ecuaciones de las rectas del plano. -...

Ecuaciones de las

rectas del plano.

4º ESO_B

Cuaderno de ejercicios Matemáticas JRM

Nombre y apellidos ……………………………………......

Ecuaciones de las rectas del plano. Página 2

Índice de contenidos.

1. Determinación principal de una recta. Ecuaciones. • Ecuación vectorial. • Ecuaciones paramétricas. • Ecuación continua. • Ecuación punto-pendiente. • Ecuación explícita. • Ecuación general. • Ecuación segmentaria.

2. Cálculo de los elementos característicos de una recta. • Cálculo de puntos de una recta. • Cálculo de vectores directores y vectores normales. • Cálculo de la pendiente de una recta

3. Otras determinaciones de una recta. • Punto-punto. • Punto-pendiente. • Punto-paralelismo. • Punto-perpendicularidad.

4. La posición relativa de dos rectas. • Posiciones relativas posibles. • Criterios analíticos.

5. Haces de rectas en el plano. • Haz de rectas por un punto. • Haz de rectas paralelas.


RESUMEN DE OBJETIVOS

1. Determinación principal de una recta. Ecuaciones.

1) Conocer el concepto de determinación principal de una recta.

� � ��, ��

2) Saber calcular cualquiera de las ecuaciones de una recta, a partir de

una de sus determinaciones principales ��, ��.

2. Cálculo de los elementos característicos de una recta.

1) Conocer los conceptos de punto de una recta, vector director y

vector normal de una recta y pendiente de una recta.

2) Saber calcular los elementos característicos de una recta: puntos,

vectores directores y vectores normales y pendiente, a partir de

cualquiera de sus ecuaciones.

3. Otras determinaciones de una recta.


una determinación punto-punto.


una determinación punto-pendiente.


una determinación punto-paralelismo.


una determinación punto-perpendicularidad.


4. La posición relativa de dos rectas.

1) Conocer las posiciones relativas que pueden ocupar dos rectas del

plano.

2) Conocer y utilizar adecuadamente los criterios analíticos para

determinar la posición relativa de dos rectas del plano, a partir de

sus determinaciones principales: ��, �� y �, ��

3) Conocer y utilizar adecuadamente el criterio analítico para

determinar la posición relativa de dos rectas, a partir de sus

ecuaciones generales.

5. Haces de rectas en el plano.

1) Conocer el concepto de haz de rectas que pasan por un punto y el

concepto de haz de rectas paralelas.

2) Conocer, y saber calcular, la ecuación punto-pendiente de un haz de

rectas por un punto.

a. � � ��

3) Conocer y saber calcular, la ecuación explícita de un haz de rectas

paralelas.

a. � � ��

4) Saber determinar si cierta recta pertenece o no a un haz

determinado.

5) Saber determinar la recta de cierto haz que verifica cierta condición

adicional


1. Determinación principal de una recta. Ecuaciones.

1) Conocer el concepto de determinación principal de una recta.

� � ��, ��

2) Saber calcular cualquiera de las ecuaciones de una recta, a

partir de una de sus determinaciones principales ��, ��.

Ejercicio 1.1.

Observa en la figura adjunta el punto A y el vector libre ��. Representa la recta � � ��, �� y calcula

todas sus ecuaciones.

Solución


Ejercicio 1.2.

Observa en la figura adjunta el punto B y el vector libre ��. Representa la recta � � �, �� y calcula

todas sus ecuaciones.

Solución

Solución:


Ejercicio 1.3.

Representa la recta � � ��, �� y calcula todas sus ecuaciones, sabiendo que ��4, �3� y que ��2,1�

Solución

Solución:


Ejercicio 1.4.

Representa la recta � � �#, �� y calcula todas sus ecuaciones, sabiendo que #�2,3� y que ��1, 2�

Solución

Solución:


Ejercicio 1.5.

Observa en la figura adjunta el punto A y el vector libre ��. Representa la recta � � ��, �� y calcula

su ecuación continua y su ecuación general.

Solución

Solución:

Ejercicio 1.6.

Sabiendo que #��1, �3� y que ��1, 2�, representa la recta � � �#, �� y calcula su ecuación punto

pendiente y su ecuación general.

Solución

Solución:


Ejercicio 1.7.

Considera el punto #�2, 1� y los vectores ��1, 1� y ��2, �1�. Representa las rectas � � �#, �� y

� � �#, �� y calcula la ecuación continua de cada una de ellas.

Solución

Solución:

Ejercicio 1.8.

Considera el punto ��2, 2� y los vectores ��1, 2� y ��1, 2�. Representa las rectas � � ��, �� y

� � ��, �� y calcula la ecuación explícita de cada una de ellas.

Solución

Solución:


Ejercicio 1.9.

Observa en la figura adjunta los puntos A y B y el vector libre ��. Representa las rectas � � ��, �� y

� � �, �� y calcula la ecuación general de cada una de ellas.

Solución

Solución:

Ejercicio 1.10.

Observa en la figura adjunta los puntos A y B y los vectores libres �� y �� . Representa las rectas

� � ��, �� y � � �, �� y calcula la ecuación punto-pendiente de cada una de ellas.

Solución

Solución:


Ejercicio 1.11.

Considera el punto ��3, 2� y los vectores �� y �� de la figura. Dibuja las rectas � � ��, �� ,

� � ��, �� y � � ��, �� y calcula la ecuación continua y la general, de cada una de ellas

Solución

Solución:

Ejercicio 1.12.

Considera los puntos �, B y C y el vector �� de la figura. Representa las rectas � � ��, �� ,

� � �, �� y � � �$, � y calcula la ecuación general y explícita de cada una de ellas.

Solución

Solución:


2. Cálculo de los elementos característicos de una recta.

1) Conocer los conceptos de punto de una recta, vector director y

vector normal de una recta y pendiente de una recta.

2) Saber calcular los elementos característicos de una recta:

puntos, vectores directores y vectores normales y pendiente, a

partir de cualquiera de sus ecuaciones.

Ejercicio 2.1.

La ecuación vectorial de la recta r es: �%, &� � ��', �(� � )�( , *�.

• Calcula dos de sus puntos, un vector director, un vector normal y su pendiente.

Solución

Solución:

Ejercicio 2.2.

Las ecuaciones paramétricas de la recta s son: +% � �, � ()& � ' � ) -


Solución

Solución:


Ejercicio 2.3.

La ecuación continua de la recta m es: %.(

( � &/'/'


• Representa su gráfica.

Solución

Solución:

Ejercicio 2.4.

La ecuación punto-pendiente de la recta t es: & � ( � /*( �% � '�



Solución

Solución:


Ejercicio 2.5.

La ecuación general de la recta s es: % � & � *



Solución

Solución:

Ejercicio 2.6.

La ecuación explícita de la recta n es: & � (' % � (



Solución

Solución:


Ejercicio 2.7.

La ecuación segmentaria de la recta r es: %0 � &

( � *



Solución

Solución:

Ejercicio 2.8.

La ecuación vectorial de la recta r es: ��, � � ��2, �3� � ��1 , ��.



Solución

Solución:


Ejercicio 2.9.

La ecuación vectorial de la recta r es: �%, &� � �', �*� � )�*' , /(

' �.



Solución

Solución:

Ejercicio 2.10.

Las ecuaciones paramétricas de la recta s son: + % � �' � )& � �( � ()-



Solución

Solución:


Ejercicio 2.11.

La ecuación continua de la recta m es: %.(

1 � &/'*



Solución

Solución:

Ejercicio 2.12.

La ecuación punto-pendiente de la recta t es: & � ' � /(' �% � *�



Solución

Solución:


Ejercicio 2.13.

La ecuación general de la recta s es: 3% � (& � ,



Solución

Solución:

Ejercicio 2.14.

La ecuación explícita de la recta n es: & � ( � %



Solución

Solución:


Ejercicio 2.15.

La ecuación segmentaria de la recta r es: %' � &

( � *



Solución

Solución:

Ejercicio 2.16.

La ecuación vectorial de la recta r es: ��, � � �5, 0� � ��3 ,1�.



Solución

Solución:


3. Otras determinaciones de una recta.


una determinación punto-punto.


una determinación punto-pendiente.


una determinación punto-paralelismo.


una determinación punto-perpendicularidad.

Ejercicio 3.1. Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos 4��', �(� & 5��*, 1�.

Representa su gráfica.

Solución

Solución:

Ejercicio 3.2.

Determina la ecuación continua de la recta que pasa por el punto 4��*, '� con la pendiente 6 � /('


Solución

Solución:


Ejercicio 3.3.

Determina la ecuación general de la recta que pasa por el punto 4�*, (� y es paralela a la recta de

ecuación continua: %/(

* � &/'/( . Representa la gráfica de ambas rectas.

Solución

Solución:

Ejercicio 3.4.

Determina la ecuación general de la recta que pasa por el punto 4�*, *� y es perpendicular a la recta

de ecuación continua: %/(

* � &/'/( . Representa la gráfica de ambas rectas.

Solución

Solución:


Ejercicio 3.5.

Determina la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos 7��(, ,� & 8�1, '�.


Solución

Solución:

Ejercicio 3.6.

Determina la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto 4�*, �'� con la pendiente 6 � (


Solución

Solución:


Ejercicio 3.7.

Determina la ecuación general de la recta que pasa por el punto 4�(, 1� y es paralela a la recta de

ecuación segmentaria: %0 � &

, � * . Representa la gráfica de ambas rectas.

Solución

Solución:

Ejercicio 3.8.

Determina la ecuación continua de la recta que pasa por el punto 4�', *� y es perpendicular a la

recta de ecuación explícita: � �2� � 4 . Representa la gráfica de ambas rectas.

Solución

Solución:


Ejercicio 3.9.

Determina la ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos 7 & 8.


Solución

Solución:

Ejercicio 3.10.

Determina la ecuación general de la recta que pasa por el punto 4 con la pendiente 6 � �*


Solución

Solución:


Ejercicio 3.11.

Determina la ecuación general de la recta que pasa por el punto 9 y es paralela a la recta �:;

Representa la gráfica de ambas rectas.

Solución

Solución:

Ejercicio 3.12.

Determina la ecuación general de la recta que pasa por el punto 9 y es perpendicular a la recta �:;


Solución

Solución:


Ejercicio 3.13.

Determina la ecuación general de cada una de las tres rectas soporte de los lados del triángulo ABC.

Representa sus gráficas.

Solución

Solución:

Ejercicio 3.14.

Calcula la ecuación explícita de las rectas que pasan por los puntos A, B y C con pendiente 6 � (

Representa sus gráficas.

Solución

Solución:


Ejercicio 3.15

Determina la ecuación general de la recta que pasa por el punto 9 y es paralela a la recta �:;


Solución

Solución:

Ejercicio 3.16

Determina la ecuación general de la recta que pasa por el punto 9 y es perpendicular a la recta �:;


Solución

Solución:


4. Posición relativa de dos rectas del plano.

1) Conocer las posiciones relativas que pueden ocupar dos rectas del

plano.

2) Conocer y utilizar adecuadamente los criterios analíticos para

determinar la posición relativa de dos rectas del plano, a partir de

sus determinaciones principales: ��, �� y �, ��

3) Conocer y utilizar adecuadamente el criterio analítico para

determinar la posición relativa de dos rectas, a partir de sus

ecuaciones generales.

Ejercicio 4.1.

Considera los puntos ��2,3� ��2, 1� y los vectores ��1,0� ��1,1�. Determina la posición relativa

de las rectas � � ��, �� y � � �, ��. Representa sus gráficas para confirmar su posición relativa.

Solución

Solución:

Ejercicio 4.2.

Determina la posición relativa de la recta r que pasa por el punto ��1,3� con la dirección del vector

��2, �1� y la recta s de ecuación continua %.(

( � &/'/* . Representa sus gráficas.

Solución

Solución:


Ejercicio 4.3.

Determina la posición relativa de la recta r que pasa por el punto ��0,3� con pendiente /�� y la recta

s de ecuación continua %/'

* � &/(/( . Representa sus gráficas para confirmar su posición relativa.

Solución

Solución:

Ejercicio 4.4.

Determina la posición relativa de la recta r de ecuación %( � &

' y la recta s de ecuación & � �(% � '

Representa sus gráficas para confirmar su posición relativa.

Solución

Solución:


Ejercicio 4.5.

Determina la posición relativa de la recta r que pasa por el punto ��0,3� con pendiente /�� y la recta

s de ecuación continua %/'

* � &/(/( . Representa sus gráficas para confirmar su posición relativa.

Solución

Solución:

Ejercicio 4.6.

Determina la posición relativa de las rectas � � %/** � &/(

/( y � � %/'/( � &.(

,


Solución

Solución:


Ejercicio 4.7.

Determina la posición relativa de las rectas < � (% � & � ( y = � �,% � (& � (


Solución

Solución:

Ejercicio 4.8.

Determina la posición relativa de las rectas < � (% � & � ( y = � % � (& � ,


Solución

Solución:


Ejercicio 4.9.

Determina la posición relativa de las rectas < � (% � 0& � *1 y = � '% � (& � >


Solución

Solución:

Ejercicio 4.10.

Determina la posición relativa de las rectas < � �% � '& � ' y = � (% � >& � ,


Solución

Solución:


Ejercicio 4.11.

Determina la posición relativa de las rectas < � +% � * � )& � �() - y = � % � & � ,


Solución

Solución:

Ejercicio 4.12.

Determina la posición relativa de las rectas < � + % � ( � )& � �' � ()- y = � +% � , � ()

& � * � ) - Representa sus gráficas para confirmar su posición relativa.

Solución

Solución:


Ejercicio 4.13

Determina la posición relativa de las rectas < � (% � ,& � , y = � %/, � &

( � *


Solución

Solución:

Ejercicio 4.14

Determina la posición relativa de las rectas < � & � �% � ( y = � & � ( � *( �% � '�


Solución

Solución:


Ejercicio 4.15.

Determina la posición relativa de las rectas < � + % � ')& � �()- y = � �%, &� � �(, *� � )�(, '�


Solución

Solución:

Ejercicio 4.16

Determina la posición relativa de las rectas < � �% � (& � , y = � (% � ,& � ?


Solución

Solución:


5. Haces de rectas en el plano.

6) Conocer el concepto de haz de rectas que pasan por un punto y el

concepto de haz de rectas paralelas.

7) Conocer, y saber calcular, la ecuación punto-pendiente de un haz

de rectas por un punto #��, ��.

� � ��

8) Conocer y saber calcular, la ecuación explícita de un haz de rectas

paralelas. � � ��

9) Saber determinar si cierta recta pertenece o no a un haz dado.

10) Saber determinar la recta de un haz que verifica cierta condición

adicional.

Ejercicio 5.1.

1. Calcula la ecuación punto-pendiente del haz de rectas incidentes con el punto 4�', (�

2. Calcula la ecuación explícita de la recta r de ese haz que pasa por el punto 5�*, *�

3. Representa el haz y la recta r.

Solución

Solución:


Ejercicio 5.2.

1. Determina la ecuación explícita del haz de rectas paralelas a la recta < � %.(( � &/'

/*

2. Calcula la ecuación explícita de la recta s del haz que pasa por el punto 4�*, '�

3. Representa el haz y las rectas r y s

Solución

Solución:

Ejercicio 5.3.

1) Calcula la ecuación punto-pendiente del haz de rectas incidentes con el punto 4�', 1�

2) Calcula la ecuación explícita de la recta r de ese haz que pasa por el punto 5�0, '�

3) Representa el haz y la recta r.

Solución

Solución:


Ejercicio 5.4.

1) Determina la ecuación explícita del haz de rectas paralelas a la recta = � (% � & � ,

2) Calcula la ecuación explícita de la recta r del haz que pasa por el punto 4��*, 1�

3) Representa el haz y las rectas r y s

Solución

Solución:

Ejercicio 5.5.

1) Calcula la ecuación punto-pendiente del haz de rectas incidentes con el punto 4�(, (�

2) Calcula la ecuación explícita de la recta r de ese haz que sea perpendicular a = � % � & � ,

3) Representa el haz y las rectas r y s.

Solución

Solución:


Ejercicio 5.6.

1) Determina la ecuación explícita del haz de rectas paralelas a la recta < � %( � &

/' � *

2) Calcula la ecuación general de la recta s del haz que pasa por el punto 4�1, (� 3) Representa el haz y las rectas r y s

Solución

Solución:

Ejercicio 5.7.

1) Calcula la ecuación punto-pendiente del haz de rectas incidentes con el punto 4��*, (�

2) Calcula la ecuación explícita de la recta r de ese haz que tiene pendiente ��

3) Representa el haz y la recta r.

Solución

Solución:


Ecuaciones de las rectas del plano (01) (4º ESO_opciónB)

NOTA

IES

Tierras de AbadengoTierras de AbadengoTierras de AbadengoTierras de Abadengo Nombre y Apellido _____________________________________________________

1. Determinación principal de una recta. Ecuaciones. (2,5 puntos)

Considera los puntos A(2,-2), B(5,2) y los vectores ��2,1� y ��2, �1�

1. Representa las rectas �:,@�� y �;,A��

2. Escribe las ecuaciones de cada una de ellas.

Solución


2. Elementos característicos de una recta. (2,5 puntos)

Calcula dos puntos, un vector director, un vector normal y la pendiente de cada una de las rectas r y

s:

�: & � (' % � , �: % � (& � (

Representa la gráfica de cada una de ellas

Solución


3. Otras determinaciones de una recta. (2,5 puntos)

Determina la ecuación punto-pendiente de la recta <:,;, siendo ��2,2� y �4,1�

Determina la ecuación general de la recta s que pasa por $�2, �1� y es paralela a r.

Determina la ecuación segmentaria de la recta t que pasa por C�1, �2� y es perpendicular a r.

Representa las tres rectas.

Solución


4. Posición relativa de dos rectas. (2,5 puntos)

Determina analíticamente la posición relativa de las rectas r y s.

�: & � (' % � , �: 2% � '& � >

Representa las dos rectas, para comprobar el resultado.

Solución



NOTA

IES



Considera los puntos A(-2,-4), B(0,3) y los vectores ��0.2, 0.1� y ��E , /F

E �


2. Escribe las 7 ecuaciones de cada una de ellas.

Solución



Calcula dos puntos, un vector director, un vector normal y la pendiente de cada una de las rectas r,

s y t:

�: & � �( � %( �: % � (& � , ): %/(

* � &/,/(


Solución



Determina las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por #��2, �3� con una pendiente del 75%

Determina la ecuación general de la recta s que pasa por $�2,0� y es perpendicular a r.

Determina la ecuación punto-pendiente de la recta t que pasa por C�2,3� y es paralela a r.

Representa las tres rectas.

Solución




�: %, � &

( � * �: % � (& � ?

Representa las dos rectas, para comprobar el resultado.

Solución



NOTA

IES



Considera los puntos A(40,40), B(0,-40) y los vectores ��3, �1� y ��√2, √2�



Solución




s y t:

�: + % � (1 � )& � ,1 � ()- �: % � (& � ,1 ): %/(1

( � &/,1*


Solución



Determina la ecuación general de la recta r representada en la figura.

Determina la ecuación explícita de la recta s que pasa por #�3,1� y es perpendicular a r.

Determina la ecuación punto-pendiente de la recta t que pasa por C�3,1� y es paralela a r.

Representa las rectas s y t.

Solución



Determina analíticamente el valor del parámetro k para que las rectas r y s sean perpendiculares.

�: %' � &

/* � * �: �% � & � �*

Una vez hallado el valor de k, representa las dos rectas, para comprobar el resultado.

Solución



NOTA

IES



Considera los puntos A y B y los vectores �� y �� representados en la figura.

1. Traza con precisión y limpieza las rectas �:,@�� y �;,A��


Solución




s y t:

�: +% � (1 � )& � 0 � ) - �: % � '& � >1 ): %.(1

* � &/00/(


Solución



Determina la ecuación general de la recta r representada en la figura.

Determina la ecuación explícita de la recta s que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta r.

Determina la ecuación segmentaria de la recta t que pasa por el punto D y es paralela a la recta r.

Representa las rectas s y t.

Solución



Determina analíticamente el valor del parámetro k para que las rectas r y s sean perpendiculares.

�: %/*/, � &

J �: 2% � '& � *0

Una vez hallado el valor de k, representa las dos rectas, para comprobar el resultado.

Solución



NOTA

IES



Considera el triángulo de vértices A, B y C.

1. Traza con precisión y limpieza las rectas �:; y �;K


Solución




s y t:

�: %/*1 � &

*1 � * �: & � *' % � *1 ): & � *1 � /*

( �% � '1�


Solución



Determina la ecuación general de la recta r que pasa por el punto P(-3, -4) con una pendiente del 40%

Determina la ecuación punto-pendiente de la recta s que pasa por el punto Q(0, 5) y es perpendicular a la recta r.

Determina la ecuación continua de la recta t que pasa por el punto R(-3 0) y es paralela a la recta r.

Representa las rectas r, s y t.

Solución




Solución

ecuaciones de las rectas del plano. -...

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