guía 1 - ecuaciones con valor absoluto g.pdf

7/23/2019 Guía 1 - Ecuaciones con Valor Absoluto G.pdf

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ValorAbsoluto

Se

ll

ama

v

alor absoluto

de

un

ro real x y se denota por 1x i al

ero real no negativo que currple:

l

x l = { x; x:2: 0

-x; x < O

{

X; X>

Ü

lx l= O;x

= O

-X X <

Ü

131=3;pues3>0

1¡( + l I = :¡( + l; pLC

sx2

+ 1

>

Ü

l-51

=

-(-5)

=

5; pucs -5 < O

1

/3

-

. 7

1

=

-(

./3

-

.fi>

=

/7

-

./3,

pues ,. 3

-

,,¡ /

<

e

101 = o

La distancia de un número real al

se

denomina valor absolutoy se 1

entre barras.

:

Id 1 GI

ti G ••

-6

o

6

o de -6 es 6, ya q ue la

de

-6

al O es

6y

se representa

l-6 I =

6.

También l61 = 6.

En general:

1-x l lx l

• • t

-<I

-X

o

X

2.

Propiedades

Para todo x E

R;

se cumple:

l. l x l :?:O

2. 1-x l= lx l

3.

l xy l = l x l · IYI

4.

P lx l

'%.

5.

lx

l

6. ffl 71

7.

lx2

l = l x l

2

= x

2

3.

Ecuaciones

con

'º

--?

Valor

Absoluto

Son

aq

uellas

do

nde :a incógnita

viene afectada

po

r el q:¡erador 1 1.

Ejemplo :

l 3x 1 + 5 =

8

es una e::uación

con

valo r absol uto .

3x + l5I = 8NO es una ecuación con

v< lu r ulu.

Resolud 6n:

Para resolver una ecuación con valor

absoluto se debe tener en cuenta la

s

ig

uiente relación:

Si

1

x

1

= a /\ a

;=:: O

se cumple qu

ex = a V

x

=-a

Ejemplo2:

Si 1x + 3 I = 5, encuentra x.

Resolud6n:

X + 3

=

5 V X + 3

=

5

x =2 x = -8

*

También se cumpl

e:

l lx l =

IY

9 x -

Y

V x - -y j

Consecuencia:

llx l =

IYI

9 x+y) x - y) = Ol

Ejemplo3:

Re

suelve l

3x

+ 5 1 = lx +

11

I

Resolud6n:

x

+ 5 =X + 11 V

x

+ 5=- x +11)

2x = 6 4x = -16

x=

3 x

=-4

(

.Eijerci:dos

Resuettos )

l.

Resuelve la ecuación: 1x -3 I = -2x

Resolud6n:

lx- 31 = -2x

9

-2x ? O y [x - 3 = -2x o x - 3

= -(-2x)]

9 x 5: 0 y [3x = 3 o x = -3]

Q

X

:5:

Ü

y (x

=

O X =

-3)



~

E

<-oo,0)

=U

y

X

{1;-3}

Así,

vemCG que esta ecuación tiene

una sola solución:

X=

-3

Resuelve l2x +

71

= x - 1

Resolución

l2x + 71 =X -1

~ { -1 ;?:0 y

[2x + 7 = x - 1 ó 2x + 7

=- x-1))

;?: 1 y x = -8 Ó

X

= -2

Así, C.S. = [

1,

oo>

n {

-2; -8} =

no e{isten rol uciones)

Resuelve lx

2

-12x

+

31

I

= 4

Resolución

.;, - 12x + 31 = 4

V

x2

-

l

2x

+

31 =

-4

i -12x + 27 =

O

x -

3

x -9

=

O

V

x2 - 12x + 35 = 0

x

-

7

x

-

5

=

O

c.s.

=

{3; 5; 7; 9}

Si l2x +

31

= lóx

- 51,

calcula la

suma de sus soluciones.

Resolución

2x +

3=

6x-5 v 2x +

3=

5-6x

8 = 4x 8x = 2

X= 2 X= 1/4

Luego, la suma de las soluciones

será:

2 + 1/4 = 9/4

~ Ejercicios de A p l i E a ~

í 1

Nhiel J

• Resuelve 1x - 71 = O

a) 1

d 4

b)2

e)

7

c) 3

Resuelve 1x

-4

I = 5 y señala el

producto de sus raíces.

a) 25

d 9

b)7

e)

-25

c) -1

• Resuelve 1x-51 = 5 y señala el

~ p r o d

u c t o

de sus raíces.

o

o

G

a) 25

d 15

b O

e)

-25

c) 4

Resuelve 1x + 5

I

=

6

y señala

la suma de sus raíces.

a -ó

b) 7

c)

d

-15 e) 6

Resuelve

l 2x + 81 = X - 1

y seña la la diferencia de sus

raíces.

a 2 b)9

c) ± 10/3

d

11

e) -7/3

Resuelve l2x - 3I

=X

1 e

indica una raíz.

a

2/3

b) -4

c) 10/3

d

11/3 e) 14/3

Resuelve l 2x + 2 I =

6x -

18 e

indica una solución.

a) 5

d 3

b)

1 c) 2

e) Hay dos correctas

Resuelve l 5x - 1I =

4x

+ 2

señala el cociente de sus raíces.

a)

-1/9

d 9

b 3

e)

1/3

c) -27

Resuelve l 3x - 2

I

= x + 1

halla el número

de

soluciones.

a) 1

d

4

b)2

e)

5

c) 3

Resuelve 1x - 2 I = l

3x -

4 I y

señala 1 suma de los valores de

•

•

•

n

X .

a) 1

d 5/2

b)3/2

e) 5/3

c) 3

Resuelve l 2x + 1

I

= 1x -3

I

señala una

raíz.

a

-4

b) 2/3

c)

0

d

-2/3

e) a yb

y

Resuelve

l3x- 21

= lx + 2 I y

halla el producto de ro luciones.

a O

b) 1 c) 2

d

3 e) 4

Resuelve Ix + 1I = x - 3 e

indica el número de roluciones.

a 0 b) 2 c) 1

d

4 e) R

Resuelve 1x + 4 I = x + 8 e

indica el número de roluciones.

a)

6

d 4

b)2

e) -4

c) -ó



Resuelve l 2x + 2 I =

6x:

- 18 e

indica el nCunero de roluciones.

a) 0

d

3

hiel

b 1

e) R

c) 2

Luego

de

resol ver,

señala

la

mayor solución.

lx

2

+ x: -261 = -5

a) 7

d -4

b 4 c) 2

e) No

existe

rolución

Resuelve 1

2

- x 1 =

-3

a) x

E

R

d)

X

±3

b

X E

e) N.A

c) X = ±,,/ J

Resuelve

: I=

4 e indica el

producto de raíces.

a) 42/5

d

10/3

b

28/3

e)

1

c) 14/5

Resuelve 1 : 1 = 3 e indica

la swna

de raíces.

a)

-17fal-

b -7/4 c) -5/2

d -3

e) 5/2

Resuelve

1: : 1

2

a)

-17fal-

b -7/8 c) -5/3

d

-8 e)

5

Halla

la

suma de los valores

que

satisface

la

ecuación:

lx

2

5x l=6

a) 10

d

3

b 1

e) -6

c) 2

Halla el nCunero de soluciones

en

11 xi -

1

= x

a)

1

d 4

b)2

e) O

c)

3

@ Halla el nCunero de soluciones

de 1

x2

- 4 I = -2x

+

4.

a) 1

d 4

b)2

e)

5

c) 3

Halla el nCunero de soluciones

de 1x2 -

91

= -2x +

6.

a) 1

d 4

b)2

e) 6

c) 3

Resuelvelx-31

=3-xyseñala

el mayor valor de x .

a)

-3

d 2

b -2

e) 3

c oo

1J I

Resuelve l3x: + 2 I = lx-21 yhal la

' el producto de las soluciones.

a)

O

d 3

b 1

e)

4

c) 2

Resuelve I x

2

-4 I = x- 2 e indica

el nCunero de soluciones.

a) 1

d 4

b)2

e)

5

c)

º-? >

ti

Resuelve

lx

2

-9I

=

x-3eindica

el nCunero de soluciones.

a) 1

d 4

Resuelve

b)2

e)

5

c) 3

lx

2

-x+21 = lx2-2x-41 eindica

la swna

de sus soluciones.

a) -1

d -9/2

b

5/2

e) -5/2

c) 312

e Resuelve

lx

2

-x-81

= lx2-x-16I

a)

4 /\ -3 b 2 /\

-2

c -3 /\ -2

d) -4 /\ -3 e) N.A.

hiel

Resuelve 11 x - 5 - 5 = O

indica

la

mayor solución.

a) 10

d 2

b)20

e)

1

c)

31

Halla el

menor

valor

de

x

que

verifique l l

2x

- 1 I -

1x11

= O

a) 1

b

1/3 c) 2/3

d) 2 e) O

e Hallalaswnadevaloresdexque

satisfacen la ecuación:

lx2 -8x + 181 = c../r-4--i/3---3-+-1)

2

a) 10

d 8

b 4

e) 15

c) 6

• Resuelve

1

x-31 +71=l12.x-ll +7lyhalla

la

suma de todos

los

elementos

del conjunto solución

a)

4/3

d -8/3

b

-2

e) -4/3

c)

-2/3

@ Resuelve

lx2-4x+

ll =

lx2-3x:+21

e

indica el nCunero de roluciones.

a) O b) 1 c) 2

d 3 e)

N.A



Resuelve

l i l -4x+ ll = l

i t 4x

21e

indica el número de ro lucio nes.

a)

O

d) 3

Resuelve

b 1

e)

-3

c) 2

ll

+x-

21 = l

i t

+ 2x+41 eindica

la

suma de sus soluciones.

a)

-9

d)

-9/ 2

Resuelve

b) 15/l c) 7 l

e) -15/l

lx-3l

z-3

lx-3 l - 18 = O

a)

9 \

-3

b) -9/\

3 c) -

9/\

-3

d

9 /\ 3

e)

N.A.

Resuelve

l2x+ 11

2

+ 2 l 2x + l l = lJ

e indica la menor solución.

a)

-2

d

3

b)

1

e)

5

c)

1

Ha lla la s

uma

de

todos los

valores

de

x

que

satisfacen

3

l - 2

lz

-6ll

x 3

l -21

8 = 0

a)

9

d)

-15

Resuelve

b ) -7

e) -9

c)

15

x

lx-31 = l

x 2

1 eindica

la suma

de

sus so

lu

ciones.

a)

1

d) 4

b)2

e)

5

c)

3

Resuelve

¡

- 4 lx l + 4 = O e

indica el número de rolucio nes.

a)

1

d) 4

b ) 2

e)

5

c)

3

Resuelve 1x- 1I = xz

-x

-1

a)

{{2, 2}

b) {-

. / l

,

2}

c) {

-2 2}

d) { ¡¡ ,

./2}

e) {

./2, -./2}

Ha

ll

a la suma de los valores

que

sa

tisface la ecuación:

a)

-10

d)

-2

+ 5x l = 2

b) 10

e) -3

c)

1

Ha lla la suma de los valores

que

sa

tisface la ecuación:

1 3 ~ 5xl

=

2

a) -10/3 b) 10/3 c) 1/3

-2

/3

e)

-3

El C .S. de la ecuación

1X - 3 z - 11 1X - 3 + 28 = 0

es {a, b, c, d } si a < b < c < d.

Calcula b + d

a)

1

d) 3

a c

b ) O

e) 4

Luego de resolver

c) 2

·.:-

11

x - 3

I -

4 1 =

2, indica

el

product

o

de

las raiCes .

a)

O

d -135

b)15

e) -720

Luego de resolver

c)

-120

1x + 2I + l

3x

+ 4 I = 6, indica

la suma de sus soluciones.

a)

-3

d) 4

b) 3

e)

6

c)

O

Indica la suma

de las

soluciones

de: 3lx + l l + lx - 8 1 = 19

a)

17/ 2 b ) 9/4

c)

5 1

d) -17/ l e) 1

/2

Bhaskara (1 11 4 <. 1160) ,

uno de

los matemáticos indios

más notables. Fue

un

destacado

re

pr

e

sentante

de la escuela

Ujjain, uno de

los centros del

renacimiento de las matemáticas

indias durante laEdadMedia.

Su

s

principales obras fueron Li avoo,

Bijt:€anita

y i ciizmta

siromani.

La primera de ellas,

que

se cree

que

la escribió para distra

er

a

su

hija

qu

e terúa el mismo no

mb

re,

cubre aspectos de geomet ría ,

ati trnética yálgebra.Fi.e traducida

al persa dura nte la ép oca de l

emperador mongo l Akba r, en el

siglo XVI y se hizo sumamente

popular,

s ie

nd

o ob

jet

o

de

numerosos comenta

ri

os escrito

s.

Bijaganita

an a

liza

ex

pres

io

nes

algebraicas e investiga roluciones

a

las ecuaciones cuadráticas

.

Es decir, sin errbargo, i

dhltnta

~

r o m a i

su

obra más ill1'ortante,

en

la que

trata

cuestiones de

aritmética, álgebra, trigonometría

y astronomfa. Resume y sebasa

en

el trabajo de ant iguos matemáticos

indios co

mo

Brahmagupta

y

P admanabha. En esta o

bra

se

encu entran tablas de senos y

otras relaciones trigonométri cas,

e incluso i

nd

ici os de i

dea

s

subyace

n te s so

bre

e l

cá

lc ulo

que no se ib a n a desa rro lla r

explíc it

am

e

nt

e h

as

ta var ios

siglos más tarde. No se le debe

confundir con o t

ro

ma temático

indio del mismo nombre anterior

a él: Bha

sk:a

ra c. 600) .

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