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  • ALGEBRA LINEAL.

    1 GRADO DE ECONOMA

    CURSO 2013-2014

    Prof. Pedro Ortega Pulido

  • I. ESPACIOS VECTORIALES

    I.1. Vectores. Operaciones con vectores

    I.2. Espacio vectorial. Propiedades

    I.3. Subespacio vectorial. Operaciones con

    subespacios vectoriales

    I.4. Sistemas de generadores

    I.5. Dependencia e independencia lineal

    I.6. Base y dimensin de un espacio vectorial

    (vase resumen terico cap. 1 libro Problemas y cuestiones de

    lgebra lineal P. Ortega

  • I.1. VECTORES. OPERACIONES

    VECTORES.

    SEGMENTO ORIENTADO

    Elementos: mdulo, direccin, sentido

    Relacin de equipolencia: VECTOR LIBRE

    Componentes de un vector.

    VECTOR COMO ESTRUCTURA DE DATOS

  • I. VECTORES. OPERACIONES

    OBSERVACIONES.

    Vector nulo: nico vector con todas su

    componentes nulas

    Dos vectores son iguales si tienen mismo

    mdulo direccin y sentido

    Dos vectores son iguales si tienen las mismas

    componentes

  • I. VECTORES. OPERACIONES

    SUMA

    ),...,(u

    suma vector el define se ),...,(vy ),...,(u vectoreslos Dados

    11

    11

    nn

    nn

    vuvuv

    vvuu

    INTERPRETACIN GEOMTRICA EN EL PLANO

    u

    v

    vu v

  • I. VECTORES. OPERACIONES

    DIFERENCIA

    ),...,(u

    diferencia vector el define se ),...,(vy ),...,(u vectoreslos Dados

    11

    11

    nn

    nn

    vuvuv

    vvuu

    INTERPRETACIN GEOMTRICA EN EL PLANO

    u

    v

    v

    vu

  • I. VECTORES. OPERACIONES

    PRODUCTO POR UN ESCALAR

    ),...,(uk

    escalarpor producto el define se real nmeroun k y ),...,(u vector el Dado

    1

    1

    n

    n

    kuku

    uu

    INTERPRETACIN GEOMTRICA EN EL PLANO

    u)0( kuk)0( kuk

  • I. VECTORES. OPERACIONES

    OBSERVACIONES

    contrario sentido pero que mduloy direccin misma la Tiene

    u de OPUESTO llama le se vector esteA . entonces -1a Si a)

    u

    uua

    unitario es a

    1 vector el entonces u 1 de distinto modulo tiene un vector Si

    1 si unitario es que diremos u cualquieraun vector Dado b)

    uau

    u

    nn vuvuvu

    vuvuv

    ...

    ),(cosu

    ESCALAR PRODUCTO c)

    110u 90 de nguloun forman

    sortogonaleson vectoresDos

    v

  • I. VECTORES Y OPERACIONES

    EJERCICIOS.

    1 2 3

    1 2 3

    1) Dados los vectores u (2,3,1) y w (1, 2, 2). Calcular:

    a) 2u 5 ) ) 5v 3 si

    v 2 5 3 ) )

    2) Qu ngulo forman los vectores (-4,-2),(2,1) y (1,3,2), (5,

    w b u w c v v

    u w v w u w v w u d u e w

    1 2 3

    4

    1 2 3 1 2 3

    1,-4)

    3) Dados los vectores a (2,5,1,3) (10,1,5,10) y a (4,1, 1,1) hallar el vector

    x para el que se verifica:

    a) 3(a ) 2( ) 5( ) ) 3 4 2 0

    a

    R

    x a x a x b a a a x

    EJ. RESUELTOS: Problemas y cuestiones

    de lgebra lineal, P.Ortega

    ejercicios 1-6, pgs 22-25

  • I.2. ESPACIO VECTORIAL

    Estructura algebraica determinada por

    Un conjunto de elementos:

    V : es el conjunto de vectores

    Operacin SUMA DE VECTORES:

    +: suma de vectores con 4 propiedades

    Operacin PRODUCTO ESCALAR DE

    VECTORES: .K: con 4 propiedades

  • I.2. ESPACIO VECTORIAL

    PROPIEDADES DE LA SUMA DE

    VECTORES:

    0)(u :(opuesto) u- existe u :OPUESTO ELEMENTO )4

    00u : u que tal0 un vector existe :NEUTRO ELEMENTO )3

    u verificase , :ACONMUTATIV PROPIEDAD 2)

    )()u( verificase ,, :ASOCIATIVA PROPIEDAD 1)

    u

    u

    uvvvu

    wvuwvwvu

  • I.2. ESPACIO VECTORIAL

    PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR

    ESCALAR:

    u

    u

    uvvvu

    vuuu

    u1 que K tal1 Existe

    : UNIDADELEMENTO )4

    )()u( : verificaseK , V,u

    :ATIVASEUDOASOCI )3

    )u( verificaseK y V ,

    :VECTORES DESUMA LA DE RESPECTOVA DISTRIBUTI PROPIEDAD 2)

    )( verificaseK ,y V

    :SUMALA DE RESPECTOVA DISTRIBUTI PROPIEDAD 1)

  • I.2. ESPACIO VECTORIAL

    Se dice que (V,+,.K) es un espacio vectorial

    V: conjunto de vectores

    K: conjunto de escalares

    ),,(...),,( ),,(

    :

    32 RRRRRR

    Ejemplos

    n

  • I.2. ESPACIO VECTORIAL

    Propiedades

    0

    00vy ;v Si )5

    v de opuesto el es )1(v Si 4)

    00v Si 3)

    00escalar un y V de neutro elemento es 0 Si 2)

    uan verific,,u Si 1)

    v

    oKV

    vvV

    vV

    vuwvwVwv

  • I.2. ESPACIO VECTORIAL

    Ejemplos de espacios vectoriales:

    1) El conjunto de los polinomios con coeficientes reales

    de grado menor o igual que 4

    2) El conjunto de las funciones continuas con la suma de

    funcin y el producto de una constante por una funcin

    es un espacio vectorial

    3) El conjunto de los polinomios de grado 4, no es un

    espacio vectorial

  • I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES

    TODO SUBCONJUNTO DE UN ESPACIO

    VECTORIAL TIENE ESTRUCTURA DE ESPACIO

    VECTORIAL?

    NO: EJEMPLO: POLINOMIOS GRADO 4 Y

    POLINOMIOS DE GRADO MENOR O IGUAL QUE 4.

    NECESITAMOS DEFINIR AQUELLOS

    SUBCONJUNTOS DE UN ESPACIO VECTORIAL QUE

    SIGUEN TENIENDO ESTRUCTURA DE ESPACIO

    VECTORIAL: SUBESPACIOS VECTORIALES

  • I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES

    DEFINICIN: SUBESPACIO VECTORIAL

    Wa pertenece

    W deun vector por cualquieraescalar un de producto El 2)

    Wdeun vector es W de vectoresde suma La 1)

    :cumplen se si V de vectorialsubespacioun es W que Diremos

    suyo. osubconjuntun W seay vectorialespacioun ,.K)(V, Sea

    CARACTERIZACIN DE SUBESPACIOS VECTORIALES

    WvuWWv

    ,,,u

    W de vectorialsubespacioun es W que Diremos

    V.y W , vectorialespacioun ,.K)(V, Sea

  • I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES

    EJEMPLOS.

    22

    5

    22

    4

    44

    3

    33

    2

    33

    1

    R de }1/),{( W)5

    R de }00/),{(W)4

    R de }1/),,,{( W)3

    R de }/),,{( W)2

    R de }0/Rz)y,{(x, W1)

    sealados es vectorialespacios los de

    es vectorialssubespacio no oson ossubconjunt siguientes los siIndicar

    yxRyx

    yoxRyx

    xRtzyx

    zxRzyx

    z

    EJ. RESUELTOS:

    Problemas y cuestiones

    de lgebra lineal, P.

    Ortega

    Ejercicios 8,9, pg. 27-30

  • I.3. SUBESPACIOS VECTORIALESOBSERVACIONES1) Para que un subconjunto de V sea subespacio vectorial debe contener al vector

    nulo.

    2) Todo espacio vectorial tiene dos subconjuntos que por si mismos son un

    subespacio vectorial

    a) El propio espacio V

    b) El subconjunto formado nicamente por el elemento neutro.

    3) Cmo SON LOS SUBESPACIOS VECTORIALES del plano? y del espacio?

    334

    443

    332

    331

    R de }0/),,{(W)4

    R de }1/),,,{( W)3

    R de }3/),,{( W)2

    R de }3/Rz)y,{(x, W1)

    indicados es vectorialespacios los de es vectorialssubespacio

    son ossubconjunt siguientes los si Determinar :EJERCICIOS

    zyxRzyx

    yxRtzyx

    zxRzyx

    x

  • I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES

    INTERSECCIN:

    )(DEMOSTRAR

    V de vectorialsubespacioun es

    V de es vectorialssubespacio dos den intersecci La :

    }y /{

    V de es vectorialssubespacio dos y W Sean W:

    2121

    21

    PROPIEDAD

    WuWuVuWW

    Definicin

    ?W }0/),,{(

    }0/),,{( :Ejemplo

    N?INTERSECCILA CONSTRUYE SE COMO

    213

    2

    31

    WyxRzyxW

    zRzyxW

    OPERACIONES ENTRE SUBESPACIOS VECTORIALES

  • I.3. SUBESPACIOS VECTORIALESUNIN:

    GRFICO) (EJEMPLO

    V de vectorialsubespacioun es no

    V de es vectorialssubespacio dos deunin La :

    } o /{

    V de es vectorialssubespacio dos y W Sean W:

    2121

    21

    PROPIEDAD

    WuWuVuWW

    Definicin

  • I.3. SUBESPACIOS VECTORIALESUNIN:

    }0/),,{(

    }0/),,{(W

    vectorialsubespacioun es no siguientes

    es vectorialssubespacio los deunin la queComprobar :Ejercicio

    32

    31

    yxRzyxW

    zRzyx

    COMO LA UNIN DE SUBESPACIOS VECTORIALES NO ES UN

    SUBESPACIO VECTORIAL, NECESITAMOS CONSTRUIR UNA

    OPERACIN ENTRE SUBESPACIOS SIMILAR A LA UNIN PERO

    QUE S CONSTRUYA SUBESPACIOS VECTORIALES

    SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES

  • I.3. SUBESPACIOS VECTORIALESSUMA DE SUBESPACIOS

    }, donde /{

    :como ssubespacio de suma la

    define se V, de es vectorialssubespacio dos ,Sean

    22112121

    21

    WvWvvvuVuWW

    WW

    },...,1 donde .../{...

    suma la define se

    V de es vectorialssubespacioson ,...,, si general,En

    2121

    21

    kiWvvvvuVuWWW

    WWW

    iikn

    k

    IN)(DEMOSTRAC V de vectorialsubespacioun es

    V de es vectorialssubespaciok de suma la general,En

    V de vectorialssubespacioun es V de es vectorialssubespacio dos de suma La

    :PROPIEDAD

  • I.3. SUBESPACIOS VECTORIALESSUMA DE SUBESPACIOS

    1W

    2W

    221 RWW

    1v2v

    21 vv

  • )(plano1 XYW

    I.3. SUBESPACIOS VECTORIALESSUMA DE SUBESPACIOS

    X

    Y

    Z

    YW EJE2

    121 WWW

  • I.3. SUBESPACIOS VECTORIALESSUMA DE SUBESPACIOS

    ? 21 WW X

    Y

    Z

    X eje1 W

    Y eje2 W

    XY plano21 WW

  • I.3. SUBESPACIOS VECTORIALESSUMA DE SUBESPACIOS

    ? 21 WW X

    Y

    Z

    X eje1 W

    Zeje2 W

    XZ plano21 WW