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Desigualdades

3A Desigualdades simples 3-1 Cómo representar y escribir

desigualdades

3-2 Cómo resolver desigualdades mediante la suma o la resta

3-3 Cómo resolver desigualdades mediante la multiplicación o la división

3B Desigualdades de varios pasos y compuestas

3-4 Cómo resolver desigualdades de dos pasos y de varios pasos

3-5 Cómo resolver desigualdades con variables a ambos lados

Laboratorio Tablas de verdad y enunciados compuestos

3-6 Cómo resolver desigualdades compuestas

Extensión Cómo resolver desigualdades de valor absoluto

Por una Buena CausaPuedes usar los conceptos de este capítulo para organizar un evento para recaudar fondos. Las desigualdades te ayudan a determinar la manera de alcanzar tu objetivo.

CLAVE: MA7 ChProj

164 Capítulo 3

VocabularioElige el término de la izquierda que corresponde a cada definición de la derecha.

1. ecuación

2. evaluar

3. operaciones inversas

4. términos semejantes

5. solución de una ecuación

A. expresión matemática que contiene operaciones, números y/o variables

B. enunciado matemático que establece que dos expresiones son equivalentes

C. valor de una variable que hace que un enunciado sea verdadero

D. términos que contienen la misma variable elevada a la misma potencia

E. hallar el valor de una expresión

F. operaciones que se cancelan entre sí

Evaluar expresionesEvalúa cada expresión para a = 2 y b = 6.

6. b - a 7. ab 8. b ÷ a 9. a + b

Comparar y ordenar números realesCompara. Escribe <,> ó =.

10. 10 21 11. 5.27 5.23 12. 20% 0.2 13. 1_3

2_5

Combinar términos semejantesSimplifica cada expresión combinando los términos semejantes.

14. 6x + x 15. -8a + 3a

16. 9x2 - 15x2 17. 2.1x + 4.3x

Propiedad distributivaSimplifica cada expresión.

18. 2 (x + 3) 19. (3 - d)5

20. 4 (r - 1) 21. 3 (4 + m)

Resolver ecuaciones de un pasoResuelve.

22. s - 3 = 8 23. -7x = 21 24. y + 11 = 2 25. h_2

= 6

26. t + 2 = -2 27. 6x = 42 28. r - 8 = -13 29. y_3

= -12

Desigualdades 165

166 Capítulo 3

Antes, • aprendiste las propiedades de

la igualdad.

• resolviste ecuaciones usando operaciones inversas.

• resolviste ecuaciones con variables a ambos lados.

Puedes usar las destrezas aprendidas en este capítulo • en todas las clases de

matemáticas que tengas en el futuro, incluso las de geometría.

• en otras clases, como salud, química, física y economía.

• en el mundo real, para planear un presupuesto, buscar servicios económicos y establecer objetivos financieros.

Vocabulario/Key Vocabulary

desigualdad inequality

desigualdad compuesta compound inequality

intersección intersection

solución de una desigualdad

solution of an inequality

unión union

Conexiones de vocabulario

Considera lo siguiente para familiarizarte con algunos de los términos de vocabulario del capítulo. Puedes consultar el capítulo, el glosario o un diccionario si lo deseas.

1. El prefijo des- significa “no”. Una igualdadestablece que dos cosas son iguales. Usa estos significados para escribir tu propia definición de desigualdad.

2. La palabra compuesta significa “que tiene dos o más partes”. ¿Qué crees que es una desigualdad compuesta?

3. La intersección de dos carreteras es el lugar en el que se superponen. ¿Qué crees que es la intersección de dos gráficas?

4. La palabra unión comienza con la raíz uni-. Haz una lista de otras palabras que comienzan con uni-. ¿Qué tienen en común todas estas palabras?

Estudiarás • las propiedades de la

desigualdad.

• cómo resolver desigualdades usando operaciones inversas.

• cómo resolver desigualdades con variables a ambos lados.

• cómo resolver desigualdades compuestas.

Estrategia de estudio: Usa tus notas con eficacia Tomar notas te ayuda a ordenar, organizar y procesar la información de tu libro de texto y de las clases. Además de tomar notas, debes usarlas con eficacia antes y después de las clases.

Inténtalo

1. Observa la próxima lección en tu libro de texto. Escribe preguntas que tengas sobre el material de la lección. Deja espacio entre las preguntas para que puedas contestarlas durante la próxima clase.

2. Observa las notas que tomaste durante la clase anterior. Anota tres maneras de mejorar tus destrezas para tomar notas.

10/05 Lección 2-7 Aplicaciones de las proporciones

¿Cómo sé si las figuras son semejantes?

Figuras semejantes: tienen la misma forma, pero

quizás no tienen el mismo tamaño

Lados y ángulos correspondientes: tienen la misma

posición relativa.

Figuras semejantes: si los lados corresp. son

proporcionales y los ángulos corresp. son iguales.

Usar el símbolo ∼ para mostrar que las figuras

son semej..

�ABC ∼ �DEF

Paso 3: Después de la clase• Completa los espacios

en blanco que dejaste durante la clase.

• Resalta o encierra en círculos las ideas más importantes, como el vocabulario, las fórmulas o los procedimientos.

• Usa tus notas para ponerte a prueba.

AB_DE

= BC_EF

= AC_DF

m∠A � m∠Dm∠B � m∠Em∠C � m∠F

B

A C

E

FD

Paso 2: Durante la clase• Escribe las ideas

principales.

• Si te pierdes de algo, deja un espacio en blanco y continúa tomando notas. Completa los espacios vacíos después.

• Usa diagramas y abreviaturas. Asegúrate de que vas a comprender las abreviaturas cuando leas las notas.

Paso 1: Antes de la clase• Repasa tus notas de la

última clase.

• Luego echa un vistazo a la próxima lección y escribe todas las preguntas que tengas.

Desigualdades 167

168 Capítulo 3 Desigualdades

3-1 Cómo representar y escribir desigualdades

Objetivos

Identificar soluciones de desigualdades en con una variable

Escribir y representar gráficamente desigualdades en una variable

Vocabulariodesigualdadsolución de una desigualdad

Las soluciones de la desigualdad del Ejemplo 1 se pueden escribir en la notaciónpor comprensión,como {x | x < 6},que se lee como “el conjunto de todos los números reales xtales que x es menor que 6”.

Los atletas de un equipo de canotaje de la categoría peso liviano deben pesar 165 libras o menos. Los pesos aceptables de estos atletas se pueden describir mediante una desigualdad.

Una desigualdad es un enunciado que establece que dos cantidades no son iguales. Las cantidades se comparan mediante uno de los siguientes signos:

A B A ≤ B A ≥ B A ≠ B

A es menor que B.

A es mayor que B.

A es menor que o

igual a B.

A es mayor que o

igual a B.

A no es igual a B.

La solución de una desigualdad es cualquier valor que hace que la desigualdad sea verdadera.

1E J E M P L O Identificar soluciones de desigualdades

Describe las soluciones de 3 + x < 9 con palabras.

Pon a prueba los valores de x que son positivos, negativos y 0.

x -2.75 0 5.99 6 6.01 6.1

3 + x 0.25 3 8.99 9 9.01 9.1

3 + x � 9 0.25 � 9 3 � 9 8.99 � 9 9 � 9 9.01 � 9 9.1 � 9

¿Es solución? Sí Sí Sí No No No

Cuando el valor de x es un número menor que 6, el valor de 3 + x es menor que 9.

Cuando el valor de x es 6, el valor de 3 + x es igual a 9.

Cuando el valor de x es un número mayor que 6, el valor de 3 + x es mayor que 9.

Las soluciones de 3 + x < 9 son números menores que 6.

1. Describe las soluciones de 2p > 8 con palabras.

¿Quién lo usa?Los miembros de un equipo de canotaje pueden usar desigualdades para asegurarse de que entran dentro de un rango de pesos. (Ver Ejemplo 4)

Una desigualdad como 3 + x < 9 tienedemasiadas soluciones como para hacer una lista. Puedes usar una gráfica en una recta numérica para mostrar todas las soluciones.

Las soluciones están sombreadas y la flecha indica que las soluciones continúan más allá de las que se muestran en la gráfica. Para mostrar que un extremo es una solución, dibuja un círculo lleno en el número. Para mostrar que un extremo no es una solución, dibuja un círculo vacío.

CON PALABRAS EN ÁLGEBRA CON GRÁFICAS

Todos los números reales menores que 5

x < 5

Todos los números reales mayores que -1

x > -1

Todos los números reales menores que o iguales a 1__

2

x ≤ 1_2

Todos los números reales mayores que o iguales a 0

x ≥ 0

Representar desigualdades

2E J E M P L O Representar gráficamente desigualdades

Representa gráficamente cada desigualdad.

A b <-1.5Dibuja un círculo vacío en -1.5.

Sombrea todos los números menores que -1.5 y dibuja una flecha hacia la izquierda.

B r ≥ 2 Dibuja un círculo lleno en 2.

Sombrea todos los números mayores que 2 y dibuja una flecha hacia la derecha.


2a. c > 2.5 2b. 2 2 - 4 ≥ w 2c. m ≤ -3

3-1 Cómo representar y escribir desigualdades 169

Para saber en qué dirección tengo que sombrear una gráfica, escribo las desigualdades con la variable a la izquierda del símbolo de desigualdad. Sé que el símbolo tiene que apuntar al mismo número después de que vuelvo a escribir la desigualdad.

Por ejemplo, escribo 4 < y como y > 4.

Ahora el símbolo de desigualdadapunta hacia la dirección en la que debo dibujar la flecha sombreada en mi gráfica.

Victor SolomosEscuela Superior Palmer

Representar gráficamente desigualdades

3E J E M P L O Escribir una desigualdad a partir de una gráfica

Escribe la desigualdad que se muestra en cada gráfica.

A

Usa cualquier variable. La flecha apunta hacia la derecha, por lo tanto, usa > ó ≥.

El círculo vacío en 4.5 significa que 4.5 no es una solución. Por lo tanto, usa >.

h > 4.5

B

Usa cualquier variable. La flecha apunta hacia la izquierda, por lo tanto, usa < ó ≤.

El círculo lleno en -3 significa que -3 es una solución. Por lo tanto, usa ≤.

m ≤ -3

3. Escribe la desigualdad que se muestra en la gráfica.

4E J E M P L O Aplicación a los deportes

Los miembros de un equipo de canotaje de la categoría peso liviano no pueden pesar más de 165 libras cada uno. Define una variable y escribe una desigualdad para los pesos aceptables de los miembros del equipo. Representa gráficamente las soluciones.

Sea p los pesos permitidos.

Los atletas pueden pesar no más de 165 libras.

p ≤ 165

p ≤ 165

Termina la gráfica en 0, porque el peso de una persona debe ser un número positivo.

4. Los empleados de una tienda ganan al menos $8.25 por hora. Define una variable y escribe una desigualdad para la cantidad que los empleados pueden ganar por hora. Representa gráficamente las soluciones.

RAZONAR Y COMENTAR 1. Compara las soluciones de x > 2 y x ≥ 2.

2. ORGANÍZATE Copia y

0 1-1-2-3-4-5

Desigualdad Gráfica

x > 1completa el organizador gráfico. Dibuja una gráfica en la primera fila y escribe la desigualdad correcta en la segunda.

“No más de” significa “menor que o igual a”.

“Al menos” significa “mayor que o igual a”.

EjerciciosEjercicios


PRÁCTICA GUIADA 1. Vocabulario ¿En qué se parece la solución de una desigualdad a la solución de

una ecuación?

VER E JEMPLO 1pág. 168

Describe las soluciones de cada desigualdad con palabras.

2. g - 5 ≥ 6 3. -2 < h + 1 4. 20 > 5t 5. 5 - x ≤ 2



6. x < -5 7. c ≥ 3 1_2

8. (4 - 2) 3 > m 9. p ≥ √ �� 17 + 8

VER E JEMPLO 3 pág. 170


10. 11.

12. 13.

14. 15.


Define una variable y escribe una desigualdad para cada situación. Representa gráficamente las soluciones.

16. Debe haber al menos 20 miembros del club presentes para celebrar una reunión.

17. Un entrenador recomienda a un atleta que mantenga su ritmo cardíaco por debajo de las 140 pulsaciones por minuto.

PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Para los Ver Ejercicios Ejemplo

18–21 1 22–25 2 26–31 3 32–33 4

Práctica independiente Describe las soluciones de cada desigualdad con palabras.

18. -2t > -8 19. 0 > w - 2 20. 3k > 9 21. 1_2

b ≤ 6


22. 7 < x 23. t ≤ - 1_2

24. d > 4 (5 - 8) 25. t ≤ 3 2 - 2 2


26. 27.

28. 29.

30. 31.


32. La velocidad máxima permitida en la calle Main es 25 millas por hora.

33. No se tomará en cuenta a los postulantes con menos de 5 años de experiencia.

3-1CLAVE: MA7 3-1

CLAVE: MA7 Parent

*(Disponible sólo en inglés)

Práctica de destrezas, pág. S8Práctica de aplicación, pág. S30

Práctica adicional

Mar Mediterráneo

Al Aziziyah

EgiptoArgelia

Europa

Libia


Escribe cada desigualdad con palabras.

34. x > 7 35. h < -5 36. d ≤ 23 37. r ≥ -2

Escribe cada desigualdad con la variable a la izquierda. Representa gráficamente las soluciones.

38. 19 < g 39. 17 ≥ p 40. 10 < e 41. 0 < f


42. La temperatura más alta registrada en la Tierra fue 135.9° Fen Al Aziziyah, Libia, el 13 de septiembre de 1922.

43. Se cerrarán las empresas con ganancias menores que $10,000 por año.

44. Debes medir al menos 46 pulgadas para subir al juego La aventura de Indiana Jones del Parque de Aventuras de Disney, en California.

45. Debido a una enfermedad, un caminante sólo puede caminar en áreas con una altitud de no más de 5000 pies sobre el nivel del mar.

Escribe una situación del mundo real que se pueda describir con cada desigualdad.

46. x ≥ 0 47. x < 10 48. x ≤ 12 49. x > 8.5

Relaciona cada desigualdad con su gráfica.

50. x ≥ 5 A.

51. x < 5 B.

52. x > 5 C.

53. x ≤ 5 D.

54. /////ANÁLISIS DE ERRORES///// Dos estudiantes representaron gráficamente la desigualdad 4 > b. ¿Qué gráfica es incorrecta? Explica el error.

55. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para el examen de la página 186.

a. Mirna ganó $125 como niñera durante las vacaciones de primavera. Necesita ahorrar $90 para el viaje del club de alemán. Quiere hacer compras con el resto del dinero. Escribe una desigualdad para mostrar cuánto puede gastar.

b. Representa gráficamente la desigualdad que escribiste en la parte a.

c. Mirna gasta $15 en una pulsera. Muestra cuánto dinero le queda para gastar con una desigualdad.

56. Razonamiento crítico Representa gráficamente todos los enteros positivos que sean solución de la desigualdad x < 5.

57. Escríbelo Explica cómo escribir una desigualdad que se representa con una gráfica. ¿Qué características buscas en la gráfica?

58. Escríbelo En esta lección aprendiste que la frase “no más de” significa “menor que o igual a” y que la frase “al menos” significa “mayor que o igual a”.

a. ¿Qué significa la frase “como máximo”?

b. ¿Qué significa la frase “no menos de”?

59. ¿Qué opción NO es una solución de la desigualdad 5 - 2x ≥ -3?

0 2 4 5

60. ¿Qué opción NO es una solución de la desigualdad 3 - x < 2?

1 2 3 4

61. ¿Qué gráfica representa las soluciones de -2 ≤ 1 - t?

DESAFÍO Y EXTENSIÓNHalla valores de x y de y que hagan que cada desigualdad sea verdadera.

62. x + y ≤ ⎪x + y⎥ 63. x2 < xy 64. x - y ≥ y - x

Completa cada enunciado. Escribe < ó >.

65. Si a > b, entonces b a. 66. Si x > y e y > z, entonces x z.

67. Identifica un valor de x que haga que el enunciado 0.35 < x < 1.27 sea verdadero.

68. ¿Es 5__6 una solución de x < 1? ¿Cuántas soluciones de x < 1 están entre 0 y 1?

69. Escríbelo Explica cómo representar gráficamente todas las soluciones de x ≠ 5.

REPASO EN ESPIRALSuma o resta. (Lección 1-2)

70. -7 + 5 71. 6 - (-4) 72. 8 - 13 73. 12 + (-5)

Simplifica cada expresión. (Lección 1-7)

74. x + 3x 75. x + (x + 1) + (x + 2) 76. 5 + (x + 3) + 5 + 2(x + 3)

77. En la clase de Sally hay el doble de chicas que de chicos. Escribe una regla para la cantidad de chicas que hay en la clase de Sally. Halla la cantidad de chicas si hay 8 chicos. (Lección 1-8)

78. Un videoclub cobra una cuota de socio de $12 más $2.00 por cada alquiler de video. Escribe una regla para el costo de alquilar x videos. Halla el costo de alquilar 3, 7 y 15 videos. (Lección 1-8)

Resuelve cada ecuación. Comprueba tu respuesta. (Lección 2-4)

79. 2b - 6 = b + 3 80. -3 (2 - x) = 5x + 2 81. 2 (y + 1) = 2y + 1

3-2 Cómo resolver desigualdades mediante la suma o la resta

ObjetivosResolver desigualdades de un paso mediante la suma

Resolver desigualdades de un paso mediante la resta

¿Quién lo usa?Puedes usar desigualdades para determinar cuántas fotos más puedes tomar. (Ver Ejemplo 2)

Tenea tiene un teléfono celular que también toma fotografías. Luego de tomar algunas fotos, Tenea puede usar una desigualdad de un paso para determinar cuántas más puede tomar.

Resolver desigualdades de un paso es muy parecido a resolver ecuaciones de un paso. Para resolver una desigualdad, debes despejar la variable usando las propiedades de desigualdad y las operaciones inversas.

Suma y resta

CON PALABRAS CON NÚMEROS EN ÁLGEBRA

Suma

Puedes sumar el mismo número a ambos lados de la desigualdad y el enunciado seguirá siendo verdadero.

3 < 8

3 + 2 < 8 + 2

5 < 10

a < b

a + c < b + c

Resta

Puedes restar el mismo número de ambos lados de la desigualdad y el enunciado seguirá siendo verdadero.

9 < 12

9 - 5 < 12 - 5

4 < 7

a , ≥ y ≤.

Propiedades de la desigualdad

1E J E M P L O Usar la suma y la resta para resolver desigualdades

Resuelve cada desigualdad y representa gráficamente las soluciones.

A x + 9 < 15x + 9 < 15 Como se suma 9 a x, resta 9 de ambos lados para

cancelar la suma. −−−

- 9 −−−

- 9x + 0 < 6 x < 6

B d - 3 > -6d - 3 > -6 Como se resta 3 de d, suma 3 a ambos lados para

cancelar la resta. −−−

−−−+ 3

−−− + 3

d + 0 > -3 d > -3

Usa una operación inversa para “cancelar” la operación en una desigualdad. Si la desigualdad contiene una suma, usa la resta para cancelarla.

3- 2 Cómo resolver desigualdades mediante la suma o la resta 175


C 0.7 ≥ n - 0.4 0.7 ≥ n - 0.4 Como se resta 0.4 de n, suma 0.4 a ambos lados para

cancelar la resta.−−−−

+ 0.4 −−−−−

+ 0.4 1.1 ≥ n - 0

n ≤ 1.1


1a. s + 1 ≤ 10 1b. 2 1_2

> -3 + t 1c. q - 3.5 < 7.5

Como puede haber una cantidad infinita de soluciones de una desigualdad, no es posible comprobar todas las soluciones. Puedes comprobar el extremo y la dirección del símbolo de desigualdad. Las soluciones de x + 9 < 15 están dadas por x < 6.

Paso 1 Comprueba el extremo.

Sustituye x por 6 en la ecuación relacionada, x + 9 = 15. El extremo debe ser una solución de la ecuación.

x + 9 = 15

6 + 9 15

15 15 ✓

Paso 2 Comprueba el símbolo de desigualdad.

Sustituye x por un número menor que 6 en la desigualdad original. El número que elijas debe ser una solución de la desigualdad.

x + 9 < 15

4 + 9 < 15

13 < 15 ✓

2E J E M P L O Aplicación a la resolución de problemas

RESOLUCIÓN

DE PROBLEMAS

La memoria de la cámara del teléfono celular de Tenea le permite tomar hasta 20 fotografías. Tenea ya ha tomado 16. Escribe, resuelve y representa gráficamente una desigualdad para mostrarcuántas fotografías más puede tomar.

1 Comprende el problema

La respuesta será una desigualdad y una gráfica en las que se mostrarán todas las cantidades de fotografías que Tenea puede tomar.

Haz una lista con la información importante:• Tenea puede tomar hasta, o como

máximo, 20 fotografías.• Tenea ya ha tomado 16 fotografías.

2 Haz un plan

Escribe una desigualdad.Sea f la cantidad de fotografías que Tenea todavía puede tomar.

La cantidad tomada

másla cantidad que queda

es como máximo

20fotografías.

16 + f ≤

20


3 Resuelve

16 + p ≤ 20 Como se suma 16 a p, resta 16 de ambos lados para cancelar la suma.

−−−−−− -16

−−−- 16

p ≤ 4

No sería razonable que Tenea tomara un número negativo o fraccionario de fotografías, por lo tanto, representa gráficamente los enteros no negativos menores que o iguales a 4.Tenea podría tomar 0, 1, 2, 3 ó 4 fotografías más.

4 Repasa

Comprueba Comprueba el extremo, 4. Comprueba un número menor que 4.

16 + p = 20

16 + 4 20

20 20 ✓

16 + p ≤ 20

16 + 2 ≤ 20

18 ≤ 20 ✓

Si se tomaran 0, 1, 2, 3 ó 4 fotografías más, éstas no superarían las 20.

2. La dosis diaria recomendada (DDR) de hierro para una mujer dentro del grupo de edades de Sarah (14 a 18 años) es 15 mg por día. Sarah ha consumido 11 mg de hierro en el día. Escribe y resuelve una desigualdad para mostrar cuántos miligramos más puede consumir Sarah.

3E J E M P L O Aplicación a los deportes

Josh puede levantar una pesa de 220 libras. Quiere levantar al menos 250 libras. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar cuántas libras más tiene que levantar Josh para alcanzar su meta. Comprueba tu respuesta.

Sea l la cantidad de libras adicionales que Josh debe levantar.

220 libras más las libras adicionales es al menos 250 libras.

220 + l ≥ 250

220 + l ≥ 250 Como se suma 220 a l, resta 220 de ambos lados para cancelar la suma.

−−−−−−− - 220 −−−− - 220

l ≥ 30

Comprueba Comprueba el extremo, 30. Comprueba un número mayor que 30.

220 + l = 250

220 + 30 250

250 250 ✓

220 + l ≥ 250

220 + 40 ≥ 250

260 ≥ 250 ✓

Josh debe levantar al menos 30 libras más para alcanzar su meta.

3. ¿Y si...? Josh quiere batir el récord de la escuela, que es 282 libras. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar cuántas libras más necesita levantar Josh para batir el récord de la escuela. Comprueba tu respuesta.

PRÁCTICA GUIADA VER E JEMPLO 1

pág. 174


1. 12 -11


5. Salud Para que sea segura para un adulto, la temperatura máxima del agua en un spa debe ser 104° F. La temperatura del agua en el spa de Bill es 102° F. Se aumenta la temperatura en t° F. Escribe, resuelve y representa gráficamente una desigualdad para mostrar los valores de t para los que la temperatura del agua es segura.


6. Economía para el consumidor Un restaurante local lleva la comida a domicilio si el valor de la compra es al menos $25.00. El total de una parte de tu pedido es $17.95. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar cuánto más debes gastar para que el restaurante te lleve el pedido.



7–10 1 11 2 12 3

Práctica independiente Resuelve cada desigualdad y representa gráficamente las soluciones.

7. a - 3 ≥ 2 8. 2.5 > q - 0.8 9. -45 + x < -30 10. r + 1_4

≤ 3_4

11. Ingeniería La carga máxima que soporta un elevador es 2000 libras. El peso total de los pasajeros del elevador es 1400 libras. Un repartidor que pesa 243 libras ingresa al elevador con una caja de peso p. Escribe, resuelve y representa gráficamente una desigualdad para mostrar los valores de p que no harán que se sobrepase el límite de peso del elevador.

12. Transporte El tanque de gasolina del automóvil de Mindy puede contener como máximo 15 galones de gasolina. Mindy ya ha cargado 7 galones en el tanque y cargará g galones más. Escribe y resuelve una desigualdad para mostrar todos los valores de gque Mindy puede agregarle al tanque.

Representa cada enunciado con una desigualdad. Resuélvela y representa gráficamente las soluciones.

13. Diez menos que un número x es mayor que 32.

14. 6 sumado a un número n es menor que o igual a 4.

15. 13 restado de un número r es como máximo 15.

3-2

RAZONAR Y COMENTAR1. Muestra cómo comprobar tu solución del Ejemplo 1B.

2. Explica en qué se parecen las propiedades de desigualdad de la suma y de la resta a las propiedades de igualdad de la suma y de la resta.

3. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. Propiedades de desigualdad

RestaSuma

En cada recuadro, escribe una desigualdad que requiera que uses la propiedad especificada para resolverla. Luego resuelve y representa gráficamente la desigualdad.

EjerciciosEjerciciosCLAVE: MA7 3-2

CLAVE: MA7 Parent



Práctica adicional

A veces, las lentes de contacto de efectos especiales forman parte del vestuario para una película. Todas las lentes de contacto se deben usar bajo la supervisión de un oftalmólogo.

Salud


16. x + 4 ≤ 2 17. -12 + q > 39 18. x + 3_5

< 7 19. -4.8 ≥ p + 4

20. -12 ≤ x - 12 21. 4 < 206 + c 22. y - 1_3

> 2_3

23. x + 1.4 ≥ 1.4

24. Usa la desigualdad s + 12 ≥ 20 para completar los números que faltan.

a. s ≥ b. s + ≥ 30 c. s - 8 ≥

25. Salud Ciertas lentes de contacto se pueden usar hasta 30 días seguidos. Alex ya las ha usado 21 días. Escribe, resuelve y representa gráficamente una desigualdad para mostrar cuántos días más Alex puede usar las lentes de contacto.

Resuelve cada desigualdad y relaciona la solución con la gráfica correcta.

26. 1 ≤ x - 2 A.

27. 8 > x - (-5) B.

28. x + 6 > 9 C.

29. -4 ≥ x - 7 D.

30. Estimación ¿Es x < 10 una estimación razonable para las soluciones de la desigualdad 11.879 + x < 21.709? Explica tu respuesta.

31. Deportes Cuando el equipo de béisbol Seattle Mariners juega en su estadio, hay 45,611 asientos en las cuatro áreas que se describen en la tabla. Supongamos que todos los asientos del nivel suite y del nivel club están ocupados durante un partido. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar cuántas personas p podrían ocupar los otros tipos de asientos.

32. Razonamiento crítico Recuerda que en el Capítulo 2 se usaba una balanza para hacer un modelo de la resolución de ecuaciones. Describe cómo se puede usar una balanza para hacer un modelo de la resolución de desigualdades.

33. Razonamiento crítico Explica por qué x + 4 ≥ 6 y x - 4 ≥ -2 tienen las mismas soluciones.

34. Escríbelo ¿En qué se diferencian las soluciones de x + 2 ≥ 3 y x + 2 > 3? ¿En qué se diferencian las gráficas de las soluciones?

Asientos para los partidos en el estadio de los Mariners

Tipo de asiento Cantidad de asientos

Nivel principal 24,399

Nivel superior 16,022

Nivel club 4,254

Nivel suites 936


a. Daryl calcula que la distancia entre Columbus, Ohio, y Washington, D.C es 411 millas. ¿Cuál es la distancia del viaje de ida y vuelta?

b. Daryl puede pagar un viaje de 1000 millas. Muestra con una desigualdad la cantidad de millas m que puede recorrer durante su estadía en Washington, D.C.

c. Resuelve la desigualdad y representa gráficamente las soluciones en una recta numérica. Demuestra que tu respuesta es razonable.

36. ¿Qué opción es una solución razonable de 4.7367 + p < 20.1784?

15 16 24 25

37. ¿Qué enunciado se puede representar con x + 3 ≤ 12?

Sam tiene 3 botellas de agua. Entre los dos, Sam y Dave tienen como máximo 12 botellas de agua.

Jennie vendió 3 libros de recetas. Para ganar un premio, tiene que vender al menos 12 libros de recetas.

Peter tiene 3 gorras de béisbol. Peter y sus hermanos tienen menos de 12 gorras de béisbol.

Kathy nadó 3 vueltas a la piscina esta semana. Tiene que nadar más de 12 vueltas.

38. ¿Qué gráfica representa las soluciones de p + 3 < 1?

39. ¿Qué desigualdad NO tiene las mismas soluciones que n + 12 ≤ 26?

n ≤14 n + 6 ≤ 20 10 ≥ n - 4 n - 12 ≤ 14

DESAFÍO Y EXTENSIÓNResuelve cada desigualdad y representa gráficamente las soluciones.

40. 6 9_10

≥ 4 4_5

+ x 41. r - 1 2_5

≤ 3 7_10

42. 6 2_3

+ m > 7 1_6

Determina si cada enunciado es verdadero algunas veces, siempre o nunca. Explica.

43. a + b > a - b

44. Si a > c, entonces a + b > c + b.

45. Si a > b y c > d, entonces a + c > b + d.

46. Si x + b > c y x > 0 tienen las mismas soluciones, ¿cuál es la relación entre b y c ?

REPASO EN ESPIRALResuelve cada ecuación para la variable que se indica. (Lección 2-5)

47. 2x + 3y = 9 para y 48. P = 4s para s 49. 2a + ab = c para a

50. p + e = f para e 51. 2s - k = 11 para k 52. 5m + n = 0 para m

Halla el valor de x en cada diagrama de figuras semejantes. (Lección 2-7)

53. 54.

Escribe la desigualdad que se muestra en cada gráfica. (Lección 3-1)

55. 56.

3-3 Cómo resolver desigualdades mediante la multiplicación o la división

ObjetivosResolver desigualdades de un paso mediante la multiplicación

Resolver desigualdades de un paso mediante la división

¿Quién lo usa?Puedes resolver una desigualdad para determinar cuánto puedes comprar con cierta cantidad de dinero. (Ver Ejemplo 3)

Recuerda que resolver desigualdades es similar a resolver ecuaciones. Para resolver una desigualdad que contiene una multiplicación o una división, cancela la operación dividiendo o multiplicando ambos lados de la desigualdad por el mismo número.

Las siguientes reglas muestran las propiedades de la desigualdad para multiplicar o dividir por un número positivo. Las reglas para multiplicar o dividir por un número negativo aparecen más adelante en esta lección.

Multiplicación y división por números positivos


Multiplicación

Puedes multiplicar ambos lados de una desigualdad por el mismo número positivo y el enunciado seguirá siendo verdadero.

7 < 12

7 (3) < 12 (3)

21 < 36

Si a 0, entonces ac < bc.

División

Puedes dividir ambos lados de una desigualdad entre el mismo número positivo y el enunciado seguirá siendo verdadero.

15 < 35

15_5

<35_5

3 < 7

Si a 0,

entonces a_c <

b_c .


Propiedades de la desigualdad

1E J E M P L O Multiplicar o dividir por un número positivo


A 3x > -273x > -27 Como x se multiplica por 3, divide ambos lados

entre 3 para cancelar la multiplicación.3x_3

> -27_3

1x > -9 x > -9

“Esto es todo lo que tengo, así que llevaré 3 lápices, 3 cuadernos, una carpeta y 0.9 calculadoras”.

Jonn

y Ha

wki

ns/C

arto

onRe

sour

ce.c

om

3- 3 Cómo resolver desigualdades mediante la multiplicación o la división 181


B 2_3

r < 6

2_3

r < 6 Como r se multiplica por 2__3 , multiplica

ambos lados por el recíproco de 2__3 .

3_2

(2_3

r) < 3_2

(6)

r < 9


1a. 4k > 24 1b. -50 ≥ 5q 1c. 3_4

g > 27

Si multiplicas o divides ambos lados de una desigualdad por un número negativo, la desigualdad resultante no es un enunciado verdadero. Debes invertir el símbolo de desigualdad para que sea verdadero.

5 > -3 5 es mayor que -3.

Multiplica ambos lados por -2.

Sabes que -10 es menor que 6, entonces usa el símbolo para menor que.

5 (-2) -3(-2)

-10 6

-10 < 6

Al multiplicar ambos lados por un número negativo se cambia el signo de ambos lados de la desigualdad.

Esto significa que hay otro conjunto de propiedades de la desigualdad para multiplicar o dividir por un número negativo.

Multiplicación y división por números negativos


Multiplicación

Si multiplicas ambos lados de una desigualdad por el mismo número negativo, debes invertir el símbolo de desigualdad para que el enunciado siga siendo verdadero.

8 > 4

8 (-2) 4 (-2)

-16 -8

-16 < -8

Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.

División

Si divides ambos lados de una desigualdad entre el mismo número negativo, debes invertir el símbolo de desigualdad para que el enunciado siga siendo verdadero.

12 > 412_-4

4_-4

-3 -1

-3 < -1

Si a > b y c < 0,

entonces a_c <

b_c .

Estas propiedades también se cumplen para las desigualdades con los símbolos <, ≥ y ≤.

Propiedades de desigualdad

2E J E M P L O Multiplicar o dividir por un número negativo


A -8x > 72-8x_-8

< 72_-8

Como x se multiplica por -8, divide ambos lados entre -8. Cambia > por <.

x < -9

B -3 ≤ x_-5

-5(-3) ≥ -5( x_-5) Como x se divide entre -5, multiplica

ambos lados por -5. Cambia ≤ por ≥. 15 ≥ x (ó x ≤ 15)


2a. 10 ≥ -x 2b. 4.25 > -0.25h

3E J E M P L O Aplicación para el consumidor

Ryan tiene una tarjeta de regalo de $16 para una tienda de alimentos naturales en la que un batido cuesta $2.50 con impuestos. ¿Qué cantidades de batidos puede comprar Ryan?

Sea b la cantidad de batidos que Ryan puede comprar.

$2.50 por la cantidad de batidos es como máximo $16.00.

2.50 • b ≤ 16.00

2.50b ≤ 16.00

2.50b_2.50

≤ 16.00_2.50

Como b se multiplica por 2.50, divide ambos lados entre 2.50.El símbolo no cambia.

Ryan sólo puede comprar un número cabal de batidos.b ≤ 6.4

Ryan puede comprar 0, 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 batidos.

3. Una jarra tiene capacidad para 128 onzas de jugo. ¿Qué cantidades de porciones de 10 onzas se pueden servir con una jarra?

RAZONAR Y COMENTAR1. Compara las propiedades de desigualdad de la multiplicación y de la división

y las propiedades de igualdad de la multiplicación y de la división.

2. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada celda, escribe y resuelve una desigualdad.

Resolver desigualdades mediante la multiplicación y la división

Divide

Multiplica

Por un número positivo Por un número negativo

No cambies la dirección del símbolo de desigualdad sólo porque ves un signo negativo. Por ejemplo, no tienes que cambiar el símbolo cuando resuelves 4x < -24.

EjerciciosEjercicios3-3

PRÁCTICA GUIADA



1. 3b > 27 2. -40 ≥ 8b 3. d_3

> 6 4. 24d ≤ 6

5. 1.1m ≤ 1.21 6. 2_3

k > 6 7. 9s > -18 8. 4_5

≥ r_2


9. -2x < -10 10. b_-2

≥ 8 11. -3.5n < 1.4 12. 4 > -8g

13. d_-6

< 1_2

14. -10h ≥ -6 15. 12 > t_-6

16. - 1_2

m ≥ -7


17. Viajes Tom ahorró $550 para un viaje escolar. El costo de una habitación de hotel, con impuestos incluidos, es $80 por noche. Escribe una desigualdad para mostrar la cantidad de noches que Tom puede quedarse en el hotel.



18–29 1 30–41 2 42 3


18. 10 < 2t 19. 1_3

j ≤ 4 20. -80 < 8c 21. 21 > 3d

22. w_4

≥ -2 23. h_4

≤ 2_7

24. 6y < 4.2 25. 12c ≤ -144

26. 4_5

x ≥ 2_5

27. 6b ≥ 3_5

28. -25 > 10p 29. b_8

≤ -2

30. -9a > 81 31. 1_2

< r_-3

32. -6p > 0.6 33. y_

-4 > - 1_

2

34. - 1_6

f < 5 35. -2.25t < -9 36. 24 ≤ -10w 37. -11z > 121

38. 3_5

< f_

-5 39. -k ≥ 7 40. -2.2b < -7.7 41. 16 ≥ - 4_

3 p

42. Campamento La cuerda que Roz trajo en su equipo de campamento mide 54 pulgadas de largo. Roz necesita la cuerda en trozos más cortos, de 18 pulgadas cada uno. ¿Qué cantidades de trozos puede cortar?


43. -8x < 24 44. 3t ≤ 24 45. 1_4

x < 5 46. 4_5

p ≥ -24

47. 54 ≤ -9p 48. 3t > - 1_2

49. - 3_4

b > - 3_2

50. 216 > 3.6r

Escribe una desigualdad para cada enunciado. Resuelve la desigualdad y representa gráficamente las soluciones.

51. El producto de un número y 7 es no menos de 21.

52. El cociente de h y -6 es al menos 5.

53. El producto de - 4__5 y b es como máximo -16.

54. Diez es no más que el cociente de t y 4.

55. Escríbelo Explica cómo sabes si tienes que invertir el símbolo de desigualdad cuando resuelves una desigualdad.

56. Geometría El área de un rectángulo es como máximo 21 pulgadas cuadradas. El ancho del rectángulo es 3.5 pulgadas. ¿Cuáles son las medidas posibles de la longitud del rectángulo?

CLAVE: MA7 3-3

CLAVE: MA7 Parent



Práctica adicional


Al nacer, los oranguta-nes pesan alrededor de 3.5 libras. Cuando son adultos, las hembras pueden pesar hasta 110 libras, mientras que los machos pueden pesar hasta 300 libras.

Animales


57. -0.5t ≥ 1.5 A.

58. 1_9

t ≤ -3 B.

59. -13.5 ≤ -4.5t C.

60. t_-6

≤ - 1_2

D.

61. Animales En un refugio de vida silvestre de Carolina del Norte viven especies autóctonas de pájaros, mamíferos y reptiles. Si el alimento para gatos se vende en bolsas de 20 lb, ¿cuál es la menor cantidad de bolsas necesarias en un año?

Alimento consumido por semana en el refugio de vida silvestre

Tipo de alimento Cantidad de alimento (lb)

Uvas 4

Mezcla de semillas 10

Cacahuates 5

Alimento para gatos 10

Alimento para gatitos 5

62. Educación Para obtener una A en una clase de matemáticas de la universidad, un estudiante debe conseguir no menos del 90% de todos los puntos posibles. En un semestre, los estudiantes con al menos 567 puntos obtuvieron una A en la clase. Muestra las cantidades de puntos posibles con una desigualdad.

63. Razonamiento crítico Explica por qué no puedes resolver una desigualdad multiplicando ambos lados por cero.

64. /////ANÁLISIS DE ERRORES///// Dos estudiantes tienen respuestas distintas a un problema. ¿Qué respuesta es incorrecta? Explica el error.

A B 9m ≥ -27

m ≤ -3

9m ≥ -27

m ≥ -3 ≥

-279m9 9

____ ____ ≥-279m

9 9____ ____

65. Jan tiene un presupuesto de $800 para el servicio de buffet. La empresa de servicios de buffet cobra $12.50 por invitado. Escribe y resuelve una desigualdad para mostrar la cantidad de personas que Jan puede invitar.


a. El club de natación puede gastar un total de $250 en habitaciones de hotel para su viaje de primavera. Un hotel cuesta $75 por noche. Escribe una desigualdad para hallar la cantidad de habitaciones que el club puede reservar en ese hotel. Sea n la cantidad de habitaciones.

b. Resuelve la desigualdad que escribiste en la parte a. Representa gráficamente las soluciones en una recta numérica. Asegúrate de que tu respuesta sea razonable.

c. Otro hotel ofrece una tarifa de $65 por noche. ¿Esto permite al club reservar más habitaciones? Explica tu razonamiento.

67. ¿Qué desigualdad NO tiene las mismas soluciones que - 2_3

y > 4?

12 < -2y - 3_4

y > 9_2

y_2

< -12 -3y > 18

68. ¿Las soluciones de qué desigualdad NOse representan con la siguiente gráfica?

x_2

≥ -2 3x ≥ -12

-5x ≥ 20 -7x ≥ 28

69. ¿Qué desigualdad se puede usar para hallar la cantidad de estampillas de 37 centavos que puedes comprar con $4.00?

0.37e ≥ 4.00 e_0.37

≤ 4.00

0.37e ≤ 4.00 4.00_0.37

≤ e

70. Respuesta breve Escribe tres desigualdades que tengan las mismas soluciones que x > 4. Muestra tu trabajo y explica cada paso.

DESAFÍO Y EXTENSIÓNResuelve cada desigualdad.

71. 2 1_3

≤ - 5_6

g 72. 2x_3

< 8.25 73. 2 5_8

m > 7_10

74. 3 3_5

f ≥ 14 2_5

75. Estimación ¿Cuál es el mayor entero que puede ser solución de la desigualdad 3.806x < 19.902?

76. Razonamiento crítico La propiedad transitiva de la igualdad dice que si a = b y b = c, entonces a = c. ¿Existe una propiedad transitiva de la desigualdad? Da un ejemplo que apoye tu respuesta.

77. Razonamiento crítico La propiedad simétrica de la igualdad dice que si a = b,entonces b = a. ¿Existe una propiedad simétrica de la desigualdad? Da un ejemplo que apoye tu respuesta.

REPASO EN ESPIRALEscribe la potencia que representa cada modelo geométrico. (Lección 1-4)

78. 79. 80.

Halla la tasa unitaria. (Lección 2-6)

81. Doce galones de gasolina cuestan $22.68.

82. Un árbol crece cuatro pies en seis años.

83. Un estudiante escribe a máquina 105 palabras en 3 minutos.

Resuelve cada desigualdad y representa gráficamente las soluciones. (Lección 3-2)

84. x + 5 ≥ 3 85. t - 1_4

< 3_4

86. 4 > x - 1 87. 6 > b - 8

Desigualdades simples¡Recuerda El Álamo! El club de español está organizando un viaje para el próximo verano. Planean viajar de Fort Worth, Texas, a San Antonio, Texas. Pueden gastar $550 en todo el viaje.

1. El tesorero del club destinó $60 del presupuesto para gasolina. El precio actual de la gasolina es $1.95/galón. La camioneta de la escuela recorre un promedio de 20 millas por galón de gasolina. Determina cuántas millas podrán viajar con este presupuesto. Redondea tu respuesta a la milla más cercana.

2. La distancia entre Fort Worth y San Antonio es 266 millas. Escribe una desigualdad que se pueda usar para hallar la cantidad de millas m que podrán recorrer durante su estadía en San Antonio. Resuelve tu desigualdad y representa gráficamente las soluciones.

3. El tesorero destinó $200 para habitaciones de hotel por una noche. El club eligió un hotel que cobra $58 por noche. Escribe una desigualdad que se pueda usar para hallar la cantidad de habitaciones n que pueden reservar. ¿Cuál es la cantidad máxima de habitaciones que pueden reservar en el hotel?

4. Usa la cantidad máxima de habitaciones que hallaste en la parte 3. ¿Cuánto gastará el club en las habitaciones de hotel?

5. Los miembros del club planean gastar $80 en comida. También quieren ver las atracciones de San Antonio, como SeaWorld y El Álamo.

Escribe una desigualdad que sirva para hallar la cantidad de dinero disponible para las atracciones. ¿Cuál es la cantidad máxima que el club puede gastar en las atracciones?

6. Escribe un resumen del presupuesto del viaje del club de español. Incluye la cantidad de dinero que piensan gastar en gasolina, hotel, comida y atracciones.

SECCIÓN 3A


¿Listo para seguir? 187

Prueba de las Lecciones 3-1 a 3-3

3-1 Cómo representar y escribir desigualdadesDescribe las soluciones de cada desigualdad con palabras.

1. -2 < r 2. t - 1 ≤ 7 3. 2s ≥ 6 4. 4 > 5 - x


5. x > -2 6. m ≤ 1 1_2

7. g < √ �� 8 + 1 8. h ≥ 2 3


9.

10.

11.

Escribe una desigualdad para cada situación y representa gráficamente las soluciones.

12. Debes comprar al menos 5 entradas para obtener un descuento.

13. Los niños menores de 13 años tienen prohibida la entrada a algunas películas a menos que estén con adulto.

14. Un plan de telefonía celular ofrece hasta 250 minutos gratis por mes.

3-2 Cómo resolver desigualdades mediante la suma o la restaResuelve cada desigualdad y representa gráficamente las soluciones.

15. k + 5 ≤ 7 16. 4 > p - 3 17. r - 8 ≥ -12 18. -3 + p < -6

19. Allie debe vender al menos 50 canastas de regalos para recaudar fondos para la banda. Ya vendió 36 canastas. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar cuántas canastas más tiene que vender.

20. Dante tiene como máximo $12 para gastar en entretenimiento cada semana. Hasta ahora, gastó $7.50 esta semana. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar cuánto dinero puede gastar Dante en entretenimiento durante el resto de la semana.

3-3 Cómo resolver desigualdades mediante la multiplicación o la divisiónResuelve cada desigualdad y representa gráficamente las soluciones.

21. -4x < 8 22. d_3

≥ -3 23. 3_4

t ≤ 12 24. 8 > -16c

25. Un carrete de cinta mide 80 pulgadas de largo. Riley necesita cortar trozos de 14 pulgadas de largo. ¿Qué cantidades de trozos puede cortar?

SECCIÓN 3A


ObjetivoResolver desigualdades que contienen más de una operación

3-4 Cómo resolver desigualdades de dos pasos y de varios pasos

En la feria del condado, los concursantes pueden participar en competencias en las que se evalúan animales, recetas, cosechas, proyectos de arte y otras cosas. A veces se usa un puntaje promedio o un peso promedio para determinar el ganador del primer premio. Un concursante puede usar una desigualdad de varios pasos para determinar el puntaje o el peso necesario para ganar.

Las desigualdades que contienen más de una operación deben resolverse en más de un paso. Usa las operaciones inversas para cancelar las operaciones de la desigualdad de a una por vez.

1E J E M P L O Resolver desigualdades de varios pasos


A 160 + 4f ≤ 500

160 + 4f ≤ 500 Como se suma 160 a 4f, resta 160 de ambos lados para cancelar la suma.

Como f se multiplica por 4, divide ambos lados entre 4 para cancelar la multiplicación.

−−−−−−− - 160 −−−− - 160

4f ≤ 340

4f_4

≤ 340_4

f ≤ 85

B 7 - 2t ≤ 21

7 - 2t ≤ 21 Como se suma 7 a -2t, resta 7 de ambos lados para cancelar la suma.

Como t se multiplica por -2, divide ambos lados entre -2 para cancelar la multiplicación.

Cambia ≤ por ≥.

−−−−−− - 7

−−− - 7

-2t ≤ 14

-2t_-2

≥ 14_-2

t ≥ -7


1a. -12 ≥ 3x + 6 1b. x + 5_

-2 > 3 1c. 1 - 2n_

3 ≥ 7

¿Quién lo usa?Los concursantes de una feria del condado pueden resolver una desigualdad para hallar cuántas libras debe pesar una calabaza para ganar un premio. (Ver Ejemplo 3)

Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto.

7 - 2t = 7 + (-2t)

3- 4 Cómo resolver desigualdades de varios pasos 189

Para resolver desigualdades más complicadas, quizás necesites simplificar primero las expresiones a uno o ambos lados mediante el orden de las operaciones, la combinación de términos semejantes o la propiedad distributiva.

2E J E M P L O Simplificar antes de resolver desigualdades


A -4 + (-8) < - 5c - 2 -12 < -5c - 2 Combina los términos semejantes. Como se resta 2 de

-5c, suma 2 a ambos lados para cancelar la resta.Como c se multiplica por -5, divide ambos lados

entre -5 para cancelar la multiplicación.Cambia < por >.

−−−

+ 2 −−−−−−

+ 2 -10 < -5c

-10_-5

> -5c_-5

2 > c (ó c < 2)

B -3 (3 - x) < 42

-3(3 - x) < 4 2

-3 (3) -3(-x) < 4 2

-9 + 3x < 4 2 Distribuye -3 en el lado izquierdo.

Simplifica el lado derecho.

Como se suma -9 a 3x, suma 9 a ambos lados para cancelar la suma.

Como x se multiplica por 3, divide ambos lados entre 3 para cancelar la multiplicación.

-9 + 3x < 16 -9 + 3x < 16

−−−−−− + 9

−−− + 9

3x < 25

3x_3

< 25_3

x < 8 1_3

C 4_5

x + 1_2

> 3_5

10 (4_5

x + 1_2) > 10 (3_

5) Multiplica ambos lados por 10, el mcd de las fracciones.

Distribuye 10 en el lado izquierdo.

Como se suma 5 a 8x, resta 5 de ambos lados para cancelar la suma.


10 (4_5

x) + 10 (1_2) > 10 (3_

5) 8x + 5 > 6

−−−−− - 5

−−− - 5

8x > 1

8x_8

> 1_8

x > 1_8


2a. 2m + 5 > 5 2 2b. 3 + 2 (x + 4) > 3 2c. 5_8

< 3_8

x - 1_4


3E J E M P L O Aplicación a la jardinería

Para ganar el primer premio a la cosecha de calabazas de mayor peso en la feria del condado, el peso promedio de las dos calabazas de John debe ser mayor que 819 lb. Una de sus calabazas pesa 887 lb. ¿Cuál es la menor cantidad de libras que podría pesar la segunda calabaza para que John gane el primer premio?

Sea c el peso de la segunda calabaza. El peso promedio de las calabazas es la suma de cada peso dividido entre 2.

(887 más c) dividido entre 2 debe ser mayor que 819.

(887 + c) ÷ 2 > 819

887 + c_

2 > 819 Como 887 + c se divide entre 2, multiplica

ambos lados por 2 para cancelar la división.

Como se suma 887 a c, resta 887 de ambos lados para cancelar la suma.

2 (887 + c_2 ) > 2 (819)

887 + c > 1638

−−−−−−− - 887 −−−−- 887 c > 751

La segunda calabaza debe pesar más de 751 libras.

Comprueba Comprueba el extremo, 751. Comprueba un número mayor que 751.

887 + c_

2 = 819

887 + c_2

> 819

887 + 751_2

819 887 + 755_2

> 819

1638_2

819 1642_2

> 819

819 819 ✓ 821 > 819 ✓

3. El promedio de los puntajes de los dos exámenes de Jim debe ser al menos 90 para que él obtenga una A en la clase. Jim obtuvo 95 puntos en el primer examen. ¿Qué puntajes puede obtener en el segundo examen para tener una A en la clase?

RAZONAR Y COMENTAR 1. La desigualdad v ≥ 25 establece que 25 es el ? . (valor de v, valor

mínimo de v o valor máximo de v)

2. Describe dos conjuntos de pasos para resolver la desigualdad x + 5____3

> 7.

3. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico.

EjerciciosEjercicios

PRÁCTICA GUIADAVER E JEMPLO 1

pág. 188


1. 2m + 1 > 13 2. 2d + 21 ≤ 11 3. 6 ≤ -2x + 2 4. 4c - 7 > 5

5. 4 + x_3

> -4 6. 1 < 0.2x - 0.7 7. 3 - 2x_3

≤ 7 8. 2x + 5 ≥ 2

VER E JEMPLO 2 pág. 189

9. 4 (x + 2) > 6 10. 1_4

x + 2_3

< 3_4

11. 4 - x + 6 2 ≥ 21

12. 4 - x > 3 (4 - 2) 13. 0.2(x - 10) > -1.8 14. 3(j + 41) ≤ 35


15. Negocios A un vendedor le dan a elegir entre dos planes de salario. La primera opción incluye un sueldo básico de $300 más el 10% de comisión por sus ventas. La segunda opción es un salario mensual de $1200. ¿Cuánto debería vender para ganar más con la primera opción?



16–27 1 28–36 2 37 3


16. 4r - 9 > 7 17. 3 ≤ 5 - 2x 18. w + 3_2

> 6 19. 11w + 99 < 77

20. 9 ≥ 1_2

v + 3 21. -4x - 8 > 16 22. 8 - 2_3

z ≤ 2 23. f + 2 1_2

< -2

24. 3n - 8_5

≥ 2 25. -5 > -5 - 3w 26. 10 > 5 - 3p_

2 27. 2v + 1 > 2 1_

3

28. 4 (x + 3) > -24 29. 4 > x - 3 (x + 2) 30. -18 ≥ 33 - 3h

31. -2 > 7x - 2 (x - 4) 32. 9 - (9) 2 > 10x - x 33. 2a - (-3) 2 ≥ 13

34. 6 - x_3

+ 1 > 2_3

35. 12(x - 3) + 2x > 6 36. 15 ≥ 19 + 2 (q - 18)

37. Comunicaciones Una empresa de telefonía celular ofrece un plan que cuesta $29.99 e incluye una cantidad ilimitada de minutos durante la noche y el fin de semana. Otra empresa ofrece un plan que cuesta $19.99 y cobra $0.35 por minuto durante la noche y el fin de semana. ¿Para qué cantidades de minutos durante la noche y el fin de semana el plan de la segunda empresa cuesta más que el de la primera?


38. -12 > -4x - 8 39. 5x + 4 ≤ 14 40. 2_3

x - 5 > 7

41. x - 3x > 2 - 10 42. 5 - x - 2 > 3 43. 3 < 2x - 5 (x + 3)

44. 1_6

- 2_3

m ≥ 1_4

45. 4 - (r - 2) > 3 - 5 46. 0.3 - 0.5n + 1 ≥ 0.4

47. 62 > 4 (x + 2) 48. -4 - 2n + 4n > 7 - 2 2 49. 1_4

(p - 10) ≥ 6 - 4

50. Usa la desigualdad -4t - 8 ≤ 12 para escribir los números que faltan.

a. t ≥ b. t + 4 ≥ c. t - ≥ 0

d. t + 10 ≥ e. 3t ≥ f. t_■

≥ -5

3-4CLAVE: MA7 3-4

CLAVE: MA7 Parent*(Disponible sólo en inglés)


Práctica adicional


Escribe una desigualdad para cada enunciado. Resuélvela y representa gráficamente las soluciones.

51. 9 sumado a la mitad de un número es menor que 33.

52. Seis es menor que o igual a la suma de 4 y -2x.

53. El producto de 4 y la suma de un número y 12 es como máximo 16.

54. La suma de la mitad de un número y dos tercios del mismo número es menor que 14.


55. 4x - 9 ≥ 7 A.

56. -6 ≥ 3 (x - 2) B.

57. -2x - 6 ≥ -4 + 2 C.

58. 1_2

- 1_3

x ≤ (2_3

+ 1_3)

2

D.

59. Entretenimiento Una grabadora de video digital (DVR, por sus siglas en inglés) graba programas de televisión en un disco duro interno. Para usar una DVR, necesitas suscribirte a una empresa que provea el servicio. Dos empresas anuncian sus tarifas por una máquina DVR y la suscripción al servicio.

¿Para qué cantidades de meses un consumidor pagará menos por la máquina y la suscripción en Easy Electronics que en Cable Solutions?

60. Geometría El área del triángulo que se muestra es menor que 55 pulgadas cuadradas.

a. Escribe una desigualdad que se pueda usar para hallar x.

b. Resuelve la desigualdad que escribiste en la parte a.

c. ¿Cuál es la altura máxima que puede tener el triángulo?

Cantidad Proceso Costo

1 350 + 3 353

2

3

10

n


a. Una banda quiere grabar un CD de su último concierto. Recibieron una donación de $500 dólares para cubrir el costo. La grabación cuesta $350 más $3 por CD. Completa la tabla para hallar una relación entre la cantidad de CD y el costo total.

b. Escribe una ecuación para el costo C de los CD en base a la cantidad de CD n.

c. Escribe una desigualdad que se pueda usar para determinar cuántos CD se pueden grabar con la donación de $500. Resuelve la desigualdad y determina cuántos CD puede grabar la banda con la donación de $500.

62. Razonamiento crítico ¿Cuál es el menor número cabal que es solución de 4r - 4.9 > 14.95?

63. Escríbelo Describe dos conjuntos de pasos para resolver 2 (x + 3) > 10.

64. ¿Cuáles son las soluciones de 3y > 2x + 4 cuando y = 6?

7 > x x > 7 x > 11 11 > x

65. Cecilia tiene $30 para gastar en una feria. La entrada cuesta $5.00, el almuerzo cuesta $6.00 y el boleto para cada juego cuesta $1.25. ¿Qué desigualdad representa la cantidad de boletos x que puede comprar Cecilia?

30 - (5 - 6) + 1.25x ≤ 30 30 - (5 + 6) ≤ 1.25x

5 + 6 + 1.25x ≤ 30 30 + 1.25x ≤ 5 + 6

66. ¿Qué enunciado se representa con 2p + 5 < 11?

La suma de 5 y 2 por p es al menos 11.

Cinco sumado al producto de 2 y p es menor que 11.

Dos por p más 5 es como máximo 11.

El producto de 2 y p sumado a 5 es 11.

67. Respuesta gráfica Un equipo de básquetbol anotó 8 puntos más en su segundo partido que en el primero. En el tercer partido, el equipo anotó 42 puntos. La cantidad total de puntos en los tres partidos fue más de 150. ¿Cuál es la menor cantidad de puntos que el equipo pudo haber anotado en el segundo partido?

DESAFÍO Y EXTENSIÓNResuelve cada desigualdad y representa gráficamente las soluciones.

68. 3(x + 2) - 6x + 6 ≤ 0 69. -18 > -(2x + 9) - 4 + x 70. 2 + x_2

- (x - 1 )> 1

Escribe una desigualdad para cada enunciado. Representa gráficamente las soluciones.

71. x es un número positivo. 72. x es un número negativo.

73. x es un número no negativo. 74. x no es un número positivo.

75. x por 3 negativo es positivo. 76. El opuesto de x es mayor que 2.

REPASO EN ESPIRALHalla cada raíz cuadrada. (Lección 1-5)

77. √ � 49 78. -√ �� 144 79. √ � 4_9

80. √ �� 196 81. -√ � 1 82. √ �� 10,000

83. El videoclub A cobra una cuota de socio de $25 y $2 por cada alquiler de video. El videoclub B cobra una cuota de socio de $10 y $2.50 por cada película. Halla la cantidad de alquileres para la que el precio de ambos videoclubes es el mismo. (Lección 2-4)


84. 2x < -8 85. a_-2

≤ -3 86. 1_4

< t_12

3-5 Cómo resolver desigualdades con variables a ambos lados

ObjetivoResolver desigualdades que tienen variables a ambos lados

¿Quién lo usa?Los dueños de empresas pueden usar desigualdades para buscar los servicios más económicos. (Ver Ejemplo 2)

Algunas desigualdades tienen términos variables a ambos lados del símbolo de desigualdad. Puedes resolver estas desigualdades como resolviste las ecuaciones con variables a ambos lados.

Usa las propiedades de la desigualdad para “reunir” todos los términos variables de un lado y todos los términos constantes del otro.

1E J E M P L O Resolver desigualdades con variables a ambos lados


A x < 3x + 8 x < 3x + 8 Para reunir los términos variables de un lado,

resta x de ambos lados.

Como se suma 8 a 2x, resta 8 de ambos lados para cancelar la suma.


−−− - x

−−−−− - x

0 < 2x + 8

−−− - 8

−−−−− - 8

-8 < 2x

-8_2

< 2x_2

-4 < x (ó x > -4)

B 6x - 1 ≤ 3.5x + 4 6x - 1 ≤ 3.5x + 4 Resta 6x de ambos lados.

Como se suma 4 a -2.5x, resta 4 de ambos lados para cancelar la suma.

Como x se multiplica por -2.5, divide ambos lados entre -2.5 para cancelar la multiplicación. Invierte el símbolo de desigualdad.

−−−−−− - 6x

−−−−−−− - 6x

-1 ≤ -2.5x + 4

−−− - 4

−−−−−−− - 4

-5 ≤ -2.5x

-5_-2.5

≥ -2.5x_-2.5

2 ≥ x


1a. 4x ≥ 7x + 6 1b. 5t + 1 < -2t - 6


Tu primer paso también puede ser restar 3x de ambos lados para obtener -2x < 8. Recuerda invertir el símbolo de desigualdad cuando dividas entre un número negativo.

3-5 Cómo resolver desigualdades con variables a ambos lados 195

2E J E M P L O Aplicación a los negocios

El periódico Daily Info cobra una tarifa de $650 más $80 por semana para publicar un aviso. El People’s Paper cobra $145 por semana. ¿Para cuántas semanas el costo del Daily info será menor que el costo del People’s Paper?

Sea s la cantidad de semanas que se publica el aviso.

La tarifa del Daily

Infomás

$80 por semana

por semanaes

menosque

lo que cobra el People’s

Paperpor semanas

$650 + $80 · s < $145 · s

650 + 80s < 145s

−−−−−−− - 80s −−−−− - 80s Resta 80s de ambos lados.

Como s se multiplica por 65, divide ambos lados entre 65 para cancelar la multiplicación.

650 < 65s

650_65

< 65s_65

10 < s

El costo total en el Daily Info es menor que el costo en el People’s Papersi el aviso se publica durante más de 10 semanas.

2. Anuncios A-Plus cobra una tarifa de $24 más $0.10 por volante por imprimir y repartir los volantes. Impresos y Más cobra $0.25 por volante. ¿Para cuántos volantes el costo de Anuncios A-Plus es menor que el costo de Impresos y Más?

Es posible que tengas que simplificar uno o ambos lados de una desigualdad antes de resolverla. Busca los términos semejantes que puedas combinar y las posiciones en las que puedas aplicar la propiedad distributiva.

3E J E M P L O Simplificar cada lado antes de resolver


A 6 (1 - x) < 3x

6 (1 - x) < 3x Distribuye 6 en el lado izquierdo de la desigualdad.

Suma 6x a ambos lados para que el coeficiente de x sea positivo.


6(1) - 6 (x) < 3x 6 - 6x < 3x

−−−−− + 6x

−−− + 6x

6 < 9x

6_9

< 9x_9

2_3

< x

B -0.2x + 0.9 ≥ 1.6x-0.2x + 0.9 ≥ 1.6x Como se suma -0.2x a 0.9, resta -0.2 de ambos lados.

Restar -0.2 es lo mismo que sumar 0.2.

Como x se multiplica por 1.8, divide ambos lados entre 1.8 para cancelar la multiplicación.

−−−−−−−− + 0.2x

−−−−− + 0.2x

0.9 ≥ 1.8x

0.9_1.8

≥ 1.8x_1.8

1_2

≥ x


3a. 5 (2 - r) ≥ 3 (r - 2) 3b. 0.5x - 0.3 + 1.9x < 0.3x + 6

Hay casos especiales de desigualdades que se llaman identidades y contradicciones.

CON PALABRAS EN ÁLGEBRA

Identidad

Si al resolver una desigualdad obtienes un enunciado que es siempre verdadero, la desigualdad original es una identidad y todos los números reales son soluciones.

1 + x < 7 + x

−−−

- x −−−−

- x

1 < 7 ✓

Contradicción

Si al resolver una desigualdad obtienes un enunciado falso, la desigualdad original es una contradicción y no tiene soluciones.

x + 7 < x

−−−−

- x−−−

- x

7 < 0 ✗


Identidades y contradicciones

4E J E M P L O Identidades y contradicciones

Resuelve cada desigualdad.

A x + 5 ≥ x + 3 x + 5 ≥ x + 3

−−−−− - x

−−−−− - x Resta x de ambos lados.

El enunciado es verdadero. 5 ≥ 3 ✓

Todos los valores de x hacen que la desigualdad sea verdadera. Todos los números reales son soluciones.

B 2x + 6 < 5 + 2x2x + 6 < 5 + 2x

−−−−−−

- 2x −−−−−

- 2x Resta 2x de ambos lados.

El enunciado es falso. 6 < 5 ✗

No hay valores de x que hagan que la desigualdad sea verdadera. No hay soluciones.


4a. 4(y - 1) ≥ 4y + 2 4b. x - 2 < x + 1

En el Ejemplo 3B, también puedes multiplicar cada término de la desigualdad por una potencia de 10 para eliminar los decimales.

10(-0.2x) + 10(0.9) ≥ 10(1.6x)

-2x + 9 ≥ 16x

PRÁCTICA GUIADAVER E JEMPLO 1

pág. 194


1. 2x > 4x - 6 2. 7y + 1 ≤ y - 5

3. 27x + 33 > 58x - 29 4. -3r < 10 - r

5. 5c - 4 > 8c + 2 6. 4.5x - 3.8 ≥ 1.5x - 2.3


7. Escuela La banda de la escuela venderá pizzas para recaudar dinero para comprar uniformes nuevos. El proveedor cobra $100 más $4 por pizza. Si los miembros de la banda venden las pizzas a $7 cada una, ¿cuántas pizzas tendrán que vender para obtener una ganancia?



8. 5(4 + x) ≤ 3 (2 + x) 9. -4(3 - p) > 5 (p + 1) 10. 2(6 - x) < 4x 11. 4x > 3 (7 - x)

12. 1_2

f + 3_4

≥ 1_4

f 13. -36.72 + 5.65t < 0.25t



14. 2(x - 2) ≤ -2(1 - x) 15. 4(y + 1) < 4y + 2 16. 4v + 1 < 4v - 7

17. b - 4 ≥ b - 6 18. 3(x - 5) > 3x 19. 2k + 7 ≥ 2 (k + 14)

PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Resuelve cada desigualdad y representa gráficamente las soluciones.

20. 3x ≤ 5x + 8 21. 9y + 3 > 4y - 7 22. 1.5x - 1.2 < 3.1x - 2.8

23. 7 + 4b ≥ 3b 24. 7 - 5t < 4t - 2 25. 2.8m - 5.2 > 0.8m + 4.8

26. Geometría Escribe y resuelve una desigualdad para hallar los valores de x para los que el área del rectángulo es mayor que el área del triángulo.

RAZONAR Y COMENTAR 1. Explica cómo reunirías los términos variables para resolver la desigualdad

5c - 4 > 8c + 2.

2. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro, da un ejemplo del tipo de desigualdad que se indica.

3-5 EjerciciosEjerciciosCLAVE: MA7 3-5

CLAVE: MA7 Parent

La Asociación de Aficionados a las Cometas de Estados Unidos tiene más de 4000 miembros en 35 países. Los aficionados participan en festivales, competencias y talleres de construcción de cometas.

Tiempo libre


25 1 26 2 27–32 3 33–38 4


27. 4(2 - x) ≤ 5 (x - 2) 28. -3(n + 4) < 6 (1 - n) 29. 9(w + 2) ≤ 12w

30. 4.5 + 1.3t > 3.8t - 3 31. 1_2

r + 2_3

≥ 1_3

r 32. 2(4 - n) < 3n - 7


33. 3(2 - x) < -3(x - 1) 34. 7 - y > 5 - y 35. 3(10 + z) ≤ 3z + 36

36. -5(k - 1) ≥ 5 (2 - k) 37. 4(x - 1) ≤ 4x 38. 3(v - 9) ≥ 15 + 3v


39. 3t - 12 > 5t + 2 40. -5(y + 3) - 6 < y + 3

41. 3x + 9 - 5x < x 42. 18 + 9p > 12p - 31

43. 2(x - 5) < -3x 44. -2_5

x ≤ 4_5

- 3_5

x

45. -2(x - 7) - 4 - x < 8x + 32 46. -3(2r - 4) ≥ 2 (5 - 3r)

47. -7x - 10 + 5x ≥ 3 (x + 4) + 8 48. -1_3

(n + 8) + 1_3

n ≤ 1 - n

49. Tiempo libre Una cometa roja está a 100 pies del suelo y se eleva a 8 pies por segundo. Una cometa azul está a 180 pies del suelo y se eleva a 5 pies por segundo. ¿Cuánto tiempo tardará la cometa roja en estar más arriba que la azul? Redondea tu respuesta al segundo más cercano.

50. Educación En la tabla se muestra la cantidad de estudiantes inscritos en la Escuela Superior Howard y en la Escuela Superior Phillips en tres años.

a. ¿Cuánto cambió la cantidad de estudiantes inscritos en Howard cada año?

b. Usa la cantidad de inscripciones en el año 1 y tu respuesta de la parte a para escribir una expresión para la cantidad de inscripciones en Howard en cualquier año x.

c. ¿Cuánto cambió la cantidad de inscripciones en Phillips cada año?

d. Usa la cantidad de inscripciones en el año 1 y tu respuesta de la parte c para escribir una expresión para la cantidad de inscripciones en Phillips en cualquier año x.

e. Supongamos que el patrón de la tabla continúa. Usa tus expresiones de las partes b y d para escribir una desigualdad que se pueda resolver para hallar el año en el que la cantidad de inscripciones en la Escuela Superior Phillips será mayor que en la Escuela Superior Howard. Resuelve tu desigualdad y representa gráficamente las soluciones.

Inscripciones en las escuelas

Año 1 Año 2 Año 3

Escuela Superior Howard

1192 1188 1184

Escuela Superior Phillips

921 941 961


Práctica adicional


a. La orquesta de la escuela quiere grabar un CD de su último concierto. El costo de grabar los CD es $400 + 4.50 por cada CD. Escribe una expresión para el costo de grabar los CD en base a la cantidad de CD n.

b. La orquesta planea vender los CD por $12. Escribe una expresión para la cantidad que la orquesta gana por la venta de n CD.

c. Para que la orquesta obtenga una ganancia, la cantidad que gane por la venta debe ser mayor que el costo de producción de los CD. Escribe una desigualdad que se pueda resolver para hallar la cantidad de CD que la orquesta tiene que vender para obtener una ganancia. Resuelve tu desigualdad.

Representa cada relación con una desigualdad. Resuelve tu desigualdad.

52. Cuatro más que el doble de un número es mayor que dos tercios de ese número.

53. Diez menos que cinco por un número es menor que seis por ese número menos ocho.

54. La suma de un número y veinte es menor que cuatro por ese número menos uno.

55. Tres cuartos de un número es mayor que o igual a cinco menos que ese número.

56. Entretenimiento Usa la tabla para determinar cuántas películas tendrías que alquilar para que Video View fuera más barato que Movie Place.

Cuota de socio ($) Costo por alquiler ($)

Movie Place Ninguna 2.99

Video View 19.99 1.99

57. Geometría En un triángulo acutángulo, todos los ángulos miden menos de 90°. Además, la suma de las medidas de dos ángulos cualesquiera es mayor que la medida del tercer ángulo. ¿Pueden las medidas de un triángulo agudo ser x, x - 1 y 2x? Explica.

58. Escríbelo Compara los pasos que seguirías para resolver una desigualdad con los pasos que seguirías para resolver una ecuación.

59. Razonamiento crítico ¿Cómo te das cuenta de que la desigualdad x > x + 1 no tiene soluciones con sólo mirarla?

60. /////ANÁLISIS DE ERRORES///// Dos estudiantes resolvieron la desigualdad 5x < 3 - 4x.¿Qué opción es incorrecta? Explica el error.

61. Si a - b > a + b, ¿qué enunciado es verdadero?

El valor de a es positivo. El valor de a es negativo.

El valor de b es positivo. El valor de b es negativo.

62. Si -a < b, ¿qué enunciado es verdadero?

a b a < -b a > -b

63. ¿Qué opción es una solución de la desigualdad 7 (2 - x) > 4 (x - 2) ?-2 2 4 7

64. ¿Cuál es la gráfica de a -3x < -6?

65. Respuesta breve Escribe una situación del mundo real que se podría representar con la desigualdad 7x + 4 > 4x + 13. Explica la relación entre la desigualdad y la situación.

DESAFÍO Y EXTENSIÓNResuelve cada desigualdad.

66. 2 1_2

+ 2x ≥ 5 1_2

+ 2 1_2

x 67. 1.6x - 20.7 > 6.3x - (-2.2x)

68. 1.3x - 7.5x < 8.5x - 29.4 69. -4w + -8 - 37_9

≤ 75 - 3_9

+ 3w

70. Reemplaza el cuadrado y el círculo con números para que la desigualdad sea una identidad. □ - 2x < � - 2x

71. Reemplaza el cuadrado y el círculo con números para que la desigualdad sea una contradicción. □ - 2x < � - 2x

72. Razonamiento crítico Explica si hay números que puedan reemplazar el cuadrado y el círculo para que la desigualdad sea una identidad. □ + 2x < � + x

REPASO EN ESPIRAL 73. La razón del ancho de un rectángulo a la longitud es 2 : 5. La longitud es 65 pulgadas.

Halla el ancho. (Lección 2-6)

74. Halla el interés simple que se pagó después de 6 meses por un préstamo de $5000 a una tasa de interés del 9%. (Lección 2-9)

Define una variable y escribe una desigualdad para cada situación. Representa gráficamente las soluciones. (Lección 3-1)

75. Los participantes deben tener al menos 14 años de edad.

76. La velocidad máxima en una autopista es 60 millas por hora.

Katie FlanniganPrograma de arte culinario

P: ¿Qué clases de matemáticas tomaste en la escuela superior?

R: Álgebra 1, geometría y álgebra 2

P: ¿Qué clases de matemáticas has tomado después de la escuela superior?

R: He tomado una clase de contabilidad básica y una de matemáticas para los negocios.

P: ¿Para qué usas las matemáticas?

R: Las uso para calcular cuánta comida tengo que comprar. También las uso cuando cambio las cantidades de una receta para cocinar para muchas personas.

P: ¿Cuáles son tus planes para el futuro?

R: Planeo tener mi propia empresa de servicios de buffet. Las clases de matemáticas que tomé me ayudarán a manejar los aspectos financieros de mi empresa.

CLAVE: MA7 Career

3-6

Para usar con la Lección 3-6

3- 6 Laboratorio de álgebra 201

Tablas de verdad y enunciados compuestosUn enunciado compuesto se forma combinando dos o más enunciados simples. Un enunciado compuesto puede ser verdadero o falso dependiendo de si los enunciados simples que lo componen son verdaderos o falsos.

Inténtalo

Para cada par de enunciados simples, indica si P Y Q es verdadero o falso.

1. P: Muchos pájaros vuelan; Q: Una cebra es un animal.

Actividad 1

• Sea P “Cindy tiene al menos 17 años de edad”. • Sea Q “Cindy tiene licencia de conducir”.

Si...entonces

P esy Q es

por lo tantoP Y Q es

Cindy tiene 18 años de edad. Cindy tiene licencia de conducir. Verdadero Verdadero Verdadero

Cindy tiene 17 años de edad. Cindy no tiene licencia de conducir. Verdadero Falso Falso

Cindy tiene 16 años de edad. Cindy tiene licencia de conducir. Falso Verdadero Falso

Cindy tiene 15 años de edad. Cindy no tiene licencia de conducir. Falso Falso Falso

P Y Q es verdadero cuando ? .

Actividad 2

• Sea P “Paul juega al tenis”. • Sea Q “Paul tiene ojos marrones”.

Si... entonces P es y Q es por lo tanto P O Q es

Paul juega al tenis. Paul tiene ojos marrones. Verdadero Verdadero Verdadero

Paul juega al tenis. Paul tiene ojos verdes. Verdadero Falso Verdadero

Paul no juega al tenis. Paul tiene ojos marrones. Falso Verdadero Verdadero

Paul no juega al tenis. Paul tiene ojos verdes. Falso Falso Falso

P O Q es verdadero cuando ? .

Inténtalo

Para cada par de enunciados simples, indica si P O Q es verdadero o falso.

2. P : El número 12 es par; Q : El número 12 es un número compuesto.

3-6 Cómo resolver desigualdades compuestas

ObjetivosResolver desigualdades compuestas en una variable

Representar gráficamente los conjuntos solución de desigualdades compuestas en una variable

Vocabulariodesigualdad compuestaintersecciónunión

¿Quién lo usa?Un salvavidas puede usar desigualdades compuestas para describir los niveles seguros de pH de una piscina. (Ver Ejemplo 1)

Las desigualdades que has visto hasta ahora son desigualdades simples. Cuando se combinan dos desigualdades simples en un enunciado con las palabras Y u O, el resultado se llama desigualdad compuesta.

CON PALABRAS EN ÁLGEBRA GRÁFICAS

Todos los números reales mayores que 2 Y menores que 6

x > 2 Y x < 6

2 < x < 6

Todos los números reales mayores que o iguales a 2 Y menores que o iguales a 6

x ≥ 2 Y x ≤ 6

2 ≤ x ≤ 6

Todos los números reales menores que 2 Ó mayores que 6 x < 2 Ó x > 6

Todos los números reales menores que o iguales a 2 Ó mayores que o iguales a 6

x ≤ 2 Ó x ≥ 6

Desigualdades compuestas

1E J E M P L O Aplicación a la química

Un analista de agua recomienda que el nivel de pH del agua de una piscina esté entre 7.2 y 7.6 inclusive. Muestra los niveles de pH que están dentro del rango recomendado con una desigualdad compuesta. Representa gráficamente las soluciones.

Sea p el nivel de pH del agua de la piscina.

7.2 es menor que o igual a nivel de pH es menor que o igual a 7.6

7.2 ≤ p ≤ 7.6

7.2 ≤ p ≤ 7.6

La frase “entre 7.2 y 7.6 inclusive” significa que los números 7.2 y 7.6 están incluidos en las soluciones. Usa un círculo lleno para los extremos que son soluciones.

3- 6 Cómo resolver desigualdades compuestas 203

1. El nivel de cloro libre en una piscina debe estar entre 1.0 y 3.0 partes por millón inclusive. Muestra los niveles que están dentro de este rango con una desigualdad compuesta. Representa gráficamente las soluciones.

En este diagrama, el óvalo A representa algunos enteros que son soluciones de x < 10 y el óvalo Brepresenta algunos enteros que son soluciones de x > 0. La región en la que se superponen representa los números que pertenecen a ambos óvalos. Esos números son soluciones de ambas x < 10 y x > 0.

Puedes representar gráficamente las soluciones de una desigualdad compuesta que contiene la palabra Y si usas la idea de una región en la que las soluciones se superponen. Esa región se llama intersección y en ella se muestran los números que son soluciones de ambas desigualdades.

2E J E M P L O Resolver desigualdades compuestas que contienen Y

Resuelve cada desigualdad compuesta y representa gráficamente las soluciones.

A 4 ≤ x + 2 ≤ 8 4 ≤ x + 2 Y x + 2 ≤ 8 Escribe la desigualdad compuesta usando Y.

Resuelve cada desigualdad simple. −−−

- 2−−−

−−−- 2

−−−

−−− - 2

−−− - 2

2 ≤ x Y x ≤ 6

Representa gráficamente 2 ≤ x.

Representa gráficamente x ≤ 6.

Representa gráficamente la intersección hallando dónde se superponen las dos gráficas.

B -5 ≤ 2x + 3 < 9 -5 ≤ 2x + 3 < 9 Como se suma 3 a 2x, resta 3

de cada parte de la desigualdad.

Como x se multiplica por 2, divide cada parte de la desigualdad entre 2.

−−−

- 3 −−−

−−−

- 3 −−−

- 3 -8 ≤ 2x < 6 -8_

2≤ 2x_

2< 6_

2 -4 ≤ x < 3

Representa gráficamente -4 ≤ x.

Representa gráficamente x < 3.

Representa gráficamente la intersección hallando dónde se superponen las dos gráficas.


2a. -9 < x -10 < -5 2b. -4 ≤ 3n + 5 < 11

El enunciado -5 ≤ 2x + 3 ≤ 9está formado por dos desigualdades conectadas por Y. En el ejemplo 2B se muestra un método “abreviado”.

En este diagrama, el círculo A representa algunos enteros que son soluciones de x < 0 y el círculo Brepresenta algunos enteros que son soluciones de x > 10. Las regiones sombreadas combinadas representan los números que son soluciones tanto para x < 0 como para x > 10.

Puedes representar gráficamente las soluciones de una desigualdad compuesta que contiene la palabra O si usas la idea de combinar regiones. La combinación de las dos regiones se llama unión y en ella se muestran los números que son soluciones de cualquiera de las desigualdades.

3E J E M P L O Resolver desigualdades compuestas que contienen Ó


A -4 + a > 1 Ó -4 + a < -3 -4 + a > 1 Ó -4 + a < -3

−−−−−

+ 4 −−−+ 4

−−−−− + 4

−−− + 4 Resuelve cada desigualdad simple.

a > 5 Ó a < 1

Representa gráficamente a > 5.

Representa gráficamente a < 1.

Representa gráficamente la unión combinando las regiones.

B 2x ≤ 6 Ó 3x > 12 2x ≤ 6 Ó 3x > 12 2x_2

≤ 6_2

3x_3

> 12_3

Resuelve cada desigualdad simple.

x ≤ 3 Ó x > 4

Representa gráficamente x ≤ 3.

Representa gráficamente x > 4.

Representa gráficamente la unión combinando las regiones.


3a. 2 + r < 12 Ó r + 5 > 19 3b. 7x ≥ 21 Ó 2x < -2

Todas las soluciones de una desigualdad compuesta que contiene Y deben ser una solución de ambas partes de la desigualdad compuesta. Si no hay números que sean soluciones de ambas desigualdades simples, entonces la desigualdad compuesta no tiene soluciones.

Las soluciones de una desigualdad compuesta que contiene O no son siempre dos conjuntos separados de números. Puede haber números que son soluciones de ambas partes de la desigualdad compuesta.

4E J E M P L O Escribir una desigualdad compuesta a partir de una gráfica

Escribe la desigualdad compuesta que se muestra en cada gráfica.

A

La porción sombreada de la gráfica no está entre dos valores, por lo tanto, la desigualdad compuesta contiene la palabra O.

En la parte izquierda de la gráfica se muestra una flecha que apunta hacia la izquierda, por lo tanto, usa < ó ≤. El círculo lleno en -1 significa que -1 es una solución, por lo tanto, usa ≤.

x ≤ -1

En la parte derecha de la gráfica se muestra una flecha que apunta hacia la derecha, por lo tanto, usa > ó ≥. El círculo lleno en 7 significa que 7 es una solución, por lo tanto, usa ≥.

x ≥ 7

La desigualdad compuesta es x ≤ -1 Ó x ≥ 7.

B

La parte sombreada de la gráfica está entre los valores 0 y 6, por lo tanto, la desigualdad compuesta contiene la palabra Y.

Los valores sombreados están a la derecha de 0, por lo tanto, usa > ó ≥.El círculo lleno en 0 significa que 0 es una solución, por lo tanto, usa ≥.

x ≥ 0

Los valores sombreados están a la izquierda de 6, por lo tanto, usa < ó ≤.El círculo vacío en 6 significa que 6 no es una solución, por lo tanto, usa <.

x < 6

La desigualdad compuesta es x ≥ 0 Y x < 6.

Escribe la desigualdad compuesta que se muestra en la gráfica.

4a.

4b.

RAZONAR Y COMENTAR1. Describe cómo escribir la desigualdad

compuesta y > 4 Y y ≤ 12 sin usar el conector Y.

2. ORGANÍZATE Copia y completa los organizadores gráficos. Escribe tres soluciones en cada una de las tres secciones del diagrama. Luego escribe cada una de tus nueve soluciones en la o las columnas de la tabla que correspondan.

La desigualdad compuesta del Ejemplo 4B también se puede escribir con la variable entre los dos extremos.0 ≤ x < 6

EjerciciosEjercicios3-6

PRÁCTICA GUIADA 1. Vocabulario En la gráfica de una ? se muestran todos los valores que son

soluciones de ambas desigualdades simples que forman una desigualdad compuesta. (unión o intersección)


2. Biología Una iguana necesita vivir en un ambiente cálido. La temperatura en una jaula para iguanas debe estar entre los 70° F y los 95° F inclusive. Muestra las temperaturas que están dentro del rango recomendado con una desigualdad compuesta. Representa gráficamente las soluciones.


3. -3 < x + 2 < 7 4. 5 ≤ 4x + 1 ≤ 13

5. 2 < x + 2 < 5 6. 11 < 2x + 3 < 21


7. x + 2 < -6 Ó x + 2 > 6 8. r - 1 < 0 Ó r - 1 > 4

9. n + 2 < 3 Ó n + 3 > 7 10. x - 1 < -1 Ó x - 5 > -1



11. 12.

13. 14.



15 1 16–19 2 20–23 3 24–27 4

Práctica independiente 15. Meteorología La atmósfera de la Tierra está formada por varias capas. Una de las capas, llamada estratosfera, se extiende desde aproximadamente 16 km sobre la superficie de la Tierra hasta aproximadamente 50 km. Muestra las altitudes que están dentro del rango de la estratosfera con una desigualdad compuesta. Representa gráficamente las soluciones.


16. -1 < x + 1 < 1 17. 1 ≤ 2n - 5 ≤ 7

18. -2 < x - 2 < 2 19. 5 < 3x - 1 < 17

20. x - 4 < - 7 Ó x + 3 > 4 21. 2x + 1 < 1 Ó x + 5 > 8

22. x + 1 < 2 Ó x + 5 > 8 23. x + 3 < 0 Ó x - 2 > 0


24. 25.

26. 27.

28. Música Una guitarra acústica común tiene un rango de tres octavas. Cuando la guitarra se afina con “tono de concierto”, el rango de las frecuencias para esas tres octavas está entre 82.4 Hz y 659.2 Hz inclusive. Muestra las frecuencias que están dentro del rango de una guitarra acústica común con una desigualdad compuesta. Representa gráficamente las soluciones.

CLAVE: MA7 3-6

CLAVE: MA7 Parent




Práctica adicional

Escribe y representa gráficamente una desigualdad compuesta para los números que se describen.

30. todos los números reales entre -6 y 6

31. todos los números reales menores que o iguales a 2 y mayores que o iguales a 1

32. todos los números reales mayores que 0 y menores que 15

33. todos los números reales entre -10 y 10 inclusive

34. Transporte La función de control de velocidad de crucero del automóvil de Georgina debe mantener la velocidad del automóvil dentro de las 3 mi/h de la velocidad establecida. Muestra con una desigualdad compuesta todas las velocidades aceptables v si la velocidad establecida es 55 mi/h. Representa gráficamente las soluciones.

35. Química El agua no es un líquido si su temperatura está por encima de los 100° C o por debajo de los 0° C. Escribe una desigualdad compuesta para las temperaturas t a las que el agua no es un líquido. Representa gráficamente las soluciones.


36. 5 ≤ 4b - 3 ≤ 9 37. - 3 < x - 1 < 4

38. r + 2 < - 2 Ó r - 2 > 2 39. 2a - 5 < - 5 Ó 3a - 2 > 1

40. x - 4 ≥ 5 Y x - 4 ≤ 5 41. n - 4 < - 2 Ó n + 1 > 6

42. Deporte La pelota que se usa en los partidos de fútbol no puede pesar más de 16 onzas ni menos de 14 onzas al comienzo del partido. Después de agregar 1 1__

2 onza de aire a la

pelota, se aprobó su uso para un partido. Escribe y resuelve una desigualdad compuesta para mostrar cuánto podría haber pesado la pelota antes de que se le agregara el aire.

43. Meteorología Los daños provocados Escala de tornados Fujita

Categoría TipoVelocidad del viento (mi/h)

F0 Débil 40 a 72

F1 Moderado 73 a 112

F2 Significativo 113 a 157

F3 Severo 158 a 206

F4 Devastador 207 a 260

F5 Increíble 261 a 318

por los tornados se miden usando la escala Fujita, que se muestra en la tabla. La velocidad del viento de un tornado es 200 millas por hora. Escribe y resuelve una desigualdad compuesta en la que se muestre cuántas millas por hora tendría que aumentar la velocidad del viento para que el tornado sea calificado como “devastador”, pero no como “increíble”.

44. Da una situación del mundo real que se pueda describir con una desigualdad compuesta. Escribe la desigualdad que describe tu situación.

45. Escríbelo ¿En qué se diferencian las gráficas de la desigualdad compuesta x < 3 Y x < 7 y la desigualdad compuesta x < 3 Ó x < 7? ¿En qué se parecen? Explica.

El elemento galio está en estado sólido a temperatura ambiente, pero se transforma en líquido a aproximadamente 30° C.El galio permanece en estado líquido hasta alcanzar una temperatura de aproximadamente 2204° C.

Química

29. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para el examen de la página 210. La banda de Jenna va a grabar un CD en un estudio de grabación. Pagarán $225 para usar el estudio durante un día y $80 por hora a los técnicos de sonido. Jenna tiene $200 y espera recaudar $350 más con la venta anticipada de los CD.

a. Explica cómo se puede usar la desigualdad 200 ≤ 225 + 80n ≤ 550 para hallar la cantidad de horas que Jenna y su banda pueden pagar para usar el estudio y a los técnicos de sonido.

b. Resuelve la desigualdad. ¿Hay números en el conjunto solución que no son razonables en esta situación?

c. ¿Cuánto dinero más necesita recaudar Jenna si quiere usar el estudio y el servicio de los técnicos de sonido durante 6 horas?

46. Razonamiento crítico Si una desigualdad compuesta no tiene solución, ¿es una desigualdad compuesta con O o con Y? Explica.

47. ¿Cuál de las siguientes opciones describe las soluciones de -x + 1 > 2 Ó x - 1 > 2?

todos los números reales mayores que 1 o menores que 3

todos los números reales mayores que 3 o menores que 1

todos los números reales mayores que -1 o menores que 3

todos los números reales mayores que 3 o menores que -1

48. ¿Cuál de las siguientes opciones es una gráfica de las soluciones de x - 3 < 2 Y x + 3 > 2?

49. ¿Qué desigualdad compuesta se muestra en la gráfica?

x ≤ 2 Ó x > 5 x ≤ 2 Ó x ≥ 5

x < 2 Ó x ≥ 5 x < 2 Ó x > 5

50. ¿Cuál de las siguientes opciones es una solución de x + 1 ≥ 3 Y x + 1 ≤ 3?

0 1 2 3

DESAFÍO Y EXTENSIÓNResuelve y representa gráficamente cada desigualdad compuesta.

51. 2c - 10 < 5 - 3c < 7c 52. 5p - 10 3.

56. Para la desigualdad compuesta x + 2 ≥ a Y x - 7 ≤ b, halla los valores de a y bpara los que la única solución es x = 1.

REPASO EN ESPIRALSimplifica cada expresión. Justifica cada paso. (Lección 1-7)

57. 4(x - 3) + 7 58. 5x - 4y - x + 3y 59. 6a - 3 (a - 1)

Genera pares ordenados para cada función para x = -2, -1, 0, 1 y 2. Representa gráficamente los pares ordenados y describe el patrón. (Lección 1-8)

60. y = -2x + 2 61. y = x2 - 1 62. y = x2 + (-2)


63. 3m - 5 < 1 64. 2 (x + 4) > 6 65. 11 ≤ 7 - 2x

Inténtalo

Decide si las tres longitudes dadas pueden formar un triángulo. Si no es así, explica.

1. 14 pies, 30 pies, 10 pies 2. 11 cm, 8 cm, 17 cm 3. 6 1_2

yd, 3 yd, 2 3_4

yd

Escribe una desigualdad compuesta para el rango de longitudes del tercer lado de cada triángulo.

4. 5. 6.

Desigualdad del triángulo

Los lados de este triángulo están rotulados a, b y c. Puedes usar la desigualdad del triángulo para escribir tres enunciados sobre el triángulo.

a + b > c a + c > b b + c > a

A menos que las tres desigualdades sean verdaderas, las longitudes a, b y c no pueden formar un triángulo.

¿Se puede formar un triángulo con tres lados de 25 cm, 15 cm y 5 cm de longitud?

a. 25 + 15 > 5 b. 25 + 5 > 15 c. 15 + 5 > 25 40 > 5 30 > 15 20 > 25

Una de las desigualdades es falsa, por lo tanto, las longitudes de los tres lados no forman un triángulo. La situación se muestra en la figura de la derecha.

Ejemplo 1

Dos lados de un triángulo miden 8 pies y 10 pies. ¿Cuál es el rango de longitudes del tercer lado?

Comienza por escribir tres enunciados sobre el triángulo. Usa x para la longitud del lado que no se conoce.

a. 8 + 10 > x b. 8 + x > 10 c. x + 10 > 8 18 > x 8 + x - 8 > 10 - 8 x + 10 - 10 > 8 - 10 x > 2 x > -2

Según se indica en la parte a, el tercer lado debe medir menos de 18 pies. Según se indica en la parte b,debe medir más de 2 pies. Una desigualdad en la que se muestra esto es 2 < x < 18.

Ejemplo 2

En cualquier triángulo, la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es mayor que la longitud del tercer lado.

Verdadero FalsoVerdadero

El tercer lado debe medir menos de 18 pies.

Esto no nos proporciona información útil.

El tercer lado debe medir más de 2 pies.

geometría

Ver Banco de destrezas, página S60

Conexión entre el álgebra y la geometría 209

Desigualdades de varios pasos y compuestasPúas de guitarra Cullen y su banda quieren grabar un CD de su música. El estudio de grabación cobra $450 por la grabación y $5 por cada CD. La banda debe gastar al menos $1000 en total en la grabación y en los CD.

1. Escribe una ecuación para el costo C de los CD en base a una cantidad c de CD.

2. Escribe una desigualdad que se pueda usar para determinar la cantidad mínima de CD que hay que grabar en este estudio para llegar al total de $1000.

3. Resuelve la desigualdad del Problema 2.

4. La banda encarga la cantidad mínima de CD que se halló en el Problema 3. Quieren vender los CD y ganar al menos la misma cantidad de dinero que gastaron en la grabación y en los CD. Escribe una desigualdad que se pueda resolver para determinar la cantidad mínima que la banda debe cobrar por sus CD.

5. Resuelve la desigualdad del Problema 4.

6. Si la banda tiene 30 CD más que la cantidad mínima que se halló en la parte c y cobra el precio mínimo que se halló en el Problema 5, ¿obtendrá una ganancia? Si es así, ¿cuál será la ganancia?

SECCIÓN 3B


¿Listo para seguir? 211

Prueba de las Lecciones 3-4 a 3-6

3-4 Cómo resolver desigualdades de dos pasos y de varios pasosResuelve cada desigualdad y representa gráficamente las soluciones.

1. 2x + 3 < 9 2. 3t - 2 > 10 3. 7 ≥ 1 - 6r


4. 2(x - 3) > -1 5. 1_3

a + 1_2

> 2_3

6. 2 2 - x > 4 (3 - 5) 7. 24b + 5 - 6b ≤ 41

8. -7(7 + x) ≥ -50 9. 11d - (-2) < -15d

10. 15 < 5 (m - 7) 11. 2 + (-6) > 8p

12. El promedio de los puntajes de los dos exámenes de Mindy debe ser al menos 92 para tener A en la clase. Mindy obtuvo 88 en el primer examen. ¿Qué puntajes podría obtener en el segundo examen para tener A en la clase?

3-5 Cómo resolver desigualdades con variables a ambos ladosResuelve cada desigualdad y representa gráficamente las soluciones.

13. 5x < 3x + 8 14. 6p - 3 > 9p 15. r - 8 ≥ 3r - 12


16. 3(y + 6) > 2 (y + 4) 17. 4(5 - g) ≥ g

18. 5(t + 3) < 5t - 3 19. -2(6 + h) < 3 (1 + h)

20. 4x < 4 (x - 1) 21. 3(1 - x) ≥ -3(x + 2)

22. 9d > 3 (1 - d) 23. 16(s - 2) ≤ 4(4s - 5)

24. 5q ≤ 2 (q + 3) 25. 3n > 5 (n - 2)

26. Phillip tiene $100 en el banco y deposita $18 por mes. Gil tiene $145 en el banco y deposita $15 por mes. ¿Durante cuántos meses Gil tendrá más dinero que Phillip en el banco?

3-6 Cómo resolver desigualdades compuestasResuelve cada desigualdad y representa gráficamente las soluciones.

27. -2 ≤ x + 3 < 9 28. m + 2 < -1 Ó m - 2 > 6

29. -3 ≥ x - 1 Y x - 5 > 2 30. -2 > r + 2 Ó r + 4 < 5

31. -2x > -8 Y x + 7 ≥ 6 32. 5 > y + 9 Ó y - 4 > 2

33. Se recomienda que cierto medicamento se almacene a temperaturas superiores a 32° F e inferiores a 70° F. Muestra las temperaturas aceptables para almacenar este medicamento con una desigualdad compuesta.

SECCIÓN 3B

EXTENSIÓNEXTENSIÓN


Cómo resolver desigualdades de valor absoluto

Cuando una desigualdad contiene una expresión de valor absoluto, se puede escribir como una desigualdad compuesta. La desigualdad ⎪x⎥ < 5 describe a todos los números reales cuya distancia desde cero es menor que 5 unidades. Las soluciones son todos los números entre -5 y 5, por lo tanto, ⎪x⎥ < 5 se puede escribir como -5 < x < 5, que es la desigualdad compuesta x > -5 Y x < 5.

CON PALABRAS CON NÚMEROS

En la desigualdad ⎪x⎥ < a (cuando a > 0) se pregunta “¿Qué valores de x tienen un valor absoluto menor que a?”. Las soluciones son los números entre -a y a.

⎪x⎥ < 5

-5 < x < 5

x > -5 Y x < 5

GRÁFICA EN ÁLGEBRA

⎪x⎥ < a (cuando a > 0)

-a < x < a

x > -a Y x < a

Las mismas propiedades se cumplen para las desigualdades con el símbolo ≤.

Desigualdades de valor absoluto que contienen <

1E J E M P L O Resolver desigualdades de valor absoluto que contienen <

Resuelve cada desigualdad y representa gráficamente las soluciones. Luego escribe las soluciones como una desigualdad compuesta.

A ⎪x⎥ + 3 < 12⎪x⎥ + 3 < 12 Como se suma 3 a ⎪x⎥ , resta 3 de ambos

lados para cancelar la suma. −−−−

- 3−−−

- 3⎪x⎥ < 9

Razona: “¿Qué números tienen un valor absoluto menor que 9?”

x está entre -9 y 9.

x > -9 Y x < 9 Escribe como desigualdad compuesta.

-9 < x < 9

B ⎪x⎥ - 7 < - 3⎪x⎥ - 7 < - 3 Como se resta 7 de ⎪x⎥ , suma 7 a ambos

lados para cancelar la resta. −−−−−

+ 7 −−−

+ 7⎪x⎥ < 4


x está entre -4 y 4.

x > -4 Y x < 4 Escríbe como desigualdad compuesta.

-4 < x < 4

ObjetivoResolver desigualdades con una variable que contienen expresiones de valor absoluto

De la misma manera que cuando resuelves ecuaciones de valor absoluto, cuando resuelves desigualdades de valor absoluto debes despejar la expresión de valor absoluto.

Capítulo 3 Extensión 213


C 2 ⎪x⎥ ≤ 62 ⎪x⎥_

2≤ 6_

2 Como ⎪x⎥ se multiplica por 2,

divide ambos lados entre 2.

⎪x⎥ ≤ 3


x está entre -3 y 3 inclusive.

x ≥ - 3 Y x ≤ 3 Escríbe como desigualdad compuesta.

-3 ≤ x ≤ 3

D ⎪x + 3⎥ - 4.5 ≤ 7.5

⎪x + 3⎥ - 4.5 ≤ 7.5 Como se resta 4.5 de ⎪x + 3⎥ , suma 4.5 a ambos lados.

−−−−−−−− + 4.5

−−−− + 4.5

⎪x + 3⎥ ≤ 12


x + 3 ≥ -12 Y x + 3 ≤ 12 x + 3 está entre -12 y 12 inclusive.

−−−−

- 3 −−−

- 3 −−−−

- 3 −−−

- 3x ≥ -15 Y x ≤ 9

x ≥ -15 Y x ≤ 9 Escríbe como desigualdad compuesta.

-15 ≤ x ≤ 9


1a. ⎪x⎥ + 12 < 15 1b. ⎪x⎥ - 6 < -5

La desigualdad ⎪x⎥ > 5 describe a todos los números reales cuya distancia desde cero es mayor que 5 unidades. Las soluciones son todos los números menores que -5 o mayores que 5. La desigualdad ⎪x⎥ > 5 se puede escribir como la desigualdad compuesta x < -5 Ó x > 5.

CON PALABRAS CON NÚMEROS

En la desigualdad ⎪x⎥ > a (cuando a > 0) se pregunta “¿Qué valores de x tienen un valor absoluto mayor que a?”. Las soluciones son los números menores que -a o mayores que a.

⎪x⎥ > 5x < -5 Ó x > 5

GRÁFICA EN ÁLGEBRA

⎪x⎥ > a (cuando a > 0)

x < -a Ó x > a

Las mismas propiedades se cumplen para las desigualdades con el símbolo ≥.

Desigualdades de valor absoluto que contienen >

En la primera gráfica del Ejemplo 1D, no se muestran las soluciones de la desigualdad original. Debes despejar xpara representar gráficamente las soluciones de la desigualdad.

2E J E M P L O Resolver desigualdades de valor absoluto que contienen >


A ⎪x⎥ + 5 > 14⎪x⎥ + 5 > 14 Como se suma 5 a ⎪x⎥ , resta 5 de ambos

−−−−−

- 5 −−−

- 5 lados para cancelar la suma.

⎪x⎥ > 9

Razona: “¿Qué números tienen un valor absoluto menor que -9 ó mayor que 9?”

x < -9 Ó x > 9 Escríbe como desigualdad compuesta.

B ⎪x⎥ - 20 > - 13⎪x⎥ - 20 > - 13 Como se resta 20 a ⎪x⎥ , suma 20 a ambos

−−−−−

+ 20 −−−

+ 20 lados para cancelar la resta.

⎪x⎥ > 7

Razona: “¿Qué números tienen un valor absoluto menor que 7 ó mayor que 7?”

x < -7 Ó x > 7 Escríbe como desigualdad compuesta.

C ⎪x - 8⎥ + 5 ≥ 11⎪x - 8⎥ + 5 ≥ 11 Como se suma 5 a ⎪x - 8⎥ , resta 5 de

−−−−−−−

- 5 −−−

- 5 ambos lados para cancelar la suma.

⎪x - 8⎥ ≥ 6

Razona: “¿Qué números tienen un valor absoluto menor que -6 ó mayor que 6?”

x - 8 ≤ -6 Ó x - 8 ≥ 6

x - 8 ≤ -6 Ó x - 8 ≥ 6 Resuelve las dos desigualdades.

−−−−

+ 8 −−−

+ 8−−−−

+ 8−−−

+ 8x ≤ 2 Ó x ≥ 14

x ≤ 2 Ó x ≥ 14 Escríbe como desigualdad compuesta.


2a. ⎪x⎥ + 10 ≥ 12

2b. ⎪x⎥ - 7 > -1

2c. ⎪x + 2 1_2⎥ + 1_

2 ≥ 4

En la primera gráfica del Ejemplo 2C, no se muestran las soluciones de la desigualdad original. Debes despejar xpara representar gráficamente las soluciones de la desigualdad.

EjerciciosEjerciciosEXTENSIÓN

Capítulo 3 Extensión 215

Resuelve cada desigualdad de valor absoluto y representa gráficamente las soluciones.

1. ⎪x⎥ - 5 ≤ -2 2. ⎪x⎥ - 6 > 16 3. ⎪x + 1⎥ - 7.8 < 6.2

4. ⎪x + 5⎥ - 4 1_2

≥ 7 1_2

5. ⎪3x⎥ + 2 < 8 6. ⎪x⎥ + 2.9 > 8.6

Escribe y resuelve una desigualdad de valor absoluto para cada expresión. Representa gráficamente las soluciones en una recta numérica.

7. todos los números cuyo valor absoluto es menor que o igual a 15

8. todos los números que tienen un valor absoluto mayor que 7

9. todos los números que están a menos de 3 unidades de 2 en la recta numérica

10. todos los números que están al menos a 2 unidades de 8 en la recta numérica

11. Halla todos los valores de x que hacen que ⎪x - 5⎥

a. sea menor que 11. b. sea al menos 4. c. sea menor que o igual a 8.

Indica si el valor dado de x es una solución de la desigualdad.

12. ⎪x⎥ > 3; x = -5 13. ⎪2x⎥ ≤ 8; x = 6

14. ⎪x - 1.2⎥ < 5.4; x = 6.6 15. ⎪x + 3 1_2

⎥ - 2 1_4

≥ 5 1_4

; x = -11

Escribe una desigualdad de valor absoluto para cada gráfica.

16.

17.

18.

19.

20. /////ANÁLISIS DE ERRORES///// Un estudiante resolvió la desigualdad de valor absoluto que se muestra a continuación. Halla y explica el o los errores que cometió en su trabajo. ¿Cuál es la respuesta correcta?

21. Escríbelo Describe cómo usar una desigualdad de valor absoluto para hallar todos los valores de una recta numérica que están dentro de un rango de 5 unidades con respecto a -6.

6. x > -3

7. p ≤ 4

8. -1 > t

9. r ≥ 9.5

10. 2 (3 - 5) < k

11. w < 3


12.

13.

14.


15. La temperatura debe ser al menos 72° F.

16. No más de 12 estudiantes estaban presentes.

17. Completar la actividad de laboratorio lleva menos de 30 minutos.

■ Representa gráficamente la desigualdad y > -1.

Dibuja un círculo vacío en -1.

Sombrea todos los números mayores que -1.

■ Escribe la desigualdad que se muestra en la gráfica.

n ≤ 3.5 Usa la variable n.La flecha apunta hacia la izquierda, por

lo tanto, usa < ó ≤. El círculo lleno significa que 3.5 es una solución, por lo tanto, usa ≤.

■ Escribe una desigualdad para la situación y representa gráficamente las soluciones.

Las personas que solicitan una licencia de conducir deben tener al menos 16 años de edad.

la edad debe ser al menos 16 años

e ≥ 16

3-1 Cómo representar y escribir desigualdades (págs. 168–173)

EJERCICIOSE J E M P L O S

Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.

1. Un(a) −−−−− ? es un enunciado matemático que dice que dos cantidades no son iguales.

2. Los números que son soluciones de cualquiera de las desigualdades de una desigualdad compuesta son el/la −−−−− ? .

3. Un enunciado que se forma al combinar dos desigualdades simples con las palabras Y u O es un(a) −−−−− ? .

4. Los números que son soluciones de ambas desigualdades de una desigualdad compuesta son el/la −−−−− ? .

5. Cualquier valor que hace que la desigualdad sea verdadera es un(a) −−−−− ? .

desigualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

desigualdad compuesta . . . . . . 202

intersección . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

solución de una desigualdad . . 168

unión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

216

Vocabulario

18. t + 3 < 10 19. k - 7 ≤ -5

20. -1 < m + 4 21. x + 2.3 ≥ 6.8

22. w - 3 < 6.5 23. 4 > a - 1

24. h - 1_4

< 3_4

25. 5 > 7 + v

26. Tammy quiere correr al menos 10 millas por semana. Hasta ahora corrió 4.5 millas esta semana. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar cuántas millas más debe correr Tammy esta semana para cumplir su objetivo.

27. Rob tiene una tarjeta de regalo de $50. Hasta ahora ha escogido una camisa que cuesta $32. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar la cantidad de dinero que Rob podría gastar sin sobrepasar el límite de la tarjeta de regalo.


■ x + 6 > 2

x + 6 > 2 Como se suma 6 a x,resta 6 de ambos lados.

−−−− - 6

−−− - 6

x > -4

■ n - 1.3 < 3.2

n - 1.3 < 3.2 Como se resta 1.3 de xsuma 1.3 a ambos lados.

−−−−− + 1.3

−−−− + 1.3

n < 4.5

3-2 Cómo resolver desigualdades mediante la suma o la resta (págs. 174–179)


3-3 Cómo resolver desigualdades mediante la multiplicación o la división (págs. 180–185)



28. 3a ≤ 15

29. -18 < 6t

30. p_4

> 2

31. 2_5

x ≤ -10

32. -3n < -18

33. g_

-2 > 6

34. -2k < 14

35. -3 > 1_3

r

36. 27 < -9h

37. -0.4g > -1

38. ¿Cuáles son las cantidades de cuadernos que se pueden comprar con $10 si cada cuaderno cuesta $1.39?

39. La clase del último año vende cordones con insignias para recaudar fondos. La ganancia por cada cordón es $0.75. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar la cantidad de cordones que la clase debe vender para obtener una ganancia de al menos $250.

■ Resuelve p___

-3≤ 6 y representa gráficamente

las soluciones.

p_

-3 ≤ 6

Como p se divide entre -3,multiplica ambos lados por -3.

-3 · p_

-3 ≥ -3 · 6

p ≥ -18 Cambia ≤ por ≥.

■ ¿Qué cantidades de pizzas que cuestan $5.50 cada una se pueden comprar con $30?

Sea c la cantidad de pizzas que se pueden comprar.

$5.50 por la cantidad de pizzas

es como máximo $30.

5.50 · c ≤ 30

5.50c ≤ 30 Como c se multiplica por 5.50, divide ambos lados entre 5.50. 5.50c_

5.50≤ 30_

5.50

c ≤ 5 5_11

Sólo se puede comprar una cantidad cabal de pizzas, por lo tanto, se pueden comprar 0, 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 pizzas.

Guía de estudio: Repaso 217

40. 3x + 4 < 19

41. 7 ≤ 2t - 5

42. m + 3_2

> -4

43. 9 - 3r > -9

44. 5 - 4p_

7 < 3

45. 5 < 2g + 19

46. 2 (x + 5) < 8

47. -4(2 - 5) > (-3) 2 - h

48. 1_5

x + 1_2

> 4_5

49. 0.5 (b - 2) ≤ 4

50. 1_3

y - 1_2

> 2_3

51. 6 - 0.2n < 9

52. La empresa de cable Carl cobra $55 por mes de servicio más $4 por cada película de pago por evento. La empresa Teleview cobra $110 por mes y no cobra por las películas. ¿Para qué cantidad de películas el costo de la empresa de cable Carl es menor que el de Teleview?

Usa la tabla para el Ejercicio 53.

Mes Saldo de la cuenta ($)

1 245

2 275

3 305

4 335

53. Si el patrón continúa, ¿durante cuántos meses el saldo de la cuenta será menor que $1000?

54. En la empresa A un vendedor cobra un salario anual de $42,000. En la empresa B un empleado con un puesto similar cobra un salario de $39,000 más 1% de comisión sobre las ventas anuales. ¿Para qué cantidad de ventas anuales el salario de la empresa A es mayor que el salario y la comisión de la empresa B?

Resuelve cada desigualdad y representa gráficamente la solución.

■ 18 + 3t > -12

18 + 3t > -12 Como se suma 18 a 3t, resta 18 de ambos lados.

−−−−−− - 18

−−− - 18

3t > -30

3t_3

> -30_3

Como t se multiplica por

3, divide ambos lados entre 3. t > -10

■ 3 2 - 5 ≤ 2 (1 + x)32 - 5 ≤ 2(1 + x)

Simplifica el lado izquierdo usando el orden de las operaciones.

9 - 5 ≤ 2 (1 + x) 4 ≤ 2(1 + x) Distribuye 2 en el

lado derecho. 4 ≤ 2(1) + 2(x)

4 ≤ 2 + 2x Como se suma 2 a 2x, resta 2 de ambos lados.

−−− - 2

−−−−−− - 2

2 ≤ 2x

2_2

≤ 2x_2

Como x se multiplica por

2, divide ambos lados entre 2. 1 ≤ x

■ La empresa de alquiler de automóviles A cobra $45 por día por alquilar cierto automóvil. La empresa B cobra $30 por día más $0.20 por milla por alquilar un automóvil similar. ¿Para cuántas millas el costo de la compañía B es mayor que el costo de la compañía A?

Sea m la cantidad de millas recorridas por día.

$30 más $0.20 por m es más de $45.

30 + 0.20 · m > 45

30 + 0.20m > 45 Como se suma 30 a 0.20, resta 30 de ambos lados.

−−−−−−−−− - 30

−−− - 30

0.20m > 15

0.20m_0.20

> 15_0.20

Como m se multiplica por 0.20, divide ambos lados entre 0.20. m > 75

El costo de la compañía B es mayor para más de 75 millas.

3-4 Cómo resolver desigualdades de dos pasos y de varios pasos (págs. 188–193)

Guía de estudio: Repaso 219

Resuelve la desigualdad y representa gráficamente las soluciones.

55. 5 + 2m < -3m 56. y ≤ 6 + 4y

57. 4c - 7 > 9c + 8 58. -3(2 - q) ≥ 6 (q + 1)59. 2 (5 - x) < 3x 60. 3.5t - 1.8 < 1.6t + 3.9


61. d - 2 < d - 4 62. 2 (1 - x) > -2(1 + x)

63. 4 (1 - p) < 4 (2 + p) 64. 3w + 1 > 3 (w - 1)

65. 5 (4 - k) < 5k 66. 3 (c + 1) > 3c + 5

67. Hanna tiene una cuenta de ahorros con un saldo de $210 y deposita $16 por mes. Faith tiene una cuenta de ahorros con un saldo de $175 y deposita $20 por mes. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar la cantidad de meses que el saldo de la cuenta de Hanna será mayor que el saldo de la cuenta de Faith.

■ Resuelve b + 16 < 3b y representa gráficamente las soluciones.

b + 16 > 3b Resta b de ambos lados para que el coeficiente de b sea positivo.

−−−−−− - b −−−- b 16 > 2b

16_2

> 2b_2

Como b se multiplica por 2, divide ambos lados entre 2. 8 >b


■ 3(1 - k) > 4 - 3k

3(1) -3(k) > 4 - 3k 3 - 3k > 4 - 3k −−−−− + 3k −−−−− + 3k Suma 3k a ambos lados. 3 > 4 El enunciado es falso.

No hay soluciones.

■ 12x - 1 > 12x - 19

−−−−−− - 12x

−−−−−−− - 12x

Resta 12x de ambos lados.

-1 > -19 El enunciado es verdadero.

Todos los números reales son soluciones.

3-5 Cómo resolver desigualdades con variables a ambos lados (págs. 194–200)


Distribuye el 3.


68. -4 < t + 6 < 10 69. -8 < k - 2 ≤ 5

70. -3 + r > 4 Ó r + 1 < -1

71. n - 4 > 5 Y 2 > n + 3

72. p + 8 > 6 Y 12 ≥ p + 7

73. 3 < s + 9 Ó 1 > s - 4

74. La temperatura máxima de un día fue 84° F y la mínima fue 68° F. Representa las temperaturas del día con una desigualdad compuesta.

75. En la tabla se muestran fórmulas para la frecuencia cardíaca recomendada para una persona de a años de edad mientras hace ejercicio. Escribe y resuelve una desigualdad compuesta para determinar el rango de frecuencia cardíaca de una persona de 16 años de edad.

Rango recomendado de frecuencia cardíaca

Límite inferior 0.5 × (220 - a)

Límite superior 0.9 × (220 - a)


■ -3 < c + 5 ≤ 11 Como se suma 5 a c, resta 5 de cada parte de la desigualdad.

−−− - 5

−−−− - 5

−−−- 5

-8 < c ≤ 6

Representagráficamentec > -8 y c ≤ 6.

■ -2 + t ≥ 2 Ó t + 3 < 1

−−− + 2

−−− + 2

−−−− - 3

−−− - 3 Resuelve las

desigualdadessimples.

t ≥ 4 Ó t < -2

Representagráficamentet ≥ 4 y t < -2.

Representagráficamentela unión.

3-6 Cómo resolver desigualdades compuestas (págs. 202–208)


Representagráficamente la intersección.

Describe las soluciones de cada desigualdad con palabras.

1. -6 ≤ m 2. 3t > 12 3. -x ≥ 2 4. 2 + b ≤ 10


5. b > -3 6. 2.5 < c 7. y ≤ - √ � 25 8. 3 - (4 + 7) ≥ h


9. 10.

Escribe una desigualdad para la situación y representa gráficamente las soluciones.

11. Madison debe correr una milla en no más de 9 minutos para clasificarse para la carrera.


12. d - 5 > -7 13. f + 4 < -3 14. 4.5 ≥ s + 3.2 15. g + (-2) ≤ 9

16. Los estudiantes necesitan al menos 75 horas de servicio voluntario para cumplir los requisitos de su graduación. Samir ya completó 48 horas. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar cuántas horas más necesita completar.


17. -2c ≤ 2 18. 3 > k_2

19. 4_5

x ≤ -8 20. b_3

> -7

21. Marco necesita comprar gasolina súper para su automóvil. Tiene Precio de la gasolina ($)

Común Superior Súper

2.05 2.12 2.25

$20 en la billetera. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar cuántos galones de gasolina puede comprar Marco.


22. 3x - 8 < 4 23. -2(c - 3) > 4 24. 5 ≤ 3_4

n - 24 25. 3 - 2a ≤ -15 + (-9)


26. 2k - 6 > 3k + 2 27. 2(5 - f ) ≤ f + 12 28. 3_2

d ≤ - 1_2

d + 6

29. Dion necesita alquilar una camioneta por un día. La empresa A cobra $75 más $0.25 por cada milla recorrida. La empresa B cobra $50 más $0.75 por milla. ¿Para cuántas millas la empresa B es más barata que la empresa A?


30. -1 ≤ x - 3 < 3 31. t + 7 < 3 Ó t - 1 > 4 32. d - 2 < 5 Y d + 1 ≥ 7

33. El instructor de la escuela de conductores pidió a Lina que se mantuviera dentro de un rango de 2 millas con respecto a los límites de velocidad establecidos. La carretera por la que va tiene un límite de velocidad de 45 mi/h. Muestra las velocidades aceptables v de Lina con una desigualdad compuesta.

Práctica para el examen de ingreso a la universidad 221

ENFOQUE EN LAS RESPUESTAS DE LOS ESTUDIANTES A LAS PREGUNTAS DE SAT

Diez preguntas del examen SAT requieren que escribas tu respuesta en una cuadrícula especial como la que se muestra. No tienes que escribir las respuestas en las casillas de arriba de la cuadrícula, pero si lo haces puedes evitar errores al completar la cuadrícula. Debes llenar los círculos correctamente para recibir puntaje.

Te recomendamos que tomes el tiempo que te lleva hacer este examen de práctica. Deberías tardar aproximadamente 9 minutos en terminar.

1. En 2005, el envío de una carta de tamaño estándar por correo de primera clase costaba $0.37 para una carta que pesaba 1 onza o menos y $0.23 por cada onza adicional. ¿Cuánto costaba, en dólares, enviar una carta de tamaño estándar que pesaba 3 onzas?

2. Si p = q - 2 y q__3

= 9, ¿cuál es el valor posible de p?

3. Da el máximo valor posible de x si12 - 3 (x + 1) ≤ 1__

2 (3 - 5) .

4. Da el mínimo valor posible de x si 2x + y ≥ 7x - 9 e y = -3.

5. ¿Para qué valor entero de x es 2x – 9 < 5 y x – 1 > 4?

6. ¿Qué valor mínimo de x satisface la desigualdad z - 7.3 ≥ 4.1?

7. Para tener derecho a recibir ayuda financiera, Alisa tiene que trabajar al menos 15 horas por semana en un programa de trabajo y estudio. Quiere dedicar al estudio al menos 5 horas más de las que dedica al trabajo por semana. ¿Qué cantidad mínima de horas por día (de lunes a viernes) debe estudiar para alcanzar su objetivo y tener derecho a recibir ayuda financiera?

8. Para todos los números reales a y b, define la operación # como se muestra a continuación:

a # b = 2a – bDados a = 3 y a # b = 1, ¿cuál es el valor de b?

No puedes escribir un cero en la primera columna de la cuadrícula. Esto es para alentarte a que des una respuesta más precisa cuando tengas que redondear. Por ejemplo, 1__

16

escrito como decimal es 0.0625. En la cuadrícula, debe escribirse como .063 en lugar de 0.06.

9 9 9 98 8 8 87 7 7 76 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1

0 0 0


Respuesta breve: Comprende el puntaje de las respuestas brevesPara responder a una pregunta de respuesta breve por completo, debes mostrar cómo resolviste el problema y explicar tu respuesta. Las preguntas de respuesta breve se califican usando un criterio de puntaje de 2 puntos. A continuación se da un ejemplo del criterio de puntaje.

Respuesta breve Una empresa en línea ofrece envío gratuito si Criterio de puntaje:

2 puntos: El estudiante escribe y resuelve una desigualdad de manera correcta y muestra todo su trabajo. El estudiante define la variable, responde a la pregunta con un enunciado completo y da una explicación.

1 punto: El estudiante escribe y resuelve una desigualdad de manera correcta pero no muestra su trabajo, no define la variable o no da una explicación.

1 punto: El estudiante escribe y resuelve una desigualdad pero da una respuesta incorrecta. El estudiante muestra todo su trabajo y da una explicación de la respuesta.

0 puntos: El estudiante no responde o da una solución pero sin mostrar su trabajo ni explicar la respuesta.

el costo del pedido es al menos $35. Hasta ahora, tu pedido es por un total de $26.50. Muestra con una desigualdad cuánto más debes gastar para tener derecho al envío gratuito. Resuelve la desigualdad y explica qué significa tu respuesta.

Respuesta de 2 puntos:

El estudiante escribió y resolvió una desigualdad de manera correcta.El estudiante definió la variable usada en la desigualdad, respondió a la pregunta con una oración completa y mostró una explicacióndel trabajo.

Respuesta de 1 punto

El estudiante no definió la variable.El estudiante dio una respuesta correcta, pero el símbolo de desigualdad que se muestra en su trabajo es incorrecto.No se dio ninguna explicación.

Respuesta de 0 puntos:El estudiante dio una respuesta que satisface el problema, pero no mostró su trabajo ni diouna explicación.

Ayuda para examen 223

Lee cada ejemplo y responde las preguntas usando el criterio de puntaje que se muestra a continuación.

Criterio de puntaje:

2 puntos: El estudiante demuestra que comprende el concepto por completo, responde a la pregunta de manera correcta y da una explicación completa.

1 punto: El estudiante responde a la pregunta de manera correcta pero no muestra todo su trabajo o no da una explicación.

1 punto: El estudiante comete errores menores que resultan en una resolución incorrecta pero muestra que comprende el concepto y da una explicación.

0 puntos: El estudiante da una respuesta pero no muestra su trabajo ni da una explicación o no da una respuesta.

Ejemplo ARespuesta breve Escribe una situación del mundo real que se pueda representar con la desigualdad 25s - 75 ≥ 250. Halla s y explica cómo se relaciona el valor de s con tu situación.

Respuesta del estudiante:

Un pintor alquila un puesto en la feria del condado a $75. El artista vende sus pinturas a $25 cada una. Si obtiene una ganancia de al menos $250, podrá comprar un caballete nuevo.

El artista tiene que vender al menos 13 pinturas.

1. ¿Qué puntaje merece la respuesta del estudiante? Explica tu razonamiento.

2. ¿Qué información adicional, si la hay, se debería incluir en la respuesta para recibir el puntaje máximo?

Lee con atención las preguntas de respuesta breve del examen. Si se te permite escribir en el cuadernillo del examen, subraya o encierra en un círculo las partes de la pregunta que te indican qué incluir en la respuesta. Asegúrate de explicar cómo obtienes tu respuesta con enunciados completos.

Ejemplo BRespuesta breve ¿En qué se diferencian las soluciones de 3s - 10 < 15 - 2s y -34 + 9s ≤ 4s - 9? ¿En qué se parecen? Incluye una gráfica en tu explicación.




Ejemplo CRespuesta breve Explica la diferencia entre la solución de la ecuación x - 6 = 2x + 9 y las soluciones de la desigualdad x - 6 < 2x + 9.


La solución de la ecuación es x = -15 y la de la desigualdad es x > -15. La ecuación es verdadera sólo cuando x es igual a -15.La desigualdad es verdadera para todos los valores mayores que -15.

Opción múltiple1. ¿Qué expresión algebraica significa “5 menos que y”?

5 - y

y - 5

5 < y

5 ÷ y

2. ¿Qué opción es una expresión simplificada de 5 + 2 (x - 5) ?

2x

2x + 5

2x - 5

7x - 35

3. Si t + 8 = 2, halla el valor de 2t.

-12

-6

12

20

4. La longitud de un rectángulo es 2(x + 1) metros y el perímetro es 60 metros. Halla la longitud del rectángulo.

12 metros

26 metros

28 metros

56 metros

5. Samantha depositó cierta cantidad de dinero en su cuenta en junio. Depositó el doble de esa cantidad en agosto. Samantha tiene menos de $600 en su cuenta. Si no hizo más retiros ni depósitos, ¿qué desigualdad podría usarse para determinar la cantidad máxima que Samantha podría haber depositado en junio?

2x < 600

2x > 600

3x < 600

3x > 600

EVALUACIÓN ACUMULATIVA, CAPÍTULOS 1–3

6. ¿Qué proporción se podría usar para determinar la razón de las áreas de estos rectángulos semejantes?

10 cm

4 cm

15 cm

6 cm

2_3

2_5

4_9

4_25

7. ¿Para qué desigualdad es -2 una solución?

2x < -4

-2x < 4

-2x > -4

-2x < -4

8. ¿En qué gráfica se muestran las soluciones de -2 (1 - x) < 3 (x - 2) ?

0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

9. ¿Qué desigualdad compuesta no tiene solución?

x > 1 Ó x < -2

x < 1 Y x > -2

x < 1 Ó x < -2

x > 1 Y x < -2


CLAVE: MA7 TestPrep

Para comprobar tu respuesta, usa un método distinto del que usaste originalmente para resolver el problema. Si cometiste un error la primera vez, no es probable que cometas el mismo error al resolver el problema de una manera diferente.

10. ¿Qué desigualdad tiene las mismas soluciones que p < -2?

p + 1 < -2

p + 4 < 2

2p + 1 < -4

3p < -12

11. ¿Cuál es el mayor entero que es solución de 5 - 3m > 11?

0

-1

-2

-3

Respuesta gráfica 12. La suma de las medidas de dos lados cualesquiera de

un triángulo debe ser mayor que la medida del tercer lado. ¿Cuál es el mayor entero que puede ser un valor de x?

13. Después de 2 años, el interés simple que se pagó por una inversión de $2500 fue $175. ¿Cuál fue la tasa de interés?

14. El puntaje de Amy en su tercer juego de bolos fue 10 puntos menor que el puntaje del primer juego y 5 puntos mayor que el puntaje del segundo juego. El total de puntos de los tres juegos fue no más de 275. ¿Cuál es la mayor cantidad de puntos que Amy pudo haber anotado en el primer juego?

15. Trevor necesita obtener 93 en su segunda prueba para lograr un promedio de 90. ¿Qué puntaje obtuvo Trevor en la primera prueba?

16. El radio de un círculo se puede determinar

mediante la fórmula r = √ � A__π

. ¿Cuál es la longitud en metros del radio de un círculo que tiene un área

de 314 metros cuadrados? (Usa 3.14 para π).

Respuesta breve 17. Escribe dos desigualdades que tengan la misma

solución que n > 3 para que

a. la primera desigualdad contenga el símbolo >y requiera el uso de la suma o la resta para resolverla.

b. la segunda desigualdad contenga el símbolo < y requiera el uso de la multiplicación o la división para resolverla.

18. Alison tiene el doble de videojuegos que Kyle. Maurice tiene 5 videojuegos más que Alison. La cantidad total de videojuegos es menor que 40.

a. Representa esta situación con una desigualdad.

b. Resuelve la desigualdad para determinar la mayor cantidad de videojuegos que podría tener Maurice.

19. La tienda de comestibles Donna envía almuerzos a $7 por persona más una tarifa de envío de $35. Almuerzos Larry envía almuerzos a $11 por persona.

a. Representa con una expresión el costo de xalmuerzos de la tienda de comestibles Donna. Representa con una expresión el costo de pedir xalmuerzos de Almuerzos Larry.

b. Representa con una desigualdad la cantidad de almuerzos para los que el costo de Almuerzos Larry es menor que el costo de la tienda de comestibles Donna.

c. Resuelve la desigualdad y explica qué significa la respuesta. ¿Qué restaurante cobra menos por un pedido de 10 almuerzos?

Respuesta desarrollada 20. Aleya tiene dos oportunidades de trabajo. La

empresa A le ofreció un salario anual de $31,000. La empresa B le ofreció una posición similar con un salario anual de $27,000 más 2.5% de comisión sobre el total de ventas anuales.

a. Sea x el total de ventas anuales de Aleya en la empresa B. Representa con una expresión el ingreso total después de un año en la empresa B.

b. Usa tu expresión de la parte a para escribir una desigualdad que se pueda resolver para determinar la cantidad por ventas para las que el ingreso total en la empresa A sería mayor que en la empresa B.

c. Resuelve la desigualdad de la parte b y explica el significado de la solución en relación con la decisión de Aleya de trabajar en la empresa A o en la empresa B.

d. ¿Cuánto más que el salario de la empresa A ganaría Aleya después de un año en la empresa B si el total de sus ventas anuales fuera $200,000?

1–3 225Evaluación acumulativa, Capítulos 1–3 225

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