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Algebra vectorial

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    LGEBRA VECTORIAL.

    Cmo calcular con puntos y vectores?

    1. Introduccin. 51.1. Los orgenes del espacio Afn 61.2. El Espacio Afn Eucldeo 72. Producto escalar y grammianas. 8

    Definicin 1 8Lema 1 8Definicin 2 9Ejemplo 1 10Ejemplo 2 10Teorema 1 10Teorema 2 12Corolario 1 12Corolario 2 13Corolario 3 14

    3. Producto vectorial. 16

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    Definicin 3 17Lema 2 18Lema 3 20Ejemplo 3 20

    4. Producto triple escalar. 20Definicin 4 21Ejemplo 4 21Ejemplo 5 23

    5. Espacio Afn. 23Definicin 5 23Definicin 6 24Lema 4 25Ejemplo 6 26Definicin 7 26

    5.1. Rectas 27Definicin 8 27Ejemplo 7 28Ejemplo 8 29Lema 5 29Ejemplo 9 30Ejemplo 10 30

    5.2. Planos 31Definicin 9 31

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    Definicin 10 32Definicin 11 33Lema 6 33Ejemplo 11 34Ejemplo 12 34Lema 7 35Ejemplo 13 35

    5.3. Distancia de un punto a una recta 36Lema 8 36

    6. Tringulos en Rn 37Definicin 12 37Lema 9 37Definicin 13 38Lema 10 39Corolario 4 39Corolario 5 40

    6.1. Puntos distinguidos de un tringulo en Rn 40Definicin 14 40Lema 11 41Ejemplo 14 41Definicin 15 43Ejemplo 15 44

    7. Tetraedros en Rn 45

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    Definicin 16 45Definicin 17 46Lema 12 46Definicin 18 46Definicin 19 47Ejemplo 16 47

    8. Test de repaso. 48

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    1. INTRODUCCIN.

    Aunque la geometra clsica griega estudia o define el plano y el espacio 3Dusando axiomas y deduce los teoremas a partir de ellos.

    Actualmente, es comn definir estos conceptos usando coordenadas. O sea,usando R2 o R3 como conjunto subyacente de puntos.

    Este es el enfoque de la geometra llamada analtica. Permite usar todas lasherramientas de las operaciones algebraicas. Adems, tiene la ventaja de quela generalizacin a Rn no ofrece casi ninguna dificultad.

    As, una manera de pensar en el plano eucldeo es que es un conjunto depuntos que satisfacen ciertas relaciones expresables en trminos de distancia(tamao de vectores) y ngulos (direccin de vectores).

    Hay tres operaciones fundamentales en el plano. Una es la traslacin quesignifica mover cada punto en la misma direccin, una misma distancia.

    La otra es la rotacin alrededor de un punto, en la cual cada punto se muevealrededor (misma distancia) de ese punto un cierto ngulo.

    La tercera es la reflexin segn una recta que mueve cada punto hacia larecta, en la perpendicular a ella, el doble de la distancia a la misma.

    Una manera de hacer todo esto preciso, es definiendo el plano eucldeo comoel esp. vect. R2 con un producto escalar.

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    De esta forma, los vectores se corresponden con los puntos. La suma conun vector fijo corresponde con una traslacin. Finalmente. el producto es-calar proporciona los conceptos de ngulo (perpendicularidad) y distanciaque permiten definir las transformaciones de rotacin y reflexin arbitrarias.

    La generalizacin a Rn es fcil, ya que el vocabulario, frmulas y opera-ciones son los mismos con mas coordenadas. La generalizacin de rotaciny reflexin a Rn , tampoco es difcil conociendo R2.

    La dificultad est en la visualizacin a partir de R4, aunque no es necesaria.

    La sutileza a tener en cuenta, es que tcnicamente el espacio eucldeo no esslo un esp. vect. sobre R, sino mas bien un espacio afn sobre el que actael espacio vectorial.

    Intuitivamente, la distincin consiste en que no hay un punto distinguido quesirva como origen. Todos pueden servir. En este tema lo precisaremos.

    1.1. Los orgenes del espacio Afn. Aunque el estudio de la geometra es muyantiguo, slo recientemente se ha intentado separar la parte afn de la mtrica.

    In 1748, Euler introdujo el trmino afn1. In 1827, August Mbius estudi lageometra afn en su Der barycentrische Calcul.

    1En su libro, Introductio in analysin infinitorum.

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    Pero no fue hasta que Felix Klein describi su famoso programa de Erlangen,cuando la geo. afn fue reconocida como una generalizacin de la eucldea.

    Aunque es usual estudiarla con coordenadas, tambin es posible estudiarla ala griega. O sea, con postulados y axiomas, sin decir quienes son los puntos.

    As, en 1969, Coxeter axiomatiza el plano afn sobre los reales. Y Cameron,en 1991, da axiomas para los espacios afines n-dimensionales.

    1.2. El Espacio Afn Eucldeo. Hoy da, el espacio eucldeo2 es esencialmenteRn con el producto escalar usual, lo que permite calcular distancias y n-gulos. Generaliza al plano eucldeo (geometra 2D) y al espacio eucldeo(geometra 3D) clsicos.

    El adjetivo eucldeo distingue a estos espacios de otras formas de medir enRn . O sea, de otras definiciones de norma de un vector, que pueden conducira espacios llamados curvos.

    En particular, a las geometras Hiperblica y Elptica del plano y a los espa-cios de la teora general de la relatividad de Einstein.

    En este tema, estudiaremos algunos conceptos importantes para el esp. eu-cldeo n-dimensional. Tambin el concepto de producto vectorial en R3.Despus nos centraremos en el afn y en el afn eucldeo.

    2Euclides de Alejandra fue un matemtico y gemetra griego (325-265 a. C.) que viviy ense en Alejandra (Egipto) bajo el reinado de Ptolomeo II.

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    2. PRODUCTO ESCALAR Y GRAMMIANAS.

    Dado un esp. vect. V , real (sobre el cuerpo R), y dada una aplicacin < , >:V xV R, denotada a veces (en notacin infija) como < u,v >=u vDefinicin 1. Decimos que es un producto escalar si verifica para todou,u1,u2,v V y todo K

    1) Definida positiva: u u 0 y u u = 0 u = 02) Conmutativa: u v = v u3) Distributiva: (u1+u2) v = u1 v +u2 v4) Lineal: u v = (u v)

    Dado un producto escalar, por la distributiva, se tiene que

    0u = (0+0)u = 0u+0u = 0u = 0Por la conmutativa, tambin 0u = u 0= 0Por la distributiva y lineal, adems se tiene

    (1u1+2u2) v = (1u1) v + (2u2) v =1(u1 v)+2(u2 v)Este es el primer caso, de una induccin, para demostrar el siguiente

    Lema 1. Dado un producto escalar en V , se verifica que

    (1u1+ +rur ) (1v1+ +svs)=i ji j (ui v j )

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    Demostracin: Por la conmutativa, basta demostrar el llamado paso de lainduccin, en uno de los factores:

    (1u1+ +rur ) v = (1u1+ +r1ur1) v +r (ur v)==1(u1 v)+ +r1(ur1 v)+r (ur v)

    El producto escalar usual de dos vectores u,v Rn es el definido por

    u v = (u1, . . . ,un)

    v1...vn

    = u1v1+ +unvnEscribiendo los vectores por columnas, coincide con el producto matricialu v = utv . Adems, por el lema anterior, si se elige una base ortonormal,todo producto escalar coincide con el usual.

    Dado un conjunto de vectores u1, . . . ,ur Rn , podemos formar los r 2 produc-tos escalares ui u j R. Por la conmutativa, hay como mucho

    (r2

    ) = r (r1)2nmeros distintos y la matriz U tU = (ui u j ) es simtrica.Definicin 2. La llamamos G =U tU = (ui u j ) la matriz grammiana delos vectores u1, . . . ,ur . A su determinante, lo denotamos

    Gram(u1, . . . ,ur )=Det (G)=Det (U tU )= |(ui u j )|y lo llamamos simplemente la grammiana del mismo conjunto.

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    Ejemplo 1. Dados u1 = (1,1),u2 = (2,3),u3 = (0.5,1.5) R2 su matriz gram-miana

    G = 1 12 30.5 1.5

    (1 2 0.51 3 1.5

    )=2 5 25 13 5.52 5.5 2.5

    es simtrica de orden 33 y su determinante es cero

    Gram(u1,u2,u3)=Det (G)=2 5 25 13 5.52 5.5 2.5

    = 0Ejemplo 2. Dados v1 = (1,2,0.5),v2 = (1,3,1.5) R3 su matriz grammiana

    G =(1 2 0.51 3 1.5

    ) 1 12 30.5 1.5

    = (5.25 7.757.5 12.55

    )

    es simtrica de orden 22 y su determinante vale

    Gram(v1,v2)=Det (G)=5.25 7.757.75 12.55

    = 4.25Los ejemplos anteriores no son casualidad, ya que u1,u2,u3 R2 son l.d.mientras que v1,v2 R3 son l.i. Ya que se tiene el

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    Teorema 1. [de caracterizacin de la dependencia]Los vectores u1, . . . ,ur Rn , son l.d. si y slo si Det (G)= 03.

    Demos