VALOR ABSOLUTO

El Valor absoluto de un número real x, denotado por , se define así:

Ejemplo:

ALGUNAS DE LAS PROPIEDADES1. x = 02. 3. 4. 5. 6. 7.

SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

• Para la resolución de ecuaciones con Valor Absoluto, nos apoyamos en los siguientes teoremas:i. Si: x = y x = - y ii. Si: y ≥ 0 ( x = y x = -y )

• Para la resolución de inecuaciones con valor absoluto, nos apoyamos en los siguientes Teoremas:iii.

iv.

v.

vi.

VALOR ABSOLUTO1. Demostrar que si : solución• Sabemos que: ;

• De la condición: , aplicamos la propiedad y obtenemos:•

• Sumamos : – 4………… - 6 < x - 4 < - 2 , extremos de igual signo invertimos

• Obtenemos: ; sumamos 1

• Obtenemos:

Entonces:

SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Ejemplos:1.Resolver: Aplicamos el teorema: ( x = y x = - y )

x – 2 = 3x – 9 3x – 9 ≥ 0 ( x – 2 = 3x – 9 x – 2 = - ( 3x - 9 ))

x ≥ 3 ( -2x = -7 4x = 11 )

x ≥ 3

2 11/4 3 7/2

SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Ejemplos:2.Resolver: Aplicamos el teorema: ( x = y x = - y )

VALOR ABSOLUTO

3. Resolver : Solución Sabemos que: , entonces se cumple: 1 - = 2 1 - = - 2 1 – 2 = 1 + 2 = - 1 = 3 = b = - 1 x = - 3 x = 3

solución : { - 3 , 3 }

CS = { - 3 , 3 }

VALOR ABSOLUTO

4. Resolver : Solución Propiedad:

x = - 2 x = 1 x = 2 x = -1

- 2 - 1 0 1 2

CS. { 1, 2 }

VALOR ABSOLUTO

5. Resolver: Solución

raíces imaginarias raíces imaginarias no reales no reales CS :

VALOR ABSOLUTO6. Resolver: Solucion Como se cumple:

CS: [ - 5/2 , - 1/2 ]

VALOR ABSOLUTO

7. Resolver : Solución: Si: ( - 2x + 3 ≤ x + 5 ) ( x + 5 ≤ 2x – 3 ) ( - 2 ≤ 3x ) ( 8 ≤ x ) ( - 2/3 ≤ x ) ( 8 ≤ x )

- 2/3 3/2 8 CS : [ 8 , >

VALOR ABSOLUTO 8. Resolver: Solución: Sabemos que:

( ) ( ) ( ) [ 0 ( x + 2 ) ( x – 1 ) 0 ( x - 2 ) ( x + 1 ) ] PC : {-2 , 1, 2, -1 }

-2 -1 1 2 CS: < - , - 2 ] [ 2, >

VALOR ABSOLUTO9. Resolver: Solución

PC. { -2 , - 2/3, 1/2 }

-2 - 2/3 ½ CS. < - , - 2 ] [ ½ , ]

VALOR ABSOLUTO

10. Hallar el conjunto solución de: Solución Factorizando: ( ) (

) ( ) R ( )

( ) R ( ) R x< - 3 x > 9

- 3 9 CS: < - , - 3 > < 9 , >

+ +

VALOR ABSOLUTO11. Resolver: |x + 5/ x|≤ 6 Solución - 6 ≤ x + 5/x ≤ 6 Esto es equivalente a escribir como sigue: - 6 ≤ x + 5/x ^ x + 5/x ≤ 6 0 ≤ ( x² + 6x +5)/x ^ (x² - 6x +5)/x ≤ 0 0 ≤ ( x + 5)(x +1)/x ^ (x - 5)(x -1)/x ≤ 0 PC x=-5 , x=-1 x = 1 , x = 5 + - + - -5 -1 1 5

+ +

VALOR ABSOLUTO12. Resolver : Solución ^

0 < + 4 ^ - 4 < 0 ^

-6 -1 - 2/7 CS: < - ∞, -6 > U < - 2/7 , ∞>

+ +

++

SISTEMA DE ECUACIONESUn sistema lineal de es un conjunto de ecuaciones lineales, con dos o mas

variables o incógnitas, que se verifican en forma simultanea solo para un determinado conjunto de valores que toman dichas variables , denominadas conjunto solución ( C.S.)

Por el numero de soluciones el sistema de ecuaciones puede ser:a) Sistema compatible determinado: el sistema tiene solución única.b) Sistema compatible indeterminado: el sistema tiene infinitas soluciones.c) Sistema incompatible o inconsistente: el sistema no admite solucion.Métodos de Solución : a) Método de igualación. b) Método de sustitución . c) Método de reducción.

SISTEMA DE ECUACIONES

1. Resolver el sistema: 4x + 5y = 1 ……………………( 1 ) 3x - 2y = 18…………………..( 2 ) Solución Por el método de la sustitución: De ( 1 ) : 4x = 1 – 5y De ( 2 ): 3x = 18 + 2y x = x =

3 – 15y = 72 + 8y y = - 3 …………………….( 3) Reemplazando Ec. ( 3 ) en Ec. ( 2 ) x = 4 CS. { ( 4, -3 )

SISTEMA DE ECUACIONES2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 7 x + 5y = 9 …………………( 1 ) - 2 x + 11 y = - 15 …………….( 2 ) Solución Por el método de sustitución: De ( 1 ) .. ……………..( 3 )

Sustituimos ( 3 ) en ( 1 ): - 2 x + 11 ( ) = - 15

- 10 x + 99 – 77x = - 75 174 = 87 x x = 2…………………( 4) Reemplazando Ec.( 4 ) en Ec. ( 3 ) y = - 1 CS. { ( 2, -1) }

SISTEMA DE ECUACIONES3. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2 x + 3 y = 10………………………( 1 ) 8 x + 11y = 38………………………( 2) Solución Por el reducción: 2 x + 3 y = 10 ...x ( - 4 ) 8 x + 11y = 38

- 8 x - 12 y = - 40 8 x + 11 y = 38 - y = - 2 y = 2 …………….( 3 ) Reemplazando Ec.( 3 ) en Ec. ( 1 ): x = 2 CS . { ( 2 , 2 ) }

SISTEMA DE ECUACIONES

EJERCICIOS Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 1. 4 x + 3 y = 26 3 x + 4 y = 23

2. 2 x y + 2 y = 1 x y - y = 1

3.

4. 2 x + 3 y + 5 z = 41 3 x + 4 y + 6 z = 52 5 x - 5 y + 3 z = 5