gu a de estudio: matem atica inecuaciones con valor absoluto

Guıa de Estudio: MatematicaInecuaciones con Valor absoluto

Resultados de aprendizaje

• Determinar el conjunto solucion de una inecuacion con valor absoluto.

Contenidos

1. Inecuaciones

2. Valor absoluto

Debo saber

• Antes de comenzar a realizar ejercicios, es deseable que recuerdes la siguiente definicion.

Sea x ∈ R, se define el valor absoluto de x (o modulo de x) al numero real, que lodenotaremos por |x|, dado por

|x| :={

x si x ≥ 0−x si x < 0

• Ahora enlistaremos algunas propiedades importantes del valor absoluto.

Sean x, y ∈ R. Entonces:

i) |x| ≥ 0.

ii) |x| = 0⇔ x = 0.

iii) |x · y| = |x| · |y|.

iv) |xy| = |x||y|

, para y 6= 0.

v) |x| = |−x|.vi) |x + y| ≤ |x|+ |y|.vii) |x2| = |x|2 = x2.

viii) −|x| ≤ x ≤ |x|.ix) |x| ≤ a⇔ a ≤ x ≤ a, para a ≥ 0 (respectivamente con <).

x) |x| ≥ a⇔ x ≥ a ∨ x ≤ −a, para a ≥ 0 (respectivamente con >).

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Primera edicion 2016

1

Mas importante que demostrar estas propiedades, es entenderlas e internalizarlas a ca-balidad, ya que estas son muy importantes para la resolucion de inecuaciones con valorabsoluto, inecuaciones que son mucho mas complicadas e interesantes que las que se estu-diaron en la seccion anterior. En los ejemplos que daremos a continuacion, se tratara deresolver este tipo de inecuaciones usando dos metodos, uno de ellos es usar las propiedadesenlistadas en la proposicion anterior y el otro es usando puntos crıticos.

Ejercicio 1

Resuelva la inecuacion |3x + 2| < 2

3.

SolucionUsando la propiedad ix), se tiene

|3x + 2| < 2

3⇔ −2

3< 3x + 2 <

2

3

⇔ −2

3− 2 < 3x <

2

3− 2 Se resta 2 a la desigualdad doble.

⇔ −8

3< 3x < −4

3Desarrollando las fracciones.

⇔ −8

3· 1

3< 3x · 1

3< −4

3· 1

3Multiplicando por

1

3.

⇔ −8

9< x < −4

9Simplificando por 3.

Luego el conjunto solucion de esta inecuacion es

S =

]−8

9,−4

9

[.

Ejercicio 2

Resuelva la inecuacion |4x− 2| ≥ x(1− 2x).

Solucion

Usando la propiedad x), se tiene

|4x− 2| ≥ x(1− 2x)⇔ [4x− 2 ≥ x(1− 2x)] ∨ [4x− 2 ≤ −x(1− 2x)]

⇔ [4x− 2 ≥ x− 2x2] ∨ [4x− 2 ≤ −x + 2x2)] x se distribuye en los parentesis

⇔ [2x2 + 3x− 2 ≥ 0] ∨ [2x2 − 5x + 2 ≥ 0] Se reducen los terminos semejantes

Entonces para encontrar la solucion de la inecuacion debemos resolver ambas inecuacionespor separado.



2

En efecto, para la primera inecuacion note que 2x2 + 3x− 2 = 2

(x− 1

2

)(x + 2).

Ahora veamos la tabla de signos para la inecuacion 2

(x− 1

2

)(x + 2) ≥ 0

Debemos tener en cuenta que para esta inecuacion, el valor x = −1

2y x = 2 son puntos

crıticos. Lo primero es aclarar que un punto crıtico de la inecuacion es un punto dondecada expresion algebraica es igual a cero.

−∞ −2 1/2 +∞

(x− 1/2) − − +(x + 2) − + +2x2 + 3x−2 + − +

El objetivo de la tabla es analizar el signo de los factores en los intervalos determinadospor los puntos crıticos. Ahora, debemos fijarnos en que intervalos el signo satisface ladesigualdad ≥.

Por lo tanto, S1 =]−∞,−2] ∪ [1/2,+∞[.

Analogamente para la segunda inecuacion (2x2 − 5x + 2 ≥ 0) el conjunto solucion de estaes S2 =]−∞, 1/2] ∪ [2,+∞[.

Luego el conjunto solucion de esta inecuacion es

S = S1 ∪ S2 =]−∞,−2] ∪ [1/2,+∞[∪]−∞, 1/2] ∪ [2,+∞[= R

Observacion: La union de las soluciones se debe a que debemos encontrar la solucionpara 2x2 + 3x− 2 ≥ 0 o 2x2 − 5x + 2 ≥ 0.

Ejercicio 3

Resuelva la inecuacion |x + 3| − 2|x− 1| > 1.

Solucion

Este problema se puede abordar de dos maneras posibles:

• Forma 1: Usando las propiedades

En ese caso, usando la propiedad x), se tiene



3

|x + 3| > 1 + 2|x− 1|⇔ (x + 3 > 1 + 2|x− 1|) ∨ (x + 3 < −2|x− 1| − 1)

⇔(|x− 1| < x + 2

2

)∨(|x− 1| < −x + 4

2

)Se despeja en terminos del valor absoluto.

.

Basta ahora con resolver estas dos inecuaciones con valor absoluto. Para la primerainecuacion, usando la propiedad ix), se tiene

|x− 1| < x + 2

2

⇔ −x + 2

2< x− 1 <

x + 2

2Multiplicando por 2.

⇔ −x− 2 < 2x− 2 < x + 2 Distribuyendo el signo negativo.

⇔ (−x− 2 < 2x− 2) ∧ (2x− 2 < x + 2) Separamos la desigualdad, esto es, por Transitividad.

⇔ (−x− 2x < −2 + 2) ∧ (2x− x < 2 + 2) Se agrupan terminos semejantes

⇔ [x > 0] ∧ [x < 4]

Ası, el conjunto solucion de esta inecuacion, que lo llamaremos S1, es:

S1 =]−∞, 4[∩]0,+∞[=]0, 4[

.

Para la segunda inecuacion, usando la propiedad ix), se tiene

|x− 1| < −x + 4

2

⇔ x + 4

2< x− 1 < −x + 4

2Multiplicando por 2

⇔ x + 4 < 2x− 2 < −x− 4 Distribuyendo el signo negativo

⇔ (x + 4 < 2x− 2) ∧ (2x− 2 < −x− 4) Separamos la desigualdad, esto es, por Transitividad.

⇔ x > 6 ∧ 3x < −2 Se agrupan terminos semejantes

⇔ x > 6 ∧ x < −2

3

Ası, el conjunto solucion de esta inecuacion, que lo llamaremos S2, es

S2 =]−∞,−2/3[∩]6,+∞[= ∅

Finalmente el conjunto solucion es S = S1 ∪ S2 =]0, 4[.



4

• Forma 2: Resolveremos esta inecuacion por 3 pasos, el primero es escribir el valorabsoluto de cada sumando, lo segundo es escribir sin valor absoluto, y finalmenteresolver las inecuaciones que sean necesarias.

En efecto, primero tenemos de la definicion de valor absoluto que

|x + 3| ={

x + 3 si x + 3 ≥ 0−(x− 3) si x + 3 < 0

=

{x + 3 si x ≥ −3−x− 3 si x < −3

|x− 1| ={

x− 1 si x− 1 ≥ 0−(x− 1) si x− 1 < 0

=

{x− 1 si x ≥ 1−x + 1 si x < 1

Con los puntos crıticos de la inecuacion, que en este caso son x = −3 y x = 1,escribiremos sin valor absoluto la expresion P = |x+3|−2|x−1| mediante la siguientetabla.

El objetivo de la tabla es analizar el signo de cada valor absoluto, estosdependen de los intervalos generados por los puntos crıticos, estos son]−∞,−3[,[−3, 1[ y [1,+∞[.

−∞ −3 1 +∞

|x + 3| −(x+3) (x + 3) (x + 3)|x− 1| −(x−1) −(x−1) x− 1P x− 5 3x + 1 −x + 5

En primer lugar, analizaremos el signo de los valores absolutos en el intervalo]−∞,−3[

Ası, |x + 3| − 2|x− 1| = −(x + 3)− 2 · −(x− 1) = x− 5

En segundo lugar, analizaremos el signo de los valores absolutos en el intervalo [−3, 1[

Ası, |x + 3| − 2|x− 1| = (x + 3)− 2 · −(x− 1) = 3x + 1

Y en tercer lugar, analizaremos el signo de los valores absolutos en el intervalo [1,+∞[

Ası, |x + 3| − 2|x− 1| = (x + 3)− 2 · (x− 1) = −x + 5

Por lo tanto,

|x + 3| − 2|x− 1| =

x− 5 si x < −33x + 1 si − 3 ≤ x < 1−x + 5 si x ≥ 1

Recordemos la inecuacion que debemos resolver, |x + 3| − 2|x− 1| > 1.

Esto ultimo implica resolver tres inecuaciones, pero con la salvedad de que las solu-ciones esten en los intervalos indicados antes.



5

• Si x < −3, entonces |x+ 3| − 2|x− 1| = −(x+ 3)− 2 · −(x− 1) = x− 5 > 1⇒ x > 6,por lo tanto x debe cumplir las condiciones para x < −3 y x > 6, ası:

S1 =]−∞,−3[∩]6,∞[= ∅

• Si −3 ≤ x < 1, entonces |x+3|−2|x−1| = (x+3)−2 ·−(x−1) = 3x+1 > 1⇒ x > 0,por lo tanto x debe cumplir las condiciones para −3 ≤ x < 1 y x > 0, ası:

S2 = [−3, 1[∩]0,∞[=]0, 1[

• Si x ≥ 1, entonces |x + 3| − 2|x− 1| = (x + 3)− 2 · −(x− 1) = −x + 5 > 1⇒ x < 4,por lo tanto x debe cumplir las condiciones para x ≥ 1 y x < 4, ası:

S3 = [1,∞[∩]−∞, 4[= [1, 4[

Finalemte el conjunto solucion de la inecuacion con valor absoluto de este problemaes:

S = S1 ∪ S2 ∪ S3 =]0, 4[

.



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