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DefinicionPropiedades

Funciones Discontinuas

Transformada de Laplace

Juan Carlos Chavarrıa Morales1

[email protected]

1Departamento de Matematica, Universidad Tecnica Federico Santa Marıa.

Junio 2008

Juan Carlos Chavarrıa Morales [email protected] Transformada de Laplace

Estructura

1 DefinicionExistencia

2 PropiedadesPropiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa

3 Funciones DiscontinuasEscalon Unitario

Estructura

Funciones DiscontinuasExistencia

Definicion

La funcion F (s) o L [f ](s) es la Transformada de Laplace de lafuncion f(t) dada por

F (s) =

∫ ∞

0f(t)e−st dt, (1)

para todos los valores de s donde esta integral impropia converge.

Ejemplo

Calcular la transformada de Laplace de f(t) = eat.

Pregunta

¿Cuando existe la Transformada de Laplace?

Definicion

F (s) =

∫ ∞

0f(t)e−st dt, (1)

Ejemplo

Pregunta

Definicion

F (s) =

∫ ∞

0f(t)e−st dt, (1)

Ejemplo

Pregunta

Existencia

Definicion

Se dice que una funcion es seccionalmente continua sobre unintervalo [a, b] si posee un numero finito de discontinuidades ytiene un lımite finito cuando t tiende a un punto de discontinuidad.

Teorema

Sea f(t) seccionalmente continua para t ≥ 0 que satisface

|f(t)| ≤ Meαt, M, α ∈ R, (2)

entonces la transformada de Laplace (1) existe ∀s > α.

Existencia

Definicion

Se dice que una funcion es seccionalmente continua sobre unintervalo [a, b] si posee un numero finito de discontinuidades ytiene un lımite finito cuando t tiende a un punto de discontinuidad.

Teorema

Sea f(t) seccionalmente continua para t ≥ 0 que satisface

|f(t)| ≤ Meαt, M, α ∈ R, (2)

entonces la transformada de Laplace (1) existe ∀s > α.

Propiedades BasicasEdo’s de primer orden. Transformada Inversa

Propiedades

Teorema

1 Linealidad.1 L [c · f(t)](s) = c ·L [f(t)](s).2 L [f(t) + g(t)](s) = L [f(t)] + L [g(t)](s).

2 Transformada de la Derivada.L [f ′(t)](s) = sL [f(t)](s)− f(0).

3 Transformada de la Integral. L [∫ t0 f(x) dx](s) =

sL [f(t)](s)

Demostracion

1 La transformada de Laplace es una integral.

2 Usar definicion e integracion por partes. Para el caso integrales analogo.

Propiedades

Teorema

sL [f(t)](s)

Demostracion

Propiedades

Teorema

sL [f(t)](s)

Demostracion

Propiedades

Teorema

sL [f(t)](s)

Demostracion

Propiedades

Teorema

sL [f(t)](s)

Demostracion

EDO’s de primer orden

Ejemplo

Resolver y′ = y − 4e−t; y(0) = 1.

Solucion

Usando Laplace

1 L [y′] = L [y − 4e−t]

2 sL [y]− y(0) = L [y]− 4L [e−t] (¡Problema Algebraico!)

3 (s− 1)L [y] = 1− 4(s+1)

L [y] =1

s− 1− 4

(s− 1)(s + 1)(3)

Ejemplo

Resolver y′ = y − 4e−t; y(0) = 1.

Solucion

Usando Laplace

1 L [y′] = L [y − 4e−t]

3 (s− 1)L [y] = 1− 4(s+1)

L [y] =1

s− 1− 4

(s− 1)(s + 1)(3)

Ejemplo

Resolver y′ = y − 4e−t; y(0) = 1.

Solucion

Usando Laplace

1 L [y′] = L [y − 4e−t]

3 (s− 1)L [y] = 1− 4(s+1)

L [y] =1

s− 1− 4

(s− 1)(s + 1)(3)

Ejemplo

Resolver y′ = y − 4e−t; y(0) = 1.

Solucion

Usando Laplace

1 L [y′] = L [y − 4e−t]

3 (s− 1)L [y] = 1− 4(s+1)

L [y] =1

s− 1− 4

(s− 1)(s + 1)(3)

Ejemplo

Resolver y′ = y − 4e−t; y(0) = 1.

Solucion

Usando Laplace

1 L [y′] = L [y − 4e−t]

3 (s− 1)L [y] = 1− 4(s+1)

L [y] =1

s− 1− 4

(s− 1)(s + 1)(3)

Transformada Inversa

Buscamos una funcion y(t) cuya transformada de Laplace seael lado derecho de (3).

El primer termino es la transformada de et.

Al segundo termino se le aplican fracciones parciales.

Luego L [y] = 2s+1 −

1s−1 .

Y entonces y(t) = 2e−t − et.

Pregunta

¿Que hemos introducido?

Definicion

La funcion f(t) de orden exponencial que tiene a F (s) comotransformada de Laplace es la Transformada Inversa de Laplace deF (s) y se denota por L −1[F ].

1s−1 .

Pregunta

Definicion

1s−1 .

Pregunta

Definicion

1s−1 .

Pregunta

Definicion

1s−1 .

Pregunta

Definicion

1s−1 .

Pregunta

Definicion

1s−1 .

Pregunta

Definicion

Edo’s de Primer Orden

Ejemplo

Circuito RC. Es modelado por la ecuacion diferencial:

RCvc + vc = v(t); v(0) = v0

��

Circuito RC

Aplicando Laplace:

1 RCsL [vc]−RCv(0) + L [vc] = L [v]

2 L [vc] =RCv(0)

RCs + 1+

RCs + 1.

3 Distintas soluciones dependiendo de v(t).

4 Usual: v(t) = v0, v(t) = b cos at o v(t) = b sen at.

5 L [v0] =1

s; L [b cos at] = b

s2 + a2y

L [b sen at] = ba

s2 + a2.

Circuito RC

Aplicando Laplace:

2 L [vc] =RCv(0)

RCs + 1+

RCs + 1.

5 L [v0] =1

s; L [b cos at] = b

s2 + a2y

L [b sen at] = ba

s2 + a2.

Circuito RC

Aplicando Laplace:

2 L [vc] =RCv(0)

RCs + 1+

RCs + 1.

5 L [v0] =1

s; L [b cos at] = b

s2 + a2y

L [b sen at] = ba

s2 + a2.

Circuito RC

Aplicando Laplace:

2 L [vc] =RCv(0)

RCs + 1+

RCs + 1.

5 L [v0] =1

s; L [b cos at] = b

s2 + a2y

L [b sen at] = ba

s2 + a2.

Circuito RC

Aplicando Laplace:

2 L [vc] =RCv(0)

RCs + 1+

RCs + 1.

5 L [v0] =1

s; L [b cos at] = b

s2 + a2y

L [b sen at] = ba

s2 + a2.

Circuito RC

Aplicando Laplace:

2 L [vc] =RCv(0)

RCs + 1+

RCs + 1.

5 L [v0] =1

s; L [b cos at] = b

s2 + a2y

L [b sen at] = ba

s2 + a2.

Funciones DiscontinuasEscalon Unitario

Escalon unitario

Definicion

La funcion escalon unitario se define como

µa(t) =

{0; si t < a1; si t ≥ a

Teorema

L [µa(t)](s) =e−as

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