Unidad 3

ECUACIONES Y DESIGUALDADES

3.1. Ecuaciones lineales con coeficiente entero y fraccionario.

3.2. Ecuaciones con literales. Despeje de fórmulas. 3.3. Ecuaciones cuadráticas. Completando cuadrados y

fórmula general. 3.4. Ecuaciones con radicales y de forma lineal y

cuadrática. 3.5. Conjuntos e intervalos 3.6. Desigualdades lineales con una incógnita.

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad que contiene una o varias letras, bajo las cuales están los números desconocidos.

Estas letras son de dos tipos las llamadas incógnitas que usualmente se la designa por ,...,, zyx y los coeficientes que acompañan a las incógnitas que se las

designan por las letras ,...,,, dcba

La solución de la ecuación no es otra cosa que encontrar el valor de la incógnita que hace que la ecuación sea verdadera, también se conoce como raíces de la ecuación.

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES

Existen distintos criterios para realizar la clasificación de una ecuación. Estos son:

SEGÚN EL NÚMERO DE SUS SOLUCIONES

Una ecuación puede ser:

• Compatible. Cuando tiene solución, y puede tener soluciones finitas (compatible determinada) o soluciones infinitas (compatible indeterminada)

• Incompatible, cuando no tiene solución

Ejemplo:

1. 02043 2 xx Tiene dos soluciones.

2. 4

71

4

3

x

x

x. Tiene infinitas soluciones, excepto 4x

3. 4

2

2

x

x

x

x. No tiene solución

SEGÚN LA NATURALEZA DE SUS MIEMBROS

Depende de la forma de la ecuación:

• Ecuación numérica, es aquella en que solo aparece una letra, la incógnita.

• Ecuación literal, es aquella en que aparece la incógnita y otras letras más.

Ejemplo:

2

ax

ax

ax

ax

• Ecuación polinomial, es aquella donde los miembros que la componen son funciones polinomiales.

Ejemplo 42123432 xxxxxx

• Ecuación fraccionaria, es aquella cuyos miembros son funciones racionales.

1

2

2

2

1

3

xxx

x

• Ecuación irracional, es aquella en que por lo menos uno de sus miembros es una función irracional.

SEGÚN EL GRADO DE SUS MIEMBROS

Cuando hablamos de grado nos estamos refiriendo a los polinomios, el grado del polinomio será la potencia mayor que tenga la variable.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

También llamadas lineales, son aquellas que tienen la forma

0)( baxxP ; 0a . Resolver esta ecuación gráficamente no es otra

cosa que encontrar el punto de corte con el eje “x”

Ejemplo: Resolver las siguiente ecuaciones

1. xx 11953

39115 xx 66 x 1x

2. 015

32

6

12

4

3

xxx

060

)32(4)12(10)3(15

xxx

012810204515 xxx

81045122015 xxx

637 x 9x

3. x

x

x

x

x

x

2

1

246

13

42

22

2

Factoramos los denominadores y encontramos el MCM, el cual le multiplicamos por cada término de la fracción y eliminamos los denominadores, así:

)2(

1

)2)(2(6

13

)2(2

2 2

x

x

xx

x

x

x 226 xxMCM

216132)2(3 2 xxxxx

6

153

12

606

12

24366

0166 12661312123

2,1

2

222

x

xxxxxxx

4. 8

7

7

6

5

4

4

3

x

x

x

x

x

x

x

x

Desarrollamos la parte izquierda y la parte derecha y luego cruzamos los denominadores:

87

49144814

54

16815887

7786

54

4453

2222

xx

xxxx

xx

xxxxxx

xxxx

xx

xxxx

6 366

2095615548787

1

54

1

22

xx

xxxxxxxxxxxx

5. 222

2223

bxa

bxa

axb

a

bax

bax

Factoramos y encontramos el MCM:

))(()(

3 222

baxbax

bxa

bax

a

bax

bax

baxbaxMCM

ab

bx

abxaabbxaabxababxxa

bxabaxabaxbax

32

3

3)32( 332

3

2

2222222

222

6. 1373 xx

Le cambiamos la segunda raíz al otro lado del igual par poder eliminar las x y le

elevamos al cuadrado ambas partes:

3 39 )3(3

326

332173

3173

22

22

xxx

x

xxx

xx

7. xxx 1046

104626

104622

xxxxx

xxx

4262 xxx

22

26 xxx

446 22 xxxx 2x

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Las ecuaciones con dos o más incógnitas se llaman de primer grado si tienen la siguiente forma:

cbyax dczbyax

Donde dcba y ,, son las constantes con la condición de que los coeficientes de

las variables sean diferentes de cero. La primera ecuación representa una línea recta, mientras que la segunda representa un plano.

Un sistema lineal esta formado por dos o más ecuaciones de primer grado, están igualadas siempre a una constante sin variable llamado término independiente y pueden ser homogéneas o no homogéneas. Las homogéneas son aquellas en la que en cada ecuación el término independiente es igual a cero. Hay sistemas que tienen muchas soluciones, hay otros que tienen una solución y hay algunos que no tienen solución. La solución de un sistema no es otra cosa que lo común que hay entre los gráficos de las ecuaciones del sistema, si un sistema no tiene solución significa que entre sus gráficos no hay nada en común.

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas vamos a utilizar el método de eliminación.

Ejemplos:

1.

1243

yxyx

2

1243

yxyx

77

12862

y

yxyx

112

1

x

y

1x

2.

332212

63

zyxzyxzyx

Para resolver este sistema lo vamos a hacer en forma matricial utilizando el método de Gauss, realizando transformaciones elementales, entre filas. El método consiste en transformar los términos que se encuentran debajo de la diagonal principal en ceros, que es la idea del método de eliminación, para esto tratamos de obtener el mismo coeficiente con signos contrarios, de tal forma que al sumarlo se reduzca a cero, así:

13- 13 0 07 3- 2 06- 1 3- 1

15 1 8 07 3- 2 06- 1 3- 1

3 3 2 21 2- 1- 16- 1 3- 1

1 732

63

zzyzyx

,

331

,

221

2 FFF

FFF

,

3324 FFF

2 7)1(32

yy

1

6)1()2(3

x

x La solución es:

121

zyx

3. Encontrar la solución del siguiente sistema:

43257937654

532

tzyxtzyxtzyx

tzyx

1- 1- 0 0 01- 0 1 0 0

3 2 1 1 05 3 1 2 1

2 1 1 1 02 2 2 1 03 2 1 1 05 3 1 2 1

6- 3- 3- 3- 010- 10- 10- 5- 027- 18- 9- 9- 0

5 3 1 2 1

4 3 1- 1 25- 7- 9- 3- 17- 6- 5- 1- 4

5 3 1 2 1

,

441

,

331

,

221

2

4

FFF

FFF

FFF

,

442

,

332

FFF

FFF

1 1

32 532

tztzytzyx

2

3121

yy

1

513122

xx

La solución es: 1;1;2;1

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Se llaman ecuaciones de segundo grado, aquellas que tienen la forma:

02 cbxax

o aquellas que pueden reducirse por transformaciones algebraicas a esta forma. Donde x es la incógnita y cba ,, son constantes, con la condición de que 0a .

Si b o c son ceros la ecuación de segundo grado es incompleta, por lo que

tenemos los siguientes tipos:

0432 2 xx

023 2 xx Ecuaciones completas

035 2 xx

052 x Ecuaciones incompletas

02 2 x

También hay otros tipos de ecuaciones que estudiaremos más tarde.

Vamos a encontrar ecuaciones de segundo grado que son factorables, que no son factorables, para poderlas resolver nos ayudaremos con la completación de cuadrados o con la formula general de segundo grado. Las soluciones serán reales e complejas.

Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:

1. 609122 xxx

04882 xx

0412 xx

04 012 xx 4 12 -xx

2. 035 2 xx

035 xx

0x 035 x 5

3x

3. 052 x

52 x 5x Estas soluciones son imaginarias

4. 0342 xx

Esta ecuación no es factorable, por lo que lo vamos a resolver por completación de cuadrados

Para completar cuadrados dejamos los términos con la variable del lado izquierdo y completamos un trinomio cuadrado perfecto, para luego despejar x ; en la

ecuación si el coeficiente de x es par le descomponemos en dos factores el dos

que necesitamos para el doble producto y el otro factor será la segunda raíz que elevado al cuadrado nos dará el tercer término; si el coeficiente de x no es par le multiplicamos por dos y al coeficiente le dividimos para dos, siendo esta fracción la segunda raíz, a la cual le elevamos al cuadrado y obtenemos el tercer término.

342 xx

43222 22 xx

722x

72 72 2,12,1 xx

5. 0532 xx

4

95

2

3

2

32

2

2

xx

4

11

2

32

x

4

11

2

32,1 x

2

1132,1

ix

6. 0653 2 xx

En este caso le dividimos para tres y procedemos de las formas anteriores:

023

52 xx

36

252

6

5

6

52

2

2

xx

36

47

6

52

x

36

47

6

52,1 x

6

4752,1

ix

7. 02 cbxax ; Qcba ,,

02 a

cx

a

bx

2

22

2

4222

a

b

a

c

a

bx

a

bx

2

22

4

4)

2(

a

acb

a

bx

2

2

4

4

2 a

acb

a

bx

grado segundo de general formula la representa que 2

4

4

4

22

2,1

2

2

2,1

a

acbbx

a

acb

a

bx

Los resultados del discriminante son tres:

i) 042 acb , hay dos raíces reales, si el trinomio es factorable las raíces son racionales y si no son irracionales y se las obtiene con la formula general.

ii) 042 acb , hay una raíz y el trinomio es factorable

ii) 042 acb , hay dos raíces complejas y se las obtiene con la

formula general

8. 1

13

1

2

1

13

2

2

x

xx

xxx

x

Para resolver esta ecuación, factoramos los denominadores y encontramos el MCM

1)1(

23

1

2

1

12

2

2

xxx

xx

xxx

x

01342322212

23)1(21

2

222

222

xxxxxxxx

xxxxx

1 11 - 4

1 4

10114

xx

xx

9. 1382733 22 xx

09382)3(9 2 xx

1- 99- 1 013993 xx

093 x 0139 x

233 x 2x 233 x 2x

ECUACIONES DE CUARTO GRADO QUE SE REDUCEN A ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ECUACIONES BICUADRATICA

La ecuación de cuarto grado que tiene sólo potencias pares en su incógnita se llama Bicuadratica. Es decir:

024 cbxax , 0a La solución de esta ecuación esta basada en la de segundo grado, donde x2 es la nueva variable.

Ejemplo: 1. 021172 24 xx

7- 13- 2

7 2

3

07 0320)7)(32(

22

22

xx

xxxx

2. 3613 42 xx

03613 24 xx

2

1

3

104 09

04922

22

xx

xxxx

3. 09192 24 xx

9- 11- 2

3 2

1

0)9)(12( 22

xx

xx

ECUACIONES QUE SE REDUCEN A CUADRÁTICAS

Hay varios tipos de ecuaciones, por ejemplo

1. 140734332 xxxx

1402123823

140]733][432[22

xxxx

xxxx

xxz 23 2

01280282914016829

140218

2

2

zzzzzzzz

6

44026

283442

02823

2,1

2,1

2

x

x

xx

3

1 1 1 3

0131 1- 10123 2

xx

xx-xx

6

97,2022,1

x 83,31 x 16,32 x

2. 0201

32 33 4

xxx

02032 3 22

3 2 xx

4- 15 2

8

125

0452 3 23 2

x

xx

8x

3. 2

31

1

22

x

x

x

x 0 ,1 xx

2

3

1

112

2

x

xx

x

011

2

3124

x

x

x

x

021

31

2

24

x

x

x

x

2- 11 2 02

11

12

22

x

x

x

x

021

011

2

22

x

x

x

x

21

2

1-

122

x

x

x

x

no tiene solución 21

x

x

12

1

12

1 12 12

21 21

xx

xxxx

xxxx

4. 4

424

2

22

xx

xxxx

424 222 xxxx

22

2 424 xx 161644 22 xxx

020163 2 xx

2- 110- 3

2 3

1002103

xx

xx

5. 0419512528103 222 xxxxxx

2 34- 1

3 24- 1

1 54- 1

0153223 4

01532234

0154324234

xxxx

xxxx

xxxxxx

0213661364

32232 322324

15323223223

153223

2

2

22

22

xxxx

xxxx

xxxxx

xxx

1 62 1 0162 xx

6

1 2 xx

INECUACIONES

Al analizar el resultado de una inecuación, lo podemos relacionar con el grafico de una función y = f(x) si esta es 0)( 0)( xfoxf .

INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Por ejemplo si tenemos la función y = x + 3 y le graficamos, podemos notar que:

de ]3,] la función es negativa y de [-3, + [ es positiva, esto nos lleva a

pensar que todo binomio de primer grado tiene dos signos, un positivo y un negativo.

Ejemplos: 1. 4

x - 4 - +

2. 3

3 - x + -

Resolver una inecuación significa encontrar su conjunto solución por ejemplo:

Resolver la inecuación ax + b 0.

ax + b 0 (ax + b) - b -b

ax +(b – b) -b

ax -b

Si a 0, entonces a < 0 o a > 0.

i) Si a > 0 a-1 > 0

ax -b a-1 (ax) a-1(-b)

x -ba-1

x - a

b

La solución sería: S = {x R / x - a

b}

Gráficamente: x

-a

b

ii) Si a < 0 a-1 < 0

ax -b a-1 (ax) a-1(-b)

x -b a-1

x -a

b

El conjunto solución es: S = {x R / x - a

b}

x

-a

b

Ejemplos:

1. Resolver: 3x - 4 < 0

(3x - 4) +4 < 0 +4

3x < 4

3-1 (3x) < 3-14

x < 3

4

Sol. = {x R / x < 3

4} x

4/3

2. Resolver : 5 - 3x 0

-5+ (5 - 3x) 0 -5

-3x -5

(-3)-1 (-3x) (-3)-1 (-5)

x 3

5

Sol. = {x R / x 3

5} x

5/3

Observaciónes:

1. Podemos cambiar un término al otro lado de la inecuación y este cambia de signo.

2. Si multiplicamos o dividimos la inecuación por un número negativo, la desigualdad cambia de orden.

3. Se pueden resolver los ejercicios anteriores con el análisis del binomio.

3. Resolver: 3x - 4 0

3x - 4 = 0 x

x =3

4

Sol. ={xR/ x 43}

Para resolver la inecuación primeramente igualamos a cero al binomio, tomamos un valor antes y después de este resultado y calculamos el signo del binomio.

4. Resolver: 5

34 x-

3

45 x

15

23 x+

5

65 x

15

2025912 xx

15

181523 xx

-13x – 29 13 –15x

-13x +15x –13 – 29 0

2x – 42 0 x

x – 21 0

x –21 = 0 Sol. : { xR / x 21}

x = 21

5. Resolver: x3

1 > 0 x

3 – x = 0

x = 3 Sol: {xR / x < 3}

6. Resolver: x

xx

5

)4)(23( 0

x -21 + -

21

3x - 4 - +

4/3

3 – x + -

3

+ + +

-4 3/2 5

-

+

-

-

+

Igualamos cada binomio a cero y realizamos la tabla, considerando los valores de menor a mayor, tanto en la recta numérica, como para los binomios.

3 –2x = 0 4 + x = 0 5 – x = 0

x = 2

3 x = - 4 x = 5

Sol: {x R / -4 x 3/2 x > 5}

8. Resolver: x

x

2

13 -

2

43

x

x 1

Para resolver este tipo de inecuaciones pasamos todos los términos a la izquierda y procedemos algebraicamente a transformar la parte izquierda de tal manera que nos queden binomios de primer grado:

x

x

2

13 -

2

43

x

x - 1 0

)2)(2(

)2)(2()2)(43()2)(13(

xx

xxxxxx 0

)2)(2(

4)4836(263 222

xx

xxxxxxx 0

)2)(2(

1216

xx

x 0 Igualamos a cero cada factor

16x -12 = 0 x = 4

3 2 – x = 0 x = 2 x +2 = 0 x = -2

3 – 2x + -

5 - x + +

-

+

-

+

(3-2x)(4+x)

5 - x

4+x

En la última fila de la

tabla, calculamos el

resultado haciendo una

multiplicación de

signos e incluimos los

valores que hacen cero

el numerador.

- + x +2 + +

-2 3/4 2

- +

+ -

- + x + 3 + +

-3 4/3 2

+ -

+ -

Y procedemos a realizar la tabla:

x

Sol: { x R / -2 < x 3/4 x 2}

8. Resolver: 5

43

)3)(2(

)2()34(

xx

xx

0

Cuando un elemento está elevado a una potencia par, siempre será positivo, por lo que no es considerado en la tabla.

4 –3x = 0 2 – x = 0 3 + x = 0

x = 3

4 x = 2 x = -3

x

Sol: {x R / -3 < x 4/3 x > 2}

16x–12 - +

2 - x

+

+

+

-

+

-

16x-12

(2 – x)(x + 2)

4 – 3x + -

2 - x

+ +

-

+

-

+

(4 -3x)3 (2+x)

4

(2 – x)(3 +x)5

1 2

+ +

+ -

9. Resolver el siguiente sistema:

0152

2

341

3

43

2

34

2 xx

x

x

x

x

x

x

Procedemos a

resolver cada inecuación y la solución del sistema es la intersección de las soluciones parciales.

x

a) x

x

2

3 4 -

x

x

2

3 - 4 0

x

xx

2

483 0

x

x

2

55 0 S. a: { x R / x 1 x > 2}

b) 3

43

x

x + 1

x

x

2

34

3

43

x

x + 1 -

x

x

2

34 0

)2)(3(

)3)(34()2)(3()2)(43(

xx

xxxxxx

0

)2)(3(

)994(68103 222

xx

xxxxxx

0

)2)(3(

994294 22

xx

xxxx

0

)2)(3(

1118

xx

x

0

Igualamos a cero cada binomio:

5x -5

2 - x +

- + - 5 x –5

2 - x

- +

- +

-

+

- +

- +

+

x = -11/18 x = 3 x = - 2 y realizamos la tabla

x

S. b = {x R / x < -2 18

11 x < 3}

c) x2 – 2x –15 < 0

(x – 5) (x + 3) < 0

x – 5 = 0 x + 3 = 0

x = 5 x = - 3

x

S c: { x R / -3 < x < 5}

INECUACIONES CUADRÁTICAS

- 2 -11/18 3

2 + x +

18x+11 -

x - 3 - -

-

+

-

18x+11

(x–3)(2+x)

+

+

-3 5

x + 3 +

x - 5 -

(x –5)(x +3) + - +

Para tratar estas inecuaciones vamos a recordar como sé grafica una ecuación cuadrática.

Sea a, b, c R, con a 0, y = ax2+bx+c y

i) Si a > 0 y ax2+bx+c = 0 no tiene raíces reales entonces

su gráfico es:

Si tiene raíces reales:

ii) Si a < 0 y ax2+bx+c = 0 no tiene raíces reales entonces,

su gráfico es:

Si tiene raíces reales:

Cuando trabajamos con inecuaciones lo que necesitamos saber es, el signo del gráfico, si la ecuación ax2+ bx + c = 0 no tiene raíces reales es positivo o es negativo dependiendo del signo de a.

Si tiene raíces reales y a > 0 siempre el resultado de la inecuación es +, -, +; pero si a < 0 el resultado es -, +, -.

+ + - - +

- +

-1 -2/3

+

- + -

Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones cuadráticas:

1. 3x2+5x+2 0

2 31 1

(x +1)(3x +2) = 0 Sol :{x R / x -1 x -3

2}

Las raíces son: x = -1 ; x = -3

2

2. 5 - 4x - x2 > 0.

x

5 – 4x - x2 = 0

x2 + 4x -5 = 0 Sol :{ x R / -5 < x < 1}

(x + 5)(x – 1) = 0 x = -5 x = 1

3. 7124

1452

2

xx

xx < 0

5x2- 4x - 1= 0 4x2+ 12x - 7 = 0

1 51- 1

1- 27 2

(x – 1)(5x + 1) = 0 (2x + 7) (2x – 1) = 0

x = 1 x = -5

1 x = -

2

7 x =

2

1

Sol = { xR / 5

1

2

7 x 1

2

1 x }

-7/2 -1/5 ½ 1

5x2- 4x - 1

4x2+ 12x -7

7

+ - +

7124

1452

2

xx

xx

+

_

+

_

+

3x2+5x+2 + -

-5 1

5- 4x - x2 -

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. Realizar las siguientes ecuaciones

a) xxx 85532

b) )35(214)3(5)1(4 xxxx

c) })]3(4[3{2)43(6 xxxxx

d) )6(4)1)(2(3)4)(1( zzzzzz

e) 11520005220102 4213 xxxx f) 013829 42 xx

g) 1318173 42 xx h) 637383 132 xx

i) 132

62

6 x

x j) 16

1

16

1

16

3

3103

xxx

k) 6

3

3

x

x

x

x l) 131245 xxx

ll) 92714

3

3221

23

376

25222

xx

x

xx

x

xx

x

m)

a

cb

a

cb

a

cb

xa

cb

a

cb

a

cb

a

cb

xa

cb

n) 65923233 xxxx

o) 260373443 xxxx

p) 12151215424 22 xxxx

q) 043 2 xax

r) xxxxx 410431043 22

s) 1312523 xxxx

t) 224242 243 baaxbx

u) 2

3

32

23

x

x

w) 1

149

xxx

x) xx

xxxxx

22

2

2

32222

y) 0102

2

2

22

2

2

2

xx

xx

xx

xx y)

z) 0213 xx

aa)

xx

xx

xxx

xxx

10

1027

105

105

bb) 22221 3 xx

cc) x

xx

8

35

3

8

dd) 3811

3811

542

5422

2

xx

xx

xxx

xxx

ee) 1286437911 xxxxxxxx

ff) 015995 2345 xxxxx

gg) 02112 234 xxxx

hh) 073572414 32456 xxxxxx

ii) 0416212321164 23456 xxxxxx

jj) 012890890812 23456 xxxxxx

2. Resolver los siguientes sistemas:

a)

654

723

432

21

21

21

xx

xx

xx

b)

222

32

4323

4321

421

4321

xxxx

xxx

xxxx

c)

123

1023

zyx

zyx d)

3232

62

zyx

zyx

e)

063

64

22 xyyxyx

yx f)

30

3

xy

xy

g)

3

1022

xy

yx h)

10

2052

xy

yx

i)

220374

25

24

42

yx

yx j)

28

4

33 yx

yx

k)

325

13

4334

22

yxyyxx

yxyx

d)

222

4322

23

632

4321

4321

431

4321

xxxx

xxxx

xxx

xxxx

ll)

132

543

422

123

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

e)

02222

223

12242

422

1223

54321

54321

54321

54321

54321

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

n)

433

032

222

52

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

o)

022430232223

0620232

06522033323

654321

654321

654321

654321

654321

654321

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

3. Resolver:

a) xx

41

3 b) xx 43

5

42

3

c) 14

3

x d)

02132

35223

xx

xxx

e) 5

43

3

42

x

x

x

x f)

2

23

2

5

4

32

2

x

x

x

x

x

x

g) 0204169 324 xxxx h) 030114

3011423

23

xxx

xxx

i) 03

162

2

xx

x

j) 23

3

65

1

34

52222

xx

x

xx

x

xx

x

k)

04

13

2

12

4

12223

xxxx

k) 16

12

6

82

2

2

x

x

x ll)

2

3

1

2

2

132

2

2

2

x

x

x

x

l) 23

15

23

25

94

1832

2

x

x

x

x

x

x

m) 2

2

49

1453

32

43

32

25

x

xx

x

x

x

x

n) 222 9

32

673

23

94

12

x

x

xx

x

x

x

o) 62

3

932

3

6

34222

xx

x

xx

x

xx

x

p) 932

2

6

4

9

25222

xx

x

xx

x

x

x

q) 242 xx

r) xx 533 2

t) 223223

16

xx

xx

u) 294 2 xx

v) 05413 xxxx

w)

042

53

xx

xx