Noveno Grado - Matemática

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Lección 1: Ecuaciones cuadráticas

Unidad 3: RESOLVAMOS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y APLIQUEMOS TECNICAS DE CONTEO.

2 Actividad

Una ecuación cuadrática es de la forma ax bx c2 0+ + =. Encuentra el valor de a, b y c para la ecuación 9 7 5 02x x+ − =

Convierte la ecuación 7 4 15 4 22 2x x x− = + − a la forma ax bx c2 0+ + =

Escribe la ecuación 3 4 1 3 2 1x x x+( ) −( )= +( ) en la forma ax bx c2 0+ + = .

Determina que tipo de ecuación cuadrática son las siguientes y luego, escríbela en el cuadro donde corresponde según el tipo; igualando a cero.

Ecuación Cuadrática completa

Cuadrática incompleta

pura

Cuadrática incompleta

mixta

5 1 2x x+ =

25 5 2x x=

7 5 152x − =

4Actividad

1 Actividad 3Actividad

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Matemática - Noveno Grado

UNIDAD 3

Sea la ecuación 9 3 2x x=

a) Encuentra sus raíces.

b) Comprueba las raíces encontradas en la ecuación dada.

Resuelve la ecuación incompleta pura “ 2 13 372x − = ”:

Solución:

La solución o raíces para la ecuación son y

a) Comprueba que x = 45

es una solución para 5 4 02x x− =

Justifica cada paso en la resolución de la ecuación cuadrática 3 2 32x x= − .

Solución: Justificación:

3 2 32x x= −

3 3 2 02x x+ − =

3 1 3 2 0x x−( ) +( )= 3 1 0 3 2 0x ó x− = + =

3 1 3 2x ó x= =−

x ó x= =−13

23

8Actividad

b) ¿Cuál es otra solución para la ecuación cuadrática anterior?

5Actividad

6Actividad

7Actividad

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Lección 2: Métodos de solución de una ecuación cuadrática

Las ganancias mensuales de una micro-empresa son de − + −x x2 190 5500 , donde “x” representa el número de unidades que se producen ¿Cuántas unidades hay que producir para obtener una ganancia mensual de $3500?

Solución:

Amadeo tiene un terreno para sembrar hortalizas, sabe que el área es de 648 m2 y que el largo del terreno es el doble que el ancho. Ayúdale a encontrar las dimensiones del terreno.

El cuadrado de un número natural disminuido en 9 veces el número, da como resultado 36.

a) Encuentra el número natural

b) Compruébalo en la ecuación que formaste.

Observa el siguiente triángulo rectángulo.

Utiliza el teorema de Pitágoras y encuentra el valor de x.

El área de un jardín rectangular es de 63 m2. Si el largo tiene 2 unidades más que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones del jardín?

x +2

x

1 Actividad

2 Actividad

3 Actividad

4Actividad

5Actividad

5x

x – 1

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UNIDAD 3

Completa la solución de la ecuación cuadrática x x2 3 4 0+ − = , resuelta por el método de completación

de cuadrados.

x x2 3 4 0+ − =

x x2 3 4+ =

x x22 2

332

432

+ + = +

Comprueba que los resultados que obtuvistes satisfacen la ecuación dada.

Un cuadrado tiene por lado una medida de 3 1x + , si el área del cuadrado es de 100 m2. ¿Cuál es el valor de x?

6 Actividad 7Actividad

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Lección 3: Fórmula general de una ecuación cuadrática

Ecuación ax bx c2 0+ + =

Discriminante b ac2 4− ¿Cuál es el signo?

Soluciones o raíces¿Cuáles son?

x x2 5 11 0+ − = 5 4 1 112( ) − ( ) −( )=

x x2 7 10 0+ + =

x x2 6 0+ − =

Completa el siguiente cuadro. Utiliza la fórmula de la ecuación cuadrática.

La velocidad de un objeto que cae está dada por v t t= −5 16 2 pies

seg donde “ t” es el tiempo transcurrido en segundos, ¿Cuánto tardará el objeto en alcanzar una velocidad de 45 pies

seg ? (Recuerda: la velocidad en caída se considera negativa).

2 Actividad

Utiliza la fórmula de la cuadrática y resuelve la ecuación 2 3 119 02x x+ − =

Dada la ecuación cuadrática 4 9 5 02x x− + = .

a) Encuentra el discriminante de la ecuación.

1 Actividad

4Actividad

b) ¿Qué signo tiene el valor del discriminante?

c) Encuentra las soluciones de la ecuación utilizando la fórmula de la cuadrática.

d) ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?

3 Actividad

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Lección 4: Apliquemos técnicas de conteo

¿De cuántas maneras pueden llegar a la meta 11 nadadores finalistas para obtener el primer, segundo y tercer lugar?

Nota: Recuerda el procedimiento de las casillas

Primer Lugar Segundo Lugar Tercer Lugar

Expresión Resultado

76 3

!! !

6 34 2

! !! !

5 6 3 66

! !!

( )+ ( )

Se van hacer unas placas que llevarán dos letras al inicio seguida de tres dígitos. Considera el alfabeto con 26 letras y los dígitos del 0 al 9. ¿Cuántas placas se pueden hacer?

Letra Letra Dígito Dígito Dígito

El resultado es:

Karina tiene que asistir a un seminario y debe seleccionar su forma de vestirse escogiéndola de 8 faldas, 10 blusas y 4 pares de zapatos. Encuentra el número de posibilidades que tiene Karina para seleccionar su vestuario.

Completa el cuadro con la respuesta correcta.

La suma de los primeros números naturales es

Sn n= +( )1

2 ¿Cuántos números naturales consecutivos

comenzando con el número 1 suman 630?

1 Actividad

2 Actividad

3 Actividad

4Actividad

5Actividad

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Lección 5: Técnicas de ordenamiento

Ivonne desea colocar sus 6 libros en una repisa de una librera. ¿De cuántas maneras distintas puede colocarlos?

¿De cuántas formas puedes ordenar de un total de 7 libros, 4 libros en un espacio para 4?

Con las letras de la palabra MURCIELAGO ¿Cuántos ordenamientos diferentes se pueden hacer? Si:

a) Deben llevar exactamente 5 letras.

b) Deben terminar en CIELO y utilizar las diez letras.

¿Cuántas permutaciones pueden hacerse usando las siete letras de la palabra PERSONA?

En una caja hay 9 pelotas todas de distinto color. ¿De cuántas formas es posible seleccionar 4 pelotas?

A Claudia la mejor estudiante de 9° grado, le piden seleccionar 2 regalitos de 8 diferentes posibilidades. ¿Cuántas formas de elegir los regalitos tiene Claudia?

1 Actividad 4Actividad

2 Actividad

3 Actividad

5Actividad

6Actividad

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Matemática - Noveno Grado

En un aula de 18 estudiantes de Matemática, se van a seleccionar 3 estudiantes para formar una comisión. ¿Cuántas formas diferentes de seleccionar la comisión hay?

Considere el aula de los 18 estudiantes de Matemática, en los que hay 10 hombres y 8 mujeres. Si la comisión debe estar formada por 2 mujeres y 1 hombre, ¿cuántas formas diferentes de seleccionar la comisión existen?

¿De cuántas formas pueden repartirse 5 cartas de una baraja de 52 naipes?

De un conjunto de 13 personas se forman 2 grupos, uno de 7 y otro de 6 personas, ¿de cuántas maneras se pueden formar los dos grupos?

Don Juan repartirá una herencia que consiste de 10 bienes inmuebles entre sus familiares: María, José, Marta y Federico. A María decide dejarle 3 de estos bienes, lo mismo a José y el resto en partes iguales a Marta y Federico. ¿En cuántas formas puede repartir estos bienes?

10Actividad

11Actividad

7 Actividad

8 Actividad

9 Actividad

UNIDAD 3

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