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Noveno Grado - Matemática

1 Actividad

2 Actividad

Calcula el valor de los siguientes determinantes:

a) − −−

=18 2712 34

b) − − =5 3117 12

c) 36 916 4

=

Demuestra mediante propiedades que los siguientes determinantes son nulos. Escribe en el espacio de la derecha tus respuestas.

Determinante Propiedad utilizada

a) 6

3

8

40=

b) 9

4

9

40=

Los determinantes y sus propiedades

Lección 1

Unidad 1 UtiliceMos ecUAcioNes coN RADicAles


Nombre: Cuadernillo ASede: Código:

Nota:

Matemática - Noveno Grado

UNIDAD 1

Resuelve correctamente, haciendo uso de las propiedades de determinantes:

a) El valor de y para 7 3

2 23y = es:

b) Evalúa el determinante A =−

5 93 10

, intercambia las filas del arreglo A y calcula el

nuevo valor del determinante. Explica tu resultado utilizando propiedades.

c) Obtén el determinante 3 75 2−

, multiplica por 4 la segunda fila del arreglo anterior y

calcula el nuevo valor del determinante ¿Qué puedes concluir al comparar ambos resultados?

Marta desea cercar el jardín de su casa, el cual tiene la forma de un cuadrado. Si el área del jardín es de 81 m2 ¿Cuántos metros de cerca necesita?

3Actividad

4Actividad


1 Actividad

Clasifica en radicales semejantes el término de fila con el término de columna y completa la tabla. Escribe la palabra semejantes en los recuadros en los que aparezcan radicales semejantes. En donde no haya radicales semejantes deja la casilla en blanco.

En la primera columna tienes un ejemplo:

4 8 4 2 2 8 2y y y= ( ) =

x x x18 3 2 3 2= ( ) =

Como 8 y 2 y 3 2x son semejantes, también lo son:

4 8y y x 18

m n27 6 y x 18 : Blanco. No son radicales semejantes.

x 18 5 12 2 8y m n 5 48 6n n 7 724 4x y

4 8y semejantes

m n27 6

13 32 8x z

3 75 14x x

Primero simplifica los radicales y luego compáralos para determinar si son semejantes o no.

Ecuaciones con radicales

Lección 2


UNIDAD 1

Resuelve la ecuación radical 9 17 3 12x x− − =− , luego comprueba si la solución que obtuviste satisface la ecuación original.

Resuelve la ecuación radical xx

x− ++

= +1610

10 . Luego comprueba si la

solución que obtuviste satisface la igualdad.

2Actividad

3Actividad


1 Actividad

Utiliza la siguiente cuadrícula para desarrollar lo que se te pide:

a) Ubica en el plano cartesiano los siguientes puntos: A: 3 5,( ) ; B: −( )2 7, ; C: − −( )2 5, D: 4 3,−( ) . Determina en qué cuadrante se encuentra cada uno de ellos.

b) Dibuja una recta que pase por los puntos A y D ¿Cuál es la pendiente de la recta asociada a estos puntos?

c) ¿Qué significa la pendiente en una línea recta?

d) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y D. Ubica en el plano dos puntos más asociados con dicha recta.

Linea recta

Lección 3


UNIDAD 1

Observa la gráfica siguiente y contesta correctamente las interrogantes.

¿Cuál es la ecuación de la recta?

¿Cuál es el valor de la pendiente? ¿Qué puedes concluir al respecto?

El Centro Escolar El Rosario adquirió computadoras por un valor total de $8,000 para su centro de informática. Las computadoras tienen una vida útil de 5 años. Escribe una ecuación que describa el valor de los equipos para cada año, sabiendo que en el momento de adquisición (cero años) las computadoras valen $8,000 y en el cuarto año de uso tendrán un valor de $1,600. Dibuja el gráfico asociado a la ecuación, ten en cuenta que las abscisas serán los años, y las ordenadas el valor en dólares.

Llena la siguiente tabla con los valores correspondientes a cada año.

Años 0 1 2 3 4 5Valor en $ (y) 8,000 1,600

2Actividad

3Actividad


1 Actividad

Traslada al paréntesis de la derecha el literal que corresponda a la respuesta:

Nota: observa como en c, se pide la fórmula para obtener la pendiente de una recta, la buscas a la par de los paréntesis por

ejemplo en este caso escribes c en el paréntesis donde aparece la fórmula y yx x2 1

2 1

−−

. Haz lo mismo con los otros literales.

Utiliza el método gráfico para resolver el

sistema 5 4 810 8 24x y

x y− =

− + =

.

Determina si es consistente o inconsistente.

¿Qué concluyes, el sistema es consistente o inconsistente? ¿Por qué?

2 Actividad

a) Ecuación de la línea recta de la forma pendiente intersecto. ( ) y ax=

b) Método para resolver un sistema de ecuaciones lineales que reemplaza una de las variables en una de las ecuaciones por su igual de la otra ecuación. c( ) y y

x x2 1

2 1

−−

c) Para obtener la pendiente de una recta se utiliza la fórmula: ( ) y b=

d) Recta vertical. ( ) y mx b= +

e) Ecuación de la línea recta de la forma punto pendiente. ( ) Igualación

f) Método para resolver un SEL en el que se despeja una misma variable de ambas ecuaciones y posteriormente se igualan. ( ) Sustitución

g) Recta horizontal. ( ) Ax By C+ + =0

( ) y y m x x− = −( )1 1

( ) Reducción

( ) x a=

Sistemas de ecuaciones lineales

Lección 4


Plantea las ecuaciones de los problemas que se te presentan. Encuentra la solución de los sistemas resultantes utilizando cualquiera de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales (sustitución, igualación o reducción).

a) En la granja de Heriberto, hay un corral con 60 animales entre cerdos y gallinas. Al contar las patas de éstos se obtuvo un resultado de 166.

¿Cuántas gallinas tiene Heriberto en el corral?

¿Cuántos cerdos?

b) Heriberto también tiene vacas en su granja, la producción de leche para este día es de 300 litros, los cuales se han envasado en 120 recipientes de dos y cinco litros. Ayúdale a Heriberto a determinar cuántos recipientes de cada clase se han utilizado.

Aprendamos métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales

Lección 5

1Actividad


1 Actividad

En una escuela las notas de tres exámenes de matemática para dos estudiantes son:

Estudiante 1: 7.5, 7.8 y 7.7

Estudiante 2: 6.3, 8.9 y 7.2

La amplitud o recorrido de los datos

Lección 1

Unidad 2



Nota: MiDAMos lA DisPeRsiÓN De los DAtos Y MiDAMos ÁNGUlos eN GRADos Y RADiANes.

a) Encuentra la amplitud de las notas para cada uno de los estudiantes.

b) ¿Cuál de los estudiantes tiene más dispersión en sus notas?


UNIDAD 2

El Tribunal Supremo Electoral desea obtener la amplitud de los datos correspondientes a la cantidad de abstenciones de votos por departamento en las elecciones presidenciales, que se muestran en la tabla de la derecha.

Ayuda al TSE a obtener el valor de la amplitud de estos datos; luego contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el departamento que tuvo más abstenciones de voto?

b) ¿Cuál es el departamento que tuvo menos abstenciones de votos?

c) ¿Qué significa la amplitud para esta serie de datos?

d) Calcula la media.

DEPARTAMENTOS ABSTENCIONES1 san salvador 288

2 santa Ana 165

3 san Miguel 98

4 la libertad 183

5 Usulután 93

6 sonsonate 137

7 la Unión 41

8 la Paz 81

9 chalatenango 65

10 cuscatlán 69

11 Ahuachapán 145

12 Morazán 56

13 san Vicente 55

14 cabañas 68

2Actividad


1 Actividad

La desviación típica o desviación estándar

Lección 2

Ponderación (Puntos) 1 2 2 2 3evaluación e1 e2 e3 e4 e5 Nota Promediocalificación 7 8 5.7 6 8.5

Encuentra lo que se te pide en los siguientes ejerccios:

a) Juan Carlos desea estimar el rendimiento promedio de la marca de llantas que su taller está utilizando, pues el proveedor le dijo que tienen un rendimiento estimado 53,000 km. Para ello selecciona una muestra de 7 carros a los que se les coloca dicha marca. Una vez las llantas se desgastan completamente anota el número de kilómetros recorridos por cada carro, obteniendo los datos que se muestran el la tabla:

Con base a esta información ayudale a Juan Carlos a determinar el rendimiento promedio de las llantas.

Compara el rendimiento promedio con el rendimiento estimado del proveedor.

b) El jefe de producción de una fábrica desea conocer el salario medio por dia de los obreros. La cantidada de obreros y salarios por departamento, se detallan en el cuadro:

Carro Recorrido (kms)1 56,0002 50,0003 52,5004 54,7005 53,0006 51,9007 55,100

¿Cuál es el salario promedio de los obreros?

c) Magdalena hizo 5 exámenes durante el mes en la materia de Matemática. El profesor le informó que el examen final vale el triple que el primero mientras que el segundo, tercero y cuarto valen cada uno, el doble que el primero. Las calificaciones se reflejan en el siguiente cuadro:

Departamento Cantidad de obreros Salario diariocorte 32 $4.50

ensamble 40 $5.25enderezado 23 $6.50

Ayúdale a Magdalena a calcular su promedio de Matemática para este mes.

Nota: como el segundo examen vale el doble tienes que multiplicar 8 por 2 y así sucesivamente con las demás evaluaciones, para obtener el promedio.


UNIDAD 2

2Actividad

Reina y Norma son vendedoras en un almacén. El jefe del departamento de ventas, desea saber cuáles son las ventas promedio que cada una realiza; con el fin de premiar a la mejor de las dos con un viaje a Roatán. Las ventas realizadas por cada una en las últimas cinco semanas son las siguientes:

Realiza lo siguiente:

a) Obtén el valor de la desviación típica de las ventas realizadas por cada vendedora. Escribe en la tabla los cálculos necesarios

Reina $1,440 $1,710 $2,200 $1,580 $1,470Norma $1,820 $1,650 $1,870 $1,420 $1,640

Reina Normax x X-( )2 x x X-( )2

1440 18201710 16502200 18701580 14201470 1640

x X-( )∑ 2 x X-( )∑ 2

b) Calcula la amplitud para cada una de las series de datos.

c) Al comparar la amplitud con la desviación típica, ¿Qué observas? Explica cuál de las dos medidas es más representativa para este caso en particular.


1 Actividad

Representa en la cuadrícula, los siguientes ángulos:

a) 90º

En los ejercicios siguientes, determina dos ángulos coterminales (el menor positivo y el mayor negativo) para cada ángulo. Grafica cada ángulo con sus respectivos ángulos coterminales.

a) θ = °38

b) θ = °177

Ángulos: nombre y clasificación

Lección 3

c) − 180º

b) − 45º

d) 270º

2Actividad

c) θ =− °420

d) θ = °6936.


UNIDAD 2

Encuentra el ángulo complementario del ángulo dado. Grafica.

a) θ = °2329. b) θ = °67 35 18' ''

Encuentra el ángulo suplementario para cada ángulo dado, luego grafícalos.

a) θ = °12742. b) θ = °28 46 15' ''

3Actividad

4Actividad


1 Actividad

Expresa en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos:

a) θ = °17888. b) θ =− °24367.

2 Actividad

Expresa únicamente en grados los siguientes ángulos.

a) θ = °59 17 36' ''

b) θ =− °157 55 7' ''

Encuentra el valor del ángulo en grados de las siguientes rotaciones en valor angular:

a) 78

de rotación en sentido contrario a las agujas del reloj.

b)

311

de rotación en el sentido de las agujas del reloj.

Realiza las operaciones que se te indican:

a) 261 37 2 310 29 55° + °' '' ' ''

b) 133 44 29 97 31 12° − °' '' ' ''

Medidas de los ángulos

Lección 4

3Actividad

4Actividad


Expresa en grados los siguientes ángulos:

a) θ π= 85

b) θ π=− 611

Resuelve los problemas que se presentan a continuación:

a) Los brazos de un columpio miden 1.6 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 138°. Calcula el espacio recorrido por el columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo.

b) Rebeca tiene una bicicleta cuyas ruedas tienen 24 cm de radio ¿Cuánto avanzará con la bicicleta cuando las ruedas han dado 720 vueltas cada una?

c) Si las ruedas de un camión tienen 32 cm de radio, ¿Cuántas vueltas tiene que dar cada rueda para recorrer 1,000 metros?

Expresa en radianes los siguientes ángulos:

a) θ = °135

b) θ =− °78

1 Actividad

Conversiones de ángulos

Lección 5

3Actividad

2 Actividad


1 Actividad

2 Actividad

Una ecuación cuadrática es de la forma ax bx c2 0+ + =Encuentra el valor de a, b y c para la ecuación 12 5 11 02x x− + = .

Convierte la ecuación 8 3 15 3 22 2x x x− = + − a la forma ax bx c2 0+ + =

Escribe la ecuación 2 3 4 2 5 1x x x+( ) −( )= +( ) en la forma ax bx c2 0+ + = .

Determina que tipo de ecuación cuadrática son las siguientes y luego, escríbela en el cuadro donde corresponde según el tipo; igualando a cero.

Ecuación Cuadrática completa

Cuadrática incompleta

pura

Cuadrática incompleta

mixta

9 3 2x x=

8 3 2x x− =

3 5 72x − =

3Actividad

4Actividad

Ecuaciones cuadráticas

Lección 1

Unidad 3



Nota: ResolVAMos ecUAcioNes De seGUNDo GRADo Y APliqUeMos tecNicAs De coNteo.


UNIDAD 3

Sea la ecuación 9 3 2x x=

a) Encuentra sus raíces.

b) Comprueba las raíces encontradas en la ecuación dada.

Resuelve la ecuación incompleta pura “ 4 15 212x − = ”:

Solución:

La solución o raíces para la ecuación son y

a) Comprueba que x = 23

es una solución para 3 2 02x x− =

Justifica cada paso en la resolución de la ecuación cuadrática 4 15 42x x= −

Solución: Justificación:

4 15 42x x= −

4 4 15 02x x+ − =

2 3 2 5 0x x−( ) +( )=

2 3 0 2 5 0x ó x− = + =

2 3 2 5x ó x= =−

x ó x= =−32

52

8Actividad

b) ¿Cuál es otra solución para la ecuación cuadrática anterior?

5Actividad

6Actividad

7Actividad


Las ganancias mensuales de una micro-empresa son de − x2 + 180x − 5000, donde “x” representa el número de unidades que se producen ¿Cuántas unidades hay que producir para obtener una ganancia mensual de $3000?

David tiene un terreno para sembrar tomates, sabe que el área es de 800 m2 y que el largo del terreno es el doble que el ancho. Ayúdale a encontrar las dimensiones del terreno.

El cuadrado de un número natural disminuido en 11 veces el número, da como resultado 60.

a) Encuentra el número natural

b) Compruébalo en la ecuación que formaste.

Observa el siguiente triángulo rectángulo.

Utiliza el teorema de Pitágoras y encuentra el valor de x.

El área de un jardín rectangular es de 84 m2. Si el largo tiene 5 unidades más que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones del jardín?

Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas

Lección 2

1 Actividad

2 Actividad

3 Actividad

4Actividad

5Actividad

x + 5

x

x10

x – 2


UNIDAD 3

Completa la solución de la ecuación cuadrática x x2 5 4 0+ + = , resuelta por el método de completación

de cuadrados.

x x2 5 4 0+ + =

x x2 5 4+ =−

x x22 2

552

452

+ + = +

−

Comprueba que los resultados que obtuviste satisfacen la ecuación dada.

Un cuadrado tiene por lado una medida de 2 1x − , si el área del cuadrado es de 81 m2. ¿Cuál es el valor de x?

Solución:

6 Actividad 7Actividad


Ecuación ax bx c2 0+ + = Discriminante b ac2 4−

¿Cuál es el signo?

Soluciones o raíces¿Cuáles son?

x x2 3 10 0+ − = 3 4 1 102( ) − ( ) −( )=

x x2 6 9 0+ + =

x x2 4 0+ − =

Dada la ecuación cuadrática 5 8 3 02x x− + = .

a) Encuentra el discriminante de la ecuación.

Completa el siguiente cuadro. Utiliza la fórmula de la ecuación cuadrática.

La velocidad de un objeto que cae está dada por v t t= −5 16 2 pies

seg donde “ t” es el tiempo transcurrido en segundos, ¿Cuánto tardará el objeto en alcanzar una velocidad de 50 pies

seg ? (Recuerda: la velocidad en caída se considera negativa).

Utiliza la fórmula de la cuadrática y resuelve la ecuación 3 2 120 02x x+ − =

1 Actividad

Fórmula general

Lección 3

2 Actividad

4Actividad

b) ¿Qué signo tiene el valor del discriminante?

c) Encuentra las soluciones de la ecuación utilizando la fórmula de la cuadrática.

d) ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?

3 Actividad


¿De cuántas maneras pueden llegar a la meta 8 nadadores finalistas para obtener el primer, segundo y tercer lugar?

Nota: Recuerda el procedimiento de las casillas

Primer lugar segundo lugar tercer lugar

Expresión Resultado

65 2

!! !

7 45 3

! !! !

4 5 2 55

! !!

( )+ ( )

Se van hacer unas placas que llevarán una letra al inicio seguida de cuatro dígitos. Considera el alfabeto con 26 letras y los dígitos del 0 al 9. ¿Cuántas placas se pueden hacer?

letra Dígito Dígito Dígito Dígito

El resultado es:

Sonia tiene que asistir a un seminario y debe seleccionar su forma de vestirse escogiéndola de 6 faldas, 8 blusas y 3 pares de zapatos. Encuentra el número de posibilidades que tiene Sonia para seleccionar su vestuario.

Completa el cuadro con la respuesta correcta.

La suma de los primeros números naturales es

Sn n= +( )1

2 ¿Cuántos números naturales consecutivos

comenzando con el número 1 suman 820?

Apliquemos técnicas de conteo

Lección 4

1 Actividad

2 Actividad

3 Actividad

4Actividad

5Actividad


María desea colocar sus 5 libros en una repisa de una librera. ¿De cuántas maneras distintas puede colocarlos?

¿De cuántas formas puedes ordenar de un total de 8 libros, 5 libros en un espacio para 5?

Con las letras de la palabra MURCIELAGO ¿Cuántos ordenamientos diferentes se pueden hacer? Si:

a) Deben llevar exactamente 6 letras.

b) Deben terminar en GOLA y utilizar las diez letras.

¿Cuántas permutaciones pueden hacerse usando las siete letras de la palabra CORTINA?

En una caja hay 8 pelotas todas de distinto color. ¿De cuántas formas es posible seleccionar 3 pelotas?

A Liliana la mejor estudiante de 9° grado, le piden seleccionar 2 regalitos de 6 diferentes posibilidades. ¿Cuántas formas de elegir los regalitos tiene Liliana?

Técnicas de ordenamiento

Lección 5


2 Actividad

3 Actividad

5Actividad

6Actividad


UNIDAD 3

En un aula de 15 estudiantes de Inglés, se van a seleccionar 3 estudiantes para formar una comisión. ¿Cuántas formas diferentes de seleccionar la comisión hay?

Solución:

Considere el aula de los 15 estudiantes de Inglés, en los que hay 9 hombres y 6 mujeres. Si la comisión debe estar formada por 2 mujeres y 1 hombre, ¿Cuántas formas diferentes de seleccionar la comisión existen?

Solución:

¿De cuántas formas pueden repartirse 4 cartas de una baraja de 52 naipes?

Solución:

De un conjunto de 11 personas se forman 2 grupos, uno de 6 y otro de 5 personas, ¿De cuántas maneras se pueden formar los dos grupos?

Solución:

Don Carlos repartirá una herencia que consiste de 9 bienes inmuebles entre sus familiares: María, José, Marta y Federico. A María decide dejarle 3 de estos bienes y el resto en partes iguales a José, Marta y Federico. ¿En cuántas formas puede repartir estos bienes?

Solución:

10Actividad

11Actividad

7 Actividad

8 Actividad

9 Actividad


1 Actividad

Encuentra el valor de las incógnitas en el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x + 3y – z = 7 (Ec.1)

4x + 6y – 8z = –6 (Ec.2)

3x – y + 2z = 11 (Ec.3) Medio de Comunicación

Televisión Radio Periódico

Número de anuncios

30 18 28

Una compañía que produce pasta dental anuncia sus productos en los siguientes medios de comunicación: televisión, radio y periódico. El departamento de publicidad tiene un presupuesto de 23,800 dólares por mes, los cuales distribuye como se muestra en la tabla.

Si se sabe que el costo de un anuncio en el periódico es la mitad del costo de un anuncio en televisión, mientras que el costo de un anuncio en televisión es 400 dólares más que el anuncio por radio ¿Cuál es el costo por anuncio para cada medio de comunicación?

Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Método de reducción

Lección 1

2Actividad

Unidad 4


Nombre: Cuadernillo BSede: Código:

Nota: sisteMAs De ecUAcioNes liNeAles coN tRes iNcoGNitAs. BiNoMio De NeWtoN Y tRiANGUlo De PAscAl.

Indicación: Resuelve utilizando el método de reducción, cada una de las actividades que se presentan a continuación:


Indicación: Resuelve las siguientes actividades utilizando el método de Cramer.

Un granjero necesita abonar su parcela, de tal manera que los fertilizantes que utilice cumplan con los resultados de las pruebas de suelo, éstas indican que su terreno requiere 500 libras de nitrógeno, 300 libras de fósforo y 300 libras de potasio. El granjero puede comprar tres tipos de fertilizante, cada uno de los cuales contiene diferentes cantidades de nitrógeno, fósforo y potasio, como se muestra en la tabla. ¿Cuántas libras de Nutriflora debe utilizar el granjero con el fin de suministrar los nutrientes necesarios al campo?

Compuesto

FertilizanteNitrógeno Fósforo Potasio

1 lb de Nutriflora 8 onzas 4 onzas 4 onzas1 lb de compo 7 onzas 5 onzas 4 onzas

1 lb de Nutritablet 7 onzas 4 onzas 5 onzas

Encuentra el valor de las incógnitas que se te piden en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.a) x + y + z = 1 (Ec.1)

2x + 3y – 4z = 9 (Ec.2)

x – y + z = –1 (Ec.3)

Para este sistema encuentra el valor de y

b) 3x + 2y + z = 1 (Ec.1)

5x + 3y + 4z = 2 (Ec.2)

x + y – z = 1 (Ec.3)

Para este sistema encuentra el valor de z

Lección 2

1Actividad

2Actividad

Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas: método de Cramer


UNIDAD 4

3 Actividad

Una fábrica produce 3 clases de muebles: sillas, mesas y camas, los cuales son procesados por tres máquinas. El tiempo (en horas) requerido para procesar una unidad de cada producto por las tres máquinas se muestra en la siguiente tabla:

MuebleMáquina Silla Mesa Cama

Máquina A 3 1 2Máquina B 2 2 4Máquina c 1 1 1

El departamento de producción informa que se dispone de la máquina A por 850 horas, de la máquina B por 1200 horas y de la máquina C por 550 horas.

¿Cuántas unidades de cada producto deben producirse con el fin de emplear todo el tiempo disponible de las máquinas?

Plantea el siguiente ejercicio, no lo resuelvas. “Un fabricante de blusas produce tres tipos de ellas: sin manga, manga corta y manga larga. El tiempo requerido por cada departamento para producir una docena de blusas de cada tipo aparece en el cuadro siguiente:

Departamento Sin manga

Manga corta

Manga larga

corte 9 min 12 min 15 minconfección 22 min 24 min 28 min

empaquetado 6 min 8 min 8 min

Los departamentos de corte, confección y empaquetado disponen de un máximo de 80, 160 y 48 horas de trabajo, respectivamente por día.

¿Cuántas docenas de cada tipo de blusa se pueden producir al día, si la planta opera toda su capacidad?

Sugerencia: pasa las horas a minutos.

Completa el desarrollo de 2 32x y+( )

4Actividad

5 Actividad

Luego 2 3 4 12 92 2 2x y x xy y+( ) = + +


Encuentra el desarrollo para 2 32x y−( ) y compara con 2 3

2x y+( ) , ¿En qué difieren los desarrollos?

Completa el desarrollo de m n x y+ + +( )2

m n x y m n x y+ + +( ) = +( )+ +( )( )2 2

= +( ) + +( ) +( )+ +( )m n m n x y x y2 22

=

=

=

=

Luego R:

Encuentra el desarrollo de las siguientes expresiones:

a) 6 3 2 2x y−( ) b) 3 2 3 2 2

a b c+ −( )

1Actividad

2Actividad

3Actividad

Potencia de polinomios

Lección 3


UNIDAD 4

Completa el desarrollo de a b+( )3

(a + b)3 = (a + b)(a +b)(a + b) = (a + b)2(a + b) =

a) ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya arista mide a – b? Retoma la idea anterior y encuentra el desarrollo para a b−( )3 .

b) Compara a b−( )3 con a b+( )3 y determina en que difieren los desarrollos.

Completa el desarrollo de 3 22 3 3x y+( ) .

3 2 3 3 3 2 3 3 2 22 3 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3x y x x y x y y+( ) = ( ) + ( ) ( )+ ( )( ) +(( )3 =

=

=

Luego R:

Encuentra el desarrollo de 12

23

23

a b−

4 Actividad

5 Actividad

6 Actividad

7 Actividad

a – b

a – b

a – b


( )a b n+ Número de términos del binomio

Coeficiente de los términos

n = 5 6 1, , 10, , 5, 1n = 6 1, , 15, , , 6, 1n = 8 9 1, , , 56, 70, , 28, 8, 1

Observa:

( )a b a b+ = +1

( )a b a ab b+ = + +2 2 22

( )a b a a b ab b+ = + + +3 3 2 2 33 3

( )a b a a b a b ab b+ = + + + +4 4 3 2 2 3 44 6 4

Completa la siguiente tabla:

Completa el desarrollo de ( )2 5x y+

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2 5 2 10 2 10 2 5 25 5 4 3 2 2 3x y x x y x y x y+ = + + + + xx y y) 4 5+ = = = =

Luego ( )2 5x y+ =

Nota: nCr nr

nr n r

ó

=

−!

!( )!

1Actividad

2Actividad

Desarrollo del binomio de Newton

Lección 4


UNIDAD 4

Utiliza la fórmula del binomio y encuentra el sexto término para ( )3 10x y+

Solución:

Encuentra el desarrollo de ( )x y2 72−

( )x y2 72− =

Recuerda el triángulo de Pascal, y completa 4 filas más de las que se te presentan.

1 1 1 1 2 1 (n = 2) (n = 3) (n = 4) (n = 5)

Compara la fila de n = 5 con los coeficientes de ( )a b+ 5

3 Actividad

4 Actividad

5 Actividad


Desarrolla ( )3 42 4x y+

a) Utilizando el triángulo de Pascal.

b) Utilizando números combinatorios.

Considera el desarrollo de ( )x y− 5

( )x y x x y x y x y xy y− = − + − + −5 5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5

Y responde:

Encuentra sin efectuar el desarrollo, el 99º término de

a b−( )100 con b ≥ 0

¿Cuál es el término medio del desarrollo de 28

+( )x ?

3Actividad

Utiliza el triángulo de Pascal, para encontrar los coeficientes de los términos y encuentra el desarrollo de:12

13

6

a b+

1 Actividad


5Actividad

a) ¿En qué posición están los términos que llevan signo negativo?

b) ¿Cuánto suman los exponentes en cada uno de los términos?

c) El quinto término es: 54

55 4 4 4

=−x y xy y el tercer término es:

El triángulo de Pascal

Lección 5


1 Actividad

2 Actividad

Encuentra la raíz cuadrada principal de los siguientes números si existen:

a) 36 =

b)

14

=

c) 049. =

d) − =25

e) −

−( )=25

7 2

Roberto tiene un terreno cuadrado con un área de 121 m2. Encuentra cuánto mide el lado de dicho terreno.

Encuentra la raíz cúbica de los siguientes números:

a) 273 = b) − =273 c) − − =643 d) 80003 =

e)

81000

3 =

Pedro tiene una caja de forma cúbica, en la que guarda papeles importantes. El volumen de la caja es de 1000 cm3. Él necesita saber cuánto mide la arista de la caja. Ayúdale a encontrar ese valor.

3Actividad

4Actividad

Unidad 5



Nota: UtiliceMos RADicAles

Radicación Algebraica

Lección 1


UNIDAD 5

5 Actividad

Encuentra el resultado de los siguientes radicales:

a) 92( ) =

b) 92 =

c) 83 3( ) =

d) 833 =

Verifica que el resultado de 64 83 ( )( ) es igual al

resultado de 643 83

6 Actividad

Considera x >0 y y >0 . Simplifica los siguientes radicales:

a)

753

3 7x yxy

=

b) x y y x4 9 115 ( )( ) =

Convierte la expresión radical a expresión con exponente fraccionario. Luego simplifica si es posible y completa la siguiente tabla.

Expresión Radical

Expresión con exponente fraccionario

Expresión simplificada

64 23 ( )

2 225 35

637

8Actividad

7Actividad


1 Actividad

Traslada la expresión radical a su equivalente con exponente fraccionario y simplifica si es posible.

a) 2 8x x =

b)

x xx

3 5

23

24( ) =

c) 2 3 3x x( )=

Expresa en forma de radical las potencias fraccionarias y simplifica.

a) 432x( ) =

b) y

23

34( ) =

c) −( )( )=3 4

23

16a a

Encuentra el valor de la expresión:

2 212

13

122 0x y xy x y− −+ + Para x = 16 y y = 8.

2 Actividad

Encuentra el valor de la expresión 4 3 232

12 0ab b a b− − + ,

para a = 3 y b = 9 .

3Actividad

4Actividad

Identificación de expresiones radicales

Lección 2


a) Encuentra l siguiente suma de radicales.

4 28 5 63 2 1753 5x x x+ +

Encuentra la siguiente suma de radicales: a a a83 43− Verifica que la suma:

5 8 35 3 2 3 5 2 3 3xy x y x x y x y x y+ − da como

resultado 10 3 2x y xy

3Actividad 2 Actividad

b) Encuentra el valor de la suma encontrada en a) para x = 7.

1Actividad

Operaciones con radicales

Lección 3


UNIDAD 5

Simplifica los siguientes radicales:

a) a b21 183 =

b) 900 10 6x y =

c) 9 9 43 x x =

Simplifica hasta que el exponente del factor sea menor que el índice del radical.

a) a b6 104 =

b) 32 10 65 x y =

c) 360 6 5x y =

Simplifica los radicales:

a) a b

ab

11 21

65 =

b) 232

2 3

2 5

x yx y

=

4 Actividad

5 Actividad

Determina si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas.

a) ( )− =−8 23

b) ( )− =−3 32

c) ( )− =−x y x y3 55 3

d) a a a233

0( ) = >,

7Actividad

6Actividad


Introduce los factores en el radical y simplifica el radicando.

a) 3 22x y =

b) − =2 43y xy

c) ab ab3

814 =

Extrae todos los factores posibles

a) 8 3 9a b =

b) 27 8 53 x y =

c) 4 3 75 a b =

Reduce el índice del radical dado, al índice menor posible. (Se puede hacer si el índice al que se quiere reducir es un submúltiplo del índice del radical). Simplifica el radicando y luego completa la tabla siguiente:

Radical dado Radicando Simplificado

49 4 28 x y

16 8 2012 x y

32 10 2515 a b

2Actividad

3Actividad

1 Actividad

Factores de los radicales

Lección 4


UNIDAD 5

Racionaliza el denominador de la expresión y simplifica.

a) 17

=

b) 334 x

=

Verifica que al racionalizar el denominador de a

a +1

se obtiene a aa−−1

Verifica que al racionalizar el denominador de xx1−

se obtiene x xx+

−1

Encuentra las siguientes sumas:

a) 11 823 23xy xy− =

b) 2 16 4 25a b b+ =

Efectúa y simplifica:

4 32 2 8 2 50+ −

4 Actividad

5 Actividad

6 Actividad

7Actividad

8Actividad


Encuentra las siguientes sumas:

a) 7 20 2 45+ =

b) 5 4 363 2x y x y− =

Multiplica los siguientes radicales y luego simplifica.

a) 2 723 5a a =

b) 8 823 6x x =

Efectúa las divisiones y luego simplifica.

a) a b c

abc

13 10 73

3=

b) a bab

12 288

=

Considera los siguientes rectángulos semejantes. Encuentra el valor de x.



Operaciones con radicales

Lección 5

5 + 3

12

1+ 3

x

nombre: cuadernillo a sede: código: unidad 1 utilicemos ... clases/módulos/cuadernillos... · 2...

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