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Cuaderno de Actividades: FI

7) Movimiento Armnico Simple

Mg. Percy Vctor Caote Fajardo 180

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7) Movimiento Armnico

Aquel movimiento que es posible describir con funcin armnica.

Movimiento Armnico: sen, cos

Movimiento peridico complejo admite soluciones armnicas.

Teorema de Fourier: Usando serie de senos o cosenos paradescripcin de movimiento peridicos complejos.

Toda onda compleja peridica se puede representar como lasuma de ondas simples.

Lo anterior es equivalente a decir que podemos construir unaonda compleja peridica mediante la suma sucesiva de ondassimples. Esto es lo que se conoce como el Teorema de Fourier.

7.1) Descripcin del movimiento armnico simple, MAS. Es unmovimiento peridico. Producido por la accin de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la

posicin.

uerpo oscila de un lado al otro de su posicin de equilibrio, en una direccin determinada, ! enintervalos i"uales de tiempo.

#enominamos movimientos armnicos simples $MA%& a aquellos en los que la part'cula semueve en l'nea recta en torno a un punto de equilibrio ! que pueden e(presarse mediante unafuncin armnica $seno o coseno& de una )nica variable.


sen

cos
http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_peri%C3%B3dicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_peri%C3%B3dicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_peri%C3%B3dico

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Atleta late 60 veces en 20 s

i) Descripcin Cinemtica del MAS:,, avr

*a ecuacin del movimiento armnico simple es del tipo:

($t & + A sen$t - & o ( $t & + Acos$t - &siendo A la amplitud, una constante positiva denominada pulsacin o

frecuencia an"ular ! una constante denominada fase inicial. *a unidad depulsacin % es el radi/n por se"undo, ! la de fase inicial el radi/n.El ar"umento de la funcin seno o coseno empleada en la ecuacin delmovimiento, t - , se denomina fase. %u unidad % es el radi/n.

El movimiento armnico simple es peridico. El per'odo viene dado por:

! la frecuencia por:

*a ecuacin de la velocidad se obtiene derivando la ecuacin del movimientorespecto del tiempo. %i empleamos la funcin seno en la ecuacin delmovimiento se obtiene:

A partir de estas dos ecuaciones, se tiene que:


Movimientos

periodicos

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Fenomenologa del MAS

Movimiento oscilatorio ! peridico en torno a la PE $( 0&, la oscilacin estaconfinada para 1A ( A,

2mo deber'a ser ( $t& 3

( ) { }x t A sen wt +

#onde,

4: 5recuencia de oscilacin natural del sistema.

Mg. Percy Vctor Caote Fajardo

=0

PE

(6A 0 (-A (

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4 + 4{7,m}

A, : #ependen de las condiciones iniciales del sistema.

c.i.:{( $0& v $0&}

Para la velocidad, { }cosdx

v A tdt

+

( ) { }cosv t Aw wt +

Para la aceleracin, { }2dv

a Aw sen wt dt

= +

( ) { }2a t Aw sen wt +

Estas ecuaciones tambi8n se pueden obtener mediante uso del movimientocircular uniforme $MU&.

*a pro!eccin del MU en el eje de las ! so en el de las (s, estar'a reportandoun comportamiento cinem/tico id8ntico al MA%.

ii) Descripcin Dinmica del MAS

*a fuerza que caracteriza al MA% es una 9E%AU9A#;9A que depende dela posicin, esto es,

( )F x cx= , c: depende del sistema


5$(&

( 6A 0 ( A

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%i se analiza cualquier sistema ! la fuerza que lo "obierna es de esta forma MA%.

5 + 59+ 5s 59es+ 59

A 2b

tme

0 t

(

t

17

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S7%) Un oscilador armnico simple amorti"uado tiene + 0,?? 7"Bs, 7 + ?L0Bm ! m + 0,@?0 7",

a) 2Es un movimiento sobreamorti"uado o de amorti"uamiento d8bil3) #eterminar el valor para el movimiento amorti"uado d8bil.c) Escriba la ecuacin de movimiento. %i para t + 0, tiene una amplitud

de 0,N m.

S-23C4-5/

+ 0, ?? 7"Bs $+b& MAA7 + ?L0 Bm

m+ 0, @? 7"

;scilador armnico amorti"uado

=bH 4047

;scilador cr'ticamente amorti"uado

=b40

;scilador sobreamorti"uado

=bK 40


(

t

18

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( ) ( )2 cosb

tmx t Ae t

= + en donde

2

2

k b

m m

=

a)2

bbwm

=

0,11

2 2 0,31b

bw w

m

= =

0,11

2 2 0,31b

bw w

m

= =

0,18 0

180

024

1,

,31

k

kw w

m = = = =

4bH 4047:MAA

)0

" #2

b

b kw w b

m m =

2 2 180 0,31b km 2 55,8?N

c) ( ) { }2 cosb

tmx t Ae wt

+

($0& + 0,N

( ) { }0,11

2 0,310,5 cos 581 0,03t

x t e t


>

A 2b

tme

0 t

1

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7.6) -scilador armnico orado 8 resonancia

omo es bien sabido, nin")n sistema f'sico podr'a librarse de la accin de la

fuerza de friccin $factor de amorti"uamiento, br&, por lo tanto, paramantenerlo activo se requiere de la intervencin de una fuerza e(terna alsistema, esto es, se debe considerar la accin de una fuerza e(terna impulsora,

( ) ( )ext

F t F t .


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%upon"amos que la fuerza e(terna est/ dada por,

( ) cos( )ext ext

F t F wt

Aplicando la

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9: Como se producira la resonancia por energa.

S7%()Un bloque de < 7" se sujeta a un resorte de constante 7 +

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v$t& + A4 cos $4t - &v$0& + A4 cos $4$0& - &+ A4 cos $&+ 0

#e la )ltima Ec+ B< Qla v $6& para t 0R A+0,0N

($t& + 0,0N sen $?0t - B

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de un elevador ! cuel"a sin moverse $respecto de la caja del elevador&conforme la caja desciende a una velocidad constante de ?,N0 mBs. *acaja se detiene repentinamente, a) 2on que amplitud oscila lapart'cula3, )2ual es la ecuacin de movimiento para la part'cula3$Elija la direccin Cacia arriba como positiva&.

S-23C4;5/

os proporcionan directamente la 2w , las condiciones iniciales son,

0 : (0) 0 (0) 1,5t x v

Asumiendo las ecuaciones del MA% para ($t& ! v$t&,

( ) { }

( ) { }cos

x t A sen wt

v t Aw wt

+

+

a) #e estas ecuaciones se puede obtener la ecuacin para la A, en particularpara t+0,

( ){ } ( )

2

2 00

vA x

w

+


" 7

v$0&m

t +0 >

($0&+0 v$0&

v$0&

204

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9eemplazando datos, { }2

2 1,50 0, 75

2A

+

0,75A

b& *a ecuacin para (. Analizando las ecuaciones para ($t& ! v$t&,

( ) { }

( ) { }

0,75 2

1,5 cos 2

x t sen t

v t t

+

+

Para t+0 ! vecindades,

( ) ( ){ } { }( ) ( ){ } { }0 0,75 2 0 0,75

1,5 cos 2 0 1,5 cos

x sen sen

v t

+ +

Para satisfacer ($0&+0, 0 , , el valor correcto es , con lo cual lasecuaciones quedan,

( ) { } { }

( ) { } { }

0,75 2 0,75

1,5 cos 2 1,5 cos 2

2x t sen t sen t

v t t t

+

+

S7%0)En el sistema mostrado en la fi"ura;bten"a la e(presin de la ener"'a mec/nica para todo instante detiempo t.


" 7

-> + 0 m 6

205

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%i: > + A cos $40t - &": aceleracin de la "ravedad

S-23C4-5/

En :PE mg kd

#esde 0: $x d x +

{ }$RF mg kx mg k d x +

0 $ $ $kx kx kx mx mxmg kd && &

$ $ 0k

x xm

+ &&

Esta ecuacin nos dice que desde 0 se observara MA% de frecuencia

kw

m . ACora, debido a que la fuerza resultante es $RF kx , cuando se

escriba la EMdesde 0 solo se considerara Epe, ello se deduce debido a que,

como la $RF kx , es una fuerza el/stica conservativa, solo tendr/ asociadauna ener"'a potencial el/stica, por lo tanto,

M K peE E E +


PE 0

dPE 0 (

(

>, >

206

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S7%(!)

Una placa P Cace un movimiento armnico simpleCorizontal sobre una superficie sin friccin con una

frecuencia + ?,N z. Un bloque descansa sobre laplaca, como se muestra en la fi"ura adjunta ! elcoeficiente de friccin est/tico entre el bloque ! la placa

es s+ 0,T 2u/l es la m/(ima amplitud de oscilacinque puede tener el sistema sin que resbale el bloquesobre la placa3

S-23C4; 5/

( ) ( ) ( )2 2: REM RE

FM m a A F M m AM m + ++14 2 43

: RE RM

F mgFM a

M M


s

7 P

a

m 5res M

0

207

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#* $M&:

#e las ecuaciones anteriores,

2 RE F mg kA mg

AM M

2 ( )k M m= +

( )2 2 sAM M m A mg +

sm 2g m

( )2 22

0,6 10

1 2

6

, 5

s xA A

x

g

S7%6)

En la fi"ura mostrada Calle la frecuencia an"ular 4 0del MA% resultante, parapequeDos desplazamientos ( del centro de masa, si el disco Como"8neo rueda

sin deslizar, considere, Mmasa del disco,9 radio del disco ! 7 constante del resorte.

S-23C4;5/


a

f%,Msm"

59E% 5959E%6sm"

7

9

M

tM

7 0 59 P

0 o

208

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( pequeDo MA% , 40+ 3( + s + 9

PBB M : +

( ) [ ]

23

2

2 2 21 3

2 2

MR

kx R MR MR MR k R R = = + = =

6 4 4 7 4 4 8

&& &&

0

20

3

2

3

kk

Mw

M + =&&


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S7%(() Un cilindro de peso = ! radio r est/ suspendido poruna cuerda que le da vuelta en la forma que seindica en la fi"ura adjunta. Un e(tremo de la cuerdaest/ unido directamente a un soporte r'"ido mientrasque el otro e(tremo est/ unido a un resorte de

constante de elasticidad 7. %i el cilindro se "ira un/n"ulo ! se suelta, determine la frecuencia naturaldel sistema.

S-23C4-5/

)#e la dinamica rotacional,

:! !kxr Tr I

Por la IrodaduraJ: x r

2

2

2...1

mrkr Tr " mg &&

#e la din/mica traslacional,

( )RF T kx " m x + &&

Usando nuevamente la rodadura, T kr " mr +


7

r

P ( P0 ;

7(

( ;

> 4%&

%

210

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2 2 ...: 2xr Tr kr "r mr + &&

#e ? !

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