anÁlisis vectorial

1

CLCULO VECTORIAL NIVEL 3 GUIA UNIDAD 5

GUIA DE APRENDIZAJE GUIA DE APRENDIZAJE GUIA DE APRENDIZAJE GUIA DE APRENDIZAJE UNIDAD 5UNIDAD 5UNIDAD 5UNIDAD 5 : : : : ANLISIS VECTORIALANLISIS VECTORIALANLISIS VECTORIALANLISIS VECTORIAL

Objetivos especficosObjetivos especficosObjetivos especficosObjetivos especficos Representar campos vectoriales en R2 y R3. Obtener el campo gradiente de un funcin escalar. Comprender el significado de campo vectorial conservativo y su relacin con la funcin potencial. Obtener la divergencia, rotacional y laplaciano de un campo vectorial Aplicar propiedades simples de un operador nabla. Evaluar integrales de lnea a lo largo de una simple trayectoria Aplicar integrales de lnea para calcular el trabajo de un campo de fuerzas Aplicar el teorema de Green en el plano para ejemplos simples Evaluar integrales de superficie y de flujo sobre superficies simples Aplicar el teorema de la divergencia de Gauss a problemas simples Aplicar el teorema de Stokes para trayectorias simples

1. PREREQUISITOS :1. PREREQUISITOS :1. PREREQUISITOS :1. PREREQUISITOS : Los temas necesarios para esta unidad son :

Magnitud y grfica de vectores en RRRR2 y RRRR3 Rectas y planos Curvas de nivel y superficies de nivel Identificacin y grafica de curvas en 2D. Identificacin de superficies y sus grficas Trazas y secciones de una superficie Parametrizacin de curvas en el plano y en el espacio Funciones vectoriales Integrales dobles Integrales triples 2.2.2.2. MATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYO Libro de texto: STEWART, J.: Clculo de varias variables ,(Sexta edicin). Cengage Learning. 2008. Tabla de integrales y frmulas extrada del texto Software matemtico Calculadora con CAS 3. 3. 3. 3. ACTIVIDADES ESPECFICASACTIVIDADES ESPECFICASACTIVIDADES ESPECFICASACTIVIDADES ESPECFICAS Una lectura compresiva de las definiciones, enunciados, y ejemplos desarrollados en clase. Elaboracin de las respuestas de los ejercicios propuestos de la gua, justificacin de cada etapa del desarrollo de ejercicios. Anlisis sobre resultados de los ejercicios desarrollados.

2


4. METODOLOGA. METODOLOGA. METODOLOGA. METODOLOGA DE TRABAJODE TRABAJODE TRABAJODE TRABAJO El docente durante la clase definir los conceptos necesarios para el desarrollo de la gua. Para lo cual es imprescindible que el estudiante analice la teora con anterioridad usando el texto recomendado por el Docente. En clase los estudiantes organizan grupos (dependiendo del nmero de estudiantes por curso) para desarrollar los ejercicios propuestos de la gua El docente solucionar las dudas referentes a la gua y orientar su desarrollo. 5. 5. 5. 5. ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase) Realizar los siguientes ejercicios para la siguiente sesin como preparacin para el estudio de la unidad 4 sobre integrales mltiples. Esta tarea extraclase ser evaluada con el fin de medir el nivel de conocimientos de los temas necesarios como prerrequisitos de la unidad 5. Adems se le recuerda revisar la parte terica de la unidad 5. 5.15.15.15.1 Identifique y grafique las siguientes ecuaciones en RRRR3333 a) x = 3 b) 4x y + 2z = 4 c) x=2+3t , y =2 t , z = 2t 5.2 5.2 5.2 5.2 Trace algunas curvas de nivel de la funcin dada y obtenga su gradiente . I(J, K) = KJL + KL 5.35.35.35.3 Describa las superficies de nivel de la funcin y representarlas grficamente. (J, K) = JL + KL OL + 4 5.4 5.4 5.4 5.4 Para la siguiente curva, hallar una funcin vectorial de acuerdo al sentido de orientacin que se recorre la curva (arco de parbola) y determine su longitud de arco.

5.5.5.5.5555 Utilizando ecuaciones paramtricas, dibujar una semielipse con a = 3, b = 2, centro C(2,2) y el eje mayor horizontal. Halle y trace el vector tangente unitario en el punto de interseccin con el eje y. 5555.6 .6 .6 .6 Determinar ecuaciones paramtricas , para la curva cerrada formada por una semiparbola, una recta inclinada y una recta horizontal como se ve en la siguiente grfica.

1 2 3 4 5

3

2

1

x

y

3


5.5.5.5.7777 Describa mediante una funcin vectorial: a) La recta que pasa por los puntos (1,2,-1) y (3,12,11) b) La curva interseccin del paraboloide y= x2 + z2 y el plano y = 4 5.5.5.5.8888 Empleando integrales dobles, calcular el rea de la regin limitada por:

5555.9 .9 .9 .9 Calcular JX KYZ, donde D es la regin comprendida entre la elipse J L + 2K L = 1 y la circunferencia J L + K L = 1 en el primer cuadrante. 5555.10 .10 .10 .10 Determine el volumen del slido comprendido entre las esferas [\: JL + (K 1)L + OL = 4 y [\: JL +(K + 1)L + OL = 4 5.5.5.5.11111111 Grafique la regin en el primer octante limitada por la superficie Z=4-X2-Y2 y determine su volumen 5.5.5.5.12 12 12 12 Determine el volumen de la regin comprendida dentro de la semiesfera 2216 YXZ = y del cilindro X2+Y2=1, limitado debajo por el plano Z=0. 6. 6. 6. 6. REVISIN DE CONCEPTOS REVISIN DE CONCEPTOS REVISIN DE CONCEPTOS REVISIN DE CONCEPTOS 6.1 6.1 6.1 6.1 CAMPOS VECTORIALES EN RCAMPOS VECTORIALES EN RCAMPOS VECTORIALES EN RCAMPOS VECTORIALES EN R2222 Y Y Y Y RRRR3 3 3 3

En general un campo vectorial en R2 es una funcin F F F F que asigna un vector bidimensional a puntos del plano (x, y) cuyo dominio es un conjunto de puntos en _L y su rango es un conjunto de vectores en L`, la forma de representarlos grficamente es dibujar la flecha que representa al vector FFFF(x, y) que inicia en los puntos del dominio (x, y) es necesario saber que la magnitud de vector y la direccin reflejan la direccin y magnitud de un campo vectorial estos parmetros dependen de las funciones componentes del campo vectorial, los campos vectoriales representados en funcin de sus componente se los puede expresar de la siguiente manera: a(b, c) = e(J, K), f(J, K)

a = eh + fi

1 2 3 4 5

1

1

2

3

4

x

y

4


Una de las maneras de reconocer un campo vectorial es observar si se los representa con la letra FFFF, otra forma de hacerlo es observando si la funcin depende de otras funciones componentes y estas a su vez dependen de una o ms variables, caso contrario se trata de una funcin escalar. De igual forma un campo vectorial en RRRR3333 es una funcin que a cada punto del espacio(x, y, z) que pertenece al dominio le asigna un vector tridimensional F(x, y, z)F(x, y, z)F(x, y, z)F(x, y, z) de igual manera un campo vectorial se lo puede identificar ya que est formado por funciones componentes las mismas cuyo dominio es el dominio del campo vectorial, as como las componentes de un campo vectorial determina la magnitud y direccin del mismo, un campo vectorial puede expresarse en funcin de sus componentes de la siguiente manera:

a(J, K, O) = e(J, K, O)j + f(J, K, O)k + l(J, K, O)m El dominio de un campo vectorial tanto en R2 y R3 se lo puede determinar analizando el dominio de las funciones componentes, esto puede determinar de igual forma la continuidad de un campo vectorial (un campo vectorial es continuo en su dominio)

Ejemplo1 Ejemplo1 Ejemplo1 Ejemplo1 a = JJL + KL j KJL + KL k

Si analizamos M y N determinamos que el dominio es : noJL + KL 0q Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 2222 Muestre en una figura las representaciones que tiene su punto inicial en (x, y), de los vectores del campo vectorial: jxiyyxF rrr +=),( Donde x = 1 o x = 2, y y = 1 o y = 2

st (x, y) = xi + yj ut(x, y) = -yi + xj El vector de posicin st cuyo punto terminal est en (x, y). Entonces :

st ut = (xi + yj)*(-yi + xj) = -xy + xy= 0 lo que se obtiene de rrrr y FFFF son perpendiculares, la representacin de F en los puntos (x, y) la cual es tangente a las curvas de nivel (circunferencias con centro origen y radio k )

( )222

2222)(,kyx

kyxxyyxF

=+

=+=+=

5


Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 3333 Sea r r r r = xi + yj +zk el vector de posicin de un punto (x, y, z); se dice que un campo vectorial FFFF es un campo de variacin inversa al cuadrado de la distancia si : u

r

czyxF rr

r

2),,( = Donde c es un escalar y u es un vector unitario que tiene la misma direccin que r y est dado por r

ru

rr

r 1=

6.1.1 6.1.1 6.1.1 6.1.1 ROTACIONAL Y DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIALROTACIONAL Y DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIALROTACIONAL Y DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIALROTACIONAL Y DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL Se define yz como el gradiente de alguna funcin escalar I(J, K, O) y genera un campo vectorial gradiente :

yz(J, K, O) = {I{J j + {I{K k + {I{O m Sea FFFF una funcin vectorial en tres dimensiones dada por a |||t(x, y, z) = M (x, y, z)i + N (x, y, z)j + P(x, y, z)k Donde M, N y P tienen derivadas parciales en alguna regin; el rotacional de FFFF est dado por rot ut= Ahora obtenemos rot ut como un determinante :

.ky

Mx

Njx

Pz

Miz

NyP

F

+

+

=

Pz

Ny

Mx

kji

FFrot

==)(

6


Suponga que ut(x, y, z) = M (x, y, z)i + N (x, y, z)j + P(x, y, z)k tal que M, N y P tienen derivadas parciales en alguna regin. La divergencia de F se denota por div F, o por Fr , y est dado por : z

PyN

x

MFFdiv

+

+

==

rr Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 4 4 4 4 Calcule divergencia y rotacional del siguiente campo vectorial:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

222

222

2

222

232

23

,,

6134

23

,,

yzxe

xzyz

yzxy

ex

zyxFFdiv

kxyzjiyxyz

xzyyzxe

zyx

kjizyxFrot

x

x

x

++=

+

+

+

=

=

++=

+

=

rr

rrrr

6.1.2 6.1.2 6.1.2 6.1.2 CAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCICAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCICAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCICAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCIN POTENCIALN POTENCIALN POTENCIALN POTENCIAL Se dice que un campo vectorial F es un campo vectorial conservativo si es el gradiente de una funcin escalar, es decir si ),,(),,( zyxfzyxF =r para una funcin f (potencial)

),,( kz

fjyfi

x

fzyxF

rrrr

+

+

= TeoremaTeoremaTeoremaTeorema : : : : Sea F F F F = Mi + Nj + Pk, donde M, N y P son continuas junto con sus derivadas parciales de primer orden en un conjunto abierto y conexo D, que adems es simplemente conexo. Entonces F F F F es conservativo (F F F F = f) si y solo si rot FFFF = 0; es decir, si y solo si

yP

z

Nx

Pz

Mx

Ny

M

=

=

=

,, En particular, en el caso de dos variables, donde F = Mi + Nj es conservativo si y solo si

x

Ny

M

=

Ley de conservacin de la energa, Ley de conservacin de la energa, Ley de conservacin de la energa, Ley de conservacin de la energa, si una partcula se mueve de un punto a otro en un campo vectorial de fuerza conservativo, entonces la suma de las energas potencial y cintica permanece constante, es decir, la energa total no cambia (se conserva).

( ) kxzyyzjxiezyxF x )2(3,, 222 +++=

7


Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 5555 Determinar si el campo vectorial kxyzjxzyseniyzxyxF rrrr )2()2)(()2)(cos(),( +++++= es conservativo. Si lo es hallar su funcin potencial correspondiente.

voconservati

xyPy

x

Pz

x

N

xz

Nyz

Mz

yM

222

222

=

=

=

=

=

=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

22cos),,(

,22

)2(,,

,2cos)2(,,,2)2(cos,,

222cos:

2

2

zxyzyxsenzyxf

yxlxyzzdzxyzzyxf

zxhxyzydyxzsenyzyxfzygxyzxsendxyzxzyxf

xyzfxzysenfyzxfpotencialf

z

y

x

++=

++=+=

++=+=

++=+=

+=

+=

+=

Ejemplo 6 Ejemplo 6 Ejemplo 6 Ejemplo 6 Considere el campo de velocidad vvvv(x, y, z)= - wyi + wxj, w > 0. Observe que vvvv es perpendicular a r= r= r= r= xi + yj, y que 22 yxwv += . As, v describe un fluido que gira (como un slido) en torno del eje z con velocidad angular constante w. Muestre que div vvvv = 0 y rot vvvv = 2wk.

wk kwwjiwxwx

zyx

kjiFFrot

kjiFFdiv

yxwv

yjxiv

wxjwyizyxv

2)(00

0

0000*

),,(

22

=

++=

==

=

++==

+=

+=

8


Ejemplo 7 Ejemplo 7 Ejemplo 7 Ejemplo 7 Un objeto de masa m, que gira en una rbita circular con velocidad angular constante w, est sujeto a la fuerza centrifuga dada por ut(x, y, z)= m w2 (xi + yj + zk)

Determinar una funcin potencial para el campo ut

6.26.26.26.2 INTEGRALES DE LINEA INTEGRALES DE LINEA INTEGRALES DE LINEA INTEGRALES DE LINEA Una forma de generalizar la integral definida dxxfb

a

)( reemplazando el conjunto [a, b] sobre el cual integramos por conjuntos de dimensin dos y tres. Esto nos conduce a las integrales dobles y triples. Una generalizacin muy distinta se obtiene reemplazando [a, b] por una curva C en el plano xy. La integral resultante dsyxf

c

),( se conoce como una integral de lnea, pero sera ms adecuado llamarla integral de curva. Sea C una curva plana suave; es decir, sea C dada en forma paramtrica por

x = x(t), y = y(t), a t b donde x y y son continuas y no se anulan simultneamente en (a, b). Teorema de evaluacinTeorema de evaluacinTeorema de evaluacinTeorema de evaluacin para integrales de lnea; si una curva C esta dad por x = g(t), y = h(t); a t b, y f (x, y) es continua en una regin D que contiene a C, entonces

[ ] [ ]

dtththtgfdyyxfiii

dttgthtgfdxyxfii

dtthtgthtgfdsyxfi

b

ac

b

ac

b

ac

=

=

+=

)())(),((),()(

)())(),((),()(

)()())(),((),()( 2,2,

La parametrizacin de una curva C induce una orientacin: positiva (indicada C), la correspondiente a t creciente y negativa la opuesta (indicada C) ) I(J, K) YJ = I(J, K) YJ ) I(J, K) YK = I(J, K) YK

9


) I(J, K) Y = I(J, K) Y Ejemplo 8 Ejemplo 8 Ejemplo 8 Ejemplo 8 Evale la integral de lnea : ( ) + dyxyxdxxy 324 2 si la curva C consiste del segmento de recta de (-3, -2) a (1, 0) y el arco del primer cuadrante de la circunferencia x2 + y2 = 1 de (1, 0) a (0, 1), recorrida en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.

Paramtricamente lnea recta : x = 1 + 2t -2 t 0 y = t

( )( ) ( )( )

( ) 26426482

2136

21318

2132122)21(4

324

0

2

0

2

2

0

2

2

2

=+=

++=

++=

++++=

+

ttt

dttt

dtttttt

dyxyxdxxy

Arco de circunferencia en el primer cuadrante, las paramtricas correspondientes : x = cos t 0 t 1/2 y= sen t

( )( )( )

( )( )( )( )

+=

+=

+=

+=

+

20

22

20

222

20

232

20

2

2

cos3)(cos6cos2(

)cos31cos2cos4(

cos3cos2cos4

coscos3cos2)(cos4

324

pi

pi

pi

pi

dtsenttttsent

dtsentttsenttsent

dtsenttttsent

dttsenttttsentsent

dyxyxdxxy

3 2 1 1 2 3

2

1

1

2

x

y

10


( ) ( )25

1263241122

cos22

2

20

33

=

+=+

==

+=

dyxyxdxxy

ttsentsenpi

Ejemplo 9 Ejemplo 9 Ejemplo 9 Ejemplo 9 Determine la masa de un alambre con la forma de la curva y = x2 entre (-2, 4) y (2, 4) si la densidad est dada por (x, y) = k x

52.11

)121

1217(2

)12

)14((2

412

)2()1(2

22

23

2

02

32

2

02

2

022

2

=

=

+=

+=

+=

=

=

=

k

tk

dtttk

dtttk

dsxkmt

ty

tx

6.2.1 6.2.1 6.2.1 6.2.1 INTEGRALES DE LNEA DE CAMPOS VECTORIALESINTEGRALES DE LNEA DE CAMPOS VECTORIALESINTEGRALES DE LNEA DE CAMPOS VECTORIALESINTEGRALES DE LNEA DE CAMPOS VECTORIALES Trabajo : Trabajo : Trabajo : Trabajo : Es la integral de lnea con respecto a la longitud de arco de la componente tangencial a la fuerza. Sean CCCC una curva regular en el espacio, TTTT un vector unitario tangente a CCCC en (x,y,z), y FFFF la fuerza que acta en (x,y,z). El trabajo WWWW realizado por la partcula a lo largo de CCCC es

= u Y = u Ys Donde = Jh + Ki + O es el vector desplazamiento Ejemplo 10 Ejemplo 10 Ejemplo 10 Ejemplo 10 Dado el siguiente campo vectorial ut = (JL + K)t (J + 1)Kt el cual representa un campo de fuerzas

4 3 2 1 1 2 3 4 5

1

1

2

3

4

5

x

y

11


a) Reproduzca usando software matemtico la representacin grafica del campo vectorial para 0 x 3, 0 y 3 .

b) Sea C1 el segmento de recta que une el punto A (0,0) con B (2,0) C2 el segmento de recta que une el punto B (2,0) con C (2,2) Sin efectuar clculos indique si el trabajo realizado por el Campo F F F F para trasladar una partcula desde A hasta B es positivo o negativo (explique). Es positivo el trabajo realizado por el campo sobre C2?Justifique. Solo con observar el grafico podemos notar que l y trabajo desde A hasta B es positivo ya que esta en los vectores del campo de fuerza est en la misma direccin de la trayectoria C1. Por otro lado el trabajo desde B hasta C es negativo ya que el campo de fuerza est en sentido ms o menos perpendicular al sentido de C2. c) Calcule el trabajo realizado por FFFF para trasladar una partcula desde A hasta B por C1 y desde B a C por C2. Coincidi con lo conjeturado en a)? Cul es el trabajo realizado sobre C= C1+ C2?. Parametrizacin de curvas : CCCC1111:::: x=t , y=0 0t2 CCCC2222:::: x= 2 , y=t 0t2

1 = u Ys

1 = (L + 0)t N ( + 1) 0t (1t + 0t)YL

1 = (Lt + 0t)L

(1t + 0t)Y

1 = LY = 83L

12


2 = (2L + )t (2 + 1) t (0t + 1)YL 2 = (4 + )t 3tL (0t + 1t)Y

2 = 3Y = 6L = 1 + 2 = 83 6 = La integral de lnea de un campo vectorial F a lo largo de C cambia con la orientacin de C? ut Yst = ut Yst Porque el vector unitario tangente T es reemplazado por su negativo cuando C es reemplazado por C. Cul es la relacin entre las integral de lnea del campo vectorial F y las integrales de lnea de los campos escalares correspondientes a las funciones componentes? La relacin es: a||t Y|t = eYJ + fYK + lYO donde ut = ej + fk + lm EjemploEjemploEjemploEjemplo 11111111 Calcular la masa de un resorte que tiene la forma de la hlice circular: st = [, , ] con 0 t 6, si el material tiene una densidad (x,y,z) = 1+z. s() = [(), cos() , 1] (J, K, O) = 1 + O () = 1 + = I(J, K, O) Y = ()|s() |Y = (1 + )|[(), cos() , 1]| Y = (1 + ) ()L + (cos())L + (1)L Y = (1 + )2 Y = 2 + 2 Y

= 2 + L2 2 6 0 = 277.89 6.36.36.36.3 INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIAINDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIAINDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIAINDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA Sea C una curva uniforme definida por la funcin vectorial r(t),r(t),r(t),r(t), a < t < b. Sea f la funcin derivable de dos o tres variables cuyo vector gradiente I es continuo en C. Entonces:

13


I Yst = Is() I(s()) Suponga que F es un campo vectorial que es continuo en una regin conexa abierta D. Si u Ys es independiente de la trayectoria en D, entonces F es un campo vectorial conservativo en D, Es decir existe una funcin f tal que . I = ut. La integral de un campo vectorial es independiente de la trayectoriaindependiente de la trayectoriaindependiente de la trayectoriaindependiente de la trayectoria cuando sus campos vectoriales son conservativos. TeoremaTeoremaTeoremaTeorema : : : : sea F (x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j continuo en una regin abierta y conexa D, y sea C una curva regular parte por parte en D con extremos A(x1, y1) y B(x2, y2). Si F (x, y) = ),( yxf , entonces

y) (x,f y1) f(x1,-y2) (x2, f

dr F dy y) (x, N dx y) (x, M)2,2(

)1,1(

c

y2) (x2,

y1) (x1,

yx

yx==

=+ Si un campo vectorial de fuerza F es conservativo, entonces el trabajo realizado a lo largo de la trayectoria C de A a B es igual a la diferencia de potencias entre A y B.

Ejemplo12Ejemplo12Ejemplo12Ejemplo12 : : : : Considere el siguiente campo vectorial ut = 2(2J + K)t + (2J + K)t a) Se puede asegurar que el campo es conservativo? Por qu? {(2(2J + K)){K = 2cos (2J + K)

{((2J + K)){J = 2cos (2J + K) Es conservativo por:

{(e){K = {(f){J b) Dada la siguiente integral u |||t Yst en la cual ut es el campo vectorial dado y C est formada por 2 segmentos de lnea y un cuarto de circunferencia. El primer segmento une los puntos (,0) y (2,5), el segundo segmento comienza en (2,5) y termina en (5,0), luego el arco se extiende desde este punto hasta (0,5). Que mtodos conoce para calcular la integral dada?. Cul considera ms conveniente en este caso ?. Efecte el clculo de la integral.

14


Como es un campo vectorial conservativo realizamos los clculos independientes de su trayectoria para no complicar mucho el clculo. Se obtiene la funcin potencial del campo de fuerza: ut = 2(2J + K)t + (2J + K)t 1 I(J, K) = 2(2J + K) 2 I(J, K) = (2J + K) Al integrar 1 con respecto a x se obtiene: 3 I(J, K) = (2J + K) + (K) observe que la constante de integracin est en funcin de y. Al derivar 3 con respecto a y tenemos: 4 I(J, K) = (2J + K) + ,(K) al compara 2 con 4 podemos decir que la funcin potencial es: z(b, c) = (b + c) Calculo de la integral: ut Yst = [(2 2 + 5) + (2 + 0)] + [(2 5 + 0) + (2 2 + 5)]+ [(2 0 + 5) + (2 5 + 0)] =

6.46.46.46.4 TEOREMA DE GREENTEOREMA DE GREENTEOREMA DE GREENTEOREMA DE GREEN En esta parte se desarrolla el Teorema de Green, el cual permiti modelar diversas situaciones en el marco de las teoras de electricidad, magnetismo y el anlisis de fludos. Se dice que la curva es cerradacerradacerradacerrada si r r r r (a) = r r r r (b). C se dice que es una curva simple, si r r r r es inyectiva en (a,b), es decir, si rrrr(t1) r r r r (t2). Para comprender mejor se ha tomado como convenio, para las curvas cerradas la orientacin positivapositivapositivapositiva se define como el sentido antihorario. El teorema de Green vincula integrales de lnea e integrales dobles.

15


Sea C una curva regular parte por parte y cerrada simple, orientada positivamente, y sea R la regin del plano acotada por C y su interior. Si M y N son dos funciones continuas que tienen primeras derivadas continuas en una regin abierta D que contiene a R, entonces: .dA

dydM

dxdNNdyMdx

=+ .

El teorema de Green se puede extender a regiones que no son simplemente conexas, es decir, que tiene "agujeros" como la que se muestra en el dibujo.

La frontera de esta regin est formada por dos curvas cerradas simples. La orientacin que se debe tomar en cada trozo de la frontera es aquella que deja la regin a la izquierda: la curva de fuera con sentido antihorario mientras que para la curva interior se toma el sentido horario. EjemploEjemploEjemploEjemplo 13131313 Verifique el teorema de Green para el campo vectorial dado y la regin dada Cul de los 2 mtodos es ms conveniente? ut(J, K) = [KL cos(J) , JL + 2K[(J)] {f{J = 2J + 2K(J) {e{K = 2K(J) {f{J {e{K YZ = (2J + 2K(J) 2K(J))YZ

= 2JYKYJ = 2JL YKYJ = 2JK 3J 0

L YJ

= 6JLL YJ = 6J3 2 0 = 16

16


Ejemplo 14Ejemplo 14Ejemplo 14Ejemplo 14 Calcule el trabajo realizado por F = 2yi-3xj, al mover un objeto en torno al asteroide:

33

32

32

ayx =+ +c

NdyMdx

J = () K = () YJ = 3 L()()Y YK = 3 L() cos() Y

= 2 ()3 L()() 3 ()3 L() cos()YL = L 6()cos() + 9() cos() Y = 0L {e{K = 2 {f{J = 3

3 2 1 1 2 3

2

1

1

2

x

y

17


= 5

YK YJ 6.4.16.4.16.4.16.4.1 Area de una regin Area de una regin Area de una regin Area de una regin EjemploEjemploEjemploEjemplo 15151515 Aplique el teorema de Green para calcular el rea de una regin plana D limitada por un arco de la curva x=t sen(t), y = 1 cos(t). Z = 12 JYK KYJ = 12 ()(sin ())Y (1 cos())(1 cos())YL = 12 () L() (1 cos())LYL = 12 () + 2() 2 YL = 12 [() cos() + 2() 2] 02 = 12 (2 + 4) = 3

6.56.56.56.5 INTEGRALES DE SUPERFICIEINTEGRALES DE SUPERFICIEINTEGRALES DE SUPERFICIEINTEGRALES DE SUPERFICIE 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

x

y

Ri

x

z

y

R

Gi z = f(x,y)

18


Una integral de superficie se caracteriza por ser una integral doble de una funcin de 3 variables sobre una superficie generalizada, donde la regin G es la superficie dada por la grfica de ),( yxfz = donde (x,y) vara sobre el rectngulo RRRR en el plano xy. Sea P una particin de R en n subrectngulos Ri, esto produce una particin correspondiente de la superficie Gen n partes Gi, En la figura anterior se elige un punto de muestra ( )ii yx , en R y sea ( )),(,,,, iiiiiii yxfyxzyx = el punto correspondiente de Gi, entonces se define como la integral de superficie mediante la siguiente expresin.

( ) ( )=

=

n

iiiiiP

G

SzyxgdSzyxg10

,,lim,, Donde iS es el rea de Gi, finalmente R es el conjunto cerrado y acotado por el plano xy. Para evaluar una integral de superficie la definicin no es suficiente, se necesita una manera prctica de evaluar una integral de superficie, lo cual se presenta el siguiente : Si G es una superficie dada por ),( yxfz = , donde ),( yx esta en R, si f tiene derivadas parciales de primer orden continuas y )),(,,(),,( yxfyxgzyxg = es continua e R entonces

dydxffyxfyxgdSzyxgG R

yx 1)),(,,(),,( 22 ++= 6.5.16.5.16.5.16.5.1 IIIIntegrales de superficie de campos vectorialesntegrales de superficie de campos vectorialesntegrales de superficie de campos vectorialesntegrales de superficie de campos vectoriales

Aqu solo se consideran superficies de dos lados de modo que tenga sentido hablar de un fluido que fluye travs de la superficie de un lado a otro, como si la superficie fuese una pantalla. Adems se supone que la superficie es suave, lo que significa que tiene un vector normal unitario NNNN que vara en forma continua. Siendo G tal superficie suave con dos lados, y se supone que se sumerge en un fluido con un campo de velocidad continuo ),,( zyxF si S es el rea de una pequea parte de G, entonces F casi es constante ah, y el volumen V del fluido cruza este pedazo en la direccin del vector normal unitario NNNN es.

SNFV rr

19


Lo cual se tiene que el flujo a travs de G es :

=G

dSNFFlujo rr Si G es una superficie suave con dos lados, dada por ),( yxfz = , donde ),( yx esta en R, sea NNNN el vector normal unitario hacia arriba . Si f tiene primeras derivadas parciales continuas y F=Mi + Nj + Pk es un campo vectorial continuo, entonces el flujo de F a travs de G est dado por :

[ ]dxdyPNfMfdSnFG G

yx Flujo +==vr

Ejemplo 16Ejemplo 16Ejemplo 16Ejemplo 16 Evaluar la integral ( )dSzxyG + , donde G es la parte del plano 32 =+ zyx contenida en el

primer octante sobre el plano xy . En este caso z = 3+ y 2x = f(x,y), fx = -2 fy = 1 , xyxyzyxg 23),,( ++=

( )

++++=+G

x

dydxxyxydSzxy 2/3

0

32

0

22 11)2()23(

++=

2/3

0

32

0

22

22

32

6 dxxyyyxyx

++

=

2/3

0

22

)32(22

)32()32(32

)32(6 dxxxxxxx

32645

2)32)(1(6

2/3

0

2

=

= dxxx

n F

S

X

Y

Z

20


32 =+ zyx Ejemplo 17Ejemplo 17Ejemplo 17Ejemplo 17 Calcular el flujo hacia arriba de kxjyiF 9++= a travs de la parte de la superficie esfrica G determinada por :

229),( yxyxfz == , 40 22 + yx El campo vectorial F es una corriente de flujo que se encuentra en la direccin del eje positivo.

( ) 0,9),,( 22 === yxfzyxzzyxH

1)(

)(

1 2222 +

+

+

+

=

+

+=

=

zy

zx

kjz

yiz

x

ffkjfif

HHN

yx

yxr

Luego par encontrar el vector que apunta hacia arriba se realiza el siguiente clculo.

xy

z

(2.00,2.00,0.00)

(-2.00,-2.00,3.00)

21


( ) ( )kzjyix

z

kjzyiz

x

N3333

++=++

=

r

=g

dSNFFlujo rr = ( )

++++

G

dSkzjyixkxjyi333

*9 =

G

zdS3 = =R

dAz

z )2*(933 2pi = pi36 unidades cbicas

Ejemplo 18Ejemplo 18Ejemplo 18Ejemplo 18 Evaluar el flujo para el campo vectorial zkyjxiF ++=r a travs del parte G el paraboloide 221 yxz = que est arriba del plano xy, considerando a NNNN como el vector normal hacia arriba.

221),( yxyxf =

xf x 2= yf y 2= zyxPNfMf yx ++=+ 22 22

222222 1122 yxyxyx ++=++= ( ) ++=

G R

dxdyyxdSNF 221rr

( ) =+=pi

pi2

0

1

0

2

231 rdrdr

xy

z

(1.00,1.00,0.00)

(-1.00,-1.00,1.00)

22


Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 19191919 Calcule la masa y el centro de masa de un embudo delgado con forma de cono O = JL + KL , 1 z 4 y densidad de masa (masa por unidad de rea) dada por la funcin = 10 z . J = s() K = s() sL = JL + KL 1 s 4 0 2 = (J, K, O) Y = (10 O) s2sYsY = 2 (10 s)sYsY\L = 2 5sL s3 4 1 YL

= 2 54YL = 1082 Centro de Masa J = K = 0 ls hsh

O = 1 O

(J, K, O)Y O = 11082 2 s(10 s)s\L YsY O = 1108 10s3 s4 41L Y O = 1108 5854L Y O = 6524 Centro de Masa 0, 0, L

x

y

z

(4.00,4.00,1.00)

(-4.00,-4.00,4.00)

23


6.5.26.5.26.5.26.5.2 IIIIntegrales de ntegrales de ntegrales de ntegrales de flujo en forma paramtrica flujo en forma paramtrica flujo en forma paramtrica flujo en forma paramtrica Si F es un campo vectorial continuo definido sobre una superficie orientada S con un vector unitario normal n, entonces la integral de superficie de F sobre S es

ut Y|t = ut |t Y Tambin se representa como: ut Y|t = ut (s|||t s|||t)YZ X = ut (l

{{J {{K + _)YZ X EjemploEjemploEjemploEjemplo 20202020 Evaluar el flujo para el campo vectorial zkyjxiF ++= a travs del parte G el paraboloide

221 yxz = que est arriba del plano xy, considerando a N N N N como el vector normal hacia arriba. Aplicar frmula de paramtricas. s = [(), (), 1 L]

0 2, 0 1

s = [(), (), 2] s = [(), (), 0] s s = h i cos () () 2() () 0 = [2L cos() , 2L(), ]

u = [(), (), 1 L] u (s s)YZ X

[(), (), 1 L] X [2L cos() , 2L(), ]YY (2 + )YY =

x y

z

24


El resultado se lo puede interpretar como un caudal, flujo de calor y flujo elctrico, segn sea la aplicacin. 6.66.66.66.6 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS.TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS.TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS.TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS. Sea ++= kPjNiMF un campo vectorial tal que M, N y P tienen primeras derivadas parciales continuas en un slido Q con frontera S, si Nr denota el vector normal unitario, entonces, el flujo de F a travs de una frontera de una regin cerrada en el espacio tridimensional es la integral triple de su divergencia sobre la regin.

dVFDivdSnFQS

=

Ejemplo 21Ejemplo 21Ejemplo 21Ejemplo 21 : : : : Sea E la regin en RRRR3333 acotada por la superficie O = JL + KL y el plano z = 1 , aplique el teorema de la divergencia para calcular la siguiente integral Kt + Jt + OL|t Yt , con S orientada hacia el exterior.

ut = Kt + Jt + OL|t divut = 2O

O = JL+KL , O = 1 JL + KL = 1

O = sL 0 2 0 s 1

25


Kt + Jt + OL|t Yt = divu Y`= 2z Y`

2O\ YO\ sL YsY OL 1 sL

\ sL YsY

(1 s)\ sL YsY sL2 s6L 1 0 YsY

13L Y = 23 6.76.76.76.7 TEOREMA DE STOKESTEOREMA DE STOKESTEOREMA DE STOKESTEOREMA DE STOKES Sea S la superficie, C una curva cerrada suave por partes y Nr vector normal, ++= kPjNiMF es un campo vectorial donde M , N y P tienen primeras derivadas parciales continuas en S y su frontera C. Si Tr denota el vector tangente unitario a C, entonces: La integral de lnea de la componente tangencial de F a lo largo de C recorrida una vez en la orientacin positiva es igual a la integral de superficie sobre S de la componente normal de rot F.

dSNFrotdsTFSC

= )(

x

y

z

(1.00,1.00,0.00)

(-1.00,-1.00,1.00)

26


El teorema de Stokes relaciona una integral de superficie sobre una superficie S con una integral de lnea alrededor de la curva frontera de S, que es una curva en el espacio. Ejemplo 22Ejemplo 22Ejemplo 22Ejemplo 22 Aplicar el teorema de Stokes siendo : ++= kzjyixF 222 ; S es el hemisferio 221 yxz =y Nr es el vector normal superior.

tx cos= ; senty = ; 0=z

++= kjsentitr cos dtkjtisentrd )0cos(

++=

==CSC

rdFdSNFrotdsTF )( ( )[ ] += pi20 22 ).(cos.cos dtttsensentt [ ] pi2033cos tsent +=

0=

x

y

z

(1.00,1.00,0.00)

(-1.00,-1.00,1.00)

27


Ejemplo 23Ejemplo 23Ejemplo 23Ejemplo 23 Sea S la parte del paraboloide O = 9 JL KL para O 0, sea C la traza de S en el plano JK. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial ut = 3Oh + 4Ji + 2K.

(J, K, O) = O (9 JL KL) = O 9 + JL + KL f||t = (J, K, O)(J, K, O) = 2Jh + 2Ki + 4JL + 4KL + 1 sut = h i {{J {{K {{O3O 4J 2K = 2h + 3i + 4 s ut f ||||tY[ = 4J + 6K + 44JL + 4KL + 1 Y[ s ut f ||||tY[ = (4J + 6K + 4 )YZ s ut f||tY[ = (4s + 6s + 4)sYsY = 36L 7. 7. 7. 7. ACTIVIDADES ACTIVIDADES ACTIVIDADES ACTIVIDADES Y EJERCICIOS PROPUESTOSY EJERCICIOS PROPUESTOSY EJERCICIOS PROPUESTOSY EJERCICIOS PROPUESTOS Realizar las siguientes actividades y ejercicios aplicando software matemtico para todas las grficas y clculos. 7.1 7.1 7.1 7.1 Resolver los ejercicios 5,20, 33,35 de la seccin 16.1 - texto gua 7.2 7.2 7.2 7.2 Resolver los ejercicios 12,17,31,37 de la seccin 16.5 texto gua

x

y

z

(3.00,3.00,0.00)

(-3.00,-3.00,9.00)

28


7.3 7.3 7.3 7.3 Un alambre delgado esta doblado en forma de semicrculo JL + KL = 4 J 0 Si la densidad lineal es la constante k, calcule la masa y el centro de masa del alambre 7.4 7.4 7.4 7.4 Encuentre el valor exacto de JKLO Y donde C es la curva con ecuaciones paramtricas J = cos(4) ; K = sen(4); O = , 0 2. Graficar la curva. 7.5 7.5 7.5 7.5 La fuerza en (x,y) es ut = (2J + K)h + (J + 2K)i . Calcule el trabajo realizado por F a lo largo de las siguientes curvas que van desde el punto (0,0) a (1,3): Representar el campo vectorial y las curvas mostradas con un software. 7.6 7.6 7.6 7.6 La fuerza ejercida en el origen por una carga elctrica sobre una partcula cargada, en el punto (x,y,z) , con un vector de posicin st = Jh + Ki + O es ut(J, K, O) = st /|st| donde k es una constante . Determine el trabajo que

se lleva a cabo, conforme la partcula se mueve :

a) A lo largo de una recta desde (2,0,0) hasta (2,1,5) b) A lo largo de la cubica alabeada J = , K = L, O = desde (0,0,0) a (2,4,8). 7.7 7.7 7.7 7.7 Un hombre que pesa 160 libras carga un bote de pintura de 25 libras, por una escalera en caracol que rodea a un silo que tiene un radio de 20 pies. Si el silo tiene una altura de 90 pies y el hombre le da exactamente tres vueltas completas. qu tanto trabajo llev a cabo el hombre respecto a la fuerza de gravedad al subir a la parte ms alta. 7.8 7.8 7.8 7.8 Demostrar que si u(J, K, O) = KL cos(J) h + (2K(J) + L)i + 2KL es independiente de su trayectoria y encontrar una funcin de potencial para F. Suponiendo que F es un campo de fuerza, calcular el trabajo realizado por F a lo largo de una curva C de (0,1, 1/2) a (/2, 3, 2). 7.9 7.9 7.9 7.9 Evalu la integral u |||t Yst mediante el teorema de Green (compruebe la orientacin de la curva antes de analizar el teorema) u(J, K) =< + JLK, KL > siendo C : la circunferencia JL + KL = 25 orientada en sentido de las manecillas del reloj . 7.10 7.10 7.10 7.10 Una partcula comienza en el punto (-2,0) , se mueve a lo largo del eje x hasta (2,0), y despus por el semicrculo K = 4 JL hasta el punto inicial . Determinar el trabajo llevado a cabo por el campo de fuerza u(J, K) =< J, J + 3JKL > 7.11 7.11 7.11 7.11 Hallar el trabajo realizado al mover una carga de +2 coulumbs a lo largo de la trayectoria indicada en la figura , si el campo elctrico es |t = 2KL h 4J i

7.12 7.12 7.12 7.12 Evalu la integral de superficie JLKOY S es la parte del plano O = 1 + 2J + 3K y que est situada encima del rectngulo [0,3]x[0,2]

1 2

1

2

x

y

29


7.13 7.13 7.13 7.13 La superficie cnica OL = JL + KL , 0 O 4, tiene una densidad constante k . Evale el centro de masa y el momento de inercia alrededor del eje z. 7.14 7.14 7.14 7.14 Calcule el flujo a travs de de S. ut(J, K, O) = Jh + Ki + O ; S la parte del plano 2J + 3K + O = 6 contenida en el primer octante. 7.15 7.15 7.15 7.15 Un fluido de densidad igual a 1500 kg/m3 y un campo de velocidad t(J, K, O) = Kh + Ji + 2O en m/seg . Calcule la razn de fluido hacia afuera a travs de la esfera OL + JL + KL = 25 7.16 7.16 7.16 7.16 La temperatura en el punto (x,y,z) de una sustancia con conductividad k=6.5 es (J, K, O) = 2OL + 2KL . Determine la razn de flujo de calor hacia adentro , a travs de la superficie KL + OL = 6, 0 J 4. 7.17 7.17 7.17 7.17 Calcular la carga contenida en el hemisferio JL + KL + OL 20 , O 0 si el campo elctrico es |t = J h + Ki + 2O ( Utilice ley de Gauss) 7.18 7.18 7.18 7.18 Mediante el teorema de la divergencia calcule el flujo total del campo vectorial de ut(J, K, O) = 3JKLj +Jk + Om a travs de S que es la superficie del slido acotada por el cilindro KL + OL = 1 y los planos x=-1 y x=2 . 7.19 7.19 7.19 7.19 Mediante el teorema de la divergencia calcule la integral de superficie ut Y[t es decir calcule el flujo de F a travs de S. siendo ut(J, K, J) = (cos(O) + JKL)j + Jk + ((K) + JLO)m, y S es la superficie del slido acotada por el paraboloide O = JL + KL y el plano z=4 7.20 7.20 7.20 7.20 Sean ut = 2Kh + i sJ y S la parte del paraboloide O = 4 JL KL recortada por el plano xy. Evalue s ut |tY[. 7.21 7.21 7.21 7.21 Verifique el Teorema de Stokes si el campo vectorial est dado por ut = 3K, 4O, 6J y la superficie S est definida por O = 16 JL KL , con O 0 8. 8. 8. 8. OBSERVACIONES ESPECIALESOBSERVACIONES ESPECIALESOBSERVACIONES ESPECIALESOBSERVACIONES ESPECIALES Revise los conceptos vistos en clase y el material subido al AVAC. Desarrollar todas las actividades, los ejercicios propuestos en esta gua y los recomendados por el docente. Los talleres en clase pueden desarrollarse con grupos de 2 o 3 estudiantes Utilice software matemtico para ayuda con las grficas de los ejercicios. Ante cualquier duda, pregunte a su profesor y asista a las tutoras

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