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VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA

Documento Preliminar

Concepto de valor absoluto: El Valor Absoluto se define como la distancia entre dos números reales en la recta numérica. Con el objeto de afianzar el concepto de valor absoluto, es necesario ligarlo a su interpretación geométrica en la recta numérica. Para realizar este trabajo usted deberá estudiar previamente la sección 6.2 del libro Precálculo Una Nueva Visión, G.Mora – M.M.Rey – B.C. Robles, Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería, Edición Preliminar Tercera Versión y hacer los ejercicios de la sección 6.1 Ejemplo Adicional 1 Comparar las distancias entre un número real cualquiera y los puntos –6 y 4 Al observar la recta numérica se tiene que los puntos –6 y 4 la dividen en tres grandes intervalos ( )−∞ −6, , [ ]−6 4, y ( )∞4,

( )6,−∞ − [ ]6 4,− ( )4,∞

( )6,x∀ ∈ −∞ − se tiene:

La distancia de cualquier punto x al punto –6 es menor que su distancia a 4, lo que en términos de valor absoluto se puede expresar así:

( )6 4x x− − < − ⇔ 6 4x x+ < −

[ ]6 4,x∀ ∈ − se tiene:

a. El punto medio entre –6 y 4 es –1, por lo tanto al ubicar el punto x en –1 la distancia entre –6 y x es igual que la distancia entre x y 4, lo que puede escribirse en términos de valor absoluto como:

( )6 4x x− − = − ⇔ 6 4x x+ = −

b. Si x está más cerca de –6 que de 4, se tiene:

( )6 4x x− − < − ⇔

6 4x x+ < − c. Si x está más lejos de –6 que

de 4, se tiene: ( )6 4x x− − > − ⇔

6 4x x+ > −

( 4,x )∀ ∈ ∞ se tiene:

La distancia de cualquier punto x al punto –6 es mayor que su distancia a 4, lo que en términos de valor absoluto se puede expresar así:

( )6 4x x− − > − ⇔ 6 4x x+ > −

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

Ejemplo adicional 2 Comparar las distancias entre un número real cualquiera y los puntos 3 y – 5. Observando la recta numérica se tiene:

29/08/05 1



( )5−−∞; ( )35;− ( )∞;3

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 60

El punto medio entre ( )35;− es el punto – 1 y la distancia de este punto a – 5 y a 3 es igual, lo que en términos de valor absoluto puede escribirse como:

( )1 5 1 3− − − = − −

Los ( )15 −−∈ ;x están más cerca de 5 que de 3, lo qué en términos de

valor absoluto puede escribirse: –

( ) 35 −<−− xx

La distancia de cualquier al punto – 5 es

menor que la distancia al punto 3. Este hecho se puede expresar en términos de valor absoluto así:

( 5−−∞∈ ;x )

5 3x x− − < −

ó ( ) 35 −<−− xx

expresiones que son equivalentes

Los ( )31;−∈x están más cerca de 3 que de –5, lo qué en términos de valor absoluto es.

( ) 35 −>−− xx

La distancia de cualquier al punto – 5 es mayor que la distancia al punto 3, lo que escrito en término de valor absoluto es:

( )∞∈ ;3x

( ) 35 −>−− xx

EJERCICIOS

1. Exprese en términos de distancia las siguientes expresiones: a. 38 − b. 54 + c. 6

d. 2− e. 3−x f. 3−x

g. x−1 h. x−5,7 i. 5+x

2. Expresar en términos de Valor Absoluto los puntos sobre la recta numérica : a. Que se encuentran a 2 unidades del

origen b. Que se encuentran a menos de 3

unidades de 5 c. Que se encuentran a menos de 4

unidades de –2 d. Que se encuentran a más de 3 unidades

de 5 e. Que se encuentran a más de 2 unidades

de –1 f. Cuya doble distancia a 2 es mayor que 3

3. Escriba los siguientes enunciados en términos de valor absoluto:

a. La distancia entre dos números x e y es igual a 3 b. El doble de la distancia que hay entre un número x y el punto –2 es igual a 5

4. Cual es el mínimo valor que puede tomar la expresión:

a. 2−x b. 3+x

5. Diga si es falso o verdadero

a. ( ) ( )5335 −−−=−−−

29/08/05 2



b. ( ) 14101410 −+=−+

c. 8383 +−≤+−

d. ( ) 22312 −=−− xx

e. 33 −=− ππ

f. 0=x es equivalente a decir que 0=x

g. yx = significa que yx = ó yx −=

h. ℜ∈∀+=+ yxyxyx ,,

i. y ℜ∈∀ yx , yxyx <⇒<

j. La distancia entre y 1−21

− es 21

k. xx −=

l. 3−x es la distancia de x a –3

m. Si el triple de la distancia de x a 2 es 6, x puede estar en 38

n. ℜ∈∀= xxx

,33

6. Escriba la ecuación o inecuación correspondiente a los siguientes enunciados en términos de

valor absoluto: a. “m está a 5 unidades de –2” b. “x está a menos de 5 unidades de 3” c. “q está a más de 2 unidades de 1” d. Los puntos x cuya distancia a –3 no es

mayor que 7. e. La distancia entre dos números x e

y es igual a 3 f. El doble de la distancia que hay entre

un número x y el punto –2 es igual a 5 g. La distancia entre los puntos x y – y 7. Explique el significado de la expresión 43 >−x

8. Completar las siguientes afirmaciones.:

a. Si x es negativo, entonces = x ________________.

b. El valor absoluto de un número es la distancia al _________________ en la recta numérica.

9. Explique porqué 2 es el único valor que satisface 02 ≤−x

10. Exprese en palabras el significado de:

a. 213 >+x b. 215 <−x c. 50 << x

RESPUESTAS

1.a La distancia entre 8 y 3 1.b La distancia entre 4 y –5 1.c La distancia entre el origen y 6 1.d La distancia entre el origen y –2

29/08/05 3



1.e La distancia entre un real x y 3 1.f La distancia entre un real x y 3 1.g La distancia entre 1 y un real x 1.h La distancia entre 7,5 y un real x 1.i La distancia entre un real x y –5

2.a 20 =−x 2.b 35 <−x 2.c 42 <+x 2.d 35 >−x

2.e 21 >+x 2.f 322 >−x

3.a 3=− yx

3.b 522 =+x

4.c 0 4.d 0

5.a Verdadero 5.b Falso 5.c Verdadero 5.d Verdadero 5.e Verdadero 5.f Verdadero 5.g Verdadero 5.h Falso 5.i Falso 5.j Verdadero 5.k Verdadero 5.l Falso 5.m Falso 5.n Falso

6.a 52 =+m 6.b 53 <−x 6.c 21 >−q 6.d 73 <+x

6.e 3=− yx 6.f 522 =+x 6.g yx +

7. Los puntos sobre la recta numérica cuya distancia a 3 es mayor de 4 unidades.

8.a ….–x … 8.b … origen 9. Como el valor absoluto es una distancia solo puede tomar como valor el cero o un número

positivo, por lo tanto el único valor de x que satisface es 2=x

10.a Los puntos sobre la recta numérica tales que su distancia a –3 es mayor de media unidad 10.b Los puntos sobre la recta numérica tales que cinco veces la distancia a 1 es menor de 2

unidades. 10.c Los puntos sobre la recta numérica tales que su distancia al origen es positiva y menor

que cinco. SOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Estudiar previamente la SECCIÓN 6.3 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN y realizar los ejercicios de la sección 6.2 EJEMPLO ADICIONAL 3 Utilizando la interpretación geométrica en la recta numérica encuentre el conjunto solución de

3 4x − = En éste caso 3x − significa la distancia entre x y 3, por lo cual el punto con respecto al que se va a medir es decir el punto de referencia es 3 .

29/08/05 4



Al ubicar 3 en la recta numérica, ésta se divide en dos intervalos: ( )3,−∞ y [ )3,∞ ( )3,−∞ [ )3,∞

( )3 3 3,x x∀ ∈ x−∞ ⇒ < ∨ > Como la distancia de x a 3 es 33 x> x− (el número mayor menos el número menor), de donde:

3 3x x− = − Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene:

3 4 3 4 1x x x− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = −1x La solución en éste intervalo será:

( ) { } { }3 1,−∞ − = −∩ 1

[ )3 3,x x 3 x∀ ∈ ∞ ⇒ ≥ ∧ ≤ Como la distancia de x a 3 es 3x ≥ 3x − (el número mayor menos el número menor), de donde:

3 3x x− = − Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene:

3 4 3 4 7x x x− = ⇒ − = ⇒ = La solución en éste intervalo será:

[ ) { } { }3 7, 7∞ =∩

El conjunto solución de 3 4x − =

{

será por lo tanto } { } { }1 7 1 7,x x∈ − ⇒ ∈ −∪ ó { }1 7x x x= − ∨ =

El conjunto solución se representa gráficamente así:

EJEMPLO ADICIONAL 4 Utilizando la interpretación geométrica en la recta numérica encuentre el conjunto solución de

112 44

x + =

Para solucionar ésta ecuación en primer lugar hay que identificar el punto de referencia con respecto al cual se está midiendo la distancia desde un punto x en la recta. Para leer 2 4x + en términos de distancia hay que recordar que la distancia entre dos puntos en la recta numérica es la diferencia entre el mayor y el menor, lo cual lleva a escribir la ecuación como

una diferencia ( ) 112 44

x − − = , por lo tanto ( )2 4x − − significa “la distancia entre el doble de x y –

4”, pero nuestro objetivo inmediato es encontrar el punto de referencia, lo cual genera la necesidad de solucionar la siguiente ecuación:

2 4 0x x 2+ = ⇒ = − Por lo tanto el punto de referencia es –2

( )2,−∞ − [ )2,− ∞

( )2 2 2 4 4 2x x x x⇒ < − ⇒ < − ∨ − >,∀ ∈ −∞ − Como la distancia de 2x a –4 es 4 2x− > 4 2x− −(el número mayor menos el número menor), de donde:

2 4 4 2x x+ = − − Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene:

[ )2 2 2,x x x 4∀ ∈ − ∞ ⇒ ≥ − ⇒ ≥ − Como la distancia de 2x a –4 es 2x ≥ −4

( )2x 4− − (el número mayor menos el número menor), de donde:

2 4 2 4x x+ = + Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene:

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

29/08/05 5



11 11 27 272 4 4 2 24 4 4

x x x+ = ⇒ − − = ⇒ − = ⇒ = −8

x

La solución en éste intervalo será:

( ) { } { }27 2728 8

,−∞ − − = −∩

11 11 5 52 4 2 4 24 4 4

x x x x8

+ = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −

La solución en éste intervalo será:

[ ) { } { }5 528 8

,− ∞ − = −∩

El conjunto solución de 112 44

x + = es por lo tanto

{ } { } { }27 5 27 58 8 8

,x x∈ − − ⇒ ∈ − −∪8

ó { }27 58 8

x x x= − ∨ = −

El conjunto solución se representa gráficamente así:

EJEMPLO ADICIONAL 5 Utilizando la misma metodología que en los ejemplos anteriores a continuación se solucionará la ecuación 3 9 2 1 1x x x− = + + − 0

3x

En éste caso existen dos puntos de interés que servirán para solucionar la ecuación:

3 9 0x − = ⇒ = y 12 1 02

x x+ = ⇒ = −

La recta queda entonces dividida en tres grandes intervalos: 12

,⎛ ⎞−∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

1 32

,⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )3,∞

12

,x ⎛ ⎞∀ ∈ −∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

3 9 9 3x x− = − y 2 1 1 2x x+ = − − Por lo tanto:

3 9 2 1 10x x x− = + + − ⇒ 9 3 1 2 10x x x− = − − + − ⇒

2 20 1x x− = − ⇒ = 0

La solución en éste intervalo es:

{ }1 102

,⎛ ⎞−∞ − = ∅⎜ ⎟⎝ ⎠

∩

1 32

,x ⎡ ⎤∀ ∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

3 9 9 3x x− = − y

( )2 1 2 1 2 1x x x+ = − − = + Por lo tanto:

3 9 2 1 10x x x− = + + − ⇒ 9 3 2 1 10x x x− = + + − ⇒

6 18x x 3− = − ⇒ =


{ } { }1 3 3 32

,⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦∩

( )3,x∀ ∈ ∞ :

3 9 3 9x x− = − y ( )2 1 2 1 2 1x x x+ = − − = +

Por lo tanto:

3 9 2 1 10x x x− = + + − ⇒ 3 9 2 1 10x x x− = + + − ⇒

0 0=


( ) ( )3 3, ,∞ ℜ = ∞∩

El conjunto solución de 3 9 2 1 1x x x 0− = + + − es:

{ } ( ) [ )3 3 3, ,x x∈∅ ∞ ⇒ ∈ ∞∪ ∪ ó {

-4 -3 -2 -1 0278− 5

8−

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 612−

}3x x ≥

EJERCICIOS

29/08/05 6



Encontrar la solución de: a. 523 =−x b. 45

32

−=−x c. 425 =− x

d. 35 =− x e. 45 =− x f. 5312 =−−x g. xx −=+ 21 h. xx =2 i. 442 =−x

j. ( )( ) 623 =+− xx k. 121

−=−

xx

x l. xx

x=

−−

45

m. 52

21

52204 2

−=+

−−

xx

xx n. 1

22

−=++

xx

RESPUESTAS

a. 3

1131 ó

b. No hay solución c.

21

29 ó

d. 2± e. 91 ±± ó f. 35 −ó

g. 21

h. 10 ±ó i. 220 ±ó

j. 1043− k. No hay solución l.

2293 ±

m. 2

261−−

n. ( ) ( )0,22, −−−∞ ∪

SOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO SECCIÓN 6.4 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN HASTA EJEM 21 EJEMPLO ADICIONAL 6 Encontrar el conjunto solución de 3 2x − ≥

Sobre la recta numérica determinamos el punto de referencia es decir 3 0 3x x− = ⇔ = , ubicado este punto sobre la recta numérica encontramos dos intervalos ( )3;−∞ y ( )∞;3

-2 -1 1 2 3 4 5 6 70

29/08/05 7



En éste intervalo por lo tanto: 3 0x − <3 3x x− = −

Lo que nos lleva a decir que se tiene.

( )3;−∞∈∀x

3 2 1x x x− ≥ ⇔ − ≥ − ⇔ ≤ 1 Dada la condición de , el conjunto solución es:

( )3;−∞∈∀x

( ],1−∞

En éste intervalo 3 0x − > por lo cual

3 3x x− = − , por lo tanto se tiene.

3 2 5x x− ≥ ⇔ ≥

Dada l a condición ( )∞∈∀ ;3x , el conjunto solución es:

( ) [ ) [ )3; 5, 5,∞ ∞ = ∞∩

C.S.: ( ] [ ),1 5,−∞ ∞∪

EJEMPLO ADICIONAL 7 Encontrar el conjunto solución de 43 ≤+− x

Haciendo análisis sobre la recta numérica.se determina el valor de x donde 303 =⇔=+− xx , ubicado este punto sobre la recta numérica encontramos dos intervalos ( )3;−∞ y ( )∞;3

-2 -1 1 2 3 4 5 6 70

En éste intervalo por lo tanto: 03 >+−x33 +−=+− xx

Lo que nos lleva a decir que se tiene:

( )3;−∞∈∀x

1143 −≥⇔≤−⇔≤+− xxx Dada la condición de ∀ , el conjunto solución es:

( )3;−∞∈x

( ) [ ) [ )3113 ;;; −=∞−−∞ ∩

En éste intervalo 03 <+−x por lo cual ( )33 +−−=+− xx , por lo tanto se tiene.

( ) 4343 −≥+−⇔≤+−− xx

77 ≤⇔−≥− xx , ( )∞∈∀ ;3x , por lo

tanto el conjunto solución es: ( ) ( ] [ ]7373 ;;; =−∞∞ ∩

C.S.: [ ) [ ] [ ]717331 ;;; −=− ∪ Trabajo previo SECCIÓN 6.4 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN DESDE EJEM 22 HASTA 24 EJEMPLO ADICIONAL 8 Encontrar el conjunto solución de xx 332 >−

En este caso no se puede hacer uso del teorema 7 puesto que 3 no es un real positivo para todo valor de x. Qué podemos hacer para resolverlo?

x

Haciendo un análisis sobre la recta numérica.Primero se determina el punto donde 2 , lo que permite establecer dos intervalos

03 =−x

29/08/05 8



⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞−

23; ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞;23

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞−∈∀

23;x se tiene que , por

lo tanto

032 <−x

( )3232 −−=− xx

Por lo que la situación planteada equivale a resolver: ( ) xx 332 >−−

5335332 <⇔−>−⇔>+− xxxx

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞∈∀ ;

23x se tiene que , por lo

tanto

032 >−x

3232 −=− xx

Por lo que la situación planteada equivale a resolver: xx 332 >−

33332 −<⇔>−⇔>− xxxx

C.S. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞−

53

53

23 ;;; ∩ C.S. ( ) ∅=−∞−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞ 323 ;; ∩

C.S. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞−=∅⎟

⎠⎞

⎝∞−

53

53 ;; ∪⎜⎛

EJEMPLO ADICIONAL 9

Encontrar el conjunto solución de xx 32132 −>−

Haciendo un análisis sobre la recta numérica. Primero determinamos los puntos divisorios es decir

aquellos puntos donde 0132 =−x y 032 =− x , al resolver estas ecuaciones se tiene que:

32y

23 == xx , lo que permite establecer tres intervalos

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞−

32, ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

23

32 ; ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞;23

En este intervalo 0132 <−x por lo

tanto ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=− 1321

32 xx y

por lo tanto 032 >− xxx 3232 −=−

En este intervalo

0132 <−x por lo

tanto

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−=− 1321

32 xx

y 032 <− x por lo tanto

( )xx 3232 −−=−

En este intervalo 0132 >−x por

lo tanto 1321

32 −=− xx y

032 <− x por lo tanto ( )xx 3232 −−=−

De lo anterior el problema

planteado xx 32132 −>− se

convierte en

De lo anterior el problema planteado

xx 32132 −>−

De lo anterior el problema

planteado xx 32132 −>− se

convierte en

-2 -1 1 2 3 4 5

3/2

0

1 2

3/22/3

0

29/08/05 9



29/08/05 10

xx 32132 −>⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

xx 32132 +−<−

12332 +−<− xx

731

37 >⇔−<− xx

se convierte en

( xx 32132 −−>⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

( )xx 32132 −<⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

12332 +<+ xx

3311 <x

119<x

( )xx 32132 −−>−

12332 +−>− xx

137 −>− x

73<x

C.S. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∞−

32

73

73

32 ;;, ∩ C.S. ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

119

32 ; C.S. ∅

C.S. ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=∅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞

⎝ 119

32

32

73

119

32

32

73 ;;;; ∪∪∪⎜⎛

El conjunto solución de xx 32132 −>− puede darse utilizando diferentes notaciones:

En notación de intervalos: ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

119

32

32

73 ;; ∪ ó { }

32

119

73 −⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ;

En notación de inecuación compuesta 119

32ó

32

73 <<<< xx

En representación gráfica:

1

2/33/7 9/11

0

EJEMPLO ADICIONAL 10 Encontrar el conjunto solución de xx 4462 −≥−

Usando propiedades del valor absoluto se tiene:

xx 4462 −≥−

1231231432 −≥−⇔−≥−⇔−≥−⇔ xxxxxx

Lo que en términos de distancia significa “ los números reales cuya distancia a 3 es mayor o igual al doble de la distancia a 1”

En este intervalo y

03 <−x01 <−x

Por lo tanto

En este intervalo 03 <−x y 01 >−x

Por lo tanto

En este intervalo 03 >−x y 01 >−x

Por lo tanto

1 2 30



29/08/05 11

⇔−≥− 123 xx

( ) ( ) ⇔−−≥−− 123 xx ( )123 −≤− xx

232 −≤− xx 11 −≥⇔≤− xx

⇔−≥− 123 xx

( ) ( ) ⇔−≥−− 123 xx ⇔−≥+− 223 xx

3553 ≤⇔−≥− xx

⇔−≥− 123 xx

⇔−≥− 223 xx ⇔+−≥− 322xx

1−≤x

C.S. ( ] [ ) [ ]1111 ;;; −=∞−−∞ ∩ C.S.

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎜⎝⎛ ∞−

351

3531 ;;; ∩

C.S. [ ) ( ] ∅=−−∞∞ 13 ;; ∩

C.S. [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

351

35111 ;;; ∪

El conjunto solución representado en la recta numérica es:

-1 1 2 3

5/3

0

EJERCICIOS 1. Encontrar la solución de las siguientes inecuaciones:

a. 237 >− x b. 0243 ≤−−x c. 3432y24 >−=+ xx

d. 432 >−x e. 2132

≥−x f. 232≤−x

g. 53 +< x h. 53 =−x y 2>x i. ( ) 532

≤+− xx

j. 22y21 ≤−≤− xx k. 11y41 >−≥+ xx l. 221 ≤+≤ x ó 01

<−x

x

m. 02<

+xx n. 7113 ,>+x o. 0

31

>−x

p. 1537 ,>−− x q. 4533 >−+ xx r. xx 4153 −<− s. 747 +>− xx t. 128 +≥− xx u. 1732 +−≤− xx

v. 21274 >−−++ xx w. 3312 −+≤+ xx

RESPUESTAS

a. ( )∞⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞− ,3

35, ∪ b. ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ 2,

32

c. 62 −=−= xóx

d. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞− ,

27

21, ∪ e. ⎟

⎠⎞

⎢⎣⎡ ∞⎥⎦

⎤⎜⎝⎛ −∞− ,

29

23, ∪ f. ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

38,

34

g. ( ) ( ∞−−−∞ ,28, ∪ ) h. 82 =−= xóx i. [ ]4,6−



j. [ ]3,0 k. ( ] [ )∞−∞− ,35, ∪ l. ( )0,−∞ m. ( )2,−−∞

n. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞− ,

307

109, ∪

o. { }3−ℜ

p. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞− ,

7021

7081, ∪ q. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞− ,

87

21, ∪ r. ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−∞−

35,

764, ∪

s. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− 0,

314

t. u.

v. w.

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EJERCICIOS DE REPASO

1. Encuentre el valor de m y n para que el conjunto de números reales que satisface nmx ≤−3 tenga la siguiente representación gráfica:

2/3-10/3

2. Para qué valores de p la inecuación 372

3 −≤− px no tiene solución?

3. Encontrar el conjunto solución.

a. 834 −≤+ xx b. 0243 ≤−−x c. 217 =−x

d. 232 <+− x e. x≥3 f. 154 >+− x

g. 82y1282 <=− x-x h. 22y21 ≤−≤− xx i. 11y41 >−≥+ xx

j. 221 ≤+≤ x k. 3 5 4 2x x− − + ≤ l. ( ) 532

≤+− xx

m. 46 −−− n. 111 −−−−

4. A partir de su representación en la recta numérica determine los valores que satisfacen la

situación planteada. Indique la solución gráficamente, en notación de intervalo y en notación de desigualdad, y, exprese en palabras la situación.

a. 2

32 ≤−x

b. 53 +< x c. 53 =−x y 2>x

5. Escriba en notación de intervalo 2−x , si 2>x 6. Los valores de x que cumplen con xx = 7. Los valores de x que cumplen con xx < 8. Completar

a. Si , entonces, 0>a =−a

b. Si , entonces, 0<b =−b

c. La distancia entre es: 5y9−

d. El conjunto de todos los reales tales que xx −=− 22 es

9. Complete la tabla siguiente: X y x y xy yx

yx

y

x

yx + yx +

-5 5 -1

23

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10. Simplifique xyyx −−−

11. Cada desigualdad de la izquierda tiene como conjunto solución una de las expresiones de la

derecha. Determinar los pares correspondientes, en la siguiente tabla.

1231 <− xa 551 <≤− xb

( ) xxa 2122 −>− 72 <xb

3520353 −>−−≥− xa 23 >xb

532

567

4 −< xa 214 << xb

515 −>+ xxa ℜ6b

12. Que podemos decir de z, si, 0<zz 13. Demuestre que ( ) 22312 −=−− xx y exprese en palabras el significado de la igualdad. 14. En qué caso es x−1 igual a 1 - x ? En qué caso es igual a x - 1?

15. Encontrar la solución de: a. ( ) 5921 −>−− xx b. ( ) 414 ≤−− xx

c. ( ) 21 −>+− xx d. 4232 ≤++ xx e. 3232 2 ≤−− xx

f. 21062 <+− xx g. xxx 3192523 2 −>−− h. 644614 22 −≥−+ xxx

i. 22 4291144 xxxx −−≥−+ j. 4232 ≤++ xx k. 21343

≤−+

xx

l. 2113 <

+−

xx m.

32

157 >

+−

xx n. 4

223 ≥+−

xx

o. 31

12≤

−+x

x p. 175

1107

>−

+x

x q. ( ) 212 −>+− xx

RESPUESTAS

1. 64 =−= nym 2. 3<p 3.

a. [ )∞,6b. ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ 2,

32

c. 71

73

−ó

d. ℜ e. [ ]3,3− f. No hay solución g. 2− h. [ ]3,0 i. ( ] [ )∞−−∞ ,35, ∪ j. [ ] [ 0,13,4 −−− ∪ ]

k. ⎥⎦⎤

⎜⎝⎛−

211,

41

l. [ ]18,2−

m. 2 n. 3− 4.

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a. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

37,

34

b. ( ) ( )∞−−−∞ ,28, ∪ c. 8=x

5. ( )∞,0 6. [ )∞,0 7. ( )0,−∞

8. a. a b. b− c. 14 d. ℜ

9. X Y x y xy yx

yx

y

x

yx + yx +

-5 5 5 5 25 25 1 1 0 10 -1

23 1

23

23

32

32

21

25

23

10. 0 11. , , , ,

41 bcona62 bcona

13 bcona24 bcona

35 bcona

12. 0<z13. 14. Si y cuando 01 ≥− x 01 <− x15. a.

b.

c.

d. e.

f.

g. h.

i.

j. k.

l.

m. n.

o.

p. q.

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