Valor absoluto de un número real Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia desde ese número al origen.

Observe en el dibujo que la distancia del 6 al origen es 6 unidades, igualmente la distancia del punto −6 al origen es 6. En notación, esto es |−6| = 6. Las barras se leen como el valor absoluto de lo que está dentro de ellas.

En el valor absoluto no importa en qué lado de la recta real está representado el número. De modo general, el valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, yopuesto de a, si a es negativo. Analíticamente podemos ver que si a es positivo, es decir está a la derecha del cero, entonces |a| = a y si está a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces |a| = −a. Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real |a| está definido por:

Por definición, el valor absoluto de |a| siempre será mayor o igual que ceroy nunca negativo. Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real |a| es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales |a − b| es la distancia entre ellos.

Veamos los siguientes ejemplos Ejemplo 1

a) b) Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una cantidad negativa le cambia el signo. c) Si x > 2 entonces | x – 2| = x – 2, pues x − 2 > 0. Dicho de otra manera, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo positivo, el valor absoluto la

deja igual. d) Si x < 2 entonces |x – 2| = – (x – 2), pues x − 2 <0 . Dicho de otro modo, si la expresión a la que le estamos tomando valor absoluto es de signo negativo, el valor absoluto

la cambia de signo. Ecuaciones con valor absoluto Si x es una incógnita en la expresión |x − 3|, entonces no sabemos si x − 3 es positivo o negativo. Ahora bien, si tenemos la ecuación: |x − 3| = 5

deberíamos considerar las dos posibilidades de signo. Es decir hay dos alternativas: x − 3 = 5

o bien x − 3 = −5 La primera es en el caso de que x − 3 sea positivo, la segunda en la situación de que sea negativo.

Resolviendo las dos ecuación, tenemos que x = 8 o bien x = −2 Efectivamente, estos valores de x satisfacen la ecuación: |x − 3| = 5 Veamos más ejemplos de resolución de ecuaciones en valor absoluto Resolver |x − 4| = 3 Hay dos posibilidades: x − 4 = 3 o bien x − 4 = −3. Las soluciones de ellas son 7 y 1.

Veamos: x − 4 = 3 x = 3 + 4 x = 7 o bien x − 4 = −3 x = −3 + 4 x = 1 Resolver 3 |5 − 4x| = 9

Veamos: Hasta ahora, sabemos resolver una ecuación con valor absoluto cuando el valor absoluto se presenta en el lado izquierdo, así es que lo llevamos a esta forma, dividiendo entre 3 ambos miembros de la ecuación:

De esta manera la ecuación dada es equivalente a: |5 − 4x| = 3

Ahora, esta ecuación en valor absoluto es equivalente a 5 − 4x = 3 o bien 5 − 4x = −3 Despejando x: Si 5 − 4x = 3

−4x = 3 − 5 −4x = −2 /−1 4x = 2

Si 5 − 4x = −3

−4x = −3 − 5 −4x = −8 /−1 4x = 8

Las soluciones para la ecuación primitiva son y 2. Conocida esta respuesta, podemos representar el conjunto solución de nuestra ecuación 3 |5 − 4x| = 9 a través de la notación de conjunto como:

Recuerde que un valor absoluto siempre es mayor o igual a cero, nunca negativo ( ). Propiedades fundamentales

Propiedad multiplicativa

Propiedad aditiva

Otras propiedades

Simetría

Otras dos útiles inecuaciones son:

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

Valor absoluto de un números entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo. El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales .

|−5| = 5

|5| = 5

Valor absoluto de un número real

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero , y opuesto de a, si a es negativo .

|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0 |x| = 2 x = −2 x = 2

|x|< 2 − 2< x < 2 x (−2, 2 )

|x|> 2 x< −2 ó x>2 (−∞ , −2) (2, +∞) |x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5 − 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7

Propiedades del valor absoluto

1 Los números opuestos t ienen igual valor absoluto .

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

2 El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los

factores.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10

3 El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores

absolutos de los sumandos .

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| = |5| + |2| 3 ≤ 7

Función valor absoluto Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos , siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces .

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la

función .

4 Representamos la función resultante.

D=

Representa las funciones en valor absoluto

1 f(x) = |x − 2|

2

3

4 f(x) = |x² − 4x + 3|

x² −4x + 3 = 0 x = 1 x = 3

5 f(x) = |−x² + 5x − 4|

−x² + 5x − 4 =0 x² − 5x + 4 =0 x = 1 x = 4

6 f(x) = |x| − x

x = 0

El valor absoluto de un número real a coincide con él mismo si es positivo o 0, y es igual a su opuesto si es negativo. Se representa por |a|.

De modo que el valor absoluto de cualquier número nunca es negativo.

El valor absoluto de un número coincide siempre con el de su opuesto.

Ejemplos de valor absoluto

a) |3,5| = 3,5b) |-1,6| = 1,6c) |4 - 9| = |-5| = 5d) |π - 2| = π - 2 = 1,141...e) |-3| + |√2| = 3 + √2 = 4,414...

f) |-4,2| - |-4,2| = 4,2 - 4,2 = 0

Propiedades del valor absoluto

1. |a| = |-a|

2. |a · b| = |a| · |b|

3. |a +b | ≤ |a| + |b| Desigualdad triangular

4. Si |a| < k -k < a < k

Ejemplos de las propiedades del valor absoluto

1. |-7| = |7| =7

2. |(-2) · 5| = |-10| = 10 = |-2| · |5| = 2 · 5

3. |4 + 2| = |6| = 6 = |4| + |2| Igualmente: |4 + (-2)| = |2| = 2 ≤ |4| + |-2| = 4 + 2 = 6

4. Si |3|<4, entonces -4 < 3 < 4

Observaciones de las propiedades del valor absoluto

|x| = a son los valores x tales que x = a o x = - a

|x| < a son los valores x tales que - a < x < a

|x| > a son los valores x tales que x < - a o x > a

La desigualdad |x| ≤ a describe el intervalo cerrado [-a , a] , simétrico respecto al origen.

Y los números reales |x| < a son los del intervalo abierto (-a, a).

La desigualdad |x| ≥ a describe la unión de los intervalos (-∞ , -a] ∪ [a , ∞).

Y los números reales |x| > a son la unión de los intervalos abiertos (-∞ , -a) ∪ (a , ∞).

La desigualdad |x - c| < d es el intervalo abierto (c - d , c + d) , denominado también entorno de centro c y radio d, E(c , r).

La desigualdad |x - c| ≤ d es el intervalo cerrado [c - d , c + d].

La desigualdad |x - c| > d es la unión de los intervalos (-∞ , c - d) ∪ (c + d , ∞).

La desigualdad |x - c| ≥ d es la unión de los intervalos (-∞ , c - d] ∪ [c + d , ∞).

Ejemplos de las propiedades del valor absoluto

a) La expresión |x| < 5 representa el intervalo abierto (-5, 5)

|x| < 5 ⇔ -5 < x < 5 ⇔ x ∈ (-5,5)

b) La expresión |x| ≤ 5 representa el intervalo cerrado [-5, 5]

|x| ≤ 5 ⇔ -5 ≤ x ≤ 5 ⇔ x ∈ [-5,5]

c) La expresión |x-5| ≤ 7 representa el intervalo cerrado [-2, 12]

pues |x-5| ≤ 7 ⇔ -7 ≤ x - 5 ≤ 7 ⇔ - 7 + 5 ≤ x ≤ 7 + 5 ⇔ - 2 ≤ x ≤ 12 ⇔ x ∈ [-2, 12]

d) La expresión |x| > 5 representa la unión de intervalos (-∞, -5)∪(5, ∞), pues

|x| > 5 ⇔ x < -5 o x > 5 ⇔ x ∈ (-∞ , -5) ∪ (5 , ∞)

e) La expresión |x-5| ≥ 7 representa la unión de intervalos (-∞, -2] ∪ [12 , ∞), pues

|x-5| ≥ 7 ⇔ x-5 ≤ -7 o x-5 ≥ 7 ⇔ x ≤ 5-7 o x ≥ 5+7 ⇔ x ∈ (-∞ , -2] ∪ [12 , ∞)

Expresión con valor absoluto

a > 0

Interpretación Geométrica Expresión sin valor

Absoluto

|x| = a

La distancia de x al origen es a

x = ± a

|x| < a

La distancia de x al origen es estrictamente menor que a

- a < x < a

|x| ≤ a

La distancia de x al origen es menor o igual que a

- a ≤ x ≤ a

|x| > a

La distancia de x al origen es estrictamente mayor que a

x >a ó x < - a

|x| ≥ a La distancia de x al origen es mayor o igual que a x ≥ a ó x ≤ - a

0 < |x| < a

La distancia de x al origen es estrictamente menor que a y estrictamente

mayor que 0

0 < |x| ⇔ x≠ 0

|x| < a ⇔ - a < x < a

Por tanto:

0 < |x| <a ⇔ x≠ 0 y - a <

x < a

e < |x| < a (e > 0 , e < a)

La distancia de x al origen es estrictamente menor que a y estrictamente

mayor que e

e < |x| ⇔ x > e ó x < -

e

|x| < a ⇔ - a < x < a

Por tanto:

0 < |x| < a ⇔

- a < x < -e ó e < x < a

Distancia

La distancia entre dos números a y b es el valor absoluto de su diferencia.

d(a,b) = |b-a| = |a-b|

La distancia entre a y b es la longitud del segmento de extremos a y b . Por tanto, la distancia entre dos números siempre es positiva.

La unidad de medida de longitud es la distancia entre los números 0 y 1.

Ejemplo de distancia entre dos puntos

La distancia entre los números -4 y 7 será: d(-4,7) = |(-4) -7| = |7 - (-4)| = 11

Expresión

con valor

absoluto

d > 0

Interpretación Geométrica Expresión sin valor Absoluto

|x - c| = d

La distancia entre x y c es d

x - c = ± d ⇔

x = d + c ó x = - d +c

|x - c| < d

La distancia entre x y c es estrictamente menor que d

- d < x - c < d ⇔

- d + c < x < d + c

|x - c| ≤ d La distancia entre x y c es menor o igual que d

- d ≤ x - c ≤ d ⇔

- d + c ≤ x ≤ d + c

|x - c| > d

La distancia entre x y c es estrictamente mayor que d

x - c > d ó x - c < - d

Por tanto:

x > c + d ó x < c - d

|x - c| ≥ d

La distancia entre x y c es mayor o igual que d

x - c ≥ d ó x - c ≤ - d

Por tanto:

x ≥ c + d ó x ≤ c - d

0 < |x - c| <

d

La distancia entre x y c es estrictamente menor que d y estrictamente

mayor que 0

0 < |x - c| ⇔ x - c ≠ 0

⇔ x ≠c

|x - c| < d ⇔ - d + c < x <

d + c

Por tanto:

0 < |x - c| < d ⇔

x ≠c y - d + c < x < d + c

e < |x- c| <

d

(e > 0 , e <

d)

La distancia de x al origen es estrictamente menor que d y estrictamente

mayor quee e < |x - c| ⇔ x > c +

e ó x < c - e

|x| < d ⇔ - d < x < d

Por tanto:

0 < |x| < d ⇔

c - d < x < c - e ó c + e < x

< c + d

8

7 f(x) = |x| / x7

x = 0