cuerpo de profesores de enseñanza secundaria1. cinemática la mecánica es la parte de la física...

Cuerpo de Profesores de Ensentildeanza Secundaria

Fiacutesica y Quiacutemica

Cinemaacutetica Elementos para la descripcioacuten del movimiento

Movimientos de especial intereacutes

Meacutetodos para el estudio experimental del movimiento

4

Queda expresamente prohibida la difusioacuten o transmisioacuten de los materiales puestos a disposicioacuten del opositora

wwweponlinees Fiacutesica y Quiacutemica Tema 4

1

TEMA 4

CINEMAacuteTICA ELEMENTOS PARA LA DESCRIPCIOacuteN DEL

MOVIMIENTO MOVIMIENTOS DE ESPECIAL INTEREacuteS

MEacuteTODOS PARA EL ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MOVI-

MIENTO

Iacutendice

0 Introduccioacuten 3

1 Cinemaacutetica 3

2 Elementos para la descripcioacuten del movimiento 4

21 Sistemas de referencia 4

22 Vector de posicioacuten de un moacutevil 5

23 Vector velocidad 6

24 Vector aceleracioacuten 8

25 Componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten 9

26 Concepto de radio de curvatura 12

3 Movimientos de especial intereacutes 12

31 Movimiento uniforme 12

32 Movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado 13

33 Movimiento circular uniforme 15

34 Movimiento circular uniformemente acelerado 15

35 Movimiento armoacutenico simple 16

36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos 17

4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos 23

41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica 24

43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas 25


2

44 Aplicaciones para moacutevil (apps) 26

45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica 27

5 Conclusioacuten 28

Bibliografiacutea

bull Tipler P y Mosca G (2003) Fiacutesica para la Ciencia y Tecnologiacutea volumen 1A Mecaacutenica

(5ordm edicioacuten) Barcelona (Espantildea) Editorial Reverteacute

bull Tovar J y Hernaacutendez J (2012) Fundamentos de Fiacutesica Mecaacutenica (3ordm edicioacuten revisada y

aumentada) Jaeacuten (Espantildea) editorial Universidad de Jaeacuten coleccioacuten Ingenieriacutea y

Tecnologiacutea serie Techneacute

bull Serway A y Jewett J Jr (2008) Fiacutesica para ciencias e ingenieriacutea Meacutexico Editorial

Cengage Learning Latinoameacuterica

bull Alonso M y Finn E J (1970) Fiacutesica Vol 1 Mecaacutenica Meacutexico Addison-Wesley

Iberoamericana

bull Ortega Giroacuten M R (1989) Lecciones de Fiacutesica Mecaacutenica 1 Coacuterdoba (Espantildea)

Departamento de Fiacutesica Aplicada Universidad de Coacuterdoba

bull Eisberg R M y Lerner L S (1981) Fiacutesica Fundamentos y Aplicaciones Madrid (Es-

pantildea) McGraw-Hill

bull Guerra M Correa J Nuacutentildeez I y Scaron J M (1984) Fiacutesica Elementos Fundamenta-

les Mecaacutenica y Termodinaacutemica Claacutesica Tomo 1 Barcelona (Espantildea) Editorial Reverteacute


3

0 Introduccioacuten

En el presente tema vamos a estudiar la parte de la fiacutesica que describe el movimiento de

un cuerpo Para ello debemos comenzar introduciendo las magnitudes fiacutesicas necesarias

como posicioacuten velocidad y aceleracioacuten definidas como vectores lo cual significa que

tienen tanto magnitud como direccioacuten y sentido Desarrollaremos ecuaciones sencillas

para la descripcioacuten de distintos tipos de movimientos y posteriormente estudiaremos su

aplicacioacuten en casos concretos como el tiro paraboacutelico o movimiento de proyectiles Por

uacuteltimo veremos diferentes meacutetodos para el estudio experimental del movimiento desde

los meacutetodos tradicionales hasta meacutetodos maacutes actuales

1 Cinemaacutetica

La mecaacutenica es la parte de la fiacutesica que estudia las relaciones entre fuerza materia y

movimiento y se divide en cinemaacutetica y dinaacutemica La cinemaacutetica describe el movimiento

de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen que son las fuerzas mien-

tras que la dinaacutemica incluye las fuerzas

El movimiento es el fenoacutemeno fiacutesico maacutes familiar y el maacutes frecuente y general de la Na-

turaleza Todos los fenoacutemenos baacutesicos que estudia la Fiacutesica estaacuten originados en su natura-

leza iacutentima por movimientos de determinadas entidades asiacute por ejemplo

- La electricidad constituye el movimiento de cargas en conductores

- El Magnetismo estaacute originado por el movimiento de cargas

- El Calor tiene su origen en el movimiento molecular

- La Luz como toda onda electromagneacutetica tiene su origen en el movimiento vibra-

torio de partiacuteculas cargadas

- El Sonido como toda onda mecaacutenica se origina por el movimiento oscilatorio de

partiacuteculas en un medio material

El estudio del movimiento tanto desde el punto de vista cinemaacutetico como del dinaacutemico

constituye la base fundamental de la Mecaacutenica y por consiguiente de toda la Fiacutesica


4

2 Elementos para la descripcioacuten del movimiento

21 Sistemas de referencia

Para un estudio correcto del movimiento hemos de elegir en primer lugar un sistema de

referencia (generalmente establecido por un sistema de coordenadas) al cual referir la

posicioacuten de un punto material mediante unas coordenadas numeacutericas El punto estaraacute en

reposo cuando las coordenadas respecto al sistema de referencia no variacuteen con el tiempo y

estaraacute en movimiento cuando al menos una coordenada variacutee con el tiempo

Generalizando la definicioacuten a un cuerpo formado por muchos puntos materiales

diremos que estaacute en movimiento cuando al menos una coordenada de cualquiera de sus

puntos variacutea con el tiempo En esta definicioacuten de movimiento quedan englobados todos

los tipos de movimiento que un cuerpo pueda tener traslacioacuten rotacioacuten vibracioacuten de-

formacioacuten etc

Consideraremos en cinemaacutetica el movimiento del cuerpo maacutes sencillo el punto

material o partiacutecula material cuyas dimensiones pueden despreciarse al estudiar el

movimiento La aplicacioacuten del concepto del Punto Material a los sistemas reales de la

naturaleza depende de las condiciones especiacuteficas del problema asiacute por ejemplo los

planetas pueden considerarse puntos materiales cuando se estudian sus movimientos

alrededor del Sol referido a un sistema de referencia fijo en eacuteste pero no pueden

considerarse puntos materiales si se estudian los movimientos de rotacioacuten alrededor de

sus propios ejes

El movimiento es un concepto relativo pues debe referirse a un sistema particular de

referencia elegido arbitrariamente y considerado fijo Las observaciones hechas en la

Tierra estaacuten referidas a un sistema referencial situado en ella y por ende en movimiento

con la propia Tierra Los astroacutenomos prefieren referir el movimiento estelar a un sistema

de ldquoestrellas fijasrdquo aunque el sistema adolece del mismo defecto pues estos puntos con-

siderados fijos aunque poco variacutean sus posiciones con el tiempo

El sistema de referencia fijo absoluto no existe por imposibilidad de fijar dicho sistema

en el espacio ya que implicariacutea a su vez otra referencia fija por si misma de manera

absoluta

Normalmente debe elegirse el sistema de referencia que permita que las observaciones

medidas y anaacutelisis de los datos del sistema fiacutesico estudiado sean lo maacutes sencillos posible

El movimiento tiene el mismo caraacutecter tanto si estaacute referido a un hipoteacutetico sistema fijo

absoluto como si estaacute referido a unos sistemas animados con movimiento uniforme (v=cte)


5

respecto de los primeros Por ello para referir un movimiento bastaraacute considerar como

sistema de referencia unos ejes que se desplacen con movimiento de traslacioacuten uniforme

que llamaremos sistemas referenciales inerciales o Galileanos

El movimiento referido a sistemas referenciales no-inerciales o sea con movimiento de

traslacioacuten no uniforme (con aceleracioacuten) o con movimiento de rotacioacuten es un tema de

considerable importancia cuyo estudio resuelve importantes problemas relacionados con

el movimiento de gran alcance como el de sateacutelites artificiales cohetes intercontinentales

caacutepsulas espaciales masas de aire corrientes marinas etc Pero no se trataraacute en este tema

22 Vector de posicioacuten de un moacutevil

La posicioacuten de un punto moacutevil en el espacio queda fijada por el vector de posicioacuten r

trazado desde el origen O de coordenadas hasta la posicioacuten del moacutevil P Las componentes

del vector r

(x y z) seraacuten las coordenadas del punto moacutevil en ese instante El moacutevil en su

movimiento describe una curva C llamada trayectoria del punto P

El movimiento de P queda totalmente especificado y determinado si se conocen las tres

coordenadas del vector como funciones del tiempo

)(txx = )(tyy = )(tzz =

llamadas ecuaciones parameacutetricas del movimiento En cada instante t los valores de x y z

corresponden a las coordenadas del punto ocupado por el moacutevil en dicho instante

Fiacutesicamente equivale a decir que todo movimiento puede considerarse descompuesto en

tres movimientos rectiliacuteneos sobre los tres ejes coordenados

De las ecuaciones parameacutetricas x = x(t) y = y(t) z = z(t) se deduce la ecuacioacuten de la

trayectoria del punto moacutevil con soacutelo eliminar entre ellas la variable independiente t

El vector de posicioacuten vendraacute dado por la expresioacuten vectorial

ktzjtyitxtrr

)middot()middot()middot()( ++==

expresioacuten que determina r

para cualquier instante t y se puede escribir de modo geneacuterico

como )(trr

= que es la ecuacioacuten vectorial del movimiento


6

La distancia recorrida por el moacutevil es la suma de todas las longitudes recorridas en los

sucesivos intervalos de tiempo desde el instante inicial (to) al instante final (t) Esta

distancia constituye la trayectoria definida anteriormente y sobre ella el problema

cinemaacutetico consiste en determinar el camino recorrido en funcioacuten del tiempo es decir

s = s(t)

Vemos pues dos aspectos en el tratamiento de los problemas cinemaacuteticos El primero de

ellos y maacutes general partiendo del vector de posicioacuten )(trr

= del que se derivaraacuten todas las

ecuaciones vectoriales del movimiento vaacutelidas cualquiera que sea la trayectoria e

independiente del sistema de referencia Un segundo aspecto maacutes limitado determina

uacutenicamente el camino recorrido sobre la trayectoria mediante la expresioacuten s=s(t) de la que

se deducen las ecuaciones escalares del movimiento sobre la trayectoria para lo cual es

necesario fijar un punto inicial de origen en la trayectoria s=0 para referir a eacutel las

distancias recorridas y demaacutes variables cinemaacuteticas

23 Vector velocidad

Para el estudio del movimiento es necesario conocer la posicioacuten del moacutevil en cada

instante que vendraacute dada por el vector de posicioacuten y la variacioacuten de esta posicioacuten con el

tiempo que vendraacute dada por el vector velocidad

Si un moacutevil se encuentra en un instante dado en la posicioacuten P (dada por el vector de

posicioacuten r

) y un intervalo t despueacutes se encuentra en Q (dada por el vector de posicioacuten r

+ r

) el moacutevil ha sufrido un desplazamiento vectorial r

y ha recorrido un intervalo de

trayectoria s y son por definicioacuten diferentes y no coincidentes Soacutelo en el caso liacutemite de

que el intervalo de tiempo sea infinitesimal ambos conceptos seraacuten coincidentes en el

graacutefico y el moacutedulo de r

coincidiraacute con s

Se define el vector velocidad media mv

como el

cociente

t

rvm

=

que es un vector de direccioacuten y sentido ideacutentico al vector

desplazamiento r

pues el escalar t seraacute siempre

positivo La direccioacuten del vector desplazamiento y por ello

la del vector velocidad media es la direccioacuten de la cuerda

del arco PQ


7

Anaacutelogamente se define la velocidad media en la trayectoria vm (magnitud escalar) al

cociente de la trayectoria recorrida en el tiempo empleado

t

svm

=

Ambas velocidades medias una vectorial y otra escalar no son generalmente de igual

moacutedulo pues sr

como puede apreciarse en la Fig2

Si reducimos el intervalo de tiempo t hasta valores muy pequentildeos que tiendan a cero

el vector velocidad quedaraacute referido a un intervalo infinitamente pequentildeo y se llamaraacute

vector velocidad instantaacutenea o simplemente vector velocidad

dt

rd

t

rlimvt

=

=

rarr 0 (a)

Anaacutelogamente se definiraacute la velocidad instantaacutenea sobre la trayectoria como

dt

ds

t

slimvt

=

=

rarr 0 (b)

Ambas expresiones estaacuten relacionadas entre siacute como demostraremos a continuacioacuten Si

consideramos el vector velocidad instantaacutenea

t

slim

s

rlim

s

s

t

rlimv

tst

=

=

rarrrarrrarr 000

El 1er liacutemite es un vector de moacutedulo 1 ya que r

y s tienden a ser iguales cuando

srarr0 pues el arco (s) y la cuerda ( r

) se confunden cuando se hacen infinitamente

pequentildeos y tiene direccioacuten tangente a la trayectoria La direccioacuten de r

(inicialmente

secante a la curva) tiende hacia una direccioacuten tangente cuando s se hace infinitamente

pequentildeo Por tanto el primer liacutemite representa un vector unitario tangente a la trayectoria

en el punto

t

su

ds

rd

s

rlim

==

rarr 0 (vector unitario tangente) pues 1=

rarr PQ

PQlim

QP

El 2ordm liacutemite es el que hemos definido como velocidad media en la trayectoria calculada

en un intervalo reducido que tiende a cero

vt

slimt

=

rarr 0 (velocidad instantaacutenea sobre la trayectoria)

Finalmente resultaraacute tuvv

middot= (c)

el vector velocidad instantaacutenea es un vector tangente a la trayectoria que tiene por

moacutedulo la velocidad instantaacutenea calculada sobre la trayectoria y que llamaremos


8

simplemente celeridad (Recordemos que todo vector puede expresarse como el producto

de su moacutedulo por un vector unitario en la direccioacuten del vector)

Teniendo en cuenta la expresioacuten de

ktzjtyitxr

)middot()middot()middot( ++=

el vector velocidad tambieacuten puede expresarse en un sistema cartesiano mediante la deri-

vada del vector de posicioacuten

kdt

tdzj

dt

tdyi

dt

tdx

dt

rdv

)()()(

++==

y la celeridad o moacutedulo de la velocidad seraacute

21222

+

+

==

dt

dz

dt

dy

dt

dxvv

que seraacute una funcioacuten del tiempo como lo son las componentes dxdt dydt y dzdt

24 Vector aceleracioacuten

El movimiento de un punto material en su forma maacutes general tiene en cada punto de

la trayectoria un vector de posicioacuten y un vector velocidad diferentes lo que significa una

variacioacuten de la velocidad tanto en moacutedulo como en direccioacuten y sentido

En el instante t la velocidad del punto moacutevil

situado en P es v

y despueacutes de transcurrido un

intervalo de tiempo t es decir en el instante t+t

la velocidad del moacutevil situado en Q es v

+ v

Definimos el vector aceleracioacuten media al cociente

entre la variacioacuten del vector velocidad y el

intervalo de tiempo transcurrido Es un vector que

tiene la misma direccioacuten y sentido que v

t

vam

=

Considerando un intervalo de tiempo infinitamente pequentildeo que tienda a cero

podemos definir el vector aceleracioacuten instantaacutenea o simplemente el vector aceleracioacuten

como el valor en el liacutemite de la relacioacuten Vt cuando t tiende a cero es decir

2

2

0 dt

rd

dt

rd

dt

d

dt

vd

t

vlimat

=

==

=

rarr


9

El vector aceleracioacuten tendraacute por componentes

kdt

zdj

dt

ydi

dt

xdk

dt

dvj

dt

dvi

dt

dva zyx

2

2

2

2

2

2

++=++=

y su moacutedulo seraacute

2

2

22

2

22

2

2

+

+

==

dt

zd

dt

yd

dt

xdaa

25 Componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten

De la propia definicioacuten del vector aceleracioacuten a

se deduce que en general no es ni

tangente a la trayectoria (pues implicariacutea una direccioacuten constante en V

) ni perpendicular a

ella (pues implicariacutea un moacutedulo constante en V

) y por ello puede ser descompuesto en

dos componentes una tangente y otra perpendicular a la trayectoria que se llamaraacuten

componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten Dichas componentes estaacuten situadas en un

sistema de coordenadas intriacutenseco al moacutevil con ejes tangente y normal a la trayectoria e

independiente de cualquier sistema de referencia

Aplicando la definicioacuten de a

a la expresioacuten del vector velocidad resultaraacute

( )dt

udvu

dt

dvuv

dt

d

dt

vda t

tt

middotmiddotmiddot +=== (d)

como vemos a

tiene dos componentes vectoriales una de ellas es tangente a la

trayectoria de moacutedulo dvdt que llamaremos aceleracioacuten tangencial

El uacuteltimo teacutermino de la expresioacuten (d) dutdt se transforma en

vds

ud

dt

ds

ds

ud

dt

ud ttt

== (V=celeridad o moacutedulo de la velocidad) (e)

y el factor dsud t

es un vector que representa la deri-

vada del vector unitario tangente (de moacutedulo cons-

tante) con respecto al arco Se demuestra asiacute como tu

es un vector unitario su derivada dsud t

respecto a

un escalar es perpendicular a tu

Estos vectores estaacuten

en el llamado plano osculador determinado por dos

tangentes consecutivas a un punto y el vector dsud t

tiene la direccioacuten de la normal principal (perpendi-

cular a la trayectoria con-tenida en el plano osculador)

FIG4

ut ut

ut ut

ut

s

r

+

rr

r

+

C

QR

C

S

P

O

s=r


10

y su sentido es el de la concavidad por consiguiente

n

tt uds

ud

ds

ud

middot= (f)

Calculemos ahora el moacutedulo de dsud t

Sean dos puntos P y Q de la curva de la fig 4

y sean tu

y tu

+ tu

los vectores unitarios tangentes sobre dichos puntos P y Q

respectivamente (Por Q se traza el equipolente a tu

En el plano osculador se trazan las

perpendiculares a la curva en P y Q Consideremos que P y Q son consecutivos por ello el

arco PQ=∆s se confunde con un arco de circunferencia de centro en O y radio r y se puede

escribir ∆s=r∆ϕ)

En el triaacutengulo QRS que es isoacutesceles por ser tt uuu

+= se cumple

2middotsen2

2middotsenmiddot2

=

= tt uu

pues 1=tu

dividiendo por ∆s resultaraacute

ssss

u t

=

=

=

middot

2

2sen

middot2middotsen2

2middotsen2

y pasando al liacutemite para ∆srarr0 resultaraacute

slim

s

ulim

s

t

s

=

rarrrarr

00

pues 1

2

2sen

0=

rarr

lim

y por ello ds

d

ds

ud t = y considerando que ∆s=r∆ϕ rarr ds=rdϕ

resultando rds

ud t 1= que es la inversa del radio de curvatura

Por tanto sustituyendo en (f) nt u

rds

ud

middot1

= y luego sustituyendo en (e)

nt u

r

v

dt

ud middot= y eacutesta finalmente en (c) resulta nt u

r

vu

dt

dva

2

+=

lo que demuestra que el vector aceleracioacuten a

no tiene ni direccioacuten

normal ni direccioacuten tangente a la trayectoria pues presenta dos

componentes en estas direcciones Uacutenicamente se puede asegurar

que el sentido de la componente normal es hacia el interior de la

concavidad de la trayectoria Las componentes son FIG 5


11

Aceleracioacuten tangencial tt u

dt

dva

= y su moacutedulo

dt

dv

Aceleracioacuten normal (centriacutepeta) nn ur

va

middot

2

= y su moacutedulo r

v2

La aceleracioacuten tangencial ta

puede ser positiva si estaacute dirigida en la direccioacuten de v

y

negativa si estaacute dirigida en sentido contrario a v

y la aceleracioacuten normal na

es siempre

positiva y dirigida hacia la concavidad de la curva El moacutedulo de la aceleracioacuten en funcioacuten

de sus componentes seraacute

222

22

+

=+==

r

v

dt

dvaaaa nt

y el aacutengulo que forma la aceleracioacuten con la tangente a la trayectoria vendraacute dado por

t

n

t

n

A

A

A

Aarctgtg ==

Las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten son de gran importancia en cinemaacutetica

pues nos da cada una de ellas un aspecto de la variacioacuten de la velocidad con el tiempo La

aceleracioacuten tangencial nos da la variacioacuten del moacutedulo de la velocidad con el tiempo y la

aceleracioacuten normal nos da la variacioacuten de la direccioacuten de la velocidad con el tiempo La

clasificacioacuten de los movimientos debe hacerse por los valores de dichas componentes y de

ellas se deducen sus ecuaciones

El caacutelculo de las componentes intriacutensecas tambieacuten se puede realizar mediante el si-

guiente mecanismo vectorial

Aceleracioacuten tangencial De la derivada del vector de posicioacuten se obtiene el vector

velocidad y derivando por segunda vez se obtiene el vector aceleracioacuten y a partir de

ambas se realiza su producto escalar

v

vaayavvava tt

bull

===bull cos

y la direccioacuten del vector unitario tangente seraacute v

vu

= luego ( )

2v

vvauaa ttt

bull

==

Aceleracioacuten normal A partir de los mismos vectores a

y v

realizamos su producto

vectorial

navvava sen ==

y v

vaan

=


12

y la direccioacuten del vector unitario normal seraacute )(

)(

vav

vavun

=

como puede demostrarse faacutecilmente en la figura 3

26 Concepto de radio de curvatura

Si tomamos tres puntos muy proacuteximos sobre

una curva P P y P de las circunferencias tan-

gentes a la curva en P la que tiene en dicho punto

un contacto tal que P y P pertenezcan a ella

cuando eacutestos tienden a confundirse con P la

llamamos circunferencia o ciacuterculo osculador E1

radio de este ciacuterculo lo llamamos radio de

curvatura y al centro centro de curvatura El

ciacuterculo osculador pertenece al plano determi-

nado por dos tangentes sucesivas a la curva en P

y P por ejemplo cuando ambos puntos tienden a

confundirse uno sobre otro A este plano se le

denomina plano osculador

FIG6

3 Movimientos de especial intereacutes

31 Movimiento uniforme

El movimiento uniforme es aquel en el que las componentes intriacutensecas de la acele-

racioacuten son ambas nulas es decir 0=na

y 0=ta

De la primera se deduce

2van = y por ser v 0 rarr =

y el movimiento es de radio de curvatura infinito o sea movimiento rectiliacuteneo

De la segunda se deduce dt

dvat = = 0 o sea v = cte

y el movimiento tiene moacutedulo de velocidad constante es decir es uniforme

De ambas condiciones se deduce que el vector velocidad v

es constante en moacutedulo

direccioacuten y sentido ( ctev =

) y como estaacute definido por


13

dt

rdv

= luego dtvrd

=

que integrando = dtvrd

rarr 00 rtvr

+=

donde 0r

es la constante de integracioacuten (vectorial) y

representa el vector de posicioacuten inicial para el instante

inicial t = 0 (Fig7) FIG 7

Si tomamos como origen de coordenadas un punto situado en la propia trayectoria C

del movimiento todoslos vectores implicados en la ecuacioacuten 0r

r

y 0v

tendraacuten la misma

direccioacuten y se podraacute escribir tvss o+= 0 donde 0s s y 0v seraacuten los moacutedulos de los

vectores correspondientes

32 Movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado

Este movimiento se caracteriza por que sus componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten

toman los valores an = 0 y at = cte ne 0

De la primera se deduce como en el caso anterior que el radio es infinito r = y por

consiguiente el movimiento tiene trayectoria rectiliacutenea

De la segunda se obtiene dvdt=at (constante) siendo eacutesta ademaacutes la aceleracioacuten total

(por ser la uacutenica) pues

ttnt aaaaa ==+= 222

y como la aceleracioacuten tangencial tiene direccioacuten tangente a la trayectoria igual que la

velocidad se podraacute escribir

aadtvd t

== o bien dtavd

= e integrando = dtavd

resulta

0 vtav

+=

siendo 0v

la constante de integracioacuten que corresponde con la velocidad inicial o velocidad

para t = 0

Si sustituimos esta expresioacuten en la ecuacioacuten de definicioacuten de v

resulta

tavdt

rdv 0

+== o bien dttadtvrd 0

+=

e integrando += dttadtvrd 0

rarr 2

00 2

1 tatvrr

++=


14

donde 0r

es la constante de integracioacuten que representa el vector de posicioacuten en el instante

inicial t = 0

Si elegimos como origen de coordenadas un

punto situado en la propia trayectoria recta C del

movimiento resultaraacuten r

0r

0v

a

vectores

todos ellos de la misma direccioacuten y podraacuten

escribirse las ecuaciones anteriores soacutelo con sus

moacutedulos es decir FIG 8

2

00 2

1 tatvss ++= y tavv 0 +=

Entre ambas ecuaciones podemos eliminar el tiempo t para obtener una ecuacioacuten de la

velocidad en funcioacuten del espacio y la aceleracioacuten v=f(sa)

despejando t de la segunda ecuacioacuten a

vvt ominus

=

y sustituyendo en la ecuacioacuten del espacio resulta

2

2

2

1 0

2

0

22

00

0

2

00

00 =minus+

+minus

+=

minus+

minus+=

a

vvvv

a

vvvs

a

vva

a

vvvss

a

vvs

a

vvvvvvvs

22

222

2

0

2

0

0

2

0

22

00

0

minus+=

minus++minus+=

de donde a

vvss

2

2

0

2

0

minus=minus resultando )(2 0

2

0

2 ssavv minus+=

En el caso de que el origen de coordenadas sea arbitrario y esteacute fuera de la trayectoria

la expresioacuten vectorial anterior

2

002

1tatvrr

++= puede ponerse 2

002

1tatvrr

+=minus

resultando que los vectores 0rr

minus 0v

y a

tienen todos la misma direccioacuten como puede

apreciarse en la figura 8 y pueden escribirse por sus moacutedulos llamando 0rrs

minus=

resultando 2

02

1attvs +=

Si se trata de un movimiento uniformemente retardado (decelerado) la aceleracioacuten seraacute

negativa y si el movimiento se debe a la accioacuten gravitatoria en recorridos cortos muy

proacuteximos a la superficie de la Tierra la aceleracioacuten se puede considerar constante e igual a

a = g = 9rsquo8 ms2 = 980 cms2 y se denomina movimiento de caiacuteda libre


15

33 Movimiento circular uniforme

Para este movimiento las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los si-

guientes valores an = cte ne 0 y at= 0

De la segunda condicioacuten at=dvdt=0 se deduce que v=cte y como la primera condicioacuten

implica an=v2=cte de todo ello se deduce que =cte y la trayectoria ha de ser circular de

radio La aceleracioacuten total del movimiento seraacute

nnt aaaa

=+=

y la velocidad seraacute constante en moacutedulo pero no en direccioacuten En consecuencia la

ecuacioacuten que nos daraacute el espacio recorrido por el moacutevil a lo largo de su trayectoria circular

es la misma que la correspondiente al movimiento uniforme y rectiliacuteneo midiendo los

espacios sobre la circunferencia tvss 0 +=

En este tipo de movimiento interesa conocer el aacutengulo girado por el radio-vector que

une el centro con el moacutevil Recordando que Arco(m)=Radio(m)Angulo(rad)

resulta S = ϕ y derivando respecto al tiempo resultaraacute

dt

d

dt

ds middot= es decir

dt

dv

=

Esta uacuteltima derivada representa la variacioacuten del aacutengulo girado por el vector de posicioacuten

en la unidad de tiempo a lo que se le llama velocidad angular y se representa por

=ddt resultando v= ( rarr rads)

Por convenio se representa la velocidad angular por un vector axial normal al plano de

la circunferencia (plano de r

y v

) de sentido el correspondiente a la regla del sacacorchos

(regla de Maxwell) y de moacutedulo proporcional a su valor por ello puede escribirse

=v

expresioacuten que tambieacuten puede escribirse asiacute

=minus= AOv

es decir la velocidad tangencial v

es el momento del

vector velocidad angular

con respecto al punto A

34 Movimiento circular uniformemente acelerado

En eacutel las componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten toman los siguientes valores

an=v2 cte t2 y at=dvdt=cte


16

tendraacute como trayectoria una circunferencia de radio y sobre ella el movimiento vendraacute

descrito por las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado

2

002

1tatvss t++= tavv t+= 0 )(2 0

2

0

2 ssavv t minus+=

Como la velocidad no es constante tampoco lo seraacute la velocidad angular relacionada

con aquella mediante el radio v= y por ello derivando con respecto al tiempo

resultaraacute

( )

dt

d

dt

d

dt

dv== o sea a =

donde =ddt es la aceleracioacuten angular o variacioacuten de la velocidad angular con respecto

al tiempo Se mide en rads2 en el sistema Internacional (SI)

Las ecuaciones anteriores pueden deducirse en funcioacuten de las magnitudes angula-res a

partir de = ddt y = ddt e integrando

= 0 + t 2 = 02 + 2

35 Movimiento armoacutenico simple

Llamamos movimiento perioacutedico a cualquier movimiento que se repite a intervalos

iguales de tiempo Por ejemplo el movimiento de una masa sujeta a un muelle el movi-

miento de un peacutendulo las vibraciones de los aacutetomos de una moleacutecula etc Cuando una

partiacutecula que realiza un movimiento perioacutedico se mueve alternativamente en un sentido y

otro sobre una misma trayectoria recibe el nombre de movimiento oscilatorio

El movimiento oscilatorio maacutes importante es el movimiento armoacutenico simple (MAS)

por ser el maacutes faacutecil de describir matemaacuteticamente y constituye un modelo exacto o

aproximado para muchos sistemas fiacutesicos

Decimos que una partiacutecula que se mueve a lo largo del eje X realiza un MAS centrado

en el origen O de dicho sistema coordenado cuando su desplazamiento X con respecto al

origen viene expresado en funcioacuten del tiempo en la forma

( ) += tAx sen

donde A y son constantes propias del movimiento armoacutenico

La distancia X que separa la partiacutecula del origen O recibe el nombre de elongacioacuten El

valor absoluto de la elongacioacuten maacutexima A se denomina amplitud La cantidad t+


17

(argumento del seno) se denomina fase del movimiento y es la constante de fase o fase

inicial para t=0

Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2 la partiacutecula completa una oscilacioacuten

luego el periodo es T=2 La frecuencia del movimiento es el nuacutemero de oscilaciones

que se completan en la unidad de tiempo [=1T (cicloss=herzios (Hz))]

La constante es la frecuencia angular o pulsacioacuten (=2=s-1)

La velocidad de la partiacutecula que realiza un Movimiento Armoacutenico Simple viene dada

por la derivada de la elongacioacuten respecto del tiempo

( )

++=+==

2sencos

tAtA

dt

dxv

La aceleracioacuten de la partiacutecula se determina haciendo la derivada de la velocidad

respecto del tiempo

( ) XtAdt

dva sen 22 minus=+minus==

Considerando a=Fm la fuerza que deberaacute actuar sobre una partiacutecula para que realice un

Movimiento Armoacutenico Simple debe ser tambieacuten proporcional a la elongacioacuten de la

partiacutecula y de signo contrario a eacutesta

F = ma = -m2x = -kx

donde k = m2 llamada constante armoacutenica

36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos

Si un cuerpo se halla sometido a dos movimientos simultaacuteneos independientes realiza

un movimiento compuesto que resulta de la combinacioacuten de aquellos La composicioacuten de

dos o maacutes movimientos se realiza calculando el vector de posicioacuten del movimiento

resultante como suma de los vectores de posicioacuten de los movimientos componentes

Esto se apoya en el ldquoPrincipio de Galileordquo o de independencia de los movimientos ldquoSi

un punto estaacute dotado por dos causas diferentes de dos movimientos simultaacuteneos su cambio de

posicioacuten es independiente de que los dos movimientos actuacuteen sucesiva o simultaacuteneamenterdquo

De lo anterior se deduce que el vector de posicioacuten r

es la suma de los vectores de

posicioacuten de los movimientos individuales

4321 ++++= rrrrr

y derivando 4321 ++++= vvvvv


18

es decir la velocidad de un movimiento compuesto es en todo momento la suma

vectorial de las velocidades de los movimientos componentes

361 Descripcioacuten de casos elementales

A) Un nadador que avanza en la direccioacuten y sentido de la corriente (dos movimientos

rectiliacuteneos y uniformes en la misma direccioacuten y sentido)

v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)t

B) Un nadador que avanza en sentido contrario a la corriente (movimientos rectiliacuteneos y

uniformes de la misma direccioacuten y de sentidos contrarios)

v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)

C) Cuando un nadador se desplaza perpendicularmente a la corriente (movimientos

rec-tiliacuteneos y uniformes de direcciones perpendiculares)

2

2

2

121

2

2

2

1 ordm90middotcos2 vvvsivvvvv +==++=

el espacio recorrido seraacute

tvvssss middot2

2

2

1

2

2

2

1+=rarr+=

y el aacutengulo de direccioacuten resultante

1

2

1

2tgs

s

v

v==

D) Dos movimientos rectiliacuteneos uniformemente acelerados en la misma direccioacuten

++=

++=

2

202022

2

101011

2

1middot

2

1middot

tatvss

tatvss sumando

2

21201020121 )(2

1)()( taatvvsssss o +++++=+=

taavvdt

dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa

dt

dva +==

E) Un movimiento uniforme y otro movimiento uniformemente acelerado en la misma

direccioacuten dados por


19

middot

2

1middot

middot

2

02022

01011

sumandoattvss

tvss

++=

+=

2

02010201212

1)()( attvvsssss ++++=+=

adt

dvaatvv

dt

dsv ==++== )( 0201

la aceleracioacuten es la misma del movimiento acelerado

362 Movimiento paraboacutelico de caiacuteda

Cuando se lanza una bomba desde un avioacuten que se mueve con una velocidad constante

vx dicha bomba describe un movimiento rectiliacuteneo uniforme con velocidad vx (la del

avioacuten) y un movimiento rectiliacuteneo y uniformemente acelerado perpendicular al anterior

con velocidad variable vy=gt En el instante inicial t=0 loacutegicamente vy=0 y el moacutevil soacutelo

posee vx=cte En cualquier instante de su trayectoria las velocidades componentes son

22222 tgvvvvgtv

ctevxyx

y

x+=+=

minus=

=

El aacutengulo de v con la horizontal seraacute

x

y

v

varctg=

El vector velocidad es

jgtivv x

minus=

e integrando y teniendo en cuenta que para

t=0 el moacutevil estaacute en el origen 00 =r

resulta

jgtitvr x

2

1 2minus=

por lo tanto los desplazamientos horizontal y vertical para un instante dado vendraacuten

dados por las ecuaciones parameacutetricas del movimiento

2

2

1gty

tvx x

=

=

Eliminando el tiempo en ambas expresiones se obtiene la ecuacioacuten y=f(x) de la

trayectoria


20

)(2

middotmiddot2

1 22

2

2

paraacutebolaxkxv

g

v

xgy

xx

=

=

=

363 Movimiento de proyectiles

A continuacioacuten vamos a estudiar el movimiento de un proyectil lanzado por un cantildeoacuten

con un aacutengulo de inclinacioacuten con la horizontal y una velocidad inicial v0 de salida

Las componentes de la velocidad inicial sobre el sistema de coordenadas XY seraacuten

v0x=v0cos v0y =v0sen

El movimiento horizontal del proyectil es uniforme con velocidad constante

vx = v0x = cte

y el movimiento vertical es uniformemente acelerado de aceleracioacuten ndashg y la velocidad para

cualquier instante t seraacute

vy =v0yndashgt (v0y = velocidad inicial vertical)

y por ello las componentes del vector velocidad seraacuten

vx=v0cos y vy=v0sen minusgt

y el vector velocidad se escribiraacute

( ) ( ) jtgvivv

sencos 00 minus+=

Integrando considerando que para t=0 es 00 == rr

resultaraacute el vector de posicioacuten del

movimiento paraboacutelico del proyectil

( ) jtgtvitvr

minus+= 2

00 2

1sencos

de donde los desplazamientos horizontal y vertical vendraacuten dados por las ecuaciones

minus=

=

2

0

0

2

1sen

cos

gttvy

tvx


21

que son las ecuaciones parameacutetricas del vector de posicioacuten jyixr

+=

La altura maacutexima se alcanzaraacute en el instante t1 en el que la componente vertical de la

velocidad se hace nula vy=0 o sea

v0y=gt1 de donde g

v

g

vt

y 2

00

1

sen== y sustituyendo en y resulta

g

v

g

v

g

vg

g

vvyh

22

0

22

0

2

22

00

0

sen

2

1sensen

2

1sen

senminus=

minus

==

o sea g

vh

2

sen 22

0 =

El desplazamiento horizontal o alcance se produciraacute en el instante t2 en que el moacutevil

vuelve a su altura inicial es decir cuando y=0 lo que daraacute como resultado una ecuacioacuten de

segundo grado

2

2202

1sen gttv =

con dos soluciones t2 = 0 y g

vt

sen2 0

2 =

La primera solucioacuten corresponde al instante de salida en el que se cumple y=0 y la

segunda solucioacuten corresponde al tiempo empleado en alcanzar el desplazamiento hori-

zontal A y puede observarse que es el doble del empleado en alcanzar su altura maacutexima o

sea t2=2t1

La expresioacuten del alcance A se obtendraacute sustituyendo en la ecuacioacuten x=v0tcos el valor de

t2 resultando

g

v

g

vvxa

cossen2middotcos

sen2 2

00

0 =

== rarr

g

va

2sen2

0=

El alcance horizontal seraacute maacuteximo cuando la funcioacuten sinusoidal de A sea maacutexima es

decir cuando sen(2)=1 lo que ocurre cuando 2=90˚ o sea cuando =45˚ Por otra parte

como los aacutengulos suplementarios tienen el mismo seno pueden considerarse dos aacutengulos

2 suplementarios que den el mismo alcance los cuales se obtendraacuten a partir de dos

aacutengulos complementarios Por ejemplo para 1=15˚ y 2=75˚ se obtiene el mismo alcance

en el primer caso se tendriacutea un tiro rasante y en el segundo se tendriacutea un tiro por

elevacioacuten

La velocidad total del proyectil en un instante dado vendraacute dada por


22

=minus+=+= 2

0

22

0

22 )middotsen(cos tgvvvvv yx )2(2)cos( 2

0

222

0 =minusminus+ tgsentvgsenv

gyv 2 2

0 minus=

y el aacutengulo que forma con la horizontal seraacute x

y

v

v=tg

Soacutelo nos resta determinar la ecuacioacuten de la trayectoria descrita por el proyectil es decir

la ecuacioacuten y=f(x) obtenida al eliminar el tiempo en las ecuaciones parameacutetricas

resultasegundalaendosustituyeny

cos

2

1

cos

02

0

0

v

xt

gttsenvy

tvx=rarr

minus=

=

( ) 2

22

0

22

0

2

0

0 middotcos2

middottgcos2

1sen

cosx

v

gx

v

xg

v

xvy

minus=

minus

=

ecuacioacuten de segundo grado del tipo y=ax2+bx+c donde los coeficientes son

minus=

22

0 cos2v

ga b=tg y c=0

por consiguiente la ecuacioacuten de la trayectoria corresponde a una paraacutebola con la conca-

vidad hacia abajo por ser a negativo y que pasa por el origen por ser c=0

364 Composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples

El caso maacutes sencillo es la composicioacuten de movimientos armoacutenicos simples de la misma

direccioacuten y de la misma frecuencia

Sean las ecuaciones de dichos movimientos las siguientes

+=

+=

)middotsen(

)middotsen(

222

111

tAs

tAs donde 1 y 2 son las fases iniciales

como los desplazamientos tienen lugar en la misma direccioacuten por suma de las anteriores

ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss

Teniendo en cuenta las relaciones trigonomeacutetricas que nos dan el seno de una suma de

aacutengulos y reordenando teacuterminos resulta

( ) ( ) tAAtAAs cossensensencoscos 22112211 +++= ()

Sabiendo que el movimiento resultante ha de tener la misma direccioacuten y la misma

frecuencia que las componentes su ecuacioacuten seraacute del tipo


23

( ) += tAs sen que desarrollando sencoscossen tAtSs +=

e igualando a la anterior () las dos ecuaciones que resultan son

2211 coscoscos AAA += ()

2211 sensensen AAA +=

Dividiendo ambas ecuaciones tendremos

2211

2211

coscos

sensentg

AA

AA

+

+=

que nos da la fase inicial del movimiento armoacutenico resultante

Por otra parte si elevamos al cuadrado las anteriores ecuaciones () y las sumamos

miembro a miembro obtenemos

)middotsensenmiddotcos(cos2 212121

2

2

2

1

2 +++= AAAAA

es decir )middotcos(middotmiddot2 2121

2

2

2

1

2 minus++= AAAAA

que nos da el valor de la amplitud del movimiento armoacutenico resultante

Casos Particulares

a) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo par de es decir

1-2 = 2k resulta entonces

cos(1-2) = 1 y por tanto A2 = (A1+A2)2 o sea A = A1+A2

b) Si la diferencia de fase entre los dos movimientos es un muacuteltiplo impar de es de-

cir 1-2 = (2k+1) resulta entonces

cos(1-2) = -1 y por tanto A2 = (A1-A2)2 o sea A = A1-A2

4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos

Todos los meacutetodos estaacuten basados en la determinacioacuten de la velocidad de un moacutevil en

puntos singulares de su movimiento con objeto de determinar la aceleracioacuten

Mediante muacuteltiples ensayos se obtienen tablas de valores de las variables calculadas y

se trasladan a graacuteficos diversos mediante los cuales se pueden demostrar las ecuaciones

de los movimientos Aunque existen muacuteltiples meacutetodos de estudiar el movimiento

podemos reagruparlos en tres bloques


24

41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica

En el primer grupo podemos incluir los meacutetodos maacutes utilizados en el laboratorio y

tradicionalmente heredados de los experimentos realizados por Galileo entre los que se

destacan los experimentos de caiacuteda de los cuerpos a traveacutes de planos inclinados en las que

se pueden utilizar varias configuraciones seguacuten el nivel al que se imparta

La maacutes simple consiste en un plano inclinado o un carril a lo largo de la cual puede

rodar un cuerpo esfeacuterico En dicho carril se realizan una serie de marcas separadas la

misma distancia unas de otras (Fig 14) Dejando rodar la bola desde el mismo sitio se

toma el tiempo que tarda la bola en llegar a cada una de las marcas Para ello las

mediciones las realizan varios alumnos simultaacuteneamente Realizando una representacioacuten

graacutefica de espacio respecto a tiempo se puede comprobar la relacioacuten cuadraacutetica entre

ambas variables propia de un movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado

En el esquema de laboratorio representado en la Fig15 se presenta otra configuracioacuten

para niveles maacutes avanzados como por ejemplo 1ordm de Bachillerato

Consiste en un plano inclinado con un

aacutengulo con la horizontal En esta confi-

guracioacuten se necesita determinar la veloci-

dad en el punto final del plano v (punto 2)

Con ella y las magnitudes geomeacutetricas del

plano (longitud del plano aacutengulo de incli-

nacioacuten) puede determinarse la aceleracioacuten

mediante la expresioacuten cinemaacutetica

asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25

donde v0=0 en el caso de un cuerpo que parta del reposo desde el punto de origen (punto

1)

Mediante el aacutengulo de inclinacioacuten del plano se puede relacionar la aceleracioacuten del

movimiento con la aceleracioacuten de la gravedad resultando

a = gsen

y aumentando o disminuyendo la longitud del plano yo la inclinacioacuten del plano pueden

obtenerse distintos valores de la aceleracioacuten y a partir de ellos obtener el valor de la ace-

leracioacuten de la gravedad

El problema de determinar experimentalmente la velocidad v del punto final del plano

inclinado (punto 2) queda resuelto midiendo las distancias horizontal (x) y vertical (y) de

caiacuteda del cuerpo en el plano-suelo y mediante las ecuaciones del movimiento de caiacuteda

paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt

se determinan tanto v como t (tiempo en la caiacuteda paraboacutelica)

El experimento una vez montado y realizado permite medir las magnitudes lineales s

x e y y a partir de ellas se mediraacuten v y t y de ellas se mediraacute a

Nuacutem de ensayo s x y v t s

v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2

Deben trasladarse los datos numeacutericos a graacuteficas adecuadas y hacerse un estudio de los

errores cometidos

43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas

Las puertas electroacutenicas cuentan con la ventaja de una recogida de gran cantidad de

datos de manera muy raacutepida y precisa pudiendo ser exportados a una hoja de caacutelculo

para su tratamiento

Dichos equipos estaacuten al alcance de los centros de ensentildeanza secundaria Se precisa

- Puertas fotoelectricas

- Materiales especiacuteficos (carritos bolas o carriles entre otros)

- Un ordenador personal


26

- Una hoja de caacutelculo

Las puertas fotoeleacutectricas son aparatos en forma de U invertida en las que mediante un

rayo de luz y una ceacutelula fotoeleacutectrica se detecta el paso de cualquier cuerpo que las

franquee El aparato mide con gran precisioacuten los intervalos de tiempo entre las puertas

Estas puertas detectan el tiempo que transcurre desde que un objeto franquea la primera

puerta hasta que atraviesa la segunda

Estas puertas pueden conectarse a unos controladores de sentildeales y conectarse a un

ordenador pudiendo exportar los datos a una hoja de caacutelculo en la cual pueden ser

procesados dichos utilizando ecuaciones tabulaacutendolos o representaacutendolos graacuteficamente

Los montajes y las posibilidades son muy numerosas y soacutelo dependen de la

imaginacioacuten del experimentador

Por ejemplo en la figura 16 se muestra un montaje de un plano inclinado donde va a

tener lugar el movimiento de estudio Tal y como estaacuten dispuestas las puertas permite

obtener el tiempo entre las puertas de manera mucho maacutes precisa que con un cronoacutemetro

FIG16

Otro montaje se puede observar en la figura 17 para el estudio de un movimiento

circular En este caso una varilla se hace girar a velocidad

constante gracias a un motor Se coloca una puerta de tal

manera que mida el tiempo que tarda la puerta en completar

una vuelta completa (el periodo) La medicioacuten se realizaraacute a

diferentes distancias del centro de giro para comprobar que

el periodo no variacutea Con este periodo pueden determinar

magnitudes como la velocidad lineal angular o aceleracioacuten

normal

44 Aplicaciones para moacutevil (apps)

Desde la aparicioacuten de los smartphones o teleacutefonos inteligentes existen numerosas

aplicaciones gratuitas o con versiones de prueba amplias que convierten a los moacuteviles en

FIG 17


27

aparatos de medicioacuten y toma de datos muy sofisticados Algunas de estas aplicaciones son

Physics Tools o Lab4Physics

Dichas aplicaciones aprovechan los sensores del moacutevil para utilizarlos como

aceleroacutemetros magnetoacutemetros medidores de aacutengulo sonoacutemetros o baroacutemetros entre

otros Estas aplicaciones recogen los datos en tiempo real y pueden ser exportados muy

raacutepidamente a un ordenador a traves de la red wifi para su tratamiento en una hoja de

caacutelculo

Este meacutetodo cuentan con la ventaja de que la gran mayoriacutea de los alumnos cuentan con

moacuteviles que pueden llevar al laboratorio tras el permiso correspondiente

La configuracioacuten maacutes sencilla para el estudio del movimiento consiste en atar el moacutevil a

un carrito el cual se podraacute hacer deslizar a

traveacutes de un plano inclinado o un plano

horizontal (figura 18) y medir la aceleracioacuten

con el aceleroacutemetro Dichos datos pueden ser

constrastados con el valor teoacuterico esperado

45 Simulaciones informaacuteticas interactivas para fiacutesica y quiacutemica

Las simulaciones informaacuteticas interactivas son programas informaacuteticos que simulan

procesos en base a leyes de la naturaleza Estas simulaciones pueden utilizarse on line o

descargarse en la computadora y tienen la ventaja de ser de acceso libre no requerir

equipos especialmente potentes y son faacuteciles e intuitivas de manejar Su uso permite

involucran a los estudiantes mediante un ambiente intuitivo y similar a un juego en

donde aprenden explorando y descubriendo Se tratariacutea de praacutecticas a realizar en el aula

de informaacutetica

Existen numerosas instituciones y programadores partiacuteculres

que ponen a disposicioacuten de todos los usuarios dichos programas

Debido a la gran cantidad de simulaciones disponibles en

internet las posibilidades son muacuteltiples Algunas de estas

paacuteginas son las correspondientes a movimiento Ibercaja Phet

Universidad de Colorado Educaplus o labovirtualblogspotcom

La manera maacutes eficiente de plantear este tipo de praacutecticas es

realizar un cuestionario bien en papel bien digital con aplicaciones como google

formularios en el cual se indique el procedimiento a seguir y se deje un cuadro para

rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten

En definitiva hemos abordado el estudio relacionado con el movimiento de los cuerpos

Hemos visto todo el tratamiento matemaacutetico necesario para su anaacutelisis asiacute como los

diferentes tipos de movimiento que nos podemos encontrar Esta parte de la mecaacutenica

llamada cinemeacutetica tiene aplicaciones en la vida cotidiana como el estudio de la caiacuteda

libre de un cuerpo movimiento de dos coches que se acercan o alejan en una carretera

movimiento de giro de un disco de vinilohellip


1

TEMA 4

CINEMAacuteTICA ELEMENTOS PARA LA DESCRIPCIOacuteN DEL

MOVIMIENTO MOVIMIENTOS DE ESPECIAL INTEREacuteS

MEacuteTODOS PARA EL ESTUDIO EXPERIMENTAL DEL MOVI-

MIENTO

Iacutendice

0 Introduccioacuten 3

1 Cinemaacutetica 3

2 Elementos para la descripcioacuten del movimiento 4

21 Sistemas de referencia 4

22 Vector de posicioacuten de un moacutevil 5

23 Vector velocidad 6

24 Vector aceleracioacuten 8

25 Componentes intriacutensecas de la aceleracioacuten 9

26 Concepto de radio de curvatura 12

3 Movimientos de especial intereacutes 12

31 Movimiento uniforme 12

32 Movimiento rectiliacuteneo uniformemente acelerado 13

33 Movimiento circular uniforme 15

34 Movimiento circular uniformemente acelerado 15

35 Movimiento armoacutenico simple 16

36 Composicioacuten de movimientos rectiliacuteneos 17

4 Meacutetodos para el estudio experimental de los movimientos 23

41 Meacutetodos tradicionales de laboratorio de mecaacutenica 24

43 Utilizacioacuten de puertas fotoeleacutectricas 25


2




Bibliografiacutea









Iberoamericana








3

0 Introduccioacuten









1 Cinemaacutetica


















4












formacioacuten etc








sus propios ejes









absoluta






5












del vector r





)(txx = )(tyy = )(tzz =








ktzjtyitxtrr




como )(trr



6





s = s(t)










23 Vector velocidad





posicioacuten r


+ r








como el

cociente

t

rvm

=


desplazamiento r




del arco PQ


7



t

svm

=


moacutedulo pues sr





dt

rd

t

rlimvt

=

=

rarr 0 (a)


dt

ds

t

slimvt

=

=

rarr 0 (b)



t

slim

s

rlim

s

s

t

rlimv

tst

=

=

rarrrarrrarr 000






(inicialmente



en el punto

t

su

ds

rd

s

rlim

==


rarr PQ

PQlim

QP



vt

slimt

=



middot= (c)




8




ktzjtyitxr




kdt

tdzj

dt

tdyi

dt

tdx

dt

rdv

)()()(

++==


21222

+

+

==

dt

dz

dt

dy

dt

dxvv







situado en P es v




+ v





t

vam

=




2

2

0 dt

rd

dt

rd

dt

d

dt

vd

t

vlimat

=

==

=

rarr


9


kdt

zdj

dt

ydi

dt

xdk

dt

dvj

dt

dvi

dt

dva zyx

2

2

2

2

2

2

++=++=


2

2

22

2

22

2

2

+

+

==

dt

zd

dt

yd

dt

xdaa














( )dt

udvu

dt

dvuv

dt

d

dt

vda t

tt


como vemos a




vds

ud

dt

ds

ds

ud

dt

ud ttt


y el factor dsud t





respecto a







FIG4

ut ut

ut ut

ut

s

r

+

rr

r

+

C

QR

C

S

P

O

s=r


10


n

tt uds

ud

ds

ud

middot= (f)



y sean tu

y tu

+ tu








+= se cumple

2middotsen2

2middotsenmiddot2

=

= tt uu

pues 1=tu


ssss

u t

=

=

=

middot

2

2sen

middot2middotsen2

2middotsen2


slim

s

ulim

s

t

s

=

rarrrarr

00

pues 1

2

2sen

0=

rarr

lim

y por ello ds

d

ds


resultando rds



rds

ud

middot1


nt u

r

v

dt


r

vu

dt

dva

2

+=








11


dt

dva

= y su moacutedulo

dt

dv


va

middot

2


v2



y



es siempre



222

22

+

=+==

r

v

dt

dvaaaa nt


t

n

t

n

A

A

A

Aarctgtg ==












v

vaayavvava tt

bull

===bull cos


vu

= luego ( )

2v

vvauaa ttt

bull

==


y v


vectorial

navvava sen ==

y v

vaan

=


12


)(

vav

vavun

=
















FIG6





y 0=ta












13

dt

rdv

= luego dtvrd

=


rarr 00 rtvr

+=

donde 0r






r

y 0v











ttnt aaaaa ==+= 222



aadtvd t

== o bien dtavd


resulta

0 vtav

+=

siendo 0v


para t = 0


resulta

tavdt

rdv 0


+=


rarr 2

00 2

1 tatvrr

++=


14

donde 0r


inicial t = 0




0r

0v

a

vectores




2

00 2





vvt ominus

=


2

2

2

1 0

2

0

22

00

0

2

00

00 =minus+

+minus

+=

minus+

minus+=

a

vvvv

a

vvvs

a

vva

a

vvvss

a

vvs

a

vvvvvvvs

22

222

2

0

2

0

0

2

0

22

00

0

minus+=

minus++minus+=

de donde a

vvss

2

2

0

2

0


2

0

2 ssavv minus+=



2

002

1tatvrr

++= puede ponerse 2

002

1tatvrr

+=minus


minus 0v

y a



minus=

resultando 2

02

1attvs +=






15







nnt aaaa

=+=








dt

d

dt

ds middot= es decir

dt

dv

=






y v



=v


=minus= AOv


es el momento del







16



2

002


2

0

2 ssavv t minus+=



resultaraacute

( )

dt

d

dt

d

dt

dv== o sea a =





= 0 + t 2 = 02 + 2













( ) += tAx sen





17


inicial para t=0







( )

++=+==

2sencos

tAtA

dt

dxv


respecto del tiempo

( ) XtAdt





F = ma = -m2x = -kx













4321 ++++= rrrrr



18






v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)t



v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)



2

2

2

121

2

2

2



tvvssss middot2

2

2

1

2

2

2

1+=rarr+=


1

2

1

2tgs

s

v

v==


++=

++=

2

202022

2

101011

2

1middot

2

1middot

tatvss

tatvss sumando

2

21201020121 )(2


taavvdt

dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa

dt

dva +==




19

middot

2

1middot

middot

2

02022

01011

sumandoattvss

tvss

++=

+=

2

02010201212


adt

dvaatvv

dt

dsv ==++== )( 0201








22222 tgvvvvgtv

ctevxyx

y

x+=+=

minus=

=


x

y

v

varctg=


jgtivv x

minus=



resulta

jgtitvr x

2

1 2minus=



2

2

1gty

tvx x

=

=


trayectoria


20

)(2

middotmiddot2

1 22

2

2

paraacutebolaxkxv

g

v

xgy

xx

=

=

=







vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

sencos 00 minus+=




( ) jtgtvitvr

minus+= 2

00 2

1sencos


minus=

=

2

0

0

2

1sen

cos

gttvy

tvx


21


+=



v0y=gt1 de donde g

v

g

vt

y 2

00

1


g

v

g

v

g

vg

g

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22

0

22

0

2

22

00

0

sen

2

1sensen

2

1sen

senminus=

minus

==

o sea g

vh

2

sen 22

0 =



segundo grado

2

2202

1sen gttv =


vt

sen2 0

2 =




sea t2=2t1


t2 resultando

g

v

g

vvxa

cossen2middotcos

sen2 2

00

0 =

== rarr

g

va

2sen2

0=







elevacioacuten



22

=minus+=+= 2

0

22

0


0

222


gyv 2 2

0 minus=


y

v

v=tg




cos

2

1

cos

02

0

0

v

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=

( ) 2

22

0

22

0

2

0

0 middotcos2

middottgcos2

1sen

cosx

v

gx

v

xg

v

xvy

minus=

minus

=


minus=

22

0 cos2v

ga b=tg y c=0







+=

+=

)middotsen(

)middotsen(

222

111

tAs



ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







23






2211

2211

coscos

sensentg

AA

AA

+

+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

2 minus++= AAAAA


Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








2




Bibliografiacutea









Iberoamericana








3

0 Introduccioacuten









1 Cinemaacutetica


















4












formacioacuten etc








sus propios ejes









absoluta






5












del vector r





)(txx = )(tyy = )(tzz =








ktzjtyitxtrr




como )(trr



6





s = s(t)










23 Vector velocidad





posicioacuten r


+ r








como el

cociente

t

rvm

=


desplazamiento r




del arco PQ


7



t

svm

=


moacutedulo pues sr





dt

rd

t

rlimvt

=

=

rarr 0 (a)


dt

ds

t

slimvt

=

=

rarr 0 (b)



t

slim

s

rlim

s

s

t

rlimv

tst

=

=

rarrrarrrarr 000






(inicialmente



en el punto

t

su

ds

rd

s

rlim

==


rarr PQ

PQlim

QP



vt

slimt

=



middot= (c)




8




ktzjtyitxr




kdt

tdzj

dt

tdyi

dt

tdx

dt

rdv

)()()(

++==


21222

+

+

==

dt

dz

dt

dy

dt

dxvv







situado en P es v




+ v





t

vam

=




2

2

0 dt

rd

dt

rd

dt

d

dt

vd

t

vlimat

=

==

=

rarr


9


kdt

zdj

dt

ydi

dt

xdk

dt

dvj

dt

dvi

dt

dva zyx

2

2

2

2

2

2

++=++=


2

2

22

2

22

2

2

+

+

==

dt

zd

dt

yd

dt

xdaa














( )dt

udvu

dt

dvuv

dt

d

dt

vda t

tt


como vemos a




vds

ud

dt

ds

ds

ud

dt

ud ttt


y el factor dsud t





respecto a







FIG4

ut ut

ut ut

ut

s

r

+

rr

r

+

C

QR

C

S

P

O

s=r


10


n

tt uds

ud

ds

ud

middot= (f)



y sean tu

y tu

+ tu








+= se cumple

2middotsen2

2middotsenmiddot2

=

= tt uu

pues 1=tu


ssss

u t

=

=

=

middot

2

2sen

middot2middotsen2

2middotsen2


slim

s

ulim

s

t

s

=

rarrrarr

00

pues 1

2

2sen

0=

rarr

lim

y por ello ds

d

ds


resultando rds



rds

ud

middot1


nt u

r

v

dt


r

vu

dt

dva

2

+=








11


dt

dva

= y su moacutedulo

dt

dv


va

middot

2


v2



y



es siempre



222

22

+

=+==

r

v

dt

dvaaaa nt


t

n

t

n

A

A

A

Aarctgtg ==












v

vaayavvava tt

bull

===bull cos


vu

= luego ( )

2v

vvauaa ttt

bull

==


y v


vectorial

navvava sen ==

y v

vaan

=


12


)(

vav

vavun

=
















FIG6





y 0=ta












13

dt

rdv

= luego dtvrd

=


rarr 00 rtvr

+=

donde 0r






r

y 0v











ttnt aaaaa ==+= 222



aadtvd t

== o bien dtavd


resulta

0 vtav

+=

siendo 0v


para t = 0


resulta

tavdt

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+=


rarr 2

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1 tatvrr

++=


14

donde 0r


inicial t = 0




0r

0v

a

vectores




2

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vvt ominus

=


2

2

2

1 0

2

0

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00

0

2

00

00 =minus+

+minus

+=

minus+

minus+=

a

vvvv

a

vvvs

a

vva

a

vvvss

a

vvs

a

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22

222

2

0

2

0

0

2

0

22

00

0

minus+=

minus++minus+=

de donde a

vvss

2

2

0

2

0


2

0

2 ssavv minus+=



2

002

1tatvrr

++= puede ponerse 2

002

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+=minus


minus 0v

y a



minus=

resultando 2

02

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15







nnt aaaa

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dt

d

dt

ds middot= es decir

dt

dv

=






y v



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=minus= AOv


es el momento del







16



2

002


2

0

2 ssavv t minus+=



resultaraacute

( )

dt

d

dt

d

dt

dv== o sea a =





= 0 + t 2 = 02 + 2













( ) += tAx sen





17


inicial para t=0







( )

++=+==

2sencos

tAtA

dt

dxv


respecto del tiempo

( ) XtAdt





F = ma = -m2x = -kx













4321 ++++= rrrrr



18






v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)t



v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)



2

2

2

121

2

2

2



tvvssss middot2

2

2

1

2

2

2

1+=rarr+=


1

2

1

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s

v

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++=

++=

2

202022

2

101011

2

1middot

2

1middot

tatvss

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2

21201020121 )(2


taavvdt

dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa

dt

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19

middot

2

1middot

middot

2

02022

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tvss

++=

+=

2

02010201212


adt

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dt

dsv ==++== )( 0201








22222 tgvvvvgtv

ctevxyx

y

x+=+=

minus=

=


x

y

v

varctg=


jgtivv x

minus=



resulta

jgtitvr x

2

1 2minus=



2

2

1gty

tvx x

=

=


trayectoria


20

)(2

middotmiddot2

1 22

2

2

paraacutebolaxkxv

g

v

xgy

xx

=

=

=







vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

sencos 00 minus+=




( ) jtgtvitvr

minus+= 2

00 2

1sencos


minus=

=

2

0

0

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1sen

cos

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21


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v

g

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y 2

00

1


g

v

g

v

g

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22

0

22

0

2

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sen

2

1sensen

2

1sen

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minus

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o sea g

vh

2

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0 =



segundo grado

2

2202

1sen gttv =


vt

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sea t2=2t1


t2 resultando

g

v

g

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00

0 =

== rarr

g

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22

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0

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y

v

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( ) 2

22

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1sen

cosx

v

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v

xg

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minus=

minus

=


minus=

22

0 cos2v

ga b=tg y c=0







+=

+=

)middotsen(

)middotsen(

222

111

tAs



ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







23






2211

2211

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AA

AA

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+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

2 minus++= AAAAA


Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








3

0 Introduccioacuten









1 Cinemaacutetica


















4












formacioacuten etc








sus propios ejes









absoluta






5












del vector r





)(txx = )(tyy = )(tzz =








ktzjtyitxtrr




como )(trr



6





s = s(t)










23 Vector velocidad





posicioacuten r


+ r








como el

cociente

t

rvm

=


desplazamiento r




del arco PQ


7



t

svm

=


moacutedulo pues sr





dt

rd

t

rlimvt

=

=

rarr 0 (a)


dt

ds

t

slimvt

=

=

rarr 0 (b)



t

slim

s

rlim

s

s

t

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=

=

rarrrarrrarr 000






(inicialmente



en el punto

t

su

ds

rd

s

rlim

==


rarr PQ

PQlim

QP



vt

slimt

=



middot= (c)




8




ktzjtyitxr




kdt

tdzj

dt

tdyi

dt

tdx

dt

rdv

)()()(

++==


21222

+

+

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dt

dz

dt

dy

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situado en P es v




+ v





t

vam

=




2

2

0 dt

rd

dt

rd

dt

d

dt

vd

t

vlimat

=

==

=

rarr


9


kdt

zdj

dt

ydi

dt

xdk

dt

dvj

dt

dvi

dt

dva zyx

2

2

2

2

2

2

++=++=


2

2

22

2

22

2

2

+

+

==

dt

zd

dt

yd

dt

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( )dt

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dt

dvuv

dt

d

dt

vda t

tt


como vemos a




vds

ud

dt

ds

ds

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dt

ud ttt


y el factor dsud t





respecto a







FIG4

ut ut

ut ut

ut

s

r

+

rr

r

+

C

QR

C

S

P

O

s=r


10


n

tt uds

ud

ds

ud

middot= (f)



y sean tu

y tu

+ tu








+= se cumple

2middotsen2

2middotsenmiddot2

=

= tt uu

pues 1=tu


ssss

u t

=

=

=

middot

2

2sen

middot2middotsen2

2middotsen2


slim

s

ulim

s

t

s

=

rarrrarr

00

pues 1

2

2sen

0=

rarr

lim

y por ello ds

d

ds


resultando rds



rds

ud

middot1


nt u

r

v

dt


r

vu

dt

dva

2

+=








11


dt

dva

= y su moacutedulo

dt

dv


va

middot

2


v2



y



es siempre



222

22

+

=+==

r

v

dt

dvaaaa nt


t

n

t

n

A

A

A

Aarctgtg ==












v

vaayavvava tt

bull

===bull cos


vu

= luego ( )

2v

vvauaa ttt

bull

==


y v


vectorial

navvava sen ==

y v

vaan

=


12


)(

vav

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=
















FIG6





y 0=ta












13

dt

rdv

= luego dtvrd

=


rarr 00 rtvr

+=

donde 0r






r

y 0v











ttnt aaaaa ==+= 222



aadtvd t

== o bien dtavd


resulta

0 vtav

+=

siendo 0v


para t = 0


resulta

tavdt

rdv 0


+=


rarr 2

00 2

1 tatvrr

++=


14

donde 0r


inicial t = 0




0r

0v

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2

00 2





vvt ominus

=


2

2

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1 0

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+minus

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2

002

1tatvrr

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002

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+=minus


minus 0v

y a



minus=

resultando 2

02

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15







nnt aaaa

=+=








dt

d

dt

ds middot= es decir

dt

dv

=






y v



=v


=minus= AOv


es el momento del







16



2

002


2

0

2 ssavv t minus+=



resultaraacute

( )

dt

d

dt

d

dt

dv== o sea a =





= 0 + t 2 = 02 + 2













( ) += tAx sen





17


inicial para t=0







( )

++=+==

2sencos

tAtA

dt

dxv


respecto del tiempo

( ) XtAdt





F = ma = -m2x = -kx













4321 ++++= rrrrr



18






v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)t



v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)



2

2

2

121

2

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2



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2

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1

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1

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s

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++=

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202022

2

101011

2

1middot

2

1middot

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2

21201020121 )(2


taavvdt

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dt

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19

middot

2

1middot

middot

2

02022

01011

sumandoattvss

tvss

++=

+=

2

02010201212


adt

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22222 tgvvvvgtv

ctevxyx

y

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x

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2

1 2minus=



2

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1gty

tvx x

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trayectoria


20

)(2

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1 22

2

2

paraacutebolaxkxv

g

v

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=

=

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vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

sencos 00 minus+=




( ) jtgtvitvr

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g

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y 2

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g

v

g

v

g

vg

g

vvyh

22

0

22

0

2

22

00

0

sen

2

1sensen

2

1sen

senminus=

minus

==

o sea g

vh

2

sen 22

0 =



segundo grado

2

2202

1sen gttv =


vt

sen2 0

2 =




sea t2=2t1


t2 resultando

g

v

g

vvxa

cossen2middotcos

sen2 2

00

0 =

== rarr

g

va

2sen2

0=







elevacioacuten



22

=minus+=+= 2

0

22

0


0

222


gyv 2 2

0 minus=


y

v

v=tg




cos

2

1

cos

02

0

0

v

xt

gttsenvy

tvx=rarr

minus=

=

( ) 2

22

0

22

0

2

0

0 middotcos2

middottgcos2

1sen

cosx

v

gx

v

xg

v

xvy

minus=

minus

=


minus=

22

0 cos2v

ga b=tg y c=0







+=

+=

)middotsen(

)middotsen(

222

111

tAs



ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







23






2211

2211

coscos

sensentg

AA

AA

+

+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

2 minus++= AAAAA


Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








4












formacioacuten etc








sus propios ejes









absoluta






5












del vector r





)(txx = )(tyy = )(tzz =








ktzjtyitxtrr




como )(trr



6





s = s(t)










23 Vector velocidad





posicioacuten r


+ r








como el

cociente

t

rvm

=


desplazamiento r




del arco PQ


7



t

svm

=


moacutedulo pues sr





dt

rd

t

rlimvt

=

=

rarr 0 (a)


dt

ds

t

slimvt

=

=

rarr 0 (b)



t

slim

s

rlim

s

s

t

rlimv

tst

=

=

rarrrarrrarr 000






(inicialmente



en el punto

t

su

ds

rd

s

rlim

==


rarr PQ

PQlim

QP



vt

slimt

=



middot= (c)




8




ktzjtyitxr




kdt

tdzj

dt

tdyi

dt

tdx

dt

rdv

)()()(

++==


21222

+

+

==

dt

dz

dt

dy

dt

dxvv







situado en P es v




+ v





t

vam

=




2

2

0 dt

rd

dt

rd

dt

d

dt

vd

t

vlimat

=

==

=

rarr


9


kdt

zdj

dt

ydi

dt

xdk

dt

dvj

dt

dvi

dt

dva zyx

2

2

2

2

2

2

++=++=


2

2

22

2

22

2

2

+

+

==

dt

zd

dt

yd

dt

xdaa














( )dt

udvu

dt

dvuv

dt

d

dt

vda t

tt


como vemos a




vds

ud

dt

ds

ds

ud

dt

ud ttt


y el factor dsud t





respecto a







FIG4

ut ut

ut ut

ut

s

r

+

rr

r

+

C

QR

C

S

P

O

s=r


10


n

tt uds

ud

ds

ud

middot= (f)



y sean tu

y tu

+ tu








+= se cumple

2middotsen2

2middotsenmiddot2

=

= tt uu

pues 1=tu


ssss

u t

=

=

=

middot

2

2sen

middot2middotsen2

2middotsen2


slim

s

ulim

s

t

s

=

rarrrarr

00

pues 1

2

2sen

0=

rarr

lim

y por ello ds

d

ds


resultando rds



rds

ud

middot1


nt u

r

v

dt


r

vu

dt

dva

2

+=








11


dt

dva

= y su moacutedulo

dt

dv


va

middot

2


v2



y



es siempre



222

22

+

=+==

r

v

dt

dvaaaa nt


t

n

t

n

A

A

A

Aarctgtg ==












v

vaayavvava tt

bull

===bull cos


vu

= luego ( )

2v

vvauaa ttt

bull

==


y v


vectorial

navvava sen ==

y v

vaan

=


12


)(

vav

vavun

=
















FIG6





y 0=ta












13

dt

rdv

= luego dtvrd

=


rarr 00 rtvr

+=

donde 0r






r

y 0v











ttnt aaaaa ==+= 222



aadtvd t

== o bien dtavd


resulta

0 vtav

+=

siendo 0v


para t = 0


resulta

tavdt

rdv 0


+=


rarr 2

00 2

1 tatvrr

++=


14

donde 0r


inicial t = 0




0r

0v

a

vectores




2

00 2





vvt ominus

=


2

2

2

1 0

2

0

22

00

0

2

00

00 =minus+

+minus

+=

minus+

minus+=

a

vvvv

a

vvvs

a

vva

a

vvvss

a

vvs

a

vvvvvvvs

22

222

2

0

2

0

0

2

0

22

00

0

minus+=

minus++minus+=

de donde a

vvss

2

2

0

2

0


2

0

2 ssavv minus+=



2

002

1tatvrr

++= puede ponerse 2

002

1tatvrr

+=minus


minus 0v

y a



minus=

resultando 2

02

1attvs +=






15







nnt aaaa

=+=








dt

d

dt

ds middot= es decir

dt

dv

=






y v



=v


=minus= AOv


es el momento del







16



2

002


2

0

2 ssavv t minus+=



resultaraacute

( )

dt

d

dt

d

dt

dv== o sea a =





= 0 + t 2 = 02 + 2













( ) += tAx sen





17


inicial para t=0







( )

++=+==

2sencos

tAtA

dt

dxv


respecto del tiempo

( ) XtAdt





F = ma = -m2x = -kx













4321 ++++= rrrrr



18






v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)t



v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)



2

2

2

121

2

2

2



tvvssss middot2

2

2

1

2

2

2

1+=rarr+=


1

2

1

2tgs

s

v

v==


++=

++=

2

202022

2

101011

2

1middot

2

1middot

tatvss

tatvss sumando

2

21201020121 )(2


taavvdt

dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa

dt

dva +==




19

middot

2

1middot

middot

2

02022

01011

sumandoattvss

tvss

++=

+=

2

02010201212


adt

dvaatvv

dt

dsv ==++== )( 0201








22222 tgvvvvgtv

ctevxyx

y

x+=+=

minus=

=


x

y

v

varctg=


jgtivv x

minus=



resulta

jgtitvr x

2

1 2minus=



2

2

1gty

tvx x

=

=


trayectoria


20

)(2

middotmiddot2

1 22

2

2

paraacutebolaxkxv

g

v

xgy

xx

=

=

=







vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

sencos 00 minus+=




( ) jtgtvitvr

minus+= 2

00 2

1sencos


minus=

=

2

0

0

2

1sen

cos

gttvy

tvx


21


+=



v0y=gt1 de donde g

v

g

vt

y 2

00

1


g

v

g

v

g

vg

g

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22

0

22

0

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22

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sen

2

1sensen

2

1sen

senminus=

minus

==

o sea g

vh

2

sen 22

0 =



segundo grado

2

2202

1sen gttv =


vt

sen2 0

2 =




sea t2=2t1


t2 resultando

g

v

g

vvxa

cossen2middotcos

sen2 2

00

0 =

== rarr

g

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elevacioacuten



22

=minus+=+= 2

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0

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y

v

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v

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=

( ) 2

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0

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1sen

cosx

v

gx

v

xg

v

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minus=

minus

=


minus=

22

0 cos2v

ga b=tg y c=0







+=

+=

)middotsen(

)middotsen(

222

111

tAs



ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







23






2211

2211

coscos

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AA

AA

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+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

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Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








5












del vector r





)(txx = )(tyy = )(tzz =








ktzjtyitxtrr




como )(trr



6





s = s(t)










23 Vector velocidad





posicioacuten r


+ r








como el

cociente

t

rvm

=


desplazamiento r




del arco PQ


7



t

svm

=


moacutedulo pues sr





dt

rd

t

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=

=

rarr 0 (a)


dt

ds

t

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=

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s

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s

s

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=

=

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(inicialmente



en el punto

t

su

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==


rarr PQ

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QP



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=



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8




ktzjtyitxr




kdt

tdzj

dt

tdyi

dt

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dt

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)()()(

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+

+

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dt

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dt

dy

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situado en P es v




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t

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=




2

2

0 dt

rd

dt

rd

dt

d

dt

vd

t

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=

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=

rarr


9


kdt

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dt

ydi

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2

2

2

2

2

2

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2

2

22

2

22

2

2

+

+

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dt

zd

dt

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dt

xdaa














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udvu

dt

dvuv

dt

d

dt

vda t

tt


como vemos a




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ud

dt

ds

ds

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dt

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y el factor dsud t





respecto a







FIG4

ut ut

ut ut

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s

r

+

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r

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C

QR

C

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P

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s=r


10


n

tt uds

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ds

ud

middot= (f)



y sean tu

y tu

+ tu








+= se cumple

2middotsen2

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=

= tt uu

pues 1=tu


ssss

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=

=

=

middot

2

2sen

middot2middotsen2

2middotsen2


slim

s

ulim

s

t

s

=

rarrrarr

00

pues 1

2

2sen

0=

rarr

lim

y por ello ds

d

ds


resultando rds



rds

ud

middot1


nt u

r

v

dt


r

vu

dt

dva

2

+=








11


dt

dva

= y su moacutedulo

dt

dv


va

middot

2


v2



y



es siempre



222

22

+

=+==

r

v

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t

n

t

n

A

A

A

Aarctgtg ==












v

vaayavvava tt

bull

===bull cos


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= luego ( )

2v

vvauaa ttt

bull

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y v


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navvava sen ==

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=


12


)(

vav

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FIG6





y 0=ta












13

dt

rdv

= luego dtvrd

=


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+=

donde 0r






r

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== o bien dtavd


resulta

0 vtav

+=

siendo 0v


para t = 0


resulta

tavdt

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+=


rarr 2

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1 tatvrr

++=


14

donde 0r


inicial t = 0




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2

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=


2

2

2

1 0

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+minus

+=

minus+

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222

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2

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2

002

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++= puede ponerse 2

002

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15







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dt

d

dt

ds middot= es decir

dt

dv

=






y v



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es el momento del







16



2

002


2

0

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( )

dt

d

dt

d

dt

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= 0 + t 2 = 02 + 2













( ) += tAx sen





17


inicial para t=0







( )

++=+==

2sencos

tAtA

dt

dxv


respecto del tiempo

( ) XtAdt





F = ma = -m2x = -kx













4321 ++++= rrrrr



18






v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)t



v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)



2

2

2

121

2

2

2



tvvssss middot2

2

2

1

2

2

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1

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1

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s

v

v==


++=

++=

2

202022

2

101011

2

1middot

2

1middot

tatvss

tatvss sumando

2

21201020121 )(2


taavvdt

dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa

dt

dva +==




19

middot

2

1middot

middot

2

02022

01011

sumandoattvss

tvss

++=

+=

2

02010201212


adt

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dt

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22222 tgvvvvgtv

ctevxyx

y

x+=+=

minus=

=


x

y

v

varctg=


jgtivv x

minus=



resulta

jgtitvr x

2

1 2minus=



2

2

1gty

tvx x

=

=


trayectoria


20

)(2

middotmiddot2

1 22

2

2

paraacutebolaxkxv

g

v

xgy

xx

=

=

=







vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

sencos 00 minus+=




( ) jtgtvitvr

minus+= 2

00 2

1sencos


minus=

=

2

0

0

2

1sen

cos

gttvy

tvx


21


+=



v0y=gt1 de donde g

v

g

vt

y 2

00

1


g

v

g

v

g

vg

g

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22

0

22

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2

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sen

2

1sensen

2

1sen

senminus=

minus

==

o sea g

vh

2

sen 22

0 =



segundo grado

2

2202

1sen gttv =


vt

sen2 0

2 =




sea t2=2t1


t2 resultando

g

v

g

vvxa

cossen2middotcos

sen2 2

00

0 =

== rarr

g

va

2sen2

0=







elevacioacuten



22

=minus+=+= 2

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0

222


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0 minus=


y

v

v=tg




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2

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v

xt

gttsenvy

tvx=rarr

minus=

=

( ) 2

22

0

22

0

2

0

0 middotcos2

middottgcos2

1sen

cosx

v

gx

v

xg

v

xvy

minus=

minus

=


minus=

22

0 cos2v

ga b=tg y c=0







+=

+=

)middotsen(

)middotsen(

222

111

tAs



ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







23






2211

2211

coscos

sensentg

AA

AA

+

+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

2 minus++= AAAAA


Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








6





s = s(t)










23 Vector velocidad





posicioacuten r


+ r








como el

cociente

t

rvm

=


desplazamiento r




del arco PQ


7



t

svm

=


moacutedulo pues sr





dt

rd

t

rlimvt

=

=

rarr 0 (a)


dt

ds

t

slimvt

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=

rarr 0 (b)



t

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s

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(inicialmente



en el punto

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rarr PQ

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8




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+

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2

2

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dt

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9


kdt

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dt

ydi

dt

xdk

dt

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dt

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dt

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2

2

2

2

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zd

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dt

ds

ds

ud

dt

ud ttt


y el factor dsud t





respecto a







FIG4

ut ut

ut ut

ut

s

r

+

rr

r

+

C

QR

C

S

P

O

s=r


10


n

tt uds

ud

ds

ud

middot= (f)



y sean tu

y tu

+ tu








+= se cumple

2middotsen2

2middotsenmiddot2

=

= tt uu

pues 1=tu


ssss

u t

=

=

=

middot

2

2sen

middot2middotsen2

2middotsen2


slim

s

ulim

s

t

s

=

rarrrarr

00

pues 1

2

2sen

0=

rarr

lim

y por ello ds

d

ds


resultando rds



rds

ud

middot1


nt u

r

v

dt


r

vu

dt

dva

2

+=








11


dt

dva

= y su moacutedulo

dt

dv


va

middot

2


v2



y



es siempre



222

22

+

=+==

r

v

dt

dvaaaa nt


t

n

t

n

A

A

A

Aarctgtg ==












v

vaayavvava tt

bull

===bull cos


vu

= luego ( )

2v

vvauaa ttt

bull

==


y v


vectorial

navvava sen ==

y v

vaan

=


12


)(

vav

vavun

=
















FIG6





y 0=ta












13

dt

rdv

= luego dtvrd

=


rarr 00 rtvr

+=

donde 0r






r

y 0v











ttnt aaaaa ==+= 222



aadtvd t

== o bien dtavd


resulta

0 vtav

+=

siendo 0v


para t = 0


resulta

tavdt

rdv 0


+=


rarr 2

00 2

1 tatvrr

++=


14

donde 0r


inicial t = 0




0r

0v

a

vectores




2

00 2





vvt ominus

=


2

2

2

1 0

2

0

22

00

0

2

00

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+minus

+=

minus+

minus+=

a

vvvv

a

vvvs

a

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a

vvvss

a

vvs

a

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22

222

2

0

2

0

0

2

0

22

00

0

minus+=

minus++minus+=

de donde a

vvss

2

2

0

2

0


2

0

2 ssavv minus+=



2

002

1tatvrr

++= puede ponerse 2

002

1tatvrr

+=minus


minus 0v

y a



minus=

resultando 2

02

1attvs +=






15







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=+=








dt

d

dt

ds middot= es decir

dt

dv

=






y v



=v


=minus= AOv


es el momento del







16



2

002


2

0

2 ssavv t minus+=



resultaraacute

( )

dt

d

dt

d

dt

dv== o sea a =





= 0 + t 2 = 02 + 2













( ) += tAx sen





17


inicial para t=0







( )

++=+==

2sencos

tAtA

dt

dxv


respecto del tiempo

( ) XtAdt





F = ma = -m2x = -kx













4321 ++++= rrrrr



18






v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)t



v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)



2

2

2

121

2

2

2



tvvssss middot2

2

2

1

2

2

2

1+=rarr+=


1

2

1

2tgs

s

v

v==


++=

++=

2

202022

2

101011

2

1middot

2

1middot

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tatvss sumando

2

21201020121 )(2


taavvdt

dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa

dt

dva +==




19

middot

2

1middot

middot

2

02022

01011

sumandoattvss

tvss

++=

+=

2

02010201212


adt

dvaatvv

dt

dsv ==++== )( 0201








22222 tgvvvvgtv

ctevxyx

y

x+=+=

minus=

=


x

y

v

varctg=


jgtivv x

minus=



resulta

jgtitvr x

2

1 2minus=



2

2

1gty

tvx x

=

=


trayectoria


20

)(2

middotmiddot2

1 22

2

2

paraacutebolaxkxv

g

v

xgy

xx

=

=

=







vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

sencos 00 minus+=




( ) jtgtvitvr

minus+= 2

00 2

1sencos


minus=

=

2

0

0

2

1sen

cos

gttvy

tvx


21


+=



v0y=gt1 de donde g

v

g

vt

y 2

00

1


g

v

g

v

g

vg

g

vvyh

22

0

22

0

2

22

00

0

sen

2

1sensen

2

1sen

senminus=

minus

==

o sea g

vh

2

sen 22

0 =



segundo grado

2

2202

1sen gttv =


vt

sen2 0

2 =




sea t2=2t1


t2 resultando

g

v

g

vvxa

cossen2middotcos

sen2 2

00

0 =

== rarr

g

va

2sen2

0=







elevacioacuten



22

=minus+=+= 2

0

22

0


0

222


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0 minus=


y

v

v=tg




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2

1

cos

02

0

0

v

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gttsenvy

tvx=rarr

minus=

=

( ) 2

22

0

22

0

2

0

0 middotcos2

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1sen

cosx

v

gx

v

xg

v

xvy

minus=

minus

=


minus=

22

0 cos2v

ga b=tg y c=0







+=

+=

)middotsen(

)middotsen(

222

111

tAs



ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







23






2211

2211

coscos

sensentg

AA

AA

+

+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

2 minus++= AAAAA


Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








7



t

svm

=


moacutedulo pues sr





dt

rd

t

rlimvt

=

=

rarr 0 (a)


dt

ds

t

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=

=

rarr 0 (b)



t

slim

s

rlim

s

s

t

rlimv

tst

=

=

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(inicialmente



en el punto

t

su

ds

rd

s

rlim

==


rarr PQ

PQlim

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vt

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=



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8




ktzjtyitxr




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tdzj

dt

tdyi

dt

tdx

dt

rdv

)()()(

++==


21222

+

+

==

dt

dz

dt

dy

dt

dxvv







situado en P es v




+ v





t

vam

=




2

2

0 dt

rd

dt

rd

dt

d

dt

vd

t

vlimat

=

==

=

rarr


9


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zdj

dt

ydi

dt

xdk

dt

dvj

dt

dvi

dt

dva zyx

2

2

2

2

2

2

++=++=


2

2

22

2

22

2

2

+

+

==

dt

zd

dt

yd

dt

xdaa














( )dt

udvu

dt

dvuv

dt

d

dt

vda t

tt


como vemos a




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ud

dt

ds

ds

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dt

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y el factor dsud t





respecto a







FIG4

ut ut

ut ut

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s

r

+

rr

r

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C

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C

S

P

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s=r


10


n

tt uds

ud

ds

ud

middot= (f)



y sean tu

y tu

+ tu








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2middotsen2

2middotsenmiddot2

=

= tt uu

pues 1=tu


ssss

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=

=

=

middot

2

2sen

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s

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rds

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r

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11


dt

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2


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es siempre



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22

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r

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t

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A

A

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===bull cos


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= luego ( )

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bull

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y v


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12


)(

vav

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FIG6





y 0=ta












13

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rdv

= luego dtvrd

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donde 0r






r

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== o bien dtavd


resulta

0 vtav

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para t = 0


resulta

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+=


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14

donde 0r


inicial t = 0




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2

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2

2

2

1 0

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0

22

00

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2

00

00 =minus+

+minus

+=

minus+

minus+=

a

vvvv

a

vvvs

a

vva

a

vvvss

a

vvs

a

vvvvvvvs

22

222

2

0

2

0

0

2

0

22

00

0

minus+=

minus++minus+=

de donde a

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2

2

0

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0


2

0

2 ssavv minus+=



2

002

1tatvrr

++= puede ponerse 2

002

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+=minus


minus 0v

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15







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dt

d

dt

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dt

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es el momento del







16



2

002


2

0

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( )

dt

d

dt

d

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= 0 + t 2 = 02 + 2













( ) += tAx sen





17


inicial para t=0







( )

++=+==

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tAtA

dt

dxv


respecto del tiempo

( ) XtAdt





F = ma = -m2x = -kx













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18






v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)t



v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)



2

2

2

121

2

2

2



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2

2

1

2

2

2

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1

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++=

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2

202022

2

101011

2

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2

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2

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19

middot

2

1middot

middot

2

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tvss

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2

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y

x+=+=

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=


x

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2

1 2minus=



2

2

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tvx x

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=


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20

)(2

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1 22

2

2

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g

v

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=

=







vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

sencos 00 minus+=




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2

0

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g

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00

1


g

v

g

v

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2

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o sea g

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segundo grado

2

2202

1sen gttv =


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t2 resultando

g

v

g

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cossen2middotcos

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== rarr

g

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22

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y

v

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22

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0

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1sen

cosx

v

gx

v

xg

v

xvy

minus=

minus

=


minus=

22

0 cos2v

ga b=tg y c=0







+=

+=

)middotsen(

)middotsen(

222

111

tAs



ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







23






2211

2211

coscos

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AA

AA

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+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

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Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








8




ktzjtyitxr




kdt

tdzj

dt

tdyi

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2

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dt

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rarr


9


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dt

ydi

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xdk

dt

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dva zyx

2

2

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2

2

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como vemos a




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y el factor dsud t





respecto a







FIG4

ut ut

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ut

s

r

+

rr

r

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C

QR

C

S

P

O

s=r


10


n

tt uds

ud

ds

ud

middot= (f)



y sean tu

y tu

+ tu








+= se cumple

2middotsen2

2middotsenmiddot2

=

= tt uu

pues 1=tu


ssss

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=

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=

middot

2

2sen

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2middotsen2


slim

s

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rarrrarr

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y por ello ds

d

ds


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rds

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r

v

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r

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11


dt

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= y su moacutedulo

dt

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middot

2


v2



y



es siempre



222

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=+==

r

v

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t

n

t

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A

A

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y v


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12


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vav

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13

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resulta

0 vtav

+=

siendo 0v


para t = 0


resulta

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1 tatvrr

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14

donde 0r


inicial t = 0




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2

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vvt ominus

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2

2

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+minus

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minus+

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a

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minus+=

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2

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0


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2

002

1tatvrr

++= puede ponerse 2

002

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+=minus


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minus=

resultando 2

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15







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dt

d

dt

ds middot= es decir

dt

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=






y v



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es el momento del







16



2

002


2

0

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resultaraacute

( )

dt

d

dt

d

dt

dv== o sea a =





= 0 + t 2 = 02 + 2













( ) += tAx sen





17


inicial para t=0







( )

++=+==

2sencos

tAtA

dt

dxv


respecto del tiempo

( ) XtAdt





F = ma = -m2x = -kx













4321 ++++= rrrrr



18






v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)t



v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)



2

2

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121

2

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2

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1

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1

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1

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s

v

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202022

2

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2

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2

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tatvss

tatvss sumando

2

21201020121 )(2


taavvdt

dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa

dt

dva +==




19

middot

2

1middot

middot

2

02022

01011

sumandoattvss

tvss

++=

+=

2

02010201212


adt

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ctevxyx

y

x+=+=

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=


x

y

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resulta

jgtitvr x

2

1 2minus=



2

2

1gty

tvx x

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trayectoria


20

)(2

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1 22

2

2

paraacutebolaxkxv

g

v

xgy

xx

=

=

=







vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

sencos 00 minus+=




( ) jtgtvitvr

minus+= 2

00 2

1sencos


minus=

=

2

0

0

2

1sen

cos

gttvy

tvx


21


+=



v0y=gt1 de donde g

v

g

vt

y 2

00

1


g

v

g

v

g

vg

g

vvyh

22

0

22

0

2

22

00

0

sen

2

1sensen

2

1sen

senminus=

minus

==

o sea g

vh

2

sen 22

0 =



segundo grado

2

2202

1sen gttv =


vt

sen2 0

2 =




sea t2=2t1


t2 resultando

g

v

g

vvxa

cossen2middotcos

sen2 2

00

0 =

== rarr

g

va

2sen2

0=







elevacioacuten



22

=minus+=+= 2

0

22

0


0

222


gyv 2 2

0 minus=


y

v

v=tg




cos

2

1

cos

02

0

0

v

xt

gttsenvy

tvx=rarr

minus=

=

( ) 2

22

0

22

0

2

0

0 middotcos2

middottgcos2

1sen

cosx

v

gx

v

xg

v

xvy

minus=

minus

=


minus=

22

0 cos2v

ga b=tg y c=0







+=

+=

)middotsen(

)middotsen(

222

111

tAs



ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







23






2211

2211

coscos

sensentg

AA

AA

+

+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

2 minus++= AAAAA


Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








9


kdt

zdj

dt

ydi

dt

xdk

dt

dvj

dt

dvi

dt

dva zyx

2

2

2

2

2

2

++=++=


2

2

22

2

22

2

2

+

+

==

dt

zd

dt

yd

dt

xdaa














( )dt

udvu

dt

dvuv

dt

d

dt

vda t

tt


como vemos a




vds

ud

dt

ds

ds

ud

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ud ttt


y el factor dsud t





respecto a







FIG4

ut ut

ut ut

ut

s

r

+

rr

r

+

C

QR

C

S

P

O

s=r


10


n

tt uds

ud

ds

ud

middot= (f)



y sean tu

y tu

+ tu








+= se cumple

2middotsen2

2middotsenmiddot2

=

= tt uu

pues 1=tu


ssss

u t

=

=

=

middot

2

2sen

middot2middotsen2

2middotsen2


slim

s

ulim

s

t

s

=

rarrrarr

00

pues 1

2

2sen

0=

rarr

lim

y por ello ds

d

ds


resultando rds



rds

ud

middot1


nt u

r

v

dt


r

vu

dt

dva

2

+=








11


dt

dva

= y su moacutedulo

dt

dv


va

middot

2


v2



y



es siempre



222

22

+

=+==

r

v

dt

dvaaaa nt


t

n

t

n

A

A

A

Aarctgtg ==












v

vaayavvava tt

bull

===bull cos


vu

= luego ( )

2v

vvauaa ttt

bull

==


y v


vectorial

navvava sen ==

y v

vaan

=


12


)(

vav

vavun

=
















FIG6





y 0=ta












13

dt

rdv

= luego dtvrd

=


rarr 00 rtvr

+=

donde 0r






r

y 0v











ttnt aaaaa ==+= 222



aadtvd t

== o bien dtavd


resulta

0 vtav

+=

siendo 0v


para t = 0


resulta

tavdt

rdv 0


+=


rarr 2

00 2

1 tatvrr

++=


14

donde 0r


inicial t = 0




0r

0v

a

vectores




2

00 2





vvt ominus

=


2

2

2

1 0

2

0

22

00

0

2

00

00 =minus+

+minus

+=

minus+

minus+=

a

vvvv

a

vvvs

a

vva

a

vvvss

a

vvs

a

vvvvvvvs

22

222

2

0

2

0

0

2

0

22

00

0

minus+=

minus++minus+=

de donde a

vvss

2

2

0

2

0


2

0

2 ssavv minus+=



2

002

1tatvrr

++= puede ponerse 2

002

1tatvrr

+=minus


minus 0v

y a



minus=

resultando 2

02

1attvs +=






15







nnt aaaa

=+=








dt

d

dt

ds middot= es decir

dt

dv

=






y v



=v


=minus= AOv


es el momento del







16



2

002


2

0

2 ssavv t minus+=



resultaraacute

( )

dt

d

dt

d

dt

dv== o sea a =





= 0 + t 2 = 02 + 2













( ) += tAx sen





17


inicial para t=0







( )

++=+==

2sencos

tAtA

dt

dxv


respecto del tiempo

( ) XtAdt





F = ma = -m2x = -kx













4321 ++++= rrrrr



18






v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)t



v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)



2

2

2

121

2

2

2



tvvssss middot2

2

2

1

2

2

2

1+=rarr+=


1

2

1

2tgs

s

v

v==


++=

++=

2

202022

2

101011

2

1middot

2

1middot

tatvss

tatvss sumando

2

21201020121 )(2


taavvdt

dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa

dt

dva +==




19

middot

2

1middot

middot

2

02022

01011

sumandoattvss

tvss

++=

+=

2

02010201212


adt

dvaatvv

dt

dsv ==++== )( 0201








22222 tgvvvvgtv

ctevxyx

y

x+=+=

minus=

=


x

y

v

varctg=


jgtivv x

minus=



resulta

jgtitvr x

2

1 2minus=



2

2

1gty

tvx x

=

=


trayectoria


20

)(2

middotmiddot2

1 22

2

2

paraacutebolaxkxv

g

v

xgy

xx

=

=

=







vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

sencos 00 minus+=




( ) jtgtvitvr

minus+= 2

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minus=

=

2

0

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1sen

cos

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tvx


21


+=



v0y=gt1 de donde g

v

g

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1


g

v

g

v

g

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22

0

22

0

2

22

00

0

sen

2

1sensen

2

1sen

senminus=

minus

==

o sea g

vh

2

sen 22

0 =



segundo grado

2

2202

1sen gttv =


vt

sen2 0

2 =




sea t2=2t1


t2 resultando

g

v

g

vvxa

cossen2middotcos

sen2 2

00

0 =

== rarr

g

va

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0=







elevacioacuten



22

=minus+=+= 2

0

22

0


0

222


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v

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2

1

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0

0

v

xt

gttsenvy

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=

( ) 2

22

0

22

0

2

0

0 middotcos2

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1sen

cosx

v

gx

v

xg

v

xvy

minus=

minus

=


minus=

22

0 cos2v

ga b=tg y c=0







+=

+=

)middotsen(

)middotsen(

222

111

tAs



ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







23






2211

2211

coscos

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AA

AA

+

+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

2 minus++= AAAAA


Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








10


n

tt uds

ud

ds

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y sean tu

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2

2sen

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slim

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00

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y por ello ds

d

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r

v

dt


r

vu

dt

dva

2

+=








11


dt

dva

= y su moacutedulo

dt

dv


va

middot

2


v2



y



es siempre



222

22

+

=+==

r

v

dt

dvaaaa nt


t

n

t

n

A

A

A

Aarctgtg ==












v

vaayavvava tt

bull

===bull cos


vu

= luego ( )

2v

vvauaa ttt

bull

==


y v


vectorial

navvava sen ==

y v

vaan

=


12


)(

vav

vavun

=
















FIG6





y 0=ta












13

dt

rdv

= luego dtvrd

=


rarr 00 rtvr

+=

donde 0r






r

y 0v











ttnt aaaaa ==+= 222



aadtvd t

== o bien dtavd


resulta

0 vtav

+=

siendo 0v


para t = 0


resulta

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rdv 0


+=


rarr 2

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1 tatvrr

++=


14

donde 0r


inicial t = 0




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a

vectores




2

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2

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1 0

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00

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+minus

+=

minus+

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a

vvvs

a

vva

a

vvvss

a

vvs

a

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22

222

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0

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0

22

00

0

minus+=

minus++minus+=

de donde a

vvss

2

2

0

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0


2

0

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2

002

1tatvrr

++= puede ponerse 2

002

1tatvrr

+=minus


minus 0v

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minus=

resultando 2

02

1attvs +=






15







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=+=








dt

d

dt

ds middot= es decir

dt

dv

=






y v



=v


=minus= AOv


es el momento del







16



2

002


2

0

2 ssavv t minus+=



resultaraacute

( )

dt

d

dt

d

dt

dv== o sea a =





= 0 + t 2 = 02 + 2













( ) += tAx sen





17


inicial para t=0







( )

++=+==

2sencos

tAtA

dt

dxv


respecto del tiempo

( ) XtAdt





F = ma = -m2x = -kx













4321 ++++= rrrrr



18






v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)t



v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)



2

2

2

121

2

2

2



tvvssss middot2

2

2

1

2

2

2

1+=rarr+=


1

2

1

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s

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++=

++=

2

202022

2

101011

2

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2

1middot

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2

21201020121 )(2


taavvdt

dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa

dt

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19

middot

2

1middot

middot

2

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++=

+=

2

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adt

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dt

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y

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minus=

=


x

y

v

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jgtivv x

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resulta

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2

1 2minus=



2

2

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tvx x

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=


trayectoria


20

)(2

middotmiddot2

1 22

2

2

paraacutebolaxkxv

g

v

xgy

xx

=

=

=







vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

sencos 00 minus+=




( ) jtgtvitvr

minus+= 2

00 2

1sencos


minus=

=

2

0

0

2

1sen

cos

gttvy

tvx


21


+=



v0y=gt1 de donde g

v

g

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y 2

00

1


g

v

g

v

g

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g

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22

0

22

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2

1sensen

2

1sen

senminus=

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==

o sea g

vh

2

sen 22

0 =



segundo grado

2

2202

1sen gttv =


vt

sen2 0

2 =




sea t2=2t1


t2 resultando

g

v

g

vvxa

cossen2middotcos

sen2 2

00

0 =

== rarr

g

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0=







elevacioacuten



22

=minus+=+= 2

0

22

0


0

222


gyv 2 2

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y

v

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2

1

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( ) 2

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1sen

cosx

v

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minus=

minus

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minus=

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0 cos2v

ga b=tg y c=0







+=

+=

)middotsen(

)middotsen(

222

111

tAs



ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







23






2211

2211

coscos

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AA

AA

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+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

2 minus++= AAAAA


Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








11


dt

dva

= y su moacutedulo

dt

dv


va

middot

2


v2



y



es siempre



222

22

+

=+==

r

v

dt

dvaaaa nt


t

n

t

n

A

A

A

Aarctgtg ==












v

vaayavvava tt

bull

===bull cos


vu

= luego ( )

2v

vvauaa ttt

bull

==


y v


vectorial

navvava sen ==

y v

vaan

=


12


)(

vav

vavun

=
















FIG6





y 0=ta












13

dt

rdv

= luego dtvrd

=


rarr 00 rtvr

+=

donde 0r






r

y 0v











ttnt aaaaa ==+= 222



aadtvd t

== o bien dtavd


resulta

0 vtav

+=

siendo 0v


para t = 0


resulta

tavdt

rdv 0


+=


rarr 2

00 2

1 tatvrr

++=


14

donde 0r


inicial t = 0




0r

0v

a

vectores




2

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vvt ominus

=


2

2

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1 0

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00

00 =minus+

+minus

+=

minus+

minus+=

a

vvvv

a

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a

vva

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a

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22

222

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00

0

minus+=

minus++minus+=

de donde a

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2

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0

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0


2

0

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2

002

1tatvrr

++= puede ponerse 2

002

1tatvrr

+=minus


minus 0v

y a



minus=

resultando 2

02

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15







nnt aaaa

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dt

d

dt

ds middot= es decir

dt

dv

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y v



=v


=minus= AOv


es el momento del







16



2

002


2

0

2 ssavv t minus+=



resultaraacute

( )

dt

d

dt

d

dt

dv== o sea a =





= 0 + t 2 = 02 + 2













( ) += tAx sen





17


inicial para t=0







( )

++=+==

2sencos

tAtA

dt

dxv


respecto del tiempo

( ) XtAdt





F = ma = -m2x = -kx













4321 ++++= rrrrr



18






v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)t



v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)



2

2

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121

2

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tvvssss middot2

2

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1

2

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1

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s

v

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++=

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2

202022

2

101011

2

1middot

2

1middot

tatvss

tatvss sumando

2

21201020121 )(2


taavvdt

dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa

dt

dva +==




19

middot

2

1middot

middot

2

02022

01011

sumandoattvss

tvss

++=

+=

2

02010201212


adt

dvaatvv

dt

dsv ==++== )( 0201








22222 tgvvvvgtv

ctevxyx

y

x+=+=

minus=

=


x

y

v

varctg=


jgtivv x

minus=



resulta

jgtitvr x

2

1 2minus=



2

2

1gty

tvx x

=

=


trayectoria


20

)(2

middotmiddot2

1 22

2

2

paraacutebolaxkxv

g

v

xgy

xx

=

=

=







vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

sencos 00 minus+=




( ) jtgtvitvr

minus+= 2

00 2

1sencos


minus=

=

2

0

0

2

1sen

cos

gttvy

tvx


21


+=



v0y=gt1 de donde g

v

g

vt

y 2

00

1


g

v

g

v

g

vg

g

vvyh

22

0

22

0

2

22

00

0

sen

2

1sensen

2

1sen

senminus=

minus

==

o sea g

vh

2

sen 22

0 =



segundo grado

2

2202

1sen gttv =


vt

sen2 0

2 =




sea t2=2t1


t2 resultando

g

v

g

vvxa

cossen2middotcos

sen2 2

00

0 =

== rarr

g

va

2sen2

0=







elevacioacuten



22

=minus+=+= 2

0

22

0


0

222


gyv 2 2

0 minus=


y

v

v=tg




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2

1

cos

02

0

0

v

xt

gttsenvy

tvx=rarr

minus=

=

( ) 2

22

0

22

0

2

0

0 middotcos2

middottgcos2

1sen

cosx

v

gx

v

xg

v

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minus=

minus

=


minus=

22

0 cos2v

ga b=tg y c=0







+=

+=

)middotsen(

)middotsen(

222

111

tAs



ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







23






2211

2211

coscos

sensentg

AA

AA

+

+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

2 minus++= AAAAA


Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








12


)(

vav

vavun

=
















FIG6





y 0=ta












13

dt

rdv

= luego dtvrd

=


rarr 00 rtvr

+=

donde 0r






r

y 0v











ttnt aaaaa ==+= 222



aadtvd t

== o bien dtavd


resulta

0 vtav

+=

siendo 0v


para t = 0


resulta

tavdt

rdv 0


+=


rarr 2

00 2

1 tatvrr

++=


14

donde 0r


inicial t = 0




0r

0v

a

vectores




2

00 2





vvt ominus

=


2

2

2

1 0

2

0

22

00

0

2

00

00 =minus+

+minus

+=

minus+

minus+=

a

vvvv

a

vvvs

a

vva

a

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a

vvs

a

vvvvvvvs

22

222

2

0

2

0

0

2

0

22

00

0

minus+=

minus++minus+=

de donde a

vvss

2

2

0

2

0


2

0

2 ssavv minus+=



2

002

1tatvrr

++= puede ponerse 2

002

1tatvrr

+=minus


minus 0v

y a



minus=

resultando 2

02

1attvs +=






15







nnt aaaa

=+=








dt

d

dt

ds middot= es decir

dt

dv

=






y v



=v


=minus= AOv


es el momento del







16



2

002


2

0

2 ssavv t minus+=



resultaraacute

( )

dt

d

dt

d

dt

dv== o sea a =





= 0 + t 2 = 02 + 2













( ) += tAx sen





17


inicial para t=0







( )

++=+==

2sencos

tAtA

dt

dxv


respecto del tiempo

( ) XtAdt





F = ma = -m2x = -kx













4321 ++++= rrrrr



18






v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)t



v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)



2

2

2

121

2

2

2



tvvssss middot2

2

2

1

2

2

2

1+=rarr+=


1

2

1

2tgs

s

v

v==


++=

++=

2

202022

2

101011

2

1middot

2

1middot

tatvss

tatvss sumando

2

21201020121 )(2


taavvdt

dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa

dt

dva +==




19

middot

2

1middot

middot

2

02022

01011

sumandoattvss

tvss

++=

+=

2

02010201212


adt

dvaatvv

dt

dsv ==++== )( 0201








22222 tgvvvvgtv

ctevxyx

y

x+=+=

minus=

=


x

y

v

varctg=


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minus=



resulta

jgtitvr x

2

1 2minus=



2

2

1gty

tvx x

=

=


trayectoria


20

)(2

middotmiddot2

1 22

2

2

paraacutebolaxkxv

g

v

xgy

xx

=

=

=







vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

sencos 00 minus+=




( ) jtgtvitvr

minus+= 2

00 2

1sencos


minus=

=

2

0

0

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1sen

cos

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tvx


21


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v0y=gt1 de donde g

v

g

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y 2

00

1


g

v

g

v

g

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22

0

22

0

2

22

00

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sen

2

1sensen

2

1sen

senminus=

minus

==

o sea g

vh

2

sen 22

0 =



segundo grado

2

2202

1sen gttv =


vt

sen2 0

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sea t2=2t1


t2 resultando

g

v

g

vvxa

cossen2middotcos

sen2 2

00

0 =

== rarr

g

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0=







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22

=minus+=+= 2

0

22

0


0

222


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y

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v=tg




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2

1

cos

02

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0

v

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=

( ) 2

22

0

22

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0

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1sen

cosx

v

gx

v

xg

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minus

=


minus=

22

0 cos2v

ga b=tg y c=0







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+=

)middotsen(

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222

111

tAs



ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







23






2211

2211

coscos

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AA

AA

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+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

2 minus++= AAAAA


Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








13

dt

rdv

= luego dtvrd

=


rarr 00 rtvr

+=

donde 0r






r

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ttnt aaaaa ==+= 222



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== o bien dtavd


resulta

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para t = 0


resulta

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donde 0r


inicial t = 0




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a

vectores




2

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=


2

2

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1 0

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22

00

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00

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minus+

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a

vvvv

a

vvvs

a

vva

a

vvvss

a

vvs

a

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22

222

2

0

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2

0

22

00

0

minus+=

minus++minus+=

de donde a

vvss

2

2

0

2

0


2

0

2 ssavv minus+=



2

002

1tatvrr

++= puede ponerse 2

002

1tatvrr

+=minus


minus 0v

y a



minus=

resultando 2

02

1attvs +=






15







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=+=








dt

d

dt

ds middot= es decir

dt

dv

=






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=v


=minus= AOv


es el momento del







16



2

002


2

0

2 ssavv t minus+=



resultaraacute

( )

dt

d

dt

d

dt

dv== o sea a =





= 0 + t 2 = 02 + 2













( ) += tAx sen





17


inicial para t=0







( )

++=+==

2sencos

tAtA

dt

dxv


respecto del tiempo

( ) XtAdt





F = ma = -m2x = -kx













4321 ++++= rrrrr



18






v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)t



v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)



2

2

2

121

2

2

2



tvvssss middot2

2

2

1

2

2

2

1+=rarr+=


1

2

1

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s

v

v==


++=

++=

2

202022

2

101011

2

1middot

2

1middot

tatvss

tatvss sumando

2

21201020121 )(2


taavvdt

dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa

dt

dva +==




19

middot

2

1middot

middot

2

02022

01011

sumandoattvss

tvss

++=

+=

2

02010201212


adt

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dt

dsv ==++== )( 0201








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ctevxyx

y

x+=+=

minus=

=


x

y

v

varctg=


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minus=



resulta

jgtitvr x

2

1 2minus=



2

2

1gty

tvx x

=

=


trayectoria


20

)(2

middotmiddot2

1 22

2

2

paraacutebolaxkxv

g

v

xgy

xx

=

=

=







vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

sencos 00 minus+=




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minus+= 2

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1sencos


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2

0

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2

1sen

cos

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21


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00

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g

v

g

v

g

vg

g

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22

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22

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22

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2

1sensen

2

1sen

senminus=

minus

==

o sea g

vh

2

sen 22

0 =



segundo grado

2

2202

1sen gttv =


vt

sen2 0

2 =




sea t2=2t1


t2 resultando

g

v

g

vvxa

cossen2middotcos

sen2 2

00

0 =

== rarr

g

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elevacioacuten



22

=minus+=+= 2

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0

222


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y

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2

1

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v

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( ) 2

22

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1sen

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minus=

22

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ga b=tg y c=0







+=

+=

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222

111

tAs



ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







23






2211

2211

coscos

sensentg

AA

AA

+

+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

2 minus++= AAAAA


Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








14

donde 0r


inicial t = 0




0r

0v

a

vectores




2

00 2





vvt ominus

=


2

2

2

1 0

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de donde a

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2

002

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++= puede ponerse 2

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+=minus


minus 0v

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15







nnt aaaa

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dt

d

dt

ds middot= es decir

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y v



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=minus= AOv


es el momento del







16



2

002


2

0

2 ssavv t minus+=



resultaraacute

( )

dt

d

dt

d

dt

dv== o sea a =





= 0 + t 2 = 02 + 2













( ) += tAx sen





17


inicial para t=0







( )

++=+==

2sencos

tAtA

dt

dxv


respecto del tiempo

( ) XtAdt





F = ma = -m2x = -kx













4321 ++++= rrrrr



18






v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)t



v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)



2

2

2

121

2

2

2



tvvssss middot2

2

2

1

2

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2

1+=rarr+=


1

2

1

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s

v

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++=

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2

202022

2

101011

2

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2

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2

21201020121 )(2


taavvdt

dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa

dt

dva +==




19

middot

2

1middot

middot

2

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tvss

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2

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ctevxyx

y

x+=+=

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=


x

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jgtitvr x

2

1 2minus=



2

2

1gty

tvx x

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=


trayectoria


20

)(2

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1 22

2

2

paraacutebolaxkxv

g

v

xgy

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=

=







vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

sencos 00 minus+=




( ) jtgtvitvr

minus+= 2

00 2

1sencos


minus=

=

2

0

0

2

1sen

cos

gttvy

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21


+=



v0y=gt1 de donde g

v

g

vt

y 2

00

1


g

v

g

v

g

vg

g

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22

0

22

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sen

2

1sensen

2

1sen

senminus=

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==

o sea g

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0 =



segundo grado

2

2202

1sen gttv =


vt

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2 =




sea t2=2t1


t2 resultando

g

v

g

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00

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== rarr

g

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elevacioacuten



22

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y

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2

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v

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1sen

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v

gx

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ga b=tg y c=0







+=

+=

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111

tAs



ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







23






2211

2211

coscos

sensentg

AA

AA

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+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

2 minus++= AAAAA


Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








15







nnt aaaa

=+=








dt

d

dt

ds middot= es decir

dt

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=






y v



=v


=minus= AOv


es el momento del







16



2

002


2

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d

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dv== o sea a =





= 0 + t 2 = 02 + 2













( ) += tAx sen





17


inicial para t=0







( )

++=+==

2sencos

tAtA

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respecto del tiempo

( ) XtAdt





F = ma = -m2x = -kx













4321 ++++= rrrrr



18






v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)t



v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)



2

2

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121

2

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tvvssss middot2

2

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1

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1

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s

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++=

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202022

2

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2

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tatvss

tatvss sumando

2

21201020121 )(2


taavvdt

dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa

dt

dva +==




19

middot

2

1middot

middot

2

02022

01011

sumandoattvss

tvss

++=

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2

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adt

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22222 tgvvvvgtv

ctevxyx

y

x+=+=

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x

y

v

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jgtivv x

minus=



resulta

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2

1 2minus=



2

2

1gty

tvx x

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trayectoria


20

)(2

middotmiddot2

1 22

2

2

paraacutebolaxkxv

g

v

xgy

xx

=

=

=







vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

sencos 00 minus+=




( ) jtgtvitvr

minus+= 2

00 2

1sencos


minus=

=

2

0

0

2

1sen

cos

gttvy

tvx


21


+=



v0y=gt1 de donde g

v

g

vt

y 2

00

1


g

v

g

v

g

vg

g

vvyh

22

0

22

0

2

22

00

0

sen

2

1sensen

2

1sen

senminus=

minus

==

o sea g

vh

2

sen 22

0 =



segundo grado

2

2202

1sen gttv =


vt

sen2 0

2 =




sea t2=2t1


t2 resultando

g

v

g

vvxa

cossen2middotcos

sen2 2

00

0 =

== rarr

g

va

2sen2

0=







elevacioacuten



22

=minus+=+= 2

0

22

0


0

222


gyv 2 2

0 minus=


y

v

v=tg




cos

2

1

cos

02

0

0

v

xt

gttsenvy

tvx=rarr

minus=

=

( ) 2

22

0

22

0

2

0

0 middotcos2

middottgcos2

1sen

cosx

v

gx

v

xg

v

xvy

minus=

minus

=


minus=

22

0 cos2v

ga b=tg y c=0







+=

+=

)middotsen(

)middotsen(

222

111

tAs



ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







23






2211

2211

coscos

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AA

AA

+

+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

2 minus++= AAAAA


Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








16



2

002


2

0

2 ssavv t minus+=



resultaraacute

( )

dt

d

dt

d

dt

dv== o sea a =





= 0 + t 2 = 02 + 2













( ) += tAx sen





17


inicial para t=0







( )

++=+==

2sencos

tAtA

dt

dxv


respecto del tiempo

( ) XtAdt





F = ma = -m2x = -kx













4321 ++++= rrrrr



18






v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)t



v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)



2

2

2

121

2

2

2



tvvssss middot2

2

2

1

2

2

2

1+=rarr+=


1

2

1

2tgs

s

v

v==


++=

++=

2

202022

2

101011

2

1middot

2

1middot

tatvss

tatvss sumando

2

21201020121 )(2


taavvdt

dsv )()( 210201 +++== )( 21 aa

dt

dva +==




19

middot

2

1middot

middot

2

02022

01011

sumandoattvss

tvss

++=

+=

2

02010201212


adt

dvaatvv

dt

dsv ==++== )( 0201








22222 tgvvvvgtv

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y

x+=+=

minus=

=


x

y

v

varctg=


jgtivv x

minus=



resulta

jgtitvr x

2

1 2minus=



2

2

1gty

tvx x

=

=


trayectoria


20

)(2

middotmiddot2

1 22

2

2

paraacutebolaxkxv

g

v

xgy

xx

=

=

=







vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

sencos 00 minus+=




( ) jtgtvitvr

minus+= 2

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1sencos


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=

2

0

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g

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g

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g

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g

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22

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22

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sen

2

1sensen

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1sen

senminus=

minus

==

o sea g

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sen 22

0 =



segundo grado

2

2202

1sen gttv =


vt

sen2 0

2 =




sea t2=2t1


t2 resultando

g

v

g

vvxa

cossen2middotcos

sen2 2

00

0 =

== rarr

g

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elevacioacuten



22

=minus+=+= 2

0

22

0


0

222


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y

v

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2

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( ) 2

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=


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ga b=tg y c=0







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+=

)middotsen(

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111

tAs



ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







23






2211

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coscos

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AA

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+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

2 minus++= AAAAA


Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








17


inicial para t=0







( )

++=+==

2sencos

tAtA

dt

dxv


respecto del tiempo

( ) XtAdt





F = ma = -m2x = -kx













4321 ++++= rrrrr



18






v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)t



v = v1 - v2 a = 0

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2

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2

121

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1

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1

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s

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202022

2

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2

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2

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19

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2

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trayectoria


20

)(2

middotmiddot2

1 22

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2

paraacutebolaxkxv

g

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=

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vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

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2

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g

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1sensen

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1sen

senminus=

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o sea g

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sen 22

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segundo grado

2

2202

1sen gttv =


vt

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sea t2=2t1


t2 resultando

g

v

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AA

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Casos Particulares















24























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0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

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22

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2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








18






v = v1 + v2 a = 0

s = s1 + s2 = (v1 + v2)t



v = v1 - v2 a = 0

s = s1 - s2 = (v1 - v2)t (v1gtv2)



2

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trayectoria


20

)(2

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1 22

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2

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g

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=

=







vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

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1sen

senminus=

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o sea g

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segundo grado

2

2202

1sen gttv =


vt

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sea t2=2t1


t2 resultando

g

v

g

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== rarr

g

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23






2211

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AA

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1

2 +++= AAAAA


2

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2 minus++= AAAAA


Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








19

middot

2

1middot

middot

2

02022

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sumandoattvss

tvss

++=

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2

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22222 tgvvvvgtv

ctevxyx

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x

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trayectoria


20

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1 22

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g

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vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

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sea t2=2t1


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g

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== rarr

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( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







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AA

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2 +++= AAAAA


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Casos Particulares















24























asvv 22

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FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

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22

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=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








20

)(2

middotmiddot2

1 22

2

2

paraacutebolaxkxv

g

v

xgy

xx

=

=

=







vx = v0x = cte







( ) ( ) jtgvivv

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( ) jtgtvitvr

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1sencos


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=

2

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1sen

cos

gttvy

tvx


21


+=



v0y=gt1 de donde g

v

g

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1


g

v

g

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22

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segundo grado

2

2202

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vt

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t2 resultando

g

v

g

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0 =

== rarr

g

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elevacioacuten



22

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y

v

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v

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ga b=tg y c=0







+=

+=

)middotsen(

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222

111

tAs



ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







23






2211

2211

coscos

sensentg

AA

AA

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+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

2 minus++= AAAAA


Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








21


+=



v0y=gt1 de donde g

v

g

vt

y 2

00

1


g

v

g

v

g

vg

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22

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1sen

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minus

==

o sea g

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2

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segundo grado

2

2202

1sen gttv =


vt

sen2 0

2 =




sea t2=2t1


t2 resultando

g

v

g

vvxa

cossen2middotcos

sen2 2

00

0 =

== rarr

g

va

2sen2

0=







elevacioacuten



22

=minus+=+= 2

0

22

0


0

222


gyv 2 2

0 minus=


y

v

v=tg




cos

2

1

cos

02

0

0

v

xt

gttsenvy

tvx=rarr

minus=

=

( ) 2

22

0

22

0

2

0

0 middotcos2

middottgcos2

1sen

cosx

v

gx

v

xg

v

xvy

minus=

minus

=


minus=

22

0 cos2v

ga b=tg y c=0







+=

+=

)middotsen(

)middotsen(

222

111

tAs



ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







23






2211

2211

coscos

sensentg

AA

AA

+

+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

2 minus++= AAAAA


Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








22

=minus+=+= 2

0

22

0


0

222


gyv 2 2

0 minus=


y

v

v=tg




cos

2

1

cos

02

0

0

v

xt

gttsenvy

tvx=rarr

minus=

=

( ) 2

22

0

22

0

2

0

0 middotcos2

middottgcos2

1sen

cosx

v

gx

v

xg

v

xvy

minus=

minus

=


minus=

22

0 cos2v

ga b=tg y c=0







+=

+=

)middotsen(

)middotsen(

222

111

tAs



ecuaciones resulta

( ) ( )221121 sensen +++=+= tAtAsss







23






2211

2211

coscos

sensentg

AA

AA

+

+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

2 minus++= AAAAA


Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




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27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








23






2211

2211

coscos

sensentg

AA

AA

+

+=





2

2

2

1

2 +++= AAAAA


2

2

2

1

2 minus++= AAAAA


Casos Particulares















24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








24























asvv 22

0

2 =minus

FIG 14

FIG 15


25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


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caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








25


1)



a = gsen







paraboacutelica

x = vtcos

y = vtsen + gt





v

s

vva

22

22

0

2

=minus

=

1

2


errores cometidos




para su tratamiento






26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








26















FIG16









normal




FIG 17


27







caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


28

5 Conclusioacuten








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caacutelculo
















de informaacutetica










rellenar resultados

FIG 18

FIG 19


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5 Conclusioacuten








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5 Conclusioacuten







cuerpo de profesores de enseñanza secundaria1. cinemática la mecánica es la parte de la física...

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