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4 4.1 © 2012 Pearson Education, Inc. Vector Spaces ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS

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4.1

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Vector Spaces

ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS

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ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS

§  Definición: Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, sobre el cual se definen dos operaciones, llamadas la suma y la multiplicación por un escalar, sujeto a diez axiomas (o reglas). Los axiomas se cumplen para todos los objetos u, v, y w en V y para todos los escalares c y d.

1.  La suma de u y v, denotada por u + v, está en V.

2.  u + v = v + u 3.  (u + v) + w = u + (v + w) .

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ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS 4.  Existe un vector cero 0 en V tal que u + 0 = u 5.  Para cada u en V, existe un vector –u en V tal

que u + -u = 0 6.  El múltiplo escalar de u por c, denotado por

cu, está en V. 7.  c(u + v) = cu + cv 8.  (c + d)u = cu + du 9.  c(du) = (cd)u 10.  1u = u

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ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS

§  Utilizando estos axiomas, se puede demostrar que el vector cero del axioma 4 es único y que el vector –u, llamado el negativo de u, en el axioma 5 es único para cada u en V.

§  Tambien se puede probar que: 0u = 0 c0 = 0 -u = (-1)u

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ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS

§  Algunos espacios vectoriales §  El conjunto de todos los vectores de dos entradas §  El conjunto de todos los vectores de tres entradas R3

§  El conjunto de todas las matrices de mxn (Mmn) §  El conjunto de todos los polinomios de grado menor e

igual a dos (P2) §  El conjunto de todos los polinomios de grado menor e

igual a tres (P3)

2R

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ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS §  Ejemplo 1: Dado un conjunto V de todas las flechas

(segmentos de recta dirigidos) en el espacio tri-dimensional, donde dos flechas son iguales si tienen la misma longitud y apuntan en la misma dirección. Definir la suma por la regla del paralelogramo, y para cada v en V, definir cv como la flecha cuya longitud es |c| veces la longitud de v, apuntando en la misma dirección de v si c >=0 y en la dirección opuesta de otra manera.

§  O sea,

§  Demostrar que V es un espacio vectorial.

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ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS §  Solucion: La definición de V es geométrica,

utilizando los conceptos de longitud y dirección. §  No se involucra el sistema de coordenadas xyz. §  Un vector de longitud cero es un simple punto y

representa al vector cero. §  El negativo de v es -v. §  Los axiomas 1, 4, 5, 6, y 10 son evidentes.

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SUBSPACIOS

§  Definición: Un subespacio de un espacio vectorial V es un subconjunto H de V tal que tiene tres propiedades:

a.  El vector cero de V está en H. b.  H es cerrado para la suma vectorial. Esto es,

para cada u y v en H, la suma u + v está en H. c.  H es cerrado para la multiplicación por

escalares, el vector cu está en H.

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SUBSPACIOS

§  Las propiedades (a), (b), y (c) garantizan que un subespacio H de V es por si mismo un espacio vectorial, bajo las operaciones vectoriales ya definidas en V.

§  Entonces: cada subespacio es un espacio vectorial. §  A la inversa, cada espacio vectorial es un

subespacio (de si mismo y posiblemente de otros espacios mas grandes).

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UN SUBESPACIO CREADO POR UN CONJUNTO

§  El conjunto que tiene como único elemento el vector cero en un espacio vectorial V es un subespacio de V, y se le llama el subespacio cero y se escribe como {0}.

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UN SUBESPACIO CREADO POR UN CONJUNTO

§  El término combinación lineal se refiere a la suma de múltiplos escalares de vectores, y Gen{v1,…,vp} denota el conjunto de todos los vectores que se pueden escribir como combinaciones lineales de v1,…,vp.

§  Entonces Gen{v1,…,vp} es un espacio vectorial y contiene todos los v dados por la ecuación anterior

vvvv =+++ ppccc …2211

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UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO, EJEMPLO NUMERICO

§  Ejemplo 2: considere los vectores y

Demostrar que Gen {v1, v2} es un subespacio de R3

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⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=

132

1v

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=

212

2v

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UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO, EJEMPLO 2

§  Solución: considerar dos vectores arbitrarios en Gen {v1, v2}

§  y y un escalar c. Numericamente

2211 vvu cc += 2211 vvv dd +=

u = c1231

!

"

###

$

%

&&&+ c2

212

!

"

###

$

%

&&&

v = d1231

!

"

###

$

%

&&&+ d2

212

!

"

###

$

%

&&&

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UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO, EJEMPLO 2

Debemos demostrar que se cumplen las tres propiedades de los subespacios, donde V es R3 y H es Gen {v1, v2}

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UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO, EJEMPLO 2

§  Esto es: a.  El vector está en Gen {v1, v2} b.  Gen {v1, v2} es cerrado para la

multiplicación por escalares. c.  Gen {v1, v2} es cerrado para la suma

vectorial.

000

!

"

###

$

%

&&&

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UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO, EJEMPLO 2

§  El vector cero de R3 debe estar en Gen {v1, v2} §  Suponer un vector arbitrario de Gen {v1, v2},

digamos: § 

§  Si hacemos c1=0 y c2=0, obtenemos el vector cero. Entonces el vector cero es una combinación de v1 y v2 y está en Gen {v1, v2}

u = c1231

!

"

###

$

%

&&&+ c2

212

!

"

###

$

%

&&&

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UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO, EJEMPLO 2

§  Gen {v1, v2} debe ser cerrado para la suma vectorial.

§  Hacer la suma de dos vectores arbitrarios de Gen {v1, v2}, o sea:

§  la suma es una combinación de v1 y v2, por lo que pertenece a Gen {v1, v2}

u+ v = (c1 + d1)231

!

"

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$

%

&&&+ (c2 + d2 )

212

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###

$

%

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UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO, EJEMPLO 2

§  Gen {v1, v2} debe ser cerrado para la multiplicación por escalares.

§  Hacer un múltiplo escalar de un vector arbitrario en Gen {v1, v2}

§  el múltiplo escalar es una combinación de los vectores v1 y v2, por lo que pertenece a Gen {v1, v2}

cu = c c1231

!

"

###

$

%

&&&+ c2

212

!

"

###

$

%

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'

(

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*

+

,,,= cc1

231

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"

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$

%

&&&v1 + cc2

212

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$

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UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO, EJEMPLO 2

Los vectores en Gen {v1, v2} , cumples con las tres propiedades para ser un subespacio, en este caso de R3

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UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO

§  Ejemplo 3: Dados v1 y v2 en un espacio vectorial V, y dado H = Gen{v1, v2}. Mostrar que H es un subespacio de V.

§  Solución: El vector cero está en H, ya que §  Para mostrar que H es cerrado para la suma vectorial,

tomar dos vectores arbitrarios en H, digamos, y . §  Por los axiomas 2, 3, y 8 para el espacio vectorial V,

1 20 0v 0v= +

1 1 2 2u v vs s= + 1 1 2 2w v vt t= +

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

u w ( v v ) ( v v )( )v ( )vs s t ts t s t

+ = + + +

= + + +

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UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO §  De manera que está en H.

§  Además, si c es cualquier escalar, entonces por los axiomas 7 y 9, lo que demuestra que cu está en H y H es cerrado para la multiplicación escalar.

§  Entonces H es un subespacio de V.

u w+

1 1 2 2 1 1 2 2u ( v v ) ( )v ( )vc c s s cs cs= + = +

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UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO

§  Teorema 1: Si v1,…,vp están en un espacio vectorial V, entonces Gen{v1,…,vp} es un subespacio de V.

§  Llamamos a Gen {v1,…,vp} el subespacio generado por {v1,…,vp}.

§  Dado cualquier subespacio H de V, un conjunto generador para H es un conjunto {v1,…,vp} en H tal que

. H =Gen{v1,...v p}

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UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO

§  Ejemplo 4: Sea H el conjunto de todos los vectores de la forma

§  Demuestre que H es un subespacio de

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⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

+

tts

sts

532

242

4R

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UN SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO

§  Ejercicio 4.1.13: Sean

§  Está w en {v1, v2, v3}? Cuantos vectores están en {v1, v2, v3}?

§  ¿Cuantos vectores están en {v1, v2, v3}? §  ¿w está en el subespacio generado por {v1, v2, v3}?

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=

101

1v

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

=

312

2v v3 =426

!

"

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%

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⎥⎥

⎢⎢⎢

=

213

w

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EJERCICIOS PROPUESTOS

§  Capítulo 2, sección 8; se recomienda realizar los ejercicios: 1 a 6

§  Capítulo 4 , sección 1; se recomiendan los ejercicios: 2, 3, 4, 10, 11, 15, 18, 24 y 35.