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Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor absoluto: Ecuaciones e Inecuaciones enuna Variable Real
Carlos A. Rivera-Morales
Precaculo I
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Tabla de Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Objetivos:
Discutiremos:
la definicion de valor absoluto.
propiedades de valor absoluto.
resolucion de ecuaciones y desigualdades con valor absoluto.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Objetivos:
Discutiremos:
la definicion de valor absoluto.
propiedades de valor absoluto.
resolucion de ecuaciones y desigualdades con valor absoluto.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Objetivos:
Discutiremos:
la definicion de valor absoluto.
propiedades de valor absoluto.
resolucion de ecuaciones y desigualdades con valor absoluto.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| = − 43 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| = − 43 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| =
2.52 −| − 4| = − 43 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.5
2 −| − 4| = − 43 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| =
− 43 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| = − 4
3 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| = − 43 |0| =
04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| = − 43 |0| = 0
4 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| = − 43 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) =
− 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| = − 43 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| = − 43 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=
1
2
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Definicion:
El valor absoluto de un numero real x, denotado por |x|esta dado por:
Ejemplos:1 | − 2.5| = 2.52 −| − 4| = − 43 |0| = 04 −| − 8− 3| − (−8− (−3)) = − 6
5|(−3)3 + (52 − 3)|−15÷ (−3)(2)
=1
2Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Algunas Propiedades del valor absoluto:
1. ∀x ∈ R , |x| ≥ 0; ademas , |x| = 0⇐⇒ x = 0.
2. ∀x ∈ R , |x| = | − x|.
3. ∀x ∈ R , |x|2 = x2.
4. ∀x, y ∈ R , |x× y| = |x| × |y|.
5. ∀x, y ∈ R , |xy| = |x||y|
; y 6= 0.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Algunas Propiedades del valor absoluto:
1. ∀x ∈ R , |x| ≥ 0; ademas , |x| = 0⇐⇒ x = 0.
2. ∀x ∈ R , |x| = | − x|.
3. ∀x ∈ R , |x|2 = x2.
4. ∀x, y ∈ R , |x× y| = |x| × |y|.
5. ∀x, y ∈ R , |xy| = |x||y|
; y 6= 0.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Algunas Propiedades del valor absoluto:
1. ∀x ∈ R , |x| ≥ 0; ademas , |x| = 0⇐⇒ x = 0.
2. ∀x ∈ R , |x| = | − x|.
3. ∀x ∈ R , |x|2 = x2.
4. ∀x, y ∈ R , |x× y| = |x| × |y|.
5. ∀x, y ∈ R , |xy| = |x||y|
; y 6= 0.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Algunas Propiedades del valor absoluto:
1. ∀x ∈ R , |x| ≥ 0; ademas , |x| = 0⇐⇒ x = 0.
2. ∀x ∈ R , |x| = | − x|.
3. ∀x ∈ R , |x|2 = x2.
4. ∀x, y ∈ R , |x× y| = |x| × |y|.
5. ∀x, y ∈ R , |xy| = |x||y|
; y 6= 0.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Algunas Propiedades del valor absoluto:
1. ∀x ∈ R , |x| ≥ 0; ademas , |x| = 0⇐⇒ x = 0.
2. ∀x ∈ R , |x| = | − x|.
3. ∀x ∈ R , |x|2 = x2.
4. ∀x, y ∈ R , |x× y| = |x| × |y|.
5. ∀x, y ∈ R , |xy| = |x||y|
; y 6= 0.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Algunas Propiedades del valor absoluto:
1. ∀x ∈ R , |x| ≥ 0; ademas , |x| = 0⇐⇒ x = 0.
2. ∀x ∈ R , |x| = | − x|.
3. ∀x ∈ R , |x|2 = x2.
4. ∀x, y ∈ R , |x× y| = |x| × |y|.
5. ∀x, y ∈ R , |xy| = |x||y|
; y 6= 0.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Interpretacion geometrica del valor absoluto:
Podemosinterpretar el valor absoluto de un numero real a como ladistancia de a al origen de una recta numerica.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Interpretacion geometrica del valor absoluto: Podemosinterpretar el valor absoluto de un numero real a como ladistancia de a al origen de una recta numerica.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Interpretacion geometrica del valor absoluto: Podemosinterpretar el valor absoluto de un numero real a como ladistancia de a al origen de una recta numerica.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Interpretacion geometrica del valor absoluto: Podemosinterpretar el valor absoluto de un numero real a como ladistancia de a al origen de una recta numerica.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Formula de la distancia en la recta numerica real
Definicion: Sean A y B dos puntos en la recta numerica concoordenadas respectivas a y b.
Entonces, la distancia de A aB, denotada por d(A,B) se define como:
d(A, B) = |b - a|
Nota: |a− b| = |b− a|Razon: b− a = −(a− b). Por lo tanto, por la propiedad queestablece que |x| = | − x|, se tiene que |a− b| = |b− a|.Por lo tanto,d(A, B) = d(B, A)
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Formula de la distancia en la recta numerica real
Definicion: Sean A y B dos puntos en la recta numerica concoordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A aB, denotada por d(A,B) se define como:
d(A, B) = |b - a|
Nota: |a− b| = |b− a|Razon: b− a = −(a− b). Por lo tanto, por la propiedad queestablece que |x| = | − x|, se tiene que |a− b| = |b− a|.Por lo tanto,d(A, B) = d(B, A)
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Formula de la distancia en la recta numerica real
Definicion: Sean A y B dos puntos en la recta numerica concoordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A aB, denotada por d(A,B) se define como:
d(A, B) = |b - a|
Nota: |a− b| = |b− a|Razon: b− a = −(a− b). Por lo tanto, por la propiedad queestablece que |x| = | − x|, se tiene que |a− b| = |b− a|.Por lo tanto,d(A, B) = d(B, A)
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Formula de la distancia en la recta numerica real
Definicion: Sean A y B dos puntos en la recta numerica concoordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A aB, denotada por d(A,B) se define como:
d(A, B) = |b - a|
Nota: |a− b| = |b− a|
Razon: b− a = −(a− b). Por lo tanto, por la propiedad queestablece que |x| = | − x|, se tiene que |a− b| = |b− a|.Por lo tanto,d(A, B) = d(B, A)
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Formula de la distancia en la recta numerica real
Definicion: Sean A y B dos puntos en la recta numerica concoordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A aB, denotada por d(A,B) se define como:
d(A, B) = |b - a|
Nota: |a− b| = |b− a|Razon: b− a = −(a− b).
Por lo tanto, por la propiedad queestablece que |x| = | − x|, se tiene que |a− b| = |b− a|.Por lo tanto,d(A, B) = d(B, A)
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Formula de la distancia en la recta numerica real
Definicion: Sean A y B dos puntos en la recta numerica concoordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A aB, denotada por d(A,B) se define como:
d(A, B) = |b - a|
Nota: |a− b| = |b− a|Razon: b− a = −(a− b). Por lo tanto, por la propiedad queestablece que |x| = | − x|, se tiene que |a− b| = |b− a|.
Por lo tanto,d(A, B) = d(B, A)
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Formula de la distancia en la recta numerica real
Definicion: Sean A y B dos puntos en la recta numerica concoordenadas respectivas a y b. Entonces, la distancia de A aB, denotada por d(A,B) se define como:
d(A, B) = |b - a|
Nota: |a− b| = |b− a|Razon: b− a = −(a− b). Por lo tanto, por la propiedad queestablece que |x| = | − x|, se tiene que |a− b| = |b− a|.Por lo tanto,d(A, B) = d(B, A)
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplos: Calcule la distancia entre los punto A y B concoordenadas respectivas a y b.
1 a = 4, b = 9
2 a = 9, b = 4
3 a = 0, b = 6
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplos: Calcule la distancia entre los punto A y B concoordenadas respectivas a y b.
1 a = 4, b = 9
2 a = 9, b = 4
3 a = 0, b = 6
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplos: Calcule la distancia entre los punto A y B concoordenadas respectivas a y b.
1 a = 4, b = 9
2 a = 9, b = 4
3 a = 0, b = 6
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplos: Calcule la distancia entre los punto A y B concoordenadas respectivas a y b.
1 a = 4, b = 9
2 a = 9, b = 4
3 a = 0, b = 6
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |x|Para p > 0
|x| = p ⇐⇒ x = p o x = −p
Ejemplo: |x| = 5 ⇐⇒ x = 5 o x = −5
Nota: Si p < 0, la ecuacion |x| = p no tienen solucion.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |x|Para p > 0
|x| = p ⇐⇒ x = p o x = −p
Ejemplo: |x| = 5 ⇐⇒ x = 5 o x = −5
Nota: Si p < 0, la ecuacion |x| = p no tienen solucion.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |x|Para p > 0
|x| = p ⇐⇒ x = p o x = −p
Ejemplo: |x| = 5 ⇐⇒ x = 5 o x = −5
Nota: Si p < 0, la ecuacion |x| = p no tienen solucion.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |x|Para p > 0
|x| = p ⇐⇒ x = p o x = −p
Ejemplo: |x| = 5 ⇐⇒ x = 5 o x = −5
Nota: Si p < 0, la ecuacion |x| = p no tienen solucion.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b|Para p > 0
|ax + b| = p ⇐⇒ ax + b = p o ax + b = −p
Ejemplo: |3x− 5| = 73x− 5 = 7 o 3x− 5 = −73x = 12 o 3x = −2
x = 4 o x = −2
3
C. S. = {- 2
3, 4}
Nota: Si p < 0, la ecuacion |ax + b| = p no tiene solucion.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b|Para p > 0
|ax + b| = p ⇐⇒ ax + b = p o ax + b = −p
Ejemplo: |3x− 5| = 7
3x− 5 = 7 o 3x− 5 = −73x = 12 o 3x = −2
x = 4 o x = −2
3
C. S. = {- 2
3, 4}
Nota: Si p < 0, la ecuacion |ax + b| = p no tiene solucion.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b|Para p > 0
|ax + b| = p ⇐⇒ ax + b = p o ax + b = −p
Ejemplo: |3x− 5| = 73x− 5 = 7 o 3x− 5 = −7
3x = 12 o 3x = −2
x = 4 o x = −2
3
C. S. = {- 2
3, 4}
Nota: Si p < 0, la ecuacion |ax + b| = p no tiene solucion.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b|Para p > 0
|ax + b| = p ⇐⇒ ax + b = p o ax + b = −p
Ejemplo: |3x− 5| = 73x− 5 = 7 o 3x− 5 = −73x = 12 o 3x = −2
x = 4 o x = −2
3
C. S. = {- 2
3, 4}
Nota: Si p < 0, la ecuacion |ax + b| = p no tiene solucion.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b|Para p > 0
|ax + b| = p ⇐⇒ ax + b = p o ax + b = −p
Ejemplo: |3x− 5| = 73x− 5 = 7 o 3x− 5 = −73x = 12 o 3x = −2
x = 4 o x = −2
3
C. S. = {- 2
3, 4}
Nota: Si p < 0, la ecuacion |ax + b| = p no tiene solucion.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b|Para p > 0
|ax + b| = p ⇐⇒ ax + b = p o ax + b = −p
Ejemplo: |3x− 5| = 73x− 5 = 7 o 3x− 5 = −73x = 12 o 3x = −2
x = 4 o x = −2
3
C. S. = {- 2
3, 4}
Nota: Si p < 0, la ecuacion |ax + b| = p no tiene solucion.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b| y |cx + d||ax + b| = |cx + d| ⇐⇒ ax + b = cx + d o ax + b = −(cx + d)
Ejemplo: Resuelva la ecuacion |2x− 7| = |4x + 6|Solucion:
C.S. = {- 13
2,1
6}
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b| y |cx + d||ax + b| = |cx + d| ⇐⇒ ax + b = cx + d o ax + b = −(cx + d)
Ejemplo: Resuelva la ecuacion |2x− 7| = |4x + 6|
Solucion:
C.S. = {- 13
2,1
6}
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de ecuaciones que envuelven |ax + b| y |cx + d||ax + b| = |cx + d| ⇐⇒ ax + b = cx + d o ax + b = −(cx + d)
Ejemplo: Resuelva la ecuacion |2x− 7| = |4x + 6|Solucion:
C.S. = {- 13
2,1
6}
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejercicios: Resuelva cada ecuacion y grafique su conjuntosolucion.
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejercicios: Resuelva cada ecuacion y grafique su conjuntosolucion.(Continuacion.)
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Soluciones:
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x|Para p > 0,
|x| < p ⇐⇒−p < x < p|x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p|x| > p⇐⇒ x < −p o x > p|x| ≥ p⇐⇒ x ≤ −p o x ≥ p
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x|Para p > 0,
|x| < p ⇐⇒−p < x < p
|x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p|x| > p⇐⇒ x < −p o x > p|x| ≥ p⇐⇒ x ≤ −p o x ≥ p
Rivera-Morales, Carlos A. Valor Absoluto
Contenido
ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x|Para p > 0,
|x| < p ⇐⇒−p < x < p|x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p
|x| > p⇐⇒ x < −p o x > p|x| ≥ p⇐⇒ x ≤ −p o x ≥ p
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Valor Absoluto
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x|Para p > 0,
|x| < p ⇐⇒−p < x < p|x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p|x| > p⇐⇒ x < −p o x > p
|x| ≥ p⇐⇒ x ≤ −p o x ≥ p
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Valor Absoluto
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x|Para p > 0,
|x| < p ⇐⇒−p < x < p|x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p|x| > p⇐⇒ x < −p o x > p|x| ≥ p⇐⇒ x ≤ −p o x ≥ p
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven |x|Para p > 0,
|x| < p ⇐⇒−p < x < p|x| ≤ p⇐⇒−p ≤ x ≤ p|x| > p⇐⇒ x < −p o x > p|x| ≥ p⇐⇒ x ≤ −p o x ≥ p
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x| ≤ 3
⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3
Ejemplo 2: |x| > 5 ⇐⇒ x < −5 o x > 5
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3
Ejemplo 2: |x| > 5 ⇐⇒ x < −5 o x > 5
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Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3
Ejemplo 2: |x| > 5 ⇐⇒ x < −5 o x > 5
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Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3
Ejemplo 2: |x| > 5
⇐⇒ x < −5 o x > 5
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Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3
Ejemplo 2: |x| > 5 ⇐⇒ x < −5 o x > 5
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x| ≤ 3 ⇐⇒−3 ≤ x ≤ 3
Ejemplo 2: |x| > 5 ⇐⇒ x < −5 o x > 5
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b,obtenemos:
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven|ax + b|Para p > 0,
|ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p|ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p|ax + b| > p ⇐⇒ ax + b < −p o ax + b > p|ax + b| ≥ p ⇐⇒ ax + b ≤ −p o ax + b ≥ p
Nota: Si p < 0, las ecuaciones |x| < p y |ax + b| < p no tienensolucion.
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b,obtenemos:
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven|ax + b|Para p > 0,
|ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p
|ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p|ax + b| > p ⇐⇒ ax + b < −p o ax + b > p|ax + b| ≥ p ⇐⇒ ax + b ≤ −p o ax + b ≥ p
Nota: Si p < 0, las ecuaciones |x| < p y |ax + b| < p no tienensolucion.
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b,obtenemos:
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven|ax + b|Para p > 0,
|ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p|ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p
|ax + b| > p ⇐⇒ ax + b < −p o ax + b > p|ax + b| ≥ p ⇐⇒ ax + b ≤ −p o ax + b ≥ p
Nota: Si p < 0, las ecuaciones |x| < p y |ax + b| < p no tienensolucion.
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Valor Absoluto
Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b,obtenemos:
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven|ax + b|Para p > 0,
|ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p|ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p|ax + b| > p ⇐⇒ ax + b < −p o ax + b > p
|ax + b| ≥ p ⇐⇒ ax + b ≤ −p o ax + b ≥ p
Nota: Si p < 0, las ecuaciones |x| < p y |ax + b| < p no tienensolucion.
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b,obtenemos:
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven|ax + b|Para p > 0,
|ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p|ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p|ax + b| > p ⇐⇒ ax + b < −p o ax + b > p|ax + b| ≥ p ⇐⇒ ax + b ≤ −p o ax + b ≥ p
Nota: Si p < 0, las ecuaciones |x| < p y |ax + b| < p no tienensolucion.
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Si en las expresiones anteriores reemplazamos x por ax + b,obtenemos:
Propiedad de desigualdades o inecuaciones que envuelven|ax + b|Para p > 0,
|ax + b| < p ⇐⇒−p < ax + b < p|ax + b| ≤ p⇐⇒−p ≤ ax + b ≤ p|ax + b| > p ⇐⇒ ax + b < −p o ax + b > p|ax + b| ≥ p ⇐⇒ ax + b ≤ −p o ax + b ≥ p
Nota: Si p < 0, las ecuaciones |x| < p y |ax + b| < p no tienensolucion.
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x− 9| < 2
⇐⇒−2 < x− 9 < 2⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
⇐⇒x < −7
3o x > −1
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Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x− 9| < 2 ⇐⇒−2 < x− 9 < 2
⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
⇐⇒x < −7
3o x > −1
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Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x− 9| < 2 ⇐⇒−2 < x− 9 < 2⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
⇐⇒x < −7
3o x > −1
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Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x− 9| < 2 ⇐⇒−2 < x− 9 < 2⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
⇐⇒x < −7
3o x > −1
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Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x− 9| < 2 ⇐⇒−2 < x− 9 < 2⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2
⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
⇐⇒x < −7
3o x > −1
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x− 9| < 2 ⇐⇒−2 < x− 9 < 2⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2
⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
⇐⇒x < −7
3o x > −1
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x− 9| < 2 ⇐⇒−2 < x− 9 < 2⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
⇐⇒x < −7
3o x > −1
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x− 9| < 2 ⇐⇒−2 < x− 9 < 2⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
⇐⇒x < −7
3o x > −1
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejemplo 1: |x− 9| < 2 ⇐⇒−2 < x− 9 < 2⇐⇒7 < x < 11
Ejemplo 2: |3x + 5| > 2 ⇐⇒ 3x + 5 < −2 o 3x + 5 > 2⇐⇒ 3x < −7 o 3x > −3
⇐⇒x < −7
3o x > −1
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejercicios: Resuelva cada desigualdad y grafique su conjuntosolucion.
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Ejercicios: Resuelva cada desigualdad y grafique su conjuntosolucion.(Continuacion.)
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ObjetivosPropiedades del Valor AbsolutoEcuaciones con Valor AbsolutoDesigualdades o Inecuaciones con Valor Absoluto
Valor Absoluto
Soluciones:
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