Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad algebraica  en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

< menor que 2x − 1 < 7

≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7

> mayor que 2x − 1 > 7

≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7

La solución  de una inecuación es el  conjunto de valores de la variable que verifica la inecuacíón .

Podemos expresar la solución de la inecuación mediante:

1. Una representación gráfica.

2. Un intervalo.

Ejemplos  

1. 2x − 1 < 7

2x < 8     x < 4

(-∞, 4)

2. 2x − 1 ≤ 7

2x ≤ 8     x ≤ 4

(-∞, 4]

3. 2x − 1 > 7

2x > 8     x > 4

(4, ∞)

4. 2x − 1 ≥ 7

2x ≥ 8     x ≥ 4

[4, ∞)

Criterios de equivalencias

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

3x + 4 < 5         3x + 4 − 4 < 5 − 4       3x < 1

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

2x < 6                2x : 2 < 6 : 2       x < 3

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante  cambia de sentido y es equivalente a la dada.

Ejemplo  

−x < 5          (−x) · (−1) > 5 · (−1)      x >−5

Resolución de inecuaciones de 1º grado con una incognita

Consideremos la inecuación:

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1º Quitar corchetes.

2º Quitar paréntesis.

3º Quitar denominadores.

4º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.

5º Efectuar las operaciones

6º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

7º Despejamos la incógnita.

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:

De forma gráfica:

Como un intervalo:

[3, +∞)

Inecuaciones con dos incognitas

Su solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la

ecuación resultante , que se obtiene al transformar la desigualdad en una

igualdad.

2x + y ≤ 3

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos

puntos.

x = 0;     2 · 0 + y = 3;   y = 3;          (0, 3)

x = 1;     2 · 1 + y = 3;   y = 1;          (1, 1)

3º Al representar y unir estos puntos  obtenemos una recta .

4º Tomamos un punto , por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la

desigualdad . Si se cumple, la solución es el semiplano donde se

encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

2x + y ≤ 3

2 · 0 + 0 ≤ 3       0 ≤ 3      Sí

2x + y > 3

2 · 0 + 0 > 3       0 > 3      No

En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la recta no

pertenecen a la solución.

necuaciones de 2º grado

 

Consideremos la inecuación:

x2 − 6x + 8 > 0

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la

ecuación de segundo grado.

x2 − 6x + 8 = 0

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada

intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el

mismo signo que el polinomio.

S = (-∞, 2)   (4, ∞)

Consideremos el caso en que discriminante es cero.

x2 + 2x +1 ≥ 0

x2 + 2x +1 = 0

(x + 1)2 ≥ 0

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es 

Solución

x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0

x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0

x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1

x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0

Consideremos el caso en que discriminante es menor que cero.

x2 + x +1 > 0

x2 + x + 1 = 0

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es  .

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

Solución

x2 + x +1 ≥ 0

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 ≤ 0

x2 + x +1 < 0

 

Inecuaciones racionales

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado,

pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.

Tomaremos como ejemplo al inecuación:

1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

x − 2 = 0      x = 2

x − 4 = 0      x = 4

2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces

del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser

abiertas.

3ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el

mismo signo que la fracción polinómica.

S = (-∞, 2]   (4, ∞)

Veamos otro ejemplo con la inecuación:

Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador.

Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

−x + 7 = 0      x = 7

x − 2 = 0        x = 2

Evaluamos el signo:

S = (-∞, 2)   (7, ∞)

Sistema de inecuaciones con una incognita

Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el conjunto solución del

sistema la intersección de los conjuntos soluciones de todas las inecuaciones.

Ejemplos

1. 

[−1, 3]

2. 

(3, ∞)

3. 

No tiene solución.

Sistema de inecuaciones con dos incognitas

a solución a este sistema es la intersección de las regiones que corresponden a

la solución de cada inecuación.

Tomemos como ejemplo la inecuación:

1º Representamos la región solución de la primera inecuación.

Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que  obtenemos dos

puntos.

x = 0;     2 · 0 + y = 3;   y = 3;          (0, 3)

x = 1;     2 · 1 + y = 3;   y = 1;          (1, 1)

Al representar y unir estos puntos  obtenemos una recta .

Tomamos un punto , por ejemplo el (0, 0), los  sustituimos en la

desigualdad . Si se cumple, la solución es el semiplano donde se

encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

2x + y ≤ 3

2 · 0 + 0 ≤ 3       0 ≤ 3      Sí

2º Representamos la región solución de la segunda inecuación.

x + y = 1

x = 0;      0 + y = 1;   y = 1;          (0, 1)

x = 1;      1 + y = 1;   y = 0;          (1, 0)

;

x + y ≥ 1

0 + 0 ≥ 1      No

3º La solución es la intersección de las regiones soluciones.

Resumen de inecuaciones

Inecuaciones

 

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros

aparecen ligados por uno de estos signos:

< menor que 2x − 1 < 7

≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7

> mayor que 2x − 1 > 7

≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7

Inecuaciones equivalentes

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo

número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un

mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un

mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es

equivalente a la dada.

Resolución de inecuaciones de primer grado

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos

independientes en el otro.

4º Efectuar las operaciones

5º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que

cambiará el sentido de la desigualdad.

6º Despejamos la incógnita.

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos

expresarla:

De forma gráfica

Como un intervalo

Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita

Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el conjunto solución del

sistema la intersección de los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones.

Inecuaciones de segundo grado

1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la

ecuación de segundo grado.

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada

intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el

mismo signo que el polinomio.

Si el discriminante es igual a cero:

Solución

x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0

x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0

x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1

x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es  .

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

Solución

x2 + x +1 ≥ 0

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 ≤ 0

x2 + x +1 < 0

Inecuaciones racionales

Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener

presente que el denominador no puede ser cero.

1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las

raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad,

tienen que ser abiertas.

3ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

4ºLa solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el

mismo signo que la fracción polinómica.

Sistemas de inecuaciones

Inecuaciones lineales con dos incógnitas

Su solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación

resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos

puntos.

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la

desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el

punto, si no la solución será el otro semiplano.

Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

La solución a este sistema es la intersección de las regiones que corresponden a la

solución de cada inecuación.

1º Representamos la región solución de la primera inecuación.

2º Representamos la región solución de la segunda inecuación.

3º La solución es la intersección de las regiones soluciones.

Ejercicios

Escoge la opción correcta:

1La representación gráfica  corresponde a...

 todos los números mayores que siete.

 todos los números mayores o iguales que siete.

 todos los números mayores que siete incluido el infinito.

2La expresión x < 5 se lee...

 todos los números mayores que cinco.

 todos los números menores que cinco.

 todos los números mayores o iguales que cinco.

3La representación   es equivalente a la expresión...

 x ≤ −3

 −3 ≤ x

 x < 3

 

4 La representación   es equivalente a la expresión...

 x ≥ −5

 x ≤ −5

 −5 < x

5La representación   es equivalente a...

 1 < x

 x ≥ 1

 1 ≥ x

6La expresión 2 ≤ x se refiere a...

 cualquier número mayor que dos incluido este.

 cualquier número mayor que dos.

 cualquier número menor que dos incluido este.

1Arrastra cada inecuación a otra que sea equivalente a ella:

 

 

 

 

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

Inecuaciones. Ejercicios

Ejercicios

 

Soluciones

1Resolver las siguientes inecuaciones

1

2

3

2Resuelve el sistema: 

3Resolver las inecuaciones:

1 7x2 + 21x − 28 < 0

2 −x2 + 4x − 7 < 0

3

4Resuelve:

1

2 x4 − 25x2 + 144 < 0

3 x4 − 16x2 − 225 ≥ 0

5Resolver las inecuaciones:

1

2

Ejercicio 1 resuelto

Resolver las siguientes inecuaciones

Soluciones:

1

(1, ∞)

2

3

Ejercicio 2 resuelto

Resuelve el sistema: 

(x +1) · 10 + x ≤ 6 (2x + 1)

10x + 10 + x ≤ 12 x + 6

10 x + x - 12x ≤ 6 - 10

−x ≤ − 4       x ≥ 4

[4, 7)

Ejercicio 3 resuelto

Resolver las inecuaciones:

1 7x2 + 21x − 28 < 0

x2 +3x − 4 < 0

x2 +3x − 4 = 0

P(−6) = (−6)2 +3 · (−6)− 4 > 0

P(0) = 02 +3 · 0 − 4 < 0

P(3) = 32 +3 · 3 − 4 > 0

(−4, 1)

2 −x2 + 4x − 7 < 0

x2 − 4x + 7 = 0

P(0) = −02 + 4 ·0 − 7 < 0

S = 

3

P(−3) = 4 · (−3)2 − 16 > 0

P(0) = 4 · 0 2 − 16 < 0

P(3) = 4 · 3 2 − 16 > 0

(-∞ , −2 ]   [2, +∞)

Ejercicio 4 resuelto

Resuelve:

1

Como el primer factor es siempre positivo, sólo tendremos que estudiar

el signo del 2º factor.

P(−17) = (−17) 2 + 12 · 17 − 64 > 0

P(0) = 02 + 12 · 0 − 64 < 0

P(5) = 5 2 + 12 · 5 − 64 > 0

(-∞, −16]   [4, ∞)

2 x4 − 25x2 + 144 < 0

x4 − 25x2 + 144 = 0

(−4, −3)   (−3, 3 )   (3, 4) .

3 x4 − 16x2 − 225 ≥ 0 

x4 − 16x2 − 225 = 0 

(x2 - 25) · (x2 + 9) ≥ 0

El segundo factor siempre es positivo y distinto de cero, sólo tenemos

que estudiar el signo del 1 er factor.

(x2 − 25) ≥ 0

(-∞, −5]   [5, +∞)

Ejercicio 5 resuelto

Resolver las inecuaciones:

1

El binomio elevado al cuadrado es siempre positivo, pero al tener delante

el signo menos. resultará que el demnominador será siempre negativo.

Multiplicando por −1:

(−-∞ , −1]   (1, +∞)

2

(−2 , −1]   [1, 2)

Significado de Intervalo acotado:

un intervalo es un conjunto de números en la recta real. un conjunto es acotado cuando existe cota superior y cota inferior (cuando está acotado

superiormente y acotado inferiormente). cota superior es un número que es mayor que todos los números del intervalo. cota inferior es un número que es menor que todos los números del intervalo 

Ejemplos

(-1.000.000, 12) es acotado (-∞, 3) no es acotado, porque no existe cota inferior N (los naturales) no es acotado, porque no existe cota superior R- (los reales negativos) no es acotado, porque no existe cota inferior Z (los enteror) no es acotado, porque no existe cota superior ni cota inferior