heverd.files.wordpress.com€¦ · web viewcÁlculo grado once. unidad i: inecuaciones y valor...

Instituto Salesiano Pedro Justo BerrioDepartamento de Matemáticas

CÁLCULO GRADO ONCE

UNIDAD I: INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO

INECUACIONES CONCEPTOS BÁSICOS

Intervalo: Es un subconjunto de la recta real .Por lo tanto puede ser una semirrecta, un segmento o la recta misma .Todo intervalo es infinito.Existen 4 clases de intervalos: Abierto, cerrado, abierto a la derecha y abierto a la izquierda.Un intervalo es abierto cuando se puede tomar cualquier punto de él excepto sus valores extremos .Se denota (a, b)

◄-----------------(---------------------------------------------)--------------------------► ─ ∞ a b ∞ ◄-----------------○----------------------○--------------------------► ─ ∞ a b ∞ Un intervalo es cerrado cuando se puede tomar cualquier punto de él incluidos sus valores extremos. Se denota [a,b] ◄------------------[-------------------------------------------]--------------------------► ─ ∞ a b ∞ ◄------------------●---------------------●--------------------------► ─ ∞ a b ∞ Se dice que un intervalo es abierto a la derecha cuando se puede tomar cualquier punto de él excepto su extremo derecho .Se denota [a,b)

◄-----------------[---------------------------------------------)--------------------------► ─ ∞ a b ∞ ◄-----------------●---------------------○---------------------------► ─ ∞ a b ∞Se dice que un intervalo es abierto a la izquierda cuando se puede tomar cualquier punto de él excepto su extremo izquierdo. Se denota (a,b ]

◄-----------------(---------------------------------------------]--------------------------► ─ ∞ a b ∞

◄-----------------○---------------------------------------------●--------------------------► ─ ∞ a b ∞

Inecuación .Es toda desigualdad en la cual se presenta una o más variables. En este curso se trabajará con una sola variable.

1


La solución de una ecuación es un punto ( número real ) o conjunto de puntos, según el grado de ella, para una inecuación su solución es un intervalo.Para solucionar una inecuación es necesario tener en cuenta las propiedades de las desigualdades:

Si a,b,c ,son números reales, se cumple :

1. a2 ≥ 02. a≥b↔a+c ≥b+c3. a≤b↔a+c ≤b+c4. a≥b↔ac≥bc , si c>05. ab≥0↔(a≥0∧b≥0)∨(a≤0∧b≤0)6. ab≤0↔(a≥0∧b≤0)∨(a≤0∧b≥0)7. a ≥ b ↔ ac ≤ bc , si c< 0 8. a ≤ b ↔ ac ≥ b c, si c< 09. a

b≥0↔(a≥0∧b>0)∨(a≤0∧b<0)

10. ab≤0↔(a≥0∧b<0)∨(a≤0∧b>0)

Uno de los métodos más sencillos para resolver una inecuación es el del cementerio o de las cruces. Para aplicarlo, se reduce todo a un solo polinomio o a una fracción , desigualado a cero, se factoriza cada expresión y se tiene en cuenta hacia donde es positivo o negativo. Cada uno de los factores resultantes. Se coloca todo en columna y se aplica la ley de los signos. Para el resultado final se tiene en cuenta que ≥ o > equivale a +¿ , ≤ o < se toman los intervalos −¿ .

Recordemos que:

∧ : indica intersección∨: indica∪¿

EJEMPLOS

1. 3x2 ≥ x ┼ 2Desigualando a cero:3x2 ─ x ─2 ≥ 0Factorizando:(3x ┼ 2) (x ─ 1) ≥ 0

2


Considerando: - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + +3x ┼ 2≥ 0 → x ≥ ─2/3 ◄------------●---------------------------------------------------► ─ ∞ - 2/3 ∞ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + x ─ 1 ≥ 0 → x ≥ 1 ◄-------------------------------------●--------------------------► ─ ∞ 1 ∞ +−+¿

Por lo tanto, la solución de esta inecuación es

( ─ ∞ , ─2/3 ] U [ 1,∞ )

2 . 5x-2/2x+1 ≤ 2x-1 / 3x- 2

Desigualando a cero:

5x-2 2x-1 ≤ 02x+1 3x- 2

Reduciendo a una sola fracción

11x 2 – 16x + 5 ≤ 0 (2x+1) (3x-2)

Factorizando el numerador:

(11 x−5 ) (x−1 )(2x+1 ) (3x−2 )

≤0

Analizando los factores tenemos:

- - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 11x – 5 ≥ 0 → x ≥ 5/11 ◄--------------●----------------------------------------------------► ─ ∞ 5/11 ∞ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + +x-1 ≥ 0 → x ≥ 1 ◄--------------------------------------------------------●----------► ─ ∞ 1 ∞ - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +2x+1 >0 → x > - ½ ◄------○------------------------------------------------------------► ─ ∞ - ½ ∞ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + 3x-2 >0 → x > 2/3 ◄----------------------------------------○--------------------------► ─ ∞ 2/3 ∞ + - + - +

3


Luego la solución de la inecuación es ( - ½, 5/11 ] U ( 2/3,1 ]

3. 9−25 x2

6 x2+5 x−6<0

Factorando numerador y denominador :

( 3+ 5x) (3-5x ) / ( 2x+ 3) (3x-2) <0

Analizando cada factor, se tiene: - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + +3+ 5x >0 → x > - 3/5 ◄----------------------○--------------------------------------------► ─ ∞ -3/5 ∞ + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - -3- 5x >0 → x < 3/5 ◄-------------------------------------○-----------------------------► ─ ∞ 3/5 ∞ - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +2x+ 3> 0 → x > -3/2 ◄---------○---------------------------------------------------------► ─ ∞ -3/2 ∞ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + +3x-2 > 0 → x > 2/3 ◄-----------------------------------------------------○-------------► ─ ∞ 2/3 ∞ - + - + -

Por tanto la solución de la inecuación es ( ─ ∞ ,-3/2 ) U (-3/5,3/5) U ( 2/3 , ∞ )

MÓDULO 1

Soluciona las siguientes inecuaciones

1. 5 x+16 x2−x−2

− x−23 x−2

≤ 7−x2x+1

2. 10x+32x+3

≥ 2x−116 x2−18x−9

+ 2x+18 x−3

3. 6 x+74 x+3

+ 2 x−19−16 x2 ≤

6 x−13−4 x

4. 3x+2x+2

− x−12x−1

≥ 6−x2 x2+x−6

5. 3x−1x+1

− x−32 x2−3 x−5

≥ 5−x2 x−1

6. 5 x−86 x2+x−2

− x−34 x2−1

≤ x+23 x+2

4


7. 9 x+12x+3

− x−110 x2+7 x−12

≥ 7 x−55x−4

8. 3 x−25x−8

+ x−2x−3

≤ x−68 x2−23 x+24

PROBLEMAS SOBRE INECUACIONES

Introducción: Cuando se va a resolver los problemas sobre inecuaciones (ó Ecuaciones) es necesario tener en cuenta:

1. Leer detenidamente, hasta entender el enunciado del problema.

2. Descubrir las variables que intervienen y asignarles una letra.

3. Obtener un número de ecuaciones igual al número de variables.

4. Imaginar una situación real o similar y hacer el proceso con las variables (letras) empleadas.

5. Solucionar las ecuaciones y comparar los resultados con la realidad.

EJEMPLOS

I. En cierto estanque se crían peces. Si se introducen “n” de ellos allí, se sabe que la ganancia de peso promedio de cada pez es de (600 – 3n) gramos. Determine las restricciones de “n” si la ganancia total en peso de todos los peces debe ser mayor que 28 800 gramos.

Sea: n : # total de pecesGanancia total = (# total de peces)(ganancia en peso / pez)

Luego: n (600 –3n )≥28 800

Resolviendo: 600n−3n2−28800≥0

Multiplicamos por (-1) para ordenar el trinomio:

3n2−600n+28800≤0, simplificamos por 3 y obtenemos:

5


n2−200n+9600≤0

Factorando: (n−120 ) (n−80 )≤0

(n−120 )≥0→n≥120 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + -∞ 120 ∞

(n−80 )≥0→n≥80 - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + -∞ + 80 - + ∞S= [80,120 ]

R/ Se deben introducir entre 80 y 120 peces

II. Un peluquero atiende en promedio a 120 clientes a la semana y les cobra $ 4 por corte. Por cada incremento de 50c en el precio, se pierden 8 clientes. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos mínimos de $ 520?

Sea:x : incrementos a realizar Ingreso = ( # clientes)(costo / cliente)

Luego: (120−8x ) (4+0.50 x )≥520

Operando: 480+60x−32x−4 x2−520≥0

Simplificando y ordenado tenemos: −4 x2+28 x−40≥0

Dividiendo por (−4 ), obtenemos: x2−7 x+10≤0

Factorando: ( x−5 ) ( x−2 )≤0

Resolviendo:

( x−5 )≥0→x ≥5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + -∞ 5 ∞

( x−2 )≥0→x≥2 - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + -∞ + 2 - + ∞

S= [2,5 ]

6


Por lo tanto; el máximo número de incrementos es de 5 y el precio máximo es :

p=4+0.50 (5 )

p=4+2.50

p=6.50

R/ Deberá fijar un precio máximo de $ 6.50

III. Una empresa puede vender todos las unidades de un artículo a $ 40. Si tiene costos fijos mensuales de $ 1500 y gasta en materiales $ 15; ¿Cuántos artículos deberá producir y vender si desea una ganancia de más de $ 3500 al mes?

Sea:x=¿artículos producidos y vendid osGanancia=Ingresos−Egresos

Luego:

40 x− (1500+15 x )>3500

Operando:

40 x−1500−15 x>3500

25 x>5000

x>500025

x>200

R/ Se deben producir y vender más de 200 artículos

7


EJERCICIOS PROPUESTOS (PROBLEMAS DE INECUACIONES): MÓDULO Nº 2

1. (Decisión de producción). Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de $ 30 cada una. Tiene costos fijos de $ 12.000 la mes; y además, le cuesta $ 22 producir cada articulo. ¿Cuántas unidades debe producir y vender al mes la compañía para obtener utilidades?

2. (Utilidades del fabricante).Un fabricante de aparatos de alta fidelidad puede vender todas las unidades producidas al precio de $ 150 cada una. Tiene costos fijos a la semana de $ 15.000 y costos por unidad de $ 100 en materiales y mano de obra. Determine el número de aparatos de alta fidelidad que deberá fabricar y vender cada semana con el propósito de obtener utilidades de por lo menos $ 1.000? R/ 320

3. (Decisiones de fabricación). Una empresa automotriz dese saber si le conviene fabricar sus propias correas para el ventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a $ 2.50 cada unidad. La fabricación de las correas por la empresa incrementará sus costos fijos en $ 1.5000 al mes, pero sólo le costará $ 170 fabricar cocada correa. ¿Cuántas correas debe utilizar empresa cada mes para justificar la fabricación de sus propias correas?

4. (Decisiones sobre contratación de maquiladores). Una empresa puede encomendar a un contratista que empaque cada unidad de su producto a un costo de $ 2.75. por otra parte, la empresa puede empacar sus productos instalando una maquina empaquetadora. Su instalación incrementará los costos fijos de la empresa a $ 2.000 al mes y los costos mismos de empaquetamiento en $ 1.50 por unidad. ¿Cuántas unidades tendría que producir al mes para que la instalación de la maquina empaquetadora fuera rentable?

5. (Publicación de revistas). El costo de la publicación de cada ejemplar de la revista semanal Compre y venda es de 35c. Los ingresos por ventas de distribución son de 30c por ejemplar, y los ingresos por publicidad del 20% sobre los ingresos obtenidos por ventas más allá de los 2.000 ejemplares. ¿Cuántos ejemplares deberá publicar y vender cada semana para obtener ganancias de al menos $ 1.000? R/ Vender al menos 112 000

6. (Publicación de revistas). El editor de una revista mensual tiene costos de edición de 60.5c por ejemplar. El ingreso por ventas de distribución es de 70c por ejemplar, y los ingresos por publicidad de 15% sobre

8


obtenidos por ventas más allá de los 20.000 ejemplares. ¿Cuántos ejemplares deberá publicar y vender al mes para asegurar utilidades que sobrepasen los $ 4.000? R/ 30 500

7. (Ingresos del fabricante). Al precio de p por unidad, x unidades de cierto artículo pueden venderse al mes en le mercado, con p = 600 - 5x. ¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con objeto de obtener ingresos por lo menos de $ 18.000? R/ 60 Unidades

8. (Ingresos del fabricante). Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana al precio de p dólares por unidad, en donde p = 200 – x. ¿Qué número de unidades deberá venderse a la semana para obtener ingresos mínimos por $ 9 900?

9. (Decisiones de producción). En el ejercicio 7, si cuesta (800 + 75x) dólares producir x unidades, ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse cada mes con objeto de obtener una utilidad de al menos $ 5 500?

10. (Decisiones sobre fijación de precios). En el ejercicio 8, si cuesta (2800 + 45x) dólares producir x unidades, ¿A qué precio p deberá venderse cada unidad para generar una utilidad semanal de por lo menos $ 32 000?

11. (Utilidades). Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $ 25 cada una. El costo C (en dólares) de producir x unidades cada semana está dado por C = 3000 + 20x – 0.1 x2. ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la semana para obtener alguna utilidad?

12. (Ingresos del editor). Un editor puede vender 12.000 ejemplares de un libro a un precio de $ 25 cada uno. Por cada dólar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares. ¿Qué precio máximo deberá fijarse a cada ejemplar con objeto de lograr ingresos de por lo menos de $ 300.000? R/ $ 30

13. (Arquitectura). Un granjero desea delimitar un terreno rectangular y tiene 200 yardas de cerca disponible. Encuentre las dimensiones posibles del terreno si su área debe ser al menos 2100 yardas cuadradas.

14. (Inversiones). Un accionista invierte $ 100 a un interés anual del R por ciento y otros $ 100 a 2R por ciento anual. Si el valor de las dos

9


inversiones debe ser de al menos $ 224.80 después de 2 años, ¿Qué restricciones deben establecerse sobre R?

15. (Política de fijación de precios). Un supermercado se encuentra con grande existencias de manzanas que debe vender rápidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p centavos por libra, venderá x libras, con x = 1000 – 20p. ¿Qué precio deberá fijar con el fin de obtener ingresos por lo menos de $ 120?

VALOR ABSOLUTO

Definición: El valor absoluto de un número real “a”, denotado por ∥a∥.Es la distancia que existe entre el número “a” y el cero (“0”)en la recta real. Esta dado por la expresión:

∥a∥={ a;si a≥0−a; si a<0 }

Ejemplos

1. ∥−√74∥=−(−√7

4 )⇒ √74

2. ∥−25∥=− (−25 )⇒ 25

3. ∥ 78∥=7

8

Propiedades del valor absoluto

∀ a ,b∈R , se cumple :

1. ∥a∥2=a2

2. ∥a∥≥0

3. ∥ab∥=∥a∥∗∥b∥

4. ∥ ab∥= ∥a∥

∥b∥ ;b≠0

5. ∥a+b∥≤∥a∥+∥b∥

10


ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Cuando se va a resolver una ecuación con valor absoluto, es indispensable tener en cuenta la siguiente propiedad:

∥a∥=b≥0∧(a=b∨ a=−b) I ¿ II ¿ III ¿

Ejemplos:

1. ∥5 x−1∥=3 x2−3

Aplicando la propiedad I) , se tiene:

3 x2−3≥0⇒ x2−1≥0⇒ ( x+1 ) ( x−1 )≥0

Resolviendo, tenemos que:

x+1≥0⇒ x ≥−1 - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + + −∞ -1 ∞x−1≥0⇒ x>1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + −∞ + - 1 + ∞

S= (−∞ ,−1 ]∪ [ 1 ,∞)

Aplicando la propiedad II) :

5 x−1=3 x2−3⇒3 x2−5 x−2=0

Factorando:

(3 x+1 ) ( x−2 )=0

Luego:

3 x+1=0∨ x−2=0

x=−13∨ x=2

Aplicando la propiedad III) :

11


3 x2+5 x−4=0

Resolviendo por la fórmula general, obtenemos:

x=−5±√25+486

x1=−5+√63

6∨ x2=

−5+√636

Teniendo en cuenta la solución I), sólo cumplen la condición.

x=2 ∧ x=−5+√636

Módulo nº3

Resuelva:

1. ∥3 x−4 ∥=2 x−1 R/ x=3

x=56

2. ∥2 x+1∥=x2−14 R/ x=5 x=2√14−1 x=−2√14−1

3. ∥7 x+2∥=x2+8

4. ∥2 x−3∥=x2−11

5. ∥7 x−5∥=x2+1

Inecuaciones con valor absoluto

12


Para resolver una inecuación con valor absoluto, se debe tener presente una de las 2 siguientes propiedades:

1. ∥a∥≤b⇔b≥0∧a≤b∧a≥−bEquivalente a: −b≤a≤b

2. ∥a∥≥b⇔a≥b∧a≤−b

Ejemplos:

Resuelva:

1. ∥ 7 x−4x+3

− x−22 x2+x−15

∥≤ 8−9 x2 x2+x−15

En este caso se debe tener en cuenta la propiedad:

∥a∥≤b⇔b≥0∧a≤b∧a≥−b i) ii) iii)

Teniendo en cuenta la 1ª condición:

I. 8−9x2x2+x−15

≥0

Factorando:

8−9 x(2x−5 ) ( x+3 )

≥0

Resolviendo la desigualdad:

8−9 x≥0⇒ x≤ 89 + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - -

−∞ 89 ∞

2 x−5>0⇒ x> 52 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + +

−∞ 52 ∞

8−9 x>0⇒ x≤ 89 - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + +

13


−∞ −3 ∞ + - + -

Por lo tanto:

Si¿=(−∞ ,−3 )∪ [ 89, 5

2 )Aplicando la 2ª condición:

II. 7 x−4x+3

− x−22 x2+x−15

≤ 8−9 x2 x2+x−15

Desigualando a cero y simplificando, obtenemos:

7 x−4x+3

− x−2(2 x−5 ) ( x+3 )

− 8−9 x(2x−5 ) ( x+3 )

≤0

(7 x−4 ) (2 x−5 )−( x−2 )−( 8−9 x )(2 x−5 ) ( x+3 )

≤0

14 x2−43 x+20−x+2−8+9 x(2x−5 ) (x+3 )

≤0

14 x2−35x+14(2 x−5 ) ( x+3 )

≤0

Factorizando:

(2x−1 ) ( x−2 )(2 x−5 ) ( x+3 )

≤0

Resolviendo la inecuación, obtenemos:

2 x−1≥0⇒ x ≤ 12 - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + +

−∞ 12 ∞

x−2≥0⇒ x>2 - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + −∞ 2 ∞

2 x−5>0⇒ x> 52 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + +

14


−∞ 52 ∞

x+3>0⇒ x>−3 - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + −∞ −3 ∞

+ - + - +

Luego:

Sii ¿=(−3 , 12 ]∪ [2 , 5

2 )Aplicando la 3ª condición.

III. 7 x−4x+3

− x−22 x2+x−15

≥− 8−9 x2 x2+x−15

Desigualando a cero y simplificando, obtenemos:

7 x−4x+3

− x−2(2 x−5 ) ( x+3 )

+ 8−9x(2 x−5 ) ( x+3 )

≥0

(7 x−4 ) (2 x−5 )−x+2+8−9 x( x+3 ) (2 x−5 )

≥0

14 x2−43 x+20−x+2+8−9 x( x+3 ) (2 x−5 )

≥0

14 x2−53x+30( x+3 ) (2x−5 )

≥0

Aplicando la fórmula general para factorar el numerador, obtenemos que:

x=53±√2809−168028

x=53±√112928

x=53±33.6028

15


x1=53+33.60

28⇒ x1=3.09⇒ ( x−3.09 )

x2=53−33.60

28⇒ x2=0.69⇒ ( x−0.69 )

La inecuación anterior equivale a:

( x−3.09 ) (x−0.69 )( x+3 ) (2x−5 )

≥0

Resolviendo la inecuación, se tiene que:

x−3.09≥0⇒ x≥3.09 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + −∞ 3.09 ∞

x−0.69≥0⇒ x≥0.69 - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + −∞ 0.69 ∞x+3≥0⇒ x>−3 - - - + + + + + + + + + + + + + + + + + +

−∞ −3 ∞

2 x−5≥0⇒ x> 52 - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + +

−∞ 52 ∞

+ - + - +

Luego:

Siii¿=(−∞ ,−3 )∪[0.69 , 52 )∪ [3.09 , ∞ )

Por lo tanto la solución de la inecuación planteada es:

−∞ −3 12 0.69

89 2

52 3.09 ∞

Si¿ ) [ )Sii ¿( ] [ )Siii¿ ) [ ) (

16


ST=[2 , 52 ]

2. ∥ 7 X+15 X−3

− 5 X+35 X2+2 X−3

∥≥ 7 X+15 X2+2 X−3

En este caso hay que tener en cuenta la propiedad:

∥a∥≥b⇔a≥b∨a≤−bi) ii)

Aplicando la 1ª condición, tenemos que:

I. 7 x+15x−3

− 5x+35 x2+2x−3

≥ 7 x+15 x2+2x−3

Desigualando a cero y simplificando, tenemos que:

7 x+15x−3

− 5 x+3(5 x−3 ) ( x+1 )

− 7 x+1(5 x−3 ) ( x+1 )

≥0

(7 x+1 ) ( x+1 )−5 x−3+7 x−1(5 x−3 ) (x+1 )

≥0

7 x2+8 x+1−5 x−3−7 x−1(5 x−3 ) ( x+1 )

≥0

7 x2−4 x−3(5x−3 ) (x+1 )

≥0

(7 x+3 ) ( x−1 )(5x−3 ) (x+1 )

≥0

Resolviendo la inecuación, se obtiene:

7 x+3≥0⇒ x ≥−37 - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + +

17


−∞ −37 ∞

x−1≥0⇒ x≥1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + −∞ 1 ∞

5 x−3>0⇒ x> 35 - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + +

−∞ 35 ∞

x+1>0⇒ x>−1 - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + −∞ −1 ∞ + - + - +

Por tanto:

Si¿=(−∞ ,−1 )∪[−37, 3

5 )∪ [1 , ∞ )

Aplicando la 2ª condición:

II. 7 x+15x−3

− 5x+35 x2+2x−3

≤− 7 x+15 x2+2 x−3

Desigualando a cero y simplificando:

7 x2+8 x+1−5 x−3+7 x+1(5 x−3 ) ( x+1 )

≤0

7 x2+10x−1(5x−3 ) (x+1 )

≤0

Aplicando la fórmula general para factorar el numerador, se tiene que:

x=−10±√100+2814

x=−10±√12814

x=−10±11.3114

18


x1=−10+11.31

14⇒ x1=0.09⇒ (x−0.09 )

x2=−10−11.31

14⇒ x2=−1.52⇒ ( x+1.52 )

La inecuación en consideración, equivale a:

( x−0.09 ) ( x+1.52 )(5x−3 ) (x+1 )

≤0

Resolviendo esta inecuación, se tiene:

x−0.09≥0⇒ x≥0.09 - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + −∞ 0.09 ∞

x+1.52≥0⇒ x≥−1.52 - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + −∞ −1.52 ∞

5 x−3≥0⇒ x> 35 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + +

−∞ 35 ∞

x+1≥0⇒ x>−1 - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + −∞ −1 ∞ + - + - +

Luego:

Sii ¿=[−1.52 ,−1 )∪[0.09 , 35 )

Por tanto:

ST=(−∞ ,−1 )∪ [−37, 3

5 )∪ [1 , ∞ )

EJERCICOS Propuestos de valor absoluto Módulo nº4

19


1. ∥ 4 x−52 x−5

− x−32 x2−x+10

∥≤ 16−3x2 x−5

2. ∥ 7 x+13 x+1

− x−16 x2−x+1

∥≤ 9−x3 x+1

3. ∥ 7 x+13 x+1

− x−110x2+x−2

∥≤ 19−x10x2+x−2

4. ∥ 7 x+12 x+1

− x−26 x2−7 x+5

∥≤ 17−x6 x2−7 x+2

5. ∥ 7 x−42 x+1

− x−26 x2−7 x−5

∥≤ 12−x6 x2−7 x−5

6. ∥ x+1x+3

− x−36 x2+ x−2

∥≤ 9−x2 x2+x−15

7. ∥ 2x+12 x−1

− x+46 x2+x−2

∥≤ 11−x2 x2+x−2

8. ∥ x+74 x−3

− 3x+28 x2−10 x+3

∥≤ 4−x2

8 x2−10 x+3

9. ∥ 2 x−33 x−5

− x+36 x2−7 x−5

∥≤ 4−x2

6 x2−7 x−5

10. ∥ 4 x+13 x+2

−3 x−22x−1

∥≤ 1−x2

6 x2+x−2

UNIDAD II: FUNCIONES

DEFINICIÓN: Sea A ∧ B, dos conjuntos; ninguno de ellos vacios. Se denomina

función de A en B, denotado F : A→Bó A F→B, a toda relación que asigna a cada

elemento de A un elemento de B, y sólo uno.

Una función puede darse por medio de:

I. Una ecuaciónII. Un diagrama sagitalIII. Un diagrama cartesiano (gráfica) óIV. Pares ordenados

20


I. F ( x )= y=3 x2−5x−7

II. (1357

25)(abcdefg)

III. F : A→B={(1 , b ) , (3 , c ) , (5 , d ) (7 , e ) , (25 , e ) }

IV.

ab

c

d

e

f

g

B

A

1 3 5 7 25

Se debe tener en cuenta que para que haya función en cada forma, se cumplan las siguientes condiciones:

En el Diagrama Sagital: De cada elemento del primer conjunto (A) debe salir una sola flecha

21


En los pares ordenados: No pueden existir dos elementos con la primera componente igual y las segundas componentes diferentes.

En el Diagrama Cartesiano ó Gráfica: Al trazar una recta vertical sólo puede haber un punto en cada una de ellas ó cortar la curva una sola vez.

EJERCICIO

Conteste Verdadero ( V ) ó Falso ( F ) en cada una de las siguientes premisas:

1. Toda recta es una función ( )

2. Toda parábola cóncava hacia arriba ó hacia abajo representa una función ( )

3. Toda circunferencia es una función ( )

4. Toda elipse es una función ( )

5. Algunas hipérbolas son funciones ( )

Conceptos esenciales

Dominio: Se denomina Dominio de una función F : A→B, denotado por Dom (F )ó D (F ) a todos los elementos del conjunto A.

Rango: Se llama Rango o recorrido ó conjunto imagen de una función F : A→B, denotado por: R (F )ó I (F) al conjunto de elementos que están en B y son imagen ó están relacionadas con algún elemento de A.

Función Real: es aquella función en la cual tanto el Dominio como el Rango, son los números reales ó un subconjunto de ellos.

Cuando se da una función y no se especifica, se asume que son funciones reales.

Dominio y rango

I. Para hallar el dominio de una función y=F (x ), se debe en cuenta lo siguiente:

22


1. Despejar “y” en términos de “x”

2. Considerar:

a) Si hay una raíz con índice par, se hace el radicando mayor ó igual a cero, es decir:

y=2n√Q (x )⇒Q (X )≥0

b) Si se obtiene una fracción, se hace el denominador diferente de cero, es decir:

y= P ( x )R ( x )

⇒R (X )≠0

II. Para hallar el rango de una función y=F (X ), se despeja “x” en términos de “y” y se tiene en cuenta las condiciones a¿∧b¿ del Dominio.

Ejemplos

Hallar Dom (F )∧R (F ) en cada una de las funciones dadas

1. F ( x )=√3 x2+x−2

A. Dom(F )

Como en este caso hay una raíz con índice par, hacemos el radicando mayor ó igual a cero, es decir:

3 x2+x−2≥0

Factorando tenemos:

(3 x−2 ) ( x+1 )≥0

Resolviendo la inecuación, se tiene:

3 x−2≥0⇒ x ≥ 23 -

−∞ 23 ∞

x+1≥0⇒ x ≥−1 −∞ −1 ∞

23


+−+¿

Por tanto:

Dom (F )=(−∞ ,−1 ]∪[ 23, ∞ )

B. R(F )

Debemos despejar “X” en la ecuación

y=√3 x2+ x−2⇒ y2=3 x2+x−2

Igualando a cero, por ser una ecuación cuadrática, tenemos:

3 x2+x−2− y2=0

En este caso, a=3 , b=1 , c=−2− y2, para la fórmula general.

x=−b±√b2−4ac2a

Reemplazando, se tiene:

x=−1±√1−12 (−2− y2)

6

x=−1±√1+24+12 y2

6

x=−1±√12 y2+256

Como se obtuvo un radical con índice par, se debe cumplir que:

12 y2+25≥0, esto si se cumple para cualquier valor real (suma de números reales positivos). Este hecho implica que la solución serían todos los reales, pero como en la función dad hay una raíz par “Y” sólo puede tomar valores mayores o iguales a cero, por esto:

R (F )=[0 , ∞ )

24


NOTA: Siempre que al despejar “Y” se obtiene una raíz par; para hallar el rango, se intersecta la solución obtenida con (0 , ∞ ], si el radical es positivo, ó (−∞, 0 ] cuando el radical es negativo.

2. y=−√ 3 x−54 x+7

A. Dom(F )

Como existe un radical con índice par:

3x−54 x+7

≥0

Resolviendo la inecuación, se tiene:

3 x−5≥0⇒ x≥ 53 -

−∞ 53 ∞

4 x+7≥0⇒ x ≥−74

−∞ −74 ∞

+−+¿

Luego:

Dom (F )=(−∞,−74 )∪ [ 5

3, ∞)

B. R (F )

Se debe despejar “X” de la ecuación:

y=−√ 3 x−54 x+7

⇒ y2=3 x−54 x+7

25


4 xy2+7 y2=3 x−5⇒ 3x−4 xy2=5+7 y2

x ( 3−4 y2 )=7 y2+5⇒ x= 7 y2+53−4 y2

Como al despejar “X” se obtuvo una fracción, se debe considerar que:

3−4 y2≠0⇒ y2=34⇒ y=±√ 3

4

y=± √32

En este caso “Y” no puede tomar los valores √32

ni −√32

.

Para hallar el Rango se debe tener en cuenta la nota anterior. Realizando la intersección, se tiene:

]

−∞ −√32

0 √32

∞

Por lo tanto:

R (F )=(−∞,−√32 )∪(−√3

2, 0 ]

3. F (X )= 4 x+32x2+3 x−2

A. Dom(F )

Como se tiene una fracción, el denominador se hace diferente de cero:

26


2 x2+3 x−2≠0⇒ (2x−1 ) ( x+2 )≠0

2 x−1≠0∧ x+2≠0

x≠ 12∧ x≠−2

Luego:

Dom (F )=R−{12,−2}

B. R (F )

Se despeja “X” de la ecuación:

y= 4 x+32 x2+3 x−2

⇒ 2x2+3 xy−2 y=4 x+3

Igualando a “cero” por ser cuadrática y organizando la ecuación, se tiene:

2 x2 y+(3 y−4 ) x−2 y−3=0

En este caso: a=2 y ,b=3 y−4 , c=−2 y−3

Aplicando la fórmula general, se obtiene:

x=3 y−4 ±√9 y2−24 y+16+16 y2+24 y4 y

x=3 y−4 ±√25 y2+164 y

En este caso hay dos condiciones:

25 y2+16≥0 ,∀ y ϵ R∧4 y≠0⇒ y ≠0

27


Luego, la única condición para “Y” es que sea diferente de “0” ( y ≠0 )

Se concluye que:

R (F )=R− {0 }

EjerciciosMódulo nº5

Encuentre Dom(F )∧R (F ).

1. F ( x )=−√5 x2−7 x+3

2. F ( x )=√9 x2−16

3. F ( x )=−√25−4 x2

4. F ( x )= 5 x−36 x2+5 x−6

5. F ( x )= 7 x+42 x2+3 x+2

6. F ( x )=√ 3 x−52x2−3 x−2

7. F ( x )= 11 x2−94 x2−25

8. F ( x )=√3 x2+5 x−2

9. F ( x )= x√5x2+3 x−2

28


10. F ( x )= 7 x2−84 x2+15 x−4

Límites

Concepto: El límite de una función y=F (x ), cuando “x” tiende a un numero

real “a”, denotado por limx→a

F (x ), es otro numero real “L”, si existe, al cual se

aproxima “y” cuando “x” toma valores demasiado cercanos al numero “a”. Es decir:

limx→a

F ( x )=L , si exist e

Ejemplo

Sea y=F ( x )=3 x−5. Observemos que ocurre cuando “x” toma valores próximos a 3:

x 2.99 2.999 2.99999 3.01 3.0001 3.000001y 3.97 3.997 3.99997 4.03 4.0003 4.000003

Se puede observar que “y” toma valores muy próximos a 4. Por tanto se puede concluir que:

limx→3

(3x−5 )=4

Para hallar el limite de una función

29


30

heverd.files.wordpress.com€¦ · web viewcÁlculo grado once. unidad i: inecuaciones y valor...

Documents