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ALGEBRA LINEAL. 1º GRADO DE ECONOMÍA CURSO 2013-2014 Prof. Pedro Ortega Pulido

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Page 1: ALGEBRA LINEAL. - uam.es · 1) Para que un subconjunto de V sea subespacio vectorial debe contener al vector nulo. 2) Todo espacio vectorial tiene dos subconjuntos que por si mismos

ALGEBRA LINEAL.

1º GRADO DE ECONOMÍA

CURSO 2013-2014

Prof. Pedro Ortega Pulido

Page 2: ALGEBRA LINEAL. - uam.es · 1) Para que un subconjunto de V sea subespacio vectorial debe contener al vector nulo. 2) Todo espacio vectorial tiene dos subconjuntos que por si mismos

I. ESPACIOS VECTORIALES

I.1. Vectores. Operaciones con vectores

I.2. Espacio vectorial. Propiedades

I.3. Subespacio vectorial. Operaciones con

subespacios vectoriales

I.4. Sistemas de generadores

I.5. Dependencia e independencia lineal

I.6. Base y dimensión de un espacio vectorial

(véase resumen teórico cap. 1 libro “Problemas y cuestiones de

álgebra lineal” P. Ortega

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I.1. VECTORES. OPERACIONES

VECTORES.

SEGMENTO ORIENTADO

Elementos: módulo, dirección, sentido

Relación de equipolencia: VECTOR LIBRE

Componentes de un vector.

VECTOR COMO ESTRUCTURA DE DATOS

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I. VECTORES. OPERACIONES

OBSERVACIONES.

Vector nulo: único vector con todas su

componentes nulas

Dos vectores son iguales si tienen mismo

módulo dirección y sentido

Dos vectores son iguales si tienen las mismas

componentes

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I. VECTORES. OPERACIONES

SUMA

),...,(u

suma vector el define se ),...,(vy ),...,(u vectoreslos Dados

11

11

nn

nn

vuvuv

vvuu

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA EN EL PLANO

u

v

vu v

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I. VECTORES. OPERACIONES

DIFERENCIA

),...,(u

diferencia vector el define se ),...,(vy ),...,(u vectoreslos Dados

11

11

nn

nn

vuvuv

vvuu

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA EN EL PLANO

u

v

v

vu

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I. VECTORES. OPERACIONES

PRODUCTO POR UN ESCALAR

),...,(uk

escalarpor producto el define se real númeroun k y ),...,(u vector el Dado

1

1

n

n

kuku

uu

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA EN EL PLANO

u)0( kuk)0( kuk

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I. VECTORES. OPERACIONES

OBSERVACIONES

contrario sentido pero que móduloy dirección misma la Tiene

u de OPUESTO llama le se vector esteA . entonces -1a Si a)

u

uua

unitario es a

1 vector el entonces u 1 de distinto modulo tiene un vector Si

1 si unitario es que diremos u cualquieraun vector Dado b)

uau

u

nn vuvuvu

vuvuv

...

),(̂cosu

ESCALAR PRODUCTO c)

110u 90º de ánguloun forman

sortogonaleson vectoresDos

v

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I. VECTORES Y OPERACIONES

EJERCICIOS.

1 2 3

1 2 3

1) Dados los vectores u (2,3,1) y w (1, 2, 2). Calcular:

a) 2u 5 ) ) 5v 3 si

v 2 5 3 ) )

2) ¿Qué ángulo forman los vectores (-4,-2),(2,1) y (1,3,2), (5,

w b u w c v v

u w v w u w v w u d u e w

1 2 3

4

1 2 3 1 2 3

1,-4)

3) Dados los vectores a (2,5,1,3) (10,1,5,10) y a (4,1, 1,1) hallar el vector

x para el que se verifica:

a) 3(a ) 2( ) 5( ) ) 3 4 2 0

a

R

x a x a x b a a a x

EJ. RESUELTOS: “Problemas y cuestiones

de álgebra lineal”, P.Ortega

ejercicios 1-6, págs 22-25

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I.2. ESPACIO VECTORIAL

Estructura algebraica determinada por

Un conjunto de elementos:

V : es el conjunto de vectores

Operación SUMA DE VECTORES:

+: suma de vectores con 4 propiedades

Operación PRODUCTO ESCALAR DE

VECTORES: .K: con 4 propiedades

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I.2. ESPACIO VECTORIAL

PROPIEDADES DE LA SUMA DE

VECTORES:

0)(u :(opuesto) u- existe u :OPUESTO ELEMENTO )4

00u : u que tal0 un vector existe :NEUTRO ELEMENTO )3

u verificase , :ACONMUTATIV PROPIEDAD 2)

)()u( verificase ,, :ASOCIATIVA PROPIEDAD 1)

u

u

uvvvu

wvuwvwvu

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I.2. ESPACIO VECTORIAL

PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR

ESCALAR:

u

u

uvvvu

vuuu

u1 que K tal1 Existe

: UNIDADELEMENTO )4

)()u( : verificaseK , V,u

:ATIVASEUDOASOCI )3

)u( verificaseK y V ,

:VECTORES DESUMA LA DE RESPECTOVA DISTRIBUTI PROPIEDAD 2)

)( verificaseK ,y V

:SUMALA DE RESPECTOVA DISTRIBUTI PROPIEDAD 1)

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I.2. ESPACIO VECTORIAL

Se dice que (V,+,.K) es un espacio vectorial

V: conjunto de vectores

K: conjunto de escalares

),,(...),,( ),,(

:

32 RRRRRR

Ejemplos

n

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I.2. ESPACIO VECTORIAL

Propiedades

0

00vy ;v Si )5

v de opuesto el es )1(v Si 4)

00v Si 3)

00escalar un y V de neutro elemento es 0 Si 2)

uan verific,,u Si 1)

v

oKV

vvV

vV

vuwvwVwv

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I.2. ESPACIO VECTORIAL

Ejemplos de espacios vectoriales:

1) El conjunto de los polinomios con coeficientes reales

de grado menor o igual que 4

2) El conjunto de las funciones continuas con la suma de

función y el producto de una constante por una función

es un espacio vectorial

3) El conjunto de los polinomios de grado 4, no es un

espacio vectorial

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I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES

¿TODO SUBCONJUNTO DE UN ESPACIO

VECTORIAL TIENE ESTRUCTURA DE ESPACIO

VECTORIAL?

NO: EJEMPLO: POLINOMIOS GRADO 4 Y

POLINOMIOS DE GRADO MENOR O IGUAL QUE 4.

NECESITAMOS DEFINIR AQUELLOS

SUBCONJUNTOS DE UN ESPACIO VECTORIAL QUE

SIGUEN TENIENDO ESTRUCTURA DE ESPACIO

VECTORIAL: SUBESPACIOS VECTORIALES

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I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES

DEFINICIÓN: SUBESPACIO VECTORIAL

Wa pertenece

W deun vector por cualquieraescalar un de producto El 2)

Wdeun vector es W de vectoresde suma La 1)

:cumplen se si V de vectorialsubespacioun es W que Diremos

suyo. osubconjuntun W seay vectorialespacioun ,.K)(V, Sea

CARACTERIZACIÓN DE SUBESPACIOS VECTORIALES

WvuWWv

,,,u

W de vectorialsubespacioun es W que Diremos

V.y W , vectorialespacioun ,.K)(V, Sea

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I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES

EJEMPLOS.

22

5

22

4

44

3

33

2

33

1

R de }1/),{( W)5

R de }00/),{(W)4

R de }1/),,,{( W)3

R de }/),,{( W)2

R de }0/Rz)y,{(x, W1)

señalados es vectorialespacios los de

es vectorialssubespacio no oson ossubconjunt siguientes los siIndicar

yxRyx

yoxRyx

xRtzyx

zxRzyx

z

EJ. RESUELTOS:

“Problemas y cuestiones

de álgebra lineal”, P.

Ortega

Ejercicios 8,9, pág. 27-30

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I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES

OBSERVACIONES1) Para que un subconjunto de V sea subespacio vectorial debe contener al vector

nulo.

2) Todo espacio vectorial tiene dos subconjuntos que por si mismos son un

subespacio vectorial

a) El propio espacio V

b) El subconjunto formado únicamente por el elemento neutro.

3) ¿Cómo SON LOS SUBESPACIOS VECTORIALES del plano? ¿y del espacio?

334

443

332

331

R de }0/),,{(W)4

R de }1/),,,{( W)3

R de }3/),,{( W)2

R de }3/Rz)y,{(x, W1)

indicados es vectorialespacios los de es vectorialssubespacio

son ossubconjunt siguientes los si Determinar :EJERCICIOS

zyxRzyx

yxRtzyx

zxRzyx

x

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I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES

INTERSECCIÓN:

)(DEMOSTRAR

V de vectorialsubespacioun es

V de es vectorialssubespacio dos deón intersecci La :

}y /{

V de es vectorialssubespacio dos y W Sean W:

2121

21

PROPIEDAD

WuWuVuWW

Definición

?¿W }0/),,{(

}0/),,{( :Ejemplo

ÓN?INTERSECCILA CONSTRUYE SE ¿COMO

213

2

31

WyxRzyxW

zRzyxW

OPERACIONES ENTRE SUBESPACIOS VECTORIALES

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I.3. SUBESPACIOS VECTORIALESUNIÓN:

GRÁFICO) (EJEMPLO

V de vectorialsubespacioun es no

V de es vectorialssubespacio dos deunión La :

} o /{

V de es vectorialssubespacio dos y W Sean W:

2121

21

PROPIEDAD

WuWuVuWW

Definición

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I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES

UNIÓN:

}0/),,{(

}0/),,{(W

vectorialsubespacioun es no siguientes

es vectorialssubespacio los deunión la queComprobar :Ejercicio

32

31

yxRzyxW

zRzyx

COMO LA UNIÓN DE SUBESPACIOS VECTORIALES NO ES UN

SUBESPACIO VECTORIAL, NECESITAMOS CONSTRUIR UNA

OPERACIÓN ENTRE SUBESPACIOS “SIMILAR” A LA UNIÓN PERO

QUE SÍ CONSTRUYA SUBESPACIOS VECTORIALES

SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES

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I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES

SUMA DE SUBESPACIOS

}, donde /{

:como ssubespacio de suma la

define se V, de es vectorialssubespacio dos ,Sean

22112121

21

WvWvvvuVuWW

WW

},...,1 donde .../{...

suma la define se

V de es vectorialssubespacioson ,...,, si general,En

2121

21

kiWvvvvuVuWWW

WWW

iikn

k

IÓN)(DEMOSTRAC V de vectorialsubespacioun es

V de es vectorialssubespaciok de suma la general,En

V de vectorialssubespacioun es V de es vectorialssubespacio dos de suma La

:PROPIEDAD

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I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES

SUMA DE SUBESPACIOS

1W

2W

221 RWW

1v2v

21 vv

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)(plano1 XYW

I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES

SUMA DE SUBESPACIOS

X

Y

Z

YW EJE2

121 WWW

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I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES

SUMA DE SUBESPACIOS

?¿ 21 WW X

Y

Z

X eje1 W

Y eje2 W

XY plano21 WW

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I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES

SUMA DE SUBESPACIOS

?¿ 21 WW X

Y

Z

X eje1 W

Zeje2 W

XZ plano21 WW

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I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES

SUMA DE SUBESPACIOS

?¿ 21 WW X

Y

Z

Y eje1 W

Zeje2 W

YZ plano21 WW

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I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES

SUMA DIRECTA SUBESPACIOS

WWW

WWWWW

WW

21

2121

21

que diremos Entonces

y }0{

que taleses vectorialssubespacio dos ,Sean

directa suma laconstruir podemos No caso esteEn

;

}0/),,{(}0/),,{( )2

)}0,0,0{(;

}0/),,{(}0/),,{( W1)

:Ejemplo

221121

31

32121

321

21

WWWWWW

zxzyxWzzyxW

RWWWWRWW

yxzyxWzzyx

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I.3. SUBESPACIOS VECTORIALES

SUMA DIRECTA SUBESPACIOS

RIOS.SUPLEMENTAson y W ssubespacio los

que decimos entonces Si :nObservació

21

21

W

VWW

rios.suplementason no caso esteEn

)}0,0,0{(;

)}(0/),,{(

)}(0/),,{( )2

rios.suplementason y caso esteEn

)}0,0,0{(;

}0/),,{(}0/),,{( W1)

:Ejemplo

4343

4

3

21

32121

321

21

WWYZplanoWW

YejezxzyxW

ZejeyxzyxW

WW

RWWWWRWW

yxzyxWzzyxEJERCICIOS: Libro:

Problemas y

cuestiones de

álgebra lineal”

P.Ortega

Ejercicios 10 al 13,

págs. 30-33

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I.4. SISTEMAS DE GENERADORES

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

kkk

k

n

uuuR

uu

R

...u que tales,...,,

reales númerosexisten si ,...,,u vectores

los de linealn combinació es u vector el que Diremos

221121

21

(1,1,0)}(0,1,1),{(1,0,1), c)

(-1,1,2)}{(2,-2,0), b)

(0,0,1)}{(1,1,2), a)

vectores?los de linealn combinació ¿es (1,-1,4) vector El

:Ejemplo

EJ. RESUELTOS: Libro “Problemas y

cuestiones de álgebra lineal”, P.Ortega

Ejercicios 14 y 15 pág. 33-34

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I.4. SISTEMAS DE GENERADORES

SISTEMA DE GENERADORES

)(

R de VECTORIAL SUBESPACIOun esy

,...,,upor denotamos lo vectores

dichoscon obtener pueden se que lineales nescombinacio las

todasde conjunto El .R de vectores,...,,uSean

n

21

n21

ÓNDEMOSTRACI

uuL

uu

k

k

k

k

uL

u

,...,uW W de

SGENERADORE DESISTEMA un es ,...,u vectoresde

conjunto el que Diremos .R de vectorialsubespacioun W Sea

VECTORIAL SUB. UNDE SGENERADORE DESISTEMA

1

1

n

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I.4. SISTEMAS DE GENERADORES

ECUACIONES QUE DEFINEN UN SUB. VECTORIAL

(2,-2,0)}{(-2,1,1), b)

(1,-1,0)}{(1,0,-1), a)

vectoreslospor generado vectorialsubespacio elCalcular 1)

Ejemplos.

scartesiana Ecuaciones

asparamétric Ecuaciones

vectorialEcuaciones

VECTORIAL SUB. UNDE ECUACIONES

EJ. RESUELTOS: Libro “Problemas y

cuestiones de álgebra lineal”, P. Ortega

Ejercicios 16,17,18, págs, 35-42

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I.4. SISTEMAS DE GENERADORES

OBTENCIÓN DE SISTEMAS DE GENERADORES

3

4

4

3

Rgeneran

(0,0,1)}(-1,1,2),{(1,-1,2), vectoreslos siEstudiar )2

}0,2,/),,,{(C

}0,0/),,,{(B

}0/),,{(A

es vectorialssubespacio lo de S.G.un Encontrar 1)

Ejemplos.

yxtzyxRtzyx

tzyxRtzyx

zyxRzyx

asparamétric a scartesiana ecuaciones dePasar

VECTORIAL SUB. UNDE ECUACIONES

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I.4. SISTEMAS DE GENERADORES

OBSERVACIONES

}0/Rz)y,{(x, W:EJEMPLO

sgeneradore de sistemas infinitos tiene vectorialsub.un decir, es

única, forma de generado está no vectorialsubespacio Un )1

3 zyx

}0/Rz)y,{(x, W:EJEMPLO

Wde sgeneradore de sistemaun es G

que talG W de vectoresde conjuntocualquier

entonces W,de sgeneradore de sistemaun es G Si )2

3

21

2

1

x

G

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I.4. SISTEMAS DE GENERADORES

OBSERVACIONES

mínimo? s.g. el será ¿cual b) W Calcula a)

Wde S.G.un es (0,1,0)}(2,3,0),(1,1,0),{(1,2,0),G

:EJEMPLO

? vectorialsubespacio

mismo el genere que vectoresde mínimo númeroun por

formado sgeneradore de sistemaun obtener ¿podremos

vectorialsubespacio

un para sgeneradore de sistemas infinitosExisten

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I.4. SISTEMAS DE GENERADORES

CÁLCULO DEL SUBESPACIO SUMA

?Wcalcular puede ¿se c)

Wde sgeneradore sist.y scartesiana Ecuaciones b)

W Wde sgeneradore sist.y scartesiana Ecuaciones a)

:Calcula

}0223,0/),,{(

}0/),,{(W

}{}{};{ WSi

21

21

21

32

31

21212211

W

W

zyxzyRzyxW

xRzyx

EJEMPLO

GGLWWGLWGL

EJ. RESUELTOS: Libro de referencia [1]

Ej. 19 pág- 42 ; ej. 20, pág. 44

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I.5. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

CONCEPTO

lineal. ciaindependen e adependenci de concepto el

osintroducim mínimos sgeneradore de sistemasobtener Para

restantes. los de lineal

n combinació comoexpresar puede se toreningún vec si (L.I.)

nteindependie elinealment conjuntoun es ,...,,u b)

restantes. los de linealn combinació como

expresar puede se vectoreslos de uno menos al si (L.D.)

edependient elinealment conjuntoun es ,...,,u a)

:que diremos ,...,,uSean :Definición

21

21

21

k

k

nk

uu

uu

Ruu

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I.5. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

CONCEPTO

(1,0)}{(-1,1), b)

(4,0,1)}(0,1,1),(1,0,0),{(3,-1,0), a)

LD o LIson vectoresde conjuntos siguientes los si Determinar Ejemplo.

kkk

kk

k

k

uuu

uuu

R

uu

ACIÓNCARACTERIZ

...0... cumple se si

NTEINDEPENDIE ELINEALMENT Es b)

0...

que talesnulos todosno ,...,,existen

EDEPENDIENT ELINEALMENT Es a)

R de },...,,u{ conjuntoUn

212211

2211

21

n21

Ejemplo: probar mediante la

caracterización que los conjuntos

anteriores son LI o LD

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I.5. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

PROPIEDADES

vez.la a ambas no LI o LD es vectoresde conjunto Un 1)

)(Demostrar L.D. es

nulo vector al contenga que vectoresde conjuntoCualquier 2)

)(Demostrar L.I. siempreson nulo no

vectorúnicoun por formados vectoresde conjuntos Los 3)

LI (1,0,0)}(1,1,0),{(1,1,1), Ejemplo

L.I. es suyo osubconjunt

cualquier entonces LI es M vectoresde conjuntoun Si 4)

EJ. RESUELTOS: Libro

referencia [1], ejercicios 22 y

23 , 24, pág. 46-49

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I.5. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

EJEMPLOS

LD? o LI es

iguales vectoresdos contenga que vectoresde conjunto¿Un 1)

?conclusión algunaextraer ¿podemos

L.D. o L.I.son siestudiar y

subespacio del sgeneradore de sistemas ariosObtener v

}0/Rz)y,{(x,W

vectorialsubespacio el Dado

EJEMPLO

3 z

ales?proporcion

vectoresdoscontener ¿puede L.I vectoresde conjunto Un 2)

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I.5. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

PROPOSICIÓN

Wgenere queG de vectoresde

osubconjuntningún existe no L.I. conjuntoun esG Si 2)

Wa genera también queG de vectoresde osubconjuntun

menos al existe entonces L.D. conjuntoun esG Si 1)

Entonces W. vectorialsubespacio

un de sgeneradore de sistemaun },...,u{G Sea 1 ku

)}3,2,1{(

)}3,3,2(),3,2,1{(

)}0,1,1(),3,2,1{(

)}3,3,2(),0,1,1(),3,2,1{(

:generan que subespacio el Determinar

4

3

2

1

G

G

G

G

Ejemplo

EJ. RESUELTOS: Libro [1]

Ejercicios 26 y 27 pág. 51-54

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I.5. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

RANGO DE UN CONJUNTO DE VECTORES

W? vectorialsubespacio el

generar para sgeneradore de sistemaun der selecciona

podemos que vectoresde mínimo número el será ¿Cuál

(3,3)}(2,3),(1,0),{(1,3), c)

(6,0,6)}(0,-3,6),(1,-1,3),{(2,1,0), b)

(1,1,0)}(0,1,0),{(1,0,0), a)

:de rango elalcular CEjemplo

.._.º,...,urg :L.I.

vectoresde máximo número al conjunto ese de RANGO el define se

vectorialespacioun de vectoresde conjuntoun Dado

Rango. :DEFINICIÓN

1 ilvectoresmáxnuk

EJ. RESUELTOS, Libro

referencia [1].

Ejercicio 25, pág. 49,50

Y ejercicio 28, pág. 55

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I.6. BASE Y DIMENSIÓN

BASE

L.I. conjuntoun es B 2)

Wde sgeneradore de sistemaun es B 1)

vectorialespacio del base una es B que Diremos W.vectorial

subespacio del vectoresde osubconjuntun },...,{B Sea

:es vectorialssubespacio para modo mismo Del

L.I. conjuntoun es B 2)

V de sgeneradore de sistemaun es B 1)

vectorialespacio del base una es B que Diremos V. vectorial

espacio del vectoresde osubconjuntun },...,{B Sea

1

1

k

k

uu

uu

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I.6. BASE Y DIMENSIÓN

BASE

0}2y-/xRz)y,{(x,W

vectorialsubespacio del distintas base esObtener tr 4)

0}z-y/xRz)y,{(x, Wb)

0}2y-/xRy){(x, Wa)

es vectorialssubespacio los de base unaObtener 3)

R vectorialespacio del base unaObtener 2)

R vectorialespacio del base unaObtener 1) :Ejemplos

3

32

21

2

3

vectorialespacio del DIMENSIÓN denomina le se

número dicho a vectoresde número mismo el tienen vectorial

o)(subespaci espacioun de bases las Todas:TEOREMA

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I.6. BASE Y DIMENSIÓN

BASE

?encuentras sdiferencia ¿qué

anteriores

sgeneradore de sistemas dos los de linealn combinació

como expresarle intenta e )3,2,3(u ejemplopor

subespacio del cualquieraun vector Considera b)

(base) LI otro ely LD ellos de uno

}0/Rz)y,{(x, W vectorialsubespacio

del sgeneradore de sistemas dos Construye a)

:Ejemplo

3

zx

EJ. RESUELTOS: Libro [1]

Ejercicio 29, pág. 56-58

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I.6. BASE Y DIMENSIÓN

COORDENADAS

Wde u cualquier r representa permite que base la de

vectoreslos de linealn combinació UNA ÚNICAexiste

entonces W vectorialsub.un de base una esG Si )2

ur representapermiten que lineales

nescombinacio infinitasexisten ,subespacio dicho deun vector uy

vectorialsubespacioun de sgeneradore de sistemaun esG Si 1)

:esconclusion dos obtenemosanterior ejemplo Del

Bk

kkk

k

xxx

uxuxuxxxx

uu

W

),...,,(u B base la de respecto u de

SCOORDENADA denomina les se valoresdichosA

...u que tales,...,, únicos

reales aloresexisten v entonces W;de base una },...,,u{B seay

V, de vectorialsubespacio u Sea :sCoordenada .DEFINICIÓN

21

221121

21

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I.6. BASE Y DIMENSIÓN

base. dicha de respecto (1,-1,1,0) vector del scoordenada lasObtener c)

Wdedimensión lacalcular b)

Wde base unaObtener a)

}0,0/Rt)z,y,{(x, W vectorialsubespacio el Dado 3)

.anteriores bases

las de respecto (3,2,-1) vector del scoordenada lasCalcular 2)

)}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(B c)

)}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(B b)

)}0,1,1(),1,0,0(),3,2,1{(B a)

R de basesson vectoresde conjuntos siguientes los siComprobar )1

:

4

3

2

1

3

tyx

EJEMPLOS

EJ. RESUELTOS: Libro [1]

Ejercicio 30,31, págs. 58-62

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I.6. BASE Y DIMENSIÓN

BASES: OBSERVACIONES

)}1,0,....,0,0(),...,0,...,0,1,0(),0,....,0,1{(:

)}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(:)}1,0(),0,1{(:R CANÓNICAS. BASES 1) 32

nR

R

nRRR n )dim(;....;3)dim(;2)dim(

SVECTORIALE ESPACIOS LOS DE SDIMENSIONE 2)

32

(0,1,2)}(0,0,1),{(1,1,0),B' (0,0,1)}(0,1,0),{(1,0,0),B

:bases las de respecto scoordenada susCalcular

R de vector (1,1,3) Sea :Ejemplo

SCOMPONENTE Y SCOORDENADA ENTRE DIFERENCIA )3

3

CANÓNICA BASE la es referencia de base la si únicamente

scomponente suscon coinciden un vector de scoordenada Las 4)

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I.6. BASE Y DIMENSIÓN

BASES: OBSERVACIONES

ndim(W) entonces

Vy Wn dimensión de vectorialespacioun es V Si )5

Wde base unaen scomponente-rtendrán

vectoresdichos entonces r, es W dedimensión la si Pero

scomponente-nn tienen dimensión de vectorialespacioun

en incluido W vectorialsubespacioun de vectoresLos 6)

sredundante no ecuaciones nº-dim(V)r-ndim(W)

ndim(V)con V de vectorialsubespacioun esy W

sredundante no scartesiana ecuaciones-rpor definido está W Si 7)

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I.6. BASE Y DIMENSIÓN

BASES Y DIMENSIÓN EJEMPLOS

Wa riosuplementa subespacioun Obtener c)

R a W de base laProlongar b)

dimensiónsu y W de base unaObtener a)

}0/Rz)y,{(x, WSea 3)

Wde scartesiana ecuaciones lasObtener b)

Wdedimensión lay base unaObtener a)

},/Rb)-b,2ab,a{(a, WSea 2)

base dichaen (1,1,1) vector del scoordenada laCalcular b)

Wdedimensión lay base unaObtener a)

}02/Rz)y,{(x, WSea 1)

EJEMPLOS.

3

3

4

3

zx

Rba

zyx

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I.6. BASE Y DIMENSIÓN

BASES Y DIMENSIÓN EJEMPLOS

)}2,0,0(),0,1,2(),0,2,1{(

)},0,(),0,1,0(),,0,{(

)}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{()}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(

R de esortonormaly sortogonale basesson siguientes las siComprobar

unitariosson vectoressus y todos

ortogonal base una es si ortonormal es base una que Decimos

dos. a dos laresperpendicuson

vectoressus todossi ortogonal es base una que Decimos )4EJEMPLOS.

4

2

1

2

1

2

1

2

13

21

3

B

B

BB

EJ. RESUELTO: Libro [1]

Ej. 36 pág. 69

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I.6. BASE Y DIMENSIÓN

DIMENSIÓN DEL SUBESPACIO SUMA

)dim()dim()dim(

)dim()dim()dim()dim(W

que verificase

R de es vectorialssubespacio dosson , WSi

2121

212121

n21

WWWW

WWWWW

W

suma la dedimensión la de fórmula la verificase que Comprueba d)

Wdedimensión lay base una Calcula c)

Wdedimensión lay base una Calcula b)

ssubespacio dichos dedimensión lay base una Calcula a)

}0/),,,{(

}0,0/),,,{(W

EJEMPLO

21

21

42

41

W

W

zyRtzyxW

tyxRtzyx

EJ. RESUELTOS. Libro [1]

Ejercicio 32, 33, 34,

Págs. 63-67