espacio vectorial

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Espacio vectorialDe Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegacin, bsqueda Este artculo est orientado a proporcionar un tratamiento riguroso y abstracto del concepto de espacio vectorial. Para una introduccin ms accesible al concepto, vase Vector

En matemticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vaco, una operacin interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operacin externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemtico), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Contenido

1 Historia 2 Caligrafias 3 Definicin de espacio vectorial o 3.1 Observaciones o 3.2 Propiedades o 3.3 Primer ejemplo con demostracin al detalle 4 Ejemplos de espacios vectoriales o 4.1 Los cuerpos o 4.2 Sucesiones sobre un cuerpo o 4.3 Espacios de aplicaciones sobre un cuerpo 4.3.1 Los polinomios 4.3.2 Funciones trigonomtricas o 4.4 Los sistemas de ecuaciones lineales homogneas 5 Definicin de subespacio vectorial o 5.1 Consecuencias 6 Resultados internos o 6.1 Combinacin lineal 6.1.1 Proposicin 1 o 6.2 Independencia lineal 6.2.1 Proposicin 2 o 6.3 Base de un espacio vectorial o 6.4 Base formalmente 6.4.1 Teorema de la base de generadores 6.4.2 Teorema Steinitz o 6.5 Observacin o 6.6 Dimensin 6.6.1 Notacin o 6.7 Interseccin de subespacios vectoriales o 6.8 Suma de subespacios vectoriales

6.9 Teorema Frmula de Grassmann 6.10 Suma directa de subespacios vectoriales 6.11 Cociente de espacios vectoriales 7 Construcciones bsicas o 7.1 Suma directa de espacios vectoriales 8 Espacios vectoriales con estructura adicional o 8.1 Espacios normados o 8.2 Espacio mtrico o 8.3 Espacios vectoriales topolgicos o 8.4 Espacios de Banach o 8.5 Espacios prehilbertianos o 8.6 Espacios de Hilbert 9 Morfismos entre espacios vectoriales o 9.1 Aplicaciones lineales 10 Vase tambin 11 Referencias o 11.1 Notas o 11.2 Referencias histricas o 11.3 Bibliografa 12 Enlaces externos

o o o

[editar] HistoriaHistricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometra analtica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales se derivan de la geometra afn, a travs de la introduccin de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometra analtica mediante la vinculacin de las soluciones de una ecuacin con dos variables a la determinacin de una curva plana.[nota 1] Para lograr una solucin geomtrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, lneas y planos, que son predecesores de los vectores.[nota 2] Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricntricas de August Ferdinand Mbius de 1827.[nota 3] La primera formulacin moderna y axiomtica se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teora de espacios vectoriales provienen del anlisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Anlisis funcional requeran resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topologa, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topolgicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teora ms rica y elaborada. El origen de la definicin de los vectores es la definicin de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentacin de los nmeros complejos

de Argand y Hamilton y la creacin de los cuaterniones por este ltimo (Hamilton fue adems el que invent el nombre de vector).[nota 4] Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien tambin defini los sistemas de ecuaciones lineales. En 1857, Cayley introdujo la notacin matricial, que permite una armonizacin y simplificacin de los aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudi el clculo baricntrico iniciado por Mbius. Previ conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones.[nota 5] En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensin, as como de producto escalar estn presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicacin, tambin, lo llev a lo que hoy en da se llaman lgebras. El matemtico italiano Peano dio la primera definicin moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.[nota 6] Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construccin de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto ms tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920[nota 7] y por Hilbert. En este momento, el lgebra y el nuevo campo del anlisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. Tambin en este tiempo, los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron. Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemtica, la ciencia y la ingeniera. Se utilizan en mtodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresin de imgenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Adems, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geomtricos y fsicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante tcnicas de linealizacin.

[editar] CaligrafiasDado un espacio vectorial sobre un cuerpo , se distinguen. Los elementos de como: se llaman vectores. Caligrafias de otras obras Si el texto es de fsica suelen representarse bajo una flecha:

Los elementos de como: se llaman escalares.

[editar] Definicin de espacio vectorial

Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los nmeros reales o los nmeros complejos) es un conjunto no vaco, dotado de dos operaciones para las cuales ser cerrado:

operacin interna tal que: 1) tenga la propiedad conmutativa, es decir 2) tenga la propiedad asociativa, es decir 3) tenga elemento neutro , es decir 4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operacin producto por un escalar:

operacin externa tal que: 5) tenga la propiedad asociativa: 6) tenga elemento neutro 1: 7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores: 8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:

Vase tambin: Espacio eucldeo Vase tambin: Vector Vase tambin: Representacin grfica de vectores

[editar] ObservacionesLa denominacin de las dos operaciones no condiciona la definicin de espacio vectorial por lo que es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicacin para el producto y sustraccin para la suma, usando las distinciones propias de la aritmtica. Para demostrar que un conjunto es un espacio vectorial:

Si supisemos que es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendramos probados los apartados 1, 2, 3 y 4.

Si supisemos que el producto es una accin por la izquierda de tendramos probados los apartados 5 y 6. Si no se dice lo contrario: .

[editar] PropiedadesUnicidad del vector neutro de la propiedad 3: supongamos que el neutro no es nico, es decir, sean y dos vectores neutros, entonces:

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4: supongamos que el opuesto no es nico, es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es nico:

Unicidad del elemento en el cuerpo : supongamos que 1 no es nico, es decir, sean y dos unidades, entonces:

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo : supongamos que el inverso de a, no es nico, es decir, sean y dos opuestos de , entonces, como el neutro es nico:

Producto de un escalar por el vector neutro:

Producto del escalar 0 por un vector:

Si

Si es cierto. Si entonces:

Notacin .

Observacin

Si Si

[editar] Primer ejemplo con demostracin al detalleQueremos ver que es un espacio vectorial sobre Veamos pues que juega el papel de y el de : Los elementos:

son, de forma genrica:

es decir, pares de nmeros reales. Por claridad conservaremos la denominacin del vector, en este caso u, en sus coordenadas, aadiendo el subndice x o y para denominar su componente en el eje x o y respectivamente En defino la operacin suma:

donde:

y la suma de u y v seria:

donde:

esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida. La operacin interna suma tiene las propiedades: 1) La propiedad conmutativa, es decir:

2) La propiedad asociativa:

3) tiene elemento neutro :

4) tenga elemento opuesto:

La operacin producto por un escalar:

El producto de a y u ser:

donde:

esto implica que la multiplicacin de vector por escalar es externa y an as est bien definida. 5) tenga la propiedad:

Esto es:

6) tenga elemento neutro: 1:

Que resulta:

Que tiene la propiedad distributiva: 7) distributiva por la izquierda:

En este caso tenemos:

8) distributiva por la derecha:

Que en este caso tenemos:

Queda demostrado que es espacio vectorial.

[editar] Ejemplos de espacios vectoriales[editar] Los cuerposTodo cuerpo es un espacio vectorial sobre l mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.

es un espacio vectorial de dimensin uno sobre .

Todo cuerpo