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Cálculo vectorial

en el plano.

MATEMÁTICAS JRM

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Cálculo vectorial en el plano. Página 2

Índice de contenidos.

1. Puntos y vectores. Coordenadas y componentes. • Puntos en el plano cartesiano. Coordenadas. • Vectores en el plano cartesiano. Componentes.

2. Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos. • Concepto de módulo. • Expresión analítica del módulo.

3. Operaciones con vectores y puntos. • Opuesto. Producto por constantes • Suma. Diferencia. Combinaciones lineales. • Suma de un punto y un vector. • División de segmentos

4. Dependencia lineal de vectores. Bases. • Paralelismo de vectores. Dependencia lineal. • Criterio analítico para la dependencia. • Bases. La base canónica. • Componentes en una base.

5. Producto escalar de dos vectores.

• Producto escalar. Expresión analítica. Ángulos. • Propiedades algebraicas. Relación con el módulo. • Perpendicularidad. Criterio analítico.


RESUMEN DE OBJETIVOS

1. Puntos y vectores. Coordenadas y componentes.

• Conocer la relación entre las componentes de un vector fijo

��, � y las coordenadas de sus extremos �� , y

�� , �

• Conocer el concepto de vectores equipolentes e interpretar y representar adecuadamente un vector libre ��, �

• Conocer el concepto de pendiente de un vector, fijo o libre, y su

relación con las componentes del mismo:

Pendiente de ��, � = ��

2. Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos.

• Conocer el concepto de módulo de un vector y su relación con la

distancia entre los puntos extremos del vector:

�� , �

• Conocer la expresión analítica del módulo del vector ��, �,

derivada del teorema de Pitágoras:

��

3. Operaciones con vectores y puntos.

• Conocer, y saber calcular geométrica y analíticamente:

o El opuesto de un vector.

o El producto de un vector por un número.

o La suma o diferencia de dos o más vectores.

o Las diferentes combinaciones lineales de vectores.

• Conocer, y saber calcular geométrica y analíticamente:

• La suma de un punto y un vector.

• El punto medio de dos puntos.

• Los puntos que dividen un segmento.


4. Dependencia e independencia lineal de vectores. Bases.

• Conocer el concepto, geométrico y analítico de vectores

dependientes: �� | | ��

• Conocer y utilizar adecuadamente el criterio analítico para la

dependencia lineal de dos vectores �� , � y �� , �

�� | | ��

� � 0

• Conocer el concepto de base �� , ��! y saber calcular las

componentes de cualquier vector "�� en una base �� , ��!.

• Conocer y saber representar la base canónica #� , $�! en

cualquier sistema de ejes cartesianos.

5. Producto escalar de dos vectores. Ángulo y perpendicularidad.

• Conocer, y saber utilizar adecuadamente, la definición del

producto escalar de dos vectores, para el cálculo de ángulos.

�� cos �(

• Conocer, y saber utilizar adecuadamente, la expresión analítica del producto escalar de dos vectores �� , � y

�� , � , expresados en la base canónica #� , $�!

��

• Conocer, y saber utilizar adecuadamente, la relación entre el

producto escalar y el módulo de un vector:

��

• Conocer las propiedades algebraicas del producto escalar y

su relación con las combinaciones lineales de vectores:

Conmutativas, asociativas y distributivas:

�� )�� *"�� )�� *�� "��

• Conocer la relación entre el producto escalar y la

perpendicularidad entre vectores y utilizarla adecuadamente

para resolver problemas de perpendicularidad:

�� + �� 0


1. Puntos y vectores. Coordenadas y componentes.

Ejercicio 1.

Representa los puntos ��,3, ,2, ��3, 2, /�2, ,3 y los vectores �� y �/��.

Escribe las componentes y la pendiente de ambos vectores.

Ejercicio 2.

Representa el punto ��4,3 y el vector ��,6, ,2

Escribe las coordenadas del punto B y la pendiente del vector ��.

Ejercicio 3.

Representa el punto ��2, ,2 y el vector ��5, ,4

Escribe las coordenadas del punto A y la pendiente del vector ��.


Ejercicio 4.

Escribe las coordenadas de los puntos A, B, C y D y las componentes de los vectores �� y

�/��. Calcula la pendiente de ambos vectores.

Ejercicio 5.

Escribe las componentes y calcula la pendiente de cada uno de los vectores ��, �� y "��.

Ejercicio 6.

Representa dos vectores equipolentes al vector �� y otros dos equipolentes al vector ��.


Ejercicio 7.

Escribe las componentes y la pendiente de los vectores ��, �/��, �3��, /4��, 43�� y 3��

Ejercicio 8.

Escribe las componentes y la pendiente de los vectores ��, �/��, �3��, /4��, 43�� y 3��

Ejercicio 9.

Los puntos A, B, C y D forma un paralelogramo. Representa y halla las componentes y la

pendiente de los vectores ��, �/��, �3�� y /3��


Ejercicio 10.

Resulta que si �� , 2� , � y �� 2�, � , �, entonces ��3, 2.

Calcula las coordenadas de A y de B. Representa ambos puntos y el vector ��

Ejercicio 11.

Resulta que los vectores ��2�, � , � y �� , 3, 4 son equipolentes

Calcula sus componentes y represéntalos con origen en A y B, respectivamente.

Ejercicio 12.

Resulta que el vector �� es un representante fijo del vector �� 1, 2� , 2.

Sabiendo que ��,1, 3 y ��3 , 11, calcula los valores de x e y. Dibuja un representante del

vector �� y calcula su pendiente.


Ejercicio 13.

Sabemos que los vectores �� y /3�� son equipolentes al vector libre ��. Determina los

puntos B y C, gráficamente. ¿Cuál es la pendiente de esos tres vectores?

Ejercicio 14.

Sabemos que el vector �� es un vector fijo con la misma dirección que el vector libre ��, pero

sentido contrario y módulo doble. Determina el punto B, gráficamente.

Ejercicio 15.

Sabemos que el vector �� es un vector fijo con la misma dirección y sentido que el vector

libre ��, pero su módulo es el doble. Determina el punto B, gráficamente.


Ejercicio 16.

Sabemos que los vectores �� , � , 2� y ��3� , � , 2� , � son equipolentes.

Determina sus componentes y su pendiente.

Ejercicio 17.

Sabemos que el vector �� es un vector fijo equipolente al vector libre �� ; Calcula las

coordenadas de los puntos �� , � , � y �� , 3, 2� , � y representa el vector �� .

Ejercicio 18.

Sabemos que el vector �� es un vector fijo opuesto al vector libre �� ; Calcula las

coordenadas de los puntos �� , 2� , � y �� , 2� , � y representa el vector �� .


2. Módulo de un vector. Distancia entre dos puntos.

Ejercicio 19.

Calcula el módulo de los vectores los vectores ��, �� y "��.

Ejercicio 20.

Representa los puntos ��,2, ,2 y ��2, 5.5 y calcula la distancia que los separa.

¿Cuál es el módulo del vector �� ?

Ejercicio 21.

Calcula la medida de la diagonal AC de este paralelogramo.


Ejercicio 22.

Halla el módulo del vector ��15, ,8.

Ejercicio 23.

Halla la distancia entre los extremos del vector ��,9, 40.

Ejercicio 24.

Halla la distancia entre los puntos A y B.


Ejercicio 25.

Halla el perímetro del triángulo ABC y comprueba que es isóceles.

Ejercicio 26.

La distancia entre los puntos A y B es de 10 unidades. Sabemos que A(-2, -2) y que B(6, y), con

y>0. Determina y representa el punto B y el vector ��.


Ejercicio 27.

Halla el perímetro de este trapecio isósceles.

Ejercicio 28.

Dado el punto A(3, 2) halla las coordenadas de otro punto B, sabiendo que está sobre el eje

de ordenadas y que dista 5 unidades del punto A.


Ejercicio 29.

El vector ��, 2� � 2 tiene módulo 13 unidades. ¿Cuáles son las posibles componente de �� ?

Ejercicio 30.

Los vectores ��, � � 2 y ��2� , 4, ,� tienen el mismo módulo. Halla el valor de x

sabiendo que es un número entero.


Ejercicio 31.

El vector ��, � � 1 tiene la mitad de módulo que el vector ��3� , 3, 3� , 1 Halla el

valor de x, sabiendo que no es un número entero.

Ejercicio 32.

Un vector �� , de módulo 10 unidades, tiene su origen en el punto A(2, 6) y su extremo

B, sobre el eje de abcisas. ¿Cuáles son los posible lugares para el punto B?


3. Operaciones con vectores y puntos.

Ejercicio 33.

Calcula analítica y gráficamente el vector libre �� , con origen en el punto A.

Ejercicio 34.

Calcula analítica y gráficamente el vector libre 2�� , con origen en el punto A.

Ejercicio 35.

Calcula analítica y gráficamente el vector libre 3�� "�� , con origen en el punto A.


Ejercicio 36.

Calcula analítica y gráficamente el vector libre 2�� , �� , 2 "�� , con origen en el punto A.

Ejercicio 37.

Calcula la suma �� , utilizando el origen que tengan �� en cada pareja.

Ejercicio 38.

Calcula analítica y gráficamente el vector libre ,1.5�� , 1.5�� , con origen en el punto A.


Ejercicio 39.

Calcula la suma 2�� 2�� , utilizando el origen que tengan �� en cada pareja.

Ejercicio 40.

Calcula el vector �� , �� , utilizando el origen que tengan �� en cada pareja.

Ejercicio 41.

Calcula, en cada caso, el vector que se solicita.

a) �� b) 2�� , ��


Ejercicio 42.


a) 2�� 2�� b) 3�� , ��

Ejercicio 43.


a) 3�� , �� b) �� , 2��

Ejercicio 44.


a) 2�� , �� b) 2�� , 2��


Ejercicio 45.

Calcula gráficamente la fuerza resultante �� .

Ejercicio 46.

Calcula gráficamente la fuerza resultante �� "��.

Ejercicio 47.

Calcula gráficamente la descomposición normal y tangente de la fuerza 9� � *�� :�.


Ejercicio 48.

Sean A(2, 3) y �� ,5, ,4. Calcula analítica y gráficamente el punto � � � � �� .

Calcula y representa el vector ��.

Ejercicio 49.

Sean A(-2, 1), �� 4, 2 y �� 2, ,1 Calcula analítica y gráficamente los puntos � � � � �� y

/ � � � 2��. Calcula y representa los vectores �� y �/��

Ejercicio 50.

Sean A(-3, 1), B(1, 4) y C(-1, -2) tres puntos del plano tales que � � � � �� y / � � � ��.

Calcula analítica y gráficamente los vectores �� y ��.


Ejercicio 51.

Halla gráfica y analíticamente el punto M, medio de los puntos del plano A(-2, 1) y B(4, 5).

¿Quién es el punto � � � �� ?

Ejercicio 52.

Halla analíticamente el punto medio de los lados del triángulo ABC.

Ejercicio 53.

El punto M(-3, 3) es el punto medio entre A y B. Calcula A, sabiendo que B(-5, -3).


Ejercicio 54.

El punto M(3, 5) es el punto medio entre �� , � , � � ��2�, 3�. Calcula las coordenadas

de A y B.

Ejercicio 55.

Divide el segmento ��;;;; en tres partes iguales. Calcula los puntos � � �< �� y � �

< ��

Ejercicio 56.

Divide el segmento ��;;;; en cinco partes iguales. Calcula los puntos � � => �� (� � 1,2,3,4)


Ejercicio 57.

Considera los vectores ��3, ,4, ��6, ,2 � "��6, 4 y realiza las siguientes operaciones.

� � ,��

�� 2��

?� � ,3��

�� "��

@� � 2�� "��

A� � �< ��

B� � < �� "��

C�� , �� "��

#� � 2�� , �< ��

$� � �< �� , <

�� , "��

Ejercicio 58.

Calcula a y b para que los vectores ��2, � � � ��3� , 2, 2� � 2 cumplan la igualdad

�� 2��


Ejercicio 59.

Calcula x e y para que los vectores ��,�, � � � , ��2�, 5� � "��2� , 3� � 2 cumplan la

igualdad:

"��

Ejercicio 60.

Calcula x e y para que los vectores ��, � � 1 , ��,�, ,2�� , � � "��D , ,� cumplan

la igualdad:

�� "�� 0��


4. Dependencia e independencia lineal. Bases.

Ejercicio 61.

Representa los vectores libres ��2, ,3 y ��,4, 6. Determina gráfica y analíticamente su

dependencia lineal. Calcula la constante k que verifica: ��

Ejercicio 62.

Representa el vector libre ��,2 , 4. Calcula y representa un vector �� linealmente con ��,

que tenga sentido opuesto y la mitad de módulo que ��.

Ejercicio 63.

Justifica geométrica y analíticamente la dependencia o independencia de los vectores �� y ��.

En el caso de que sean dependientes, calcula la constante k que verifica: ��


Ejercicio 64.

Sabemos que los vectores libres ��E, 5 y ��,9, ,15 son dependientes. Determina el valor

de la constante a y de la constante k que verifica ��

Ejercicio 65.

Sabemos que los vectores libres ��F � G, 4 y ��,6, ,4� son dependientes. Determina

los posibles valores de la constante x y calcula, en cada caso, los pares de vectores �� y ��.


Ejercicio 66.

Justifica geométrica y analíticamente la dependencia o independencia de los vectores �� y ��.

En el caso de que sean dependientes, calcula la constante k que verifica: ��

Ejercicio 67.

Comprueba analíticamente que los vectores #��1 , 0 , $��0 , 1 forman base y halla las

coordenadas de los vectores ��, �� "�� en la base canónica #� , $�!


Ejercicio 68.

Comprueba analíticamente que los vectores �� 2#� � $� � �� ,2#� � 4$� forman base y

calcula las coordenadas del vector "�� ,6#� � 2$� en la base �� , ��! .

Ejercicio 69.

Comprueba analíticamente que los vectores ��3 , ,1 � ��2 , 3 forman base y calcula las

coordenadas del vector "��10 , 4 en la base �� , ��! .


5. Producto escalar de dos vectores. Ángulo y perpendicularidad.

Ejercicio 70.

Los vectores libres �� y �� forman un ángulo de 60H y además �� 3 � �� 4.

¿Cuál es el valor de su producto escalar?

Solución

Ejercicio 71.

Los vectores libres �� y �� forman un ángulo de 120H y además �� 6 � �� ,18.

¿Cuál es el módulo del vector �� ?

Solución

Ejercicio 72.

Los vectores libres �� y �� cumplen que �� 3 , �� 4 � �� 6√2.

¿Qué ángulo forman �� y �� ?

Solución


Ejercicio 73.

Los vectores libres �� y �� forman un ángulo ( tal que cos�( � >J . Además, �� 15 y

�� , �� 2. ¿Cuál es el módulo de cada vector?

Solución

Ejercicio 74.

Los vectores libres �� y �� forman un ángulo de 150H y además �� √2 � �� √6.

¿Cuál es el producto escalar �� ?

Solución

Ejercicio 75.

Los vectores libres �� y �� cumplen que �� 6 , �� √3 � �� 9.

¿Qué ángulo forman �� y �� ?

Solución


Ejercicio 76.

Calcula el producto escalar de los vectores �� y �/��.

Solución

Ejercicio 77.

Calcula el producto escalar de los vectores �� y �/��.

Solución

Ejercicio 78.

Calcula el producto escalar de los vectores �� y ��.

Solución


Ejercicio 79.

Calcula el ángulo que forman los vectores �� y ��.

Solución

Ejercicio 80.

Calcula el ángulo que forman los vectores � y ��.

Solución

Ejercicio 81.

Calcula el ángulo que forman los vectores � y ��.

Solución


Ejercicio 82.

Calcula el producto escalar y el ángulo que forman los vectores �� y ��.

Solución

Ejercicio 83.

Calcula el producto escalar y el ángulo que forman los vectores �� y ��.

Solución

Ejercicio 84.

Sabemos que los vectores �� y �� son perpendiculares y que �� √2 , �� √5 .

Si � � �� y �� 2�� , �� , ¿cuál es el producto escalar � � �� ?

Solución


Ejercicio 85.

Sabemos que los vectores �� y �� cumplen que �� ,4 y además �� √8 , �� √6 . Si

� � 3�� 2�� y �� 3�� , 2�� , ¿cuál es el producto escalar � � �� ?

Solución

Ejercicio 86.

Sabemos que los vectores �� y �� cumplen que �� √5 � �� √8 . Además, si

� � 2�� , �� y �� 3�� 2�� entonces, � � �� 14. ¿Cuál es el producto escalar �� ?

Solución

Ejercicio 87.

Sabemos que los vectores �� y �� cumplen que �� √6 � �� √3 . Además, si

� � �� , 2�� y �� 2�� , 3�� entonces, � � �� 8. ¿Qué ángulo forman �� ?

Solución


Ejercicio 88.

Estudia la perpendicularidad entre los vectores ��,4,3, ��3, 4, "��2, ,6 y :��6, ,8.

Solución

Ejercicio 89.

Demuestra, utilizando el cálculo vectorial, que el triángulo de vértices ��3,2, ��6,3 y /�1,8 es un

triángulo rectángulo.

Solución

Ejercicio 90.

Calcula el valor del parámetro a para que los vectores ��3,2 y ��,4, K sean perpendiculares.

Solución


Ejercicio 91.

Calcula el valor del parámetro a para que los vectores ��4,3 y ��K, 1 formen un ángulo de 45H

Solución

Ejercicio 92.

Calcula el valor del parámetro a para que los vectores ��3,1 y ��4, K formen un ángulo de 45H

Solución

Ejercicio 93.

Calcula el valor del parámetro a para que ��1, √3 y ��K, 2√3 formen un ángulo de 60H.

Solución


Ejercicio 94.

Los vectores ��3,4 y ��L, M son perpendiculares y además �� 10. Calcula las componentes

posibles para el vector ��.

Solución

Ejercicio 95.

Comprueba que el vector ��2,3 lleva la dirección de la altura de todos los triángulos con base ��;;;; ,

siendo: ��1,4 y ��7,0

Solución

Ejercicio 96.

Los vectores ��, � � 1 y ��1 , 2�, 2 son perpendiculares. Calcula las posibles componentes

de los vectores �� y ��.

Solución


Ejercicio 97.

Determina un vector �� que sea perpendicular al vector ��6, ,2 y tenga módulo √10.

Solución

Ejercicio 98.

Comprueba que si ��2, 3 y ��,1, 2 entonces los vectores si � � �� y �� OP �� , �P

P �� son

perpendiculares.

Solución

Ejercicio 99.

Dados los vectores ��1, 2 y ��,3, 1 y los vectores � � �� y �� , calcula x para

que � y �� sean perpendiculares.

Solución

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