cap 7 desigualdades

Moisés Villena Muñoz Desigualdades

152

7

≥≤><

7.1 LEYES 7.2 DESIGUALDADES LINEALES 7.3 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS 7.4 DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO 7.5 PROBLEMAS.

Los términos "a lo mucho" y "por lo menos" ya nos daban una idea de las desigualdades o inecuaciones, la relación de orden de los números, también.

.


153

OBJETIVOS: SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE: Resuelva desigualdades: lineales, cuadráticas, con fracciones, con valor absoluto. Use esquemas críticos para resolver problemas que requieren plantear desigualdades

Las desigualdades también como las ecuaciones constan de dos miembros, pero dichos miembros están separados por los símbolos de MAYOR QUÉ, MENOR QUÉ, MAYOR O IGUAL QUÉ, MENOR O IGUAL QUÉ. Esquemáticamente sería:

A los términos de MAYOR QUÉ y MENOR QUÉ, se los puede mencionar en sentido relativo, es decir se puede decir que cinco es MAYOR QUE dos ( 25 > ) o dos MENOR QUE cinco ( 52 < )

7.1 LEYES

1. Si se suma (resta) una misma cantidad a ambos miembros de una desigualdad, esta no se altera. Es decir: Si ba > entonces cbca +>+ para Rc∈∀

Ejemplo

Si 25 > entonces 3235 +>+ y también 3235 −>−

2. Si se multiplica (divide) una misma cantidad positiva a ambos miembros de una desigualdad, esta no se altera. Es decir: Si ba > entonces cbca ⋅>⋅ para

+∈∀ Rc Ejemplo

Si 25 > entonces )3(2)3(5 >

EXPRESION ALGEBRAICA

≥≤><

EXPRESION ALGEBRAICA


154

3. En cambio, si se multiplica (divide) a ambos miembros una misma cantidad negativa, la desigualdad se invierte (cambia de sentido). Es decir: Si ba > entonces

cbca ⋅<⋅ para −∈∀ Rc Ejemplo

Si 25 > entonces 615)3(2)3(5 −<−≡−<−

Por lo tanto, cuando se cambia de signo a ambos miembros de una desigualdad se debe cambiar el sentido de la desigualdad porque lo que se ha hecho es multiplicar por 1− a ambos miembros.

Ejemplo

Si 25 > entonces [ ] [ ]252)1(5)1( −<−≡−<−

Bien, ahora analicemos el desarrollo de la solución de diferentes tipos de desigualdades.

El conjunto solución de una desigualdad casi siempre es un intervalo. Pero puede ocurrir otros casos.

7.2 DESIGUALDADES LINEALES

El asunto aquí es muy sencillo. Una vez simplificadas las expresiones algebraicas que definen a la desigualdad, ésta presenta una las siguientes formas: 0>+ bax , 0<+ bax , 0≥+ bax , 0≤+ bax .

Ejemplo

Dada la desigualdad: ( )31

612

21

−<−−xxx donde IRx∈ entonces el INTERVALO

SOLUCIÓN es: a) [ ]C0,1− b) )1,( −−∞ c)) )0,1(− d) ),1( +∞− e) }4{−IR SOLUCIÓN: Un método sería, primero multiplicar cada término de ambos miembros por su 6:... mcm para eliminar todos los denominadores y luego despejamos “ x ”.


155

( )

123

2636

26)12(331

612

216

−>≡<+−≡

−<−−≡

−<−−≡

−<−−

xx

xxx

xxxxxx

Lo cual quiere decir que los números mayores que 1− satisfacen la desigualdad dada. ENTONCES la opción “d” es la correcta

Ejercicio propuesto 7.1

1. Encuentre el conjunto solución para 31

234

4

1

312 3

5−

+≤

+−

− xxx , si IRx∈

7.3 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS Las desigualdades cuadráticas, una vez simplificadas, tienen una

expresión de la forma:

Lo cual nos hace pensar que, de ser posible, una vez expresado el trinomio en sus factores, tendríamos:

Suponga que 1x y 2x son diferentes. Con la ley de los signos, concluiríamos en la solución. Sería cuestión de seleccionar el intervalo donde el producto sea mayor que cero (positivo), menor que cero (negativo), mayor o igual que cero, menor o igual que cero. Observe que:

( /////////////////// -1

02

≤≥<>

++ cbxax

( )( )

( )( )

+−−+

<−−−−++

>−−

0

0

21

21

xxxx

xxxx

( )( ) 021

≤≥<>

−− xxxx

Un producto de dos términos es positivo, cuando los factores tienen el mismo signo. Un producto de dos términos es negativo cuando los factores tienen signos diferentes.


156

En la recta numérica podemos representar el signo resultante del producto. Primero ubicamos los valores críticos de x , valores para los cuales cada factor se hace cero. Estos puntos sirven de referencia para definir los intervalos a considerar. Es decir:

Para [ ]2xxx >∀ (a la derecha de 2x ) tenemos que ( ) ( ) 00 21 >−∧>− xxxx ; por tanto ( )( ) 021 >−− xxxx Para [ ]21 xxxx <<∀ (entre 1x y 2x ) tenemos que ( ) ( ) 00 21 <−∧>− xxxx ; por tanto ( )( ) 021 <−− xxxx Para [ ]1xxx <∀ (a la izquierda de 1x ) tenemos que ( ) ( ) 00 21 <−∧<− xxxx ; por tanto ( )( ) 021 >−− xxxx

21 xx++++++++++−−−−−−−−−−−−−+++++++++++

( )( )21 xxxx −− ( )( )21 xxxx −− ( )( )21 xxxx −−

2xx > 21 xxx << 1xx <


157

Ejemplo 1

Para la desigualdad 06:)( 2 >−− xxxp Factorizando tenemos: 0)2)(3( >+− xx . Queremos saber ¿para qué valores de “ x “ el producto )2)(3( +− xx es positivo? Ejemplo 2 Si tuviésemos la desigualdad en forma estricta, es decir: 0)2)(3(:)( ≥+− xxxp Lo mismo que lo anterior, pero en el conjunto solución habrá que incluir a 2− y a 3 porque se quiere también que la expresión sea cero; entonces:

( )CxAp 3,2),3[]2,()( −=∞∪−−∞=

Ejemplo 3 En cambio, si tuviésemos la desigualdad en sentido negativo 0)2)(3(:)( <+− xxxp Ahora escogemos el intervalo donde el producto )2)(3( +− xx es negativo.

Entonces su conjunto solución sería: )3,2()( −=xAp

+

−+/////////////////////

-2 3

PASOS:

1. Ubique los puntos críticos 2− y 3 en la recta numérica. Los cuales definen los intervalos generados.

2. Reemplace a “ x ” en la expresión )2)(3( +− xx por un número cualquiera

mayor a 3 , por un número cualquiera entre 2− y 3 ; y por un número cualquiera menor a 2− , para determinar el signo resultante en todos los intervalos.

3. Escoga los intervalos donde el producto es positivo.

Por tanto:

[ ]CxAp 3,2),3()2,()( −=∞∪−−∞=

++++++++

−−−−−−−−

++++++++//////////////////////////////////

)2)(3( +− xx

-2 3

)2)(3( +− xx )2)(3( +− xx 3>x

>3 32 <<− x 2−<x


158

Ejemplo 4 Veamos ahora , qué pasa si tuviésemos la desigualdad en esta forma: 0)2)(3(:)( >+− xxxp Para encontrar el conjunto solución disponemos de los siguientes dos métodos: PRIMER MÉTODO Directamente, dándole valores a “ x ”, números en los respectivos intervalos, tenemos que el signo del producto

)2)(3( +− xx es: SEGUNDO MÉTODO Cambiando de signo a la desigualdad 0)2)(3(0)2)(3( <+−≡<+−− xxxx Buscamos, ahora el intervalo donde este producto sea negativo

Ejemplo 5

Sea la desigualdad: 032162 2 >+− xx

Dividiendo para 2 y factorizando tenemos:

0)4)(4(0)4(

0168

032162

2

2

2

>−−>−

>+−

>+−

xxx

xx

xx

Observe que:

PREGUNTA: ¿Cómo se obtendrían los conjuntos solución de las desigualdades:

( )( )( ) 0532 >−−+ xxx y ( )( ) ( ) 0532 2 >−−+ xxx ? ¿Qué analogía hay con lo explicado anteriormente?

Cuando tenemos desigualdades con fracciones, procedemos de igual

manera que para producto, ya que la ley de los signos también es válida para la división. Sólo debemos tener en cuenta que la división entre cero no se define.

4/////////////////////////////

+

+

Por tanto su conjunto solución es: { } ( ) ( )∞∪−∞=−= ,44,4)( IRxAp

−−−−−

++++−−−−−/////////////////////

-2 3

Escogemos el intervalo donde el producto )2)(3( +− xx sea positivo. Entonces el

conjunto solución sería: )3,2()( −=xAp

)2)(3( +− xx )2)(3( +− xx )2)(3( +− xx

+

−+/////////////////////

-2 3

Entonces su conjunto solución sería: )3,2()( −=xAp

)2)(3( +− xx

)2)(3( +− xx )2)(3( +− xx


159

Ejemplo 1

Consideremos la desigualdad 023:)( ≥

+−

xxxp

Queremos saber para que valores de “ x ”, el cociente de 23

+−

xx

es positivo o cero. Entonces sobre una recta

numérica representamos los puntos críticos 2− y 3 , y luego determinamos el signo del cociente dándole valores a “ x ”, números mayores a 3 , números entre 2− y 3 ; y finalmente, números menores a 2− .

PREGUNTA: ¿Cómo proceder con la desigualdad 123≥

+−

xx

?

Ejemplo 2

Finalmente consideremos la desigualdad 034

22

2≥

+−

−−

xx

xx

Factorizando numerador y denominador tenemos 0)1)(3()1)(2(≥

−−+−

xxxx

Necesitamos determinar el intervalo en el cual tomar x , de tal forma que nos garantice que la expresión sea positiva o cero. Para lo cual, en la recta numérica ubicamos los valores críticos. En los intervalos que se generan, evalúe “ x ” para un número para cualquiera, y determine el signo resultante de la expresión. Lo cual le resultará:

Se ha observado que:

Si los valores críticos son diferentes entonces el signo resultante de la expresión será

alternado en los intervalos que se generen.

+

3211////////////////////////////////

−

+−

+−

+

Por lo tanto: ( ] ( ] ( )∞∪∪−−∞= ,32,11,)(xAp

32///////////////////////////////////////////////////////

−

+

−

+

Por tanto: [ )

[ )CxAp

xAp

3,2)(

,3)2,()(

−=

∞∪−−∞=

NOTE QUE no escogemos a 2− porque se produciría división entre cero para este valor de x .

23

+−

xx

23

+−

xx

23

+−

xx


160

Ejercicios Propuestos 7.2 1. Si Re = R. Encuentre el conjunto solución de las siguientes desigualdades:

a) 0652 <−+ xx b) xx 562 <+ c) 092 >+− x

d) ( ) 01 2 >+xx e) 22 ≤+ xx

2. El conjunto solución de la siguiente desigualdad: ,035

2≥

+

−

xxx Re = R. Es el intervalo:

a) ( ) ( ]503 ,, ∪−∞− b) ( ) [ )∞∪− ,, 503 c) ( ] [ )∞∪− ,, 503 d) [ ) [ )∞∪− ,, 503 e) [ ] ( )∞∪− ,, 503

3. Dada la desigualdad 02

221 2

≥−

−

x

xx, donde ( )2=¬ x y IRx∈ , entonces el CONJUNTO SOLUCIÓN

es el intervalo: a) ( ] [ )∞∪∞− ,, 40 b) ( ] [ )∞∪∞− ,, 40 c) [ ) [ )∞∪ ,, 420 d) [ ) ( ]4220 ,, ∪ e) ( ] ( )200 ,, ∪∞−

4. Sea la desigualdad 03

682 2≤

−−+−

xxx , considerando Re = IR, entonces el conjunto solución es:

a) ( ] [ )∞∪−∞ ,, 31 b) ( ]1,−∞ c) [ )∞,3 d) ( ]∞,1

e) [ ) ( )∞∪ ,, 331

5. El conjunto solución de la siguiente desigualdad: 51

11152>

−++

xxx Re = R. Es:

a) (−8, −2) ∪ (1, +∞) b) {x/(2<x<8) ∨ (x >1)} c) (-∞, −8) ∪ (−2, 1) d) {x/(x < −1) ∨ (2 <x <8)} e) ∅

6. El CONJUNTO SOLUCION de la siguiente desigualdad 02

54 23≤

−−−

xxxx es el intervalo:

a) [ ] ( ]5,20,1 ∪− b) ( ) ( )5,20,1 ∪− c) [ ] ( ]5,20,1 −−∪

d) ( ] [ ) [ )∞∪∪−∞− ,52,01, e) ( ] [ )∞∪∞− ,51,

7. El INTERVALO SOLUCIÓN de la desigualdad x

xxx 2

42 +>

−− , si Re = R , es:

a) (0,4) b) (-4, 4) c) [0, 4] d) [-4, 4]c e) [0, 4]c


161

7.4 DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO Como lo que diferencia, en su estructura, a una ecuación con una

desigualdad es el símbolo que separa a sus miembros, entonces para encontrar el conjunto solución de una desigualdad que contenga valor absoluto procedemos de igual forma que para las ecuaciones con valor absoluto.

Es decir, podemos destruir los valores absolutos considerando que en los valores críticos de las expresiones con valor absoluto, a la izquierda es negativo y a la derecha es positivo.

En orden progresivo, veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

Para la desigualdad 2<x podemos observar rápidamente que: 22

22−>∧<

<−∧<xxxx

es

decir 22 <<− x Ejemplo 2

Si tuviésemos a la desigualdad en este otro sentido 2>x

Aquí en cambio se cumple que 22

22−<∨>>−∨>

xxxx

Ejemplo 3

Considere ahora la desigualdad 21 >−x

Usted puede destruir el valor absoluto rápidamente de la siguiente forma:31

121112212

>>−+>+−>+−

>−>−

xxx

Ejemplo 4

Para esta desigualdad 513 ≤−x procedemos de manera semejante al ejemplo anterior, es decir:

234

36

33

34

6341511315

5135

≤≤−

<≤−

<≤−+≤+−≤+−

≤−≤−

x

xx

xx

) (31////////////////////

−

( )22

////////////−

[ ]23

4//////////////

−

) (22

////////////////////////−

Es decir: 13 −<∨> xx


162

Existen desigualdades triviales como las siguientes:

Ejemplo 5

Para 013:)( <−xxp Es obvio que su conjunto solución es φ=)(xAp ¿POR QUÉ?

Ejemplo 6

En cambio para 013:)( ≤−xxp

Su conjunto solución es

=

31)(xAp ¿POR QUÉ?

Ejemplo 7

Si la desigualdad es 013:)( ≥−xxp Entonces su conjunto solución es IRxAp =)( ¿POR QUÉ?

PREGUNTA: ¿Cúal es el conjunto solución para la desigualdad 013 >−x ?

Ejemplo 8

La desigualdad 513 ≤−x fue resuelta de una manera directa, pero podemos destruir el valor absoluto igual como lo hacíamos para las ecuaciones

En cambio existen desigualdades con valor absoluto en donde ya no se pueden destruir los valores absolutos de la manera directa y podemos emplear lo explicado anteriormente.

[ ]23

13

4/////////////////////////////

5135)13(

−

≤−≤−− xx

263

513

≤≤

≤−

xxx

3434

513

−≥

≤−≤+−

x

xx

31>x

31<x


163

Ejercicio resuelto 1

Si Re = R , entonces el conjunto solución de la desigualdad 213≥

−

−

xx

es :

a) ∅ b) (−∞, −1) ∩ (1,3) c) [3, +∞)c d) (−∞, −1) ∪ (1, 3) e) (1, 5/3] SOLUCIÓN: Destruyendo el valor absoluto sobre una recta numérica y resolviendo cada desigualdad, tenemos:

Entonces su conjunto solución sería ( ]3

5,1)( =xAp . Por tanto la opción “e” es la correcta


El intervalo solución de la siguiente desigualdad: 132

6<

−+

xx Re = R , es:

a) ( ) ( )∞∪+∞− ,91, b) ( ) ( )∞∪−−∞ ,91, c) ( ) ( )∞∪−∞− ,231, d) ( ) ( )∞−∪−∞− ,91,

e) ( ) ( )∞∪∞− ,923,

SOLUCIÓN: Por la propiedad de valor absoluto, la desigualdad dada es equivalente a:

23;326

132

6

≠−<+

<−

+

xxx

xx

¿Por qué?

Entonces, procediendo de la manera ya explicada, tenemos:

3351

/////////+

−+

11

//////////−

+

−+

21

)3(≥

−−−

xx

213≥

−−

xx

3

0153

0153

01

53

01

223

01

)1(2)3(

21

)3(

≤−−

≥−−

−

≥−+−

≥−

+−+−

≥−

−−−−

≥−−−

xx

xx

xx

xxx

xxx

xx

011

011

011

01

223

01

)1(23

213

≤−+

≥−+

−

≥−−−

≥−

+−−

≥−

−−−

≥−−

xx

xx

xx

xxx

xxx

xx

3

SI son menores a 3 NO son mayores a 3


164

Entonces el conjunto solución es: opción “b” Ejercicio resuelto 3

El conjunto solución de la siguiente desigualdad: 01

22

<−

+

x

x , Re = R es:

a) ∅ b) R+ c) R− d) (−1, 1) e) R − {1} SOLUCIÓN: Destruyendo el valor absoluto sobre una recta numérica y resolviendo cada desigualdad, tenemos: Entonces el conjunto solución es: Por tanto la opción “d” es la correcta.

),9()1,()( ∞∪−−∞=xAp

)1,1()( −=xAp

( )

112/////////)(/////////

0)1)(1(

20)1)(1(

2

−−

<−+

+<

−++−

xxx

xxx

( )( )( ) 0

112

>−+

+xx

x

La expresión nunca es positiva para este intervalo.

La expresión ( )( )( )11

2−+

+xx

x es

negativa para 11 <<− x ¿POR QUÉ?

23>x

)92

316

////////////////(/////////)/////////////////////////////////////////////////////////326)32(6)32()6(

−−

−<+−−<+−−<+− xxxxxx

133

632326

)32(6

−<−<

−<++−<+−−<+

xxxx

xxxx

9632

326)32()6(

<+<+−+−<−−−−<+−

xxx

xxxx

99

632326

>−<−

−−<−−<+

xx

xxxx

236 <<− x 6−<x


165


El CONJUNTO SOLUCIÓN de la siguiente desigualdad: 01

122 ≥+

+−

xx es el intervalo:

a) ( )1,1− b) ( )+∞∞− , c) [ )+∞,2 d) ( )+∞,0 e) ( ]2,1− SOLUCIÓN: Destruyendo el valor absoluto sobre una recta numérica y resolviendo cada desigualdad, tenemos: Entonces su conjunto solución es: Por lo tanto la opción “b” es la correcta. Ejercicios propuestos 7.3 1. Si Re = R. Encuentre el conjunto solución de las siguientes desigualdades:

a) 313 ≥+x b) 412 ≤−x c) 13 −≤− x

d) 023 ≤−+ xx e) 021 ≤+− xx f) 864 <+− xx

g) 123 +<− xx h) xx 53 −≥ i) xx −<− 42

j). xx 341 −≥− k) 0112≤

−+

xx l) 0

21>

+

+

xx

2. El conjunto solución de la siguiente desigualdad: 723 ≤− x Re = R.

Es el intervalo: a) (-∞, −2] ∪ [5, +∞) b) (−5, 5) c) (−∞, −2) ∪ (5, +∞) d) [−2, 5] e) [−5, 2]

3. Sea Re = R y la desigualdad 933 >−x , entonces su conjunto solución es:

a) (-∞, −2] ∪ [4, +∞) b) ( −2, 4) c) (4, +∞) d) (−∞, −4) ∪ (2, +∞) e) [−2, 4]c

4. Si el conjunto solución de la desigualdad: 52 <− bx es el intervalo (−1,4) entonces el valor de "b" es:

a) 3 b) 4 c) 1 d) 2 e) 5

),()( ∞−∞== IRxAp

2///////////////////////////////////////////////////////////////

01120

11)2(

22 ≥+

+−≥

+

+−−

xx

xx

01

3

01

3

01

12

01

1)2(

2

2

2

2

≤+

−

≥+

+−

≥+

++−

≥+

+−−

x

xx

xx

xx

x

Esta expresión siempre es negativa para toda 2≤x

01

1

012

2

2

≥+

−

≥+

+−

x

xx

x

Esta expresión es siempre positiva o cero para toda 2≥x


166

5. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la siguiente desigualdad: 52 −≥+ xx es el intervalo:

a)

−∞−

23,

b)

∞− ,

23 c) C

∞−

23,

d) ( ]2,−∞− e) [ )∞,5

6. Si Re = R, entonces el conjunto solución de la desigualdad 21<

+

xx

es :

a) {x/x>1 ∨ x< -1/2} c) {x/x>1 ∨ x<0} e) (-1/3, 1) b) (−∞, 0) ∪ (1/2, 2) d) (−∞, 0) ∪ (1,2)

7. Dada la desigualdad 13>

+

xx , donde IRx∈ y ( )0=¬ x , entonces el CONJUNTO SOLUCIÓN es

el intervalo: a)

∞,

23 b) ( )∞,0 c) ( )∞∪

∞− ,0

23, d)

∞−

23,

e) ( )0,223, ∪

∞−

8. Dada la desigualdad 23

1<

+−

xx

, donde IRx∈ y ( )3−=¬ x , entonces el conjunto solución es el

intervalo: a) ( )3,7 −− b) [ ]C3

5,7 −− c) ( )35,3 −− d) [ ]C3

5,3 −− e) [ ]C3,3 −−


167

7.5 PROBLEMAS DE PLANTEOS DE DESIGUALDADES Para interpretar problemas que involucran plantear desigualdades,

debemos tener en cuenta las siguientes equivalencias:

Y el resto del planteamiento igual como el de las ecuaciones (¿CUÁL ES? REVÍSELO).

Problema resuelto 1 La señora Ruiz quiere invertir $60.000. Ella puede escoger los bonos emitidos por el gobierno que ofrecen un interés del 8% o con un mayor riesgo, los bonos hipotecarios con un 10% de interés. Qué cantidad mínima deberá invertir en bonos hipotecarios de modo que reciba un GANANCIA anual de al menos $5.500? SOLUCIÓN:

A lo menos Por lo menos Como mínimo

≡ Mayor o igual

≥

A lo mucho Cuando mucho A lo máximo

Menor o igual ≤

≡

CONDICIÓN : GANANCIA 5500≥

DESARROLLO:

( )

35000$700002

5500004800002

5500100

848000010

5500100

848000010010

550060000100

810010

%8.Re%10.Re

≥≥≥+

≥−+

≥−

+

≥−+

xx

x

xx

xx

xx

alntalnt

INCOGNITA: x = Cantidad de dinero invertida en Bonos Hipotecarios

DATOS: 60000-x =Cant. de dinero invertida en Bonos del gobierno.

x−60000

%8BG

x

BH%10

60000

RESPUESTA: La señora Ruíz debe invertir al menos $35000 en Bonos Hipotecarios para recibir la ganancia deseada.


168

Problema resuelto 2 Si x unidades pueden venderse al precio de $p cada una en donde p + 3x = 100 que tienen un costo de (250 + 10x) dólares producir las x unidades. Las unidades x que deben producirse y venderse a fin de obtener una utilidad de al menos $350 es: a) 10 ≤ x ≤ 20 b) x ≥ 20 c) 5 ≤ x ≤ 25 d) 15 ≤ x ≤ 25 e) x ≤36 SOLUCIÓN: Problema resuelto 3 Un peluquero atiende en promedio 120 clientes a la semana, cobrándoles $4 por corte. Por cada incremento de 50 centavos en el precio, el peluquero pierde 8 clientes. Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $520 ? SOLUCIÓN:

RESPUESTA: Deben producirse y venderse entre 10 y 20 unidades, es decir 2010 ≤≤ x . Po tanto la opción “a” es correcta.

INCOGNITA. =x Cant. unidades producidas y rendidas

DATOS: ≡p precio unitario de venta

1003 =+ xp entonces xp 3100−= Costo: xC 10250+=

CONDICIÓN: UTILIDAD 350≥

DESARROLLO:

( )

( )

0)10)(20(020030

30600903

10600903

0350250390

350102503100

350)10250()(3100350.)(

350

2

2

2

2

2

≤−−≤+−

÷≤+−

−≥−+−

≥−−−

≥−−−

≥+−−≥−×

≥−

xxxx

xx

xx

xx

xxx

xxxCostosCantprecio

CostosIngresos

2010///////////

+

−+

RESPUESTA: Como se ha determinado que hay que realizar entre 2 y 5 incrementos de $0.5 ( 52 ≤≤ x ) en el precio de corte. Escogemos 5=x , el máximo incremento para obtener el precio máximo Por lo tanto:

PRECIO MÁXIMO = x5.04+ = 5.6$)5(5.04 =+

INCOGNITA: =x Núm. de incrementos de 50 centavos

DATOS: Núm. Total clientes = 120 Precio. de corte para el Tot. de client. =$ 4

CONDICIÓN: INGRESOS 520$≥I

DESARROLLO:

( )[ ]

0)2)(5(0107

4040284

1040284

052046032480

52046032480

520)8120)(50.04()8120)(50.04(

clientes)(#corte) de (Precio Ingresos

2

2

2

2

2

≤−−≤+−

÷≤+−

−≥−+−

≥−−+−

≥−+−

≥−+−+=

×=

xxxx

xx

xx

xxx

xxx

xxxxI

52////////////

+

−+


169

Problema resuelto 4 La producción y venta de cada ejemplar de un periódico tiene un costo de 25¢. El editor recibe 20¢ por ejemplar por concepto de ventas y, si además, recibe ingresos por publicidad equivalentes al 30% de los ingresos sobre ventas más allá de las 20.000 copias. ¿Cuántos ejemplares deberá vender el editor si al menos no desea tener pérdidas? a) Al menos 100.000 b) Al menos 120.000 c)Al menos 150.000 d) Al menos 300.000 e) Al menos 60.000 SOLUCIÓN: Problema resuelto 5 El Vicerrector de asuntos estudiantiles de la ESPOL , está planeando que un grupo musical realice un concierto en el Campus Universitario. El pago del costo del concierto lo puede realizar con un pago único de $2440 o un pago $1000 más el 40% de lo que se obtenga por la venta de las entradas. El calcula que asistirán 800 estudiantes. ¿Cuánto podría cobrar por boleto de modo que la segunda forma de pago no sea más elevada que el pago único?. a) A lo más $3 b) A lo más $3.5 c) A lo más $4 d) A lo más $4.5 e)A lo más $5 SOLUCIÓN:

INCOGNITA =x Núm. ejemplares

DATOS: COST. DE C/EJEMPLAR = 25 ¢ = $ 25.0 PREC. VENT. DE C/EJEMPLAR = 20¢= $ 20.0

CONDICIÓN: UTILIDAD: 0≥U

DESARROLLO:

( )[ ] ( )( )

1200000251200006202520000620

10025.02000020.020.0

0

cos

10030

≥≥−−+≥−+

≥−+

≥≥−

xxxx

xxx

xxx

CICI

tospublicidadventas

RESPUESTA: Por lo tanto el editor debe vender al menos 120000 ejemplares. Por tanto, la opción “b” es correcta.

INCOGNITA: p = Precio de la entrada

DATOS: PAGO ÚNICO = 2440$

SEGUNDA FORMA PAGO = [ ]p)800(100401000+

CONDICIÓN: SEGUNDA FORMA PAGO ≤ PAGO ÚNICO

DESARROLLO: [ ]

[ ]

50.4$14432

1002443224432100

100024400032000100000

2440)800(100401000

≤≤

−≤≤+

÷≤+

≤+

ppppp

p

RESPUESTA: La entrada debe valer a lo mucho $4.50


170

Ejercicios Propuestos 7.4 1. Una administradora de negocios desea determinar la diferencia entre los costos de ser propietario y de rentar un

automóvil. Puede rentar un auto por $1620 anuales. Siendo el costo de combustibles por milla recorrida de $0,05. Si se comprara el auto, el gasto fijo anual sería de $1.000 mientras que $0,10 sería el costo por milla recorrida. Por lo tanto el número de millas que tendrá que recorrer el auto al año para justificar el rentar en lugar de comprar será:

a) inferior a 17.300 d) inferior a 12.400 b) superior a 17.300 e) siempre será mejor comprar que rentar. c) superior a 12.400 2. El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de $60 cada artículo. Gasta $40

en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de $3.000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades x que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos $1.000 a la semana.

3. Un fabricante puede vender todo lo que produce al precio de $15 por unidad. Los costos de materiales y mano

de obra por unidad son de $8 y, además, existen costos fijos de $4.000 por semana. ¿Cuántas unidades x deberá producir si desea obtener utilidades semanales de al menos $3.000?

4. Si x unidades pueden venderse al precio de $p cada una, donde p=60−x, y tienen un costo de (260 + 12x) dólares producir las x unidades. Las unidades x que deben producirse y venderse diariamente para obtener una utilidad de al menos $300 es:

a) 20 ≤ x ≤ 28 b) 23 ≤ x ≤ 30 c) 25 ≤ x ≤ 35 d) 15 ≤ x ≤ 40 e) 22 ≤ x ≤ 34 5. Un artículo se vende a " x−300 " dólares, donde "x" es el número de artículos producidos y vendidos en un mes.

Si su costo variable es $100 por unidad; y mensualmente por alquiler y otros servicios se deben pagar $500, entonces el número de ARTÍCULOS "x" que deben producirse y venderse para generar una utilidad de por lo menos $7000, es: a) 50≤x b) 15050 ≤≤ x c) 150≥x d) 150≤x e) 50≥x

6. Un distribuidor de licores compra whisky a $2 la botella y lo vende a p dólares por botella. El volumen de ventas

x (en cientos de miles de botellas a las semanas) está dado por x= 24 − 2p cuando el precio es p. a) ¿Qué valor de p arroja un ingreso total de $7 millones por semana? . b) ¿Qué valores de p dan una utilidad al distribuidor de licores de al menos $4.8 millones por semana?

7. El propietario de un edificio de apartamentos puede alquilar todas las 50 habitaciones si el alquiler es de $150

al mes por habitación. Por cada incremento de $5 en la mensualidad del alquiler, un apartamento quedará vacante sin posibilidad alguna de alquilarse. Qué alquiler máximo deberá fijarse para obtener un ingreso mensual de al menos $8.000 ?

8. Bienes Raíces Reales construyó una nueva unidad habitacional con 50 departamentos. Se sabe por

experiencia que si fija un alquiler mensual de $120 por apartamento todos ellos serán ocupados pero por cada $5 de incremento en el alquiler un apartamento quedará vacante. El valor que deberá fijar por apartamento con el objeto de que se obtengan ingresos mensuales por lo menos de $6.000, es:

a) $ 260 c) $ 180 e) $ 250 b) $ 265 d) $ 200 9. La producción y venta de cada ejemplar de un periódico tiene un costo de 25 centavos. El editor recibe 20

centavos por ejemplar por concepto de ventas y, si además, recibe ingresos por publicidad equivalentes al 30% de los ingresos sobre ventas más allá de las 20.000 copias. Cuántos ejemplares deberá vender el editor si desea por lo menos una ganancia de $1.000 por edición del periódico.

10. La producción de cada ejemplar de un periódico tiene un costo de 18¢. El editor recibe 15¢ por ejemplar por concepto de ventas y, si además, ingresos por publicidad equivalente al 25% de los ingresos sobre ventas más allá de las 1.000 copias. Entonces el NÚMERO DE EJEMPLARES (x) que deberá vender el editor si al menos no desea tener pérdidas es: a) 000.5≥x b) 000.500≥x c) 000.50≥x d) 000.375≥x e) 000.75≥x


171

Misceláneos

1. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la desigualdad 1132≥

−+

xx es el intervalo:

a) ( ) [ )∞∪∞− ,, 23

31 b) [ )∞,2

3 c) ( )31,∞− d) ( ]2

331 , e) [ ]2

331 ,

2. Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias bandas para el ventilador, que ha

estado adquiriendo de proveedores externos a 50.2$ cada unidad. La fabricación de las bandas por la empresa incrementará sus costos fijos en 1500$ al mes, pero, sólo le costará 70.1$ fabricar cada banda. ¿CUÁNTAS BANDAS debe utilizar la empresa cada mes para justificar la fabricación de sus propias bandas? a) Más de 1875 . b) Más de 2315 . c) Más de 1530 .

d) Más de 1231 . e) Más de 1923 . 3. Sea IR=Re y los predicados 62:)( ≤+nnp y ( )( ) 044:)( 2 <−− nnnq

Entonces el CONJUNTO DE VERDAD del predicado )()( nqnp ∧ es:

a) )(nAp b) )(nAq c) [ ) ( )4,22,8 ∪−− d) ( )4,4 − e) ( )2,−−∞

4. Considerando R=Re , entonces el conjunto solución del predicado 011:)(

2≤

−+

xxxp es:

a) { }0)( =xAp b) ( ]0,)( −∞=xAp c) φ=)(xAp d) RxAp =)( e) [ )∞= ,0)(xAp 5. El ingreso mensual obtenido por la venta de "x" relojes de pulsera será ( )xx 2.040 − dólares. El costo al

mayoreo de cada reloj es de $28. Entonces el número "x" de relojes que deben venderse cada mes para obtener una ganancia de al menos $100, es. a) 5010 ≤≤ x b) 50≤x c) 10≥x d) 50≥x e) 5010 ≥≥ x

6. Sea el predicado: 12

23

23

1:)(2

2

−≥

−+

+−

−+xxxx

xxxp ; IR=Re . Entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN

)(xAp es el intervalo: a) [ ] ( )2,10,2 ∪− b) [ ]C0,2− c) [ ) ( )∞∪ ,21,0 d) ( )2,−−∞ e) ( ] [ ) ( )∞∪∪−∞− ,21,02,

7. Sea el predicado: 11

:)( ≤−

xx

xp ; IR=Re . Entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN )(xAp es el intervalo:

a) [ )C21,0 b) [ ]2

1,0 c) ( ]0,∞− d) [ )∞,21 e) ( )2

1,0

8. Cecilia es propietaria de una tienda de alquiler de video. Ella puede alquilar 100 cassettes de video a la semana

cobrando $5 por cada video. Por cada incremento de $1 en el precio del alquiler, deja de alquilar 10 videos. Cecilia desea que sus ingresos semanales no sean menores de los ingresos que obtiene con la tarifa de $5, entonces EL PRECIO MAXIMO DE ALQUILER QUE DEBERÁ FIJAR, es: a) $5 b)$7.50 c)$15 d)$10 e)$20

9. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la desigualdad 3122≥

+−

xx

es el intervalo:

a) ( ]2,21− b) ( ) [ )∞∪−∞− ,2, 2

1 c) ( ] ( )∞−∪−∞− ,1, 21

d)) [ )21,1 −− e) ( ]1,2

1

10. Sean R=Re y los predicados: 43:)( ≤−xxp y 04:)( 2 ≤+ xxxq

Entonces ( ))()( xqxpA ∧ es el intervalo: a) [ ]7,4− b) [ ]7,1− c) [ ]0,1− d) ( ) [ )∞∪−∞− ,74, e) ( )0,1−


172

11. Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo del material es de $2.50 y el de mano de obra $4. Los costos fijos son de $4500. Si el precio de venta del artículo será de $7.40, entonces el NÚMERO MÍNIMO DE UNIDADES QUE DEBEN SER VENDIDAS PARA QUE LA COMPAÑÍA NO TENGA PÉRDIDAS es: a) 5000 b)900 c)500 d)4500 e)9000

12. Sea IR=Re y los predicados 03:)( 2 ≤− xxxp y xxxq 23:)( <− entonces el CONJUNTO DE

VERDAD ( ))()( xqxpA ∧ es el intervalo:

a) ( ] [ )∞∪∞− ,30, b) ( ]3,1 c) [ )3,1 d) [ ]3,1 e) ( )∞,1

13. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la desigualdad 0122

>−−

xxx es el intervalo:

a) [ ] [ )∞∪ ,21,0 b) ( ) ( )∞∪− ,10,2 c) ( )∞,0

d) ( ) ( )∞∪ ,21,0 e) ( ] [ )∞∪∞− ,10,

14. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la desigualdad ( ) 04

2 2≤

−−

xx es el intervalo:

a) ( )4,−∞ b) { } ( )4,2 −−∞∪ c) ( ] ( )∞∪∞− ,42, d) ( )∞− ,4 e) { } ( )∞∪ ,42

15. Una Empresa produce discos. Si la ecuación de sus costos en una semana es xC 5.1300+= y su ecuación de rendimiento o ingresos es xR 2= , donde x es el número de discos vendidos en una semana. Entonces el NÚMERO DE DISCOS que debe vender dicha empresa para OBTENER GANANCIAS, es: a) Al menos 100 discos. b) Al menos 150 discos. c) Al menos 300 discos. d) Al menos 400 discos. e) Al menos 600 discos.

cap 7 desigualdades

Education