metodos del algebra vectorial

Universidad Pedagógica Experimental Libertador.Instituto Pedagógico de Caracas.

Departamento de Matemáticas y Física.Cátedra de Física Teórica.

Métodos geométricos y algebraicosVectores y tensores

Sttiwuer Díaz-Solórzano

Departamento de Matemáticas y Física,Instituto Pedagógico de Caracas, UPEL, Av. Páez, Caracas 1021, Venezuela

e-mail: [email protected], [email protected]

Material publicado el 01 de diciembre de 2010.

Parte II.

Índice

1. Introducción 2

2. Métodos geométricos 2

2.1. Representación de un vector medi-ante una flecha . . . . . . . . . . . 2

2.2. Transporte paralelo . . . . . . . . . 42.3. Regla del paralelogramo: Adición

entre vectores . . . . . . . . . . . . 52.4. Acción de un escalar sobre un vector 82.5. Producto escalar entre vectores . . 92.6. Producto vectorial entre vectores . 142.7. Descomposición paralela y perpen-

dicular de un vector . . . . . . . . . 19

2.8. Ecuaciones vectoriales . . . . . . . 20

3. Método algebraico 22

3.1. Noción de base y componentes deun vector . . . . . . . . . . . . . . 233.1.1. Celda elemental inducida

por una base . . . . . . . . 323.1.2. Cambio de base y de com-

ponentes . . . . . . . . . . . 343.2. Álgebra entre vectores . . . . . . . 36

3.2.1. Producto escalar en una base 403.2.2. Producto vectorial en un base 423.2.3. Diádica y proyectores en

una base . . . . . . . . . . . 46

4. Problemas 49

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investigación, u otra finalidad académica, tanto por profesores e investigadores como por bibliotecas públicas

no comerciales. Se permite también a los interesados citar libremente cualquier parte de este material siempre

y cuando se señale y otorgue explícitamente el crédito acostumbrados en las referencias. Se prohíbe la

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c©2010 Instituto Pedagógico de Caracas, Cátedra de Física Teórica.

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Métodos geométrico y algebraico:Vectores y tensores Parte II

1. Introducción

Los vectores son objetos de gran utilidad a la hora de estipular las escalas de medición asociadaa los conceptos científicos en Física, además, gran parte de las leyes de la Física son formuladas enel lenguaje del álgebra vectorial; lo cual hace que dichas magnitudes o leyes sea independientes delsistema de coordenada que se elija.

2. Métodos geométricos

2.1. Representación de un vector mediante una flecha

De acuerdo a la geometría Euclídea los vectores, salvo el vector nulo, pueden representarse pormedio de segmentos de rectas orientados, es decir, los vectores pueden ser representados geométrica-mente mediante flechas. Las cuales tienen asociadas dos características básicas: Norma y orientación,ésta última se clasifica en dirección y sentido.

✎ Norma: Corresponde a la longitud del segmento de recta, es decir, en la representación geo-métrica, la norma corresponde a la longitud de la flecha asociada al vector. Dicha cantidadindicará la intensidad de la magnitud física asociada al vector.

✎ Dirección: Hace referencia a la recta que contiene al segmento de línea que se le asocia a larepresentación geométrica del vector, es decir, corresponde a la recta que contiene a la flecha.

✎ Sentido: Se indica mediante la punta de la flecha asociada a la representación geométrica delvector. Al fijar la dirección de un vector, es decir, al fijar una recta ésta presenta dos sentidosque pueden distinguirse entre el positivo y negativo. El sentido sobre la recta se estipula demanera arbitraria.

Los vectores son denotados mediante letras o símbolos con una flecha sobre ellos, por ejemplo, elsímbolo ~A se lee como «vector A» o «A vector». El mismo símbolo sin flecha o entre barras verti-cales denotará la norma del vector, por consiguiente, los símbolos A o | ~A|, que se lee como «normadel vector A», serán empleados para identificar la normal del vector. No debe confundirse el valorabsoluto de un número real con la norma de un vector. Por ejemplo, las cantidades |A| y | ~A| tienensignificados distintos, la primera corresponde al valor absoluto del número A y la segunda cantidadindicará la norma del vector ~A. Otras notaciones utilizadas para la norma de un vector consiste encolocar dobles barras verticales en lugar de una, p. ej. || ~A||, esta notación es sugerida cuando losvectores no son denotados con una flecha encima de la letra, así |A| es el valor absoluto del númeroA y ||A|| indicará la norma de un vector.

Prof. Sttiwuer D. Página 2 de 53


Recta que

contiene al

vector

−→AB

Cola del

vector

Punta del

vector

A

B|−→AB|

Figura 2.1: La flecha que se indicada en lafigura adjunta es una representación para

el vector−→AB. Adicionalmente, se indican

sus elementos distintivos como punta, colay la norma del vector así como su direc-ción. Esta última se indica por la recta quecontiene a la flecha (dirección) y la puntaestablece el sentido del vector.

En la Fig. 2.1 se muestra la orientación y norma para la representación geométrica del vector−→AB, la cual consiste en una flecha dirigida desde el punto A hasta el punto B; la recta que pasa pordichos puntos determina la dirección del vector, la punta de éste indica el sentido del vector sobre larecta. La longitud del segmento entre los puntos A y B determina la norma del referido vector. Seha hecho una salvedad con el vector nulo, denotado como ~0, el cual no posee orientación definida ysu norma es igual a cero. Una interpretación geométrica para el vector nulo puede ser consideradacuando se reduce la longitud del segmento AB de la Fig. 2.1 a cero, en dicha circunstancia la figurageométrica que se genera es un punto. Así, el vector nulo es representado geométricamente como unpunto, el cual se encuentra ubicado en la cola de cada vector. Es importante resaltar que el vectornulo es único, no obstante, el espacio físico posee infinitos puntos lo cual hace pensar que deben existirinfinitos vectores nulos, sin embargo, esto no es así. En cada punto del espacio físico se pueden dibujarinfinitas flechas y éstas representan a un vector de un espacio vectorial, el vector nulo es representadomediante al punto común donde convergen la cola de cada flecha. Tal construcción permite establecerun espacio vectorial en cada punto del espacio físico, y en cada uno de estos espacios vectoriales existeun único vector nulo, así cada punto del espacio físico puede ser empleado como una representacióngeométrica del vector nulo de un espacio vectorial. En tal sentido, dos flechas cuyas colas no coincidanrepresentan a vectores que pertenecen a espacios vectoriales distintos.

−→AB

−−→AB

AB

AB

A

B

~D

~B

~C

~ALos vectores ~A, ~B y ~C son

colineales a diferencia del

vector ~D.

P

Figura 2.2: A la izquierda se muestran dos flechas que representan a un vector y su opuesto. Ala derecha se muestran cuatro vectores, donde tres primeros son colineales y el cuarto no.

La representación geométrica del vector−→AB corresponde a una flecha orientada desde el punto A

hasta B, su vector opuesto, denotado como −−→AB, es representado por una flecha de igual tamaño y

dirección pero con sentido opuesto. En la Fig. 2.2 (izquierda) se muestra la representación geométricade este vector junto a su opuesto, donde se identifica que ambas flechas tienen igual tamaño, direcciónpero puntas opuesta, además presenta la misma cola.



Todos los vectores que presentan la misma dirección se denominan colineales, por ejemplo, losvectores ~A, ~B y ~C representados en la Fig. 2.2 (derecha) son colineales, a diferencia del vector ~D.Es posible comparar las orientaciones de un conjunto de vectores colineales, tal comparación se hacesegún el sentido que presentan estos vectores, para ello se hace uso de la siguiente prescripción: Dosvectores colineales serán paralelos si presentan el mismo sentido, tal como se muestra en la Fig. 2.2(derecha) para el caso de los vectores ~A y ~B. En cambio, dos vectores colineales son antiparaleloscuando presentan sentidos opuestos, tal como se muestra en la Fig. 2.2 (derecha) para el caso delos vectores ~A o ~C. Se utiliza la siguiente simbología ‖ y 6‖, para denotar las palabras paralelo yantiparalelo, respectivamente. Para la Fig. 2.2 (derecha) se tiene que ~A ‖ ~B y ~A 6‖ ~C.

Es de resaltar que la representación de un vector mediante una flecha es un requisito necesario másno suficiente, ya que estos vectores deben satisfacer la regla del paralelogramo, la cual discutiremosen la sección 2.3. Un ejemplo que ilustra el hecho de que no todo segmento de recta orientado es unvector es dado por la corriente eléctrica; la cual puede representarse como una flecha pero no satisfacela regla del paralelogramo. En tal sentido, la corriente eléctrica no es un vector, aun cuando puede serrepresentada mediante una flecha. Estrictamente hablando, un vector es un elemento perteneciente aun espacio vectorial, el cual no tiene porque tener asociada una norma u orientación; de hecho, estosatributos se deben a que el espacio vectorial posee una estructura adicional llamada métrica.

2.2. Transporte paralelo

Se ha mencionado que los vectores son elementos de un espacio vectorial, cuyas representacionesmediante segmentos de rectas orientadas tienen la propiedad de que todas las colas de las flechascoinciden en un mismo punto. Cuando se dibujan dos flechas cuyas colas no coinciden en un puntocomún entonces cada vector corresponde a un elemento de dos espacios vectoriales distintos. Por talrazón, no se pueden realizar operaciones algebraicas con ambos vectores o compararlos. Por ejemplo,la flecha que va desde un punto A hasta otro punto B, representada por el vector

−→AB, no se puede

identificar, en general, como un vector opuesto al vector−→BA, cuya representación corresponde a una

flecha que va desde el punto B hasta A; la razón es que ambos vectores no se pueden compararpor pertenecer a espacios vectoriales distintos, a menos que se dote al espacio vectorial de unaestructura adicional llamada transporte paralelo. Así, tal dificultad es solventada cuando se trasladao se transporta paralelamente uno de los vectores de forma tal que las colas de las flechas se encuentrenen un mismo punto. El transporte paralelo de un vector es una operación que permite trasladar acualquier vector de un punto del espacio físico a otro; técnicamente hablando, el transporte paraleloes una operación particular que transforma a un vector de un espacio vectorial a otro vector de otroespacio vectorial. La traslación de un vector o su transporte paralelo se realizar a lo largo de unarecta o curva, sin cambiar el ángulo entre el vector y la recta o curva, es decir, el transporte paralelose realiza de forma tal que se preserve la orientación del vector respecto a la recta o curva utilizadapara realizar el transporte. En la Fig. 2.3a (Fig. 2.3b) se observa la representación geométrica delos vectores ~A y ~A′, cuyas colas se encuentran en los puntos p1 y p2, respectivamente. El vector~A′ corresponde al transporte paralelo del vector ~A a lo largo de la recta (curva) ℓ, además se puedeobservar en dicha figura que el transporte de la cuña a lo largo de ℓ garantiza que se preserve el ánguloentre el vector transportado y la recta (curva) empleada para el transporte. La recta o curva empleadapara el transporte de vectores se conoce con el nombre de geodésica afín, en geometría Euclídea lasgeodésicas afín corresponden a líneas rectas en el espacio físico a diferencia de otras geometrías, como



la de Riemann o Cartan cuyas líneas son curvas. En tal sentido, todos los transporte paralelos quese realizan en esta monografía se harán sobre rectas a menos que se establezca lo contrario.

Fig. (a)

ℓ

~A

p1

~A′

p2

Fig. (b)

ℓ

~A

p1

~A′

p2

Fig. (c)

~A

~A1

~A2

~A3

~B

~C

~DFigura 2.3: Se muestra la representación geométrica para el transporte paralelo de un ~A a loslargo de: (a) Una reta, (b) una curva y (c) una circunferencia. En este último caso, se distingue

si el vector transportado paralelamente es colineal o no a los vectores ~B, ~C y ~D.

Es de mencionar que todo vector es paralelo a si mismo, por tal razón los vectores mostrados en lasFigs. 2.3a y 2.3b son paralelos. Para identificar si un vector es paralelo o antiparalelo respecto a otro serequiere que ambos vectores pertenezcan al mismo espacio vectorial y además se requiere que ambosvectores sean colineales. Para comparar dos vectores que no pertenecen al mismo espacio vectorialse debe, en primer lugar, transportar paralelamente uno de los vectores al espacio vectorial del otrovector; en otras palabras, se traslada una de las flechas de forma tal que ambas colas coincidan.En segundo lugar, se verifica que ambos vectores sean colineales. Por ejemplo, en la Fig. 2.3c semuestran las representaciones geométricas de los vectores ~A, ~B, ~C y ~D, ubicados en los puntos p, p1,p2 y p3, respectivamente. Dichos vectores se encuentran definidos en espacios vectoriales distintos,por tal razón no puede establecerse comparaciones entre ellos. En la misma figura, se muestran lasrepresentaciones geométricas de los vectores ~A1, ~A2, ~A3 correspondientes al transporte paralelo delvector ~A a lo largo de la circunferencia hasta los puntos p1, p2 y p3, respectivamente. De esta maneraes posible comparar dos vectores ubicados en el mismo espacio vectorial, y a partir de la Fig. 2.3c seestablece que ~A1 ‖ ~B y ~A3 6‖ ~D, en cambio, la traslación paralela del vector ~A al punto p2 conduce aque ~A2 no es colineal a ~C.

2.3. Regla del paralelogramo: Adición entre vectores

La regla del paralelogramo consiste en definir una operación entre dos vectores, denotada con elsímbolo +, cuyo resultado es un vector del mismo espacio vectorial, llamado suma. Esta operacióndebe estipularse de tal forma que cumpla con los siguientes axiomas:

✍ Asociativa: Dado tres vectores cualesquiera denotados como ~A, ~B y ~C, la adición entre ellos esasociativa cuando se cumple la igualdad

(~A+ ~B

)+ ~C = ~A+

(~B + ~C

). (1)

Toda operación que verifique la asociatividad, como en (1), puede escribirse prescindiendo deluso de los paréntesis, entendiéndose con ello que

~A+ ~B + ~C =(~A+ ~B

)+ ~C = ~A+

(~B + ~C

).



✍ Conmutativa: Dado dos vectores cualesquiera denotados como ~A y ~B, la adición de éstos vec-tores es conmutativa cuando se cumple la igualdad

~A+ ~B = ~B + ~A . (2)

También, se alude a esta operación diciendo que el álgebra generada por la adición es abeliana.

~A

~B

~A+ ~B

Paralelogramo

P

~A ′

~BP

~B ′

~A

P~A+ ~B

Figura 2.4: Visión geométrica para la regla del paralelogramo. A la izquierda se superpone unparalelogramo sobre tres vectores, quedando cada vector paralelo a los lados y a la diagonal delparalelogramo. A la derecha se operacionaliza esta regla mediante transporte paralelo.

Geométricamente la regla del paralelogramo es concebida, como su nombre lo dice, a partir dela construcción de un paralelogramo cuyos lados sean paralelos a los vectores considerados, siendola diagonal del paralelogramo un segmento de recta que coincide en tamaño y dirección con larepresentación geométrica del vector suma. En la Fig.2.4 (izquierda) se muestra la representacióngeométrica de los vectores ~A, ~B y del vector suma ~A + ~B, las cuales coinciden con los lados ydiagonal de un paralelogramo superpuesto a los tres vectores. La forma operacional de obtener alvector suma es considerar el siguiente procedimiento: (I) Realiza una traslación paralela de un vectorsobre el otro, de forma tal que la cola de una flecha coincida con la punta de la otra. (II) Se traza unaun segmento de recta orientado desde la cola de la flecha no trasladada hasta la punta de la flechatrasladada, de forma tal que se forme un triángulo. En la Fig.2.4 (derecha) se ha considerado esteprocedimiento para obtener al vector suma, a partir de dos secuencias distintas. En primer lugar, setraslada la flecha que representa al vector ~A hasta la punta de la representación geométrica del vector~B. En segundo lugar, se traza una flecha, que representa al vector suma, desde la cola de la flechano trasladada hasta la punta de la flecha trasladada. Al realizar esta operaciones en orden inverso segeneran el mismo vector suma a partir de otro triángulo. Superponiendo ambos triángulos se generaun paralelogramo.



~A

~B

~C

Se traslada el

vector ~B sobre el

vector ~A hasta la

punta de éste.

~A

~B ′

~C

~A + ~B

Se traslada el

vector ~C sobre el

vector ~A + ~B hasta

la punta de éste.~A + ~B

~C ′

( ~A + ~B) + ~C

Se traslada el

vector ~B sobre el

vector ~C hasta la

punta de éste.

~A

~B ′~B + ~C

~C

Se traslada el

vector ~A sobre el

vector ~B + ~C hasta

la punta de éste.

~A + ( ~B + ~C)

~A ′

~B + ~C

P

Figura 2.5: Se verifica geométricamente la propiedad asociativa entre vectores. Arriba se realizala suma ( ~A+ ~B)+ ~C y abajo ~A+( ~B+ ~C), ambas operaciones conducen al mismo vector, denotado

como ~A+ ~B + ~C. Los vectores ~B ′ y ~C ′ corresponde a traslaciones de ~B y ~C, respectivamente.

La regla del paralelogramo junto al transporte paralelo, realizado sobre la dirección de los vectores,verifican la propiedades asociativa y conmutativa. De hecho, en la Fig. 2.4 (derecha) se demostró lapropiedad conmutativa (2), es decir, la adición de dos vectores es independiente del orden en que seefectúe. Por otro lado, en la Fig. 2.5 se muestran las representaciones geométrica de tres vectoresasí como los vectores suma, demostrándose la propiedad asociativa (1). Para ello se consideran tresvectores, denotados como ~A, ~B y ~C, cuya adición se ha efectuado de dos manera: ( ~A + ~B) + ~C

y ~A + ( ~B + ~C), indicando con el paréntesis la suma que ha de realizarse en primer lugar. Ambasoperaciones conducen al mismo vector. Para el primer (segundo) caso, se traslada el vector ~B hastala punta del vector ~A (~C) sobre la dirección de éste; luego se suman ambos vectores para obtener~A+ ~B ( ~B + ~C); seguidamente, se traslada el vector ~C ( ~A) hasta la punta del vector ~A+ ~B ( ~B + ~C)sobre la recta de éste y finalmente se suma los vectores ( ~A + ~B) + ~C [ ~A + ( ~B + ~C)]. Tal como seilustra en la Fig. 2.5 arriba (abajo). En ambos casos, se obtiene el mismo vector.

Cuando se adiciona un vector ~A con su opuesto − ~A, se obtiene como resultado de la operaciónal vector nulo, esto es

~A+ (− ~A) = − ~A+ ~A = ~0 . (3)

También se puede realizar la adición de un vector con el opuesto de otro vector, a esta operaciónse le denomina sustracción entre vectores. La sustracción de un vector ~A con ~B, denotándose como~A− ~B, significa que se debe obtener el vector suma del primer vector con el opuesto del segundo. Elresultado de esta operación genera un nuevo vector llamado resta de ~A con ~B, esto es

~A− ~Bdef

= ~A+ (− ~B) = − ~B + ~A ≡ −→BA . (4)

De la relación (4) se observa que la sustracción entre vectores no es una operación adicional, por elcontrario, se construye a partir de la adición de un vector con el opuesto del otro. La representacióngeométrica del vector resta ~A− ~B se muestra en la Fig. 2.6 (centro). El vector

−→BA es representado

geométricamente por una flecha dirigida desde el punto B hasta el punto A, tal como se muestra



en la Fig. 2.6 (derecha). La traslación paralela de este vector hasta el punto P , sobre la direccióndel vector ~B, denotada como

−→BA ′, coincide con el vector ~A− ~B (ver Fig. 2.6 derecha). Este hecho,

permite establecer la equivalencia presentada en (4); donde los puntos A y B son caracterizados porla punta de las flechas que representan a los vectores ~A y ~B, respectivamente.

~B

~ASuma del vector

~A con el

opuesto de ~B

~B− ~B

~A~A − ~BTraslación

paralela del

vector ~A − ~Bhasta la punta

de ~B

~B

~A

B

A

−−→BA

−−→BA ′ = ~A − ~B

Figura 2.6: Representación geométrica del vector ~A− ~B. La flecha dirigida desde el punto B hastael punto A corresponde a la traslación paralela de este vector.

2.4. Acción de un escalar sobre un vector

En un espacio vectorial existen escalares constituidos por números reales (R); éstos pueden pen-sarse como operadores que actúan sobre vectores dando como resultado de la operación un nuevovector colineal al vector sobre el cual actúa. La acción de un escalar λ ∈ R sobre el vector ~A esdenotado como λ( ~A) o simplemente λ ~A; de manera que éste vector es colineal al vector ~A. El sentidodel vector λ ~A queda establecido por el signo de escalar λ: Si λ es positivo (negativo) entonces λ ~A ‖ ~A

(λ ~A 6‖ ~A). Esta operación suele llamarse multiplicación de un escalar por un vector. La representacióngeométrica del vector λ ~A corresponde a una flecha colineal a la representación geométrica del vec-tor ~A, cuya norma corresponde al producto del valor absoluto del número real λ por la norma delreferido vector, es decir, |λ ~A| = |λ|| ~A|. En la Fig. 2.7 se muestran las representaciones geométricade los vectores ~A y λ ~A, observándose situaciones en que estos vectores son paralelo o antiparalelos.Además se observa que el tamaño de la flecha asociada al vector λ ~A es mayor (menor) a la normadel vector ~A cuando |λ| es mayor (menor) a la unidad.

~A

λ ~A con λ > 0

λ ~A con λ < 0

~A

λ ~A con |λ| < 1

λ ~A con |λ| > 1

Figura 2.7: Arriba se muestra la representacióngeométrica del vector λ ~A cuando λ es positivoy negativo, además |λ| < 1. Abajo se muestrala misma representación cuando |λ| es mayor ymenor a la unidad, además λ es positivo.

Cuando un vector, en su representación geométrica, tiene norma igual a la unidad se le denominavector unitario o versor; éstos se distinguen de los vectores colocando encima de la letra el símbolo ∧en lugar de una flecha, por ejemplo, A se lee como «versor A» o «vector unitario A». Estos vectoresson empleados para establecer la orientación de un vector. Para determinar el vector unitario Aparalelo al vector ~A basta considerar considerar que el versor es colineal a dicho vector, esto esAp = λ ~A donde λ > 0. Para determinar el escalar λ basta imponer que la norma de este versor es



igual a la unidad, esto es

|Ap| = |λ ~A| =⇒ 1 = λ| ~A| =⇒ λ =1

| ~A|∴ Ap =

1

| ~A|~A . (5)

En otras palabras, el versor Ap paralelo al vector ~A se obtiene del cociente entre este vector consu norma. Por el contrario, el versor Aa antiparalelo al vector ~A satisface la relación Aa = −Ap.En la Fig. 2.8 se muestra la representación geométrica de un versor paralelo y antiparalelo a larepresentación geométrica del vector ~A.

~A

Ap =1

| ~A|~A− 1

| ~A|~A = Aa

Dirección

del vector ~A

Versor paralelo al vector ~AVersor antiparalelo al vector ~A

Figura 2.8: Representación geométrica del versor paralelo y antiparalelo a un vector dado.

La operación de multiplicar un escalar sobre vector debe satisfacer las siguientes propiedades,

✍ Distributiva respecto a la suma de vectores: Sean ~A y ~B dos vectores cuales quiera y λ un

escalar arbitrario. La multiplicación del escalar λ sobre el vector suma ~A+ ~B satisface

λ( ~A+ ~B) = λ ~A+ λ~B . (6)

✍ Distributiva respecto a la suma de escalares: Sean λ1 y λ2 dos escalares arbitrarios y ~A un

vector cualquiera. La multiplicación de λ1 + λ2 con el vector ~A satisface la relación

(λ1 + λ2) ~A = λ1~A+ λ2

~A . (7)

✍ Asociativa respecto al producto de escalares: Sean λ1 y λ2 dos escalares arbitrarios y ~A un

vector cualquiera. La multiplicación de λ1λ2 con el vector ~A satisface la relación

(λ1λ2) ~A = λ1(λ2~A) . (8)

2.5. Producto escalar entre vectores

El producto escalar es una operación adicional que se dota al espacio vectorial que permite atribuirpropiedades métricas a dicho espacio. Una de esta propiedades es la medida de ángulo entre vectores,con ésta se logra determinar la ortogonalidad entre vectores. Otra propiedad, atribuida al productoescalar, es la proyección de vectores sobre una dirección dada, así como también la norma de vec-tores. En definitiva, el método más eficaz para establecer propiedades métricas al espacio vectorial esdotando a éste de un producto escalar, con el cual se logre medir ángulos, longitud, areas, volumen,etc.

Un espacio vectorial es dotado de un producto escalar si a todo par de vectores ~A, ~B se poneen correspondencia con un número real, llamado producto escalar y denotado como ~A · ~B, el cualsatisface los siguientes axioma:



✍ Comutatividad o simetría: Dado dos vectores cualesquiera, denotados como ~A y ~B, el productoescalar entre ellos es conmutativo o abeliano siempre que verifique la relación de simetría

~A · ~B = ~B · ~A . (9)

En otras palabras, el producto escalar entre dos vectores es independiente del orden en que serealice.

✍ Distributiva: Dado tres vectores cualesquiera, denotados como ~A, ~B y ~C, el producto escalarsatisface la propiedad distributiva verificándose la igualdad

~A ·(~B + ~C

)= ~A · ~B + ~A · ~C . (10)

✍ Multiplicación por un escalar: Dado dos vectores cualesquiera, denotados como ~A y ~B, y unnúmero real λ, el producto escalar verifica la siguiente propiedad

~A ·(λ~B)

=(λ ~A)· ~B = λ ~A · ~B . (11)

✍ Positividad: Sea ~A un vector cualquiera el producto escalar de este vector con él mismo es unnúmero real positivo, es decir, se verifica la siguiente propiedad

~A · ~A ≥ 0 . (12)

La igualdad se cumple únicamente cuando ~A es el vector es nulo.

Las propiedades expresadas en (10) y (11) pueden resumirse diciendo que el producto escalar es linealen la segunda entrada, es decir, cumple con

~A · (λ1~B + λ2

~C) = λ1~A · ~B + λ2

~A · ~C . (13)

Y por la propiedad conmutativa se puede verificar que es lineal en la primera entrada, en tal sentido,se dice que el producto escalar es bilineal. En consecuencia, se establece que todo producto escalaren un espacio Euclídeo debe ser bilineal, conmutativo y positivo. De hecho, un espacio vectorial realse llama Euclídeo cuando se dota de un producto escalar con estas características.

Figura (a)

~A

~B

θ ~A, ~B

Figura (b)

~A

~Bθ ~A, ~B

Figura (c)

~A

~B

θ ~A, ~B= π/2

Figura (d)

~A~B

θ ~A, ~B= π

~A~B

θ ~A, ~B= 0

Figura 2.9: Se muestran representaciones geométricas para dos vectores cuando el ángulo entreellos es: (a) Agudo, (b) obtuso, (c) recto y (d) llano.



Para un espacio Euclídeo o un espacio dotado con un producto escalar, la norma de un vector esinducida por el producto escalar a partir de la siguiente expresión

| ~A| =√~A · ~A . (14)

Este número real se hace coincidir con la longitud de la flecha que representa geométricamente alvector ~A. La representación geométrica de un vector vía a una flecha le dota al espacio vectorial la es-tructura de norma, los espacios vectoriales no vienen equipados con esta estructura, por el contrario,dotar al espacio de una norma, vía al producto escalar, permite atribuirle al espacio propiedadesmétricas que no posee.

La estructura de producto escalar es compatible con la medida de ángulo solo cuando se cumplala desigualdad de Cauchy-Schwarz,

−| ~A| | ~B| ≤ ~A · ~B ≤ | ~A| | ~B| . (15)

Tal desigualdad se garantiza en un espacio vectorial Euclídeo, debido a que el espacio vectorial esreal; para probarlo basta considerar que existe al menos un escalar λ tal que el vector ~C pueda serescrito de manera única en función de dos vectores ~A y ~B, no ortogonales, como ~Cλ = ~A− (λ ~A · ~B) ~B.En virtud de (12) y (13), se tiene que

~Cλ · ~Cλ ≥ 0 =⇒ ( ~A · ~B)2| ~B|2λ2 − 2( ~A · ~B)2λ+ | ~A|2︸︷︷︸f(λ)

≥ 0 ∴ f(λ) ≥ 0 .

Para que esta inecuación se cumpla independientemente del valor de λ debe suceder que f(λ) notenga raíces y f(0) ≥ 0, de lo contrario existirán valores para λ que verifique la desigualdad f(λ) < 0.Esto indicaría que existe un vector ~Cλ para el cual no se cumple (12). El polinomio f(λ) no presentaraíces reales cuando

4( ~A · ~B)4 − 4( ~A · ~B)2| ~B|2| ~A|2 ≤ 0, =⇒ | ~A · ~B| ≤ | ~A|| ~B|,

que conduce naturalmente a (55a). Esta desigualdad garantiza que una razón trigonométrica quepermita definir la medida de ángulo entre vectores. El ángulo entre dos vectores no nulo en unespacio Euclídeo es obtenido a partir de la relación

cos θ ~A, ~B

def

=~A · ~B| ~A| | ~B|

donde 0 ≤ θ ~A, ~B ≤ π , (16)

donde la norma de los vectores involucrados viene dada por la expresión (14). A partir de (16) seextrae la siguiente información:

✎ El ángulo entre dos vectores es agudo (0 < θ ~A, ~B < π2) cuando el producto escalar entre dichos

vectores es positivo ( ~A · ~B > 0). Por el contrario, el ángulo entre dos vectores es obtuso

(π2< θ ~A, ~B < π) cuando el producto escalar entre dichos vectores es negativo( ~A · ~B < 0). Una

representación geométrica de estas afirmaciones son ilustradas en la Figs. 2.9a y 2.9b, lo cualpermite identificar a la cantidad θ ~A, ~B como el menor ángulo entre los vectores.



✎ El ángulo entre dos vectores es recto (θ ~A, ~B = π2) cuando el producto escalar entre dichos vectores

se anula ( ~A· ~B = 0). Para este caso se dice que ambos vectores son ortogonales. Se usa el símbolo⊥ para denotar perpendicularidad u ortogonalidad. En tal sentido, si ~A · ~B = 0 entonces seinfiere que ~A ⊥ ~B; que se lee «el vector A es perpendicular u ortogonal al vector B». En laFig.2.9c se muestra una representación geométrica de dos vectores perpendiculares.

✎ El ángulo entre dos vectores colineales vale 0 o π, se toma el primer valor cuando los vectores sonparalelos y el segundo cuando son antiparalelos. Para este caso, el producto escalar se obtienea partir del producto de las norma de ambos vectores, es decir, ~A · ~B = ±| ~A| | ~B|; tomando elsigno positivo cuando ~A ‖ ~B y negativo cuando ~A 6‖ ~B. Una representación geométrica de estaafirmación se ilustra en la Fig.2.9d.

α

γ

β

a

b

c α

π − γβ

~A

~B~C

Figura 2.10: A la izquierda se muestra un triángulo no rectángulo cuyos lados poseen longitudesa, b y c, mostrando a su vez los ángulos internos al triángulo. A la derecha se muestra un triánguloconstruido a partir de tres flechas consecutivas, las cuales representan a los vectores ~A, ~B y ~C.

El teorema del coseno permite determinar la longitud del cateto de un triángulo, no necesaria-mente rectángulo, como el mostrado en la Fig. 2.10 (izquierda). En dicha figura, se identifican loscatetos del triángulo y los ángulos internos a éste; el teorema del coseno para este triángulo se expresamediante las siguientes relaciones

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα b2 = a2 + c2 − 2ac cos β y c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ . (17)

Las cuales coinciden con el teorema de Pitágoras cuando el triángulo es rectángulo, es decir, serecupera el teorema de Pitágoras cuando uno de los ángulos internos al triángulo es recto. Se puedeprobar las expresiones indicadas en (17) haciendo uso del álgebra vectorial, para ello se considerana los vectores ~A, ~B y ~C cuyas representaciones geométricas coinciden con los catetos del triángulomostrado en la Fig.2.10 (derecha). De la geometría mostrada en dicha figura se tiene que | ~A| = a,| ~B| = b y |~C| = c; además se verifica la relación ~A + ~B + ~C = ~0. Al despejar uno de los vectores,digamos que ~C, y luego se calcula su norma usando (14) se llega al teorema del coseno. Así,

|~C| = | − ( ~A+ ~B)| =⇒ |~C|2 = | ~A+ ~B|2 =⇒ c2 = ( ~A+ ~B) · ( ~A+ ~B)

c2 = | ~A|2 + | ~B|2 + 2 ~A · ~B =⇒ c2 = a2 + c2 + 2ab cos(π − γ)

∴ c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ



Obsérvese que el menor ángulo entre ~A y ~B es π−γ, el cual se obtiene trasladando al vector ~A hastala cola del vector ~C.

Figura (a)

Proyu~A

u

~A

Figura (b)

Proyu~A

u

~A

Figura (c)

Sombra

| ~A| cos θ ~A,u

~A

θ ~A,uP O

Figura 2.11: Se presenta la proyección de un vector sobre una dirección definida por el versor ucuando el ángulo es (a) agudo y (b) obtuso. La figura de la izquierda muestra la sombra proyectadasobre una dirección determinada, la sombra se debe a una lámpara colocada sobre el vector y lalongitud de la sombra proyectada coincide con la norma del vector ~A proyectado.

Con el producto escalar se logra establecer la proyección de un vector sobre una dirección dada,como resultado de la proyección se genera un nuevo vector colineal a la dirección donde se proyecta.Así, la proyección de un vector ~A sobre la dirección definida por el versor u, denotada como Proyu

~Ao uu( ~A), queda establecida por el vector λu, donde la constante de proporcionalidad λ se obtiene delproducto escalar entre el vector ~A y el versor u. Es decir,

Proyu~A = uu( ~A)

def

= ( ~A · u)u . (18)

La representación geométrica de la proyección de un vector ~A sobre la dirección definida por el versoru cuando el ángulo es agudo (obtuso) se muestra en la Fig. 2.11a (Fig. 2.11b). Geométricamente, laproyección de un vector corresponde a la sombra dejada por él sobre la dirección donde se proyectacuando se coloca una lámpara sobre el vector, tal como se muestra en la Fig. 2.11c. La sombra puedeser descrita mediante una flecha dirigida desde el punto P hasta el punto O, donde termina la sombra.La longitud de la flecha o de la sombra dejada por ~A sobre la dirección definida por widehatu vienedada por | ~A| cos θ ~A,u = ~A · u. De manera que, el vector generado por la proyección corresponde a lamultiplicación de esta longitud por el versor u, tal como se expresa en (18).

Se ha sugerido en (18) la notación nn( ~A) para indicar la proyección del vector ~A sobre la direccióndel versor ~n. No obstante, el símbolo nn( ~A) también es empleado para denotar la acción de un ope-rador sobre un vector, dicho operador es llamado proyector. Estrictamente hablando, esta cantidadcorresponde a un tensor de segundo rango. Todo proyector verifica la siguiente propiedad,

nn 2 = nn ó nn 2( ~A) = nn( ~A) . (19)

Dicha propiedad indica que la acción consecutiva del proyector genera al mismo proyector. Paraprobar esta relación basta calcular

nn 2( ~A) = nn(nn( ~A)) = nn(n · ~An) = (n · ~An) · nn = n · ~An · nn = n · ~An = nn( ~A) .

Debe distinguirse entre n · n y nn, el primero corresponde al producto escalar del versor n; cuyoresultado es igual a la unidad. A diferencia del segundo producto, el cual es denominado producto



tensorial del versor n y suele escribirse como n⊗ n ≡ nn. El producto tensorial de dos vectores suelerecibir el nombre de diádica o diada, la cual es construida mediante la siguiente prescripción

~A~B(~x) = ~A⊗ ~B(~x) = ~A( ~B · ~x) = ( ~B · ~x) ~A. (20)

Dicho objeto es un operador lineal ya que verifica las siguiente propiedad

~A~B(λ1~x+ λ2~y) = λ1~A~B(~x) + λ2

~A~B(~y). (21)

2.6. Producto vectorial entre vectores

Tres vectores, no colineales entre sí, que se encuentren en un mismo plano se denominan coplanares.Así, los vectores ~A, ~B y ~C son coplanares siempre que se pueda escribir cualquiera de las siguientescombinaciones,

~A = α1~B + α2

~C ó ~B = β1~A+ β2

~C ó ~C = γ1~A+ γ2

~B . (22)

Tres vectores no coplanares se denominan terna o triedro cuando se indica cuál de dichos vectoreses el primero, cuál es el segundo y cuál es el tercero. Al escribir una terna o triedro se dispone a lostres vectores de izquierda a derecha, así, con tres vectores no coplanares se dispone de seis ternas otriedros, dadas por:

T1 = { ~A, ~B, ~C}, T2 = { ~B, ~C, ~A}, T3 = {~C, ~A, ~B},T4 = { ~A, ~C, ~B}, T5 = { ~B, ~A, ~C}, T6 = {~C, ~B, ~A}.

En la Fig. 2.12 se enumeran tres flechas, haciendo corresponder a la flecha 1, 2 y 3 con el primer,segundo y tercer vector del triedro, respectivamente. De esta manera, se tendrán seis posibles rep-resentaciones de la terna o triedro. Las flechas de los triedros T2 y T3 con igual nombre se puedenhacer coincidir, mediante rotación, con los nombres del triedro T1; de igual forma, las flechas de lostriedros T5 y T6 se pueden hacer coincidir, mediante rotación de éstos, con el triedro T4. Sin embargo,los triedros T1 y T4 no se pueden hacer coincidir las flechas del mismo nombre mediante rotación deuno de los triedros. En tal sentido, los triedros o ternas como los indicados en T1, T2 y T3 se diceque están orientados positivamente, en cambio los triedros o ternas como los indicados en T4, T5 yT6 tienen orientación inversa, es decir, están orientados negativamente.

Flecha 1

Flecha 2

Flecha 3 T1 :

~A

~B

~C T2 :

~B

~C

~A T3 :

~C

~A

~B

T4 :

~A

~C

~B T5 :

~B

~A

~C T6 :

~C

~B

~A

Figura 2.12: A la izquierda se presenta tres flechas identificadas con 1, 2 3. A la izquierda y arriba(abajo) se muestran tres ternas orientadas positivamente (negativamente).



Un espacio vectorial tridimensional presenta dos orientaciones: Positiva y negativa, la primera(segunda) orientación queda establecida cuando se elige un triedro o terna orientada positivamente(negativamente). En dicho espacio se define el producto vectorial entre los vectores ~A y ~B, denotadocomo ~A× ~B, como un nuevo “vector” que depende de la orientación del espacio. Tal que la norma yorientación de dicho vector queda estipulada por la siguiente prescripción:

✎ Norma: Representa el área del paralelogramo formado con los vectores ~A y ~B, el cual vienedado por la relación

| ~A× ~B| = | ~A| | ~B| sen θ ~A, ~B , (23)

donde θ~a,~b es el menor ángulo formado entre los vectores ~A y ~B. Esta relación es obtenidamediante el uso de geometría y trigonometría, tal como se muestra en la Fig. 2.13. La normapresentada en (23) puede ser escrito en termino del producto escalar mediante la relación

| ~A× ~B| =

√A2B2 − ( ~A · ~B)2 . (24)

Que se obtiene elevando al cuadrado (23) y sustituyendo (16).

~B

~A h = | ~B| sen θ ~A, ~B

θ ~A, ~B

Area = | ~A|h = | ~A× ~B|. Figura 2.13: Se indica el área de un paralelo-gramo generado por dos vectores, dicha árease construye multiplicando la base del paralel-ogramo cuya longitud coincide con la normadel vector ~A y la altura del mismo se obtienedel cateto opuesto al ángulo formado entre losdos vectores.

✎ Dirección: Se establece mediante la recta perpendicular al plano que contiene a los vectores~A y ~B, por tal razón el vector ~A × ~B forma un ángulo de π/2 con los vectores ~A y ~B. En laFig. 2.14 se muestra la dirección del vector ~A× ~B.

~A

~B

Direccióndel vector~A× ~B

Figura 2.14: La recta perpendicular al planoque contiene a las representaciones geométric-as de los vectores ~A y ~B. Por lo que la direccióndel vector ~A × ~B es tal que forma un ángulorecto con los vectores ~A y ~B.

✎ Sentido: Queda establecido de forma tal que el triedro T = { ~A, ~B, ~A × ~B} presente la mismaorientación que la del espacio. Cuando una terna o triedro está orientado positivamente (neg-ativamente) se dice que sigue la regla de la mano derecha (izquierda), esta regla consiste encolocar todos dedos, salvo el pulgar, en la dirección del primer vector de la terna y la palmade la mano orientada hacia el segundo vector; al enrollar la mano y colocar el pulgar en ángulorecto se obtendrá la dirección y sentido del tercer vector de la terna. Así, en un espacio orien-tado positivamente el sentido del vector ~A× ~B lo da la regla de la mano derecha, a diferencia



de un espacio orientado negativamente donde el sentido del vector ~A × ~B lo da la regla de lamano izquierda. En la Fig 2.15 se muestra el sentido del vector ~A× ~B cuando el espacio tieneuna orientación definida.

Es importante resaltar que el producto vectorial depende de la orientación del espacio, por talrazón, los segmentos de recta orientados que depende de la orientación del espacio son denominadopseudo-vectores, no son verdaderos vectores. Sin embargo, al fijar la orientación del espacio el pro-ducto vectorial es un verdadero vector.

~A~B

~A× ~B~A

~B

~A× ~B

Figura 2.15: A la izquierda (derecha) se muestra la dirección y sentido del vector ~A× ~Bmediante la regla de la mano izquierda (derecha).

Las propiedades del producto vectorial que se listan abajo son independiente de la orientacióndel espacio.

➫ El producto vectorial es anticonmutativo, es decir, el producto vectorial de dos vectores difiereen signo del producto vectorial en orden inverso; esto es,

~A× ~B = − ~B × ~A (25a)

➫ Multiplicación por un escalar, el producto vectorial del vector λ ~A con el vector ~B genera elmismo vector obtenido del producto vectorial de ~A con λ~B, el cual es denotado como λ ~A× ~B.En tal sentido, se tiene que

λ ~A× ~B = (λ ~A) × ~B = ~A× (λ~B) (25b)

➫ Distributiva, dado tres vectores arbitrarios que se denotan como ~A, ~B y ~C, el producto vectorialsatisface la propiedad distributiva verificándose

~A× ( ~B + ~C) = ~A× ~B + ~A× ~C (25c)

➫ Si ~A posee la misma dirección que ~B, entonces ~A× ~B = ~0.

Las propiedades (25a) y (25b) se pueden resumir diciendo que el producto vectorial es lineal encada entrada, es decir satisface la relación de linealidad

~A×(λ1~B + λ2

~C)

= λ1~A× ~B + λ2

~A× ~C , (26)

tanto en la primera y segunda entrada. En dicho caso, se resumen las tres propiedades indicadas en(25) diciendo que el producto vectorial es bilineal y antisimétrico.



✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻Ejemplo 2.1 El producto vectorial de un vector

consigo mismo genera al vector nulo, para probar-

lo basta usar la propiedad de antisimetría,~A× ~A = − ~A× ~A =⇒ 2 ~A× ~A = ~0,

donde se deduce que ~A × ~A = ~0. Dicho resultado

puede ser usado para probar que el producto vec-

torial de dos vectores colineales también es nulo,

para demostrar esta afirmación basta considerar~B = λ ~A y el producto vectorial

~A× ~B = λ ~A× ~A = ~0.Estas afirmaciones resultan obvia debido a que no

se genera un paralelogramo con un vector o con

dos vectores colineales, y por consiguiente no se

genera un área de manera que la norma del pro-

ducto vectorial de un vector consigo mismo o de

dos vectores colineales es cero.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

Existen dos producto triple entre vectores, uno de ellos se denomina producto triple escalar y elotro es denominado producto triple vectorial, ambos productos triples son denotados como ~A·( ~B× ~C)

y ~A×( ~B× ~C), respectivamente. El primer producto triple tiene un interpretación geométrica sencillacuando el conjunto de vectores { ~A, ~B, ~C} forma una terna T . Con los elementos de dicho triedro segenera un paralelepípedo como el mostrado en la Fig. 2.16, de manera que el producto triple escalarentre los vectores de la terna T representa el volumen V generado por el paralelepípedo, esto es

VParalelepípedo = Área · h = | ~B × ~C|| ~A| cos θ ~A, ~B× ~C = ~A · ( ~B × ~C). (27)

Desde luego que existen situaciones donde el ángulo formado entre el vector ~A y ~B × ~C es mayor aπ/2, lo cual conduce a que el producto escalar dado en (27) sea negativo, por lo que debe tomarseel valor absoluto para evitar esta particularidad del signo. Una situación donde esto ocurre surge alconsiderar que el espacio se encuentra orientado negativamente, en dicho caso el sentido del vector~B × ~C es opuesto al mostrado en la Fig. 2.16 y el ángulo entre éste y el vector ~A es π − θ ~A, ~B× ~C ; locual conduce a que el producto escalar presentado en (27) sea negativo. En tal sentido, el volumende un paralelepípedo generador a partir del triedro T viene dado por

VParalelepípedo = | ~A · ( ~B × ~C)| (28)

~B

~C

~A θ ~A, ~B× ~C

h = | ~A| cos θ ~A, ~B× ~C~B

~C

~A~B × ~C

Área = | ~B × ~C|Figura 2.16: A la izquierda se muestra un paralelepípedo generado con la terna ~A, ~B y ~C orientadapositivamente. A la izquierda se identifica el área y la altura del paralelepípedo generado por dichaterna.

Los vectores ~A, ~B y ~C no generan una paralelepípedo cuando se encuentran en un mismo plano,es decir, son coplanares. Tal situación se debe a que, por ejemplo, el vector ~A de la Fig. 2.16 forma



un ángulo recto con el vector ~B × ~C. En consecuencia a esto, el producto triple escalar entre losvectores ~A, ~B y ~C se anula, esto es ~A · ( ~B× ~C) = 0. Indicando con esta igualdad que los tres vectoresson coplanares.

El producto triple escalar satisface la siguiente condición de ciclicidad,

~A · ( ~B × ~C) = ~B · (~C × ~A) = ~C · ( ~A× ~B) (29)

donde se observa que dicho producto triple genera el mismo valor numérico cuando se corre de posi-ción a los vectores involucrados de derecha a izquierda o viceversa. Desde el punto de vista geométrico,estos productos indican que el volumen generado con las ternas T1 = { ~A, ~B, ~C}, T2 = { ~B, ~C, ~A} yT3 = {~C, ~A, ~B} es el mismo.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻Ejemplo 2.2 El producto triple escalar formado

con dos vectores ~A y ~B viene dado por la expre-

sión~A · ( ~A× ~B) ó ~B · ( ~A× ~B).

Ambos productos escalares son nulos en virtud a

la propiedad de ciclicidad (29) así como del resul-

tado presentado en el ejemplo 2.1. En efecto,~A · ( ~A× ~B) = ~B · ( ~A× ~A) = ~0.

De igual forma, se tiene que~B · ( ~A× ~B) = ~A · ( ~B × ~B) = ~0.

Desde el punto de vista geométrico, se sabe que~A × ~B es un vector perpendicular al plano gen-

erado con los vectores ~A y ~B. Por consiguiente,~A× ~B ⊥ ~A y también ~A× ~B ⊥ ~B, por tal razón,

el producto escalar entre dichos vectores debe a-

nularse.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

Sean ~u, ~v y ~w tres vectores no necesariamente coplanares, el producto triple vectorial entre dichosvectores satisface la siguiente identidad

~u× (~v × ~w) = (~u · ~w)~v − (~u · ~v)~w. (30)

Para demostrar dicha igualdad se considera que el vector ~v × ~w es perpendicular al plano generadopor los vectores ~v y ~w. Por tal razón, el vector ~u × (~v × ~w) es perpendicular al vector ~v × ~w y seencuentra en el plano generado con los vectores ~u y ~w. De manera que el producto vectorial triplepuede ser obtenido mediante la relación

~u× (~v × ~w) = λ1~v − λ2 ~w ,

donde λ1 y λ2 son constantes a determinar. Multiplicando escalarmente la expresión anterior por elvector ~u, y tomando en cuenta que dicho vector es ortogonal al vector ~u× (~v × ~w) se tiene que,

~u · [~u× (~v × ~w)] = λ1~u · ~v + λ2~u · ~w =⇒ 0 = λ1~u · ~v + λ2~u · ~w ∴ λ1(~u · ~v) = −λ2(~u · ~w).

Dicha igualdad establece que las constantes λ1 y λ2 no son independientes, por comodidad se puededefinir una constante λuvw tal que

λuvwdef

=λ1

~u · ~w = − λ2

~u · ~v =⇒{λ1 = (~u · ~w)λuvw ,

λ2 = −(~u · ~v)λuvw .

Al sustituir esta relaciones en ~u× (~v × ~w) resulta que

~u× (~v × ~w) = λuvw

[(~u · ~w)~v − (~u · ~v)~w

], (31)



donde λuvw es una constante a determinar. Como los vectores ~u, ~v y ~w son arbitrarios se puedeescoger ~u = ~w, en particular, quedando

~w × (~v × ~w) = λwvw

[w2~v − (~w · ~v)~w

], .

Multiplicando escalarmente esta igualdad por el vector ~v y considerando la ciclicidad del productotriple escalar así como (24) y (14), resulta

~v ·[~w × (~v × ~w)

]= λwvw

[w2v2 − (~w · ~v)2

]=⇒ (~v × ~w) ·

[~v × ~w

]= λwvw|~w × ~v|2

|~w × ~v|2 = λwvw|~w × ~v|2 ∴ λwvw = 1 ,

Este resultado permite escribir la siguiente identidad,

~w × (~v × ~w) = w2~v − (~w · ~v)~w. (32)

Multiplicando escalarmente (31) con ~w, usando la ciclicidad del producto triple escalar así como larelación (32) nos queda:

~w ·[~u× (~v × ~w)

]=λuvw

[(~u · ~w)~w · ~v − (~u · ~v)~w · ~w

]

~u ·[(~v × ~w) × ~w

]=λuvw

[(~u · ~w)2 − (~u · ~v)w2

]

~u ·[− w2~v + (~w · ~v)~w

]=λuvw

[(~u · ~w)2 − (~u · ~v)w2

]

∴ λuvw = 1

que al sustituir en (31) se demuestra la identidad (30).

2.7. Descomposición paralela y perpendicular de un vector

Dada una dirección definida por el versor n, es posible descomponer a cualquier vector ~A enuna proyección paralela y perpendicular a dicho versor, dichas proyecciones serán indicadas con lossímbolos ~A‖ y ~A⊥, respectivamente. Tal descomposición viene dada por la siguiente relación

~A = ~A‖ + ~A⊥ , donde

{~A‖ · n = | ~A‖| y~A⊥ · n = 0 .

(33)

~A = ~A‖ + ~A⊥

~A‖

~A⊥

n

Figura 2.17: Se muestra la representación geomé-trica para la descomposición de un vector ~A en suproyección paralela y perpendicular al versor n, in-dicadas con los símbolos ~A‖ y ~A⊥, respectivamente.

La representación geométrica de tal descomposición es presentada en la Fig. 2.17, observándoseque el vector ~A‖ es paralelo al versor n, mientras que el vector ~A⊥ es perpendicular u ortogonal a



dicho versor. Para obtener una expresión para ~A‖ basta con multiplicar escalarmente al vector (33)por el versor n,

n · ~A = n · ~A‖ + n · ~A⊥ =⇒ | ~A‖| = n · ~A ,donde se ha empleado las relaciones n · ~A‖ = | ~A‖| y n · ~A⊥ = 0. Con este resultado se obtiene que ~A‖es la proyección del vector ~A sobre el versor n, en efecto

~A‖ = | ~A‖|n = (n · ~A)ndef

= nn( ~A), (34)

donde nn ≡ n ⊗ n corresponde al operador proyección, dado en (19). Una expresión para ~A⊥ seobtiene al despejar dicho vector de (33) para obtener

~A = ~A‖ + ~A⊥ =⇒ ~A⊥ = ~A− (n · ~A)ndef

= (11 − nn) ~A (35)

donde 11 es el operador identidad, esto es 11( ~A) = ~A. El operador 11− nn corresponde a un proyectorque proyecta en la dirección ortogonal a la definida por el versor n, el cual satisface las siguientespropiedades

(11 − nn)2 = 11 − nn , (36a)

(11 − nn) nn = 0 . (36b)

En un espacio tridimensional el operador 11 − nn puede ser escrita en término de un productovectorial, para ello se tiene en cuenta que el vector ~A⊥ puede ser escrito mediante el producto vectorialtriple. Usando la identidad (30) para desarrollar el producto triple

n× (n× ~A) = (n · ~A)n− (n · n) ~A = n · n( ~A) − ~A = ~A‖ − ~A = −( ~A− ~A‖) = − ~A⊥,

donde la proyección perpendicular a n del vector ~A puede ser escrita como

~A⊥ = −n× (n× ~A)def

= −(n×)2 ~A. (37)

Donde (n×)2 es un proyector que se identifica con el operador 11−nn cuando los vectores se encuentranen un espacio tridimensional. Igualando (35) con (37) se establece la siguiente igualdad

11 − nn ≡ −(n×)2 .

2.8. Ecuaciones vectoriales

En esta sección estudiaremos algunos ejemplos que permiten dar una idea de como obtener vec-tores a partir de ecuaciones escalares o vectoriales, dichas ecuaciones involucran productos escalaresy/o productos vectoriales. El primer ejemplo a considerar es la ecuación escalar que se indica abajo

~x ·~b− ~a ·~b = 0 . (38)

donde ~a y ~b dos vectores arbitrarios no nulos, el objetivo es determinar el vector ~x que se encuentraen dicha ecuación escalar. Este tipos de expresiones pueden tener más de una solución, en particularpodemos verificar que existen al menos dos soluciones las cuales viene dada por:

~x = ~a ó ~x = 2~a− ~a ·~bb2~b . (39)

Para verificar que estas expresiones son soluciones de (38), basta sustituirlas en dicha ecuación yverificar la igualdad. En efecto,



➫ Caso ~x = ~a : Sustituyendo esta igualdad en ~x ·~b−~a ·~b = ~a ·~b−~a ·~b = 0, verificándose la igualdaddada en (38).

➫ Caso ~x = 2~a− ~a·~bb2~b : Sustituyendo esta igualdad en

~x ·~b− ~a ·~b = 2~a ·~b− ~a ·~bb2~b ·~b− ~a ·~b = 2~a ·~b− 2~a ·~b = 0 ,

verificándose la igualdad dada en (38). Observe que la segunda solución de (39) contiene a laprimera para cuando ~b = ~a.

En lo visto arriba se ha verificado soluciones de (39), pero aun no se ha establecido algunaestrategia para llegar a dichas soluciones. Para obtener las soluciones de dicha ecuación se procedede la siguiente manera,

~x ·~b− ~a ·~b = 0 =⇒ (~x− ~a) ·~b = 0 =⇒ ~b⊥ ·~b = 0 con ~b⊥def

= ~x− ~a.

Donde ~b⊥ es un vector perpendicular al vector ~b, el cual se construye con el proyector 11 − bb sobreun vector arbitrario ~y, de manera que

~b⊥ = (11 − bb)~y = ~y − b(b · ~y) = ~y −~b · ~yb2~b ∴ ~x− ~a = ~y −

~b · ~yb2~b ,

donde se obtiene una solución general,

~x = ~a+ ~y −~b · ~yb2~b . (40)

Resultando claro que el vector incognita ~x queda indeterminado debido a la arbitrariedad del vector~y, es decir, existen tantas soluciones como vectores ~y se elija. A partir de la expresión anterior sielegimos los siguiente valores ~0, ~a, y ~b para el vector ~y obtendremos las siguientes soluciones para elvector incognita,

➫ Sí ~y = ~0 =⇒ ~x = ~a+ ~y −~b · ~yb2~b = ~a

➫ Sí ~y = ~a =⇒ ~x = ~a+ ~y −~b · ~yb2~b = 2~a− ~a ·~b

b2~b

➫ Sí ~y = ~b =⇒ ~x = ~a+ ~y −~b · ~yb2~b = ~a

Para fijar el vector ~y en (40) es necesario conocer alguna información adicional. Por ejemplo, endimensión uno el vector ~b⊥ = ~0, lo cual sugiere que ~y = ~0.

Ahora examinemos el siguiente sistema de ecuaciones vectoriales{

2~x+ ~y × ~a = ~b

3~y + ~x× ~a = ~c, (41)



para resolver este sistema de ecuaciones se multiplica vectorialmente la primera ecuación por el vector~a, después de usar el producto triple vectorial (30) se obtiene

2~x× ~a+ (~y × ~a) × ~a = ~b× ~a =⇒ 2~x× ~a = ~a× (~y × ~a) − ~a×~b∴ 2~x× ~a = a2~y − (~a · ~y)~a− ~a×~b ,

sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación del sistema (41), resulta la siguiente expresión

(6 + a2)~y − (~a · ~y)~a− ~a×~b = 2~c .

Al multiplicar vectorialmente por ~a la relación de arriba queda

(6 + a2)~y × ~a− (~a×~b) × ~a = 2~c× ~a =⇒ ~y × ~a = − 1

6 + a2

[~a× ~c+ ~a× (~a×~b)

],

que al ser sustituida en la primera ecuación del sistema (41) se obtiene el vector ~x, después de usarel producto triple vectorial (30), esto es,

~x =2~a× ~c+ (~a ·~b)~a+ 6~b

2(6 + a2). (42)

Con esta relación se evalúa directamente el producto vectorial ~x× ~a,

~x× ~a = − 1

6 + a2

[~a×~b+ ~a× (~a× ~c)

].

Sustituyendo la relación de arriba en la segunda ecuación del sistema (41) y luego de usar el productotriple (30), resulta finalmente

~y =3~a×~b+ (~a · ~c)~a+ 6~c

3(6 + a2). (43)

3. Método algebraico

En la sección anterior se estudia la representación geométrica de un vector en un espacio Euclídeo,donde se muestran los axiomas que permiten estipular a un espacio vectorial Euclídeo; además, seexhiben algunos elementos que caracterizan a los aspectos geométricos de los vectores tales comonorma y orientación así como la representación vectorial de figuras geométricas como triángulos,rectángulos, rectas, planos, entre otras. También se presentan las definiciones de algunas operacionesentre vectores como la proyección de un vector sobre otro, la medida de ángulo entre vectores yproductos escalares y vectoriales. Todos estos aspectos son introducidos sin hacer uso de una base ocoordenadas. Existe un método que permite medir todos estos aspectos y trabajar con ellos desde elpunto de vista algebraico, sin recurrir a representaciones geométricas de los vectores. Así, para el usodel método algebraico se hace necesario establecer las definiciones de vectores base, componentes deun vector y sistema de coordenadas. Con dicho método, los vectores son caracterizados completamentepor sus componentes respecto a una base, y a partir de estas componentes se logra medir todos losaspectos geométricos de un vector así como las operaciones entre ellos.



3.1. Noción de base y componentes de un vector

Sea {~U1, ~U2, ~U3, · · · , ~Un} un conjunto finito de vectores, una combinación lineal de estos vectoreses una expresión de la forma

λ1~U1 + λ2

~U2 + λ3~U3 + · · · + λn

~Un =i=n∑

i=1

λi~Ui , (44)

donde λ1, λ2, λ3, . . . , λn son números reales cualesquiera, llamados escalares. Todo vector ~A que seescriba a partir de la combinación lineal del conjunto de vectores {~Ui}i=1,...,n se dice que es linealmentedependiente de dicho conjunto. En otras palabras, si es posible encontrar un conjunto de escalaresα1, α2, . . . , αn para el cual se pueda escribir el vector ~A de la siguiente forma

~A = α1~U1 + α2

~U2 + α3~U3 + · · · + αn

~Un =i=n∑

i=1

αi~Ui , (45)

entonces se dice que ~A es linealmente dependiente de conjunto de vectores {~Ui}i=1,...,n. En cambio,el conjunto de vectores {~Ui}i=1,...,n es linealmente independiente cuando, y únicamente cuando, de laigualdad

λ1~U1 + λ2

~U2 + λ3~U3 + · · · + λn

~Un = ~0 se deduce que λ1 = λ2 = λ3 = · · · = λn = 0. (46)

Es decir, la combinación lineal de vectores linealmente independiente conduce a que todos los coefi-cientes de la combinación lineal sea nulos. De lo contrario, se podría despejar un vector del conjunto{~Ui}i=1,...,n en función de los vectores restantes de dicho conjunto.

Cuando los escalares λi de (44) toman todos los valores posibles en R se dirá que la combinaciónlineal genera a un conjunto de vectores dados, es decir, cuando los λi varían continuamente entoncesla combinación lineal presentada en (44) genera al conjunto de todos los vectores linealmente depen-diente del conjunto {~Ui}i=1,...,n. El conjunto de todas las combinaciones lineales formadas a partirde un conjunto finito de vectores se llama cápsula lineal, representando así la totalidad de todas lasposibles combinaciones lineales que se pueden formar con los elementos de dicho conjunto finito devectores. Además, toda cápsula lineal es por si misma un espacio vectorial; donde el vector nulo paradicho espacio vectorial se obtiene al elegir todos los coeficiente de (44) como nulos; en tal sentido,la independencia lineal está estrechamente ligada a la unicidad del vector nulo en la cápsula lineal.También es posible construir los vectores opuestos a los vectores dado en (44), para ello se debecambiar todos los λi por −λi en dicha combinación lineal.

Los conjuntos de vectores {~Ui}i=1,...,n y { ~A, ~Ui}i=1,...,n donde ~A se forma a partir de la combinaciónlineal mostrada en (45) generan la misma cápsula lineal, ya que la combinación lineal

β ~A+ β1~U1 + β2

~U2 + β3~U3 + · · · + βn

~Un

puede ser generada a partir del conjunto {~Ui}i=1,...,n. Para probarlo basta sustituir (45) en la expresiónde arriba y obtener,

(βα1 + β1)~U1 + (βα2 + β2)~U2 + (βα3 + β3)~U3 + · · · + (βαn + βn)~Un .



Al escoger λi = βαi + βi se genera la combinación lineal mostrada en (44). De la misma manera,puede ocurrir que no todos los vectores del conjunto {~Ui}i=1,...,n sea linealmente independiente, esdecir, algunos vectores de dicho conjunto se obtienen a partir de la combinación lineal de los vectoresrestantes del mismo conjunto. En tal sentido, puede existir un subconjunto {~ei}i=1,...,N<n de vectoresdel conjunto {~Ui}i=1,...,n que generan la misma cápsula lineal, con la propiedad de que ninguno de losvectores ~ei del subconjunto puede ser expresado como combinación lineal del resto de los vectores delsubconjunto. En otras palabras, el subconjunto {~ei}i=1,...,N<n está formado por vectores linealmenteindependientes. Al conjunto minimal que genera a la capsula lineal se denomina base, y al númerominimal de éstos vectores se llama dimensión. Por ejemplo:

✎ Si todos los ~Ui de la expresión (44) se encuentran en una dirección determinada por el versore1, dicha expresión genera al conjunto de todos los vectores colineales al versor e1; ya que alvariar los λi en (44) de forma arbitraria se va generado vectores colineales al referido versor.Es decir, cualquier vector que se escriba como una combinación lineal del conjunto {~Ui}i=1,...,n

puede ser generado a partir del versor e1, puesto que cada ~Ui verifica la relación ~Ui = αie1 y lacombinación lineal dada en (44) toma la siguiente forma

i=n∑

i=1

λi~Ui = λ1

~U1 + λ2~U2 + · · · + λn

~Un = λ1α1e1 + λ2α2e1 + · · · + λnαne1 = λ e1 ,

donde λ = λ1α1 + λ2α2 + · · · + λnαn. No obstante, el conjunto de vectores colineales a unadirección determinada puede ser generado por un único vector, el cual puede ser construido apartir de (5), es decir, e1 ≡ ~Ui/|~Ui| con i fijo. En tal sentido, el conjunto {e1} consta de un solovector, el cual puede ser obtenido normalizando uno de los vectores del conjunto {~Ui}i=1,...,n.Entonces, la cápsula lineal que consta de todos los vectores colineales a una dirección dadapuede ser generado a partir del conjunto {e1}. Así, cualquier vector ~A que pertenezca a dichacápsula lineal se escribe como

~A =i=n∑

i=1

λi~Ui = λ1e1 , (47a)

donde λ1 es un número real. Para este caso la base consta de un vector, a saber e1, por lo quela capsula lineal es de dimensión uno.

✎ Si todos los ~Ui de la expresión (44) son coplanares, es decir, se encuentra en el plano Π definidopor dos vectores ~e1 y ~e2 no colineales, entonces dicha expresión genera a todos los vectorescontenidos en dicho plano. Un plano es generado por dos direcciones no colineales, así cualquierconjunto generador de todos los vectores en el plano debe contener por lo menos dos vectores nocolineales. En consecuencia, cualquier vector ~A del plano Π que se escribe como una combinaciónlineal del conjunto {~Ui}i=1,...,n que puede ser generado a partir de la combinación lineal delconjunto {e1, e2},

~A =i=n∑

i=1

λi~Ui = λ1e1 + λ2e2 =

i=2∑

i=1

λi ei . (47b)

Los coeficientes λ1 y λ2 de la combinación lineal presentada en (47b) son números reales.Los vectores del conjunto {e1, e2} pueden ser determinados a partir de la normalización dedos vectores cualesquiera del conjunto {~Ui}i=1,...,n tales que sean linealmente independiente, es



decir, no sean colineales entre sí. Por consiguiente, la base para la cápsula lineal que constade todas las combinaciones lineales contenidas en un plano puede ser generada a partir delconjunto {e1, e2}, por lo que la dimensión de la cápsula lineal es dos.

✎ Un espacio tridimensional se genera a partir de tres direcciones no coplanares definidas por losversores e1, e2 y e3; para que dichos versores sean no coplanares deben satisfacer la relacióne1 · (e2 × e3) 6= 0. Estos vectores pueden ser determinados al normalizar tres vectores lineal-mente independientes del conjunto {~Ui}i=1,...,n de vectores contenidos en dicho espacio. Por estarazón, la cápsula lineal que consta de todas las combinaciones lineales contenidas en un espaciotridimensional puede ser generada a partir del conjunto {e1, e2, e3}. Así, cualquier vector ~Aconstruido con la combinación lineal (44) puede ser escrito como

~A =i=n∑

i=1

λi~Ui = λ1e1 + λ2e2 + λ3e3 =

i=3∑

i=1

λiei . (47c)

Donde λ1, λ2 y λ3 son números reales. Por consiguiente, la base consta de tres vectores nocoplanares, a saber e1, e2 y e3; así la cápsula lineal es de dimensión tres.

A partir de lo antes expuesto, se infiere que una línea, un plano y el espacio pueden ser repre-sentados a partir de cápsulas lineales de dimensión uno, dos y tres, respectivamente. Además, loselementos de una base B = {~ei}i=1,...,N deben estar constituido por N vectores linealmente independi-entes; así la capsula lineal generada con este conjunto será de dimensión N . Al tomar un subconjuntode vectores de una base B se genera otra cápsula lineal de dimensión menor a N ; de esta manera, sepuede reducir la dimensión de una cápsula lineal hasta N = 1.

En cualquier espacio vectorial de dimensión N , en particular en un espacio Euclídeo N dimensio-nal, todo vector es determinado de manera única al asignar N escalares. Por tal razón, la dimensión dela cápsula lineal nos indicará la cantidad de escalares necesarios para determinar de manera unívocaa un vector en un espacio vectorial, cuya dimensión corresponde a la misma de la cápsula lineal. Porejemplo, todo vector Euclídeo que sea escrito como combinación lineal de la base puede ser definidode manera única, es decir, los escalares λi que aparecen en (47) caracterizan a los vectores de maneraunívoca. Estos escalares reciben el nombre de componentes del vector ~A en la base Be = {~ei}i=1,...,N .Para el caso de la representación geométrica del vector ~A, los N escalares son distribuido como sigue:Se elige un (1) escalar definido positivo para la norma del vector y N − 1 escalares para establecerla orientación del vector.

✏ Para un espacio Euclídeo de dimensión uno, se necesita un solo escalar para definir cualquiervector en dicho espacio, este escalar corresponde al número real λ1 que aparece en (47a).También los vectores pueden ser determinados dando su norma y orientación, la norma quedaestablecida por un número real positivo mientras que la orientación quedaría fijada al indicarel sentido de los vectores sobre la recta que contiene a dichos vectores. Tal como se muestraen la Fig. 3.18, en este caso el vector ~A está escrito como λ1e1 por los que |λ1| corresponde ala norma del vector y el signo de λ1 indicara si el vector ~A es paralelo o antiparalelo al versore1, estableciendo así su orientación; por consiguiente no se requiere de otro escalar para fijar la



orientación del vector.

➢ Si λ1 > 0, entonces ~A = λ1e1 = |λ1|e1

➢ Si λ1 < 0, entonces − ~A = λ1e1 = −|λ1|e1

~A− ~Ae1

|λ1||λ1|Figura 3.18: Se muestra la representación geométrica para un vector y su opuesto en unespacio Euclídeo unidimensional, indicando a su vez que éstos quedan determinado por unnúmero real λ1, el cual puede ser empleado para establecer la norma y sentido del vector.

✏ Para un espacio Euclídeo de dimensión dos se necesitan dos escalares para definir cualquiervector del plano, estos escalares corresponden a los números reales λ1 y λ2 que aparecen en(47b); tal como se muestra en la Fig. 3.19 (izquierda). También puede ser destinado un númeroreal positivo para la norma del vector y otro para establecer la dirección del vector, el cualdefine al ángulo de dicho vector respecto a una dirección prefijada, tal como se muestra en laFig. 3.19 (centro). En este caso se requiere de un escalar para establecer la orientación, el cuales designado mediante el ángulo ϕ entre el vector ~A y el versor e1.

e1

e2

λ1e1

λ2e2

~A = λ1e1 + λ2e2

e1

| ~A|

ϕ

~A |A| sen ϕ

|A| cos ϕ

|λ1| |λ2| cos α

| ~A|

ϕ α

Figura 3.19: A la izquierda se muestra la representación geométrica de un vector en el plano,el cual es caracterizado por dos escalares λ1 y λ2 y al centro se ilustra el mismo vectorcaracterizado por la norma | ~A| y ángulo ϕ. A la derecha se muestra la relación entre losescalares λ1 y λ2 con la norma del vector y los ángulo ϕ y α, que se forman entre los vectores~A y e2 con el versor e1, respectivamente.

En la Fig. 3.19 (derecha) se muestra la relación entre los escalares λ1 y λ2 con la norma delvector y los ángulo ϕ y α, que forman los vectores ~A y e2 con el versor e1, respectivamente.Usando trigonometría plana se llega a la siguientes relaciones,

{λ1 + λ2 cosα = | ~A| cosϕ

λ2 senα = | ~A| senϕ=⇒

λ1 = | ~A|sen(α− ϕ)

senα

λ2 = | ~A|senϕsenα

(48)

Estas relaciones muestran que cualquier vector es determinado de manera única mediante dosnúmeros reales, λ1 y λ2 o | ~A| y ϕ. El ángulo α entre los versores e1 y e2 es fijo y no puedevaler 0 ó π, ya que en dicho caso los vectores de la base no serían linealmente independientes.Además, es de mencionar que los ángulos recorridos en sentido antihorario son consideradospositivos, mientras que los ángulos recorridos en sentido horario son considerados negativos.

✏ Para un espacio Euclídeo de dimensión tres, se necesitan tres escalares para definir cualquiervector del espacio; estos escalares corresponden a los números reales λ1, λ2 y λ3 que aparecen



en (47c); también puede ser destinado un número real positivo para la norma del vector yotro para establecer la dirección del vector, el cual define dos ángulos respecto a dos direcciónprefijada.

Una base B puede tipificarse según como sus elementos se encuentren orientados entre sí, dis-tinguiéndose entre: Oblicua, ortogonal y ortonormal; tal como se muestra en el Esq. 3.1. Una basees ortonormal si sus elementos son versores y ortogonales entre sí, y una base es ortogonal cuandosus elementos son únicamente ortogonales entre sí; en cambio, una base es oblicua cuando no esortonormal u ortogonal, es decir, los elementos de una base oblicua no presentan las restriccionesimpuestas sobre las bases ortonormales u ortogonales.

Base

Ortonormal

Ortogonal

Oblicua

Todos los elementos ei de una base ortonormal tienen norma igual a la

unidad y son ortogonales entre si, verificándose la relación ei ·ej = δij .

Todos los elementos ~ei de esta base son ortogonales entre si, por lo

que se verifica la relación ~ei · ~ej = |~ei|2δij ; Para esta igualdad no se

suma sobre el índice repetido.

Todos los elementos ~ei de esta base forman un ángulo agudo u obtuso,

y no hay restricción en cuanto a la norma de estos vectores.

Esquema 3.1: Tres maneras de tipificar una base según como sus elementos se en-cuentran orientados entre sí.

Aun cuando las base pueden ser tipificadas según el Esq 3.1 toda ellas tienen asociada otra basedenominada base recíproca o base inversa, la cual consta de un conjunto de vectores linealmenteindependientes y ortogonales a la base dada. Sea Be = {~ei}i=1,...,N una base para un espacio dedimensión N , su base recíproca consta de N vectores linealmente independientes denotados comoB∗

e = {~ei}i=1,...,N tales que satisfacen la relación de ortogonalidad

~e j · ~ei = ~ei · ~e j = δji , (49)

donde δji se conoce con el nombre de delta de Kroneker, definiéndose dicho símbolo como

δji =

{1 si i = j

0 si i 6= j(50)

También existe otra tipología para designar una base, conocida como base coordenada, la cual esconstruida con las curvas (geodésicas) que definen a un sistema de coordenadas en el espacio. Esdecir, la bases coordenadas son construidas mediante la relación

~ei =∂~r

∂xi, (51)

donde ~r = ~r(xi) es un vector que indica la ubicación de cada punto del espacio con coordenada xi,respecto a un origen dado. Su base recíproca viene dada por los gradientes de las coordenadas xi, esdecir,

~e i = ~∇xi . (52)

Esta bases serán discutida en la sección ?? del próximo capítulo. Una diferencia sustancial entre lasbases coordenadas y las discutidas en este capítulo es que la norma y orientación de los vectores que



conforman una base coordenada depende del punto del espacio, debido a que el transporte paralelo serealiza sobre las geodésicas, mientras que en un espacio Euclídeo los vectores de la base no cambiansu norma y orientación en cada punto del espacio.

Los conjuntos Be = {~ei}i=1,...,N y B∗e = {~e i}i=1,...,N que verifican la relación (49) también reciben

el nombre de base covariante y base contravariante, respectivamente. Por ser B∗e una base se puede

escribir cualquier vector ~A del espacio vectorial como combinación lineal de dicha base. Denotandocon el símbolo λi a los coeficientes de dicha combinación lineal, resulta que los vectores dados en (47)pueden ser escrito también como

~A =i=N∑

i=1

λi~ei = λ1~e

1 + λ2~e2 + · · · + λN~e

N .

Siendo el conjunto de escalares λi las componentes del vector ~A en la base recíproca B∗e . Así, cualquier

vector puede ser caracterizado por dos tipos de escalares, λi y λi, de manera que

~A =i=N∑

i=1

λi~ei =

i=N∑

i=1

λi~ei . (53)

Los escalares λi y λi dados en (53) se denominan componentes contravariante y covariante del vector,respectivamente; siendo estos escalares las componentes del referido vector en las bases covariantey contravariante, respectivamente. Debido a la relación de ortogonalidad (49) y a la propiedad delinealidad (13) es posible conocer el valor de estos escalares mediante el producto escalar de (53) conlos elementos de la base, esto es

~ei · ~A = ~ei ·(

j=N∑

j=1

λj~ej

)=

j=N∑

j=1

λj~ei · ~e j =

j=N∑

j=1

λjδji = λi ∴ λi = ~ei · ~A, (54a)

~e i · ~A = ~e i ·(

j=N∑

j=1

λj~ej

)=

j=N∑

j=1

λj~e i · ~ej =

j=N∑

j=1

λjδij = λi

∴ λi = ~e i · ~A. (54b)

Dichas componentes no son independientes y se encuentran correlacionadas, por lo que no se puedenelegir de forma arbitraria ambos conjuntos de escalares. Es decir, al elegir λi (λi) en forma arbitrariaentonces los λi (λi) quedarán fijados y deben determinarse. Para determinar la correlación entre lascomponentes covariante y contravariante se requiere introducir una tensor de segundo rango llamadotensor métrico, denotado con el símbolo G. El cual posee dos tipos de componentes: Covariante ycontravariante, que se denotan como gij y gij, respectivamente. Tales componentes vienen definidaspor

gijdef

= ~ei · ~ej , (55a)

gij def

= ~e i · ~e j . (55b)

Cuando las componentes de la métrica viene definidas por (55) se dice que la métrica G ha sidoinducida por la base. Por consiguiente, las cantidades gij corresponden a las componentes covariantedel tensor métrico inducida por la base Be o simplemente componentes covariante de la métrica G.



De igual forma, las cantidades gij corresponden a las componentes contravariante del tensor métricoinducida por la base recíproca B∗

e o simplemente componentes contravariante de la métrica G.

La interpretación geométrica de las componente (55) es muy sencilla. La componente contrava-riante del tensor métrico G corresponde a los coeficientes de la combinación lineal que permite escribiral vector ~e i en la base Be, esto es,

~e 1 = g11~e1 + g21~e2 + · · · + gN1~eN

~e 2 = g12~e1 + g22~e2 + · · · + gN2~eN

...

~eN = g1N~e1 + g2N~e2 + · · · + gNN~eN

o brevemente ~e j =k=N∑

k=1

gkj~ek . (56)

Recíprocamente, la componente covariante del tensor métrico G corresponde a los coeficientes de lacombinación lineal que permite escribir al vector ~ei en la base B∗

e

~e1 = g11~e1 + g21~e

2 + · · · + gN1~eN

~e2 = g12~e1 + g22~e

2 + · · · + gN2~eN

...

~eN = g1N~e1 + g2N~e

2 + · · · + gNN~eN

o brevemente ~ej =k=N∑

k=1

gkj~ek . (57)

Esta construcción garantiza que las expresiones (56) y (57) sean compatible con (55), ya que alcalcular el producto escalar entre los elementos de la base y considerar la linealidad del productoescalar (13) así como la relación de ortogonalidad (49) resulta que

~e i · ~e j = ~e i ·(

k=2∑

k=1

gkj~ek

)=

k=2∑

k=1

gkj~e i · ~ek =k=2∑

k=1

gkjδik = gij .

Análogamente, se tiene que

~ei · ~ej = ~ei ·(

k=2∑

k=1

gkj~ek

)=

k=2∑

k=1

gkj~ei · ~e k =k=2∑

k=1

gkjδki = gij .

Las expresiones (56) y (57) pueden ser vista como un sistema lineal de ecuaciones vectoriales, apartir del cual se puede construir dos matrices que serán denotadas como G y G∗, respectivamente.Estableciendo que el primer y segundo índice de (55a) y (55b) indican la fila y columna de las matricesG y G∗, respectivamente, se generan los siguientes arreglos matriciales

· ~e1 ~e2 . . . ~en

~e1 g11 g12 . . . g1N

~e2 g21 g22 . . . g2N

......

.... . .

...~eN gN1 gN2 . . . gNN

=⇒ G =[~e1 ~e2 · · · ~eN

]=

g11 g12 . . . g1N

g21 g22 . . . g2N

......

. . ....

gN1 gN2 . . . gNN

, (58a)



así como,

· ~e 1 ~e 2 . . . ~eN

~e 1 g11 g12 . . . g1N

~e 2 g21 g22 . . . g2N

......

.... . .

...~eN gN1 gN2 . . . gNN

=⇒ G∗ =[~e 1 ~e 2 · · · ~eN

]=

g11 g12 . . . g1N

g21 g22 . . . g2N

......

. . ....

gN1 gN2 . . . gNN

. (58b)

Las matrices dadas en (58) son las representaciones matriciales de las componentes covariante ycontravariante de la métrica G. Para encontrar la relación entre las componente covariante y con-travariante de la métrica G basta multiplicar escalarmente el vector ~ei con (56), o multiplicandoescalarmente el vector ~e i con (57), resultando

~ei · ~e j =k=N∑

k=1

gkj~ei · ~ek =⇒ δji =

k=N∑

k=1

gikgkj matricialmente 11 = G∗G ∴ G∗ = G−1 . (59)

Esto demuestra que al conocer una de la representaciones matriciales de la métrica, la otra puedeser obtenida mediante la inversa de la primera, es decir, si conocemos la matriz G su inversa permitedeterminar a la matriz G∗ y con ello a los elementos gij. Recíprocamente, al conocer la matriz G∗ suinversa permite determinar a la matriz G y con ello a los elementos gij.

Conociendo el tensor métrico se logra determinar la correlación entre la componente covariantey contravariante de un vector. Tal correlación es obtenida al multiplicar escalarmente (53) con elvector ~ej,

(i=N∑

i=1

λi~ei

)· ~ej =

(i=N∑

i=1

λi~ei

)· ~ej =⇒

i=N∑

i=1

λi~ei · ~ej =i=N∑

i=1

λi~ei · ~ej

∴

i=N∑

i=1

λi~ej · ~ei =i=N∑

i=1

λiδji =⇒

i=N∑

i=1

gjiλi = λj .

Donde se ha usado la bilinealidad y simetría del producto escalar así como la relación de ortogonalidad(49). La correlación mostrada arriba puede ser vista explícitamente como un sistema de ecuacioneslineales, donde las componentes contravariante λi son las variables a determinar, que matricialmentetoma la siguiente forma

λ1

λ2...λN

=

g11 g12 . . . g1N

g21 g22 . . . g2N

......

. . ....

gN1 gN2 . . . gNN

λ1

λ2

...λN

, o brevemente como λi =

j=N∑

j=1

gijλj . (60)

Recíprocamente, la relación inversa viene dada por

λ1

λ2

...λN

=

g11 g12 . . . g1N

g21 g22 . . . g2N

......

. . ....

gN1 gN2 . . . gNN

λ1

λ2...λN

, o brevemente como λi =

j=N∑

j=1

gijλj . (61)



✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

Ejemplo 3.1 Considere una base oblicua Be ={~e1, ~e2}, la métrica inducida por esta base se ex-

presan según la tabla indicada abajo

G ~e1 ~e2~e1 2 1~e2 1 5

o matricialmente como G =

[2 11 5

].

La inversa de esta matriz corresponde a la com-

ponente contravariante de la métrica inducida por

la base B∗e = {~e 1, ~e 2},

G∗ = G−1 = 19

[5 −1

−1 2

].

De la relación (56) se obtienen los elementos de

la base recíproca como combinación lineal de la

base Be, esto es

~e 1 = 59~e1 − 1

9~e2, y ~e 2 = −1

9~e1 + 2

9~e2.

Observando que cada columna de G∗ corresponde

a los coeficientes de la combinación lineal. Las

componentes covariante del vector ~A = ~e 1 − 2~e 2

son λ1 = 1 y λ2 = −2, para determinar las com-

ponentes contravariante del vector ~A basta con

aplicar (61),

[λ1

λ2

]=

1

9

[5 −1

−1 2

] [1

−2

]=

1

9

[7

−5

].

De manera que el vector ~A expresado en la base

Be toma la siguiente forma,~A = 7

9~e1 − 5

9~e2.

Otra forma de obtener este vector es sustituyendo

directamente los elementos de la base recíproca Be

en el vector ~A, esto es~A = ~e 1 − 2~e 2,

~A =(

59~e1 − 1

9~e2)− 2

(−1

9~e1 + 2

9~e2),

~A = 79~e1 − 5

9~e2.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

El tensor métrico G puede ser escrito en términos de sus componentes covariante y contravariantede la siguiente manera

G def

=i=N∑

i=1

j=N∑

j=1

gij~ei ⊗ ~ej =i=N∑

i=1

j=N∑

j=1

gij~ei ⊗ ~e j , (62)

donde ~ei ⊗ ~ej y ~e i ⊗ ~e j corresponden a los productos tensoriales realizados con los elementos de labase. En tal sentido, el tensor G puede ser visto como un operador lineal que actúa sobre vectoresdel espacio vectorial. La acción de este operador sobre el vector ~ej viene dado por

G(~ej) =k=N∑

k=1

ℓ=N∑

ℓ=1

gkℓ~ek ⊗ ~e ℓ (~ej) =

∑

k,ℓ

gkℓδℓj~e

k =k=N∑

k=1

gkj~ek ≡ ~ej ∴ G(~ej) = ~ej ,

donde se ha usado la prescripción (20) y la condición de ortogonalidad (49). Esta operación transformaun vector en si mismo, por tal razón la métrica Euclídea es un operador que deja invariante a losvectores del espacio vectorial, es decir, para cualquier vector ~A se verifica la relación,

G( ~A) = ~A . (63)

Así, la métrica Euclídea construida en (62) no es más que el operador identidad para el espaciovectorial, donde sus componentes covariante y contravariante quedan establecidas por las relacionesexpresadas en (55); las cuales pueden ser concebidas mediante el siguiente producto escalar,

gij = ~ei · G(~ej) = ~ei · ~ej y gij = ~e i · G(~e j) = ~e i · ~ej .

Con esta construcción, es posible estipular dos componentes mixta para la métrica, adicionales a lascomponentes covariante y contravariante, las cuales son definidas como

gij def

= ~ei · G(~e j) = ~ei · ~e j = δji y gi

jdef

= ~e i · G(~ej) = ~e i · ~ej = δji ,



concluyendo que dichas componentes corresponden justamente a la delta de Kronecker (50).

Cuando la métrica es inducida por una base ortonormal no hay distinción entre sus componentescovariante y contravariante, es decir, gij = gij = δj

i . En tal sentido, las matrices G y G∗ toma la mismaforma que la matriz identidad, por lo que G = G∗ = 11. En cambio, la representación matricial paralas componentes covariante y contravariante toma la forma diagonal cuando la métrica es inducidapor una base ortogonal, a diferencia de una métrica inducida por una base oblicua. Por ejemplo,la matriz G1 que se muestra a la izquierda de (64) corresponde a la representación matricial de lacomponente covariante de la métrica construida con una base ortonormal. Al centro de la referidaecuación se tiene la matriz G2 que corresponde a la representación matricial para la componentecovariante de una métrica inducida por una base ortogonal; en cambio, a la derecha de la mismaecuación, la matriz G3 corresponde a la representación matricial para la componente covariante deuna métrica inducida por una base oblicua.

G1 = 11 =

[1 00 1

], G2 =

[2 00 3

]y G3 =

[1 33 10

], (64)

Existen algunas propiedades de la métrica que son heredadas de los axiomas del producto escalar.En particular se observa que la métrica es simétrica en virtud a (9), esto se refleja a nivel de larepresentaciones matriciales (58) cuando los elementos por arriba de la diagonal son iguales a loselementos que están por debajo de la diagonal; cumpliéndose que Gt = G, es decir, gij = gji.Todas las matrices expuestas en (64) son simétricas. También se puede observar que los elementosde la diagonal en la representación matricial de la métrica deben ser positivos, en virtud a (12);es decir, gii > 0 (no hay suma sobre indices repetidos). Por ejemplo, en cada matrix de (64) seobserva que g11 y g22 son positivos. Además, para que la métrica sea compatible con la medida deángulos debe satisfacer la desigualdad de Cauchy-Schwarz (55a), por lo que |gij| ≤

√|giigjj| (no hay

suma sobre índices repetidos). Por esta razón, los siguientes arreglos matriciales no corresponden arepresentaciones matriciales de la métrica inducida por una base en un espacio Euclídeo:

G1 =

[1 23 7

], G2 =

[2 00 −3

]y G3 =

[2 33 3

].

Ya que G1 no es simétrica, el elemento g22 de G2 es negativo y G3 viola la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Otra propiedad importante que cumple una métrica Euclídea es que ella es no degenerada,esto significa que el determinante de cualquier representación matricial para la métrica no debeanularse, es decir, det G 6= 0 ó det G∗ 6= 0. De lo contrario, puede existir un vector distinto al vectornulo que posea norma nula, contrario a la igualdad planteada en (12). Por ejemplo, la representaciónmatricial G =

[3 −3

−3 3

]para la componente covariante de la métrica G generada por una base Be

tiene determinante nulo, de manera que el vector ~A = ~e1 + ~e2 tiene norma igual a cero. En efecto, alcalcular la norma del vector no nulo ~A se tiene que

| ~A|2 = ~A · ~A = (~e1 + ~e2) · (~e1 + ~e2) = ~e1 · ~e1 + 2~e1 · ~e2 + ~e2 · ~e2 = 3 + 2(−3) + 3 = 0.

3.1.1. Celda elemental inducida por una base

La celda elemental inducida por una base describe la región en el espacio formada o generadacon los elementos de la base, y el volumen de la celda elemental corresponde a las dimensiones



comprendida en dicha región del espacio. Por ejemplo, en dimensión uno, la base consta de un solovector así que la región generada por dicho vector es un segmento de linea sobre la recta que orientaal referido vector en el espacio y el volumen de la celda corresponde a la longitud del segmento,tal como se muestra en la Fig. 3.20 (izquierda). En cambio, para un espacio bidimensional la celdaelemental consta del area formada por el rectángulo generado con los dos vectores de la base, tal comose ilustra en la Fig. 3.20 (centro). La celda elemental para un espacio tridimensional corresponde alparalelepípedo formado con los tres vectores de la base, tal como se indica en la Fig. 3.20 (derecha).

~e1

~e1

~e2

~e1 ~e2

~e3

Figura 3.20: Se muestran tres celdas unitarias para una dimensión (izquierda), dos dimensiones(centro) y tres dimensiones (izquierda). En una dimensión la celda unidad corresponden a unalongitud, area del paralelogramo y volumen de un paralelepípedo en una, dos y tres dimensiones,respectivamente.

El símbolo S[~e1, ~e2, . . . , ~eN ] denotará al volumen de la celda generada por la base Be, de maneraque para espacios vectoriales de dimensión uno, dos y tres el volumen de la celda elemental inducidapor la base, que expande a dichos espacio, viene dada por

S[~e1] = |~e1| , (65a)

S[~e1, ~e2] =√|~e1|2|~e2|2 − (~e1 · ~e2)2 , (65b)

S[~e1, ~e2, ~e3] = |~e1 · (~e2 × ~e3) | . (65c)

En la Fig. 3.21 se muestran la representación geométrica de las celdas elementales inducida poruna base y su recíproca para el caso de uno, dos y tres dimensiones. En primer lugar, se observa quela base contravariante conserva la misma orientación que la base covariante; en segundo lugar, lostamaños de la celda generada por dichas bases son recíproca, es decir, el producto del tamaño de lacelda de cada base es igual a la unidad. Esto es,

S[~e1, ~e2, . . . , ~eN ]S[~e 1, ~e 2, . . . , ~eN ] = 1 . (66)

~e1

~e 1 ≡ e1~e1

~e 2~e2

~e 1

~e1~e2

~e3

~e 1

~e 2

~e 3

Figura 3.21: Se muestra la representación geométrica de una base oblicua y su recíproca parael caso de uno (izquierda), dos (centro) y tres (derecha) dimensiones.



La relación (66) para un espacio bidimensional (N = 2) establece que el área del paralelogramogenerado por la base covariante es recíproca al area generada por la base contravariante. En cambio,para el caso tridimensional (N = 3), dicha relación establece que el volumen de los paralelepípedosgenerado por ambas bases son recíproco. También se observa de la relación (49) que en dimensiónuno la norma del vector covariante ~e 1 es recíproca a la norma del vector contravariante ~e1, en otraspalabras, |~e1| |~e 1| = 1. Por tal razón, este vector es un versor paralelo al vector ~e1 como se muestraen la Fig. 3.21 (izquierda).

3.1.2. Cambio de base y de componentes

Sean los conjuntos Bu = {~Ui}i=1,...,N y Be = {~ei}i=1,...,N dos bases, las cuales pueden ser oblicua,ortogonales u ortonormales; por lo que es posible escribir una base en término de la otra. En otraspalabras, existen N2 números reales denotados como T j

i tales que permiten escribir a los vectores ~ei

como una combinación lineal de la base Bu, es decir,

~e1 = T 11~U1 + T 2

1~U2 + · · · + TN

1~UN

~e2 = T 12~U1 + T 2

2~U2 + · · · + TN

2~UN

...

~eN = T 1N~U1 + T 2

N~U2 + · · · + TN

N~UN

o brevemente ~ei =

j=N∑

j=1

T ji~Uj . (67)

De manera que (67) puede ser visto como un sistema de ecuaciones lineales donde las variables adeterminar corresponden a los vectores de la bases Bu y los términos inhomogéneos corresponde alos vectores de la base Be. En tal sentido, los coeficientes T j

i de (67) pueden ser pensados como loselementos de una matriz T llamada cambio de base, definida a través del siguiente arreglo matricial

T = [~e1 ~e2 · · · ~eN ] = [T ji ] =

T 11 T

21 · · · TN

1

T 12 T

22 · · · TN

2...

.... . .

...T 1

N T2N · · · TN

N

. (68a)

Esta matriz debe ser no singular, es decir, el determinante de esta matriz es no nulo (det T 6= 0).Dicho requisito establece que la matriz T posee inversa, lo cual permitirá escribir a los vectores dela base Bu como combinación lineal de la base Be. Por tal razón,

T−1 = [ ~U1~U2 · · · ~UN ] = [T j

i ] =

T 11 T

21 · · · TN

1

T 12 T

22 · · · TN

2...

.... . .

...T 1

N T2N · · · TN

N

. (68b)

A partir del cual se logra escribir,

~U1 = T 11~e1 + T 2

1~e2 + · · · + TN1 ~eN

~U2 = T 12~e1 + T 2

2~e2 + · · · + TN2 ~eN

...~UN = T 1

N~e1 + T 2N~e2 + · · · + TN

N ~eN

o brevemente ~Ui =

j=N∑

j=1

T ji ~ej . (69)



Para probar que efectivamente la matriz construida con los elementos T ij corresponde a la inversa de

la matriz construida con los elementos T ij , basta sustituir (69) en (67), o viceversa,

~ei =k=N∑

k=1

T ki~Uk =

k=N∑

k=1

T ki

j=N∑

j=1

T jk~ej =

N∑

j,k=1

T ki T

jk~ej ,

el lado izquierdo de esta igualdad puede ser escrito como combinación lineal de la base Be, para ellosa hace uso del símbolo delta de Kronecker δj

i , estos es

j=N∑

j=1

δji~ej =

N∑

j,k=1

T ki T

jk~ej , =⇒

j=N∑

j=1

[k=N∑

k=1

T ki T

jk − δj

i

]~ej = ~0 .

Como los elementos de la base Be son linealmente independientes, por lo que se verifica (46), seobtiene que el término dentro del corchete debe anularse, quedando

k=N∑

k=1

T ki T

jk − δj

i = 0 =⇒k=N∑

k=1

T ki T

jk = δj

i ó T T−1 = T−1T = 11.

La matriz cambio de base también puede ser empleada para determinar la orientación de la base,que a su vez establece la orientación del espacio vectorial. Si el determinante de la matriz cambio debase es positiva se dice que la base está orientada positivamente; en cambio, si el determinante dela matriz cambio de base es negativa se dice que la base está orientada negativamente. Por el con-trario, si el determinante de la matriz T es nulo entonces el conjunto de vectores {~ei} es linealmentedependiente y no formará una base para el espacio vectorial.

El cambio de base induce a su vez un cambio de las componentes del vector, así las componentesde la base transforma con la inversa de la matriz cambio de base. Sean ai y ai las componentes delvector ~A en las bases Be = {~ei}i=1,...,N y Bu = {~Ui}i=1,...,N , respectivamente. En tal sentido, el vector~A puede ser escrito, de manera única, como una combinación lineal de la base,

~A =i=N∑

i=1

ai~ei también ~A =k=N∑

k=1

ak ~Uk ,

igualando ambas expresiones y sustituyendo (69) en dicha igualdad así como la independencia linealde la base Be, resulta una relación entre las componentes ai y ai,

i=N∑

i=1

ai~ei =k=N∑

k=1

ak

i=N∑

i=1

T ik~ei =

N∑

i,k=1

akT ik~ei =⇒

i=N∑

i=1

[ai −

k=N∑

k=1

T ika

k

]~ei = ~0 ∴ ai =

k=N∑

k=1

T ika

k .

Esta relación puede ser escrita en forma matricial como

a1

a2

...aN

=

T 11 T

21 · · · TN

1

T 12 T

22 · · · TN

2...

.... . .

...T 1

N T2N · · · TN

N

a1

a2

...aN

, o brevemente como ai =

k=N∑

k=1

T ika

k . (70)



La relación entre las celdas unidad entre la base Be y Bu viene dada por el valor absoluto deldeterminante de la matriz cambio de base, es decir,

S[~e1, ~e2, · · · , ~eN ] = | det T| S[~U1, ~U2, · · · , ~UN ] . (71)

Cuando se asigna el valor de uno a la celda unidad S[~U1, ~U2, · · · , ~UN ] entonces el valor de la celdainducida por la base Be se obtiene a partir del valor absoluto del determinante de la matriz cambiode base. Cuando las bases son ortonormales todas las celdas unitarias presentan el mimo valor, estose debe a que det T = 1.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

Ejemplo 3.2 Los vectores ~e1 y ~e2 expresados en

la base {~U1, ~U2} vienen dados por

~e1 = ~U1 − 3~U2 y ~e2 = 2~U1 + 3~U2,

respectivamente. La matriz cambio de base se ob-

tiene a partir del siguiente arreglo matricial

T = [~e1 ~e2 ] =

[1 2

−3 3

],

formado con los coeficiente de la combinación li-

neal. El determinante de esta matriz es

det(T) =

∣∣∣∣1 2

−3 3

∣∣∣∣ = 9 > 0,

lo cual significa que la base está orientada posi-

tivamente. Además, el área generada por la base

Be es nueve veces mayor al área inducida por la

base Bu, en virtud a (71). La inversa de la matriz

T corresponde al siguiente arreglo matricial

T−1 = [ ~U1~U2 ] = 1

9

[3−23 1

].

Los elementos de esta matriz corresponde a los

coeficientes de la combinación lineal de los vec-

tores ~e1 y ~e2 respecto a la base, es decir,~U1 = 1

3~e1 + 1

3~e2 y ~U2 = −2

9~e1 + 1

9~e2,.

Dado el vector ~A = 2~U1 − ~U2, escrito en la base

Bu, puede escribirse en la base Be al sustituir los

vectores ~U1 y ~U2,~A = 2(1

3~e1 + 1

3~e2) − (−2

9~e1 + 1

9~e2) ,

~A2 = 89~e1 + 5

9~e2.

Este resultado se obtiene directamente a partir de

la relación (70), en efecto,[a1

a2

]= 1

9

[3−23 1

] [2

−1

]= 1

9

[85

].

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

3.2. Álgebra entre vectores

Sean ai y bi las componentes contravariantes de los vectores ~A y ~B, respectivamente, respecto ala base covariante Be = {~ei}i=1,...,N ; resulta claro que las operación de adición y multiplicación porun escalar λ vienen dadas por,

~A+ ~B =i=N∑

i=1

ai~ei +i=N∑

i=1

bi~ei =i=N∑

i=1

(ai + bi)~ei , (72a)

λ ~A = λi=N∑

i=1

ai~ei =i=N∑

i=1

λai~ei . (72b)

Donde ai + bi y λai son las componentes covariante del vector ~A + ~B y λ ~A, respectivamente, en labase Be.



Para evitar la notación excesiva de los símbolos de sumatoria se empleará el convenio de suma deEinstein, el cual establece que «en toda expresión con índices que existan dos de ellos repetidos seentenderá que hay una suma sobre dichos indices, desde la unidad hasta la dimensión del espacio».Así, las combinaciones lineales expresadas en (53) se escribirán ~A = λi~ei = λi~e

i y las operacionespresentadas en (72) se escribirán como ~A+ ~B = (ai + bi)~ei y λ ~A = λai~ei; sobrentendiéndose que hayuna suma sobre el índice i desde la unidad hasta la dimensión del espacio. Dicho convenio de sumarequiere algunas aclaratorias.

✍ Aclaratoria 1: La suma que se indica abajo presenta dos tipos de índices llamados contraído omudo y libre.

ai1b

1j + ai

2b2j + · · · + ai

NbNj =

k=N∑

k=1

aikb

kj ≡ ai

kbkj

Un índice es contraído o mudo cuando se encuentra repetido en una expresión de suma como laindicada arriba. En cambio, un índice es libre cuando no se encuentra repetido en una expresiónde suma. En tal sentido, la expresión mostrada arriba presenta dos índice libre (i y j) y unocontraído o mudo (k).

✍ Aclaratoria 2: El intercambio de un índice contraído o mudo por otro, que no esté presente enla expresión, no altera su significado. Es decir,

k=N∑

k=1

aikb

kj = ai

kbkj es equivalente a

ℓ=N∑

ℓ=1

aiℓb

ℓj = ai

ℓbℓj ∴ ai

kbkj = ai

ℓbℓj .

✍ Aclaratoria 3: En una expresión de suma no puede haber más de dos índice repetido, es decir,la expresión de la forma λia

i~ei no puede aparecer en una expresión que siga el convenio de sumade Einstein. En cambio, en una expresión de suma puede haber grupos de índices repetidos,como por ejemplo

aijb

ji =

i=N∑

i=1

j=N∑

j=1

aijb

ji =

j=N∑

j=1

a1jb

j1 +

j=N∑

j=1

a2jb

j2 + · · · +

j=N∑

j=1

aNj b

jN

Dado dos vectores ~A y ~B cuyas componentes en la base Be = {~ei}i=1,...,n son ai y bi, respecti-vamente. Dichos vectores son iguales cuando sus componentes son iguales, tal afirmación se pruebahaciendo uso de la independencia lineal de los elementos de la base,

~A = ~B =⇒ ai~ei = bi~ei =⇒ (ai − bi)~ei = ~0 =⇒ ai − bi = 0 =⇒ ai = bi ,

donde se he empleado (46) para anular los coeficientes de la combinación lineal. El ejemplo 3.3 mues-tra como obtener al vector suma y resta en forma algebraica, de igual forma, es posible establecer lacolinealidad entre vectores sin hacer uso de las representaciones geométrica de los vectores.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻Ejemplo 3.3



Los vectores ~A y ~B expresados en la base

{~e1, ~e2} vienen dados por

2~e1 − 3~e2 y 23~e1 − 3

2~e2,

respectivamente. El vector suma obtenido de la

adición entre dichos vectores es~A+ ~B = 8

3~e1 − 9

2~e2.

Y el vector resta, obtenido de la sustracción del

vector ~A con el vector ~B~A− ~B = 4

3~e1 − 3

2~e2.

Para probar que el vector ~C = −~e1 + 94~e2 es an-

tiparalelo al vector ~B, basta encontrar un único

valor para λ que verifique la relación de propor-

cionalidad ~B = λ~C, de dicha relación se obtiene(

23

+ λ)~e1 −

(32

+ 9λ4

)~e2 = ~0.

Los coeficientes de esta combinación lineal son

deben ser nulos debido a la independencia lineal

de la base, resultando que λ = −23. Como este val-

or es único y negativo entonces ~B 6‖ ~C. En cam-

bio, los vectores ~A y ~B no son colineales, ya que

de la relación ~A = λ~B no es posible determinar

de manera única al escalar λ.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

Los vectores están completamente caracterizados por sus componentes respecto a una base yesas componentes pueden formar parte de los elementos de un arreglo matricial. Haciendo uso delproducto formal de matrices, es posible escribir cualquier vector en términos de una matriz columnadenotada como ~Ae. En tal sentido, la combinación lineal dada en (53) puede ser escrita como

~A = ai~ei = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 + · · · + aN~eN ≡[~e1 ~e2 ~e3 · · · ~eN

]~Ae donde ~Ae

def

=

a1

a2

a3

...aN

(73)

La matriz columna ~Ae es denominada representación regular o matricial del vector ~A respecto a labase Be = {~ei}i=1,...,N , y los elementos ai de la matriz columna corresponden a la componentes delvector ~A en la referida base Be. El mapa dado por (73) permite pasar de la representación matricialde un vector a la combinación lineal de vector respecto a la base. Este mapa preserva la suma devectores y la multiplicación de un vector por un escalar. En efecto,

~A+ ~B =[~e1 ~e2 ~e3 · · · ~eN

] (~Ae + ~Be

)donde ~Ae + ~Be

def

=

a1 + b1

a2 + b2

a3 + b3

...aN + bN

, (74a)

λ ~A =[~e1 ~e2 ~e3 · · · ~eN

] (λ~Ae

)donde λ~Ae

def

=

λa1

λa2

λa3

...λaN

. (74b)

Cada entrada o elemento de las matrices columnas presentadas en (74) corresponden a las com-ponentes de los vectores ~A + ~B y λ ~A en la base Be, respectivamente. Las cuales coinciden con lapresentadas en (72). Los vectores de la base Be también tienen una representación matricial que



denotaremos por el símbolo ~ψei, dicha representación se establece en virtud a que los vectores de la

base pueden ser escritos en su propia base con ayuda de la delta de Kronecker (50), esto es

~ei = δji~ej = δ1

i ~e1 + δ2i ~e2 + δ3

i ~e3 + · · · + δNi ~eN ≡

[~e1 ~e2 ~e3 · · · ~eN

]~Eei donde ~Eei

def

=

δ1i

δ2i

δ3i...δNi

, (75)

explícitamente se tiene que

~Ee1 =

100...0

, ~Ee2 =

010...0

, ~Ee3 =

001...0

, · · · , ~EeN =

000...1

.

De esta manera, es posible escribir al vector ~Ae como una combinación lineal de la base ~Eei, siendo

los coeficientes de la combinación lineal las mismas componentes del vector en la base Be,

~Ae =

a1

a2

a3

...aN

= a1~Ee1 + a2~Ee2 + a3~Ee3 + · · · + aN~EeN =

N∑

i=1

ai~Eei. (76)

Con ello, la base BE = {~Eei}i=1,...,N corresponde a la representación matricial de la base Be, escritaen su propia base. El subíndice e que se ha dispuesto en las representaciones regulares de vectores yen los elementos de la bases sirve para indicar que las matrices columnas han sido construida con lascomponentes de dichos vectores en la base Be. Así, los elementos de la matriz ~Ae corresponden a lascomponentes ai, en cambio la matriz ~Ae∗ tiene como elementos a las componentes ai. Prevista estadistinción, las correlaciones entre las componentes covariante y contravariante de un vector ~A dadaen (60) y (61) pueden ser escrita matricialmente como

~Ae∗ = G~Ae y ~Ae = G∗~Ae∗ , (77)

respectivamente. Donde

~A =[~e 1 ~e 2 · · · ~eN

]~Ae∗ =

[~e 1 ~e 2 · · · ~eN

]

a1

a2...aN

= a1~e

1 + a2~e2 + · · · + aN~e

N = ai~ei .



3.2.1. Producto escalar en una base

Sean ~A = ai~ei y ~B = bi~ei dos vectores escritos en la base Be = {~ei}i=1,...,N , el producto escalarentre dichos vectores viene dado por la relación,

~A · ~B =(ai~ei

)·(bj~ej

)= ai~ei ·

(bj~ej

)= aibj~ei · ~ej = aibjgij ≡

N∑

i=1

N∑

j=1

aibjgij , (78)

Usando el arreglo matricial para vectores (73) y la representación matricial (58a) para la componentecovariante de la métrica se logra escribir el producto escalar (78) mediante el siguiente producto dematrices,

~A · ~B = ~AteG~Be =

[a1 a2 · · · aN

]

g11 g12 . . . g1N

g21 g22 . . . g2N

......

. . ....

gN1 gN2 . . . gNN

b1

b2

...bN

, (79)

donde ~At es la traspuesta de la matriz ~A.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

Ejemplo 3.4 Sea B = {~e1, ~e2} una base cuyos

elementos de la métrica vienen dado por el si-

guiente arreglo matricial,

G =[

~e1·~e1 ~e1·~e2

~e2·~e1 ~e2·~e2

]=[

2 −2−2 10

].

A partir de esta información se extrae que la nor-

ma de los vectores base vienen dada por |~e1| =√

2y |~e2| =

√10, además se obtiene que el producto

escalar entre dichos vectores es ~e1 · ~e2 = −2. La

norma de los vectores ~A = −~e1+~e2 y ~B = 2~e1−~e2se obtienen de la expresión (14) y del producto es-

calar definido en (79), esto es:

| ~A|2 = ~AtG~A = [ −1 1 ][

2 −2−2 10

][ −1

1 ] = 16,

| ~B|2 = ~BtG~B = [ 2 −1 ][

2 −2−2 10

][ 2−1 ] = 26.

De manera que | ~A| = 4 y | ~B| =√

26, dichos va-

lores corresponden a la longitud de la flecha que

representan geométricamente a los vectores ~A y~B, respectivamente. Usando directamente (79) se

obtiene el producto escalar entre los vectores di-

chos vectores,

~A · ~B = ~AtG~B = [ −1 1 ][

2 −2−2 10

][ 2−1 ] = −20.

Debido a que este producto escalar es negativo se

infiere que el ángulo entre los dos vectores es obtu-

so, para determinar el valor de dicho ángulo basta

usar la expresión (16), y obtener

θ ~A, ~B = cos−1[

~A· ~B| ~A| | ~B|

]= cos−1

[−204√

26

]= 168, 7o.

El cual corresponde a un valor superior a 90o.

Además, se puede verificar que el vector ~C =3~e1 + ~e2 es ortogonal al vector ~A, ya que

~A · ~C = ~AtG~C = 0.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

En lugar de escribir los vectores ~A y ~B en la base Be éstos se escribieran en la base recíprocaB∗

e = {~e i}i=1,...,N , el producto escalar entre dichos vectores tomará la siguiente forma

~A · ~B = (ai~ei) · (bj~e j) = aibj~e

i · ~e j = aibjgij , (80)

el cual puede ser escrito en forma matricial como

~A · ~B = ~Ate∗G

∗~Be∗ =[a1 a2 · · · aN

]

g11 g12 . . . g1N

g21 g22 . . . g2N

......

. . ....

gN1 gN2 . . . gNN

b1b2...bN

, (81)



En cambio, el producto escalar toma un forma simple al conocer las componentes covariante ycontravariante de los vectores ~A y ~B, ya que

~A · ~B= (ai~ei) · (bj~ej) = aibj~ei · ~e j = aibjδ

ji = aibi = ~At

e~Be∗ , (82a)

~A · ~B= (ai~ei) · (bj~e j) = aibj~e i · ~ej = aib

jδij = aib

i = ~Ate∗~Be . (82b)

Para este caso el producto escalar entre dos vectores se obtiene al sumar los productos de cada com-ponente covariante con su respectiva componente contravariante.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

Ejemplo 3.5 La representación matricial de la

métrica inducida por la base Be = {~e1, ~e2} viene

definida por

G =

[~e1 · ~e1 ~e1 · ~e2~e2 · ~e1 ~e2 · ~e2

]=

[2 −2

−2 3

].

Con esta métrica se obtiene las componentes co-

variante de los vectores ~A = ~e1−~e2 y ~B = 2~e1+~e2.Para ello se usa la expresión (77),

~Ae∗ = G~Ae =

[2 −2

−2 3

] [1

−1

]=

[4

−5

],

~Be∗ = G~Be =

[2 −2

−2 3

] [21

]=

[2

−1

].

A partir del cual se deduce que ~A = 4~e 1 − 5~e 2

y ~B = 2~e 1 − ~e 2. La inversa de la matriz G co-

rresponde a la componente contravariante de la

métrica, dada por

G∗ = G−1 =

[~e 1 · ~e 1 ~e 1 · ~e 2

~e 2 · ~e 1 ~e 2 · ~e 2

]=

1

2

[3 22 2

].

El producto escalar entre los vectores ~A y ~B puede

obtenerse usando las expresiones (79), (81) así

como (82),

~A · ~B= ~AteG~Be =

[1 −1

] [ 3 −2−2 3

] [4

−5

]= 3,

~A · ~B= ~Ate∗G

∗~Be∗ =[4 −5

] [3/2 1−1 1

] [2

−1

]= 3,

~A · ~B= ~Ate~Be∗ =

[1 −1

] [ 2−1

]= 3,

~A · ~B= ~Ate∗~Be =

[4 −5

] [21

]= 3.

Lo cual conduce al mismo resultado. En tal senti-

do, el producto escalar entre dos vectores es un

número independiente de la base que se utilice

para describir a los vectores involucrados en el

producto escalar. Por ello, dicho producto es uti-

lizado para escribir cantidades independientes de

la base que se utilice.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

Cuando la métrica es inducida por una base ortonormal no hay distinción entre la componentecovariante y contravariante, por tal razón ~ei = ~e i y gij = gij. Esto se debe a que las representacionesmatriciales de la métrica corresponde a la matriz identidad, siendo los elementos de estas matricesiguales a la delta de Kronecker, es decir, gij = gij = δij o matricialmente G = G∗ = 11. También,se observa que no existe distinción entre las componentes contravariante y covariante de un vector~A, por consiguiente ai = ai. En este caso, el producto escalar dado en (79) se obtiene a partir delproducto de la componente de un vector con la del otro,

~A · ~B = ~At11~B = ~At~B =[a1 a2 · · · aN

]

a1

a2...aN

= a1b1 + a2b2 + · · · + aNbN = aibi . (83)



3.2.2. Producto vectorial en un base

Sean ai y bi las componentes de los ~A y ~B, respectivamente, respecto a la base Be = {~ei}i=1,...,N . Elproducto vectorial entre dichos vectores se obtiene de la propiedad distributiva y anticonmutavividaddel producto vectorial, resultando

~A× ~B = (a1~e1 + a2~e2 + a3~e3) × (b1~e1 + b2~e2 + b3~e3)

= (a2b3 − b2a3)~e2 × ~e3 − (a1b3 − b1a3)~e3 × ~e1 + (a1b2 − b1a2)~e1 × ~e2.(84)

Los productos vectoriales de los elementos de la base, ~ei×~ej, pueden ser expresados como combinaciónlineal de la base Be. Sean ǫijk los coeficientes de la combinación lineal de los vectores ~ei ×~ej respectoa la base Be, de manera que

~e2 × ~e3 = ǫ231~e1 + ǫ23

2~e2 + ǫ233~e3 , (85a)

~e3 × ~e1 = ǫ311~e1 + ǫ31

2~e2 + ǫ313~e3 , (85b)

~e1 × ~e2 = ǫ121~e1 + ǫ12

2~e2 + ǫ123~e3 . (85c)

Sustituyendo (85) en (84) y haciendo uso de las propiedades de determinantes se logra escribir

~A× ~B =i=3∑

i=1

∣∣∣∣∣∣

ǫ23i ǫ31

i ǫ12i

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣~ei . (86)

Las componentes ǫ23i, ǫ31i y ǫ12i con i = 1, 2, 3 se obtienen conociendo la inversa de la métrica así

como el volumen elemental generado por la base y su orientación en el espacio. Es decir, conociendoG−1

e y el producto escalar triple ~e1 · (~e2 ×~e3). Para determinar estos coeficientes es necesario conocerlas siguientes identidades

Vdef

= ~e1 · (~e2 × ~e3) = ~e2 · (~e3 × ~e1) = ~e3 · (~e1 × ~e2) ,

−V def

= ~e1 · (~e3 × ~e1) = ~e2 · (~e1 × ~e3) = ~e3 · (~e2 × ~e1) ,

0 = ~e1 · (~e1 × ~e3) = ~e2 · (~e2 × ~e1) = ~e3 · (~e3 × ~e2) .

Al multiplicar escalarmente (85a) por ~e1, ~e2 y luego por ~e3 se obtiene un sistema de ecuaciones paralos coeficientes ǫ23i, que puede ser escrito en forma matricial de la siguiente forma

V = ǫ231g11 + ǫ23

2g12 + ǫ233g13

0 = ǫ231g21 + ǫ23

2g22 + ǫ233g23

0 = ǫ231g31 + ǫ23

2g32 + ǫ233g33

∴

V00

= Ge

ǫ23

1

ǫ232

ǫ233

=⇒

ǫ23

1

ǫ232

ǫ233

= VG−1e~Ee1

, (87)

donde Ge es la métrica inducida por la base Be, y ~Ee1es la representación matricial del vector ~e1 dada

en (75). Procediendo de manera análoga con (85b) y (85c), se generan los sistemas de ecuaciones quepermiten determinar las componentes ǫ31i y ǫ12i, respectivamente. Obteniéndose,

ǫ31

1

ǫ312

ǫ313

= VG−1e~Ee2

y

ǫ12

1

ǫ122

ǫ123

= VG−1e~Ee3

. (88)



Las expresiones (87) y (88) se obtienen las componentes de los productos vectoriales con los ele-mentos de la base mostrados en (85). Para tener una sola expresión que permita determinar dichascomponentes basta definir el siguiente arreglo matricial

ΛΛedef

=[~e2 × ~e3 ~e3 × ~e1 ~e1 × ~e2

]=

ǫ23

1 ǫ311 ǫ12

1

ǫ232 ǫ31

2 ǫ122

ǫ233 ǫ31

3 ǫ123

= VG−1e 11 ∴ ΛΛe = ~e1 · (~e2 × ~e3)G

−1e (89)

Esta matriz permite determinar a los coeficiente ǫ23i, ǫ31i y ǫ12i con i = 1, 2, 3 que aparecen en (86).

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

Ejemplo 3.6 La métrica generada por los ele-

mentos ~e1, ~e2 y ~e3 de una base oblicua Be para un

espacio tridimensional viene expresadas mediante

el siguiente arreglo matricial

G =

~e1 · ~e1 ~e1 · ~e2 ~e1 · ~e3~e2 · ~e1 ~e2 · ~e2 ~e2 · ~e3~e3 · ~e1 ~e3 · ~e2 ~e3 · ~e3

=

2 0 10 3 51 5 9

,

la inversa de la métrica viene dada por

G−1 =

2 5 −35 17 −10

−3 −10 6

.

Suponiendo que el producto triple entre los ele-

mentos de la base es igual a la unidad, es decir,

e1 · (e2 × e3) = 1. Los coeficientes de la combi-

nación lineal de los productos vectoriales entre los

elementos de la base se obtienen a partir de (89),resultando

ΛΛ =

ǫ12

1 ǫ311 ǫ12

1

ǫ122 ǫ31

2 ǫ122

ǫ123 ǫ31

3 ǫ123

=

2 5 −35 17 −10

−3 −10 6

.

El producto vectorial entre los vectores~A = e1 − 2e2 + 3e3 y ~B = −2e2 + e3

viene dado por la expresión (86)

~A× ~B =i=3∑

i=1

∣∣∣∣∣∣

ǫ23i ǫ31

i ǫ12i

1 −2 30 −2 1

∣∣∣∣∣∣~ei ,

que al expandir la suma se tiene,

~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣

2 5 −31−2 30−2 1

∣∣∣∣∣∣~e1 +

∣∣∣∣∣∣

5 17 −101−2 30−2 1

∣∣∣∣∣∣~e2 +

∣∣∣∣∣∣

−3−10 61 −2 30 −2 1

∣∣∣∣∣∣~e3 = 9~e1 + 23~e2 − 14~e3.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

Cuando la base Be es ortonormal la métrica inducida por esta base corresponde a la matrizidentidad, en consecuencia ΛΛe = 11 y (86) toma la forma simple,

~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣= (a2b3 − a3b2) e1 + (a3b1 − a1b3) e2 + (a1b2 − a2b1) e3 . (90)

En este caso, el producto vectorial de los elementos de una base ortonormal escrita en su base generala siguiente álgebra

e1 × e2 = e3 =⇒ e2 × e1 = −e1 × e2 = −e3 ∴ e2 × e1 = −e3 , (91a)

e3 × e1 = e2 =⇒ e1 × e3 = −e3 × e1 = −e2 ∴ e1 × e3 = −e2 , (91b)

e2 × e3 = e1 =⇒ e3 × e2 = −e2 × e3 = −e1 ∴ e3 × e2 = −e1 . (91c)



En la Fig. 3.22 se muestra una regla geométrica que permite determinar el álgebra presentada en (91).Dicha regla establece que los productos vectoriales entre los elementos de la terna T = {e1, e2, e3}que generan vectores de la misma terna se obtiene al considerar la configuración mostrada en laFig. 3.22 (izquierda). En cambio, los productos vectoriales entre los elementos de la T que generanvectores opuestos de la misma terna se obtiene al considerar la configuración mostrada en la Fig. 3.22(derecha).

×

×

×

e1

e2

e3

e2 × e3 = e1,e3 × e1 = e2,e1 × e2 = e3.

Productospositivos

×

×

×

e1

e2

e3

e3× e2 = −e1,e1× e3 = −e2,e2× e1 = −e3.

Productosnegativos

Figura 3.22: Representación geométrica del álgebra generada por elproducto vectorial de los elementos de una base ortonormal.

Una manera compacta de escribir el álgebra indicada en (91) es definiendo el símbolo de per-mutación de Levi-Civita, denotado como εijk, el cual es definido como sigue

εijk =

1 Si ijk es 123, 231 ó 312.

−1 Si ijk es 132, 213 ó 321.

0 Si algún índice se repite.

(92)

De manera que, el álgebra mostrada en (91) se escribe como

ei × ej = εijkek ó ei × ej = εij1e1 + εij2e2 + εij3e3 . (93)

Lo cual permite escribir al producto vectorial entre los vectores ~A = aiei y ~B = biei expresado enuna base ortonormal como

~A× ~B = (ai~ei) × (bj~ej) = aibj~ei × ~ej = aibjεijk~ek = εijkaibj~ek , (94)

a partir del cual se identifica a εijkaibj como la componente k−ésima del vector ~A × ~B en la baseortonormal. Dicha componente se obtiene del producto escalar,

( ~A× ~B)k = ek · ( ~A× ~B) = εijkaibj (95)

Para trabajar en componente usando el símbolo de Levi-Civita se requiere conocer algunas propiedadesgenerales

✍ El símbolo de Levi-Civita puede ser escrito como el producto de deltas de Kronecker, el cuales expresable mediante el siguiente determinante

εijk =

∣∣∣∣∣∣

δi1 δi2 δi3δj1 δj2 δj3δk1 δk2 δk3

∣∣∣∣∣∣= δi1δj2δk3 + δi2δj3δk1 + δi3δj1δk2 − (δi1δj3δk2 + δi2δj1δk3 + δi3δj2δk1) . (96a)



De esta relación se extrae que al permutar dos índice contiguos en el símbolo de permutaciónéste cambia de signo, es decir, εijk = −εjik. Así como también que al repetir dos indices elsímbolo de permutación se anula, por ejemplo, εiik = 0 (no hay suma sobre i).

✍ El producto de dos símbolos de Levi-Civita viene dado a partir del siguiente determinante

εijkεlmn =

∣∣∣∣∣∣

δil δim δinδjl δjm δjnδkl δkm δkn

∣∣∣∣∣∣= δilδjmδkn + δimδjnδkl + δinδjlδkm − (δilδjnδkm + δimδjlδkn + δinδjmδkl) .

(96b)Es posible contraer los indices libres que se encuentra en esta igualdad, por ejemplo, al contraerel índice n con k se obtiene que εijkεlmk = δilδjm − δimδjl. Además, se puede seguir contrayendoel índice m con j resultando εijkεljk = 2δil, así como también se puede contraer todos los indicespara obtener εijkεijk = 3! = 6.

✍ El determinate de una matriz A de orden tres cuyos elementos son aij puede ser escrita enfunción del símbolo de permutación de Levi-Civita como

det A =

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= εijkai1aj2aj3 (96c)

Con el uso de las propiedades indicadas en (96) es posible obtener identidades vectoriales comola establecida en (30). El ejemplo 3.7 mostrará como obtener dicha identidad usando el formalismotensorial.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

Ejemplo 3.7 Para probar la relación (30) con-

sideremos la componente i−ésima del producto

vectorial ~u× (~v × ~w) de la siguiente manera

[~u× (~v × ~w)]i = εijkuj(~v × ~w)k

donde uj y (~v× ~w)k son las componentes j−ésima

y k−ésima de los vectores ~u y ~v × ~w, respectiva-

mente. De igual forma, se puede puede reemplazar

(~v × ~w)k por εklmvlwm resultando

[~u× (~v × ~w)]i = εijkujεklmvlwm

= εijkεklmujvlwm .

Donde se observa que no puede haber un índice

repetido más de dos veces. Usando la identidad

del producto de dos símbolo de Levi.Civita, resul-

ta que

[~u× (~v × ~w)]i = (δilδjm − δimδjl)ujvlwm

= ujwjvi − vjujwi .

= (~u · ~w)vi − (~v · ~u)wi .

Esta igualdad corresponden a la componente

i−ésima del vector ~u×(~v× ~w), de forma que dicho

vector en la base ortonormal viene dado por

~u× (~v × ~w) = [~u× (~v × ~w)]iei ,

~u× (~v × ~w) = [(~u · ~w)vi − (~v · ~u)wi]ei

~u× (~v × ~w) = (~u · ~w)viei − (~v · ~u)wiei

~u× (~v × ~w) = (~u · ~w)~v − (~v · ~u)~w

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

El producto vectorial puede ser escrito en forma compacta usando las componente de los vectoresy los coeficientes de la combinación lineal de los productos vectoriales entre los elementos de la base.El producto vectorial entre los vectores ~A = ai~ei y ~B = bi~ei expresado en la base Be viene dado por

~A× ~B = (ai~ei) × (bj~ej) = aibj~ei × ~ej = aibjǫijk~ek = ǫij

kaibj~ek , (97a)



y en la base recíproca B∗e el producto vectorial entre los vectores ~A = ai~e

i y ~B = bi~ei viene dado por

~A× ~B = (ai~ei) × (bj~e

j) = aibj~ei × ~ej = aibjǫ

ijk~e

k = ǫijkaibj~ek . (97b)

Donde los coeficientes ǫijk y ǫijk que aparecen en (97) se obtienen de las relaciones

~ei × ~ej = ǫijk~ek ∴ ǫij

k = ~e k · (~ei × ~ej) , (98a)

~e i × ~e j = ǫijk~ek

∴ ǫijk = ~ek · (~e i × ~e j) . (98b)

A partir de esta igualdades se deduce las siguientes identidades

ǫijk = ~e1 · (~e2 × ~e3) εijk así como ǫijk =1

~e1 · (~e2 × ~e3)εijk (99)

donde se deduce la relación entre

ǫijk = [~e1 · (~e2 × ~e3)]2 ǫijk . (100)

Los símbolos ǫijk y ǫijk corresponden a los productos escalares triples con los elementos de la basecovariante y contravariante, respectivamente. Es decir, ǫijk = ~ei · (~ej × ~ek) y ǫijk = ~e i · (~e j × ~e k).Dichas cantidades son llamadas componentes covariante del tensor de Levi-Civita, que a diferenciadel tensor métrico, éste es de tercer rango por presentar tres índices en sus componentes.

3.2.3. Diádica y proyectores en una base

El objetivo de esta sección es construir una representación matricial para la acción de una diádicasobre cualquier vector cuando éstos son expresados en una misma base. Sea ~A⊗ ~B la diádica construidacon los vectores ~A = ai~ei y ~B = bj~ej en la base Be = {~ei}i=1,...,N actuando sobre un vector ~x = xi~ei

toma la siguiente forma

~A⊗ ~B(~x) = ~A( ~B · ~x) = ai~ei

(bjxkgjk

)= aibjgjkx

k~ei (101)

donde se ha empleado (20) y (78). La representación matricial de (101) viene dada por la siguienteprescripción,

~A~B = ~A⊗ ~B = ~A~BtG =

a1

a2

...aN

[b1 b2 · · · aN

]G =

a1b1 a1b2 · · · a1bN

a2b1 a2b2 · · · a2bN

......

. . ....

aNb1 aNb2 · · · aNbN

g11 g12 · · · g1N

g21 g22 · · · g2N

......

. . ....

gN1 gN2 · · · gNN

, (102)

donde ~A y ~B son las representaciones matriciales de los vectores ~A y ~B, respectivamente, dada en(73). Así como G es la representación matricial de la métrica, dada en (58a). El producto tensorialdado en (102) toma una forma simple cuando la base es ortonormal, ya que en dicho caso la repre-sentación matricial de la métrica toma la forma de la matriz identidad.



✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

Ejemplo 3.8 Sea el conjunto Be = {~e1, ~e2} una

base oblicua que induce una métrica cuya repre-

sentación matricial viene dada por el siguiente ar-

reglo matricial

G =

[~e1 · ~e1 ~e1 · ~e2~e2 · ~e1 ~e2 · ~e2

]=

[2 −1

−1 3

].

La representación matricial de la diádica cons-

truida con los vectores ~A = ~e1−~e2 y ~B = 3~e1+2~e2viene dada al aplicar la prescripción (102), resul-

tando

~A⊗ ~B =

[1

−1

] [3 −1

] [ 2 −1−1 3

]=

[4 3

−4−3

].

La acción de esta diádica sobre cualquier vector

genera un nuevo vector colineal al vector ~A, en

particular, haciendo actuar la diádica sobre el vec-

tor ~C = −2~e1 − 3~e2 genera al vector

~A~B(~C) =

[4 3

−4−3

] [−2−3

]=

[−1717

],

a partir del cual se deduce que

~A~B(~C) ≡ ~A⊗ ~B(~C) = −17~e1 + 17~e2.

Dicho vector es antiparalelo al vector ~A debido a

que,

~A~B(~C) = −17 (~e1 − ~e2) = −17 ~A,

De hecho, el coeficiente de esta combinación li-

neal, es decir, el escalar −17 se obtiene a partir

del producto escalar entre el vector ~B con el vector~C. En efecto, usando (83) se tiene que

~B · ~C =[3 2

] [ 2 −1−1 3

] [−2−3

]= −17.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻

La diádica o el producto tensorial entre dos vectores ~A y ~B, definido como Mdef

= ~A~B, satisfacelas siguientes propiedades:

➣ La traza de una diadica M viene dada por el producto escalar entre los vectores utilizados paraconstruir la diadica, es decir,

tr(M) ≡ tr( ~A~B) = ~A · ~B . (103a)

➣ El determinante de cualquier diadica tiene determinante nulo, es decir,

det(M) ≡ det( ~A~B) = 0 . (103b)

Esto significa que una de las líneas de la representación matricial para cualquier diádica esproporcional a otra.

➣ La traspuesta de una diadica M, denotada como M t, construida con dos vectores viene dadapor el producto tensorial generado en orden inverso. Es decir,

M ≡ ~A⊗ ~B entonces M t ≡ ~B ⊗ ~A . (103c)

La diádica M es simétrica, es decir, satisface la igualdad M = M t siempre que la diádica seaconstruida con el producto tensorial de un vector consigo mismo. Es decir, la diádica ~A⊗ ~A essimétrica.

Con el producto tensorial de dos vectores o la diádica dada en (101) o (102) se construyen losproyectores a una dirección dada respecto a una base. Cuando se trabaja con bases ortonormales,las componentes de los vectores tienen una interpretación geométrica sencilla, estas corresponden



exactamente a las componentes de las proyecciones del vector sobre los elementos de la base. Enotras palabras, dado el vector ~A = aiei la componente ai se obtiene a partir del producto escalar delvector ~A con el elemento de la base ei, es decir, ai = ~A · ei. Para probar esto, consideremos que

~A · ei = (aj ej) · ei = aj ej · ei = ajδij = ai∴ ai = ~A · ei . (104)

Obsérvese que al multiplicar este escalar con el versor ei se tiene que la combinación lineal aiei puedeser escrita como la suma de cada proyección del vector ~A sobre las direcciones definidas por la base,esto es,

~A = aiei = ( ~A · ei)ei = ( ~A · e1)e1 + ( ~A · e2)e2 + · · · + ( ~A · eN)eN ≡ eiei( ~A). (105)

De la última igualdad de (105) la cantidad eiei corresponde a la suma de todos los proyectoresconstruidos con los elementos de la base ortonormal B = {ei}i=1,...,N . Además, dicha cantidad esinterpretada como el operador identidad, ya que de la igualdad ~A = 11( ~A) se extrae que eiei = 11; enotras palabras, la suma de todos proyectores corresponde al operador identidad. Esta afirmacionespueden verificarse con un ejemplo concreto, tal como se presenta Eje. 3.9.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻Ejemplo 3.9 Sea Be = {~e1, ~e2} una base oblicua

cuyos elementos de la métrica vienen dado por el

siguiente arreglo matricial,

G =[

~e1·~e1 ~e1·~e2

~e2·~e1 ~e2·~e2

]= [ 1 2

2 5 ].El conjunto de vectores B = {e1, e2}, con e1 =2~e1 −~e2 y e2 = ~e1 + 0~e2, forma una base ortonor-

mal; ya que se verifica la relación indicada en

(49). Es decir, los elementos de esta base tienen

norma igual a la unidad,

|e1|2 = ~Ete1G

~Ee1 = [ 2 −1 ] [ 1 22 5 ] [ 2

−1 ] = 1,

|ee2|2 = ~Ete2G

~Ee2 = [ 1 0 ] [ 1 22 5 ] [ 1

0 ] = 1.y son ortogonales entre si,

ee1 · ee2 = ~Ete1G

~Ee2 = [ 2 −1 ] [ 1 22 5 ] [ 1

0 ] = 0.Con estas expresiones se puede construir la repre-

sentación matricial del la métrica usando la base

B, es decir, construyendo gij = ei·ej. Dicha repre-

sentación corresponde a la matriz identidad. Las

componentes del vector ~A = 2~e1 − 3~e2 en la base

ortonormal B se obtienen a partir de (104),a1 = ~A · e1 = [ 2 −3 ] [ 1 2

2 5 ] [ 2−1 ] = 3,

a2 = ~A · e2 = [ 2 −3 ] [ 1 22 5 ] [ 1

0 ] = −4.

De manera que el vector ~A se expresa como una

combinación lineal de la base ortonormal, siendo

los coeficientes de la combinación lineal a1 y a2,

quedando,~A = a1e1 + a2e2 = 3e1 − 4e2.

Los operadores que proyectan en las direcciones

definida por la base ortonormal, es decir, los

poryectores definidos por la base ortonormal,

vienen dado por

e1e1 = ~Ee1~Et

e1G =[

4 −2−2 1

][ 1 22 5 ] = [ 0 −2

0 1 ],

e2e2 = ~Ee2~Et

e2G = [ 1 00 0 ] [ 1 2

2 5 ] = [ 1 20 0 ].

Obsérvese que al sumar estos proyectores se ob-

tiene el operador identidad, en efecto,

e1e1 + e2e2 = [ 0 −20 1 ] + [ 1 2

0 0 ] = [ 1 00 1 ].

Es posible usar los proyectores para escribir al

vector como una combinación lineal de la base, tal

como se muestra en (105). Las proyecciones de ~Aen las direcciones definida por la base ortonormal

B vienen dadas por

e1e1( ~A) = [ 0 −20 1 ] [ 2

−3 ] = [ 6−3 ] = 3 [ 2

−1 ] = 3e1,

e2e2( ~A) = [ 1 20 0 ] [ 2

−3 ] = [ −40 ] = −4 [ 1

0 ] = −4e2.

✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻



4. Problemas

Parte I (desarrollo práctico): para cada una de las preguntas que se presentan a continuación, hagaun desarrollo explícito.

1. En la figura adjunta se muestra un conjunto de nueve vectores identificados con las letras ~A, ~B,~C, ~D, ~E, ~F , ~G, ~H y ~K. En base a esta información y sin hacer uso de coordenadas responda lasiguientes preguntas:

~A

~B

~C

~D~E

~F~K

~H~G

(a) Escriba al vector ~C en términos de ~E, ~D y ~F .

(b) Escriba al vector ~H en términos de ~D, ~E y ~G.

(c) Escriba al vector ~H en término del vector ~G.

(d) Determine el resultado del vector ~F − ~B.

(e) Determine el resultado del vector ~F + ~C + ~D − ~E.

(f) Escriba al vector ~K en términos de ~C y ~G.

2. Sean A, B y O tres puntos no colineales en el plano, sea M el punto medio del segmento de rectaAB definido entre el punto A y B. Si los vectores ~A y ~B van dirigidos desde O hasta A y B,respectivamente, demuestre que el vector ~M dirigido desde O hasta M viene dado por:

~M =1

2

[~A+ ~B

]

3. Dados tres puntos A, B y C no colineales entre si, probar que el baricentro del triángulo formadocon dichos viene dado por el vector

~G =1

3

[~A+ ~B + ~C

],

donde ~A, ~B y ~C son vectores que van dirigidos desde un referencial O hasta los puntos A, B yC, respectivamente.

4. Sean ~A y ~B dos vectores cuyas representación geométrica corresponden a dos flechas dirigidasdesde la referencia común O hasta los puntos A y B, respectivamente. Considere al punto R quedivide el segmento AB a una razón β : α, es decir, dicho segmento es dividido de forma tal queRA

RB= β

α, donde α y β son números reales positivos no nulos. Demuestre que el vector ~R cuya

representación geométrica es una flecha dirigida desde el punto común O hasta el punto R vienedado por

~R =α ~A+ β ~B

α+ β.

5. Abajo se muestra un sistema vectorial de ecuaciones, donde los vectores ~r y ~R son dados, asícomo los escalares m1 y m2. Exprese a los vectores ~r1 y ~r2 en términos de los vectores y escalaresdados.

~r = ~r2 − ~r1

~R =m1~r1 +m2~r2m1 +m2



6. Sea θ ~A, ~B el ángulo entre los vectores ~A y ~B, demostrar que la tangente del ángulo θ ~A+ ~B, ~A entre

el vector suma ~A+ ~B y el vector ~A viene dado por la relación

tan θ ~A+ ~B, ~A =| ~B| sen θ ~A, ~B

| ~A| + | ~B| cos θ ~A, ~B

.

7. Abajo y a la izquierda se muestra un sistema vectorial de ecuaciones, donde los vectores ~r, ~r0,~V0 y ~a son dados. Elimine el parámetro tiempo de estas ecuaciones vectoriales para demostrar laecuación escalar que se indica abajo y a la derecha.

{~r = ~r0 + ~v0t+ 1

2~at2

~V = ~V0 + ~at=⇒ |~V |2 = |~V0|2 + 2~a · (~r − ~r0) .

8. Dos vectores de norma v poseen una orientación tal que el ángulo entre ellos es β, demuestre quela norma del vector suma viene dada por la expresión 2v cos(β/2); y la norma del vector restaes 2v sen(β/2)

9. Para la figura adjunta se muestra la representación geométrica deuna circunferencia de radio R y dos vectores cuya punta se encuen-tra en el punto P y las colas se encuentra diametralmente opuestas.Pruebe que dichos vectores son ortogonales para cualquier punto Pcontenido en la circunferencia.

R

~A

~B

P

10. Demuestre las siguientes relaciones

(a) | ~A+ ~B|2 − | ~A− ~B|2 = 4 ~A · ~B (b) | ~A+ ~B| ≤ | ~A| + | ~B|

(c) | ~A− ~B| =

√| ~A|2 + | ~B|2 − 2 ~A · ~B (d) | ~A · ~B| ≤ | ~A| | ~B|

(e) ( ~A+ ~B) · ( ~A− ~B) = | ~A|2 − | ~B|2 (f) | ~A× ~B| ≤ | ~A| | ~B|

11. Use el producto triple ~A× ( ~B × ~C) = ( ~A · ~C) ~B − ( ~A · ~B)~C para demostrar las igualdades que sepresentan a continuación

(a) 1ra. Identidad de Lagrange (~a×~b) · (~c× ~d) = (~a · ~c)(~b · ~d) − (~a · ~d)(~b · ~c)(b) 2da. Identidad de Lagrange (~a×~b) × (~c× ~d) = [~a · (~c× ~d)]~b− [~b · (~c× ~d)]~a

(c) Identidad de Jacobi ~a× (~b× ~c) +~b× (~c× ~a) + ~c× (~a×~b) = ~0

12. Sean ~A =−→OA, ~B =

−−→OB y ~C =

−→OC tres vectores con origen común, donde los puntos A, B

y C no se encuentran colineales entre sí, de manera que se genera un triángulo en el espaciotridimensional. Muestre que el área del triángulo ABC viene dada por la expresión

A = 12

∣∣ ~A× ( ~B − ~C) + ~B × ~C∣∣.



13. Determine el vector ~x de la ecuación vectorial que se indica abajo, sabiendo que ϕ = ~A · ~xes conocido. Adicionalmente, de una interpretación geométrica del vector ~x. Suponga que losvectores ~A y ~B son conocidos.

~x× ~A = ~B

14. Resuelva la ecuación vectorial que se indica abajo, donde los vectores ~a, ~b y ~c son no nulosy el escalar k es distinto de cero. Adicionalmente, suponga que ~x se puede escribir como unacombinación lineal de los vectores~b y ~c; sustituya dicha combinación lineal en la ecuación vectorialque se indica abajo y determine los coeficientes de la combinación lineal.

k~x+ (~x · ~a)~b = ~c .

15. Encuentre una solución para la ecuación vectorial que se indica abajo, suponiendo que los vectores~A, ~C y ~B son dados; además, los vectores ~A y ~B no son ortogonales.

~x× ~A+ (~x · ~B) ~A = ~C .

16. Abajo se indica un sistema vectorial de ecuaciones para ~x y ~y. Los vectores ~A y ~B son conocidosy ortogonales entre sí. Resuelva este sistema vectorial de ecuaciones.

{~x+ ~y = ~A

~x× ~y = ~B

17. Dado el vector ~A(t) = A cos(ωt) ~U1 + A sen(ωt) ~U2 que depende del parámetro t, demuestrela relaciones que se indican abajo sabiendo que ~U1 y ~U2 son vectores independientes de dichoparámetro.

(a) ~A(t) · ddt~A(t) = 0. (b)

d2

dt2~A(t) = −ω2 ~A(t).

18. Sea ~r = ~r(t) un vector que depende del parámetro t, usando las propiedades de la derivadapruebe la siguientes igualdades. Suponga que el vector ~a es independiente del parámetro.

(a)d

dt

[~r × d~r

dt

]= ~r × d2~r

dt2(b)

d

dt

[|~r|2 +

∣∣∣∣d~r

dt

∣∣∣∣2]

= 2~r · d~rdt

+ 2d~r

dt· d

2~r

dt2

(c)dr

dt=

1

r

d|~r|dt

[dr

dt− r

](d)

d

dt

[(~a · ~r)~r × d~r

dt

]=

(~a · d~r

dt

)~r × d~r

dt+ (~a · ~r) ~r × d2~r

dt2

19. Sean ~e1 y ~e2 dos vectores no colineales, tal que verifican la condición ~e1 ·~e2 = 1. Pruebe que ~e1~e2es un operador que proyecta en la dirección del vector ~e1. En otras palabras, ~e1~e2( ~A) es un vectorcolineal a ~e1.

20. Sea Be = {e1, e2} una base ortonormal, dado los vectores

~U1 = e1 + e2 y ~U2 = 2e1 + e2.

(a) Construya la métrica GU inducida por la base oblicua Bu = {~U1, ~U2}; (b) construya la matrizcambio de base E y verifique que GU = EtE; (c) Obtenga la base recíproca a Bu; (d) Escriba alvector ~A = 3e1 + 2e2 en la base Bu y su recíproca; (e) obtenga el producto escalar ~A · ~B donde~A = 3~U1 + 2~U2. (f) Verifique la igualdad det GU = (det E)2, cómo puede probar dicha relación.



21. Los versores e1 = 1√2(ı + ) y e2 = 1√

2(ı − ) forman una base para un espacio bidimensional.

El conjunto de vectores {ı, } corresponde a la base canónica. (a) Calcule la representaciónmatricial de los proyectores e1e1 y e2e2. (b) Exprese al vector ~A = 3ı − 2 en la base {e1, e2}usando proyectores.

22. Dada la base oblicua ~e1 = ı− 2 y ~e2 = 2ı+ 3 una base que genera a un espacio bidimensional.El conjunto de vectores {ı, } corresponde a la base canónica. (a) Construya la representaciónmatricial de la métrica covariante G inducida por la base oblicua. (b) Determine la representaciónmatricial de la métrica recíproca a G. (c) Use la matriz cambio de base para construir la baserecíproca y verifique a partir de esta base que se obtiene el mismo resultado de la parte (b). (d)Construya los proyectores ~e1~e 1 y ~e2~e 2 y muestre que su suma corresponde al operador identidad.(e) Use los proyectores de la parte anterior para escribir al vector ~A = ı− en la base oblicua.

23. Dado el vector ~A = aµAµ en un espacio tetradimensional, expresado como combinación lineal dela base que se indica abajo

A1 =1√2

[1 00 1

], A2 =

1√2

[0 11 0

], A3 =

1√2

[0−11 0

]y A4 =

1√2

[1 00−1

].

En dicho espacio el producto escalar esta definido por ~A·~B = tr(~At~B) donde ~At indica trasposiciónde la matriz ~A, la operación dentro del paréntesis corresponde al producto habitual de matricesy el símbolo tr corresponde a la traza de dicho producto. (a) Muestre que el conjunto de vectoresAµ forma una base ortonormal, es decir Aµ · Aν = δµν . (b) Pruebe que las componentes delvector ~A vienen dada por la relación aµ = ~A · Aµ. Dado los vectores ~A = [ −2 1

3 4 ] y ~B = [ 1 −12 0 ].

(c) Encuentre la norma de cada uno de ellos. (d) El ángulo entre los dos vectores. (e) Expreseambos vectores en términos de la base {Aµ}µ=1,2,3,4.

24. Cuál de los siguientes conjuntos de vectores es coplanar,

I.-

~e1 = 2ı+ + k

~e2 = ı+ 0+ 3k

~e3 = −3ı− 4− k

y II.-

~E1 = ı+ 2+ 3k~E2 = −3ı− 4+ 2k~E3 = 2ı− − k

(a) Uno de estos dos conjuntos de vectores puede ser usado para formar una base de un espaciotridimensional, encuentre la métrica inducida por dicha base. (b) Determine la base recíprocay construya los proyectores mediante la diádica entre un vector covariante de la base y su con-travariante. (c) Determine la base recíproca y construya los proyectores mediante la diádica entreun vector contravariante de la base y su covariante. (d) Exprese a los vectores ~A = 2ı− 4+ 2k

y ~B = −3ı+ 2− k en la base covariante como en la contravariante. (e) Calcule ~A · ~B y ~A× ~B,expresando sus resultados en la base covariante y contravariante.



25. Haciendo uso del símbolo delta de Kronecker y Levi-Civita, simplifica cada una de las expresionesque se indican a continuación,

(a)3∑

i,j

δijviuj (b)3∑

k,j

δ2jδjkvk (c)3∑

k,i

εi3kδijvk

(d)N∑

i

δii (e)N∑

i

δijδij (f)N∑

i

εijkεkiℓ

26. Usando notación tensorial encuentre una identidad vectorial para cada una de las expresionesque se presentan a continuación,

(a) [ ~A× ( ~A× ~B)] × ~A · ~B (b) ( ~A× ~B) · [( ~B × ~C) × (~C × ~A)]

(c) ( ~A · ı)ı+ ı× (ı× ~A) (d) ı× (ı× ~A) + × (× ~A) + k × (k × ~A)

27. Sean ~e 1, ~e 2 y ~e 3 una base recíproca a la base ~e1, ~e2 y ~e3, por lo que ~ei · ~e j = δji . Probar la

siguientes relaciones,

(a) ~ei × ~ej = ǫijk~ek = ǫijk~e

k (b) ~e k = 12ǫkij~ei × ~ej


metodos del algebra vectorial

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