algebra vectorial

7/17/2019 Algebra Vectorial

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ALGEBRA VECTORIAL

VECTORES EN R2 y R3

La palabra “vectores” se refere a los elementos de cualquier Rn. En R1 = R elvector es un punto que llamamos escalar. En R2 el vector es de la orma (x1x2! " en R# el vector es de la orma (x1 x2 x#!.

$aracteristicas%

En R2%

1. La suma de dos vectores se defne por% sean a " b vectores en R2entonces a & b = (a1 a2! & (b1 b2! = (a1 & b1 a2 & b2!.

2. El roducto escalar se deine por% sea ' R " a un vector en R2entonces 'a = '(a1 a2! = (' a1 ' a2!.

)e puede observar que si a = (a1 a2! " b = (b1 b2! entonces la suma de losvectores a & b = (a1 a2! & (b1 b2! = (a1 & b1 a2 & b2!. Esto se obtienetrasladando la representacion de los vectores a " b. *e modo que se puedeobtener a & b dibu+ando un paralelo,ramo. - esta re,la de suma se le llamare!la del aralelo!ramo.

ara el producto escalar 'a se observa que si ' / 0 se alar,a o se acorta elvector a por un actor '. )i ' 0 se invierte la direccin del vector a.

En R#%

1. La suma de vectores se defne% sean a b R# entonces a & b = (a1 a2

a#! & (b1 b2 b#! = (a1& b1 a2 & b2 a# & b#!.

O"ERACIONES CON VECTORES



)34- *E 5E$67RE)

La suma de dos vectores A " B es un nuevo vector S por lo tanto A # B $S. 8rafcamente puede obtenerse mediante la re,la del paralelo,ram o bienusando el metodo que consiste en colocar uno de ellos " en el extremo deeste se coloca el ori,en del otro siendo el vector resultante aquel que tienede ori,en el del primero " de extremo el del se,undo.

La suma de dos vectores posee la propiedad conmutativa " asociativa. A #B $ B # A% &A # B' # C $ A # &B # C'.

5ector opuesto

El vector opuesto a uno dado (-! es otro vector de i,ual mdulo direccinpero de sentido contrario al dado (9-!.

*:;ERE<$:- *E 5E$67RE)

La dierencia de dos vectores A " B &A ( B' es i,ual a la suma de A con elopuesto de B ) A # &(B' *.

La suma de un vector con su opuesto nos da el vector cero (0!. - & (9-! = 0

R7*3$67 *E 3< E)$-L-R 7R 3< 5E$67R

)ea un escalar " un vector v se defne al producto del escalar por el vector( 9 v! a un nuevo vector V de mdulo veces el mdulo de v (5= v! de lamisma direccin que v " de sentido i,ual al de v si / 0. )i 0 el sentidode V ser> contrario al de v.

El cociente por un escalar es equivalente a multiplicar el vector ( v! por elinverso del escalar (1?! . v? = (1?! . v = V. El mdulo de este nuevo vectorser> 1? veces el mdulo de v.



- esto defnimos como vector unitario (u! de uno dado (A! al cociente entredic@o vector " su mdulo (u = A?-!. Lo que nos lleva a deducir que todovector unitario tiene de mdulo la unidad.

5E$67RE) E< EL ):)6E4- *E $77R*E<-*-) $-R6E):-<-)

En el sistema de coordenadas cartesianas un punto en el plano vienedeterminado por una pare+a de nAmeros reales (x"! " en el espacio por unaterna (x"B! tambiCn llamados coordenadas cartesianas.

Estos puntos pueden venir a su veB determinados por un vector que tiene suori,en en el ori,en de coordenadas " su extremo en el punto considerado.

Los vectores unitarios i + " D son los que defnen la direccin " sentido delos semie+es positivos 7 7F " 7G respectivamente.

- las pro"ecciones del vector sobre cada uno de los e+es se les denominacomponentes del vector.

-si pues si queremos expresar un vector - en uncin de sus componentes

cartesianas -(-x-"-B! " vectores unitarios correspondientes%

)e,An esto dos vectores son i,uales si lo son cada una de sus componentes.El vector 0

ser> aquCl cu"as componentes son nulas + (000!.

$7)E<7) *:RE$67RE)

- los cosenos de los >n,ulos que orma el vector con cada uno de los e+es seles denomina cose,os d-rectores "a que Cstos son las componentes delvector unitario que defnen la direccin de aquel.



)i quisiCramos determinar el mdulo del vector en uncin de suscomponentes bastarHa con aplicar it>,oras.

6eniendo en cuenta la expresin anterior " las obtenidas para los cosenosdirectores

se lle,a a la si,uiente relacion%

)umar restar " multiplicar por un escalar resulta evidente asH si -(- x-"-B! "I(IxI"IB! entonces -&I(-x&Ix-"&I"-B&IB! es decir las componentes delvector suma son la suma de las componentes " I9-(Ix9-xI"9-"IB9-B!. <teseque las componentes del vector dierencia ($! coinciden con la dierenciaentre las coordenadas del extremo " las del ori,en respectivamente.

E$3-$:7< 5E$67R:-L *E L- RE$6-

)i consideramos todos los vectores de R2 dibu+ados en el plano F se obtienelo que se conoce con el nombre de la,o eucl-d-a,o.

El plano euclidiano es un plano de vectores mientras que el plano afn es unplano de puntos. En el plano euclidiano (a b! es un vector que va del ori,enal punto (a b! delplano afn.

)upondremos siempre que ambos planos estan superpuestos por tanto (ab! es un vector a veces " un punto en otras ocasiones.

)i (x1 "1! es un punto de la recta r el vector tiene i,ual direccin que lue,o es i,ual a multiplicado por un escalar%

E+emplo%

3na recta pasa por el punto - (91 #! " tiene un vector director = (2 J!.Escribir su ecuacion vectorial.

&/ y' $ &(0/3' # 1 &2/ '

R7*3$67 *E *7) 5E$67RE)

)e llama producto escalar de dos vectores u " v al escalar obtenido comoproducto de sus modulos multiplicado por el coseno del an,ulo que ellosorman.



El producto escalar de dos vectores se defne por la i,ualdad%

u . v = KuK.KvK $os '

*onde el an,ulo ' esta ormado por los vectores " varian entre 0 " 1M0.

ropiedades del producto escalar

El producto escalar de dos vectores es co,mutat-vo4

u . v = v . u

ropiedad que se desprende de la defnicion de producto escalar.

N ara los versores undamentales% - 5 " 1/ teniendo como modulo launidad " siendo mutuamente perpendiculares entre si resulta.

- . - $ 5 . 5 $ 1 . 1 $ 0

- . 5 $ 5. 1 $ 1 . - $ +

El producto escalar de los vectores% u ( a b c ! por v ( m n p! expresadospor medio de sus componentes rectan,ulares%

v . u = (a!(m! & (b!(n! & (c!(p!

N )i v. u $ + los vectores son perpendiculares o bien uno de ellos esnulo.

El vector cero no tiene direccion determinada " podemos adoptar elconvenio que es perpendicular a cualquier otro vector.

En consecuencia cabe indicar que v .u $ + cuando los vectores sonperpendiculares " solo en este caso.

N )i el producto escalar es ne,ativo el an,ulo entre los vectores esma"or de O0.

N El producto escalar de un vector por si mismo es i,ual al cuadrado desu modulo%

v . v $ 6v62 $ v2

N El modulo al cuadrado de la suma de dos vectores se puederepresentar%

&a # b'2 $ a2 # b2 # 2 &a . b'



E7E8"LO4

-l,unas bases especiales%

-L:$-$:7< 8E74E6R:$- *EL R7*3$67 E)$-L-R

El valor absoluto del producto escalar de dos vectores no nulos es i,ual almodulo de uno de ellos por la pro"eccion de otro sobre el.

En la f,ura estan representados dos vectores " . -l pro"ectar elvector sobre la direccion del cu"o modulo coincide con la medidadel se,mento .

)e cumple%

6eniendo en cuenta% = K KKpro"eccion de sobre K = K K . K K

Entonces K . K = K K . K K cosa = K K Kpro"eccion de sobre K = K K .K K

Kpro"eccion de sobre K = K K = K . K K K

E+emplo%

Pallar la pro"eccion del vector = (2 1! sobre el vector = (9# Q!



-L:$-$:7< ;:):$- *EL R7*3$67 E)$-L-R

El producto escalar es mu" util en mecanica donde se le utiliBa en elcalculo del traba+o eectuado por una uerBa cuando el punto deaplicacion experimenta un desplaBamiento.

En la ilustracionse muestra un boque que es +alado con una uerBa 9 constante endireccion " modulo. El traba+o (! realiBado viene dado por%

: $ &696Cos ' 6 AB6

$ 9 . AB

3na uerBa constante de Q0 neStons que orma un an,ulo de #T con ele+e x empu+a un bloque de Q0 neStons sobre un plano inclinado defnido

por los puntos -(1 2! " I (J J! si las coordenadas de los puntos estan enmetros determinar el traba+o desarrollado por la uerBa al desplaBar albloque desde - @asta I.

La uerBa total (9T! que actua sobre el bloque se muestra en el ,rafcoad+unto en consecuencia%

9T $ 9 # "

*onde 9 es la uerBa de Q0 neStons " " el peso del cuerpo lue,o

9 $ ;+ &Cos 3<= - # Se, 3<= 5' $ 32 - # 2; 5

" $ ( ;+ 5

$omo el desplaBamiento esta dado por%

AB $ ; - # 3 5

ReemplaBando (2! " (#! en (1! el traba+o desarrollado se,un (#91Q! es%

: $ AB . 9T

ReemplaBando datos en (J! el traba+o desarrollado es de M0 +oules.

R7*3$67 5E$67R:-L *E *7) 5E$67RE)

El producto vectorial o producto cruB de dos vectores es otro vector cu"adireccion es perpendicular a los dos vectores. )e llama producto vectorialde dos vectores u " v al vector a que tiene como modulo al rpoducto delos modulos de los vectores u " v multiplicado por seno del an,ulo que



orman.

)u modulo es i,ual a%

)u sentido esta dado por el avance de un tornillo con rosca derec@a al,irar de u a v/ si,uiendo el an,ulo ormado por los vectores o tambienpor la re,la de la mano derec@a.

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante%

ropiedades del producto vectorial

N -nticonmutativa

N Pomo,enea

N *istributiva

E+emplo%

*ados los vectores u(2 2 1! " v(0 2 2! determinar el seno " elcoseno del an,ulo que orman.

El producto vectorial " escalar de los vectores dados por defnicion es%

u v $ 62- ( ;5 # ;16 >

u . v $ >

Remla?a,do datos e, las @ormulas correso,d-e,tes/te,emos4

E$3-$:7< *EL L-<7

3n plano queda defnido por los si,uientes elementos ,eometricos% unpunto " dos vectores.

unto " = (x1 "1 B1!



5ector u $ (a1 b1 c1!

5ector v = (a2 b2 c2!

Esta es la orma vectorial del plano sin embar,o la orma masutiliBada es la reducida resultado de i,ualar a cero el determinanteormando por los dos vectores " el punto ,enerico = (x " B! con elpunto dado. *e esta manera la ecuacion del plano es%

*onde (- I $! es un vector perpendicular al plano coincide con elproducto vectorial delos vectores u " v. La rmula para @allar laecuacin cuando no est> en el ori,en es%

E+emplo%

La ecuacion de la recta que pasa por el punto - (2 9Q! " que tiene unapendiente de 91?#.

-l sustituir los datos en la ecuacion resulta lo si,uiente%

6R:LE R7*3$67 E)$-L-R

El triple producto escalar se defne como producto de punto de uno delos vectores con producto cruBado de los otros dos.

)ean los vectores u v " se llama triple producto escalar al produtoescalar del vector por esto es%

.

F se le representa por%

&u v' . $ &u/ v/ ' $ &u v '

)i %

=

Lue,o%



$aracteristicas

El producto triple escalar se puede evaluar numCricamente usando delas caracteriBacionesequivalentes si,uientes%arCntesis pueden seromitidos sin causar ambi,Uedad desdeproducto de punto no puedeserevaluado primero. )i uera saldrHa del producto cruBado de un

vector " de un escalar que no sedefne.El producto triple escalar sepuede tambiCn entender comodeterminantede la matriB # b"9# quetiene los tres vectores como flas (o columnas desde el determinantepara una matriB transportada est> i,ual que la ori,inal!V esta cantidades invariante ba+o rotacin coordinada.7tra caracterHstica del productotriple escalar es que si es i,ual a cero entonces los tresvectores ab "c sea coplanario.

6R:LE R7*3$67 5E$67R:-L

El producto de los vectores &u v' " u &v ' se conoce comotriples productos vectoriales.

En este tipo de producto vectorial los parentesis son necesarios

por e+emplo%

&- -' 5 $ + 5 $+

4ientras que%

- &- 5' $ - 1 $ (5

ara estos productos se tiene dos identidades%

&u v' $ &u . ' v ( &v . ' u

u &v ' $ &u . ' v ( &u . y'

E+emplo%

)i por una espira que tiene una superfcie plana de # metroscuadrados el vector noram a la superfcie es%

circula una corriente de 10 amperes " se encuentra en un campovisual de induccion ma,netica

Expresado en Sebers por metro cuadrado. $alcular el par e+ercidosobre la espira



)olucion%

El vector area es

En consecuencia aplicando la ormula el pare+ercido sobre la espira es

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