MATEMATICAS IV – CALCULO DIFERENCIAL

UNIDAD 2

OBJETIVO: Que el estudiante relacione conocimientos de diversas disciplinas (sistemas y reglas oprincipios medulares) para estructurar ideas, argumentos y crear modelos que den solución a problemas surgidos de la actividad humana.

INDICE :

Función: definición, sus elementos y representación grafica

Limites: definición, propiedades y calculo de limites por evaluación, indeterminados y que tienden a infinito

Videos y páginas web recomendados para esta unidad

Bibliografía

RELACION

1

Implican una correspondencia o algún tipo de asociación, entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas

Cuando se forma una expresión que liga 2 o más objetos entre si, postulamos una relación (aunque no sea matemática) ejemplo:

JUAN “ES AMIGO” DE PEDRO LAURA “ES NOVIA DE” MANUELSAMUEL “ES PAPA DE” IRMA

Estos conceptos indican relaciones entre elementos de conjuntos. Es así que las parejas ordenadas del ejemplo anterior seria:

(JUAN, PEDRO) (LAURA, MANUEL) (SAMUEL, IRMA)

FUNCION Por medio de las funciones podemos representar muchas situaciones de la vida cotidiana, como es el costo del recibo de la luz. La cual depende de los kilowatts consumidos en un periodo de tiempo determinado. También cosas relacionadas con la naturaleza, como el crecimiento de una planta que depende del tiempo transcurrido desde que se planto la semilla etc.

DEFINICION DE FUNCION: Es un caso particular de las relaciones. Si tenemos dos conjuntos A y B, y una regla que asocie a todo elemento del conjunto “A” con uno y solo un elemento del conjunto “B”, entonces decimos que tenemos una función “ ” definida en “A” con valores de “B”.

EJEMPLO 1: Sean los conjuntos A = {Manuel, Pedro, Juan} B = {Inés, María, Patricia} y se desea asignar a cada nombre una o varias mujeres.

Gráficamente podríamos dar las siguientes soluciones que son funciones

2

Estas NO son funciones:

Una función consta de tres elementos 1. Un conjunto “A” llamado Domino de la función

Es el conjunto de las primeras ordenadas que pertenecen. Continuando con el ejemplo anterior tendríamos DOMINO = A = {Manuel, Pedro, Juan}

2. Un conjunto “B” denominado Contradominio de la funciónEs el conjunto de las segundas ordenadas. CONTRADOMINIO = {Inés, María, Patricia}

3. Una regla de correspondencia “ ” que asocia todo elemento de A con uno y solo un elemento de B. En ingles se usa la palabra RANGE para denominar el contradominio. La cual se a traducido como: contradominio, codominio, recorrido, rango.

La regla puede ser demostrada con un diagrama, una ecuación, una tabla de valores o una grafica.

Si tenemos los conjuntos A y B, y la regla de correspondencia y cumple con las propiedades señaladas en el párrafo anterior, entonces se denomina función cuya notación se escribe: y la leemos así “ va de A a B”

Si x es un elemento de A, entonces el elemento B asociado a x por medio de la regla de correspondencia se expresa de la forma siguiente:

y se lee así “ de x ”. NOTA: se pueden utilizar otras letras para designar la función, ejemplos:F(x) G(x)

REGLA DE CORRESPONDENCIA DE UNA FUNCION POR MEDIO DE UNA NOTACION DIGITAL

A. Regla de correspondencia dada por un diagrama (notación digital)

DOMINO CONTRADOMINIO

Se llama IMAGEN DE X al elemento asociado a “x “bajo la función “ ”3

0

20

40

60

80

100

120

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Serie1

La imagen de 4 es 9, la de 6 es 11, la imagen de 5 es el 7 etc.Variable independiente variable dependiente

B. Regla de correspondencia dada por una ecuación 1. Tenemos la ecuación y al expresarla como una función, que

designaremos como en este caso obtendremos:

Dado que para obtener el valor de “y” esta despende del valor que se le asigne a “x”, entonces y = f(x) al citar una función podemos usar indistintamente cualquiera de las 2 notaciones:

o bien

La función es el conjunto de todas las parejas ordenadas (x, y) tales que “x” y “y” satisfacen la ecuación y se expresa:

la variable independiente es x y la variable dependiente es y

El dominio para esta función son todos los numero reales pues se pueden sustituir con facilidad en esta formula. Ejemplo: si x = 2

AHORA BIEN, DANDOLE DISTINTOS VALORES A “x” TENDRIAMOS

X Y-6 11

2-4 52-2 160 42 16 4 526 11

2

Gráficamente los datos de la tabla y la figura obtenida resulta ser una parábola con vértice en los puntos (0,4)

2. si tenemos la función

En este ejemplo, el dominio son todos los números reales excepto el numero 2, ya que si este numero se sustituye como el valor de x en la formula nos dará como resultado lo siguiente

Recordando que en los numero reales la división de cualquier numero entre cero no existe. Es por eso que el numero 2 no puede ser parte de nuestro dominio.

4

TAREA:1.- Y GRAFIQUE

X Y-10-5-0510

2. Construye la grafica a partir de la tabla numérica y encuentre la función que la representa

x -3 -2 -1 0 1 2 3y -9 -4 -1 0 -1 -4 -9

3. El equipo de atletas de bachillerato competirá en una carrera. Ángela se entrena en una pista marcada en metros. Su entrenador toma sus tiempos. Inicia en 0 metros el primer segundo recorre 2 metros, en el siguiente segundo alcanza a recorrer 4 metros, en el 3ero los 6 metros así sucesivamente hasta que a los 10 segundos ha recorrido 20 metros.

Encuentra la función que representa este problema realiza la grafica

4.-En una cuenta de electricidad figura el siguiente detalle:Arriendo de equipos: $ 100Cargo fijo: $ 50Energía utilizada en el mes de enero 250 kwh $ 300

Total $ 450

5

Encuentre la función que definiría este problema, complete la tabla y realice la grafica correspondiente

F(X) Y

250 450

300

350

400

450

5.- Un tambo se llena a razón de 12 cm cada 5 minutos. Si la altura del tambo es 1.5 metros y el tambo esta llenado a la mitad. Cuantos segundos se necesita para llenarlo completamente? Realice la función correspondiente.

6.- La mezcla de un pastel tiene una temperatura ambiente de 27 º c es movido a un horno cuya temperatura tiene de 450 º c. Por experiencia sabemos que una mezcla metida al horno a 400 º c después de 9 minutos aumenta su temperatura 3 º c. Si el pastel estara listo cuando su temperatura llegue a los 38 º c, ¿cuánto tiempo tomará cocinarlo? Realice la funcion correspondiente a este problema

EJERCICIOS: identifique los siguientes conjuntos de parejas si son funciones o relaciones

1 {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6) }

6

2 { (1,1), (1,4), (2,1), (3,1), (3,2) }

3 { (-1,1), (1,1), (2,1), (3,1), (4,1) }

Para determina si las siguientes graficas representan una relación o una función

Se traza una recta vertical en ambas graficas. Si esta intersecta solo un punto es una función, si intersecta mas puntos es una relación

Indique cual de las siguientes graficas es función

VALOR DE UNA FUNCION y= f(x) : El valor real f(x) de una función es aquel que toma “y” cuando se asigna a “x” un determinado valor.

Obtener f (-3) para f (x) = 3x2 -5x -2 f (-3) = 3 (-3)2-5(-3) -2

7

f (-3) = 3(9)+15 – 2 f (-3) = 27 +15-2 f (-3) = 40

Por lo tanto f (-3) = 40 es decir y = 40. Recordando que y = f(x) O lo que es lo mismo la curva pasa por el punto (-3,40) en el plano cartesiano.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

Ejemplo 1 Si encontrar

=

Ejercicios

1.- si determinar

2.- Si encontrar

8

3 Si obtener

Ejemplo 2 Si determinar s(4), s(a+5)

la función no esta definida por t=4, ya que no tiene solución real

Ejercicos1. si determinar

Ejemplo 3 Determinar si si

Entonces uniéndolas nos da esta se debe racionalizar

9

1. Si encontrar

2. Si encontrar

3. Si encontrar

10

Ejemplo 4 si encuentre el valor de y cuando x=-2

es decir la función no esta definida por x=-2

1. Si determinar

Ejemplo 5 Si demuestra que

o bien

Para demostrar entonces si se

demuestra

TAREA INVESTIGUE COMO SE RESUELVEN LOS

BINOMIOS AL CUADRADO:

11

BINOMIOS AL CUBO:

1. si determinar

12

2.- si demuestra que

3. ENCONTRAR =

13

4. ENCONTRAR

CLASIFICACION DE LAS FUNCIONESA.FUNCION INYECTIVA (UNO A UNO)Llamada también UNIVOCA, a cada elemento del contradominio le corresponde solo un electo del domino sin importar que sobren en el contradominio

B. FUNCION SOBREYECTIVA (SOBRE) O también llamada suprayectiva, cuando a todos los elementos del contradominio le corresponde uno o más elementos del dominio. No deben sobrar elementos en el contradominio, sin importar que uno o más elementos del contradominio sean imágenes

14

de mas de un elemento del dominio. (a todos les debe llegar flecha, sin importar que a un elemento le llegue mas de una)

C. FUNCION BIYECTIVALlamada también BIUNIVOCA, si a todos los elementos del contradominio es imagen de uno y solamente un elemento del dominio. (ES decir en el contradominio no sobran elementos y ningún elemento es imagen de mas de un electo del dominio)

LIMITESCuando hablamos de estas situaciones, normalmente nos referimos a límites, como "la velocidad límite es de 65 millas por hora" o "Tengo un límite de 250 mensajes de texto al mes". Sin embargo, no tenemos que viajar exactamente a 65 millas por hora en la autopista, ni mandar y recibir precisamente 250 mensajes de texto al mes — el límite sólo establece una frontera para lo que es permitido. Pensar en estas situaciones como desigualdades proporciona una visión más amplia de lo que es posible..

El límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

".

15

LIMITES POR EVALUACIONEsta se obtiene aplicando el valor al cual tiene la variable en la función propuesta como se muestra en los siguientes ejemplos. Es decir se sustituye el valor de la variable independiente y se obtiene como resultado el límite1 si = =

2 si determina el valor de

3 Si determine el valor de

4 Obtener el

DETERMINAR EL VALOR DE LOS SIGUIENTES LÍMITES

1)

2)

4)

16

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

LIMITES INDETERMINADOS

Son aquellos cuyo resultado es de la forma como se muestra en las funciones siguientes:

17

Como son indeterminaciones es necesario eliminar esta ya sea por factorización o racionalización, para después simplificarla y obtener el límite.

CASOS DE FACTORIZACION

A) FACTOR COMUN por agrupación de términos

B) DIFERENCIA DE CUADRADOS

C) TRNIMOMIO CUADRADO PERFECTO

D) TRINOMIO DE LA FORMA

E) SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS

Ejemplo 1

A) FACTOR COMUN por agrupación de términos

OBTENER EL LIMITE

Sustituir el valor de x por el 0 en la función, la cual nos da indeterminación

18

Se debe factorizar en este caso por factor común

Simplificando se obtiene

Enseguida se aplica el valor del límite de esta función que es 0

ES DECIR

EJERCICIOS

1.-

2.-

3.-

4.-

EJEMPLO 2 B) DIFERENCIA DE CUADRADOS

DETERMINAR EL LIMITE

19

SUSTITUYENDO EL VALOR DE X =2

POR LO TANTO

EJERCICIOS:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

EJEMPLO 3 C) TRNIMOMIO CUADRADO PERFECTO20

D) TRINOMIO DE LA FORMA

OBTENER EL LIMITE

Sustituyendo el valor de x =1

Factorizando numerador trinomio cuadrado perfecto

Y el denominador de la forma

Es decir el resultado es:

EJERCICIOS

1.-

2.-

3.-

21

4.-

5.-

6.-

EJEMPLO 4 E) SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS

DETERMINAR EL LIMITE

Sustituyendo x=2

FACTORIZANDO EL NUMERADOR CON LA DIFERENCIA DE CUBOS

Y EL DENOMINADOR CON EL TRINOMIO DE LA FORMA

22

SE SIMPLIFICA, SUSTITUYE Y SE OBTIENE EL VALOR DEL LIMITE:

POR LO TANTO:

EJERCICIOS

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

23

CALCULO DE LIMITE CUANDO X TIENDE A INFINITO

Si en una función , se busca la base de mayor exponente y esta divide a cada uno de los términos de la función, depuse para obtener el valor del límite, se aplica el siguiente limite:

con C constante

Ejemplo 1 Encuentra el limite

Se determina cual es la base de mayor exponente en este ejemplo es , por lo que todos los elementos del numerador y denominador se dividen entre este.

Simplificando y aplicando el teorema se obtiene

Es decir

Ejemplo 2 Encuentra el limite

Se determina cual es la base de mayor exponente en este ejemplo es x, por lo que todos los elementos del numerador y denominador se dividen entre este.

Simplificando y aplicando el teorema se obtiene

24

Es decir

Ejemplo 3 Encuentra el limite

Se determina cual es la base de mayor exponente en este ejemplo es , por lo que todos los elementos del numerador y denominador se dividen entre este.

Simplificando y aplicando el teorema se obtiene

Es decir

OBTEN LOS SIGUIENTES LIMITES

1)

2)

25

3)

4)

5)

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Funciones http://www.math2me.com/playlist/pre-calculo/concepto-de-funcionhttp://www.math2me.com/playlist/pre-calculo/sustituir-la-variable-independiente-en-una-funcionhttp://www.math2me.com/playlist/pre-calculo/si-f-x-3x-5-hallar-f-1-2-f-0-f-2

Dominio de una función

Rango de una función

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Límites de la forma 0/0 con racionalización del denominador

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Límites de la forma ∞/∞Concepto de ∞Operaciones con ∞¿Por qué se tiene que dividir entre la variable de mayor exponente?Evaluar un límite racional que tiende a ∞

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BIBLOGRAFIA

Cálculo diferencial, Conamat, (2009) Primera edición, Editorial Pearson México.

http://ww2.educarchile.cl/UserFiles/P0001/File/funciones.pdf

http://www.novasur.cl/sites/default/files/FuncionesEnLaVidaCotidiana.pdf

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