

traslación pueden ser usados para modelar muchas situaciones e involucran tres

elementos básicos; masa resortes y amortiguadores,. Las variables asociadas son el

desplazamiento x(t) (medido en metros) y la fuerza F(t) (medida en Newtons).

Ahora bien, suponiendo que estamos tratando con resortes y amortiguadores

ideales, el cual se comportan lineal mente, y tomando en cuenta las relaciones entre

las fuerzas y desplazamientos en el tiempo, llegamos a las ecuaciones del sistema

que pueden ser usadas mediante la técnica de la transformada laplace cuyas

unidades de medida son, respectivamente, Kg(kilogramos), N/m (Newton).