Área matemáticas inecuaciones - … aplicación de las propiedades , de desigualdad y valor...

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Primera Edición - 2016 1

GUÍA DE EJERCICIOS

Área Matemáticas

INECUACIONES

Resultados de aprendizaje Aplicación de las propiedades de desigualdad, en la demostración de proposiciones simples .Resolución de Inecuaciones, con aplicación axiomática de IR Aplicación de las propiedades , de desigualdad y valor absoluto en la solución de

inecuaciones con valor absoluto

Contenidos Axiomática de Cuerpo Ordenado de los Números reales

Debo saber Los procedimientos aplicados a toda demostración que involucre la axiomática de Cuerpo

ordenado de IR Definición y propiedades de valor absoluto

En efecto:

0

0

xsix

xsixx

Propiedades:

IRxxx

0 xIRx

IRyxyxyx ,

IRyxxxx ,,

0,, yIRyxy

x

y

x

0,, bIRxbxbbx

0, bIRxbxbxbx

IRyxxyyx ,

IRyxyxyx ,



Ejercicio 1

Resolver la siguiente Inecuación: 2218 x

Solución ; :

8

23

8

19

23819

21221218212

221822218

x

x

x

xx

Explicación a la solución: La inecuación tiene, la forma de la desigualdad dada por propiedad

0,, bIRxbxbbx

Luego se transforma en una doble desigualdad, la que permite despejar la variable x , utilizando el opuesto de 21, y luego el recíproco de 8, para dejar los posibles valores de x , fluctuando entre los

valores 8

23

8

19y que constituyen el conjunto solución

8

23,

8

19

Que se puede denotar a partir de la definición de intervalos

8

23

8

19/ xIRxS

La interpretación gráfica de la solución es:

8

19

8

23

Ejercicio 2

Determinar el conjunto solución de 6255 x

Solución

5

31

5

19

315195

625562556255

xx

xx

xxx

Bajo interpretación gráfica se tiene:

5

31

5

19

La solución por lo tanto resulta:

,

5

19

5

31, S



Explicación a la solución : La inecuación , tiene la forma de la desigualdad dada por propiedad

0, bIRxbxbxbx

De donde se concluye la formación de dos inecuaciones , cuyas soluciones disjuntas , constituyen la solución final Ejercicio 3

Determine

2

3

1

2/

x

xIRxS

Solución :

2

3

1

2

2

3

1

2

2

3

1

2

2

3

2

3

1

2

x

x

x

x

x

x

x

x

Solución a) 0)1(2

)1(3)2(20

2

3

1

2

2

3

1

2

x

xx

x

x

x

x 0

22

3342

x

xx

)5

1()1(

15

11

5

1

0)22(0)15(0)22(0)15(0)22)(15(022

15

xx

xxxx

xxxxxxx

x

Luego la solución es:

,1

5

1, S

Explicación a la solución a) El inicio del procedimiento se basa en la aplicación de la propiedad

0,, bIRxbxbbx

Se desprende por lo tanto , la existencia de dos inecuaciones conjuntas, de forma racional, que

basan su desarrollo en la aplicación de la propiedad )00()00(0 yxyx

y

x

Para concluir en la disyunción (Unión) de las soluciones parciales



Solución b)

)1()7(1()7(

0)33(0)7(0)33(0)7(033

7

033

12630

)1(3

)1(2)2(30

3

2

1

2

3

2

1

2

xxxx

xxxxx

x

x

xx

x

xx

x

x

x

x

Luego la solución es : 1,71,7 S

Explicación a la solución b)Esta inecuación por la forma , basa su desarrollo en la propiedad :

)00()00(0 yxyxy

x para concluir en la disyunción (Unión)

de las soluciones parciales Por lo tanto y de acuerdo a la conformación de los conjuntos solución parciales , se tiene la solución total (conjunción ) representada por :

GS (

,1

5

1, ) 1,7 (Intersección )

Expresando de modo gráfico tenemos:

7 5

1 1

Por lo tanto 1,7GS

Un método alternativo , utilizado con inecuaciones que involucren Factores lineales y cuadráticos es el de los llamados puntos críticos, aquellos puntos o valores que anulan cada uno de esos factores ; por ejemplo:



0)93()6()32( xxx acá se puede observar que los valores en cuestión son:

3;6;2

3 xxx , luego entonces se confecciona una tabla de doble entrada consignando

cada valor, sobre el eje real y cada factor en el eje vertical, para luego realizar los análisis de signo En efecto:

Signos Factores -6 3/2 3

32 x - - + +

6x - + + +

3x - - - +

Inecuación - + - + Negativo Positivo Negativo Positivo De acuerdo a lo anterior se deduce que , la inecuación tiene como solución al conjunto

,36, S

Ejercicio 2

Resuelva la siguiente inecuación:

| |

Aplicando definición de valor absoluto, tenemos:

| | {

Resolviendo el primer caso, la ecuación quedará:

( )( )

Multiplicando por el denominador se obtiene: ( )( )( )

Y los puntos críticos serán: {

}

Tabulando los puntos críticos, se obtiene la siguiente tabla de signos:



(-∞,-4) (-4,1) (1 , 4/3] [4/3 , ∞)

3x-4 - - - +

x+4 - + + +

x-1 - - + +

(3x-4)(x+4)(x-1) - + - +

Por lo que el conjunto solución del punto a) será

{( ) [

)} (

Por lo que se tiene ( ) Ahora resolviendo el segundo caso

Analizando el denominador se tiene que Y además el coeficiente que acompaña a es positivo, entonces se tiene que ,

para todo valor de x. )( IRx

Ahora como el denominador siempre será positivo, solo se tiene que ver el caso del numerador

Entonces la solución será

)

Por lo tanto la solución será

)

Y la solución de la inecuación con el valor absoluto es:

( )

)

Ejercicio 3

Determine para qué valores de a, la ecuación | |

, tiene solución en .

Solución: Para que la ecuación tenga solución, se debe cumplir que:

| |

Por lo que los valores de a, se obtienen al resolver la inecuación | |

Ahora por definición de valor absoluto, se tiene



| | {

Por lo que se tienen dos diferentes casos:

Caso

Con

Por lo tanto , lo que claramente es una contradicción, por lo tanto, la solución del primer caso

Caso

// Multiplicando por

( )

(

)

Los puntos críticos son 0 y ½, por lo que la siguiente tabla entrega la combinación de signos

(-∞,0) (0,1/2) (1/2 , ∞)

2a - + +

a-1/2 - - +

2a(a-1/2) + - +

Por lo que la solución de la inecuación es

(

y los valores de para que la ecuación tenga solución en son

(

Ejercicio 4

La gerencia de una minera, ha estimado que necesita "x" miles de dólares para adquirir:

( √ ) Acciones de una compañía telefónica. Determinar el dinero que necesita esta minera para adquirir un mínimo de 10000 acciones de esta compañía telefónica. Solución: Calculamos la cantidad de dinero que la minera necesita para adquirir un mínimo de 100000 acciones resolviendo la inecuación:

( √ ) // Dividiendo por 100

( √ ) //sumando 1

√ //Elevando al cuadrado



//restando 1 a cada lado //Despejando 1

Por lo tanto la empresa necesita al menos 120000 dólares.

Ejercicio 5

Suponga que los consumidores comprarán q unidades de un producto al precio

(dólares por unidad). ¿Cuál es el número mínimo de unidades que debe ser vendido para que el ingreso por ventas sea mayor que $5000? Indicación: Ingreso = (precio) · (nº unidades vendidas). Solución: Como q son las unidades vendidas, p el precio y sea I el ingreso (I=p*q), entonces

(

)

Por lo tanto el número de unidades vendidas debe ser 4901, para que el ingreso sea mayor a 5000.

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