NUMEROS REALES. VALOR ABSOLUTO. DESIGUALDADESUNIDAD I: PRIMERA PARTE.

INTRODUCCION AL CALCULO DIFERENCIALPROF. MARIBEL PERDOMO Correo electrnico: mperdomo2005@yahoo.es

INTRODUCCION AL CALCULO DIFERENCIALCorreo electrnico para todos los alumnos en donde podrn encontrar las clases en formato pps y el material de apoyo en formato Word:

matematica2562006@yahoo.es Clave: 2562008

Me lo contaron y lo olvid, lo vi y lo entend, lo hice y lo aprend. Confucio

EVALUACIONES

Las evaluaciones se realizarn de acuerdo al desarrollo de actividades diarias. (Se recomienda presentar las pruebas en la fechas sealadas)

TEMA I1.- Los Nmeros Reales. 1.1.- Suma y Multiplicacin de Nmeros Reales. Propiedades bsicas de la Suma y la Multiplicacin. Definicin de Diferencia y Cociente. Algunas propiedades de los Nmeros Reales. Axioma de Orden. Definicin de desigualdades. Intervalos. Tipos de Intervalos. Propiedades de las Desigualdades. Inecuaciones y Resolucin de Inecuaciones. a.- Mtodo de los Casos. b.- Mtodo de las Barras. c.- Mtodo de Sturn. d.- Ejercicios. 1.2.- Valor Absoluto. Definicin. Interpretacin Geomtrica. Propiedades. Ejemplos. Ejercicios.

Ecuaciones: Dos expresiones algebraicas unidas por el signo igual. Ejemplo: 2x + 1 = 3x 2 ,

a b ! (a b).(a b)2 2

Inecuaciones: Dos expresiones algebraicas ligadas con uno de los smbolos siguientes: , , Ejemplo: 2x 5 8(x 2)

NUMEROS REALES METODO AXIOMATICO

CONCEPTOS

PROPOSICIONES

PRIMITIVOS

DEFINIDOS

AXIOMAS

TEOREMAS

Nmeros Reales Nmeros Reales Positivos Adicin y Multiplicacin de Nmeros Reales Si H, entonces T HT H si y slo si T HT

Nmeros RealesConjuntos de Nmeros: Naturales: 1,2,3,4,... Denotado por: Enteros: ..., -3,-2,-1,0,1,... Denotado por: Racionales: Nmeros que pueden escribirse de la forma: m/n donde n es distinto de 0 Se denota por:

Q

Ejemplos

1. 8 2. 0.5 4. T

ya que 8 ! 16 / 2 ya que 0.5 ! 1/2 ya que 0.3 3 ! 1/3

3. 0.3333 ... tales que 5. 2

ya que no existen m y n en Z m / n ! 3.14159 .... ya que no existen m y n en Z

tales que m / n ! 1.4142 ....

En general:Un nmero es racional si es entero o, si su fraccin decimal es finita o infinita peridica 2; 3; 176543; 34,456; -456,456456456... En otro caso es irracional:

2;denotado por

3;I

4

8;T ; e

Estos y otros forman el conjunto de los irracionales

Asi tenemos:

N

R ! Q 7IN Z Q

Z Q

e

IR I

El Conjunto de los Nmeros Reales REst formado por todos los nmeros, racionales e irracionales que pueden medir longitudes, incluyendo sus negativos y el cero.

La Recta realLa recta real es una representacion geomtrica del conjunto de los nmeros reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un nmero real. Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_real"

Nmeros Reales, Racionales e Irracionales Recta RealNmeros RacionalesPueden expresarse como cociente de dos enteros

Nmeros IrracionalesNo pueden expresarse como decimales finitos ni peridicos 2 e T

0 Decimales finitos 2 =0,4 5 Peridicos 1 =0,333...=0,3 3

1

2

3

4

2} 1,414213562 e } 2,718281828T} 3,141592654

Operaciones en RSuma y Multiplicacin de Nmeros Reales Dados dos nmeros reales a y b, podemos sumarlos y multiplicarlos para obtener dos nuevos nmeros reales a + b y a . b los cuales llamaremos Suma y Producto respectivamente.

Propiedades bsicas de la Suma y Multiplicacin1.- Ley de Clausura: S a, b R entonces a + b R y a.b R.2.- Ley Conmutativa: Para todo a, b R se cumple: a+b=b+a y a.b = b.a 3.- Ley Asociativa: Para todo a, b, c R se cumple: a+(b+c)=(a+b)+c y a.(b.c)=(a.b).c 4.- Elemento Neutro: Existen dos nmeros reales 0 y 1 tales que: a + 0 = 0 + a = a y a . 1 = 1 . a = a , para todo a R. 5.- Elemento Inverso: Inverso Aditivo: Para todo a R, existe (-a) R tal que a + (-a) = 0. Inverso Multiplicativo: Para todo a R, con a { 0, existe (a-1) R, tal que a . (a-1) = 1 6.- Ley Distributiva: Para todo a, b, c R se cumple: a.(b+c)=a.b+a.c

Para definir estas operaciones hacemos uso de las propiedades anteriores, de manera que: DIFERENCIA Y COCIENTE:La Diferencia entre a y b denotada a b por: a b = a + (-b). El Cociente entre a y b denotado a / b como: a / b = a.(b-1), con b { 0.

Algunas propiedades de los nmeros reales: Sean a, b, c, d R, se cumple: 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 1 0 ) 1 1) 1 2 ) 1 3 ) 1 4 ) 1 5 ) a c ! b c a c ! b c a 0 ! 0 a ! 0 b ! 0 y ( a ) ( b ) ! a b a c a b a b ! 0 ( a ) ! a ( a ) b ! ( a b ) ! y a c { ! b 0 a ! b

a ( b ) ! a b

(a b ) y

a ( b c ) !

a a a ! ! c o n b { 0 b b b a c a d c b c o n b , d { 0 ! b d b d a a ! 0 a ! 0 y n o e x is te b b a .c a ! b , c { 0 c o n b .c b a c a c ! b , d { 0 . c o n b d b d a b ! a d b , c , d { 0 c o n c b c d a { 0 ( a 1 ) 1 ! a c o n a2

b

!

0

b

2

!

( a b ).( a b )

Axioma de O den l j ll R+ i P i i a=0 , S a, b R+ O3.- S a, b R+ : R,

l l i

l l l

i ii i i

j

l i i :

l (-a ) R+

l

a R+

(a + b) R+ (a . b) R+

Definicin:

U

mero real a es egativo si y solo si

(-a) es ositivo. El co j to de los meros reales egativos se de ota or

R-.Definicin: ea a,b R -Desigualdades Estrictas: a es me or q e b (a < b) si y solo si (b a) R+ a es mayor q e b (a > b) si y solo si (a b) R+. -Desigualdades No Estrictas: a es me or o ig al q e b (a e b) si y solo si a < b a = b. a es mayor o ig al q e b (a u b) si y solo si a > b a = b.

Conjuntos Un conjunto es una coleccin de elementos

Unin de dos conjuntos: A B es el conjunto de elementos de A, de B o de ambos Interseccin de dos conjuntos: A B es el conjunto de elementos de A y de B

Intervalos Dados a, b R con a < b, se define un intervalo como el conjunto de nmeros comprendidos entre a y b. a 1.2.7 Tipos de Intervalos a.- Intervalo Cerrado: [a , b] = { x R / a e x e b }. [ a b.- Intervalo Abierto: (a , b) = { x R / a < x < b }. ( a ] b ) b b

c.- Intervalos Semiabiertos: [a , b) = { x R / a e x < b }. [ a ) b

(a , b] = { x R / a < x e b }. ( a ] b

I

r

sI f

s:

a . g

{xR

x

a }.

a a , g {xR

+g x > a }.

a g , a {xR

+g x e a }.

g g , a {xR x

a a }.

g g , g R. g

a

+g

Nota: Se emplear el smbolo + (infinito positivo) y el smbolo - (infinito negativo); sin embargo, tngase cuidado de no confundir estos smbolos con nmeros reales, ya que no cumplen con las propiedades de dichos nmeros.

Propiedades de las Desigualdades t bl b hill r t r h r pr pi fr i ,p r i h l pr i i r p l r pr b

1.- Para todo a, b R, se cumple una y solo una de las siguientes proposiciones a=b , ab. (Ley de Tricotoma)2Sean a, b, c R. S a b . c. a + c < b + d.6.- Sn a, R. sign si y solo si a . b > 0.- a y b tienen el mism - a y b tienen signosiferentes si y solo si a . b < 0.Not : Est s propiedades son lidas para las desigualdades > , , e . Ejemplo: Resuel a la siguiente inecuacin usando las propiedades anteriores (justifique cada paso): 2x 5 > 3x + 2.Inecuaciones y Resolucin de Inecuaciones. Una inecuacin puede ser resuelta usando cualquiera de los siguientes mtodos: Mtodo de los casos, mtodo de las barras ymtodo de Sturm.Para resolver una inecuacin se procede inicialmente de la siguiente manera: Se agrupan todos los trminos en un solo miembro de la desigualdad, efectuando las operaciones algebraicas necesarias hasta obtener una expresin de la forma siguiente, donde los polinomios p(x) y q(x) estn factorizados:p( x) p( x) p( x) p( x) 0, " 0, 0, 0 q( x) q( x) q( x) q( x)Luego se decide que mtodo se va a utilizar.Resolver, de tres formas diferentes, la siguiente inecuacin:x 2 5 x " 6Solucin: Los pasos iniciales para cualquiera de los tres mtodos son similares, esto es: - Agrupar todos los trminos en cualquiera de los dos miembros de la inecuacin:x2 5x 6 " 0-Se transforma algebraicamente para obtener una expresin de la formap(x) " 0 q(x)As tenemos:(x + 3 )(x + 2 )> 0(1 )Ahora se procede a resolver la expresin (1 por cada uno de los tres mtodos antes nombradosa.- Mtodo de los casos: consiste en aplicar a la expresin (1 la propiedad 6 de las desigualdades:(x 3 )(x 2 ) 0 x " 3 y o 3 y x x " 2 x x 3 0 o x3 0y yx 2 0 x 2 02x (3, g) y x (2, g) o (g, 3) y x (g, 2) x x ( 3, g ) ( 2, g ) ( g , 3) ( g , 2) x Finalmente, la solucin se obtiene realizando las operaciones indicadas, las cuales se realizarn en la clase.b.- Mtodo de las barras: Consiste en hallar las races de los polinomios p(x) y q(x), luego, se construye una tabla en la cual, al inicio de las filas se coloca cada uno de los factores de p(x) y q(x), y al inicio de las columnas, cada uno de los intervalos obtenidos al representar las races de p(x) y q(x) en la recta real, como se muestra a continuacin: En nuestro caso solo tenemos el polinomio p(x): - Races de p(x) = (x+3)(x+2). p(x) = 0 x+3 = 0 x+2 = 0 x = -3 x = -2 De esta manera, se obtienen los siguientes intervalos: (-g,-3), (-3,-2), [y (2,+g). Nota: los extremos de los intervalos se definen de acuerdo a la desigualdad dada, as, se tiene que la desigualdad es no estricta, quiere decir que se puede cumplir la igualdad a cero, pero esto slo ocurre si el numerador es cero, el denominador siempre es distinto de cero. Seguidamente, se construye la tabla: Se debe determinar el signo de cada factor en cada intervalo, tomando un valor de prueba en estos intervalos, as por ejemplo, en el primer intervalo, tomar x = -4, se reemplaza este valor en cada factor y se considera el signo del resultado. Luego se determina el signo de toda la expresin en cada intervalo, la solucin ser todos aquellos intervalos que den signo positivo.x=-4 (-g,-3) X+3 X+2 (x+3)(x+2) +x = -2.5 (-3,-2) + -x=0 (-2,+g). + + +Solucin total:x(-g , -3) (-2 ,+g)c.- Mtodo de Sturm: l las barras, pero en lpasos son si ilares al mtodo dear de hacer una tabla, se estudia el si node toda la expresi n en cada uno de los intervalos, sobre la misma recta, es decir, la ltima fila de la tabla anterior; tomando en cada intervalo los valores de prueba correspondiente, a saber: x = -4 x = -2,5 x=0++++++ ----+++++++++ -3 -2Luego la soluci n total es:x (-g , -3) (-2 ,+g)Nota: Cual uiera de estos tres mtodos pueden ser utili ados para resolver los ejercicios propuestos, es conveniente manejar con toda seguridad uno de ellos.Ejercicioss: Resolver las siguientes inecuaciones: a.--1 < 2xe5 ,c.-3x 2 5 x 2 e 0b.-5x 1 x 1 4 33x 13 10d.-x 3 u 4 x 2 12 xe.-x 1 1 xx 2 xPreClculo Curso en Lnea2.- Valor Absoluto 2.1.- Definicin: El valor absoluto de un nmero real a, denotado | a |, se define por:a a ! asi siau0 a 0El valor absoluto de un nmero real es igual al mismo nmero si ste es positivo o cero, y es igual a su inverso aditivo si es negativo. As, el valor absoluto de todo nmero real es positivo o cero. Ejemplo: | 7 | = 7 , | -7 | = -(-7) = 7 , |0|=0Ejemplo: Resolver la siguiente ecuacin Solucin: De la definicin se tiene: |3x|=4 3x=4 3x=-4| 3 x | = 4. x = 4 - 3 x = - 4 - 3 -x = 1 x = -7 x = -1 x = 7En consecuencia, el conjunto solucin de la ecuacin dada es: {-1, 7}Geomtricamente el valor absoluto | a | mide la distancia del origen hasta a, sin importar la direccin: |a|| a | = | a - 0 | = d(a , 0)|a| a a 00 | 3 | = | 3 0 | = d(3 , 0) = 3| -5 | = | -5 0| = d(-5 , 0) = 5Not : Vmos ms ad lant quEj mplo: | -3 4 | = | -7 | = d(-3 , 4) = 7| a b | = d(a , b) a|a b| bConsiderando quea es la raz cuadrada positiva de a, se tiene que :a !Solucin:a2x2 4 ! 0Ejemplo: Resolver la siguiente ecuacin:x 2 4 ! 0 x 2 ! 4 x 2 ! 22 x 2 ! 2 2 x ! 2 x ! 2 x ! 2Propi 1.- | a | u .- | a | = , llor r t a=ol to: a R.- | a | = b c bua = b a = -b ,r ta, bR,.- | a | = | b | a .- | a | < b .- | a | e b b a = -b , , , r t r t r t r tr t a, b a, b a, b a, ba, b R R R RR. b> b> b> b>b < a < b b e a e b7.- | a |> b a > b a < b , 8.- | a | u b a u b a e b ,Ejemplos: 1.- Encuentre el conjunto solucin de las siguientes ecuaciones: a.- |2x 3| = |7 3x| Solucin: Usando la propiedad 4 de valor absoluto se tiene: |2x 3| = |7 3x| 2x 3 = 7 3x 2x + 3x = 7 + 3 5x = x = x = 2 0 0/5 2x 3 = -(7 3x) 2x 3 = -7 + 3x2x 3x = -7 + 3 -x = -4x = 4Por lo tanto el conjunto solucin es: {2 4}.b.- | 2x + 1| = x + 1 Solucin: Usando la propiedad 3 de valor absoluto, se tiene: | 2x + 1| = x + 1 2x + 1 = x + 1que x + 1 u 02x + 1 = -(x + 1);adems, se debe cumplir 2x - x = 1 - 1 x=0 x=0 2x + 1 = -x 1 ; adems x u -12x + x = -1 1 ; adems x [-1,+g) 3x = -2 ; adems x [-1,+g) x = -2/3, x [-1,+g) x = 0 , x [-1,+g) Por lo tanto, el conjunto solucin es {-2/3, 0}.2.- Usar las propiedades anteriores para resolver la siguiente inecuacin (hacerla de diversas maneras, de acuerdo a la propiedad seleccionada):2x 1 e1 x3Solucin: Una f a aliza la ando la propiedad 6, se debe considerar, para este caso, que x + 3 { 0:x -1 x -1 e1 -1e e1 x 3 x 3Separando en dos inecuaciones, se tiene:I) - 1 e2x - 1 x 3II)2x - 1 e1 x 3Se resuelve cada inecuacin por separado y la solucin total de la inecuacin es la interseccin de las dos soluciones.I)2 -1 -1e 32x - 1 2x - 1 x 3 3x 2 0e 1 u0 u0 x3 x3 x3p(x) = 0 3x + 2 = 0 3x = -2 x = -2/3- R ces de p(x) = 3x + 2:- R ces de q(x) = (x+3): q(x) = 0 (x+3) = 0 x+ 3 = 0 x = -3x = -4x= -x=+ + + - - - - - - - +++++++++++ -3 l ci e I: x g,3 ? 2 / 3,g - 2/3II)2x - 1 e1 x 32x - 1 2x - 1 - x - 3 x-4 -1e 0 e0 e0 x 3 x 3 x 3p(x) = 0 x - 4 = 0 x = 4 x =4- Races de p(x) = x - 4:- Races de q(x) = (x+3): q(x) = 0 (x+3) = 0 x+ 3 = 0 x = -3x = -4 +++x=0 -------------3 4x=5 +++++Soluci n de II: x (-3,4]. Soluci n Total: (Soluci n de I) (Soluci n de II) Soluci n Total: x { g,3 ? 2 / 3,g } (-3,4] = [-2/3,4].3.Ht x2n neee e quetngu enta.- 2 x ! 1 b.Solu a.n x !1 x 2 2x 13x2 2 R c.-x !1 x ! 1 x ! 1 x ! 1 x ! 1 | x |! 1 x ! 1 x ! 1 x !1Por lo t nto los n ecuacin dada son x 1 xeros reales que sat sfacen la1.b.x2 2x 1 3 x2 2x 1 2 32 x 2 2 x 1 9 x 2 2 x 1 9 0 x 4 x 2 0 0 x2 2x 8Se usar el mtodo de Sturm para resolver esta inecuacin: - Ra de p(x) = x - 4: p(x) = 0 x - 4 = 0 x = 4- Ra es de q(x) = (x+2): q(x) = 0 x+2 = 0 x = -2 x -4 x 0 x 5+++--------2 Solucin : x [-2,4].- - - +++++ 4c)x2 4 x2 4 " 0 x2 " 4 x2 " 4 x " 2 x 2 x " 2 x (g, 2) (2, g)Solucin:x (g,2) (2,g)Ejercicios: Realizar todos los problemas propuestos en la seccin 1.2. del libro y los de esta gua.Enlaces electrnicos que contienen aspectos relacionados con el tema: www.cnice.mecd.es/Descartes/ http://www.rinconmatematico.comPreClculo Curso en Lnea