11

VALOR ABSOLUTO EN LA

RECTA NUMÉRICA. Actualizado agosto 2009

Prof. Maria Consuelo Cortés Diaz y Guiomar Mora de Reyes

2

CONTENIDO

1. Distancia entre dos puntos.2. Valor Absoluto. 3. Punto medio.4. Ecuaciones e Inecuaciones con valor

Absoluto

33

Antes de dar la definición formal de Valor Absoluto vamos a analizar la siguiente situación.

Oscar, Alberto y Betty se reúnen, en la casa de Oscar, para realizar un trabajo de la Universidad.

La casa de Betty está ubicada a tres cuadras a la izquierda de la casa de Oscar.

La casa de Alberto, por el contrario está ubicada a 5 cuadras a la derecha de la casa de Oscar.

Concepto de distancia entre dos puntos en la recta numérica

5 cuadras 3 cuadras

Casa de BettyCasa de Oscar Casa de Alberto

44

Donde: Punto B: ubicación casa de Betty Punto A: ubicación casa de Alberto Punto O: ubicación casa de Oscar

Representemos la anterior situación en la siguiente recta numérica:

O AB

3 cuadras 5 cuadras

55

Ahora el punto de reunión es donde Alberto. Cuántas cuadras deben recorrer Oscar y Betty?

Betty: 8 cuadras.

Concepto de distancia entre dos puntos en la recta numérica

Distancia de la casa de Betty a la de Alberto

Distancia de la casa de Oscar a la Alberto

Casa de Alberto

Oscar: 5 cuadras

66

La distancia entre dos puntos es siempre positiva y se define como la longitud del segmento de recta que tiene como extremos dichos puntos.

La distancia entre los puntos A y B, que denotamos d(A,B) , es la misma que la distancia entre los puntos B y A, esto es: d(A,B)=d(B,A)

d(A,B)

d(B,A)

I I

A <---------------------B

A --------------------->B

I I

77

VALOR ABSOLUTO

x Se debe leer Valor Absoluto de x y se debe interpretar como la distancia entre el real cero (origen) y el punto cuya coordenada es x, en la recta numérica.

IMPORTANTE! Como es una distancia su valor es siempre positivo o cero. En otras palabras, x 0

La distancia entre dos puntos se escribe matemáticamente usando el símbolo

El cual se lee valor absoluto

d(x,0)= I x - 0 I = I x I0<-------------------- x

I I

d(0,x)= I 0 - x I = I –x I = I x I 0-------------------->xI I

88

VALOR ABSOLUTO

Si el punto de referencia no es el origen, sino un

punto 1x , la distancia desde este punto de referencia

hasta otro cualquiera 2x se representa como

d(x1,x2)=lx1- x2l=lx2-x1l

l l

<------------------------>

l l

l l

<------------------------

-------------------------->

d(x1,x2)=lx1- x2l=lx2-x1l

d(x1,x2)=lx1- x2l

d(x2,x1)=lx2- x1l

1x

1x

1x

2x

2x

2x

9

2 63 4 5

Ejemplo 1:

d(2, 6) 6 2 4

d( 7,1) 1 ( 7) 8 20-2-4- 6- 8

d( 7, 10) 7 ( 10) 3 - 11 - 9 - 7 - 5

1010

VALOR ABSOLUTO

Distancia mayor que cero

Determinar la distancia de -3 a 15

Ahora calculemos la distancia de 15 a -3

Ejemplo 2:

d(-3,15)=I-3 -15I=I-18I=18

d(15,-3)=I15-(-3)I=I15+3I=I18I=18

18 unidades

1111

VALOR ABSOLUTO

Exprese en términos de distancia las siguientes expresiones:

8 2

2 5

2 4 1

5x

3 1x

La distancia de 2 a 5

La distancia de 8 a -2

La distancia de un número real x a 5

El triple de la distancia (tres veces la distancia) de un número real x a -1

El doble de la distancia de 4 a 1

Ejemplo 3:

1212

Punto medio entre dos puntos en la recta numérica

El punto medio entre dos puntos en la recta numérica, es aquel que divide al segmento comprendido entre ellos en dos partes iguales.

El punto medio, equidista (es decir, se encuentra a igual distancia) de los extremos del segmento de recta

13

Concepto de punto medio entre dos puntos en la recta numérica

Ejemplo 4: Determinar el punto medio del segmento correspondiente a la distancia recorrida del punto -2 al punto 6

Se recorren 8 unidades

El punto medio es 2.

1414

Ecuaciones e Inecuaciones con Valor

Absoluto.

1515

Recordemos el principio de tricotomía: Para dos números reales “a” y “b” cualquiera, se cumple una y solo una de las siguientes situaciones:

a es menor que b;

a es igual a b

a es mayor que b

I Ia b

b a

a = bI

I IPor tanto:

Para dos puntos x1 y 2x sobre la recta numérica

sucederá una y solo una de las situaciones: 1.- Que 2x esté a la derecha de 1x

2.- Que 2x esté a la izquierda de 1x

3.- Que 2x sea igual a 1x

1616

VALOR ABSOLUTO Ejemplo 5:

Expresado como valor absoluto es:

x -0 =3 x 3

Por lo tanto, el conjunto solución es -3,3 xd ,0 =3En términos de distancia

Observando sobre la recta tenemos que hay únicamentedos puntos que cumplen: el 3 y el -3.

Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a una distancia de 3 unidades del origen.

- 3 -2 - 1 0 1 3- 4 2

3 unidades 3 unidades

con conjunto solución: 3, 3

1717

Ejemplo 6:

Expresado como valor absoluto es:

x 0 3 x 3

Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo

x d 0 3,En términos de distancia

Observando sobre la recta tenemos que todos los puntos entre el -3 y el 3 cumplen

3 3,

Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a una distancia menor de 3 unidades del origen.

con conjunto solución: 3 3,

3 Unidades 3 Unidades

VALOR ABSOLUTO

1818

Ejemplo 7:

Expresado como valor absoluto es:

x -0 >3 x 3

Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo

xd ,0 > 3En términos de distancia

Observando sobre la recta se tiene que todos los puntos a la izquierda del -3 y a la derecha del 3 cumplen

-∞,-3 ∪ 3,∞

Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a una distancia mayor de 3 unidades del origen.

3 unidades3 unidades

con solución: -∞,-3 ∪ 3,∞

VALOR ABSOLUTO

19

Ejemplo 8:

Solución:

Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica cuya distancia a -3 es de 7 unidades

Escrito lo anterior en términos de valor absoluto 3 3 7( )x x

Los valores que cumplen esta condición son: 10x ó 4x

El conjunto solución es: 4,10

Observe que ya no es al

origen

VALOR ABSOLUTO

2020

Ejemplo 9 Encontrar el conjunto solución de 5 7x

Gráficamente corresponde a:

Los puntos se encuentran en el intervalo 2,12

Solución

5 120-2

7 unidades 7 unidades

2121

Ejemplo 10

Encontrar el conjunto solución de: 1 4x

Solución

Puesto que 1 ( 1)x x Punto de referencia (-1)

El problema consiste en encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que están a 4 unidades de - 1

Los valores que cumplen esta condición son 5x y 3x

Por lo tanto el conjunto solución es: - 5, 3

-4 3210-1-5 -2-3

4 unidades 4 unidades

2222

Ejemplo 11:

Encontrar el conjunto solución de 4 6x Expresión verbal: Todos los puntos sobre la recta numérica cuya distancia a - 4 es igual a – 6

OJO!!!: distancia = – 6 ?

La distancia es una longitud, por lo tanto no puede ser negativa

Conclusión: El conjunto solución de la expresión 4 6x es

- 6 < 0

23

Ejemplo 12:

Encontrar la expresión correspondiente, en términos de:

Los puntos cuya distancia a – 2 es menor o igual a 4 unidades

Para el conjunto de puntos representados en la recta numérica

- 8 - 6 42- 2 0- 4

Distancia:

Valor absoluto: 4)2( x

42 x

Punto Medio:

24

Ejemplo 13: Comparar las distancias entre un número real cualquiera en el intervalo 4,6 con -6 y 4

a.)Si x es igual a -1

464)6( xxxx

x equidista tanto de -6 como de 4, lo que puede escribirse en términos de valor absoluto como:

5 unidades5 unidades

25

Ejemplo 13 (continuación)

Comparar las distancias entre un número real cualquiera en el intervalo 4,6 con -6 y 4

b.) Si x está más cerca de -6 que de 4, se tiene:

464)6( xxxx

26

Comparar las distancias entre un número real cualquiera en el intervalo 4,6 con -6 y 4

c.) Si x está más lejos de -6 que de 4, se tiene:

464)6( xxxx

Ejemplo 13 (continuación)

2727

Ejemplo 14 Encontrar el conjunto solución de 4 3x x Solución:

Esta expresión, se puede interpretar como los puntos x que equidistan tanto de – 4 como de 3.

Solo hay un punto x que equidista tanto de – 4 como de 3 y es el punto -0,5 = -½.

El conjunto solución será por lo tanto {-½} -4 3-½

-4 3

Punto Medio entre -4 y 3

28

Ejemplo 15:

Solución:

Encontrar todos los puntos sobre la recta numérica que estén a más de 4 unidades de 2.

Los puntos que satisfacen son aquellos que están a la izquierda de -2 y a la derecha de 6 (sin incluirlos)

, 2 6, El conjunto solución es:

2 4x

El enunciado del ejemplo en términos de valor absoluto corresponde a la inecuación:

29

Expresar en lenguaje corriente

x 2 3 4

43 x

x 2 5

x 1 5

x x 2 3

Los números reales cuya distancia a 3 es mayor a 4 unidades

Los números reales cuya distancia a 2 es menor ó igual a 5 unidades

Los números reales cuya distancia a -1 es igual a 5 unidades

Los números reales cuya doble distancia a 3 es mayor a 4 unidades

Los números reales cuya distancia a 2 es mayor que su distancia a -3

Ejemplo 16

30

Escribir sin símbolo de valor absoluto 2 5 si 2,5x x x

Ejemplo 17

Punto de referenciaPunto de referenciaPara 2x 2 0 2x x

Para 5x 5 0 5x x

2

2 2 0 2 2x x x x 2 2 0 2 2x x x x

5

5 5 0 5 5x x x x 5 5 0 5 5x x x x

2 2x x

5 5x x

2 5 2 5x x x x

2 5 2 3x x x

31

Escribir sin símbolo de valor absoluto 1

3 2 si 2

x x x ¡Ejemplo 18

Punto de referenciaPunto de referenciaPara 3x 3 0 3x x

Para 1

22

x 1 1 12 0 2

2 2 4x x x

3

3 3 0 3 3x x x x 3 3 0 3 3x x x x

14

1 1 1 12 0 2 2

4 2 2 2x x x x

1 1 1 12 0 2 2

4 2 2 2x x x x

13 2

2

13 2

2

x x

x x

13 2

2

7 1 si 3,

2 4

x x

x x

1 13 2 3 2

2 2x x x x

13 2

2x x

53 si , 3

2x x

1 13 2 3 2

2 2x x x x

5 13 si ,

2 4x x

32

px 37

Para qué valores de p, la siguiente inecuación no tiene solución

Recordemos que el valor absoluto es una distancia, y por lo tanto debe ser un valor mayor o igual a cero.

Por lo tanto, para que la inecuación anterior tenga solución

03 p , esto es equivalente a 3p

Entonces concluimos que 3p para que la inecuación px 37 no tenga solución.

Ejemplo 19

33

A TRABAJAR

34

Ejercicios1. Representar en la recta numérica:

3x 4x 2 3x 5 3x

2. Exprese en forma de intervalos los resultados anteriores.

1 2x

3. Exprese en términos de valor absoluto y en forma de intervalos las siguientes expresiones:

x está a menos de 3 unidades de 2.x está a 5 unidades de -3.x está al menos a 2 unidades de 1.

2 5x x 4x x 1 3x