cinemática de sistemas
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Cinemática delSólido Rígido
Versión: Junio de 2017
Tema 5: Cinemática del sólido rígidoSistema indeformable. Sólido rígido Teorema de las velocidades proyectadasMovimientos de traslación y rotaciónVelocidades y aceleraciones en el movimiento general de un sistemaMovimiento relativo de un sólido rígido Movimiento general de un sólido rígido: eje instantáneo de rotación y deslizamiento mínimo, concepto de axoides
FÍSICA GENERAL ITema 1: Magnitudes físicas. Unidades y medidasTema 2: Vectores y sistemas de vectoresTema 3: Estática de sistemasTema 4: Cinemática del puntoTema 5: Cinemática del sólido rígidoTema 6: Cinemática relativa del puntoTema 7: Dinámica del puntoTema 8: Trabajo y energía ITema 9: Trabajo y energía IITema 10: Movimiento del punto bajo fuerzas centralesTema 11: Dinámica del los sistemas ITema 12: Dinámica de los sistemas II Tema 13: Medios deformables ITema 14: Medios deformables II
SÓLIDO RÍGIDO O SISTEMA INDEFORMABLE
nor 0d ABdt
Para cualquier par de puntos A y B...
A
B
TRASLACIÓN (1)
1
1
1
kk
jj
ii
kji
PPP zyxOP
i1
j1
O1
k1
OPOOPO 11dtOOd
dtPOd 11
21
2
21
2
dtOOd
dtPOd
0
dtOPd
ji
k
o
P
i1
j1
O1
k1
TRASLACIÓN (2)
1
1
1
kk
jj
ii
kji
PPP zyxOP
OPOOPO 11dtOOd
dtPOd 11
21
2
21
2
dtOOd
dtPOd
¡NO ES UNA ROTACIÓN!
0
dtOPd
P
ij
O
k
Todos los puntos de un sistema que experimenta una traslación tienen en cada instante la misma velocidad.
m/s2PvTodos los puntos de un sistema que experimenta una traslación tienen en cada instante la misma aceleración. Por ser la traslación circular y uniforme de radio 2 m cada punto del sistema tiene una aceleración:
22
m/s2Rva P
P
Los puntos del sistema describen trayectorias circulares y uniformes de radio 2 m con diferentes centros.
Un sólido rígido experimenta un movimiento de traslación circular uniforme. Un punto del sólido tiene en
un instante coordenadas (0,1,0) y describe una trayectoria 43 22 yx con velocidad de 2 m/s. Calcular los valores modulares de la velocidad y aceleración en ese instante de otro punto P del sólido de coordenadas (,,). Considere que las coordenadas de los puntos a que hace referencia el problema se dan en metros.
ROTACIÓN CON EJE FIJO (1)
O
P
O
Pv
O
Pv
OPvP
OPOPaP
ROTACIÓN CON EJE FIJO (2)
O
Pv
POvP '
O’
sin'POvP
sin'POOPdtd
dtdsvP
d
POPOaP ''
Un sólido rígido gira alrededor de una recta fija de ecuación 4
10
23
1
zyx . En un instante
dado su velocidad angular es 5 rad/s y su aceleración angular es 5 rad/s2. Calcular la velocidad y la aceleración del punto del sólido de coordenadas cartesianas (3,2,1) en el mismo instante. Considere que las coordenadas de los puntos a que hace referencia el problema se dan en metros y que tanto la velocidad como la aceleración angular están referidas al vector unitario que define a la recta.
)1,2,1(RP)1,2,3(P
es un punto de la rectai2
PPR
5k4i3u
es el vector director de la recta
(rad/s)k4i3u
)(rad/sk4i3u 2
PPv RP
PPPPa RRP
j8
Pv
k24j8i32
Pa
)1,0,3(RP
)1,2,3(P
es un punto de la recta j2
PPR
5k4i3u
es el vector director de la recta
(rad/s)k8i6u
)(rad/sk8i6u 2
PPv RP
PPPPa RRP
k12i16
Pv
Un sólido rígido gira alrededor de una recta fija de ecuación 4
103
3
zyx . En un
instante dado su velocidad angular es 10 rad/s y su aceleración angular es 10 rad/s2. Calcular la velocidad y la aceleración del punto del sólido de coordenadas cartesianas (3,2,1) en el mismo instante. Considere que las coordenadas de los puntos a que hace referencia el problema se dan en metros y que tanto la velocidad
k12j200i16
Pa
TEOREMA DE LAS VELOCIDADES PROYECTADAS (1)
A
B
vA
vB
A BAB ABv vAB AB
Son iguales las proyecciones de las velocidades de dos puntos cualquiera de un sistema indeformable sobre el
eje que definen los dos puntos
A Bv AB v AB
A
B
vA
vB A
B
vA
vB
TEOREMA DE LAS VELOCIDADES PROYECTADAS (2)
tanA
B
vv
cosA
B
vv
A(0, yA)
B(xB ,0)
vA
vB
TEOREMA DE LAS VELOCIDADES PROYECTADAS (3)
j
AA vv
i
BB vv
ji
AB yxAB
A Bv AB v AB
BBAA xvyv
B
AAB xyvv
Una barra rígida se mueve de modo que su extremo A desliza sobre una línea paralela al eje z1 en el sentido de las cotas crecientes y su extremo B desliza sobre el eje y1. Sabiendo que, en un instante dado,
el módulo de la velocidad de A es 1kvvA
, que las coordenadas del extremo A son (a,a,a) y las del
extremo B son (0,5a,0), se pide determinar el vector velocidad Bv
del extremo B en función de v.
A Bv AB v AB
kj4iaaaAB
vaABvA
avABvABv BBB 4j 4
vvB
j4
vvB
A Bv AB v AB
j2i6
AB
AA vABv 6
2482
1BBB vvABv
BA vv 232
Los extremos A y B de una varilla se mueven por dos guías rectilíneas de forma que la velocidad de A siempre es horizontal y la de B siempre forma 45 grados con la horizontal . En un instante dado, las coordenadas de los puntos son A(-2,2) y B(4,4). Calcule la relación entre los escalares vA y vB.
AB vv 243
Guía 1
Guía 2
Varilla
MOVIMIENTO GENERAL DE UN SÓLIDO RÍGIDO (1)
x1
z1
y1
x
z
yp
o1
o
OPvv sosp
11 //
xe
ze
ye
oe
POvv e
sosp e
11 //
x*
z*
y*
o*
POvvsosp
*//
1*
1
MOVIMIENTO GENERAL DE UN SÓLIDO RÍGIDO (2)
x1
z1
y1
x
z
yp
o1
o
x*
z*
y*
o*
OPOPaa sOsP
11 // d/dtd/dt
POPOaa
sOsP**
//1
*1
MOVIMIENTO GENERAL DE UN SÓLIDO RÍGIDO (3)
x1
z1
y1
x
z
yp
o1
o
OPvv sosp
11 // d/dt
OPOPaa sOsP
11 //
En un determinado instante las velocidades de los puntos A(1,0,1), B(0,1,0) y C(0,0,1) son , y . Calcular el valor de .
ABvv AB
BCvv BC
CAvv CA
k)(j)(i)(111
kjiki
2333 11221
k)(j)(i0001
kjij
23 321
13
02
11
ki
REDUCCIÓN GENERAL DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES
SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES
R
-qq P
MOVIMIENTO GENERAL DE UN SÓLIDO RÍGIDO
O
-q’q’
O*
vO*
vO
OPvv sosp
11 //
POvvsosp
*//
1*
1
MOVIMIENTO GENERAL DE UN SÓLIDO RÍGIDO: EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN
vE
E-q
q Eje
inst
antá
neo
de ro
taci
ón
y de
sliza
mie
nto
mín
imoE.I.R. : Lugar geométrico
de los puntos cuya velocidad tiene la
dirección de la resultante de las rotaciones
E.I.R. : Lugar geométrico de los puntos cuya
velocidad es la de menor módulo
EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN Y DESLIZAMIENTO MÍNIMO
v0
O
E1
21 ovOE
2ovOE
Od vv
INVARIANTES CINEMÁTICOS, TORSOR CINEMÁTICO
La rotación es un invariante
La proyección de la velocidad de un punto sobre el eje definido por el vector
rotación es un invariantedv
dv
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES
S11 (R0, M*0) Máxima reducción ala resultante y un parCondición eje central:
R x ME = 00
EMR
00 * MR S10 (R0, M*=0)
Máxima reducción a laresultante en un
punto del eje centralCondición eje central:
ME = 0
00 * MR
0
EM
S01 (R=0, M0) Máxima reducción a un
par aplicado en cualquierpunto del espacio
Eje central no definido
00
MR
S00 (R=0, M=0) 00
MR
CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS DEL SÓLIDO RÍGIDO
S11 (R0, M*0) Instantáneamente el
sólido se traslada y rotaCondición E.I.R
0
Ev
00 dv
S10 (R0, M*=0)
Instantáneamente elsólido sólo rota
alrededor del E.I.R.Condición eje central:
ME = 0
00 dv
0
Ev
S01 (R=0, M0) El sólido sólo se
trasladaE.I.R. no definido
00
vS00 (R=0, M=0)
Inmovilidad
00
v
MOVIMIENTO GENERAL DE UN SÓLIDO RÍGIDO: EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN
vE
E-q
q Eje
inst
antá
neo
de ro
taci
ón
y de
sliza
mie
nto
mín
imo
0dv
0
dE vv
MOVIMIENTO GENERAL DE UN SÓLIDO RÍGIDO
E
Eje
inst
antá
neo
de ro
taci
ón
y de
sliza
mie
nto
mín
imo
S10 (0, vd =0) Instantáneamente el
sólido sólo rota alrededor del E.I.R.Condición E.I.R.:
vE = 0
EPv Sp 1/
P
x
z
y
x1
z1
y1
A
B
vA
vB
I
A
B
vA
vB
I
POSICIÓN DEL EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN EN EL MOVIMIENTO PLANO
A
B vB
I
CINEMÁTICA DE UNA VARILLA CUYOS EXTREMOS SE DESLIZAN POR LOS EJES COORDENADOS (VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ANGULAR)
IAAv
L
1i
1j
1ksin
LvA
)0(j AAA vvv
vA
12 ksincos
LvA
sinLvA
132
2
ksincos
LvA
APvv sAsp
11 //
APAPaa sAsP
11 //
A
B
vA
vB
I
CINEMÁTICA DE UNA VARILLA CUYOS EXTREMOS SE DESLIZAN POR EL VÉRTICE DE UN ESCALÓN Y UN PLANO HORIZONTAL (VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ANGULAR)
H
sinHAB
sin
ABIB
2sinHIB
IBvB
12 ksin
HvB
1i
1j
1kcossin2
HvB
13
2
2
kcossin2
HvB
BPvv sBsp
11 //
BPBPaa sBsP
11 //
RODADURA Y EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN (1)
D=2R
R
dx=d R
vc= R
-q
q
cvc R
vc=q R
q=
RODADURA Y EJE INSTANTÁNEO DE ROTACIÓN (2)
c
RR
Velocidades y aceleraciones de puntos de una rueda
k
I
C
i
A
B
j
0
Iv
i RICvC
i2
RIAvA
jijik RRRRIBvB
0
0
Ca
j2
RCIaa CI
j2
RCAaa CA
i2
RCBaa CB
La aceleración del E.I.R ¡NO es cero!
Encontrar para el disco de radio R de la figura que rueda con velocidad angular constante las velocidades y aceleraciones de los puntos I, C y B expresándolas vectorialmente utilizando la referencia dibujada en la figura. k
I
C
j i
Bº45
0
Iv i RICvC
j
22i
22kiCBICk
RRRIBvB
j22i
221CBICk
RRIBvB
0
Ca j2
RCIaa CI
j
22i
222
RCBaa CB
Un disco D de radio 10 cm rueda sobre una recta fija coplanaria con D. Si la velocidad angular del disco en un instante es de 4 rad/s y su aceleración angular es 4 rad/s2. Calcule, referidas a la referencia indicada en la figura:
• La aceleración del centro del disco en cm/s2.
El centro del disco se mueve en una trayectoria rectilínea a 10 cm sobre la recta. Su aceleración es el producto de la aceleración angular por el radio.
][cm/si40 21
Ca
• La aceleración del punto A en cm/s2.
][cm/sj160i40i40 2111
CACAaa CA
][cm/sj160i80 211
Aa
Un disco D de radio 10 cm rueda sobre una recta fija coplanaria con D. La velocidad angular del disco en un instante es de 4 rad/s y su aceleración angular es 4 rad/s2. Sabiendo que el punto C se está desplazando en línea recta con aceleración lineal constante de 40 cm/s2. Calcule, referidas a la referencia indicada en la figura:
• La aceleración del punto I del disco en cm/s2.
• La aceleración del punto A en cm/s2.
][cm/sj160i40i40 2111
CACAaa CA
][cm/sj160i80 211
Aa
][cm/sj160i40i40 2111
CICIaa CI
][cm/sj160 21
Ia
Un disco D de radio 50 cm rueda con velocidad angular constante sobre una recta fija coplanaria con D. La velocidad del centro del disco es de 2 m/s. Calcule, en la posición indicada en el dibujo y referidas a la referencia indicada en la figura
La velocidad del punto A del disco en m/s.
rad/s4/ RvC m/si4i2j2k 1111/ 1
RRIAv SA
La aceleración del punto A en m/s2
211
2// m/sj8j
11
RCAaa SCSA
El radio de curvatura de la trayectoria del punto A en metros
Teniendo en cuenta que en ese instante la aceleración es normal a la trayectoria
m22
A
A
av
También puede utilizarse la expresión m23
AA
A
avv
Un disco D de radio 10 cm rueda sobre una recta fija coplanaria con D. La velocidad angular del disco en un instante es de 4 rad/s y su aceleración angular es 4 rad/s2. Sabiendo que el punto C se está desplazando el línea recta con aceleración lineal constante 40 cm/s2 . Calcule, referidas a la referencia indicada en la figura
• La aceleración del punto I en cm/s2
][cm/sj160i40i40 2111
CICIaa CI
][cm/sj160 21
Ia
• La velocidad del punto B en cm/s
j
21i
23kjkCBkICk
RRRCBvv CB
j2
3i2
ij21i
23kjk
RRRRRRvB
j320i20
Bv
TRAYECTORIA DE LOS PUNTOS DE UNA RUEDA (1)
x(t) = R( t-sent)
y(t) = -R( 1-cost)
i1j1
O1
O i
j
j
i
O
P
1
11
11
kk
jcosisenj
jsenicosi
1k
OPOOPO 11
111 ji
RRtOO
j
ROP
P
t1=0 t2=t
vx(t) = R(1-cost)
vy(t) = -R sent
ax(t) = R2 sent
ay(t) = -R2 cost
1
11
11
kk
jcosisenj
jsenicosi
tt
tt
0
MOVIMIENTO DE LOS PUNTOS DEL SISTEMA EN LA RODADURA
x(t) = R( t-sent)
y(t) = R( 1-cost)
TRAYECTORIA DE LOS PUNTOS DE UNA RUEDA (2)
x(t) = R( t-sent)
y(t) = R( 1-cost)
TRAYECTORIA DE LOS PUNTOS DE UNA RUEDA (3)
x(t) = Rt- a sent
y(t) = R – a cost
TRAYECTORIA DE LOS PUNTOS DE UNA RUEDA (4)
x(t) = Rt- a sent
y(t) = R – a cost
x1
z1
y1
Conos rodantes(1)
Conos rodantes(2)
x1
z1
z
e
iA
B
C
O
ezi
e
i
cos
i
z
tan
Un cono recto de sección circular y semiángulo de apertura de 30º rueda sin deslizar sobre un plano horizontal. De forma que una generatriz, de longitud 1 m, tarda 2 s en ocupar dos posiciones sucesivas sobre el plano. Calcular:
• la rotación instantánea del cono
• la velocidad del punto del cono que se desplaza más rápido en m/s.
• la rotación del cono alrededor de su propio eje
rad/s2rad2 se
rad/s2330cos ei
m/s43m
23rad/s
2360sinmax Lvv iB
• la rotación del cono alrededor de su propio eje.
• la velocidad del punto del cono que se desplaza más rápido.
• la rotación instantánea del cono
rad/s323/1
rad/s230tan
zi
rad/s430cos
ie
m/s3m23rad/s3260sinmax Lvv iB
Un cono recto de sección circular y semiángulo de apertura de 30º rueda sin deslizar sobre plano horizontal x1,y1 de un sistema de referencia fijo {O,x1,y1,z1}. El vértice del cono siempre coincide con el origen del sistema de referencia mencionado. El cono rueda de forma pasa por encima del eje x1 del sistema de referencia una vez cada segundo. Si la generatriz del cono tiene una longitud de un metro, calcule los módulos de:
• la aceleración del punto de la generatriz del cono que está en contacto con el plano y que pertenece a la base del cono
• la aceleración angular del cono
22 rad/s34 izi
Un cono recto de sección circular y semiángulo de apertura de 30º rueda sin deslizar sobre plano horizontal x1,y1 de un sistema de referencia fijo {O,x1,y1,z1}. El vértice del cono siempre coincide con el origen del sistema de referencia mencionado. El cono rueda de forma que pasa por encima del eje x1 del sistema de referencia una vez cada segundo. Si la generatriz del cono tiene una longitud de un metro, calcule los módulos de:
OAOAOAaa iiiisOsA 11 //
22/ m/sk34
1
OAa isA
Cinemática Relativa del punto
Tema 6: Cinemática relativa del puntoMovimiento relativo, de arrastre y absolutoComposición de velocidades: velocidades relativa, de arrastre y absolutaComposición de aceleraciones: aceleraciones relativa, de arrastre, de Coriolis y absolutaCondiciones de anulación de una o varias componentes de la aceleración
FÍSICA GENERAL ITema 1: Magnitudes físicas. Unidades y medidasTema 2: Vectores y sistemas de vectoresTema 3: Estática de sistemasTema 4: Cinemática del puntoTema 5: Cinemática del sólido rígidoTema 6: Cinemática relativa del puntoTema 7: Dinámica del puntoTema 8: Trabajo y energía ITema 9: Trabajo y energía IITema 10: Movimiento del punto bajo fuerzas centralesTema 11: Dinámica del los sistemas ITema 12: Dinámica de los sistemas II Tema 13: Medios deformables ITema 14: Medios deformables II
MOVIMIENTO RELATIVO DE UN PUNTO (1)
x1
z1
y1
x
z
y
p
o1
ou1
u2u3
r1
r
ro
11 /// SSarrSPSP vvv
OPvv SSSOSSarr 111 ///
x1
z1
y1
x
z
y
p
o1
ou1
u2u3
r1
r
ro
111 //// SScorSSarrSPSP aaaa
MOVIMIENTO RELATIVO DE UN PUNTO (2)
SPSSSScor
SSSSSSSOSSarr
va
OPOPaa
///
/////
11
11111
2
x1
z1
y1
x
z
y
p
o1
ou1
u2u3
r1
r
ro
111 //// SScorSSarrSPSP aaaa
MOVIMIENTO RELATIVO DE UN PUNTO (3)
11 /// SSarrSPSP vvv
OPvv SSSOSSarr 111 ///
SPSSSScor
SSSSSSSOSSarr
va
OPOPaa
///
/////
11
11111
2
La plataforma circular de radio R de la figura, rota con velocidad angular constante, arrastrando al sistema de referencia {O,x,y,z} en su movimiento. El sistema {O1,x1,y1,z1} es fijo. Un insecto se mueve por el eje de abscisas del sistema {O,x,y,z} con velocidad constante v alejándose del centro del disco. Para el instante que se representa en el dibujo, en el que las direcciones de los ejes de los sistemas de referencia coinciden y el insecto está a distancia R/2 del centro del disco, calcule, con respecto al sistema fijo, y expresando las magnitudes vectoriales referidas a ese mismo sistema:
La velocidad del insecto
11// j2
i1
RvOIvv SISI
La aceleración del insecto
112
// j2i2
21
vRvOIa SISI
La pequeña hormiga de la figura se mueve por el perímetro de un disco de un metro de radio con velocidad 0.02 m/s. El disco rueda sobre la recta con velocidad angular de 2 rad/s.Calcule, con respecto al sistema de referencia fijo dibujado en la figura y en la posición de la figura:
• La velocidad de la
• La aceleración de la
111//// j2k2i02.0111
IHvvv SSSISHSH
m/si02.4 1/ 1
SHv
SPSSSSSSSSSCSHSH vCHCHaaa //////// 1111112
1/12
1
2/
/ j20j0j1
SH
SHSH vR
Rva
111/ j08.00j40j0004.01
SHa
21/ m/sj0804.4
1
SHa
Calcule el valor modular de la fuerza centrífuga por unidad de masa que afecta a cualquier objeto situado sobre la superficie de la Tierra a una latitud de 40° (Radio de la Tierra = 6370 km)
=40°
RT
rad/s1027.7606024
2 5
222 m/s025.0cos TC RmF
FC
Un tren de alta velocidad circula de Madrid a Valencia a 360 km/h en un tramo de vía en el que los raíles se alinean exactamente con la dirección W-E. Calcule el valor modular de la aceleración de Coriolis que afecta al tren en estas condiciones.
aTren/Tierr2 va Tcor
rad/s1027.7606024
2 5
T
T
aTren/Tierrv2
25aTren/Tierr m/s01454.0m/s100rad/s1027.722 va Tcor
x1
z1
y1
D
o1
CADENAS DE SÓLIDOS (Ejemplo 1)
211
2 34
32
43
C
B
A
ABvv AB 21
BCvv BC 2132 CDvv CD 213243
CDCDBCCDBCABvv AD 433221
CDBDADvv AD 433221
CADENAS DE SÓLIDOS (Ejemplo 2)
x1
z1
y11
2
3
o1
AB21
32
I
P
AB21/ 1
SBv
BPAB 213221/ 1
SPv
0Si1/
SIv
IBAB 3221