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EJERCICIOS RESUELTOS DE CALCULO I

Alvaro Cabrera Javier

4 de septiembre de 2014

Alvaro Cabrera Javier 2 CALCULO I - CHUNGARA

ÍNDICE GENERAL

Índice general

1. NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES 7

2. VECTORES EN EL PLANO 11

3. GEOMETRIA ANALITICA 19

4. LIMITES 53

5. DERIVADAS 83

6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 103

7. EXTREMOS DE UNA FUNCION 111

8. INTEGRALES 117

9. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES 137


ÍNDICE GENERAL


PREFACE

INTRODUCCIONEste solucionario está basado en el libro de APUNTES Y PROBLEMAS DE

CALCULO I de VICTOR CHUNGAR CASTRO, EDICION 1993.


INTRODUCCION


CAPÍTULO 1. NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES

Capítulo 1 NUMEROS REALES YDESIGUALDADES

Los teoremas se demuestran usando los axiomas de campo conmutativo de losNúmeros Reales u otros Teoremas ya demostrados. Tales axiomas son:Si, a, b, c 2 R:P1. a+ b = b+ a Conmutatividad de la suma.P2. (a+ b) + c = a�+ (b+ c) Asociatividad de la suma.P3. a+ 0 = a Existencia de neutro aditivo (0).P4. a+ (�a) = 0 Existencia de opuesto (�a).P5. ab = ba Conmutatividad del producto.P6. (ab) c = a (bc) Asociatividad del producto.P7. a1 = a Existencia del neutro multiplicativo (1).P8. aa�1 = 1 Existencia del inverso (a 6= 0).P9. a (b+ c) = ab+ ac Distributividad del producto.P10. a 2 R+ (a > 0) Tricotomía de los reales.

a 2 R� (a < 0)a = 0

P11.Si: a > 0, b > 0 ) a+ b > 0

ab > 0Clausura de la suma y el producto.

P12. 8a 9b=b > a Del supremo.

1. Demostrar los siguientes Teoremas de los Números Reales:

a) a+ x = b =) x = b� ab) (�1) a = �ac) a (b� c) = ab� acd) � (�a) = ae) ab = 0 =) a = 0 ó b = 0

f ) (ab)�1 = a�1b�1

g) a+ a = 2a

h) a0 = 1, a 6= 0

2. Demostrar los siguientes Teoremas sobre Desigualdades:

a) a > b =) a� c > b� c

b) 0 < a < b =) 1

a>1

b

c) 0 < a < b =) a2 < b2

d) 0 < a < b =) ab > 0

e) b > 0, a2 < b() �pb < b <

pb

f ) (a+ b) (b+ c) (a+ c) � 8abcg) a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1 =) ac+ bd � 1


h) x1y1 + x2y2 �px21 + x

22

py21 + y

22.

3. Resolver las siguientes Inecuaciones Lineales:

a) 2x+ 1 < 7Solución.

2x+ 1 < 7

2x < 7� 12x < 6

x < 3

b) 3x� 2 � 4Solución.

3x� 2 � 4

3x � 6

x � 2

c) 9� x < 6d) 8� 3x � 2e) 5� 2x > 7� 3xf ) 1 + 3x > 4x� 5g) 4x� 3 � 2� xh) 2x+ 6 � 5x� 3i) 3 < 2x� 3 < 9j ) 5 � 3x+ 2 � 8k) 1 < 9� 2x < 5l) �1 < 8� 3x < 5m) 8 < 3x+ 2 < 2

n) 9 < 5x+ 4 <1

4. Resolver las siguientes Inecuaciones Cuadráticas y de Grado Superior:

a) x2 � 5x+ 4 < 0Solución.

x2 � 5x+ 4 < 0

(x� 4) (x� 1) < 0

b) x2 � 5x+ 6 > 0Solución.

x2 � 5x+ 6 > 0

(x� 3) (x� 2) > 0Alvaro Cabrera Javier 8 CALCULO I - CHUNGARA

CAPÍTULO 1. NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES

c) x2 � 4 < 5d) 4� x2 < 3e) x2 � 3x� 10 < 0f ) x2 + x� 12 > 0g) 2x2 � 3x+ 1 < 0h) 3x2 � 7x+ 2 < 0i) x2 � 4x+ 4 � 0j ) x2 � 2x+ 1 < 0k) x2 + 9 < 0

l) x4 � 1 < 0m) (x+ 1)2 � (x� 1)2 < 4n) (x2 + 1)2 < (x2 � 1)2

ñ) x3 � 3x2 � 18x+ 40 < 0o) x4 � 13x2 + 36 < 0p) x3 � 8x2 + 17x� 10 > 0q) x4 � 17x2 + 16 � 0r) x3 � 6x2 + 12x� 8 < 0s) x4 � x2 > 0t) x5 � 5x3 + 4x > 0u) x2 + 1 � 0v) x4 � 6x3 + 13x2 � 12x+ 4 < 0w) x3 � x < 0x) x4 � 10x3 + 35x2 � 50x+ 24 < 0y) x8 � 256 > 0

5. Resolver las siguientes Inecuaciones Cuadráticas

a)3

x> 1

Solución.

3

x> 1

3

x� 1 > 0

3� xx

> 0

x� 3x

< 0


b)4x� 32x� 8 > 2Solución.

4x� 32x� 8 > 2

4x� 32x� 8 � 2 > 0

4x� 3� 4x+ 162x� 8 > 0

13

2 (x� 4) > 0

c)4

x< 1

d)3x+ 1

2x� 6 > 4

e)3

x� 2 > 1

f )x� 2x

<x

x� 2

g)1

x� 1 > 1

h)x� 1x� 4 <

x� 3x� 2

i)x� 1x� 2 < 1

j )9

x� 2 > x� 2

k)x� 3x� 5 > 1

l)1

x� 2 +2

x� 1 > 2

m)3x� 1x� 4 < 2

n)x2 � 7x+ 12x2 � 3x+ 2 < 0

ñ)5x� 1x� 1 < 3

o)x2 � 7x+ 12x2 � 3x+ 2 < 1

p)3

x+

2

x� 1 +4

x� 2 > 6


CAPÍTULO 2. VECTORES EN EL PLANO

Capítulo 2 VECTORES EN EL PLANO1. Gra�car y hallar los módulos de los vectores: (6; 8); (3; 0); (�a; a)

2. Si: A = (x; 4) =) jAj = 5; B = (y2; y) =) jBj =p2. Hallar: x; y.

Solución.jAj = 5 =

px2 + 42

resolviendo x = 3.

La segunda parte:

jBj =p2 =

q(y2)2 + y2

ordenandox4 + x2 � 2 = 0

resolviendo, y1 = 1, y2 = �1, y3 = ip2 y y4 = �i

p2.

3. Efectuar y gra�car: A+B; A�B; 2A+ 3B. Si: A = (4; 3); B = (1; 2).Solución.

A+B = (5; 5)

A�B = (3; 1)

2A+ 3B = (11; 12)

4. Si: A = (3; 1); B = (6; 5); C = (0; 2); efectuar: A + B + C; A � B + C;2A+B � 3C; 3A� 2B + 4C.Solución.

A+B + C = (3 + 6 + 0; 1 + 5 + 2) = (9; 8)

A�B + C = (3� 6 + 0; 1� 5 + 2) = (�3;�2)2A+B � 3C = (2 (3) + 6� 3 (0) ; 2 (1) + 5� 3 (2)) = (12; 1)3A� 2B + 4C = (3 (3)� 2 (6) + 4 (0) ; 3 (1)� 2 (5) + 4 (2)) = (�3; 1)

5. Demostrar: A+(B + C) = (A+B)+C; A+(�A) = 0; k (A+B) = kA+kB;(k + r)A = kA+ rA.

Solución. Sea los vectores:

A = (ax; ay)

B = (bx; by)

C = (cx; cy)

entonces

A+ (B + C) = (ax + (bx + cx) ; ay + (by + cy))

= ((ax + bx) + cx; (ay + by) + cy)

= (A+B) + CAlvaro Cabrera Javier 11 CALCULO I - CHUNGARA

6. Demostrar: A � (B + C) = A �B + A � C; A �B = jAj jBj cos �.

7. Efectuar: A � B, si: (a) A = (1; 3); B = (2; 4), (b) A = (3;�1); B = (�2; 4),(c) A = (2;�1); B = (3; 6) y (d) A = (a1; a2); B = (�a2; a1).

Solución. (a)

A �B = (1) (2) + (3) (4) = 14

(b)

A �B = (3) (�2) + (�1) (4) = �10

(c)

A �B = (2) (3) + (�1) (6) = 0

son vectores perpendiculares..

(d)

A �B = (a1) (�a2) + (a2) (a1) = 0

son vectores perpendiculares.

8. Determinar si existe paralelismo (//), perpendicularidad (?) o ninguna deestas características entre los siguientes pares de vectores: (a) (3; 1) y (�1; 3),(b) (2;�3) y (�4; 6), (c) (4;�2) y (1; 2), (d) (2; 4) y (6; 4), (e) (3; 0) y (6; 4)y (f) (2; 6) y (0; 0).

Solución. (a)

(3; 1) � (�1; 3) = (3) (�1) + (1) (3) = 0 Perpendiculares

(b)

(2;�3) � (�4; 6) = (2) (�4) + (�3) (6) = �26

(c)

(4;�2) � (1; 2) = (4) (1) + (�2) (2) = 0 Perpendiculares

(d)

(2; 4) � (6; 4) = (2) (6) + (4) (4) = 28

(e)

(3; 0) � (1; 0) = 3 (1) + (0) (0) = 3

(f)

(2; 6) � (0; 0) = (2) (0) + (6) (0) = 0

9. Hallar el ángulo entre los siguientes pares de vectores: (a) (6; 8); (4; 3), (b)(1; 1); (1; 0), (c) (3; 1); (�2; 6).



Solución. (a) Gra�cando:

6.2553.752.51.250

8

6

4

2

0

x

y

x

y

Aplicando la ecuación

A �B = jAj jBj cos �

sustituyendo

cos � =(6) (4) + (8) (3)p62 + 82

p42 + 32

=24

25

donde � = 16;26o

(b) Gra�cando:

21012

2

1

0

1

2

x

y

x

y



sustituyendo

cos � =(1) (1) + (1) (0)p12 + 12

p12 + 02

=

p2

2

donde � = 45;00oAlvaro Cabrera Javier 13 CALCULO I - CHUNGARA

(c) Gra�cando:

3.752.51.2501.252.5

8

6

4

2

0

x

y

x

y



sustituyendo

cos � =(3) (�2) + (1) (6)

p32 + 12

q(�2)2 + 62

= 0

donde � = 90;00o .

10. Hallar x para que sean paralelas y luego perpendiculares los vectores: (a)A = (x; 2); B = (3; 6); (b) A = (x; 8) y B = (2; x).

Solución. (a) Condición de paralelismo

(x) (3) + (2) (6)�px2 + 22

� �p32 + 62

� = 1

(3x+ 12)2 =�px2 + 22

�2 �p32 + 62

�29x2 + 72x+ 144 =

�x2 + 4

�(45)

9x2 + 72x+ 144� 45x2 � 180 = 0

�36x2 + 72x� 36 = 0 j� � 36x2 � 2x+ 1 = 0

(x� 1)2 = 0

x = 1

Condición de perpendicularidad

(x) (3) + (2) (6)�px2 + 22

� �p32 + 62

� = 0 =) x = �4Alvaro Cabrera Javier 14 CALCULO I - CHUNGARA


(b) Condición de paralelismo

(x) (2) + (8) (x)�px2 + 82

� �p22 + x2

� = 1

(10x)2 =�px2 + 82

�2 �p22 + x2

�2100x2 =

�x2 + 64

� �4 + x2

�100x2 = x4 + 68x2 + 256

x4 � 32x2 + 256 = 0�x2 � 16

�2= 0

x2 = 16

x = �4

condición de perpendicularidad

(x) (2) + (8) (x)�px2 + 82

� �p22 + x2

� = 0 =) x = 0

11. Demostrar que: A es paralelo a B, si se cumple: a1b2 � a2b1 = 0; cuando setiene: A = (a1; a2); B = (b1; b2).

Solución. Condición de paralelismo

a1b1 + a2b2pa21 + a

22

pb21 + b

22

= 1

(a1b1 + a2b2) =

�qa21 + a

22

�2�qb21 + b

22

�2a21b

21 + 2a1a2b1b2 + a

22b22 =

�a21 + a

22

� �b21 + b

22

�a21b

21 + 2a1a2b1b2 + a

22b22 = a21b

21 + a

21b22 + a

22b21 + a

22b22

2a1a2b1b2 = a21b22 + a

22b21

a21b22 � 2a1a2b1b2 + a22b21 = 0

(a1b2 � a2b1)2 = 0

�nalmentea1b2 � a2b1 = 0

12. A los vectores (2; 3); (5;�4) y (�1; 1), determinar un vector perpendicular:Solución.

13. Efectuar la proyección ortogonal de A sobre B si: (a) A = (5; 10) y B = (2; 1),(b) A = (8; 2) y B = (1;�1).Solución.

14. Hallar las áreas del paralelogramo y triángulo conformado entre los siguientespares de vectores: (a) (2; 4); (5; 3); (b) (3; 2); (1; 5) y (c) (0; 4); (3; 0).

Solución.Alvaro Cabrera Javier 15 CALCULO I - CHUNGARA

15. Hallar el área del triángulo, que se encuentra entre los siguientes trios depuntos: (a) (2; 1); (3; 4); (6; 2), (b) (1; 1); (4; 2); (2; 4), (c) (1; 2); (4; 5); (5; 1),(d) (�1; 1); (1; 2); (3; 3).Solución.

16. Hallar el área del polígono que se encuentra situado entre los siguientes puntos(El polígono no es regular). (a) (2; 0); (7; 3); (1; 5)m; (�2; 4); (0; 0), (b) (5; 0);(6; 2); (2; 5); (�2; 3); (1; 1).Solución.

17. Demostrar: jAj =Solución.

18. Demostrar: jA+Bj � jAj+ jBjSolución.

19. Hallar las ecuaciones de recta y gra�carlas, si cumplen con: (a) L para porP0 (2; 3) dirección: A = (1; 4).

Solución.

20. Escribir en forma general las anteriores rectas: (a) 4x�y�5 = 0, (b) 2x�3y =0; 2x� y � 3 = 0; 2x+ y � 5 = 0.Solución.

21. Determinar si es verdadero (V) o falso (F), que los puntos: (1; 4); (2; 5); (0; 7);(1; 10) pertenecen a la recta: L = f(2; 1) + t (�1; 3)g.Solución.

22. Hallar las rectas paralelas y perpendicular a: L dada, que pasan por P dado.(a) f(1; 3) + t (2; 4) ; P (6; 5)g, (b)Solución.

23. Hallar la distancia entre la recta: L y el punto externo: Pe. (a) f(1; 2) + t (4; 3) ; Pe (5; 8)g,(b)

Solución.

24. Cuál es el punto P de la recta L, que está más cerca al punto Pe dado: (a)L = f(2; 3) + t (6; 8) ; Pe (6; 5)g, (b)Solución.

25. Hallar el ángulo entre las rectas: (a) L1 = f(3; 1) + t (2; 1)g; L2 = f(7; 6) + t (1; 3)g,(b)

Solución.

26. Hallar el cuarto vértice del cuadrado ubicado entre los puntos: (a) (4; 1);(3; 6); (1; 3), (b)



27. Si xA+ yB = 0, donde: A 6= 0; B 6= 0, A no es paralelo a B, demostrar quela igualdad se veri�ca cuando: x = y = 0.

Solución.

28. Demostrar que cuando: A 6= 0; B 6= 0, A no es paralelo a B. Si: x1A+y1B =x2A+ y2B =) x1 = x2; y1 = y2.

Solución.

29. Demostrar que las diagonales de un paralelogramo, se intersectan en suspuntos medios.

Solución.

30. Demostrar que la recta que une los puntos medios de los lados de un triánguloes paralelo al tercer lado y posee la mitad de su longitud.

Solución.

31. Demostrar que las medianas de un triángulo, se cortan en un punto (llamadobaricentro), ubicado a un tercio de un lado y a dos tercios del vértice opuesto.

Solución.

32. Demostrar que la diagonal de un paralelogramo, es dividida en tres partesiguales, por dos rectas, que partiendo de un vértice lateral, van a los puntosmedios del lado opuesto.

Solución.

33. Demostrar que la mediana de un triángulo isósceles, que va al lado distinto,el perpendicular a ese lado.

Solución.

34. Demostrar que todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es un trián-gulo rectángulo.

Solución.

35. Demostrar que las diagonales de un rombo, se intersectan en sus puntosmedios.

Solución.


CAPÍTULO 3. GEOMETRIA ANALITICA

Capítulo 3 GEOMETRIA ANALITICA1. Hallar Distancias y Puntos Medios entre los Pares de Puntos:

(2; 1) ; (6; 4) (0; 3) ; (8; 9)(0; 2) ; (4; 0) (3a; 0) ; (0; 4a)

Solución. La distancia entre los puntos:

d1 =

q(6� 2)2 + (4� 1)2 = 5

d2 =

q(8� 0)2 + (9� 3)2 = 10

d3 =

q(4� 0)2 + (0� 2)2 = 2

p5

d4 =

q(0� 3a)2 + (4a� 0)2 = 5a

Los puntos medios:

x1 =2 + 6

2= 4 ; y1 =

1 + 4

2=5

2=) P1

�4;5

2

�x2 =

0 + 8

2= 4 ; y2 =

3 + 9

2= 6 =) P2 (4; 6)

x3 =0 + 4

2= 2 ; y3 =

2 + 0

2= 1 =) P3 (2; 1)

x4 =3a+ 0

2=3a

2; y4 =

0 + 4a

2= 2a =) P4

�3a

2; 2a

�

2. Hallar la coordenada: u, de manera que se cumpla:

a) P1 (5; 2); P2 (1; u); d = 5

d =

q(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2

sustituyendo

5 =

q(1� 5)2 + (u� 2)2

25 = 16 + (u� 2)2q(u� 2)2 =

p9

u� 2 = �3

entonces: u1 = 5 y u2 = �1.b) P1 (u; 1); P2 (2; u); d =

p5

d =

q(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2


sustituyendo

p5 =

q(2� u)2 + (u� 1)2

5 = 4� 4u+ u2 + u2 � 2u+ 12u2 � 6u = 0

2u (u� 3) = 0

entonces: u1 = 0 y u2 = 3.

c) P1 (6; 3); P2 (4; u); P (5; 4)Solución. El punto medio está dado por:

y =y1 + y22

sustituyendo:

4 =3 + u

2=) u = 5

3. Hallar los Puntos que dividen al Segmento entre: P1 (2; 6) y P2 (8; 3) en trespartes iguales.

Solución. De la fórmula

x =x1 + rx21 + r

; y =y1 + ry21 + r

Para el punto P , el problema es encontrar r. Según la relación

P1P

PP2= r

de la grá�ca P1P = a y PP2 = 2a, entonces r =a

2a=1

2, sustituyendo:

x =2 +

1

2(8)

1 +1

2

= 4; y =6 +

1

2(3)

1 +1

2

= 5

entonces P (4; 5) :

Para el punto P 0, según la relación

P1P0

P 0P2= r

de la grá�ca P1P 0 = 2a y P 0P2 = a, entonces r =2a

a= 2, sustituyendo:

x =2 + 2 (8)

1 + 2= 6; y =

6 + 2 (3)

1 + 2= 4

entonces P 0 (6; 4).Alvaro Cabrera Javier 20 CALCULO I - CHUNGARA


4. Demostrar que es Restángulo el Triángulo ubicado entre: A (1; 5); B (4; 4);C (3; 1). Demostrar que es Isosceles el Triángulo ubicado entre: A0 (1; 5);B0 (6; 2); C 0 (5; 6).

Solución. La solución consiste en todo triángulo rectángulo cumple la Leyde Pitágoras

AB =

q(4� 1)2 + (4� 5)2 =

p10

BC =

q(3� 4)2 + (1� 4)2 =

p10

AC =

q(3� 1)2 + (1� 5)2 = 2

p5

�2p5�2

=�p10�2+�p10�2

20 = 10 + 10

20 = 20

entonces el triángulo es rectángulo y también isosceles.

Para el segundo caso el problema consiste en que dos lados son iguales:

A0B0 =

q(6� 1)2 + (2� 5)2 =

p34

B0C 0 =

q(5� 6)2 + (6� 2)2 =

p17

A0C 0 =

q(5� 1)2 + (6� 5)2 =

p17

ya que dos lados con iguales el triángulo es isósceles, también es rectángulo.

5. Indicar si pertenece (V ) o nó (F ) a la recta: 3x+ 4y � 24 = 0, los siguientespuntos: (4; 3); (�2; 9); (0; 6).

Solución.24� 3x4

Para: (4; 3) 3 (4) + 4 (3)� 24 = 0 =) 0 = 0 (V )Para: (�2; 9) 3 (�2) + 4 (9)� 24 = 0 =) 6 = 0 (F )Para: (0; 6) 3 (0) + 4 (6)� 24 = 0 =) 0 = 0 (V )

11.25108.757.56.2553.752.51.2501.252.53.75

10

8.75

7.5

6.25

5

3.75

2.5

1.250

1.25 x

y

x

y


6. Gra�car las siguientes rectas: 3x�2y+12 = 0; 2x+3y�12 = 0; 4x�y�8 = 0;y � 3 = 0.

Solución. Para:

6 4 2 2

2

4

6

x

y

3 2 1 1 2 3 4 5 6 7

2

4

6

x

y

3x� 2y + 12 = 0 2x+ 3y � 12 = 0

1 1 2 3

8

6

4

2

2

x

y

4 2 2 41

1

2

3

4

5

x

y

4x� y � 8 = 0 y � 3 = 0

7. Hallar los Puntos de Interesección de los siguientes Pares de Rectas:

Solución.

2 2 4 6

2

4

6

8

x

y

1 1 2 3 4 5 6 7

2

4

6

x

y

�2x+ y � 8 = 03x� 4y � 1 = 0 =) P (3; 2)

�2x� 3y � 2 = 05x� y � 18 = 0 =) P (4; 2)



4 2 2 4

2

2

4

x

y

��x+ 3y � 6 = 02x� 6y � 6 = 0 =) �

8. Hallar las ecuaciones de recta, que poseen las siguientes características:

a) Pendiente: m = 3; pasa por: P (2; 1).

Solución. Aplicando la condición punto pendiente: y� y1 = m (x� x1)

y � 1 = 3 (x� 2)y � 1 = 3x� 6

�nalmente:

3x� y � 5 = 0

1 1 2 3 4 5

5

5

10

x

y

b) Pendiente: m = �1; pasa por: P (1; 4).Solución.

y � 4 = � (x� 1)

simpli�cando:

x+ y � 5 = 0Alvaro Cabrera Javier 23 CALCULO I - CHUNGARA

1 1 2 3 4 5 6

2

4

6

x

y

c) Pendiente: m = 0; pasa por: P (3; 2).

Solución.

y � 2 = 0 (x� 3)

simpli�cando:

y = 2

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

1

1

2

3

4

x

y

d) Pendiente: m =1; pasa por: P (4; 6).Solución.

y � 6 =1 (x� 4)

aplicando1

1 = 0

y � 61 = x� 4 =) x� 4 = 0

simpli�cando:

x = 4Alvaro Cabrera Javier 24 CALCULO I - CHUNGARA


1 1 2 3 4 51

1

2

3

4

5

x

y

e) Pendiente: m = 2; intersecta al eje y en: 3.Solución. Pasa por el punto (0; 3)

y � 3 = 2 (x� 0)�nalmente:

2x� y + 3 = 0

2 1 1 2

2

4

6

x

y

f ) Pendiente: m =1

2; intersecta al eje x en: 1:

Solución. Pasa por el punto (1; 0)

y � 0 =1

2(x� 1)

2y = x� 1�nalmente:

x� 2y � 1 = 0

1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

1.0

0.5

0.5

1.0

x

y


g) Pasa por los puntos: (2; 6); (8; 2).

Solución. Aplicando la fórmula: y � y1 =y2 � y1x2 � x1

(x� x1)

y � 6 =2� 68� 2 (x� 2)

y � 6 = �23(x� 2)

3y � 18 = �2x+ 4

�nalmente:2x+ 3y � 22 = 0

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2

4

6

8

10

x

y

h) Pasa por los puntos: (3; 3); (6; 5).

Solución. Aplicando la fórmula: y � y1 =y2 � y1x2 � x1

(x� x1)

y � 3 =5� 36� 3 (x� 3)

y � 3 =2

3(x� 3)

3y � 9 = 2x� 62x� 3y + 3 = 0

4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7

2

2

4

6

x

y

i) Interscta a los ejes x, y en: 3; 4 respectivamente.Alvaro Cabrera Javier 26 CALCULO I - CHUNGARA


Solución. Aplicando la forma canónica:x

a+y

b= 1

x

3+y

4= 1

4x+ 3y � 12 = 0

4 2 2 4 6 8

2

2

4

6

x

y

j ) Interscta a los ejes x, y en: 6; 2 respectivamente.

Solución. Aplicando la forma canónica:x

a+y

b= 1

x

6+y

2= 1

x+ 3y � 6 = 0

1 1 2 3 4 5 6 7

1

1

2

3

x

y

k) Interscta a los ejes x, y en: �2; 1 respectivamente.

Solución. Aplicando la forma canónica de la recta:x

a+y

b= 1

x

�2 +y

1= 1

x� 2y + 2 = 0Alvaro Cabrera Javier 27 CALCULO I - CHUNGARA

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

1

1

2

3

x

y

l) Intersecta al eje y en: 5, pasa por P (4; 2).Solución. Pasa por los puntos (0; 5) y P (4; 2)

y � 5 =2� 54� 0 (x� 0)

4y � 20 = �3x3x+ 4y � 20 = 0

1 1 2 3 4 5 6 7 8

2

4

6

x

y

m) Intersecta al eje x en: 3, pasa por P (5; 4).Solución. Pasa por los puntos (3; 0) y P (5; 4)

y � 0 =4� 05� 3 (x� 3)

y = 2x� 62x� y � 6 = 0

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7

8

6

4

2

2

4

x

y



n) Pasa por P (4; 3) con inclinación de: � = 45o.

Solución. Pasa por el punto P (4; 3) y tiene pendiente m = 1

y � 3 = x� 4x� y � 1 = 0

9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

54321

12345

x

y

ñ) Pasa por P (3; 1) con inclinación de: � = 68;2o.

Solución. Pasa por el punto P (3; 1) y tiene pendiente m =5

2

y � 1 =5

2(x� 3)

2y � 2 = 5x� 155x� 2y � 13 = 0

8 6 4 2 2 4 6 8

8

6

4

2

2

x

y

9. Hallar el ángulo de inclinación de las rectas:

a) 3x� 2y � 12 = 0.Solución.

m = �AB= � 3

(�2) =3

2=) � = tan�1

�3

2

�= 56;3o


1 1 2 3 4 5 6

6

4

2

2

x

y

b) 5x+ 3y � 17 = 0.Solución.

m = �AB= �5

3=) � = tan�1

��53

�= 121o

1 1 2 3 4 5

2

2

4

6

x

y

c) 2x+ y � 4 = 0.Solución.

m = �AB= �2 =) � = tan�1 (�2) = 116;5o

1 1 2 3

2

2

4

6

x

y

d) 3x� 4y + 12 = 0.Solución.

m = �AB= � 3

�4 =) � = tan�1�3

4

�= 36;9o



5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

2

2

4

x

y

e) 2x� 6 = 0Solución.

m = �AB= �2

0=) � = tan�1 (1) = 90o

2 1 1 2 3 4 5

4

2

2

4

x

y

.

f ) 3y � 7 = 0.Solución.

m = �AB= �0

3=) � = tan�1 (0) = 0o

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

2

1

1

2

3

4

x

y

10. Hallar las Ecuaciones de Recta Paralela y Perpendicular a las siguientes Rec-tas que pasen por el Punto indicado:


a) 3x+ 2y � 6 = 0; P (3; 2).Solución. La recta paralela. Por condición de paralelismo:

m1 = m2 = �3

2

por punto y pendiente

y � 2 = �32(x� 3) =) 3x+ 2y � 13 = 0

La recta perpendicular. Por condición de perpendicularidad:m1m2 =�1, sustituyendo

�32m2 = �1 =) m2 =

2

3


y � 2 = 2

3(x� 3) =) 2x� 3y = 0

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

2

4

6

x

y

b) x� 2y � 2 = 0; P (4; 3).Solución. La recta paralela. Por condición de paralelismo:

m1 = m2 =1

2


y � 3 = 1

2(x� 4) =) x� 2y + 2 = 0

La recta perpendicular. Por condición de perpendicularidad:m1m2 =�1, sustituyendo

1

2m2 = �1 =) m2 = �2


y � 3 = �2 (x� 4) =) 2x+ y � 11 = 0Alvaro Cabrera Javier 32 CALCULO I - CHUNGARA


4 2 2 4 6 8 10

2

2

4

6

x

y

c) y � 2 = 0; P (5; 3).

11. Hallar los Angulos de Intersección entre los siguientes Pares de Rectas:

x� 2y + 2 = 0 2x� y + 2 = 0. x� 2y + 2 = 0.6x+ 3y � 15 = 0 2x+ 3y � 12 = 0. Eje y.

12. Hallar las Distancias entre las Rectas y los Puntos indicados:

3x+ 4y � 24 = 0; Pe (8; 5) 6x� 8y + 8 = 0; Pe (2; 5)2x+ 3y � 12 = 0; Pe (4; 5) x� 2y + 2 = 0; Pe (4; 3)

13. Hallar el Baricentro, Ortocentro e Incentro del triángulo ubicado entre lospuntos: A (1; 4); B (6; 8); C (9; 2).

14. Determinar a que tipo de Cónica, pertenecen las siguientes Ecuaciones:

a) 2x2 + 2y2 � 4x� 8y � 12 = 0.Solución. A = B = 2 signo iguales: Circunferencia.

4 2 2 4 6

2

2

4

6

x

y

b) x2 + 4y2 � 4 = 0.Alvaro Cabrera Javier 33 CALCULO I - CHUNGARA

Solución. A = 1 y B = 4 signos iguales: Elipse.

2 1 1 2

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

x

y

c) 4x2 + y2 � 16x+ 2y � 18 = 0.Solución. A = 4 y B = 1 signos iguales: Elipse.

8 6 4 2 2 4 6 8 10

6

4

2

2

4

x

y

d) x2 + y � 2 = 0.Solución. A = 1 y B = 0: Parábola.

3 2 1 1 2 3

4

2

2

x

y

e) x2 � y2 � 6x+ 8y � 12 = 0.Alvaro Cabrera Javier 34 CALCULO I - CHUNGARA


Solución. A = B = 1 signos diferentes: Hipérbola.

4 2 2 4 6 8 102

2

4

6

8

10

x

y

f ) x2 � y2 � 4 = 0.Solución. A = B = 1 signos diferentes: Hipérbola.

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

4

2

2

4

x

y

g) 7x2 + 7y2 � x� 14y � 11 = 0.Solución. A = B = 7 signos iguales: Circunferencia.

4 3 2 1 1 2 3 4

1

1

2

3

x

y

h) x2 + 2y2 � 1 = 0.Alvaro Cabrera Javier 35 CALCULO I - CHUNGARA

Solución. A = 1 y B = 2 signos iguales: Elipse.

1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

1.0

0.5

0.5

1.0

x

y

15. Hallar la Ecuación General de Circunferencia, que posee los siguientes datos:

a) Centro: (0; 0); Radio: 5.

Solución. Dada la forma

(x� h)2 + (y � k)2 = R2

sustituyendo los valores

x2 + y2 = 25

8 6 4 2 2 4 6 8

4

2

2

4

x

y

b) Centro (2; 3); Radio: 4.

Solución. Dada la forma de la circunferencia:

(x� h)2 + (y � k)2 = R2

sustituyendo

(x� 2)2 + (y � 3)2 = 16

simpli�cando

x2 + y2 � 4x� 6y + 13 = 16Alvaro Cabrera Javier 36 CALCULO I - CHUNGARA


7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

21

12345678

x

y

c) Centro (2; 1); Para por el origen.Solución. Centro (2; 1) y pasa por el origen, quiere decir que el radioes la distancia entre el punto y el origen

R =

q(2� 0)2 + (1� 0)2

R =p5

sustituyendo

(x� 2)2 + (y � 1)2 =�p5�2

x2 � 4x+ 4 + y2 � 2y + 1 = 5

x2 � 4x+ y2 � 2y = 0

8 6 4 2 2 4 6 8

4

2

2

4

x

y

d) Centro (3; 2); Diámetro: 8.Solución. Aplicando la forma (x� h)2 + (y � k)2 = R2, entonces

(x� 3)2 + (y � 2)2 = 42

e) Tiene un diámetro entre: (�1; 2); (7; 8).Solución. El punto medio es el centro, entonces

h =�1 + 72

= 3; k =2 + 8

2= 5

y el radio

D =

q(�1� 7)2 + (2� 8)2 = 10


entonces el radio es 5. La ecuación de la circunferencia

(x� 3)2 + (y � 5)2 = 52

f ) Tiene un diámetro entre: (2; 1); (5; 4).

Solución. El punto medio es el centro, entonces

h =2 + 5

2=7

2; k =

1 + 4

2=5

2

y el radio

D =

q(2� 5)2 + (1� 4)2 = 3

p2

entonces el radio es3

2

p2. La ecuación de la circunferencia

�x� 7

2

�2+

�y � 5

2

�2=9

2

g) Centro: (3; 4); Tangente al Eje y.

Solución. Como es tangente al eje y, entonces el radio es la abscisa delcentro, luego

(x� 3)2 + (y � 4)2 = 32

h) Centro: (3; 4); Tangente al eje x.

Solución. Como es tangente al eje x, entonces el radio es la ordenadadel centro, luego

(x� 3)2 + (y � 4)2 = 42

16. Hallar el Centro y Radio de las siguientes circunferencias.

a) x2 + y2 � 36 = 0.Solución. Es una circunferencia con centro en el origen y radio 6

x2 + y2 = 62

b) x2 + y2 � 2x� 6y + 9 = 0.Solución. Completando cuadrados perfectos

x2 + y2 � 2x� 6y + 9 = 0

x2 � 2x+ y2 � 6y = �9x2 � 2x+ 1 + y2 � 6y + 9 = �9 + 1 + 9

(x� 1)2 + (y � 3)2 = 1Alvaro Cabrera Javier 38 CALCULO I - CHUNGARA


tiene centro en el punto C (1; 3) y radio 1.

6 4 2 2 4 6

2

4

6

x

y

c) x2 + y2 + 6x� 4y � 12 = 0.Solución. Completando cuadrados perfectos

x2 + y2 + 6x� 4y � 12 = 0

x2 + 6x+ y2 � 4y = 12

x2 + 6x+ 9 + y2 � 4y + 4 = 12 + 9 + 4

(x+ 3)2 + (y � 2)2 = 52

tiene centro en el punto C (�3; 2) y radio 5

14 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8

4

2

2

4

6

8

x

y

d) 2x2 + 2y2 � 6x� 14y � 3 = 0.Solución. Completando cuadrados perfectos

2x2 + 2y2 � 6x� 14y � 3 = 0

2x2 + 2y2 � 6x� 14y = 3 j�2

x2 � 3x+ y2 � 7y =3

2

x2 � 3x+ 94+ y2 � 7y + 49

4=

3

2+9

4+49

4�x� 3

2

�2+

�y � 7

2

�2= 42


tiene como centro el punto C�3

2;7

2

�y radio 4

8 6 4 2 2 4 6 8

2

2

4

6

8

x

y

17. Hallar la Ecuación General de la Circunferencia, que posee los siguientesdatos:

a) Pasa por: (8; 6); Centro (0; 0).

Solución. Dada la ecuación general de la circunferencia

x2 + y2 +Dx+ Ey + F = 0

donde D = �2h = 0, E = �2k = 0 y F = h2 + k2 � R2, el radio es ladistancia del punto al centro

R2 = (8� 0)2 + (6� 0)2 = 100

sustituyendo F = �100. Entonces la ecuación general

x2 + y2 � 100 = 0

2017.51512.5107.552.502.557.51012.51517.520

12

10

8

6

4

20

2

4

6

8

10

12

x

y

x

y

b) Pasa por: (1; 3); (3; 7); (10; 6).

Solución. Dada la ecuación general de la circunferencia

x2 + y2 +Dx+ Ey + F = 0Alvaro Cabrera Javier 40 CALCULO I - CHUNGARA


sustituyendo los puntos:

8 (1; 3) : (1)2 + (3)2 +D (1) + E (3) + F = 0 =) D + 3E + F + 10 = 0

8 (3; 7) : (3)2 + (7)2 +D (3) + E (7) + F = 0 =) 3D + 7E + F + 58 = 0

8 (10; 6) : (10)2 + (6)2 +D (10) + E (6) + F = 0 =) 10D + 6E + F + 136 = 0

resolviendo el sistema: D = �12, E = �6 y F = 20, la ecuación general

x2 + y2 � 12x� 6y + 20 = 0

11.25108.757.56.2553.752.51.2501.252.5

9

8

7

6

5

4

3

2

10

1

2

3

x

y

x

y

c) Pasa por: (1; 7); (4; 6); (5;�1).Solución. Dada la ecuación general de la circunferencia

x2 + y2 +Dx+ Ey + F = 0

sustituyendo los puntos:

8 (1; 7) : (1)2 + (7)2 +D (1) + E (7) + F = 0 =) D + 7E + F + 50 = 0

8 (4; 6) : (4)2 + (6)2 +D (4) + E (6) + F = 0 =) 4D + 6E + F + 52 = 0

8 (5;�1) : (5)2 + (�1)2 +D (5) + E (�1) + F = 0 =) 5D � E + F + 26 = 0

resolviendo el sistema: D = �2, E = �4 y F = �20, la ecuación general

x2 + y2 � 2x� 4y � 20 = 0

107.552.502.557.5

7.5

5

2.5

0

2.5

x

y

x

y


d) Centro: (2; 3); tangente a: 3x+ 4y � 43 = 0.Solución. D = �2h = �4, E = �2k = �6 y F = h2 + k2 �R2

R =3 (2) + 4 (3)� 43�p32 + 42

= 5

sustituyendo F = 22 + 32 � 52 = �12, la ecuación general de la circun-ferencia:

x2 + y2 � 4x� 6y � 12 = 0

1510505

10

7.5

5

2.5

0

2.5x

y

x

y

e) Centro: (3; 2); tangente a: 5x+ 12y + 26 = 0.Solución. D = �2h = �6, E = �2k = �4 y F = h2 + k2 �R2

R =5 (3) + 12 (2) + 26p

52 + 122= 5

sustituyendo F = 32 + 22 � 52 = �12, la ecuación general de la circun-ferencia:

x2 + y2 � 6x� 4y � 12 = 0

11.25108.757.56.2553.752.51.2501.252.53.7556.257.5

8

7

6

5

4

3

2

10

1

2

3

4

x

y

x

y

18. Hallar la Ecuación General de la Circunferencia, que posee los siguientesdatos:

a) Pasa por: (8;�2); tangente a: 3x+ 4y � 41 = 0; en: (7; 5).Solución. Sea C (h; k), el centro entonces

R =3h+ 4k � 41�p32 + 42

=) 3h+ 4k + 5R = 41



tambiénR2 = (h� 7)2 + (k � 5)2

�nalmenteR2 = (h� 8)2 + (k + 2)2

resolviendo el sistema: R = 5, h = 4 y k = 1, entonces D = �2h = �8,E = �2k = �2 y F = 42 + 12 � 52 = �8, la ecuación general de lacircunferencia

x2 + y2 � 8x� 2y � 8 = 0

1412108642024

7

6

5

4

3

2

10

1

2

3

4

x

y

x

y

b) Pasa por: (�3; 2); (4; 1) tangente al eje x.Solución. Aplicando la distancia entre dos puntos

R2 = (h+ 3)2 + (k � 2)2

R2 = (h� 4)2 + (k � 1)2

R = k

resolviendo el sistema se tiene dos soluciones: R = 145, h = 21 y k = 145también: R = 5, h = 1, k = 5. Finalmente las ecuaciones:

x2 + y2 � 42x� 290y + 441 = 0

x2 + y2 � 2x� 10y + 1 = 0

37.52512.5012.5

20

15

10

5

0

5

10

x

y

x

y

c) Pasa por: (1;�4); (5; 2); centro sobre: x� 2y + 9 = 0.Alvaro Cabrera Javier 43 CALCULO I - CHUNGARA

Solución. Se tiene las siguientes ecuaciones

(h� 1)2 + (k + 4)2 = R2

(h� 5)2 + (k � 2)2 = R2

h� 2k + 9 = 0

resolviendo el sistema: R =p65; h = �3; k = 3, entonces la ecuación

de la circunferencia F = 32 + 32 � 65 = �47

x2 + y2 + 6x� 6y � 47 = 0

105051015

10

7.5

5

2.5

0

2.5

5

x

y

x

y

d) Pasa por: (�2; 3); (4; 5); centro sobre el eje x.Solución. Sea la ecuación de la circunferencia que pasa por el eje x

(x� h)2 + y2 = r2

sustituyendo los puntos�(�2� h)2 + 32 = r2(4� h)2 + 52 = r2

Resolviendo el sistema:�h =

7

3; r2 = �250

9

�y�h =

7

3; r =

250

9

�. La ecuació

de la circunferencia es: �x� 7

3

�2+ y2 =

250

9

10864202468

6

4

2

0

2

4

6

x

y

x

y



e) Radio: 10 tangente a: 3x� 4y � 13 = 0 en: (7; 2)Solución. La distancia de un punto a una recta y la ecuación de lacircunferencia, tenemos:8<: 10 =

3h� 4k � 135

(7� h)2 + (2� k)2 = 100

Resolviendo el sistema: h = 13 y k = �6. Entonces la ecuación es:

(x� 13)2 + (y + 6)2 = 102

2520151050510

5

0

5

10

15

x

y

x

y

f ) Inscrita al triángulo de lados: 4x � 3y � 65 = 0; 7x � 24y + 55 = 0;3x+ 4y = 5.

Solución. Aplicando distancia de un punto a una recta:8>>>><>>>>:d =

4h� 3k � 655

d =7h� 24k + 55

�25d =

3h+ 4k � 55

Resolviendo el sistema: d = �10, h = �3 y k = �9. La ecuación buscadaes:

(x+ 3)2 + (y + 9)2 = 102

12.5012.525

5

0

5

10

15

20

25

x

y

x

y


g) Circunscrita al triángulo de lados: x � y + 2 = 0; 2x + 3y � 1 = 0;4x+ y � 17 = 0.Solución. Hallamos los tres puntos donde pasa la circunferencia�

x� y + 2 = 02x+ 3y � 1 = 0

El punto A (�1; 1). Luego�x� y + 2 = 04x+ y � 17 = 0

El punto B (3; 5) �nalmente�2x+ 3y � 1 = 04x+ y � 17 = 0

El punto C (5;�3).Sea la ecuación de la circunferencia: x2 + y2 +Cx+Dy + E = 0, sustituendo estos tres puntos en esta ecuación:8<:

2� C +D + E = 034 + 3C + 5D + E = 034 + 5C � 3D + E = 0

Resolviendo el sistema: C = �325, D = �8

5y E = �34

5. La ecuación de

la circunferencia

5x2 + 5y2 � 32x� 8y � 34 = 0

1086420246810

5

2.5

0

2.5

x

y

x

y

h) Circunscrita al triángulo de lados: 3x + 2y � 13 = 0; x + 2y � 3 = 0;x+ y � 5 = 0.Solución. Hallamos los tres puntos donde pasa la circunferencia�

3x+ 2y � 13 = 0x+ 2y � 3 = 0

El punto A (5;�1). Luego�3x+ 2y � 13 = 0x+ y � 5 = 0



El punto B (3; 2) �nalmente�x+ 2y � 3 = 0x+ y � 5 = 0

El punto C (7;�2).Sea la ecuación de la circunferencia: x2 + y2 +Cx+Dy + E = 0, sustituendo estos tres puntos en esta ecuación:8<:

26 + 5C �D + E = 013 + 3C + 2D + E = 053 + 7C � 2D + E = 0

Resolviendo el sistema: C = �17, D = �7 y E = 52. La ecuación de lacircunferencia

x2 + y2 � 17x� 7y + 52 = 0

1510505

10

7.5

5

2.5

0

2.5

x

y

x

y

i) Tangente a: 4x + 3y � 40 = 0; centro en la intersección de: x + y = 4;x� y = 2.Solución. Hallamos el centro�

x+ y = 4x� y = 2

C (3; 1). Distancia de un punto a una recta

r =

��4 (3) + 3 (1)� 405

��r = 5

entonces la circunferencia

(x� 3)2 + (y � 1)2 = 52

19. Hallar la Ecuación General de la Parábola, que satisface los siguientes datos:

a) Vértice: (0; 0); foco: (6; 0).Solución. Dada la forma (y � h) = 4a (x� h)2, donde V (h; k) = (0; 0)y a = 6. Sustituyendo

y = 24x2


10.500.51

25

20

15

10

5

0

x

y

x

y

b) Vértice: (0; 0); foco (�2; 0).Solución. Dada la forma (y � k)2 = 4a (x� h)2, donde V (h; k) = (0; 0)y a = �2. Sustituyendo

y2 = �8xy =

p�8x

012.52537.55062.5

25

12.5

0

12.5

25

x

y

x

y

c) Vértice: (2; 4); foco (7; 4).Solución. Dada la forma (y � k)2 = 4a (x� h), donde V (h; k) = (2; 4)y a = 7� 2 = 5. Sustituyendo

(y � 4)2 = 10 (x� 2)

10987654321012

14131211109876543210

123456

x

y

x

y

d) Vértice: (3; 1); foco (3; 5).Alvaro Cabrera Javier 48 CALCULO I - CHUNGARA


Solución. Dada la forma (y � k) = 4a (x� h)2, donde V (h; k) = (3; 1)y a = 5� 1 = 4. Sustituyendo

y � 1 = 8 (x� 3)2

= 8 (x� 3)2 + 1= 8x2 � 48x+ 73

54.543.532.521.51

15

12.5

10

7.5

5

2.5

0

x

y

x

y

e) Vértice: (3; 2); Directriz: x� 1 = 0.f ) Vértice: (2; 1); Latus rectum entre: (5;�5); (5; 7).g) Foco: (4; 3); Directriz: x+ 2 = 0.

20. Hallar Vértice y Foco de las siguientes Parábolas:

a) y2 � 16x = 0.b) y2 � 8x� 6y + 17 = 0.c) x2 � 24y = 0.d) x2 � 4x� 12y + 64 = 0.

21. Hallar la Ecuación General de la Parábola que satisface los siguientes datos:

a) Eje paralelo al eje x; pasa por: (3; 6); vértice: (0; 0).

b) Eje paralelo al eje y; pasa por: (4; 1); vértice: (0; 0).

c) Eje paralelo al eje x; pasa por: (5; 7); (5;�5); (2; 1).d) Eje paralelo al eje y; pasa por: (6; 2); (2; 1); (�6; 5).e) Eje paralelo al eje x; pasa por: (3; 5); (6;�1); vértice sobre: 2y�3x = 0.f ) Latus rectum entre: (3; 3); (3;�2).

22. Un cable colgante forma una parábola, las torres de soporte son de 220 m dealtura, separadas entre sí por 1500 m. El punto más bajo del cable está a 70m de altura. Hallar la altura entre el cable y la base a 150 m de una torre.

23. Hallar la ecuación general de la elipse, que satisface los siguientes datos:

a) Centro: (0; 0); semiejes: 6; 2.Alvaro Cabrera Javier 49 CALCULO I - CHUNGARA

b) Centro: (2; 1); semiejes: (4; 2).

c) Vértices: (�5; 0); focos (�3; 0).d) Focos: (�4; 0); excentricidad: e = 0;8.e) Vértices: (�8; 0); e = 0;5.f ) Vértices: (0;�10); focos: (0;�8).g) Vértices: (0;�4); e = 0;25.h) Vértices: (�1; 3), (9; 3); focos: (1; 3), (7; 3).

i) Vértices: (1; 2), (7; 2); e =1

3.

j ) Focos: (3; 1); (7; 1); e =2

3.

k) Vértices: (2; 1), (2; 5); focos: (2; 2), (2; 4).

l) Un foco: (�1; 1); directriz: x = 0; e =p2

2.

24. Hallar el Centro y Semieje Mayor y Menor de las siguientes Elipses:

a) x2 + 9y2 � 9 = 0.b) x2 + 4y2 � 2x� 24y + 21 = 0.c) 4x2 + 9y2 � 36 = 0.d) 9x2 + 4y2 � 36x� 8y � 104 = 0.

25. Hallar la ecuación general de la elipse que satisface los siguientes datos:

a) Pasa por: (0; 1), (2; 0); Centro: (0; 0).

b) Pasa por:�6;29

5

�, (2; 7),

�5;32

5

�, (7; 4).

c) Pasa por: (1; 0), (�1; 1), (2; 2), (0; 4).

26. Un arco de 80 m de base, tiene forma semielíptica, sabiendo que su altura esde 30 m. Hallar la altura cuando se recorre 15 m del centro.

27. Hallar la ecuación general de la hipérbola que satisface los siguientes datos:

a) Centro: (0; 0); semieje real e imaginario: 4; 2; Eje paralelo al eje x.

b) Centro: (3; 2); semiejes: 6; 3; eje real paralelo al eje x.

c) Vértices: (�5; 0); focos: (�13; 0).

d) Vértices: (�6; 0); Excentricidad: e = 5

3.

e) Focos: (�4; 0); e = 2.f ) Vértices: (0;�3); focos: (0;�5).g) Vértices: (0;�2); e = 1;5.



h) Vértices: (1; 3), (7; 3); focos: (�1; 3), (9; 3).i) Vértices: (1; 2); (3; 2); focos: (�1; 2), (5; 2).j ) Vértices: (2; 3); (6; 3); e = 3.

k) Focos: (3; 4), (3;�2); e = 1;5.

28. Hallar el centro y semiejes real e imaginario de las siguientes hipérbolas:

a) 4x2 � y2 � 16 = 0.b) 9x2 � 16y2 � 36x+ 128y � 796 = 0.c) 4x2 � y2 + 36 = 0.d) 4x2 � y2 � 16x+ 2y + 19 = 0.

29. Hallar la ecuación de la hipérbola que satisface los siguientes datos:

a) Pasa por:�20

3; 4

�; (4; 0); centro: (0; 0).

b) Pasa por: (12; 1);�52

3; 9

�, (�4; 1),

��283;�7

�.

c) Pasa por: (2; 2),�2p2; 3�,��2p2; 1�, (�2; 2).

d) Vértices: (�6; 0); asíntotas: y = �7x6.

e) Centro: (0; 0); latus rectum: 36; c = 12; eje paralelo al eje y.

30. Hallar la resolución de los siguientes problemas de geometría analítica.

a) Hallar la ecuación de la esfera de radio 4 cuyo centro está en la inter-sección de las rectas: x+ 2y � 5 = 0; 2x� y � 5 = 0.

b) Hallar la mínima distancia entre la recta: 3x+4y� 36 = 0; y la circun-ferencia: x2+y2�6x�2y+6 = 0. Hallar también los puntos de la rectay circunferencia que determinan esa mínima distancia.

c) Hallar la ecuación de circunferencia, que pasa por los puntos: (�1; 1);(8;�2) es tangente a la recta: 3x+ 4y � 41 = 0.

d) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el centro de la cir-cunferencia x2 + y2 � 4x � 8y + 11 = 0. Su latus rectum entre (3; 2) y(3; 6).

e) Hallar la ecuación de la elipse, cuyo centro coincide con el vértice de laparábola: y2 � 12x� 2y + 25 = 0. Sus semiejes son: 4; 2.

f ) Hallar el lugar geométrico de puntos, que dividen a las ordenadas de los

puntos de una circunferencia x2 + y2 = R2, en la relación:1

2.

g) Un punto P se mueve de manera que el producto de pendientes de lasdos rectas que unen al punto P con los puntos �jos (�2; 1); (6; 5) esconstante e igual a �4. Hallar la ecuación del lugar geométrico.


h) La órbita de la tierra es una elipse, en uno de sus focos está el sol; elsemieje mayor es de 148;5 � 106 km, su excentricidad 0;017. Hallar lamáxima distancia entre la tierra y el sol.

i) Hallar el lugar geométrico de los puntos, cuya distancia al punto �jo

(0; 6) sea3

2de la correspondiente distancia a la recta y � 8

3= 0.


CAPÍTULO 4. LIMITES

Capítulo 4 LIMITESHallar los siguientes Límites Algebraicos con radicales

1. l��mx�!9

9� x3�

px

Solución.

l��mx�!9

9� x3�

px= l��m

x�!9

32 � (px)2

3�px

= l��mx�!9

(3�px) (3 +

px)

3�px

= l��mx�!9

�3 +

px�= 3 +

p9 = 6==

2. l��mx�!4

px� 2x� 4

Solución.

l��mx�!4

px� 2x� 4 = l��m

x�!4

px� 2

(px)2 � 22

= l��mx�!4

px� 2

(px� 2) (

px+ 2)

= l��mx�!4

1px+ 2

=1p4 + 2

=1

4==

3. l��mx�!1

px+ 8� 3x� 1

Solución.

l��mx�!1

px+ 8� 3x� 1 = l��m

x�!1

�px+ 8� 3

� �px+ 8 + 3

�(x� 1)

�px+ 8 + 3

� = l��mx�!1

�px+ 8

�2 � 32(x� 1)

�px+ 8 + 3

�= l��m

x�!1

x+ 8� 9(x� 1)

�px+ 8 + 3

� = l��mx�!1

x� 1(x� 1)

�px+ 8 + 3

�= l��m

x�!1

1px+ 8 + 3

=1p9 + 3

=1

6==

4. l��mx�!2

x� 2px+ 2� 2

Solución.

l��mx�!2

x� 2px+ 2� 2

= l��mx�!2

(x� 2)�px+ 2 + 2

��px+ 2� 2

� �px+ 2 + 2

�= l��m

x�!2

(x� 2)�px+ 2 + 2

��px+ 2

�2 � 22 = l��mx�!2

(x� 2)�px+ 2 + 2

�x+ 2� 4

= l��mx�!2

(x� 2)�px+ 2 + 2

�x� 2 = l��m

x�!2

�px+ 2 + 2

�=

p4 + 2 = 4==


5. l��mx�!3

2�px+ 1

3� xSolución.

l��mx�!3

2�px+ 1

3� x = l��mx�!3

�2�

px+ 1

� �2 +

px+ 1

�(3� x)

�2 +

px+ 1

�= l��m

x�!3

22 ��px+ 1

�2(3� x)

�2 +

px+ 1

� = l��mx�!3

4� x� 1(3� x)

�2 +

px+ 1

�= l��m

x�!3

3� x(3� x)

�2 +

px+ 1

� = l��mx�!3

1

2 +px+ 1

=1

2 +p3 + 1

=1

4==

6. l��mx�!2

px+ 7� 3x2 � 4

Solución.

l��mx�!2

px+ 7� 3x2 � 4 = l��m

x�!2

�px+ 7� 3

� �px+ 7 + 3

�(x� 2) (x+ 2)

�px+ 7 + 3

�= l��m

x�!2

�px+ 7

�2 � 32(x� 2) (x+ 2)

�px+ 7 + 3

�= l��m

x�!2

x+ 7� 9(x� 2) (x+ 2)

�px+ 7 + 3

�= l��m

x�!2

x� 2(x� 2) (x+ 2)

�px+ 7 + 3

�= l��m

x�!2

1

(x+ 2)�px+ 7 + 3

� = 1

(2 + 2)�p2 + 7 + 3

�=

1

(4) (6)=1

24==

7. l��mx�!3

x�px+ 6

x� 3Solución.

l��mx�!3

x�px+ 6

x� 3 = l��mx�!3

�x�

px+ 6

� �x+

px+ 6

�(x� 3)

�x+

px+ 6

�= l��m

x�!3

x2 ��px+ 6

�2(x� 3)

�x+

px+ 6

� = l��mx�!3

x2 � x� 6(x� 3)

�x+

px+ 6

�= l��m

x�!3

(x� 3) (x+ 2)(x� 3)

�x+

px+ 6

� = l��mx�!3

x+ 2

x+px+ 6

=3 + 2

3 +p3 + 6

=5

3 + 3=5

6==



8. l��mx�!1

p5x+ 4� 3x� 1

Solución.

l��mx�!1

p5x+ 4� 3x� 1 = l��m

x�!1

�p5x+ 4� 3

� �p5x+ 4 + 3

�(x� 1)

�p5x+ 4 + 3

�= l��m

x�!1

�p5x+ 4

�2 � 32(x� 1)

�p5x+ 4 + 3

� = l��mx�!1

5x+ 4� 9(x� 1)

�p5x+ 4 + 3

�= l��m

x�!1

5x� 5(x� 1)

�p5x+ 4 + 3

� = l��mx�!1

5 (x� 1)(x� 1)

�p5x+ 4 + 3

�= l��m

x�!1

5p5x+ 4 + 3

=5p

5 (1) + 4 + 3=

5p9 + 3

=5

6==

9. l��mx�!2

px+ 2� 2

x2 � 3x+ 2Solución.

l��mx�!2

px+ 2� 2

x2 � 3x+ 2 = l��mx�!2

�px+ 2� 2

� �px+ 2 + 2

�(x� 2) (x� 1)

�px+ 2 + 2

�= l��m

x�!2

�px+ 2

�2 � 22(x� 2) (x� 1)

�px+ 2 + 2

�= l��m

x�!2

x+ 2� 4(x� 2) (x� 1)

�px+ 2 + 2

�= l��m

x�!2

x� 2(x� 2) (x� 1)

�px+ 2 + 2

�= l��m

x�!2

1

(x� 1)�px+ 2 + 2

� = 1

(2� 1)�p2 + 2 + 2

� = 1

4==

10. l��mx�!3

2�px+ 1

1�px� 2

Solución.

l��mx�!3

2�px+ 1

1�px� 2

= l��mx�!3

�2�

px+ 1

� �2 +

px+ 1

� �1 +

px� 2

��1�

px� 2

� �1 +

px� 2

� �2 +

px+ 1

�= l��m

x�!3

h22 �

�px+ 1

�2i �1 +

px� 2

�h12 �

�px� 2

�2i �2 +

px+ 1

�= l��m

x�!3

[4� x� 1]�1 +

px� 2

�[1� x+ 2]

�2 +

px+ 1

� = l��mx�!3

[3� x]�1 +

px� 2

�[3� x]

�2 +

px+ 1

�= l��m

x�!3

1 +px� 2

2 +px+ 1

=1 +

p3� 2

2 +p3 + 1

=1

2==


11. l��mx�!2

px� 1� 1px+ 7� 3

Solución.

l��mx�!2

px� 1� 1px+ 7� 3

= l��mx�!2

�px� 1� 1

� �px� 1 + 1

� �px+ 7 + 3

��px+ 7� 3

� �px+ 7 + 3

� �px� 1 + 1

�= l��m

x�!2

h�px� 1

�2 � 12i �px+ 7 + 3�h�px+ 7

�2 � 32i �px� 1 + 1�= l��m

x�!2

[x� 2]�px+ 7 + 3

�[x� 2]

�px� 1 + 1

� = l��mx�!2

px+ 7 + 3px� 1 + 1

=

p2 + 7 + 3p2� 1 + 1

=6

2= 3==

12. l��mx�!4

p2x+ 1�

px+ 5

x� 4Solución.

l��mx�!4

p2x+ 1�

px+ 5

x� 4 = l��mx�!4

�p2x+ 1�

px+ 5

� �p2x+ 1 +

px+ 5

�(x� 4)

�p2x+ 1 +

px+ 5

�= l��m

x�!4

�p2x+ 1

�2 � �px+ 5�2(x� 4)

�p2x+ 1 +

px+ 5

�= l��m

x�!4

2x+ 1� x� 5(x� 4)

�p2x+ 1 +

px+ 5

�= l��m

x�!4

x� 4(x� 4)

�p2x+ 1 +

px+ 5

�= l��m

x�!4

1p2x+ 1 +

px+ 5

=1p

2 (8) + 1 +p4 + 5

=1

6==

13. l��mx�!1

3x�px+ 8

2x�px+ 3

Solución.

l��mx�!1

3x�px+ 8

2x�px+ 3

= l��mx�!1

�3x�

px+ 8

� �3x+

px+ 8

� �2x+

px+ 3

��2x�

px+ 3

� �2x+

px+ 3

� �3x+

px+ 8

�= l��m

x�!1

h(3x)2 �

�px+ 8

�2i �2x+

px+ 3

�h(2x)2 �

�px+ 3

�2i �3x+

px+ 8

�= l��m

x�!1

(9x2 � x� 8)�2x+

px+ 3

�(4x2 � x� 3)

�3x+

px+ 8

�= l��m

x�!1

(x� 1) (9x+ 8)�2x+

px+ 3

�(x� 1) (4x+ 3)

�3x+

px+ 8

�= l��m

x�!1

(9x+ 8)�2x+

px+ 3

�(4x+ 3)

�3x+

px+ 8

� = (9 + 8)�2 +

p1 + 3

�(4 + 3)

�3 +

p1 + 8

� = 34

21==



14. l��mx�!2

px2 + 5� 3x� 2

Solución.

l��mx�!2

px2 + 5� 3x� 2 = l��m

x�!2

�px2 + 5� 3

� �px2 + 5 + 3

�(x� 2)

�px2 + 5 + 3

�= l��m

x�!2

�px2 + 5

�2 � 32(x� 2)

�px2 + 5 + 3

� = l��mx�!2

x2 + 5� 9(x� 2)

�px2 + 5 + 3

�= l��m

x�!2

x2 � 4(x� 2)

�px2 + 5 + 3

� = l��mx�!2

(x� 2) (x+ 2)(x� 2)

�px2 + 5 + 3

�= l��m

x�!2

x+ 2px2 + 5 + 3

=2 + 2p22 + 5 + 3

=2

3==

15. l��mx�!5

p2x� 1�

px+ 4p

2x� 6�px� 1

Solución.

= l��mx�!5

�p2x� 1�

px+ 4

� �p2x� 1 +

px+ 4

� �p2x� 6 +

px� 1

��p2x� 6�

px� 1

� �p2x� 6 +

px� 1

� �p2x� 1 +

px+ 4

�= l��m

x�!5

�p2x� 1

�2 � �px+ 4�2 �p2x� 6 +px� 1��p2x� 6

�2 � �px� 1�2 �p2x� 1 +px+ 4�= l��m

x�!5

(2x� 1� x� 4)�p2x� 6 +

px� 1

�(2x� 6� x+ 1)

�p2x� 1 +

px+ 4

�= l��m

x�!5

(x� 5)�p2x� 6 +

px� 1

�(x� 5)

�p2x� 1 +

px+ 4

�= l��m

x�!5

p2x� 6 +

px� 1p

2x� 1 +px+ 4

=

p2 (5)� 6 +

p5� 1p

2 (5)� 1 +p5 + 4

=2 + 2

3 + 3=2

3==

16. l��mx�!1

1� x1� 3

px

Solución.

l��mx�!1

1� x1� 3

px= l��m

x�!1

(1� x)�1 + 3

px+

3px2�

(1� 3px)�1 + 3

px+

3px2�

= l��mx�!1

(1� x)�1 + 3

px+

3px2�

1� ( 3px)3

= l��mx�!1

(1� x)�1 + 3

px+

3px2�

1� x= l��m

x�!11 + 3

px+

3px2 = 3==


17. l��mx�!1

5px� 1x� 1

Solución.

l��mx�!1

5px� 1x� 1 = l��m

x�!1

( 5px� 1)

�5px4 +

5px3 +

5px2 + 5

px+ 1

�(x� 1)

�5px4 +

5px3 +

5px2 + 5

px+ 1

�= l��m

x�!1

( 5px)5 � 15

(x� 1)�

5px4 +

5px3 +

5px2 + 5

px+ 1

�= l��m

x�!1

x� 1(x� 1)

�5px4 +

5px3 +

5px2 + 5

px+ 1

�= l��m

x�!1

15px4 +

5px3 +

5px2 + 5

px+ 1

=1

1 + 1 + 1 + 1 + 1=1

5

18. l��mx�!4

1� 3px� 3

4� x

Solución.

l��mx�!4

1� 3px� 3

4� x = l��mx�!4

�1� 3

px� 3

��1 + 3

px� 3 + 3

q(x� 3)2

�(4� x)

�1 + 3

px� 3 + 3

q(x� 3)2

�= l��m

x�!4

13 ��3px� 3

�3(4� x)

�1 + 3

px� 3 + 3

q(x� 3)2

�= l��m

x�!4

1� x+ 3

(4� x)�1 + 3

px� 3 + 3

q(x� 3)2

�= l��m

x�!4

4� x

(4� x)�1 + 3

px� 3 + 3

q(x� 3)2

�= l��m

x�!4

1

1 + 3px� 3 + 3

q(x� 3)2

=1

1 + 3p4� 3 + 3

q(4� 3)2

=1

3==

19. l��mx�!1

1� 5px

1� 3px



Solución.

l��mx�!1

1� 5px

1� 3px= l��m

x�!1

(1� 5px)�1 + 5

px+

5px2 +

5px3 +

5px4��1 + 3

px+

3px2�

(1� 3px)�1 + 3

px+

3px2��1 + 5

px+

5px2 +

5px3 +

5px4�

= l��mx�!1

�15 � ( 5

px)5��1 + 3

px+

3px2�

�13 � ( 3

px)3��1 + 5

px+

5px2 +

5px3 +

5px4�

= l��mx�!1

(1� x)�1 + 3

px+

3px2�

(1� x)�1 + 5

px+

5px2 +

5px3 +

5px4�

= l��mx�!1

1 + 3px+

3px2�

1 + 5px+

5px2 +

5px3 +

5px4� = 1 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1 + 1=3

5==

20. l��mx�!0

3px+ 1� 1px+ 1� 1

Solución.

l��mx�!0

3px+ 1� 1px+ 1� 1

= l��mx�!0

�3px+ 1� 1

��3

q(x+ 1)2 + 3

px+ 1 + 1

��px+ 1 + 1

��px+ 1� 1

� �px+ 1 + 1

��3

q(x+ 1)2 + 3

px+ 1 + 1

�

= l��mx�!0

��3px+ 1

�3 � 13� �px+ 1 + 1��px+ 1

�2 � 12�� 3

q(x+ 1)2 + 3

px+ 1 + 1

�= l��m

x�!0

(x+ 1� 1)�px+ 1 + 1

�(x+ 1� 1)

�3

q(x+ 1)2 + 3

px+ 1 + 1

�= l��m

x�!0

px+ 1 + 1

3

q(x+ 1)2 + 3

px+ 1 + 1

=

p0 + 1 + 1

3

q(0 + 1)2 + 3

p0 + 1 + 1

=2

3==

21. l��mx�!1

mpx� 1

npx� 1


Solución.

l��mx�!1

mpx� 1

npx� 1 = l��m

x�!1

( mpx� 1)

�( mpx)m�1

+ ( mpx)m�2

+ :::+ mpx+ 1

�( npx� 1)

�( mpx)m�1

+ ( mpx)m�2

+ :::+ mpx+ 1

�= l��m

x�!1

(x� 1)�( npx)n�1

+ ( npx)n�2

+ :::+ npx+ 1

�(x� 1)

�( mpx)m�1

+ ( mpx)m�2

+ :::+ mpx+ 1

�= l��m

x�!1

( npx)n�1

+ ( npx)n�2

+ :::+ npx+ 1

( mpx)m�1

+ ( mpx)m�2

+ :::+ mpx+ 1

=n

m

22. l��mx�!1

3px+ 7� 2px+ 3� 2

Solución.

= l��mx�!1

�3px+ 7� 2

� ��3px+ 7

�2+�3px+ 7

�(2) + 4

� �px+ 3 + 2

��px+ 3� 2

� �px+ 3 + 2

� ��3px+ 7

�2+�3px+ 7

�(2) + 4

�= l��m

x�!1

��3px+ 7

�3 � 23� �px+ 3 + 2��px+ 3

�2 � 22�� 3px+ 7

�2+�3px+ 7

�(2) + 4

�= l��m

x�!1

(x� 1)�px+ 3 + 2

�(x� 1)

��3px+ 7

�2+�3px+ 7

�(2) + 4

�= l��m

x�!1

px+ 3 + 2�

3px+ 7

�2+�3px+ 7

�(2) + 4

=1

3==

23. l��mx�!1

px� 4

pxp

x� 3px

Solución.

= l��mx�!1

(px� 4

px)h(px)3+ (px)2( 4px) + (

px) ( 4

px)2+ ( 4px)3i

(px� 3

px)h(px)2+ (px) ( 3

px) + ( 3

px)2i

= l��mx�!1

�(px)4 � ( 4

px)4� h(px)2+ (px) ( 3

px) + ( 3

px)2i

�(px)3 � ( 3

px)3� h(px)3+ (px)2( 4px) + (

px) ( 4

px)2+ ( 4px)3i

=3

4l��mx�!1

(x� 1) (px+ 1)

(px� 1) (

px+ 1)

=3

4l��mx�!1

(x� 1) (px+ 1)

x� 1 =3

4l��mx�!1

px+ 1 =

3

2==



24. l��mx�!4

ppx+ 7� 3x� 4

Solución.

l��mx�!4

ppx+ 7� 3x� 4 = l��m

x�!4

�ppx+ 7� 3

��ppx+ 7 + 3

�(x� 4)

�ppx+ 7 + 3

�= l��m

x�!4

�ppx+ 7

�2� 32

(x� 4)�pp

x+ 7 + 3�

= l��mx�!4

(px� 2) (

px+ 2)

(x� 4)�pp

x+ 7 + 3�(px+ 2)

= l��mx�!4

x� 4(x� 4)

�ppx+ 7 + 3

�(px+ 2)

= l��mx�!4

1�ppx+ 7 + 3

�(px+ 2)

=1�pp

4 + 7 + 3� �p

4 + 2� = 1

24==

25. l��mx�!4

1�px+

px� 3

x� 4Solución.

= l��mx�!4

�1 +

px� 3�

px� �1 +

px� 3 +

px�

(x� 4)�1 +

px� 3 +

px�

= l��mx�!4

�1 +

px� 3

�2 � (px)2(x� 4)

�1 +

px� 3 +

px�

= l��mx�!4

2�px� 3� 1

� �px� 3 + 1

�(x� 4)

�1 +

px� 3 +

px� �p

x� 3 + 1�

= l��mx�!4

2h�p

x� 3�2 � 12i

(x� 4)�1 +

px� 3 +

px� �p

x� 3 + 1�

= l��mx�!4

2�1 +

px� 3 +

px� �p

x� 3 + 1�

=2�

1 +p4� 3 +

p4� �p

4� 3 + 1� = 1

4

26. l��mx�!1

x2 �pxp

x� 1Alvaro Cabrera Javier 61 CALCULO I - CHUNGARA

Solución.

l��mx�!1

x2 �pxp

x� 1 = l��mx�!1

(x2 �px) (x2 +

px) (px+ 1)

(px� 1) (x2 +

px) (px+ 1)

= l��mx�!1

�(x2)

2 � (px)2�(px+ 1)�

(px)2 � 12

�(x2 +

px)

= l��mx�!1

x (x3 � 1) (px+ 1)

(x� 1) (x2 +px)

= l��mx�!1

x (x� 1) (x2 + x+ 1) (px+ 1)

(x� 1) (x2 +px)

= l��mx�!1

x (x2 + x+ 1) (px+ 1)

x2 +px

=(1) (12 + 1 + 1)

�p1 + 1

��12 +

p1� = 3

27. l��mx�!1

3p7 + x3 � 2xx� 1

Solución.

l��mx�!1

3p7 + x3 � 2xx� 1 = l��m

x�!1

�3p7 + x3 � 2x

� h�3p7 + x3

�2+ 2x

�3p7 + x3

�+ 4x2

i(x� 1)

h�3p7 + x3

�2+ 2x

�3p7 + x3

�+ 4x2

i= l��m

x�!1

�3p7 + x3

�3 � (2x)3(x� 1)

h�3p7 + x3

�2+ 2x

�3p7 + x3

�+ 4x2

i= l��m

x�!1

7 (1� x3)(x� 1)

h�3p7 + x3

�2+ 2x

�3p7 + x3

�+ 4x2

i= l��m

x�!1

7 (1� x) (1 + x+ x2)(x� 1)

h�3p7 + x3

�2+ 2x

�3p7 + x3

�+ 4x2

i= l��m

x�!1

7 (1 + x+ x2)�3p7 + x3

�2+ 2x

�3p7 + x3

�+ 4x2

=7 (1 + 1 + 12)�

3p7 + 13

�2+ 2 (1)

�3p7 + 13

�+ 4 (1)2

=7

4

Hallar los siguientes límites

1. l��mx�!1

8x� 64x+ 9

.

Solución.l��mx�!1

8x� 64x+ 9

= 2



2. l��mx�!1

x2 + 1

x� 1 .

Solución.

l��mx�!1

x2 + 1

x� 1 =1

3. l��mx�!1

6x3 + x+ 3

2x3 + x2 + 1.

Solución.

l��mx�!1

6x3 + x+ 3

2x3 + x2 + 1= 3

4. l��mx�!1

x2 + 1

x4 + 1.

Solución.

l��mx�!1

x2 + 1

x4 + 1= 0

5. l��mx�!1

px2 + 1

x+ 1.

Solución.

l��mx�!1

px2 + 1

x+ 1= 1

6. l��mx�!1

(2x+ 3)4 (3x+ 2)3

x7 + 1.

Solución.

l��mx�!1

(2x+ 3)4 (3x+ 2)3

x7 + 1= 432

7. l��mx�!1

p1 +

pxp

1 + x.

Solución.

l��mx�!1

p1 +

pxp

1 + x= 0

8. l��mx�!1

(2x2 + 1)6

(3x3 + 1)4.

Solución.

l��mx�!1

(2x2 + 1)6

(3x3 + 1)4=64

81

9. l��mx�!1

(x+ 1)m xn

xm (xn � 1) .

Solución.

l��mx�!1

(x+ 1)m xn

xm (xn � 1) = 1

Hallar los siguientes límites:Alvaro Cabrera Javier 63 CALCULO I - CHUNGARA

1. l��mx�!1

x2 � 9x.


x2 � 9x =1

2. l��mx�!1

px+ 1�

px� 1.


px+ 1�

px� 1 =

3. l��mx�!1

px2 + 1� x.

Solución.

l��mx�!1

px2 + 1� x = l��m

x�!1

�px2 + 1� x

��px2 + 1 + xpx2 + 1 + x

= l��mx�!1

x2 + 1� x2px2 + 1 + x

= l��mx�!1

1px2 + 1 + x

=1p

1+ 1 +1=1

1 = 0

4. l��mx�!1

x�px+ 1.

Solución.

l��mx�!1

x�px+ 1 = l��m

x�!1

�x�

px+ 1

�� x+

px+ 1

x+px+ 1

= l��mx�!1

x2 � x� 1x+

px+ 1

�1

x21

x2

= l��mx�!1

1� 1

x� 1

x2

1

x+

r1

x3+1

x4

=1

0=1

5. l��mx�!1

x2 �px4 + 1.

Solución.

l��mx�!1

x2 �px4 + 1 = l��m

x�!1

�x2 �

px4 + 1

�� x

2 +px4 + 1

x2 +px4 + 1

= l��mx�!1

x4 � x4 � 1x2 +

px4 + 1

= l��mx�!1

�1x2 +

px4 + 1

=�11 = 0

6. l��mx�!1

3px+ 1� 3

px.

Solución.

l��mx�!1

3px+ 1� 3

px = l��m

x�!1

�3px+ 1� 3

px��

h�3px+ 1

�2+�3px+ 1

�( 3px) + ( 3

px)2i

h�3px+ 1

�2+�3px+ 1

�( 3px) + ( 3

px)2i

= l��mx�!1

1h�3px+ 1

�2+�3px+ 1

�( 3px) + ( 3

px)2i = 1

1 = 0



7. l��mx�!1

ex+1 � ex.


ex+1 � ex =

8. l��mx�!1

3x � 2x.

Solución.

9. l��mx�!1

ln (x� 1)� lnx.

Solución.

l��mx�!1

ln (x� 1)� lnx = l��mx�!1

lnx� 1x

= ln l��mx�!1

1� 1

x= 0

10. l��mx�!1

x� x2

x+ 1.

Solución.

l��mx�!1

x� x2

x+ 1= l��m

x�!1

x2 + x� x2x+ 1

= l��mx�!1

x

x+ 1= 1

11. l��mx�!1

1

x� 1 �3

x3 � 1 .

Solución.

12. l��mx�!1

1

1� x �1

1�px.

Solución.

13. l��mx�!1

px� 3

px.

Solución.

14. l��mx�!1

x3

x� 1 � x2.

Solución.

15. l��mx�!1

x3

x2 � 1 �x2

x+ 1.

Solución.


16. l��mx�!1

23x � 2x.

Solución.

17. l��mx�!1

x3

1� x2 � x.

Solución.

18. l��mx�!1

m

1� xm �n

1� xn .

Solución.

19. l��mx�!1

x� sen x.

Solución.

20. l��mx�!1

ln 2x� lnx.

Solución.

21. l��mx�!1

senpx+ 1� sen

px.

Solución.

22. l��mx�!0

1

x2� 1p

x.

Solución.

l��mx�!0

1

x2� 1p

x= l��m

x�!0

px� x2x2px

cambio de variables u2 = x

l��mx�!0

px� x2x2px

= l��mu�!0

u� u4u4u

= l��mu�!0

1� u3u4

=1� 00

=1

23. l��mx�!3

1

x� 3 �6

x2 � 9 .

Solución.

l��mx�!3

1

x� 3 �6

x2 � 9 = l��mx�!3

x+ 3� 6x2 � 9 = l��m

x�!3

x� 3x2 � 9 = l��m

x�!3

1

x+ 3=1

6

24. l��mx�!1

3

1�px� 2

1� 3px.

Solución.

Hallar los siguientes Límites Exponenciales y Logarítmicos:Alvaro Cabrera Javier 66 CALCULO I - CHUNGARA


1. l��mx�!0

(1 + x)3x

Solución.

l��mx�!0

(1 + x)3x = l��m

x�!0

�l��mx�!0

(1 + x)1x

�3= e3

2. l��mx�!0

(1 + x)12x

Solución.

l��mx�!0

(1 + x)12x =

�l��mx�!0

(1 + x)1x

�12

= e12

3. l��mx�!0

(1 + 2x)1x

Solución.

l��mx�!0

(1 + 2x)1x =

�l��mx�!0

(1 + 2x)12x

�2= e2

4. l��mx�!0

(1� x)1x


(1� x)1x = l��m

x�!0(1 + (�x))

�1�x = e�1

5. l��mx�!0

(1 + 3x)2x


(1 + 3x)2x = l��m

x�!0(1 + 3x)

63x = e6

6. l��mx�!0

(1� 8x)14x


(1� 8x)14x = l��m

x�!0(1 + (�8x))

�2�8x = e�2

7. l��mx�!1

�1 +

1

x

�3xSolución. Aplicando un cambio de variable u =

1

x

l��mx�!1

�1 +

1

x

�3x= l��m

u�!0(1 + u)

3

u = e3

8. l��mx�!1

�1 +

2

x

�xSolución. Aplicando el cambio de variable u =

2

x

l��mx�!1

�1 +

2

x

�x= l��m

u�!0(1 + u)

2u = e2


9. l��mx�!1

�1� 1

3x

�6xSolución. Aplicando el cambio de variable u =

1

3x

l��mx�!1

�1� 1

3x

�6x= l��m

u�!0(1 + (�u))

�2�u = e�2

10. l��mx�!0

�1 + 7x

1 + 2x

� 1x

Solución.

l��mx�!0

�1 + 7x

1 + 2x

� 1x

=l��mx�!0

(1 + 7x)1x

l��mx�!0

(1 + 2x)1x

=e7

e2= e5

11. l��mx�!2

(x� 1)1x�2

Solución.

l��mx�!2

(x� 1)1x�2 = l��m

x�!2(1� 1 + x� 1)

1x�2 = l��m

x�!2(1 + (x� 2))

1x�2 = e

12. l��mx�!0

�3 + x

3� x

� 1x

Solución.

l��mx�!0

�3 + x

3� x

� 1x

13. l��mx�!0

7x � 1x

Solución.

l��mx�!0

7x � 1x

14. l��mx�!0

5x � 13x � 1

Solución.

l��mx�!0

5x � 13x � 1

15. l��mx�!0

2x � 2�xx

Solución.

l��mx�!0

2x � 2�xx



16. l��mx�!0

8x � 4x6x � 3x


8x � 4x6x � 3x

17. l��mx�!a

xx � aax� a

Solución.l��mx�!a

xx � aax� a

18. l��mx�!a

xa � axx� a

Solución.l��mx�!a

xa � axx� a

19. l��mx�!0

ln (1� x)x


ln (1� x)x

20. l��mx�!0

1

xln1 + x

1� xSolución.

l��mx�!0

1

xln1 + x

1� x

21. l��mx�!e

x� elnx� 1

Solución.l��mx�!e

x� elnx� 1

Hallar los siguientes Límites Trigonométricos:

1. l��mx�!0

sen x

8xSolución

l��mx�!0

sen x

8x=1

8l��mx�!0

sen x

x=1

8(1) =

1

8

2. l��mx�!0

sen 7x

xSolución.

l��mx�!0

sen 7x

x= 7 l��m

x�!0

sen 7x

7x= 7 = 7

3. l��mx�!0

sen 8x

4xSolución.

l��mx�!0

sen 8x

4x=2

2l��mx�!0

sen 8x

4x= 2 l��m

x�!0

sen 8x

8x= 2


4. l��mx�!0

6x

sen 2xSolución.

l��mx�!0

6x

sen 2x=

1

l��mx�!0

sen 2x

6x

=1

1

3l��mx�!0

sen 2x

2x

=11

3

= 3

5. l��mx�!0

sen 12x

sen 2xSolución.

l��mx�!0

sen 12x

sen 2x= l��m

x�!0

sen 12x

sen 2x�1

12x1

12x

= l��mx�!0

sen 12x

12xsen 2x

12x

=l��mx�!0

sen 12x

12x1

6l��mx�!0

sen 2x

2x

= 6

6. l��mx�!0

x� sen 7xx� sen 3x

Solución.

l��mx�!0

x� sen 7xx� sen 3x = l��m

x�!0

x� x sen 7xx

x� x sen 3xx

= l��mx�!0

x

�1� 7 sen 7x

7x

�x

�1� 3 sen 3x

3x

�

= l��mx�!0

1� 7 l��mx�!0

sen 7x

7x

1� 3 l��mx�!0

sen 3x

3x

=1� 71� 3 = 3

7. l��mx�!0

tan 3x

xSolución.

l��mx�!0

tan 3x

x= l��m

x�!0

sen 3x

cos 3xx

= l��mx�!0

1

cos 3x� 3 l��mx�!0

sen 3x

3x= 3

8. l��mx�!0

tan 8x

tan 4xSolución.

l��mx�!0

tan 8x

tan 4x= l��m

x�!0

sen 8x

cos 8xsen 4x

cos 4x

= l��mx�!0

cos 4x

cos 8x� 2 l��mx�!0

sen 8x

8xsen 4x

4x

= 2



9. l��mx�!0

sen 9x� sen 5xsen 6x� sen 4x

Solución.

l��mx�!0

sen 9x� sen 5xsen 6x� sen 4x = l��m

x�!0

1

x(sen 9x� sen 5x)

1

x(sen 6x� sen 4x)

= l��mx�!0

sen 9x

x� sen 5x

xsen 6x

x� sen 4x

x

= l��mx�!0

9 sen 9x

9x� 5 sen 5x

5x6 sen 6x

6x� 4 sen 4x

4x

=9� 56� 4 = 2

10. l��mx�!0

sen2 x

1� cosx

Solución.

l��mx�!0

sen2 x

1� cosx = l��mx�!0

1� cos2 x1� cosx = l��m

x�!0

(1� cosx) (1 + cosx)1� cosx = l��m

x�!0(1 + cos x) = 2

11. l��mx�!�

3

2 cos x� 1� � 3x

Solución. l��mx�!�

3

2 cos x� 1� � 3x =

1� 1� � � =

0

0.


Primera forma: Si u = � � 3x =) x =� � u3

l��mx�!�

3

2 cos x� 1� � 3x = l��m

u�!0

2 cos��3� u3

�� 1

u

= l��mu�!0

2 cos�

3cos

u

3+ 2 sen

�

3sen

u

3� 1

u

= l��mu�!0

cosu

3+p3 sen

u

3� 1

u

= l��mu�!0

cosu

3� 1

u+

p3

3l��mu�!0

senu

3u

3

= l��mu�!0

cosu

3� 1

u�cos

u

3+ 1

cosu

3+ 1

+

p3

3

= l��mu�!0

cos2u

3� 1

u� 1

cosu

3+ 1

+

p3

3

= � l��mu�!0

senu

u� senu

cosu

3+ 1

+

p3

3

= 1 � 02+

p3

3=

p3

3

12. l��mx�!�

3

sen�x� �

3

�1� 2 cos x



Solución. l��mx�!�

3

sen�x� �

3

�1� 2 cos x =

sen��3� �3

�1� 2

�1

2

� =0

0. Si u = x� �

3

l��mx�!�

3

sen�x� �

3

�1� 2 cos x = l��m

u�!0

senu

1� 2 cos�u� �

3

�= l��m

u�!0

senu

1� 2 cosu cos �3� 2 senu cos �

3

= l��mu�!0

senu

1� cosu�p3 senu

= l��mu�!0

senu

u1� cosu

u�p3 senu

u

=1

l��mu�!0

1� cosuu

�p3

=1

l��mu�!0

1� cosuu

� 1 + cos u1 + cos u

�p3

=1

l��mu�!0

senu

u� senu

1 + cos u�p3

= �p3

3

13. l��mx�!1

sen �x

1� x

Solución. l��mx�!1

sen �x

1� x =0

0. Si u = 1� x

l��mu�!0

sen (� � �u)u

= l��mu�!0

sen � cos �u� cos � sen �uu

= � l��mu�!0

sen �u

�u= �

14. l��mx�!1

x+ cosx

x+ sen xSolución.

l��mx�!1

x+ cosx

x+ sen x

15. l��mx�!�

4

cosx� sen xcos 2x

Solución.l��mx�!�

4

cosx� sen xcos 2x


16. l��mx�!0

1� cosxx2

Solución.

l��mx�!0

1� cosxx2

= l��mx�!0

1� cosxx2

� 1 + cos x1 + cos x

= l��mx�!0

sen2 x

x2� 1

1 + cos x

=1

2

17. l��m

x�!�

2

(1� sen x)23

cosx

Solución.

l��m

x�!�

2

(1� sen x)23

cosx

18. l��mx�!0

�1

sen x� 1

tan x

�Solución.

l��mx�!0

�1

sen x� 1

tan x

�19. l��m

x�!�

sen x

cosx

2Solución.

l��mx�!�

sen x

cosx

2

20. l��mx�!0

cosx� cos 2xx2


cosx� cos 2xx2

21. l��mx�!�

4

sen x� cosxtan x� 1


4

sen x� cosxtan x� 1

22. l��mx�!1

sen �x

1�px


sen �x

1�px



23. l��mx�!1

x2�1� cos 1

x

�Solución.

l��mx�!1

x2�1� cos 1

x

�

24. l��mx�!0

cosmx� cosnxx2

Solución. Utilizando la identidad cosA�cosB = 2 sen�A+B

2

�sen

�A�B2

�

l��mx�!0

cosmx� cosnxx2

= l��mx�!0

2 sen

�mx+ nx

2

�sen

�mx� nx

2

�x2

= 2m+ n

2l��mx�!0

sen x

�m+ n

2

�x

�m+ n

2

� ��m� n2

�l��mx�!0

sen x

�m� n2

�x

�m� n2

�=

m2 � n22

25. l��mx�!0

1�pcosx

x2

Solución.

l��mx�!0

1�pcosx

x2

26. l��mx�!�

2

��2� x�tan x


2

��2� x�tan x

27. l��mx�!0

arcsenx� arctanxx3


arcsenx� arctanxx3

Hallar los siguientes Límites de Funciones Especiales (Evaluar previamente elLímite Lateral Derecha, luego el izquierdo).

1. l��mx�!3

1

x� 3Solución.

l��mx�!3

1

x� 3Alvaro Cabrera Javier 75 CALCULO I - CHUNGARA

2. l��mx�!2

jx� 2j


jx� 2j

3. l��mx�!3

kxk


kxk

4. l��mx�!1

fxg


fxg

5. l��mx�!0

e1x


e1x

6. l��mx�!2

sgn (x)� jxj


sgn (x)� jxj

7. l��mx�!2

jx� 2jx� 2


jx� 2jx� 2

8. l��mx�!0

x� jxjx


x� jxjx

9. l��mx�!0

jxj � kxkfxg � x


jxj � kxkfxg � x

Hallar los siguientes Límites de Funciones de distinta naturaleza:

1. l��mx�!0

3p1 + x� 1p1 + x� 1

Solución.

l��mx�!0

3p1 + x� 1p1 + x� 1



2. l��mx�!2

(2x� 3)2 � (x� 1)4

x3 � 3x2 + 4Solución.

l��mx�!2

(2x� 3)2 � (x� 1)4

x3 � 3x2 + 4

3. l��mx�!1

(xm + 1)n (xn � 1)m

x2mn � 1Solución.

l��mx�!1

(xm + 1)n (xn � 1)m

x2mn � 1

4. l��mx�!0

ex2 � cosxx2

Solución.

l��mx�!0

ex2 � cosxx2

5. l��mx�!0

esen 3x � esenxx

Solución.

l��mx�!0

esen 3x � esenxx

6. l��mx�!0

(1 +mx)n � (1 + nx)x2

Solución.

l��mx�!0

(1 +mx)n � (1 + nx)x2

7. l��mx�!0

2x � 2�xtan x

Solución.

l��mx�!0

2x � 2�xtan x

8. l��mx�!6

px� 2� 3

px+ 2p

x+ 3� 3px+ 21

Solución.

l��mx�!6

px� 2� 3

px+ 2p

x+ 3� 3px+ 21

9. l��mx�!1

x+ x2 + x3 + x4 � 4x� 1

Solución.

l��mx�!1

x+ x2 + x3 + x4 � 4x� 1


10. l��mx�!1

�x2 + 2

x2 � 1

�x2Solución.

l��mx�!1

�x2 + 2

x2 � 1

�x2

11. l��mx�!0

�1 + x4x

1 + x2x

� 1x2

Solución.

l��mx�!0

�1 + x4x

1 + x2x

� 1x2

12. l��mx�!1

x+ x2 + :::+ xn � nx� 1

Solución.

l��mx�!1

x+ x2 + :::+ xn � nx� 1

13. l��mx�!0

ln (cos 4x)

ln (cos 2x)

Solución.

l��mx�!0

ln (cos 4x)

ln (cos 2x)

14. l��mx�!0

(cosx)1

senx


(cosx)1

senx

15. l��mx�!0

(1 + senx)cotx


(1 + senx)cotx

16. l��mx�!1

ln (1 + 4x)

ln (1 + 2x)

Solución.

l��mx�!1

ln (1 + 4x)

ln (1 + 2x)

17. l��mx�!0

� cosxcos 3x

� 1x2

Solución.

l��mx�!0

� cosxcos 3x

� 1x2



18. l��mx�!0

(tanx+ cosx)cscx


(tan x+ cosx)cscx

19. l��mx�!1

x

�e1x � 1

�Solución.

l��mx�!1

x

�e1x � 1

�

20. l��mx�!1

�1 + x4x

1 + x2x

� 1x2

Solución.

l��mx�!1

�1 + x4x

1 + x2x

� 1x2

21. l��mx�!0

�sen xx

� senxx�senx

Solución.

l��mx�!0

�sen xx

� senxx�senx

22. l��mx�!1

lnx

log x

Solución.

l��mx�!1

lnx

log x

23. l��mx�!�

4

cosx� sen xsen 4x


4

cosx� sen xsen 4x

24. l��mx�!1

x [ln (x+ a)� lnx]


x [ln (x+ a)� lnx]

25. l��mx�!1

x sen1

x

Solución.

l��mx�!1

x sen1

xAlvaro Cabrera Javier 79 CALCULO I - CHUNGARA

26. l��mx�!0

(sen x)1

tanx


(sen x)1

tanx

27. l��mx�!1

�x2 � 2x+ 1x2 � 4x+ 2

�xSolución.

l��mx�!1

�x2 � 2x+ 1x2 � 4x+ 2

�x28. l��m

x�!2jx� 1j


jx� 1j

29. l��mx�!a

axa � aax

xa � axSolución.

l��mx�!a

axa � aax

xa � ax

30. l��mx�!0

2x� arcsenx2x+ arctanx


2x� arcsenx2x+ arctanx

31. l��mx�!2

kxkx

Solución.

l��mx�!2

kxkx

32. l��mx�!0

ln (cos x)

xSolución.

l��mx�!0

ln (cos x)

x

33. l��mx�!1

x32�px3 + 1�

px3 � 1

�Solución.

l��mx�!1

x32

�px3 + 1�

px3 � 1

�34. l��m

x�!0(sgn (x))2


(sgn (x))2



35. l��mx�!1

jxj � kxksgn (x)� fxg


jxj � kxksgn (x)� fxg

36. l��mx�!0

sgn (x) + kxkjxj+ fxg


sgn (x) + kxkjxj+ fxg

Determinar si son continuas (C) o No Continuas (NC) las siguientes Funciones,indicar además los Puntos de Discontinuidad si los hubiera.

1. f = 3x+ 1

Solución.

2. f = 5x2 � 2Solución.

3. f =1

x� 3Solución.

4. f = ex

Solución.

5. f = cos x

Solución.

6. f = tanx

Solución.

7. f =�2� x x � 1x2 x > 1

Solución.

8. f =�4� x x � 2x� 1 x > 2

Solución.

9. f =�2x+ 1 x 6= 23 x = 2

Solución.

10. f =�4� x2 x < 1x+ 2 x � 1


11. f = jx� 1jSolución.

12. f =jx� 3jx� 3

Solución.

13. f = x+ kxkSolución.

Hallar el valor de A para que las siguientes funciones sean continuas:

1. f =�2x� 1 x 6= 3A x = 3

2. f =�x ln (x� 2) x 6= 3A x = 3

3. f =

8<: x3 � 1x� 1 x 6= 1A x = 1

4. f =

8<:3� x x < 1A x = 11 + x2 x > 1


CAPÍTULO 5. DERIVADAS

Capítulo 5 DERIVADASPor de�nición, hallar las derivadas de las siguientes funciones:

1. f (x) = 5x2 + 7

Solución.

l��m�x�!0

f (x+�x)� f (x)�x

= l��m�x�!0

5 (x+�x)2 + 7� (5x2 + 7)�x

= l��m�x�!0

5x2 + 10x�x+ 5�x2 + 7� 5x2 � 7�x

= l��m�x�!0

10x�x+ 5�x2

�x= l��m

�x�!0

5�x (5x+�x)

�x= l��m

�x�!05 (5x+�x) = 10x==

2. f (x) = 5x3 + 1

Solución.

l��m�x�!0

f (x+�x)� f (x)�x

= l��m�x�!0

5 (x+�x)3 + 1� (5x3 + 1)�x

= l��m�x�!0

5x3 + 15x2�x+ 15x�x2 + 5�x3 + 1� 5x3 � 1�x

= l��m�x�!0

15x2�x+ 15x�x2 + 5�x3

�x

= l��m�x�!0

5�x (3x2 + 3x�x+�x2)

�x= 5 l��m

�x�!03x2 + 3x�x+�x2 = 15x2==

3. f (x) = 1

Solución.

l��m�x�!0

f (x+�x)� f (x)�x

= l��m�x�!0

1� 1�x

= 0

4. f (x) = 3px


Solución.

= l��m�x�!0

�3px+�x� 3

px��

3

q(x+�x)2 + 3

px+�x 3

px+

3px2�

�x

�3

q(x+�x)2 + 3

px+�x 3

px+

3px2�

= l��m�x�!0

�3px+�x

�3 � ( 3px)3

�x

�3

q(x+�x)2 + 3

px+�x 3

px+

3px2�

= l��m�x�!0

x+�x� x

�x

�3

q(x+�x)2 + 3

px+�x 3

px+

3px2�

= l��m�x�!0

1

3

q(x+�x)2 + 3

px+�x 3

px+

3px2=

13px2 +

3px2 +

3px2

=1

33px2

5. f (x) =1

x+ 2

Solución.

l��m�x�!0

f (x+�x)� f (x)�x

= l��m�x�!0

1

x+�x+ 2� 1

x+ 2�x

= l��m�x�!0

x+ 2� x��x� 2(x+�x+ 2) (x+ 2)

�x

= l��m�x�!0

�1(x+�x+ 2) (x+ 2)

=�1

(x+ 2)2==

6. f (x) =px+ 7

Solución.

= l��m�x�!0

�px+�x+ 7�

px+ 7

� �px+�x+ 7 +

px+ 7

��x�px+�x+ 7 +

px+ 7

�= l��m

�x�!0

�px+�x+ 7

�2 � �px+ 7�2�x�px+�x+ 7 +

px+ 7

�= l��m

�x�!0

x+�x+ 7� x� 7�x�px+�x+ 7 +

px+ 7

� = l��m�x�!0

1px+�x+ 7 +

px+ 7

=1

2px+ 7

==

Por de�nición, hallar las derivadas de las siguientes funciones:Alvaro Cabrera Javier 84 CALCULO I - CHUNGARA


1. f (x) = 3x.

Solución.

l��m�x�!0

f (x+�x)� f (x)�x

=

2. f (x) = log x.

Solución.

l��m�x�!0

f (x+�x)� f (x)�x

=

3. f (x) = coshx.

Solución.

l��m�x�!0

f (x+�x)� f (x)�x

=

4. f (x) = tan x.

Solución.

l��m�x�!0

f (x+�x)� f (x)�x

=

5. f (x) = sec x.

Solución.

l��m�x�!0

f (x+�x)� f (x)�x

=

6. f (x) = g�1.

Solución.

l��m�x�!0

f (x+�x)� f (x)�x

=

Derivar:

1. f (x) = 3x+ x3 + 3x + 3.

Solución.f 0 (x) =

2. f (x) = 2 ln x+ x ln 2.

Solución.f 0 (x) =

3. f (x) = 5 cos x+ x cos 5.

Solución.f 0 (x) =

4. f (x) =px+

1px.

Solución.f 0 (x) =


Derivar (por la regla del producto)

1. f (x) = x3 sen x.

Solución.f 0 (x) =

2. f (x) = x6 lnx.

Solución.f 0 (x) =

3. f (x) = x27x.

Solución.f 0 (x) =

4. f (x) = ex cosx.

Solución.f 0 (x) =

5. x3ex cosx.

Solución.f 0 (x) =

Derivar (por la regla del cociente)

1. f (x) =cosx

x5.

Solución.f 0 (x) =

2. f (x) =x5 + 1

x3 � 1 .

Solución.f 0 (x) =

3. f (x) =x2

lnx.

Solución.f 0 (x) =

4. f (x) =2x � 12x + 1

.

Solución.f 0 (x) =

Derivar (por la regla de la cadena).

1. f (x) = sen (x2 + 1).

Solución.f 0 (x) =



2. f (x) = (x3 + 1)7.

Solución.f 0 (x) =

3. f (x) = 3p1 + x6.

Solución.f 0 (x) =

4. f (x) = ln (1 + x4).

Solución.f 0 (x) =

5. f (x) = sen (1 + x2ex).

Solución.f 0 (x) =

6. f (x) = etanx.

Solución.f 0 (x) =

Derivar:

1. f (x) = arcsenx2 � 1x2

.

Solución.f 0 (x) =

2. f (x) = arcsenxp1 + x2

.

Solución.f 0 (x) =

3. f (x) =1

3tan3 x+ tan x+ x.

Solución.f 0 (x) =

4. f (x) = ln�x+

pa2 + x2

�.

Solución.f 0 (x) =

5. f (x) =pa2 � x2 + a arcsen x

2.

Solución.f 0 (x) =


6. f (x) = sen x� 13sen3 x.

Solución.f 0 (x) =

7. f (x) =x

2

pa2 � x2 + 1

2a2 arcsen

x

a.

Solución.f 0 (x) =

8. f (x) =x

2

px2 � a2 � 1

2a2 ln

�x+

px2 � a2

�.

Solución.f 0 (x) =

9. f (x) = ln�p1 + ex � 1

�� ln

�p1 + ex + 1

�.

Solución.f 0 (x) =

10. f (x) =1

2ln

px2 + a2 + xpx2 + a2 � x

.

Solución.f 0 (x) =

11. f (x) =1

3lnx2 � 2x+ 1x2 + x+ 1

.

Solución.f 0 (x) =

12. f (x) =1

2ln�tan

x

2

�� 12

cosx

sen2 x.

Solución.f 0 (x) =

13. f (x) =m

2ln (x2 � a2) + n

2aln

�x� ax+ a

�.

Solución.f 0 (x) =

Hallar el valor de la derivada de las funciones, en los puntos indicados:

1. f (x) = x2 � 6x+ 3; x = 5..Solución.

f 0 (x) =

2. f (x) =x� 1x+ 1

; x = 0..

Solución.f 0 (x) =



3. f (x) = ex sen x; x = 0..

Solución.f 0 (x) =

4. f (x) = x3 cosx; x = 0..

Solución.f 0 (x) =

5. f (x) = x3 lnx� x3

3; x = 1..

Solución.f 0 (x) =

6. f (x) =x2

lnx; x = e..

Solución.f 0 (x) =

7. f (x) =xp1 + x2

; x = 0..

Solución.f 0 (x) =

8. f (x) = tan x� x; x = �

2..

Solución.f 0 (x) =

Hallar la derivada en x = a.

1. f (x) = 5px; a = 0..

Solución.f 0 (x) =

2. f (x) = jx� 2j; a = 2..Solución.

f 0 (x) =

3. f (x) =1

x� 3 ; a = 4..

Solución.f 0 (x) =

4. f (x) = kxk; a = 3..Solución.

f 0 (x) =

Indicar:Alvaro Cabrera Javier 89 CALCULO I - CHUNGARA

1. Una función no derivable en: x = 2.

2. Indicar una función de�nida para todo x; no derivable en x impar.

3. Indicar una función continua para todo x; no derivable en x entero.

Hallar la segunda derivada en las funciones indicadas:

1. f (x) = x3 � 1.Solución.

f 0 (x) =

f 00 (x) =

2. f (x) = x5 lnx.

Solución.

f 0 (x) =

f 00 (x) =

3. f (x) =x2 � 1x2 + 1

.

Solución.

f 0 (x) =

f 00 (x) =

4. f (x) =sen x+ 1

sen x� 1 .

Solución.

f 0 (x) =

f 00 (x) =

5. f (x) =x

2

px2 + a2 +

a2

2ln�x+

px2 + a2

�.

Solución.

f 0 (x) =

f 00 (x) =

Hallar la derivada enésima de:

1. f (x) = e3x.

2. f (x) = sen 2x.Alvaro Cabrera Javier 90 CALCULO I - CHUNGARA


3. f (x) =1 + x

1� x .

4. f (x) =5x� 23

x2 � 9x+ 20 .

5. f (x) = log x.

Demostrar la fórmula de Leibnitz:

(uv)n =nXk=0

�nk

�ukvn�k

Derivar (implícitamente) las siguientes funciones implícitas:

1. y4 + x3 + y2 + x = 0.

Solución. Derivando:

4y3y0 + 3x2 + 2yy0 + 1 = 0

y0�4y3 + 2y

�+ 3x2 + 1 = 0

y0 = � 3x2 + 1

4y3 + 2y

2. 3x5 � y3 = x2 � 2y4.Solución. Derivando:

15x4 � 3y2y0 = 2x� 8y3y0

y0�8y3 � 3y2

�= 2x� 15x4

y0 =2x� 15x48y3 � 3y2

3. x3y5 + y2 � x4 = 0.Solución. Derivando:

3x2y5 + 5x3y4y0 + 2yy0 � 4x3 = 0

y0�5x3y4 + 2y

�+ 3x2y5 � 4x3 = 0

y0 =x2 (4x� 3y5)y (5x3y3 + 2)

4. 2x2y4 + 3x6y2 = 1.


4xy4 + 8x2y3y0 + 18x5y2 + 6x6yy0 = 0

y0�8x2y3 + 6x6y

�+ 4xy4 + 18x5y2 = 0

y0 = �2y (2y2 + 9x4)

x (8y2 + 7x4)Alvaro Cabrera Javier 91 CALCULO I - CHUNGARA

5.x2 � y4x3 + y6

= 1.


x2 � y4 = x3 + y6

2x� 4y3y0 = 3x2 + 6y5y0

y0�6y5 + 4y3

�= 3x2 � 2x

y0 =3x2 � 2x6y5 + 4y3

=x (3x� 2)2y3 (3y2 + 2)

6.x2 + 1

y2 + 1= 1.


x2 + 1 = y2 + 1

x2 = y2

2x = 2yy0

y0 =x

y

7. exy + 1 = x2


exy (y + xy0) = 2x

exyy + exyxy0 = 2x

y0 =2x� yexyxexy

8. sen (x2y3 + 1) = x.


cos�x2y3 + 1

� �2xy3 + 3x2y2y0

�= 1

2xy3 cos�x2y3 + 1

�+ 3x2y2y0 cos

�x2y3 + 1

�= 1

y0 =1� 2xy3 cos (x2y3 + 1)3x2y2 cos (x2y3 + 1)

Hallar la derivada implícita indicada:

1. x4 + y2 = 1, y00.

Solución. Derivando dos veces:

2x3 + y � y0 = 0

6x2 + y0y0 + y � y00 = 0

y00 = �6x2y2 + 4x6

y3



2. ex + ey = 1, y00.

Solución. Derivando dos veces

ex + eyy0 = 0

ex + eyy0y0 + y00ey = 0

ex + ey��e

x

ey

��e

x

ey

�+ eyy00 = 0

ex +e2x

ey+ eyy00 = 0

ex+y + e2x + e2yy00 = 0

despejando

y00 = �ex+y + e2x

e2y= �

�ex�y + e2(x�y)

�= �ex�y

�1 + ex�y

�3. x5 + y5 + x2 + y2 = 1, y00.

Solución.

4. x6 + y6 + x4 + y4 = 1, y0 (0; 1), y00 (1; 1).

Solución.

5. xy � 1 = 0, y0.Solución.

Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes en las curvas y puntos dados:

1. y = x2 � 6x+ 11; P (2;�1).Solución.

2. y = 2px� 4 + 3; P (2; 2).

Solución.

3. y = �x2 + 6x� 5; P (5; 9).Solución.

Determinar las rectas tangentes y rectas normales a las curvas de las funciones,en los puntos indicados:

1. y = 6x� x2; P (4; 8).Alvaro Cabrera Javier 93 CALCULO I - CHUNGARA

2. y = x3 � 3x2 + 3x+ 2; P (2; 4).

3. y = ex�1; P (1; 1).

4. y = sen 2x; P��4; 1�.

Hallar los ángulos de inclinación de las curvas dadas en los puntos indicados:

1. y = x2 � 4x+ 6; P (3; 3).

2. y = ex�2; P (3; e).

3. y =2

x2 + 1; P (1; 1).

4. y =lnx

x; P (1; 0).

5. y = x2 � 4x+ 5; P (2; 1).

6. y =1

x� 2 ; x = 2.

Hallar los ángulos de intersección entre las curvas de las funciones:

1. y = x2 � 6x+ 10

2. y =15 + 6x� x2

4

3. y = x2 � 4

4. y = x� 2

5. y = 2x

6. y =1

2x

7. y = senx

8. y = sen 2x

9. y = x2

10. y =px

Hallar el valor c que veri�ca el teorema del valor medio (teorema de Lagrange)en las funciones indicadas y sus respectivos intervalos:

1. y = 1 + 4x� x2; 0 � x � 3

2. y = x2 � 6x+ 10; 2 � x � 5

3. y = senx; 0 � x � 3�

4Alvaro Cabrera Javier 94 CALCULO I - CHUNGARA


4. y =x� 1x2 � 4 ; 1 � x � 3

5. y = x2 � 2x� 3; �1 � x � 3Responder:

1. ¿Toda función continua cumple con el Teorema del valor medio?

2. ¿Toda función continua es derivable?

3. ¿Es igual la expresiónd2y

dx2=

�dy

dx

�2?

4. ¿Las rectas tangentes siempre se intersectan con las normales?

Hallar los puntos críticos de las siguientes funciones:

1. f (x) = x2 � 6x+ 10Solución. Derivando: f 0 (x) = 2x� 6

2x� 6 = 0 =) x = 3

reemplazando enf (3) = 32 � 6 (3) + 10 = 1

un punto crítico es P (3; 1). Gra�cando:

53.752.51.250

5

3.75

2.5

1.25

0

x

y

x

y

2. f (x) = x2 � 4

52.502.55

20

15

10

5

0

x

y

x

y


3. f (x) = x3 � 6x2 + 9x+ 1

53.752.51.250

20

10

0

10

20

x

y

x

y

4. f (x) = 1� x2

52.502.55 0

5

10

15

20

xy

xy

5. f (x) = x4 � 8x2 + 18

2.51.2501.252.5

25

20

15

10

5

0

x

y

x

y



6. f (x) = x3 + 1

52.502.55

100

50

0

50

100

x

y

x

y

7. f (x) = x2e�x

52.502.55

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

0

x

y

x

y

8. f (x) = ex2�4

52.502.55

1.25e+9

1e+9

7.5e+8

5e+8

2.5e+8

0

x

y

x

y

9. f (x) = ln (1 + 6x� x2)

10. f (x) = ln (ex�1 � x+ 1)Alvaro Cabrera Javier 97 CALCULO I - CHUNGARA

11. f (x) =� p

x� 5 if x > 5

2017.51512.5107.5

5

3.75

2.5

1.25

x

y

x

y

12. f (x) = 5px� 1 + 1

52.502.55

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

13. f (x) =1

x� 4

52.502.55

50

25

0

25

x

y

x

y



14. f (x) =jxjx

52.502.55

1

0.5

0

0.5

1

x

y

x

y

Hallar los máximos y mínimos en las siguientes funciones:

1. f (x) = x2 � 10x+ 27

1510505

100

75

50

25

x

y

x

y

2. f (x) = x3 � 3x2 � 9x+ 30

52.502.5

75

50

25

0

25

50

75

x

y

x

y


3. f (x) = x4 � 2x2 + 4

21012

15

12.5

10

7.5

5

2.5

0

x

y

x

y

4. f (x) = ln (9� x2)

5. f (x) = x3e�x

6. f (x) = jx� 2j+ 3

7. f (x) = 3px� 4 + 1

Hallar los intervalos de crecimiento e intervalos de concavidad respectivamentede las siguientes funciones:

1. f (x) = x2 � 8x+ 1

2. f (x) = x3 � 6x2 + 9x+ 12

3. f (x) = x4 � 2x2 + 4

4. f (x) = ln (�x2 + 6x� 8)

Gra�car, analizando sus características las siguientes funciones:

1. f (x) = x2 � 12x+ 38

2. f (x) = 8x� x2

3. f (x) = x3 � 6x2 + 9x+ 1

4. f (x) = x3 � 12x

5. f (x) = x4 � 2x2 + 3

6. f (x) = 3x5 � 25x3 + 60x

7. f (x) = ln (1 + 6x� x2)

8. f (x) =lnx

x2

9. f (x) = 15xe�x3



10. f (x) = e4�x2

11. f (x) = jx� 1j+ jx� 3j

12. f (x) = jx2 � 4x+ 3j

Demostrar:

1. Si f (x) = 3x2 � 5x+ 1; demostrar que se cumple: y00 + xy0 � 2y � 5x = 4.

2. Si f (x) = e2x � 1, demostrar que se cumple: y00 + y0 � 6y � 6 = 0.

3. Si f (x) = esenx, demostrar que se cumple: y00 � cosxy0 = �y sen x

Hallar las derivadas indicadas:

1. f (x� 2) = 2x3 + 7x; f 0 (x) =?

2. f�x+ 1

3

�= 4x2 � 2x+ 1; f 0 (x) =?

3. f (2x+ 1) = e4x+1; f 0 (x) =?

4. f (4x� 1) = 8x2 � 6x+ 1; f 0 (3x+ 1) =?

5. f (5x+ 2) = 23x�1; f 0 (10x+ 2) =?

6. f (x) = x2 � 6x+ 6; f 0 (x) = f (x)

7. f (x) = sen x; f 0 (x) = f (x)


CAPÍTULO 6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Capítulo 6 APLICACIONES DE LASDERIVADAS

1. Hallar dos número (x; u) de producto p máximo; sabiendo que la suma delprimero más el doble del segundo es de 24.

Solución. �p = xu (1)x+ 2u = 24 (2)

resolviendo:p = (24� 2u)u = 24u� 2u2

derivando:dp

du= 24� 4u = 0 =) u = 6

yx = 24� 2 (6) =) x = 12

Resp. u = 6, x = 12 y p = 72.

2. Hallar dos números (x; u) de producto igual a 64, de manera tal que su sumas sea mínima.

Solución. �xu = 64 (1)p = x+ u (2)

(1) en (2):

p =64

u+ u

derivando:dp

du= �64

u2+ 1 = 0 =) u = �8

y

x =64

�8 =) x = �8

Resp. u = �8, x = �8 y p = +16.

3. Hallar el valor del área A máxima del rectángulo inscrito en un triánguloequilátero de lado igual a 4.

Solución. El grá�co del problema:

ED

FG HA B

C


4. Hallar dos números (x; u) de suma igual a 20 de manera tal que la suma s desus cuadrados sea mínima.

Solución. �x+ u = 20 (1)s = x2 + u2 (2)

(1) en (2)s = x2 + (20� x)2

derivando:ds

dx= 2x+ 2 (20� x) (�1)

igualando a cero

x� 20 + x = 0 =) x = 10; u = 10

5. Hallar las dimensiones (radio r y altura h) del cilindro de volumen máximo,que posee la super�cie conocida s.

Solución. El volumen máximo: V = �r2h, donde la super�cie está dada por:

s = 2�r2 + 2�rh =) h =s� 2�r22�r

sustituyendo en el volumen

V = �r2�s� 2�r22�r

�=1

2

�rs� 2�r3

�derivando el volumen con respecto al radio

dV

dr=1

2

�s� 6�r2

�= 0 =) r =

rs

6�

la altura

h =s� 2�

� s6�

�2�

rs

6�

= 2

rs

6�

6. Hallar las dimensiones (radio r y altura h) del cilindro de volumen máximo,que puede inscribirse en un cono de radio basal: R = 9 y altura h = 12.

Solución. De la grá�ca12

9=y

r=) y =

4

3r.

12

9

r

y

h



donde h = 12� y = 12� 43r, sustituyendo en el volumen del cilindro

V = �r2h = �r2�12� 4

3r

�= �

�12r2 � 4

3r3�

derivandodV

dr= �

�24r � 4r2

�= 0

donde r = 6 y h = 4.

7. Hallar las dimensiones (radio r y altura h) del cilindro de área lateral máximaque se puede inscribir en una esfera de radio R = 8.

Solución. De la �gura 82 = r2 +h2

4=) r =

r64� h

2

4

h/2

r

8

El área lateral está dado por:

A = 2�rh = 2�

r64h2 � h

4

4

derivando con respecto a h

dA

dh=� (128h� h3)r64h2 � h

4

4

= 0 =) h = 8p2

y el radio

r =

r64� 128

4= 4

p2

8. El material que se usa para fabricar las tapas y los fondos de los envasesde cierta bebida de forma cilíndrica, cuesta el doble que el material usadopara los lados. Hallar la razón de la altura h al radio r; para que el costo deproducción de los envases sea mínimo, si su volumen es �jo.

Solución. ****

C = 2�r2p1 + 2�rhp2

p1 = 2p2Alvaro Cabrera Javier 105 CALCULO I - CHUNGARA

entonces

C =�4�r2 + 2�rh

�p2

dC

dp2= 4�r2 + 2�rh = 0 =) h

r= �2

9. Un granjero desea cercar un terreno rectangular, uno de cuyos lados, ya estácubierto por una cadena de cerros, dispone para ello de 500 m de mallaolímpica, hallar el área A máxima que se puede cercar.

Solución.

A = ab

2a+ b = 500

entonces

A = 500a� 2a2dA

da= 500� 4a = 0

donde a = 125 m y b = 250 m.

A = (125) (250) = 31250 m2

10. Hallar el área Amáxima del rectángulo que puede inscribirse entre: y = 4�x2con el eje de abcisas.

Solución. �A = xy (1)y = 4� x2 (2)

A = x�4� x2

�= 4x� x3

Derivando:dA

dx= 4� 3x2 = 0 =) x =

2p3

3y

y = 4� 43=8

3

Resp. El área es: A =16p3

3.

11. Hallar el área A máxima del rectángulo que puede inscribirse entre y = e�x2

con el eje de abcisas.

Solución. �A = xy (1)

y = e�x2

(2)Alvaro Cabrera Javier 106 CALCULO I - CHUNGARA


(2) en (1):A = xe�x

2

derivando:dA

dx= e�x

2

+ xe�x2

(�2x)

igulando a cero:

e�x2 �1� 2x2

�= 0 =) x =

p2

2

entonces:

y = e�1

2 =1pe

Resp. El área A =1

2

r2

e.

12. Hallar la mínima distancia D del origen a la parábola: y =px+ 1.

Solución. Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos:D =q(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2,

donde (x1; y1) = (0; 0) el origen

D =px2 + y2

sustituyendo la ecuación de la parábola

D =px2 + x+ 1

derivandodD

dx=

1

2px2 + x+ 1

(2x+ 1) = 0

donde x = �12. La distancia mínima es:

D =

r1

4� 12+ 1 =

p3

2

:

13. Hallar la mínima distancia D entre el punto P (1; 2) a la recta 3x+ 4y = 5.

Solución. Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos: D2 =

(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2, donde (x1; y1) = (1; 2) y (x2; y2) =�x;5� 3x4

�,

sustituyendo:

D2 = (x� 1)2 +�5

4� 3x4� 2�2

derivando:

2dD

dx= 2 (x� 1) + 2

�5� 3x4

� 2��

�34

�= 0


donde x =7

25, entonces la mínima distancia es

D2 =

�7

25� 1�2+

�5

4� 21

100� 2�2=36

25

donde D =6

5.

14. Hallar las coordenadas del punto (x; y) que pertenece a la parábola: y = 2x2;que está más cercano al punto P (9; 0).

Solución. Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos: D2 =(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2, donde (x1; y1) = (9; 0) y (x2; y2) = (x; 2x2), susti-tuyendo:

D2 = (x� 9)2 +�2x2 � 0

�2= (x� 9)2 + 4x4

derivando:2dD

dx= 2 (x� 9) + 16x3 = 0

donde la solución real es: x = 1 y y = 2.

15. Hallar la mínima distancia D entre la parábola: y =p6x al punto (3; 2).

Solución. Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos: D2 =

(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2, donde (x1; y1) = (3; 2) y (x2; y2) =�y2

6; y

�, susti-

tuyendo:

D2 =

�y2

6� 3�2+ (y � 2)2

derivando:

2dD

dx= 2

�y2

6� 3��y

3

�+ 2 (y � 2)

=y3

9� 4 = 0

donde y = 3p36 = 3: 301 9, sustituyendo en la ecuación de la distancia:

D2 =

(3;3019)2

6� 3!2+ ((3;3019)� 2)2

donde la distancia mínima es: D = 1;759.

16. Hallar el punto de la elipse:x2

a2+y2

b2= 1; que tenga máxima distancia al

vértice: (0;�b).Solución.



17. Hallar el punto (x; y) de la elipse:x2

a2+y2

b2= 1; cuya tangente, forma con los

ejes coordenados del primer cuadrante un triángulo de área mínima.

Solución.

18. Hallar las dimensiones (a; a; b) de un triángulo isósceles, de área máxima, quepuede inscribirse en una semicircunferencia de radio R; si el vértice opuesto,al lado b, debe estar en el centro de la base.

Solución.

19. Inscribir en una semiesfera de radio R un paralelepípedo de base cuadrada,de manera que su volumen V sea máximo.

Solución.

20. A un río de ancho A se le construye en ángulo recto un canal de ancho B;cual es la longitud L máxima de los barcos, para que puedan doblar por estecanal.

Solución.


CAPÍTULO 7. EXTREMOS DE UNA FUNCION

Capítulo 7 EXTREMOS DE UNAFUNCION

Example 1 y = x+1

x1. Dominio:

y = x+1

x=x2 + 1

x

0

– ++∞–∞

Dom f (x) : (�1; 0) [ (0;+1)

Análisis de simetría:f (�x) = f (x): la función es par (simetría respecto al eje y.f (�x) = �f (x): La función es impar (simetría con respecto al orígen de co-

ordenadas).En otro caso no es simétrica.

f (�x) = �x+ 1

�x = �f (x) es par.

2. Continuidad:La función es continua en (�1; 0) o (0;+1) porque es la suma de las funciones

continuas x y1

x. La función es discontinua en x = 0 porque no existe f (0).

Clasi�cación de la discontinuidad:

l��mx�!0+

f (x) = l��mx�!0+

x2 + 1

x= +1

l��mx�!0�

f (x) = l��mx�!0�

x2 + 1

x= �1

9>=>; Divergente

3. Asíntotas.a) Asíntotas verticales. La recta x = 0 es asíntota vertical.b) Asíntotas oblícuas. y = mx+ b, a la derecha:

m = l��mx�!+1

x2 + 1

x2= 1

b = l��mx�!+1

�x2 + 1

x� x�= l��m

x�!+1

�1

x

�= 0

la asíntota a la derecha es: y = x.A la izquierda:

m = l��mx�!�1

x2 + 1

x2= 1

b = l��mx�!�1

�x2 + 1

x� x�= l��m

x�!+1

�1

x

�= 0


la asíntota a la izquierda es: y = x.4. Construcción de un esquema.5. Cálculo de los puntos críticos.Monótona y extremos. Condiciones necesarias de extremos:

f (x) = x+1

x

f 0 (x) = 1� 1

x2=x2 � 1x2

=(x+ 1) (x� 1)

x2

puntos críticos de primera especie.a) Puntos de dominio de f donde no existe la derivada de f la derivada no

existe en x = 0 pero no es punto crítico, porque x = 0 no pertenece al dominio def .b) f 0 (x) = 0

–1 0 1k = 2k = 1 k = 1

– – +++∞–∞

(�1;�1) la función es estrictamente creciente.(�1; 0) la función es estrictamente decreciente.(0; 1) la función es estrictamente monótona decreciente.(1;+1) la función es estrictamente creciente.

En x = 1 hay un punto de máximo local. Máximo local en

f (�1) = (�1) + 1

(�1) = �2 =) P1 (�1;�2)

En x = 1 hay un punto de mínimo local en

f (1) = 1 +1

1= 2 =) P2 (1; 2)

6. Intervalos de concavidad y convexidad y puntos de in�exión.Condición necesaria de puntos de in�exión.

f 0 (x) = 1� x�2

f 00 (x) =2

x3

Puntos extremos de segunda especie:a) Puntos del dominio de f donde no existe f 00 (x). La segunda derivada no

existe en x = 0, pero no es punto crítico de segunda especie porque no pertenece aldominio de f .b) Puntos donde la segunda derivada se anula

f 00 (x) =2

x3Alvaro Cabrera Javier 112 CALCULO I - CHUNGARA


0

– ++∞–∞

7. Trazado del grá�co de la función:

15105051015

10

5

0

5

10

x

y

x

y

Example 2 y =x2px2 � 1

1. Dominio:

y =x2px2 � 1

=x2p

(x+ 1) (x� 1)

1

++∞–∞ –1

+

0

Dom f (x) : (�1; 0) [ (0;+1)Análisis de simetría:f (�x) = f (x): la función es par (simetría respecto al eje y.f (�x) = �f (x): La función es impar (simetría con respecto al orígen de co-

ordenadas).En otro caso no es simétrica.

f (�x) = (�x)2q(�x)2 � 1

= f (x) es simétrica con respecto a y.

2. Continuidad:Clasi�cación de la discontinuidad:

l��mx�!�1�

f (x) = l��mx�!�1�

x2px2 � 1

= +1

l��mx�!+1�

f (x) = l��mx�!+1�

x2px2 � 1

= +1

9>>=>>; Divergente

La función es continua en (�1;�1), imaginaria (�1; 1) y continua en (1;+1).La función es discontinua en x = �1 porque no existe f (�1).3. Asíntotas.


a) Asíntotas verticales. La recta x = �1 y x = 1 son asíntotas verticales.b) Asíntotas oblícuas. y = mx+ b, a la derecha:

m = l��mx�!+1

xpx2 � 1

= 1

b = l��mx�!+1

�x2 � x

px2 � 1p

x2 � 1

�= 0

la asíntota a la derecha es: y = x.A la izquierda:

m = l��mx�!�1

xpx2 � 1

= �1

b = l��mx�!�1

�x2px2 � 1

+ x

�= l��m

x�!+1

�1

x

�= 0

la asíntota a la izquierda es: y = �x.4. Construcción de un esquema.5. Cálculo de los puntos críticos.Monótona y extremos. Condiciones necesarias de extremos:

f (x) =x2px2 � 1

f 0 (x) =

2xpx2 � 1� x3p

x2 � 1x2 � 1 =

2 (x2 � 1)� x2

xpx2 � 1

=2x2 � 2� x2

xpx2 � 1

=x2 � 2xpx2 � 1

puntos críticos de primera especie.a) Puntos de dominio de f donde no existe la derivada de f la derivada no

existe en x = �1 pero no es punto crítico, porque x = �1 no pertenece al dominiode f y x = 0 no existe la derivada.b) f 0 (x) = 0En x = +

p2 hay un punto de máximo local. Máximo local en

f�p2�=

�p2�2q�p

2�2 � 1 = 2 =) P1

�p2; 2�

En x = �p2 hay un punto de mínimo local en

f (1) =

��p2�2q�

�p2�2 � 1 = 2 =) P2

��p2; 2�

1

++∞–∞ –1

–

0–1.41 1.41

+ –



��1;�

p2�

la función es estrictamente decreciente.��p2;�1

�la función es estrictamente creciente.�

1;p2�

la función es estrictamente decreciente.�p2;+1

�la función es estrictamente creciente.

6. Intervalos de concavidad y convexidad y puntos de in�exión.Condición necesaria de puntos de in�exión.

f 0 (x) =x2 � 2xpx2 � 1

f 00 (x) =

2x2px2 � 1�

�px2 � 1 + xp

x2 � 1

�x

x2 (x2 � 1)

=

2x2px2 � 1� x

3 + x2 � xpx2 � 1

x2 (x2 � 1)

=2x4 � 2x2 � x3 � x2 + xx2 (x2 � 1)

px2 � 1

=2x3 � x2 � 3x+ 1x (x2 � 1)

px2 � 1

Puntos extremos de segunda especie:a) Puntos del dominio de f donde no existe f 00 (x). La segunda derivada no

existe en x = �1.b) Puntos donde la segunda derivada se anula

f 00 (x) =2x3 � x2 � 3x+ 1x (x2 � 1)

px2 � 1

0

– ++∞–∞

7. Trazado del grá�co de la función:

1–1x

y


CAPÍTULO 8. INTEGRALES

Capítulo 8 INTEGRALESHallar las siguientes integrales inmediatas.

1.Z(x9 + 9x + 9x+ 9) dx.

Solución.Z �x9 + 9x + 9x+ 9

�dx =

1

10x10 +

9x

ln 9+9

2x2 + 9x+ c==

2.Z �

9px+

1

x9+9

x+x

9

�dx.

Solución.Z �9px+

1

x9+9

x+x

9

�dx =

Z �x19 + x�9 +

9

x+x

9

�dx

=9

10x109 � 1

8x8+ 9 lnx+

1

18x2 + c

3.Zx2 � 1x+ 1

dx.

Solución. Zx2 � 1x+ 1

dx =

Z(x� 1) dx = 1

2x2 � x+ c==

4.Z p

x+ 3px

xdx.

Solución. Z px+ 3

px

xdx =

Z �x12x�1 + x

13x�2

�dx

=

Z �x�

12 + x�

53

�dx

= 2x12 � 3

2x�

23 + c==

5.Z

6x2

x� 1dx.

Solución. Z6x2

x� 1dx = 6

Z �x+ 1 +

1

x� 1

�dx

= 3x2 + 6x+ 6 ln (x� 1) + c==

6.Z(ex3x) dx.

Solución. Z(ex3x) dx =

Z(3e)x dx =

(3e)x

ln 3e=

(3e)x

ln 3 + 1+ c==


7.Zx1�nn dx.

Solución. Zx1�nn dx =

x1�nn+1

1�nn+ 1

+ c

= nx1n + c

Aplicando el Método de Sustitución, calcular las siguientes integrales:

1.Z(2x� 5)7 dx.

Solución. u = 2x� 5 =) du = 2dxZ(2x� 5)7 dx = 1

2

Zu7dx =

1

16(2x� 5)8 + c

2.Z45x4 (1 + x5)

8dx.

Solución. u = 1 + x5 =) du = 5x4dxZ45x4

�1 + x5

�8dx = 9

Zu8du

= u9 + c

=�1 + x5

�9+ c

3.Z

10xp3 + 5x2

dx.

Solución. u = 3 + 5x2 =) du = 10xdxZ10xp3 + 5x2

dx =

Zdupu

=

Zu�

12du

=pu+ c = 2

p3 + 5x2 + c

4.Z

2x3p1 + x4

dx.

Solución. u = 1 + x4 =) du = 4x3dxZ2x3p1 + x4

dx =1

2

Zdupu

=1

2

Zu�

12du

=pu+ c =

p1 + x4 + c



5.Zex + 1

ex � 1dx.

Solución. Zex + 1

ex � 1dx =

Z �1 +

2

ex � 1

�dx

=

Zdx+ 2

Z1

ex � 1 �e:�x

e�xdx

=

Zdx+ 2

Ze�x

1� e�xdx

si u = 1� e�x =) du = e�xdx

=

Zdx+ 2

Zdu

u

= x+ 2 ln juj+ c= x+ 2 ln

��1� e�x��+ c6.Z

e2xpex + 1

dx.

Solución. u = ex + 1 =) du = exdxZe2xpex + 1

dx =

Zexexpex + 1

dx

=

Z(u� 1) dup

u=

Z �u12 � u�

12

�du

=2

3u32 � 2u

12 + c

=2

3(ex + 1)

32 � 2 (ex + 1)

12 + c

7.Z

6 senx

5� 2 cos xdx.

Solución. u = 5� 2 cos x =) du = 2 senxdxZ6 senx

5� 2 cos xdx = 3

Zdu

u

= 3 ln juj+ c= 3 ln j5� 2 cos xj+ c

8.Zlnx

xdx.

Solución. u = ln x =) du =dx

xZlnx

xdx =

Zudu =

1

2u2 + c

=ln2 x

2+ c


9.Zxex

2�1dx.

Solución. u = x2 � 1 =) du = 2xdxZxex

2�1dx =1

2

Zeudu

=1

2eu + c

=1

2ex

2�1 + c

10.Zesenx cosxdx.

Solución. u = senx =) du = cos xdxZesenx cosxdx =

Zeudu

= eu + c = esenx + c

11.Ztan x ln (cos x) dx.

Solución. u = ln (cosx) =) du = �sen xcosx

dx

Ztan x ln (cos x) dx = �

Zudu

= �12u2 + c

= �12ln2 jcosxj+ c

12.Zcospx

2pxdx.

Solución. u =px =) du =

dx

2pxZ

cospx

2pxdx =

Zcosudu

= senu+ c

= senpx+ c

13.Z

1

1 +px+ 1

dx.Alvaro Cabrera Javier 120 CALCULO I - CHUNGARA


Solución. u = 1 +px+ 1 =) du =

dx

2px+ 1Z

1

1 +px+ 1

dx =

Z2px+ 1du

u

= 2

Zu� 1u

du

= 2

Z �1� 1

u

�du

= 2u� 2 lnu+ c= 2

�1 +

px+ 1

�� ln

�1 +

px+ 1

�2+ c

14.Z

dxpx+ 1�

px� 1

.

Solución. Zdxp

x+ 1�px� 1

=

Z �px+ 1 +

px� 1

�dx�p

x+ 1�2 � �px� 1�2

=

Z �px+ 1 +

px� 1

�dx

x+ 1� x+ 1

=1

2

Z �px+ 1 +

px� 1

�dx

=1

3

�(x+ 1)

32 + (x� 1)

32

�+ c

15.Z

4x3

1 + x8dx.

Solución. u = x4 =) du = 4x3dxZ4x3

1 + x8dx =

4

4

Zdu

1 + u2

= arctanx4 + c

16.Z

sen x

1 + cos2 xdx.

Solución. u = cos x =) du = � sen xdxZsen x

1 + cos2 xdx = �

Zdu

1 + u2

= � arctanu+ c= � arctan cos x+ c

Aplicando el Método de Integración por Partes, calcular:Alvaro Cabrera Javier 121 CALCULO I - CHUNGARA

1.Zx cos 3xdx.

Solución.u = x =) du = dx

dv = cos 3xdx =) v =1

3sen 3x

Zx cos 3xdx =

x

3sen 3x� 1

3

Zsen 3xdx

=x

3sen 3x+

1

9cos 3x+ c

2.Zxe5xdx.

Solución.u = x =) du = dx

dv = e5xdx =) v =e5x

5Zxe5xdx =

xe5x

5� 15

Ze5xdx

=xe5x

5� e

5x

25+ c

3.Zx sec2 xdx.

Solución.u = x =) du = dxdv = sec2 dx =) v = tanx

Zx sec2 xdx = x tan x�

Ztan xdx

= x tan x� ln jcosxj+ c

4.Zx3 sen xdx.

Solución.

5.Z p

x lnxdx.

Solución.

6.Z4x arcsenxdx.

Solución.



7.Zx3 arctanxdx.

Solución.

8.Ze2x cos 3xdx.

Solución.

9.Zcosm xdx.

Solución.

10.Zxm sen xdx.

Solución.

11.Z81x8 lnxdx.

Solución.

12.Z2x3ex

2dx.

Solución.

13.Zx2ex sen xdx.

Solución.

Aplicando el método de expresiones cuadráticas, integrar:

1.Z

6

5x2 + 1dx.

Solución.

2.Z

4dx

x2 + 4x+ 20.

Solución.

3.Z

x+ 3

x2 + 6x+ 1dx.

Solución.


4.Z(x3 + 2x) dx

x4 + 4x2 + 1.

Solución.

5.Z5x2 + 12x+ 26

x2 + 6x+ 34dx.

Solución.

6.Zx2 � x+ 1x2 + x+ 1

.

Solución.

7.Z

cosx

1 + sen2 xdx.

Solución.

8.Z

2x

1 + 4xdx.

Solución.

Aplicando el Método de las Integrales trigonométricas, calcular:

1.Zsen6 x cosxdx.

Solución.

2.Zsen4 cos3 xdx.

Solución.

3.Zsen3 x cos2 xdx.

Solución.

4.Zsen5 x cos3 xdx.

Solución.

5.Zsen4 x cos2 xdx.

Solución.



6.Zcos4 xdx.

Solución.

7.Zsen 3x cos 5xdx.

Solución.

8.Zsen

x

3cos

2x

3dx.

Solución.

9.Zcosx cos2 2xdx.

Solución.

10.Zsen3 x

cos43 xdx.

Solución.

11.Ztan x sec2 xdx.

Solución.

12.Ztan2 x sec4 xdx.

Solución.

13.Ztan3 xdx.

Solución.

14.Zsec7 xdx.

Solución.

15.Zcot6 xdx.

Solución.


16.Zsec x csc3 xdx.

Solución.

Aplicando el Método de Sustitución Trigonométrica, integrar:

1.Z

dx

x2p22 � x2

.

Solución.

2.Z

x3dxpa2 � x2

.

Solución.

3.Z

dx

x2p22 + x2

.

Solución.

4.Z p

x2 � 1x

dx.

Solución.

5.Z p

x2 � a2dx.

Solución.

6.Z

x2dxpx2 � a2

.

Solución.

7.Z

1p4x� x2

dx.

Solución.

8.Z

54dx

(x2 + 4x+ 13)2.

Solución.

Aplicando el Método de las Fracciones Parciales, integrar:Alvaro Cabrera Javier 126 CALCULO I - CHUNGARA


1.Z

3x� 9x2 � 5x+ 4dx.

Solución.

x� 3x2 � 5x+ 4 =

A

x� 4 +B

x� 1

=Ax� A+Bx� 4B(x� 4) (x� 1)

=(A+B)x� (A+ 4B)

(x� 4) (x� 1)

donde A + B = 1 y A + 4B = 3, resolviendo este sistema: A =2

3y B =

1

3,

sustituyendo2

3 (x� 4) +1

3 (x� 1)

Z3x� 9

x2 � 5x+ 4dx = 2

Z1

x� 4dx+Z

1

x� 1dx

= 2 ln jx� 4j+ ln jx� 1j+ C

2.Z5x� 2x2 � 4dx.

Solución. Aplicando fracciones parciales

5x� 2x2 � 4 =

5x� 2(x+ 2) (x� 2)

=A

x+ 2+

B

x� 2

=Ax� 2A+Bx+ 2B(x+ 2) (x� 2)

=(A+B)x� 2 (A�B)

(x+ 2) (x� 2)

luego �A+B = 5A�B = 1

La solución es: [A = 3; B = 2], entoncesZ5x� 2x2 � 4dx =

Z �3

x+ 2+

2

x� 2

�dx

= 3

Z1

x+ 2dx+ 2

Z1

x� 2dx

= 3 ln jx+ 2j+ 2 ln jx� 2j+ C

3.Z

x2

x2 � 3x+ 2dx.Alvaro Cabrera Javier 127 CALCULO I - CHUNGARA

Solución. Dividiendo:

x2 x2 � 3x+ 2�x2 +3x �2 1

3x �2

entoncesx2

x2 � 3x+ 2 = 1 +3x� 2

x2 � 3x+ 2Aplicando fracciones parciales

3x� 2x2 � 3x+ 2 =

A

x� 2 +B

x� 1

=(A+B)x� (A+ 2B)

(x� 2) (x� 1)

luego: �A+B = 3A+ 2B = 2

La solución es: A = 4 y B = �1, entoncesZx2

x2 � 3x+ 2dx =

Z �1 +

4

x� 2 �1

x� 1

�dx

=

Zdx+ 4

Z1

x� 2dx�Z

1

x� 1dx

= x+ 4 ln jx� 2j � ln jx� 1j+ C

4.Z

1

x2 � 4dx.

Solución. Aplicando fracciones parciales:

1

x2 � 4 =A

x+ 2+

B

x� 2

=(A+B)x+ 2 (B � A)

(x+ 2) (x� 2)

luego �A+B = 02 (B � A) = 1

La solución es: A = �14y B =

1

4, entonces

Z1

x2 � 4dx =1

4

Z1

x� 2 �1

4

Z1

x+ 2dx

=1

4ln jx� 2j � 1

4ln jx+ 2j+ C



5.Z

x2 + 2

x3 + 4x2 + x� 6dx.

Solución. Aplicando Ru¢ ni

1 +4 +1 �61 1 5 6

1 5 6 0�2 �2 �6

1 3 0

entonces: x3 + 4x2 + x � 6 = (x� 1) (x+ 2) (x+ 3). Aplicando fraccionesparciales

x2 + 2

x3 + 4x2 + x� 6 =A

x� 1 +B

x+ 2+

C

x+ 3

=A (x+ 2) (x+ 3) +B (x� 1) (x+ 3) + C (x� 1) (x+ 2)

(x� 1) (x+ 2) (x+ 3)

=(A+B + C)x2 + (5A+ 2B + C)x+ (6A� 3B � 2C)

(x� 1) (x+ 2) (x+ 3)

donde: 8<:A+B + C = 15A+ 2B + C = 06A� 3B � 2C = 2

La solución es: A =1

4, B = �2 y C = 11

4, entonces:Z

x2 + 2

x3 + 4x2 + x� 6dx =1

4

Z1

x� 1 � 2Z

1

x+ 2dx+

11

4

Z1

x+ 3dx

=1

4ln jx� 1j � 2 ln jx+ 2j+ 11

4ln jx+ 3j+ C

6.Z

2x2 + 41x� 91x3 � 2x2 � 11x+ 12dx.

Solución.Z2x2 + 41x� 91

x3 � 2x2 � 11x+ 12dx = 4

Z1

x� 1dx� 7Z

1

x+ 3dx+ 5

Z1

x� 4dx

= 4 ln jx� 1j � 7 ln jx+ 3j+ 5 ln jx� 4j+ C

7.Zx2 + 6x+ 2

x3 + 2x2 + xdx.

Solución.

8.Z

4x2 + 7x+ 30

(x+ 3) (x2 + 4x+ 8)dx.

Solución.


9.Zx2 + 3x� 3x3 � x2 dx.

Solución.

10.Z3x4 + 5x3 � 2x+ 2(x2 + 1)2 (x� 1)

dx.

Solución.

11.Z2x2 + 3x+ 8

x3 + 4xdx.

Solución.

12.Z(x4 � 2x2 + 1) dx(x+ 1) (x2 � 1)2

.

Solución.

13.Z

1

x (x+ 1)2dx.

Solución.

14.Z

x4

x4 � 1dx.

Solución.

15.Z

1

x6 + 1dx.

Solución.

Aplicando el Método de las Racionales Trigonométricas, integrar:

1.Z

dx

2 + 3 cosx.

Solución.

2.Z2� sen x2 + cos x

dx.

Solución.



3.Z

dx

2� sen x .

Solución.

4.Z

dx

4 cos x+ 3 sen x+ 5.

Solución.

5.Z1 + cotx

1� cotxdx.

Solución.

6.Z

dx

3� 2 senx+ cosx .

Solución.

Aplicando la Sustitución Inversa y otras sustituciones, integrar:

1.Z

1p8x� x2

dx.

Solución.

2.Z

dxp1� 4x� x2

.

Solución.

3.Z

dx

xpx2 � 2x� 1

.

Solución.

4.Z

(x� 3) dxpx2 � 6x+ 1

.

Solución.

5.Z

dx

xpx2 + 8x+ 1

.

Solución.

6.Z

x5dxp1� x2

.

Solución.


Aplicando el Método de las Integrales Binómicas, calcular:

1.Z

dxpx ( 4px+ 1)

10 .

Solución.

2.Z

dx

x3 3p2� x3

.

Solución.

3.Z

dx

x4p1 + x2

.

Solución.

4.Zxp1 + x2dx.

Solución.

Aplicando alguno de los Métodos de Integración, calcular:

1.Zx7p1 + x4dx.

Solución.

2.Z

dx

xp2 + 3x

.

Solución.

3.Z

dx

x2 � xpx2 � 1

.

Solución.

4.Z

dx

x4 + x2.

Solución.

5.Zx2 � 5x+ 9x2 � 5x+ 6dx.

Solución.



6.Z r

x

1� xdx.

Solución.

7.Ze3x (x3 � 2x2 + 5) dx.

Solución.

8.Ze3pxdx.

Solución.

9.Z

exdx

e2x + 4ex � 5 .

Solución.

10.Zearcsenxdx.

Solución.

11.Zlnx� 1ln2 x

dx.

Solución.

12.Zlnx

x3dx.

Solución.

13.Zarcsenx

x2dx.

Solución.

14.Zsen

pxdx.

Solución.

15.Zx+ sen x

1 + cos xdx.

Solución.


16.Z

dx

1 + tanx.

Solución.

17.Z

dx

1 + senx+ cosx.

Solución.

18.Z

dx

1 + cos2 x.

Solución.

19.Z

dx

(x� 1)p6x� x2 � 5

.

Solución.

20.Z

dx

(x+ 2)px2 + 2x

.

Solución.

21.Z

dx

xp1 + x3

.

Solución.

22.Z

dx

x2 (2 + x3)53

.

Solución.

23.Z p

tan xdx.

Solución.

Usando la de�nición de la Integral De�nida, calcular:

1.Z 3

1

8xdx.

Solución.3Z1

8xdx = 4 x2��31= 4

�32 � 12

�= 32==



2.Z 5

0

6x2dx.

Solución.5Z0

6x2dx = 2 x3��50= 2

�53 � 03

�= 150==

Aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo (Regla de Barrow), integrar:

1.Z 2

0

9x3dx.

Solución.2Z0

9x3dx =9

4x4��20=9

4

�24 � 04

�= 36==

2.Z 5

2

(6x+ 3) dx.

Solución.5Z2

(6x+ 3) dx = 3x2 + 3x��50= 3

��52 + 5

�� (5� 0)

�= 75==

3.Z 3

1

(6x2 � 2x+ 1) dx.

Solución.3Z1

�6x2 � 2x+ 1

�dx = 3x3 � x2 + x

��31

=�3 (3)3 � 32 + 3

��3 (1)3 � 12 + 1

�= 72==

4.Z �

3

0

tan xdx.

Solución.�3Z0

tan xdx = � ln cos xj�30 = 1 + cos

�

3

5.Z 1

0

xexdx.

Solución.1Z0

xexdx


6.Z 2

0

2 (�x+ 1)x2 + 3x+ 2

dx.

Solución.2Z0

2 (�x+ 1)x2 + 3x+ 2

dx

7.Z 1

0

xp1 + x2dx.

Solución.1Z0

xp1 + x2dx

8.Z e

1

x2 lnxdx.

Solución.eZ1

x2 lnxdx


CAPÍTULO 9. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES

Capítulo 9 APLICACIONES DE LASINTEGRALES

1. Resolver las siguientes diferenciales:

a)dy

dx= 9x2 P (1; 5)

b)dy

dx= 8x P (2; 8)

c)dy

dx= ex P (0; 0)

d)dy

dx= 8x2 + 1 P (0; 0)

2. Hallar las ecuaciones de las Curvas, que poseen la Pendiente: m y pasan porel punto indicado.

a) m = 2x (0; 1)

b) m = 4� 2x (2; 4)

c) m = 2x� 6 (7; 9)

d) m =�bx

apa2 � x2

(a; 0)

3. Hallar las Areas comprendidas entre las Funciones e Intervalos indicados:

a) y = x2; 0 � x � 2b) y = 4� x2; 0 � x � 2c) y = x2 � 4x+ 5; 0 � x � 3d) y = x3 + 1; 0 � x � 1e) y = 2x; 0 � x � 2f ) y = cos x; 0 � x � �

2

4. Hallar las áreas comprendidas entre las curvas de:

a) y = x2; y = x+ 2Solución. Para hallar los límites resolvemos el sistema:�

y = x2

y = x+ 2

cuya solución es: [x = �1; y = 1] ; [x = 2; y = 4]. Entonces los límites son[�1; 2].

A =

Z 2

�1

�(x+ 2)� x2

�dx =

Z 2

�1xdx+ 2

Z 2

�1dx�

Z 2

�1x2dx

=1

2

�x2�2�1 + 2 [x]

2�1 �

1

3

�x3�2�1 =

1

2[4� 1] + 2 [2 + 1]� 1

3[8 + 1]

=3

2+ 6� 3 = 3

2+ 3 =

9

2Alvaro Cabrera Javier 137 CALCULO I - CHUNGARA

:

b) y = x2 � 4; y = 3� 2x2Solución. Para hallar los límites resolvemos el sistema:�

y = x2 � 4y = 3� 2x2

El intervalor está en:�x = �1

3

p21;

1

3

p21

�

c) y = 9� x2; y = x+ 3Solución. Para hallar los límites resolvemos el sistema:�

y = 9� x2y = x+ 3

El intervalor esta en: [�3; 2]

d) y = ex; y = e�x; 0 � x � 2Solución. La grá�ca de las funciones:

e) y =1

1 + x2; y = 0

Solución. La grá�ca de las funciones

f ) y (x) = e�x sen x; 0 � x � �Solución.

g) y = x2; y =px

Solución.h) y = x2; y = x3

Solución.i) y2 + 8x = 16; y2 � 24x = 48Solución.

j ) y = e2x � 3; x = 0; y = ex � 1k) x2=3 + y2=3 = a2=3

l) y = x2; y =x2

2; y = 2x

m)x2

a2� y

2

b2= 1; x = 2a

n) x2 � y2 = 16ñ) x2 = 12 (y � 1)


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