TEMA 3LGEBRA VECTORIAL

OBJETIVO El alumno aplicar el lgebra vectorial en la resolucin de problemas geomtricos. CONTENIDO 3.1 Sistema cartesiano en tres dimensiones. Simetra de puntos. 3.2 Cantidades escalares y cantidades vectoriales. Definicin de segmento dirigido. Componentes

Escalares de un segmento dirigido en la direccin de los ejes coordenadas. El vector como terna ordenada de nmeros reales. Definicin de mdulo de un vector e interpretacin geomtrica. Vector de posicin de un punto. Vector nulo. Vector unitario. Vectores unitarios i, j, k. Vectores representados por una combinacin lineal de los vectores i, j, k.3.3 Definicin de igualdad de vectores. Operaciones con vectores: adicin, sustraccin y multiplicacin por un escalar. Propiedades de las operaciones.

3.4 Producto escalar de dos vectores y propiedades. Condicin de perpendicularidad entre vectores. Componente escalar y componente vectorial de un vector en la direccin de otro. ngulo entre dos vectores. ngulos, cosenos y nmeros directores de un vector.3.5 Producto vectorial: definicin, interpretacin geomtrica y propiedades. Condicin de paralelismo entre vectores. Aplicacin del producto vectorial al clculo del rea de un paralelogramo.

3.6 Producto mixto e interpretacin geomtrica.

CANTIDADES ESCALARES Y CANTIDADES VECTORIALESDEFINICIN:

Se llama cantidad escalar a aquella que slo posee magnitud.Existen propiedades fsicas tales como la magnitud de la longitud, la masa, el tiempo, la temperatura, etc., que se representan por el valor de un nmero real, a estas propiedades se les llama magnitudes escalares.

DEFINICIN:

Una cantidad es vectorial si posee magnitud, direccin y sentido.En el caso de las propiedades fsicas que involucran el concepto de direccin y sentido asociados a la magnitud de la variable fsica se le denomina magnitud o cantidad vectorial.

Por ejemplo, el desplazamiento rectilneo en el espacio, para definirlo, adems de especificar el valor de su magnitud, hay que indicar la direccin y el sentido del desplazamiento en el espacio. Otras cantidades vectoriales son: velocidad, aceleracin, fuerza, campo magntico, par mecnico, etc.

Grficamente el desplazamiento puede ser representado por un segmento de recta que tenga una magnitud, direccin y sentido al que se le llama vector de desplazamiento.

Magnitudes como la velocidad, aceleracin, fuerza, etc. son propiedades fsicas que tienen una magnitud, direccin y sentido, por lo cual se representan grficamente con un segmento de recta con direccin y a estas propiedades fsicas se les llama cantidades vectoriales.

DEFINICIN: Se llama segmento dirigido a un segmento de recta en el que se ha asignado un punto origen y un punto extremo.

Como ya se mencion, si el desplazamiento se le representa grficamente con un segmento de recta dirigido AB como se muestra en la figura, a esta representacin se le llama vector v.

SEGMENTO DIRIGIDO ABZ

B

AB = vA Y O

X

EJEMPLO: v = AB A(4, 0.3, 0) B(7, 0.3, 0) v = (b1 a1, b2 a2, b3 a3)

v = (3, 0, 0)

v = AB

A(4, 0.6, 0) B(7, 0.6, 0)

v = (b1 a1, b2 a2, b3 a3)

v = (3, 0, 0)v = v; v = (v1, v2, v3) = v =(v1, v2, v3)

Al vector AB tambin se le puede denotar con letras negritas o pesadas para no colocar la flecha encima, quedando AB. Si se establece el vector BA indica que es de igual magnitud a AB pero de sentido contrario, aunque tenga la misma direccin. Se dice que dos vectores son iguales cuando tienen la misma magnitud, direccin y sentido. Lo que implica que sean paralelos o estn en la misma recta.

DEFINICIN DE VECTOR LIBRE

Si al vector AB se le puede representar por medio de una infinidad de segmentos dirigidos que tengan la misma magnitud, direccin y sentido, a este tipo de vectores se les llama vectores libres. Por ejemplo, el campo gravitatorio terrestre se puede representar con un vector g en direccin radial y de sentido hacia el centro de la Tierra, con una magnitud constante en cualquier parte de la superficie del globo terrqueo.

REPRESENTACIN ANALTICA DE UN VECTOR.Para representar analticamente un vector se usa una terna ordenada de nmeros realesv = (v1, v2, v3),

a los cuales se les denomina componentes escalares del vector o nmeros directores del vector.En Geometra Analtica en el espacio de tres dimensiones el vector se define como el segmento de recta que tiene magnitud, direccin y sentido.

DEFINICIN: Sea el vector v = (v1, v2, v3), si dicho vector se representa por el segmento dirigido AB donde su punto origen es A(a1, a2, a3) y su punto extremo B(b1, b2, b3) las componentes escalares del vector son: v1= b 1 a1; v 2 = b 2 a2; y v 3 = b 3 a3

Sustituyendo en el vector v v = (v1, v2, v3) = (b1 a1, b2 a2, b3 a3)

SEGMENTO DIRIGIDO ABZB(b1, b2, b3)

AB = v = (v1, v2, v3) =(b1 a1, b2 a2, b3 a3) A(a1, a2, a3) Y O

X

EJERCICIO: Sea el segmento dirigido AB, en donde A(-1, 3, 0) y B(0, -3, 4) determinar las componentes escalares del vector representado por el segmento dirigido AB. RESOLUCIN: De acuerdo a la definicin v = AB = (b1 a1, b2 a2, b3 a3) = (v1, v2, v3) Sustituyendo las coordenadas de los puntos A y B v = (0 (-1), -3 (3), 4 0) = (1, -6, 4)

EJERCICIO:Sea el vector n = (0, 0, 7). Determine las coordenadas de los puntos origen y puntos extremos de dos segmentos dirigidos que representen al vector.

RESOLUCIN: Aplicando la definicin de vector B (0, 0, 0); A(0, 0, -7)

n = AB = (0 0, 0 0, 0 -(-7)) = (0, 0, 7)B(0, 0, 7); A(0, 0, 0); n = AB = (0 0, 0 0, 7 - 0) = (0, 0, 7)

EJERCICIO: Sea el vector u = (-4, 8, 0). Si un segmento dirigido que lo representa tiene como origen A(2, -1, 5), obtenga las coordenadas del punto extremo del segmento. RESOLUCIN: u = (u, u, u) = AB = (b - a, b - a, b - a)

u = b - a b = u + a = -4 + 2 = -2u2 = b2 a2 b2 = u2 + a2 = 8 + (-1) = 7 u = b - a b = u + a = 0 + 5 = 5 B(-2, 7, 5)

DEFINICIN: Se llama vector nulo o vector cero a 0 = (0, 0, 0). El vector nulo tiene magnitud nula y no tiene definida ni su direccin ni su sentido.

A(a, a, a) B(b, b, b)

S a = b a = b a = b

0 = AB = (0, 0, 0)

DEFINICIN:Se llama vector de posicin de un punto P(p1, p2, p3) a aquel que tiene su punto origen en el origen O del sistema de coordenadas en el espacio y su punto extremo en el punto P. Las componentes escalares del vector de posicin p estn dadas por :

p = (p1, p2, p3)

Estos vectores, a diferencia de los libres, ocupan una sola posicin y son nicos.

VECTOR DE POSICIN pZP(p1, p2, p3)

p = (p1, p2, p3)

Y O

X

De acuerdo a lo anterior, si se quiere determinar el vector de posicin del punto A(a, a, a), se considera que tiene su punto origen en el origen O del sistema de coordenadas en el espacio y su punto extremo en el punto A, de tal manera que:

a = 0A = (a - 0, a - 0, a - 0) Es decir: a = (a, a, a)

De manera semejante, si se quiere determinar el vector de posicin del punto B(b, b, b), se considera que tiene su punto origen en el origen O del sistema de coordenadas en el espacio y su punto extremo en el punto B, de tal manera que:

b = (b, b, b)

SEGMENTO DIRIGIDO ABZB(b1, b2, b3)

AB = v

A (a1, a2, a3) a = (a1, a2, a3)

b = (b1, b2, b3)

YO X

MAGNITUD O MDULO DE UN VECTORLa magnitud o mdulo de un vector es el tamao de cualquier segmento dirigido que lo representa, y se calcula como: |a| = a1 + a2 + a3

Donde a1, a2 y a3 son las componentes escalares del vector.

Esta ecuacin se demuestra a partir del Teorema de Pitgoras aplicado a un punto en el espacio y referido al sistema coordenado de la siguiente figura. ZAa a3 Y 90

0a1 90 a2 X

La magnitud del segmento |OP| = + a3 = a1 + a2

|OP| = |a|Sustituyendo en la ecuacin anterior : |a| = a1 + a2 + a3

DEFINICIN:Un vector es unitario si su mdulo es igual a la unidad. A continuacin se definen los siguientes vectores unitarios: i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1) A estos vectores se les suele denotar con k, i, j, para especificar que son unitarios pero son tan conocidos que se omitir su notacin y slo se emplear i, j, k.

|i| = (1) + (0) + (0) = 1 = 1 |j| = (0) + (1) + (0) = 1 |k| = (0) + (0) + (1) = 1I, j, k i

Z

1 k

1

0 j

Y

1

X

COROLARIOSea el vector no nulo a = (a1, a2, a3), un vector unitario con la misma direccin y sentido que a es ua = 1 (a1, a2, a3)= a |a| |a|

REPRESENTACIN TRINMICA DE UN VECTOR Los vectores se representan analticamente por medio de ternas ordenadas de nmeros reales, pero.

tambin puede utilizarse la representacin trinmica, que consiste en emplear los vectores unitarios i, j y, k, y las operaciones de adicin de vectores y multiplicacin por un escalar, de acuerdo con el siguiente teorema.

TEOREMA:Sea el vector a = (a1, a2, a3), entonces a = (a1i + a2j + a3k)

Desarrollando trminos: a = a1i + a2j + a3k = a1(1, 0, 0) + a2(0,1, 0) + a3(0, 0, 1) =

(a1, 0, 0) + (0, a2, 0) + (0, 0, a3) = (a1, a2, a3)

EJERCICIO: Sean los vectores u = (2, -3, 5), v = (1, 2, -3), obtener que las componentes del vector w, de tal manera que u + 3v + w = 0 RESOLUCIN: u = (2, -3, 5) = 2i 3j + 5k

v = (1, 2, -3) = i + 2j - 3k

u + 3v + w = 0 = 0i + 0j + 0k Despejando al vector w de la ecuacin anterior: w = 0 u 3v w = (0i + 0j + 0k) - (2i 3j + 5k) - 3(i + 2j - 3k)

Sustituyendo trminos con la misma direccin:w = -5i 3j + 4k = (-5, -3, 4)

DEFINICIN:Los ngulos directores de un vector son los ngulos que forma un segmento dirigido que representa a dicho vector con los ejes coordenados.

En la siguiente figura se muestran los ngulos directores , y del vector v, en donde es el ngulo que forma el segmento dirigido con el eje de las abscisas, el formado con el eje de las ordenadas y con el de las cotas. Estos ngulos varan entre 0 y 180.

Z

O

p Y

X

DEFINICIN: Los cosenos directores de un vector son los cosenos de sus ngulos directores. cos = a1; cos = a2 ; cos = a3 || || || Un coseno director puede ser positivo o negativo si el ngulo es agudo u obtuso, puede ser nulo si el ngulo es recto. Si un coseno director es igual a la unidad el ngulo director es cero, si el coseno director es igual a menos uno, el ngulo director es de 180.

TEOREMA: Sea el vector no nulo a = (a1, a2, a3). Entonces sus cosenos directores cumplen con: cos + cos + cos = 1

Ya quecos = a1 , cos = a2 , cos = a3 |a| |a| |a| Sustituyendo

a1+ a2+ a3 = |a| |a| |a|

a1 + a2 + a3 |a|

|a| = 1 ya que |a| 0 |a| Un vector unitario tiene por componente sus cosenos.

EJERCICIO: Determine los ngulos y cosenos directores del vector v = (0, 0, -2) Se observa que el vector tiene componente nicamente en el eje de las cotas, sin embargo se obtendrn sus caractersticas: |v| = 0 + 0 + (-2) = 2

cos = 0 = 0, cos = 0 = 0, cos = -2 = -1, 2 2 2 Entonces: = = ng cos 0 = 90, = ng cos (-1) = 180z 4 v

2y

x

EJERCICIO: Sea un vector u del que se conocen dos de sus cosenos directores: cos = 1 3

y

cos = 1 2

Calcule el otro coseno director.

RESOLUCIN:

De acuerdo al teorema anterior

cos + (1/3) + (1/2) = 1 Elevando al cuadrado esta Ec. Y desarrollando trminos: cos + 1/3 + = 1 = cos + 3 + 4 = 12 12 12

cos = 5/12; cos = 5/12 = 5/3

EJERCICIO: Determinar los ngulos directores de un vector que tenga sus nmeros directores positivos y que sus cosenos directores sean iguales.RESOLUCIN: condiciones del problema a1, a2, a3 POSITIVOS cos = cos = cos = ?, = ?, = ?

De acuerdo al TEOREMA anterior y a la definicin de coseno director cos = a1 = cos = a2 = cos = a3 |a| |a| |a|De la ecuacin anterior se concluye: a1 = a 2 = a 3 Sustituyendo lo anterior a cos, por ejemplo:

cos = a1 = ______a|a|

1_______________

_

a1 + a2 + a 3

cos = a1 = ______a1________________ |a| a1 + a 1 + a 1

cos = a1 = a1__ = a1 = _1_ |a| 3a1 (3)a1 3

= ng cos ( 1 ) = 54.7356 3 De manera semejante para y

= ng cos ( 1 ) = 54.7356 3

= ng cos ( 1 ) = 54.7356 3

DEFINICIN:Dos vectores = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3) son iguales, si y slo si: a 1 = b 1 ; a2 = b 2 ; a 3 = b 3 lo cual implica que tienen el mismo mdulo, direccin y sentido y pueden estar sobre la misma recta.

EJEMPLO: v = AB A(4, 0.3, 0) B(7, 0.3, 0) AB =(3, 0, 0) = v

v = AB

A(4, 0.6, 0) B(7, 0.6, 0)

AB = (3, 0, 0) = vv = v

OPERACIN CON VECTORESADICIN: La adicin de dos vectores es la operacin entre a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3) de tal manera que: a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)

PROPIEDADES DE LA ADICINTEOREMA: Sean los vectores a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) y c = (c1, c2, c3) entonces:

i) a + b es un vector cerradura.ii) a + (b + c) = (a + b) + c asociatividad.

iii) 0 = (0, 0, 0) | 0 + a = a existencia deelemento idntico.

iv) V a -a | -a + a = 0 existencia de elementoinverso. v) a + b = b + a conmutatividad.

OBSERVACIONESGRUPO ABELIANO:

Est formado por el conjunto de vectores y la operacin de adicin y las cinco propiedades enunciadas anteriormente. El elemento idntico aditivo es el vector nulo, cada vector tiene un inverso aditivo, el cual tiene las mismas componentes pero con signo contrario, excepto el vector nulo.La operacin se llama adicin y el resultado vector suma o simplemente la suma.

REPRESENTACIN GEOMTRICA DE LA ADICINUn vector puede representarse por una infinidad de segmentos dirigidos, de manera que puede emplearse el que ms convenga observando que conserve la magnitud, direccin y sentido del vector que representa. Dos vectores cualesquiera cuya representaciones sean dos segmentos dirigidos puedan alojarse en un plano, de hecho el plano se forma con estos segmentos, que se pueden colocar de manera que sus puntos origen coincidan en un

punto para efectuar su adicin, para lo cual se presentan dos maneras de hacerlo geomtricamente

REGLA DEL PARALELOGRAMOLos vectores a sumar se colocan de tal manera que sus puntos origen coincidan. Por el punto extremo de cada segmento se traza una recta paralela al otro vector de modo que al cortarse stas forman un paralelogramo ABCD, en dos de cuyos lados se encuentran los vectores u y v.

A continuacin se traza un segmento dirigido que tiene su origen en el punto comn a los orgenes de los dos vectores sumados u y vs como se muestra en la en la figura en donde A es el origen y C el punto extremo del segmento dirigido que representa a la suma de los vectores u + v que se le denomina vector suma resultante.En la siguiente figura se muestra grficamente.

C D

v Bu

A

REGLA DEL TRINGULOOtra forma de representacin consiste en colocar dos segmentos dirigidos, de tal manera que, el segundo sumando tenga su punto de origen que coincida con el punto extremo del primero.

El vector suma se representa con un segmento que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.

v

u

SUSTRACCIN Sean los vectores a y b, se llama sustraccin a la operacin: a b = a +(-b); donde b es el inverso aditivo b.

Esta definicin expresa que la sustraccin de dos vectores se realiza cuando el vector minuendo se le agrega el inverso aditivo del sustraendo, aunque desde el punto de vista prctico basta que s a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3), entonces

a b = [(a1 - b1), (a2 - b2), (a3 - b3)]

b

a-b

MULTIPLICACINSean el vector a = (a1, a2, a3) y el escalar R, se llama multiplicacin de un vector por un escalar o simplemente multiplicacin por un escalar a la operacin.

a = (a1, a2, a3)

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIN POR UN ESCALARTEOREMA: Sean los vectores a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3) y sean los escalares 1 y 2 R entonces:i) a es un vector ii) (1 + 2)a = 1a + 2a iii) 1(a + b) = 1a + 1b iv) 1(2a) = (12)a v) 1(a) = a

TEOREMA Sea el vector a = (a1, a2, a3) y el escalar , entonces: i) 0a = 0; ii) 0 = 0 TEOREMA Sea el vector a = (a1, a2, a3) y el escalar , entonces a: i) Tiene mdulo: || |a| ; ii) Si > 0 el vector a tiene la misma direccin y el mismo sentido que a iii) Si < 0, el vector a tiene la misma direccin pero sentido opuesto que a

EJERCICIO: Obtener un vector t que tenga la misma direccin que s = -2i + j + 2k, pero con un mdulo igual a nueve unidades y con sentido opuesto al de s. RESOLUCIN: s = (-2i + j + 2k) Para obtener la direccin de s se aplica la definicin de vector unitario de s

us = s = (-2, 1, 2) = (-2, 1, 2) |s| (-2) + (1) + (2) 3

us = (-2/3, 1/3, 2/3) De las condicionmes establecidas en el problema:

t = (-9)(-2/3, 1/3, 2/3)t = (6, -3, -6)

MULTIPLICACIN DE VECTORESExisten dos operaciones de multiplicacin de vectores, en la primera el resultado es un escalar por lo que se le denomina producto escalar de dos vectores. En la segunda operacin el resultado es un vector por lo que se le llama producto vectorial.

PRODUCTO ESCALARDEFINICIN: Sean los vectores a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3). Se llama producto escalar, producto interno o producto punto de a y b a: a b = a1b1 + a2b2 + a 3b 3 PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR TEOREMA: Sean los vectores a=(a1, a2, a3);

b=(b1, b2, b3); c = (c1, c2, c3) y el escalar R,

entonces:i) ii) iii) iv)

ab = ba a(b+c) = ab + ac ab = (ab) aa>0 si a0

COROLARIO: Sea el vector = (a1, a2, a3), entonces = || EJERCICIO: Sean los vectores s = (4, -2, 0), t = -3i + 5j - k. Calcule st DEMOSTRACIN: = a1a1 + a2a2 + a3a3 = a1 + a2 + a3 || = [a1 + a2 + a3]

|| = a1 + a2 + a3, entonces: = || l.c.q.d.

st = (4)(-3) + (-2)(5) + (0)(-1)

st = -12 -10 +0 = -22

EJERCICIO: Sea el vector n = (1, 2, 3), determinar el conjunto de vectores b que cumplan nb = 0 RESOLUCIN: Efectuando el producto interno de los vectores: nb = (1, 2, 3)(b1, b2, b3) = b1 + 2b2 + 3b3 = 0 Si b2 = x, b3 = y, Sustituyendo en la ecuacin anterior: b1 + 2x + 3y = 0 Despejando b1 = -2x -3y; Por tanto: b | b = {-2x 3y, x, y}

TEOREMA: Sean los vectores a =(a1, a2, a3); b = (b1, b2, b3); entonces ab =|a||b|cos, donde es el ngulo que forman los dos segmentos dirigidos, con sus orgenes concurrentes que representan a los vectores.DEMOSTRACIN Si ab, R y 0 supngase que los vectores estn representados geomtricamente por los segmentos dirigidos de la siguiente figura, y forman parte de este tringulo:

b a

c

Por la Ley de los Cosenos|c| = |a| + |b| - 2|a||b|cos

Despejando2|a||b|cos 2|a||b|cos = |a| + |b| - |c|

De la figura c = a bSustituyendo 2|a||b|cos = |a| + |b| - |a - b|

2|a||b|cos = aa + bb - aa + ab + ba - bbCancelando y tomando en cuenta la conmutatividad ab = |a||b|cos Si a = b, R, 0 ; ab = bb, pero bb = (bb) = (|b||b|)

Se requiere demostrar quebb = |b||b|cos = |||b||b|cos, Entonces la igualdad |b||b| = |||b||b|cos, Se cumple para: > 0 si = 0 y para < 0 si = 180

Lo que permite calcular el ngulo entre dos vectores, pero principalmente da elementos para determinar las condiciones de paralelismo y perpendicularidad de dos vectores.

NGULO ENTRE DOS VECTORESDe la demostracin anterior: ab = |a||b|cos

Despejandocos = ab |a||b| y es igual a: ab con a0 y b0 |a||b| Si ab > 0, es agudo; si ab < 0, es obtuso; si ab = 0, = 90. De esta condicin se establece la condicin de perpendicularidad de dos vectores. = ngcos

CONDICIN DE PERPENDICULARIDAD DE DOS VECTORES Dos vectores a y b, son perpendiculares si y slo si ab = 0. Se puede emplear el concepto de ortogonal como sinnimo de perpendicularidad. UNA CONDICIN DE PARALELISMO DE DOS VECTORES NO NULOS. Dos vectores no nulos a, b son paralelos si: a = b, R, 0

EJERCICIO: Calcular el ngulo que forman los vectores: u = - i j + 4k; v = (2, -3, -1)

RESOLUCIN:De la Ec. = ng cos uv |u||v|

Se tiene que:

uv = (-1, -1, 4)(2, -3, -1) uv = (-1)(2)+(-1)(-3)+(4)(-1)

uv = -2 + 3 4 = -3|u| = (-1) + (-1) + (4) = 18

|v| = (2) + (-3) + (-1) = 14 Sustituyendo en la Ec. de

= ng cos

-3 1814

= ng cos

-3 , 252

= 100.89 ()

EJERCICIO: Obtener la representacin analtica de un vector que sea perpendicular a u = (3, -1, 3); que sea paralelo al plano XY y que tenga mdulo igual a 10 unidades.

RESOLUCIN:Las componentes del vector v = (v1, v2, v3) que se busca, para ser perpendicular al vector u, debe cumplir con: uv = (3, -1, 3)(v1, v2, v3) = 0

Desarrollando: 3v1 - v2 + 3v3 = 0

Si el vector v es paralelo al plano XY, implica que la componente escalar en la direccin Z es igual a cero, esto es:v3 = 0

Por lo tanto,

La Ec. anterior queda: 3v1 - v2 + 3(0) = 0

Despejandov2 = 3v1 Por lo anteriormente expuesto:

v = (v1, v2, v3) = (v1, 3v1, 0)

Como el vector v debe tener un mdulo de diez unidades |v| = v1 + (3v1) + (0) = 10

|v| = v1 + 9v1 = 10v1 = 10 Elevando al cuadrado ambos miembros de la Ec.

10v1 = 100; v1 = 10

Sacando raz cuadrada a v1

v1 = 10Como v2 = 3v1 = 310 Se tiene que:

v = (v1, v2, v3) = (10, 310, 0 )

O bien: v = 10i + 310j + 0k

EJERCICIO: Obtener un vector que sea perpendicular al tringulo que tiene como vrtices a los puntos A(3, -2, -1); B(1, 2, -2); C(4, -5, -5) RESOLUCIN: El vector p, perpendicular al plano en el que se encuentra alojado el tringulo ABC, cumple con las siguientes condiciones de perpendicularidad, con respecto a sus lados AB y AC, por ejemplo:

ABp = 0 y ACp = 0

En donde: AB = [1 3, 2 (-2), (-2) - (-1)]

AB = (-2, 4, -1)

AC = [4 - 3, (-5) - (-2), (-5) - (-1)]AC = (1, -3, -4)

Efectuando el producto escalar ABp = 0 ABp = (-2, 4, -1)(p1, p2, p3)

ABp = -2p1 + 4p2 - p3 = 0 (1)Para el producto escalar ACp = 0 ACp = (1, -3, -4)(p1, p2, p3)

ACp = p1 - 3p2 - 4p3 = 0 (2)

Como el nmero de vectores p es infinito, se resuelve el sistema multiplicando por dos a la Ec. (2) y sumando a la Ec. (1) (-2p1 + 4p2 - p3 = 0) + (2p1 - 6p2 - 8p3 = 0) 0 - 2p2 - 9p3 = 0 (3) Para resolver la Ec. para un caso que proporcione valores cerrados; con p2 = 18, donde la Ec. (3) se despeja:

-(2)(18) - 9p3 = 0 p3 = -36 = -4 9 Sustituyendo p2 = 18 y p3 = -4 en la Ec. (1) y despejando p1; p1 = (4)(18) - (-4) = 72 + 4 = 76 = 38 2 2 2

p = (38, 18, -4)

COMPONENTE VECTORIAL DE UN VECTOR EN LA DIRECCIN DE OTRO Y COMPONENTE ESCALAR DE UN VECTOR EN LA DIRECCIN DE OTRO DEFINICIN: Se llama componente vectorial de un vector a en la direccin de un vector b a la proyeccin perpendicular de a sobre la direccin b. La notacin que se utilizar para abreviar esta definicin es Compb a, o bien, CompVect ab que tambin se le suele llamar proyeccin de a en la direccin de b con la siguiente notacin proyba

h = || b

*

*

cos = x = Comp.Escba h |a|

x = hcos Comp.Escba = |a|cos

Comp.Vecba = Comp.Escbaub

b

*

*

|CompEscb a| = |a|cos Se multiplica y se divide el segundo miembro por |b| |CompEscb a| = |b||a|cos = a b , |b| |b| con b0

Si cos > 0; es agudo: a se proyecta en el mismo sentido que b.

Si cos = 0; = 90; la proyeccin de a en la direccin b es un vector nulo. Si cos < 0; es obtuso: a se proyecta en sentido contrario a b. La expresin que permite obtener mdulo, direccin y sentido es: CompVectb a = a b b |b| |b|

EJERCICIO: Sean los vectores a = 3i - 6j + 9k y b = (-1, 1, -1) Determine: a) CompEsc.b a b) Comp.Esca b c) Comp Vectb a RESOLUCIN:a)

d) Comp Vecta b

Comp.Esc.ba = ab |b|

Comp.Esc.ba = (3, -6, 9)(-1, 1, -1) (-1) + (1) + (-1)

Comp.Esc.ba = -3 + (-6) + (9)(-1) = -18 3 3

c) Comp.Vectb a = ab b = Comp.Esc.ba ub= |b| |b|

= -18 (-1, 1, -1) = (6, -6, 6) 3 3

b) Comp.Esca b = ba |a| = -18 = -18 = -18 = -6 (3) + (-6) + (9) 126 314 14

d) Comp Vecta b = ba a = Comp.Esc.ab ua= |a| |a|

=

-18 (3, -6, 9) = -2 (3, -6, 9) = -3 , 6 , -9 314 314 14 7 7 7

z54 3 2

EJERCICIO: Sean los vectores u y v representados en la sig. figura, determine la CompVectu vA B v 2

u

45B 1 A

y1 2 3 4 5 6 7

RESOLUCIN: Com.Vect.uv = vu u |u| |u|

u = AB = (0, 2, 2) (0, 2, 4) = (0, 0, -2)

v = AB = (0, 6, 4) - (0, 4, 2) = (0, 2, 2)

Sustituyendo en la Ec. anterior:

Com.Vect.uv = (0, 2, 2)(0, 0, -2) (0, 0, -2) o + o + (-2) o + o + (-2)

= (-4)(0, 0, -2) 4

= (0, 0, 2)

PRODUCTO VECTORIALDEFINICIN: Sean los vectores a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3), se llama producto vectorial o producto cruz: axb = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k Una forma sencilla de efectuar el producto cruz, es con el pseudodeterminante i j k axb = a1 a2 a3 b1 b2 b 3

PROPIEDADES ALGEBRAICAS DEL PRODUCTO VECTORIALTEOREMA: Sean los vectores a, b y c y el escalar R, entonces:i)ii)

axb=-(bxa) anticonmutativa.ax(b+c)=axb+axc distributividad por izquierda.

iii)iv)

(a+b)xc=axc+bxc distributividad por derecha.(a)xb=ax(b)=(axb)

v)

ax0=0xa=0

PROPIEDADES GEOMTRICAS DEL PRODUCTO VECTORIALTEOREMA Sean los vectores no nulos a y b, entonces: i) |axb| = |a||b| sen, donde es el ngulo que forman a y b. ii) axb es un vector ortogonal tanto a a como a b iii) El sentido de axb es el que se sigue con la regla de la mano derecha, es decir, si el dedo medio de la mano derecha apunta al prefactor, el pulgar al posfactor, entonces el dedo ndice apuntar al producto. iv) axb=0 a y b son paralelos.

OBSERVACIONES-La multiplicacin de dos vectores en forma vectorial es cerrada. -Esta operacin no es conmutativa.

-El producto vectorial de dos vectores da como resultado un vector perpendicular al plano formado por los dos vectores. -El producto vectorial de dos vectores no nulos cuyo resultado sea el vector nulo implica ser una condicin de paralelismo entre estos dos vectores.

APLICACIN DEL PRODUCTO VECTORIAL EN EL CLCULO DEL REA DE UN PARALELOGRAMOTEOREMA:Sea el paralelogramo de la siguiente figura, su rea est dada por A = |axb| , donde a y b son vectores que se alojan en dos de sus lados no paralelos del paralelogramo.

D

C

h b a AB

De geometra bsica rea = a h De la figura se observa que h = b sen, sustituyendo rea = a b sen rea = a x b

EJERCICIO: Sean los vectores u = 4i - 2j + 5k y v = (-1, -2, 7), determinar: a) uxv, b) vxuRESOLUCIN:

a) Ejecutando el pseudodeterminante de uxvi j k uxv = 4 -2 5 -1 -2 7

= i [(-2)(7) (5)(-2)] -j [(4)(7) (5)(-1)] k [(4)(-2) (-2)(-1)] En forma trinmica: uxv = -4i 33j -10k

En funcin de componentes escalares:uxv = (-4, -33, -10)

b) Ejecutando el pseudodeterminante de vxu i j k vxu = -1 -2 7 4 -2 5

= i [(-2)(5) (7)(-2)] -j [(-1)(5) (7)(4)] k [(-1)(-2) (-2)(4)]

En forma trinmica: vxu = 4i + 33j +10k

En funcin de componentes escalares:

vxu = (4, 33, 10)

EJERCICIO: Determinar un vector que sea perpendicular al plano que contiene al tringulo de vrtices: A(3, -2, -1); B(1, 2, -2) y C(4, -5, -5)RESOLUCIN: Aplicando el producto vectorial a los vectores alojados en dos de sus lados: = AB = (-2, 4, -1) b = AC = (1, -3, -4)

El vector p perpendicular al tringulo est dado por: i j k p = axb = -2 4 -1 1 -3 -4

= i[(-16) - (3)] j [(8) (-1)] k [(6) - (4)]

En su forma trinomica: p = -19i - 9j + 2k

En su componente vectorial:p (-19, -9, 2) p = (38, 18, -4)

p = -2p = -2

EJERCICIO: Calcular el rea del pentgono irregular que tiene por vrtices los puntos: A(1, 4, 1); B(0, 4, 3), C(2, 4, 7), D(4, 4, 5), E(3, 4, 1)Z

GRAFICANDO

y=4

Y 0 1 2 3 4

X

y

7 6 5 4B

C

A

D

A

32 1

A A AE

0

1

2

3

4

5

6

7

x

A = |AB x AC| A = |AC x AD|

A = |AD x AE|

Apentgono = A + A + AApentgono = [|AB x AC| + |AC x AD| + |AD xAE|] (1)

AB = (-1, 0, 2); AC = (1, 0, 6)

AB x AC =

i j k -1 0 2 1 0 6

= i(0) - j[(-6) - (-2)] + k (0) = (0, 8, 0)

|AB x AC| = 8

AD = (3, 0, 4) i j k 1 0 6 3 0 4

AC x AD =

= 0i + 14j + 0k |AC x AD| = 14

AE = (2, 0, 0) i j k 3 0 4 2 0 0

AD x AE =

= 0i + 8j + 0k |AD x AE| = 8

Sustituyendo en la Ec. Apentgono = [8 + 14 + 8]

Apentgono = 15 u

PRODUCTO MIXTO O TRIPLE PRODUCTO ESCALARDEFINICIN:Sean los vectores a, b y c, se llama producto mixto, o producto triple escalar a: [a b c] = axbc = abxc

OBSERVACIONES-El resultado de la operacin es un escalar.-No se incluyen parntesis para especificar prioridades al efectuar la operacin, ya que es obvio que se debe iniciar con el producto vectorial, pues el producto escalar, si se realiza primero, no podra efectuarse despus del producto vectorial. En la notacin [a b c], no se escriben los operadores, por la tesis del teorema siguiente.

TEOREMA: Sean los vectores a, b y c, entonces axbc=abxc

DEMOSTRACINTEOREMA: Sean los vectores a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) y c = (c1, c2, c3), entonces: a1 a2 a3 [a b c] = b1 b2 b3 c 1 c2 c3

[a b c] = abxc = a[(b2c3 b3c2), (b1c3 b3c1), (b1c2 b2c1)] = a1(b2c3 b3c2) a2(b1c3 b3c1) +

a3(b1c2 b2c1) =a1 a2 a3 a1 b2 b3 - a2 b1 b3 + a3 b1 b2 = b 1 b2 b3 c2 c3 c1 c3 c1 c2 c1 c2 c3

ALGUNAS PROPIEDADES ALGEBRAICAS DEL PRODUCTO MIXTO

i) [abc] = -[acb] ii) [abc] = [bca] = [cab]

iii) [abc] = 0 si alguno de los vectores es nulo.

Los incisos i) e ii) se fundamentan en lo que se llama cambio cclico de los vectores, como se muestra en la figura.

a

(+) (-) c

b

En los casos de la condicin iii) se deriva que en un determinante con alguna lnea en ceros, ste vale cero.

ALGUNAS PROPIEDADES GEOMTRICAS DEL PRODUCTO MIXTOTEOREMA Sean los vectores no nulos a, b y c, entonces: i) [abc] = 0 si slo si los vectores a, b y c se alojan en un plano. ii)El valor absoluto de [abc] es igual al volumen del paraleloppedo que tiene alojados en tres lados de uno de sus vrtices a los vectores a, b y c.

i)

Si axb es a c, y c est en el plano de a y b, el producto interno = 0 (cos 90 = 0) axb es el rea del paralelogramo y el valor de |c| cos es h |[abc]| = volumen

ii)

b

c a

EJERCICIO: Calcule [uvw] si u = (-2, 3, 1); v = (j - 4k), y w = (3, 5, -6)RESOLUCIN:

De la definicin del Producto Mixto[uvw] = -2 3 1 0 1 -4 3 5 -6

= (-2) 1 -4 -(3) 5 -6

0 -4 +(1) 0 1 3 -6 3 5

[uvw] = (-2)[(-6) - (-20)] (3)[(0) - (-12)] + (1)[(0) - (3)] [uvw] = - 28 - 36 3 = -67

EJERCICIO: Demostrar que si el rea de un tringulo rectngulo es igual a un cuarto del cuadrado de su hipotenusa, entonces el tringulo es issceles.RESOLUCIN:

A = hh

|b|

|a|

AT = (a x b)0

AT = |a||b| sen

AT = |a||b|0

h = |a| + |b| - (2)|a||b| cos h = |a| + |b|

AT = |a||b| = h = (|a| + |b|)

2 |a||b| = (|a| + |b|) |a| - 2 |a||b| + |b| = 0

(|a| - |b|) = 0 = |a| - |b| = 0

|a| = |b| Por lo tanto, el tringulo es issceles l.c.q.d.