el numero real

UNIDAD 1. EL NÚMERO REAL

4º ESO. MATEMÁTICAS B. CURSO 2011/2012

1.1 EXPRESIÓ APROXIMADA – CONTROL DEL ERROR. NOTACIÓ CIENTIFICA

Expresión decimal de los números aproximados. Cifras significativas.

Cuando estamos realizando operaciones con números con muchas cifras, podemos

realizar una aproximación.

Al comprar productos realizamos esta operación sin darnos cuenta:

Esta camiseta vale 6€ (cuando marca 5’95€)

Aquel coche vale unos 12.000€ (11.850€)

Las cifras significativas son los valores diferentes del cero que queremos expresar en esta

aproximación, a partir del primer número diferente de cero:

Veamos el resultado en esta tabla con el número: 8764

Cifras significativas: 3 cifras sign. 2 cifras sign. 1 cifras sign.

Aproximación 8760 8800 9000

Redondeo de números

En matemáticas, el método más empleado para aproximar es el redondeo. El método para

redondear es el siguiente:

Nos fijamos en el número posterior a la cifra significativa que queremos redondear:

Si es menor que 5 (de 0 a 4), ponemos ceros a partir de esta cifra:

3 cifras significativas: 23647, el siguiente es 4, por tanto quedará: 23600.

Si es mayor que 5 (de 5 a 9), sumamos 1 a la primera cifra significativa y ponemos

ceros a partir de esta cifra: 3 c.s. de 23456, es un 5 --> 23500.

Practica:

Ej. 1. Realiza el redondeo con tres cifras significativas de:

a. 27.890 =

b. 12,316 =

c. 1.547.236 =

d. 123.456 =

e. 0,023467 =

f. 399.500 =

Error absoluto y error relativo

Definimos:

Error absoluto (E.a.): Es la diferencia entre el valor real de un número y su aproximación.

Error relativo (E.r.): Es el cociente entre el error absoluto cometido en una aproximación y

el valor real.

Practica:

Ej. 2. Obtén el E.a. y el E.r. de las aproximaciones del Ej. 1.

Dominar la expresión decimal de un número. Calcular o aproxima

los errores absolutos i relativos en una aproximación.

OBJETIVOS:

Una camiseta tiene un valor real de 5.95€, calcula el E.a. y E.r. cometido cuando aproximamos a 6€.

Error absoluto: E.a.= 5.95 – 6.00 = -0.05 Error relativo: E.r. = -0,05/5.95 = - 0’0084 en % sería 0’84%



Ej. 3. Sea el número 9865. Obtén el E.r. cuando redondeamos a:

a. 3 cifras significativas.

b. 2 cifras significativas.

c. 1 cifra significativa.

¿Qué podemos deducir de la relación que hay entre las cifras significativas utilizadas y el error

relativo cometido?

Notación científica

¿Cómo pasar un número muy grande a notación científica?

Se pone como parte entera el primer dígito de la izquierda. Seguidamente se pone una

coma y varias cifras decimales (dos o tres) con los siguientes dígitos.

Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras no decimales que tiene

el número menos una (la primera). Es decir, cuántos lugares hemos movido la coma decimal

hacia la izquierda. Es un exponente positivo.

¿Cómo pasar un número muy pequeño a notación científica?

Se pone como parte entera el primer dígito distinto de cero de la izquierda. Seguidamente

se pone una coma y varias cifras decimales (dos o tres) con los siguientes dígitos.

Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras decimales que tiene el

número hasta la primera que sea distinta de cero (incluida). Es decir, cuántos lugares hemos

movido la coma decimal hacia la derecha. Es un exponente negativo.

Ej. 4. Escribe en notación científica:

a. La capacidad de una gran computadora para almacenar datos es de quinientos billones

de bytes

b. El radio del átomo de oxígeno mide sesenta y seis billonésimas de metro.

c. La superficie de la Tierra es aproximadamente de quinientos diez millones de

kilómetros cuadrados.

Poner en notación científica el número 0,000000000003897

Parte entera: 3,897 Exponente de la potencia de diez: -12 (hay 12 dígitos decimales, hasta la cifra 3, incluyendo dicha cifra) El número en notación científica sería: 3,897·10 -12

Poner en notación científica el número 3897000000000000

Parte entera: 3,897 Exponente de la potencia de diez: +15 (hay 16 dígitos no decimales, menos uno da 15) El número en notación científica sería: 3,897·10 15



d. La velocidad de la luz es de trescientos millones de metros por segundo.

e. El virus de la gripe tiene un diámetro de cinco cienmilésimas de mm.

f. En la Vía Láctea hay aproximadamente ciento veinte mil millones de estrellas.

ACTIVIDADES DE REFUERZO

Ej. 5 –Expresa en notación científica y halla el error absoluto y relativo cometido: 3256730000

m.

ACTIVIDADES DE PROFUNDIZACIÓN DE LA UNIDAD.

Ej. 6 – La masa del protón es de: 0’000000000000000000000000000167262158 Kg. Expresa

esta cantidad en notación científica con tres cifras significativas. Calcula el error relativo

cometido.

Realiza el mismo ejercicio con:

la masa del neutrón: 0’000000000000000000000000000167492716 Kg

la masa del electrón: 0’0000000000000000000000000000000910938188 kg.

Ej. 7 – Sabiendo que el radio de la Tierra es de 6378 Km. Calcula el error relativo cometido en la

aproximación del ejercicio 4, apartado c.

ACTIVIDADES DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD.

Remitir a las actividades de la explicación, y ejercicios de los libros de consulta de clase.

1.2 NÚMEROS NATURALES – RACIONALES E IRRACIONALES

Definimos:

Número Natural : es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos

de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser

humano para contar objetos. Se representa:

Número Entero: Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los

números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números

naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0. Se representan por la letra:

ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...},

que proviene del alemán Zahlen ("números", pronunciado [‘tsaːlən]).

Números Racional: a todo número que puede representarse como el cociente de dos

números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo).

Es decir, una fracción común con numerador y denominador distinto de cero. El

término racional alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números

Saber clasificar el tipo de números en función de sus

características.

OBJETIVOS:



racionales se denota por que significa «cociente» (Quotient en varios idiomas

europeos)

Aquel que no es racional, lo llamaremos irracional: es decir no se puede

expresar en forma de fracción.

Número Real ( : El conjunto de números naturales, enteros, racionales e irracionales

lo definimos como números reales:


Ej. 8 – Clasifica los siguientes números


Ej. 9 – Representa en la recta real





1.3 REPRESENTACIÓN DE INTERVALOS Y RECTAS

Cuando resolvemos un ejercicio de cálculo, o resolvemos un problema, la solución suele ser

un número. Pero, ¿Qué ocurre cuando la solución es un conjunto de números?

Para indicar que una solución es un conjunto de números, lo podemos indicar de tres

formas diferentes:

Intervalo Desigualdad Gráficamente

Ejem

plo

Que valores de x cumplen que tenga solución real.

La solución serán aquellos valores que den valores positivos en la ecuación 16-x², es decir valores

mayores o igual que el -4 y menores o igual que el 4.

No

men

clat

ura

Representaremos la solución como un duplo de números, separados por una coma. En los extremos pondremos un corchete, en el caso que la solución sea válida el corchete cerrara el número. En caso contrario el corchete serà abierto.

Expresaremos la solución

usando los signos <, ,

>.

Indicaremos que valores

reales de la incógnita

cumplen la solución.

Representaremos sobre la recta real los

límites de la solución (en nuestro caso

el -4 y el 4).

Si el número sirve como solución el

punto lo pintamos por dentro (•). En el

caso que no sea así, pintamos el circulo

hueco (⁰).

Después unimos los puntos con una

línea por encima o debajo de la recta

real.

Solu

ció

n

[-4,4]

Busca información en Internet, sobre la relevancia del número áureo a lo largo de la historia del arte. El número áureo es un número irracional que viene representado por:

Obtén una aproximación de 4 cifras significativas, y calcula el error relativo cometido.

Representar intervalos en forma de inecuación y gráficamente.

OBJETIVOS:

Ver estos videos:

El numero divino

El número de Oro - El Sello de Dios

http://youtu.be/j9e0auhmxnc

http://youtu.be/I5VOyEKAPOk




Ej. 10 – Representa las siguientes soluciones de las tres formas posibles:

] -2, 6] [-1, +∞[


Ej. 11 – Que valores cumplirán que x+5>0

Ej. 12 – Que valores de x darán solución real para la siguiente expresión algebraica:



1.4 RAICES. PROPIEDADES DE LAS RAICES.

Expresión de raíces en forma exponencial, y viceversa.

Cualquier raíz la podemos expresar en forma de potencia:

Recuerda que cuando n=2 no se indica en el radical, y si m=1 tampoco se indica en el

exponente así tendríamos que

.

I) , 3

1II) , 3

2

I) 1x x

)I 6x x/

II) 2 5 x x

II) 3 2 x x

. Simplificar expresiones numéricas irracionales sencillas y operar con números reales:

Interpreta y simplifica radicales.

Opera con raíces.

Racionaliza denominadores.

.

OBJETIVOS:



Ej. 13. Expresa en forma de potencia o radical las siguientes expresiones:

Propiedades de las potencias y los radicales

Propiedades de las potencias y radicales:

POTENCIAS RAÍCES

1.- 1.-

Demostración:

C.Q.D.

2.- 2.-

Demostración:

3.-

3.-

Demostración:

4.- 4.-

Demostración:

Comentarios:

Utilización de la calculadora para obtener potencias y raíces

En todas las calculadoras científicas encontraremos unas teclas que servirán para obtener resultados de potencias o raíces ¿Cuál es tú caso?

a. b. c. d. Ej. 14 Explica con tus propias palabras, cómo calcularías con la calculadora y da el resultado de:

,

Ej. 15 Expresa en forma radical

3/12/331

55 ²b) ·) xbaa



1.5 UTILIZACIÓN DE LAS PROPIEDADES CON RAÍCES. SIMPLIFICACIÓN. OPERACIONES CON NUMEROS RACIONALES

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado:

Utilidades relacionadas con la simplificación: Reducción de radicales a índice común:

Pasos Ejemplo

1.- Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice.

m.c.m (2, 5, 3) = 30

2.- Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone el radicando en factores. Puede ocurrir:

Ejemplo:

Explicación Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando (a)

Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.(b)

Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando (c)

Ejemplo

Introducción de factores dentro del signo radical Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical:

Ej. 16 - Simplifica y extrae los factores que puedas fuera del radical:

3 4 3 6

4

5

6 44

) 81

98)

16

) 144

d a b c

xe

y

f a

Suma (Resta) de radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es

decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando:

5 4

4 5

3

3 4 6 7

a) 864

b)

c)

a b

x y

z

a b c



Multiplicación de radicales.

Para poder multiplicar radicales han de tener el mismo radical. Una vez tengan el mismo

radical, se multiplican los radicandos:

Ej. 17 Calcula y simplifica el resultado:

3

4

4 32 2

) 32 2 18 98 50

5 5)

25

)

c

d

e x x

34 6

3 4

) 150 54 24

3 · 6)

3

) 2

f

g

h

Racionalizar

En una fracción nunca podemos dejar un radical en el denominador. La explicación es que

una fracción representa un valor (numerador) repartido en varias partes iguales (el

denominador). Si el denominador es un numero irracional, no podemos hacer partes exactas

iguales, por tanto hay que obtener una expresión equivalente que no contenga raíces en el

denominador.

Nos podemos encontrar dos casos:

1. Encontramos una raíz en el denominador:

Pasos Ejemplo 1 Ejemplo 2

1.- Multiplicamos en el numerador y en el

denominador por la raíz complementaria

que anule el denominador.

2.- Operamos y simplificamos

2. Encontramos una suma o resta con raíces en el denominador:

Pasos Ejemplo

1.- Multiplicamos en el numerador y en el

denominador por el complementario del

denominador:

2.- Operamos y simplificamos

3

a) 27 3 192 2 12

9 3b)

27



Ej. 17 Racionaliza:

8 3

3)

3 2

2 11)

2 11

d

e

4

4)

2

2)

2

2 3)

3 2

f

g

h

ACTIVIDADES DE REFUERZO DE LA UNIDAD

Ej. 18 Representa en la recta:

Ej. 19 Escribe en forma de intervalo y representa:

Escribe en forma de desigualdad y representa:

] -2 , 5] ] – , 3]

Ej. 20 Opera:

Ej. 21 Calcula:

Ej 22. Racionalizar:

Ej. 23 Opera y simplifica:

3 2.

3 2

.2 48 3 75 5 27 2 12

5 3.

5 3 5 3

a

b

c

5 6 3 2 2 3. ·

63 2d

2 1.2 2

.2 8 3 18 5 50 2 32

e

f



5

1a)

5

3b)

3 2c)

3 2

2a

)I 6x x/ II) 2 5 x x



MAPA CONCEPTUAL DE LA UNIDAD Anota todos los conceptos trabajados en la unidad y trata de relacionarlos

Webs de consulta y ejercicios de ampliación. http://www.vitutor.com/di/re/b_3.html

http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp14_numeros_reales.php

http://www.vadenumeros.es/cuarto/operaciones-con-radicales.htm

http://www.vitutor.com/di/re/b_3.html

http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_reales/tp14_numeros_reales.php

http://www.vadenumeros.es/cuarto/operaciones-con-radicales.htm

el numero real

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