Cinemática de rotación

1 Movimiento de rotación

Es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo. En un espacio tridimensional, para un movimiento de rotación dado, existe una línea de puntos fijos denominada eje de rotación.

2 Cinemática de rotación.

Consideremos el movimiento de una partícula en el plano XY, girando alrededor del eje Z en una trayectoria circular de radio r, como se indica en la figura 1. Para indicar la posición en el tiempo t se requiere conocer sólo a la posición angular q (t) (medida en radianes en el SI). Si el movimiento alrededor del eje Z es en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, el desplazamiento angular en un intervalo de tiempo, corresponde al cambio en la posición angular:

 

Esta expresión es similar a la desplazamiento a lo largo de una línea recta (ec. 1), sin embargo se debe tener cierto cuidado con la determinación de las posiciones angulares para evitar algunas confusiones. Por ejemplo, si la partícula gira una vuelta, la posición final es igual a la inicial, pero la posición angular resulta ser igual a la posición angular inicial más el ángulo correspondiente a una vuelta (2p rad en el SI); de tal manera que el desplazamiento angular va relacionado con el número de vueltas. 

.ttt

Figura 1. Movimiento en una trayectoria circular en el plano XY.

 

De manera análoga a la velocidad en el movimiento a lo largo de una línea recta, definimos a la velocidad angular w para el movimiento de rotación como el desplazamiento angular por unidad de tiempo:

 

Las unidades en el SI para la velocidad angular son de radianes por segundo (rad/s).

 

Por otra parte, la aceleración angular a se define como el cambio en la velocidad angular por unidad de tiempo:

 

X

Dirección del movimiento

y

r

x

Y

.

dt

tdt

,

dt

tdt

3 Las cantidades rotacionales como vector.

El desplazamiento, la velocidad, y la aceleración lineal, eran cantidades vectoriales. Dado que hasta el momento hemos considerado que la rotación se producía alrededor de un eje fijo, por lo cual hemos podido considerar a , , y como escalares. Se puede demostrar que los desplazamientos angulares finitos no son vectores pues no cumplen la conmutividad de la suma (1 + 2) ¹ (2 + 1). Por otra parte, si los desplazamientos angulares se hacen muy pequeños, comienza a cumplirse la ley de conmutabilidad de la suma, por lo tanto los desplazamientos angulares infinitesimales son vectores. De lo anterior podemos deducir que si la velocidad angular instantánea es un cociente entre un vector y un escalar, entonces dicha magnitud es un vector. Aplicando la regla de la mano derecha, podemos obtener el sentido de (Figura).

   

 

 

Análogamente podemos decir que la aceleración angular instantánea también es una cantidad vectorial.

4 Rotación con aceleración angular constante.

Si la aceleración es constante, se verifican una serie de relaciones de la cinemática rotacional similares a la cinemática de traslación.

Movimiento de traslación (dirección fija) con a = cte.

Movimiento de rotación (eje fijo) con a = cte.

v=v0+at ω=ω0+αt

x=x0+v0 t+12at 2 φ=φ0+ω0 t+

12αt2

v2=v02+2a (x−x0) ω2=ω0

2+2α(φ−φ0 )

x=x0+v0+v

2t φ=φ0+

ω0+ω2

t

x=x0+vt−12at2 φ=φ0+ωt−

12αt2

5 Relación entre las características cinemáticas lineales y angulares de una

partícula en el movimiento circular.

s=φ .rDiferenciando respecto al tiempo:

dsdt

=dφdt

.r v=ω . r

Aceleración tangencial

aT=α . r

Aceleración radial (centrípeta)

aR=v2

r=ω2 .r

Para la rotación de n cuerpo rígido con respecto a un eje fijo, se cumplen las siguientes relaciones entre las variables lineales y angulares en forma vectorial

6 Ejemplos

a. Las llantas de un automóvil dan 65 revoluciones mientras el auto reduce su velocidad uniformemente desde 95 hasta 45Km/h. Las llantas tienen un diámetro de 0.80m y nos piden calcular: 

a) La aceleración angular de las llantas.b) Si el automóvil continúa desacelerando a esta tasa, ¿cuánto tiempo más necesita para detenerse? 

Para proceder se comienza por ilustrar la situación física que nos están presentando, ilustrando también las variables que nos da el ejercicio. Como podemos ver el punto inicial será aquel en el cual el auto empieza a disminuir su velocidad, entonces la velocidad inicial son los 95Km/h, en un tiempo inicial de 0s.

El automóvil va a pasar por una velocidad de 45Km/h, durante ese cambio de velocidad va a sufrir una desaceleración, por lo que nos preguntan el valor de dicha desaceleración o aceleración negativa.

Durante la desaceleración las llantas realizan 65rev, es por ello que nos están indicando con ese valor el cambio en la posición angular. Tomamos entonces como tiempo inicial aquel en el que empieza a disminuir su velocidad. 

Para la segunda parte del ejercicio nos preguntan qué pasa si el automóvil continua desacelerando a esa tasa, es decir, si continúa con la aceleración angular constante hallada en el punto a) y en qué tiempo se va a detener. Ahora bien, para comenzar debemos expresar el cambio en la posición angular de revoluciones a radianes.

Observemos también que las velocidades lineales no están en unidades del Sistema Internacional, por lo que debemos convertirlas y posteriormente, determinar el valor del radio de las llantas y determinar las velocidades angulares con los valores de la velocidad lineal. Una vez conocida la velocidad lineal lo que hacemos es despejar la velocidad angular para conocer su valor. Ahora bien, en la primera parte del ejercicio que nos pidieron hallar la aceleración angular, aquí, debemos recordar las ecuaciones del movimiento de rotación para aceleración angular constante, las cuales podemos relacionar con la velocidad angular, el cambio en la posición angular y la aceleración angular mediante la ecuación de la velocidad angular. 

Despejando de dicha ecuación la aceleración angular, podemos hallar su valor remplazando los valores que conocemos de la ecuación.

Para resolver la segunda parte del ejercicio, donde nos preguntan sobre el tiempo que demora ese auto en detenerse para esa aceleración angular constante,

utilizamos la ecuación de la velocidad angular que nos relaciona velocidad angular inicial, más aceleración angular por el tiempo y hacemos la velocidad angular igual a cero para así despejar el tiempo.

b. Ventilador se apaga cuando alcanza las 850rev/min y realiza 1500 revoluciones antes de llegar a detenerse. Calcular: 

a) la aceleración angular del ventilador (se supone constante)b) el tiempo que le toma al ventilador detenerse por completo. 

Se tiene un diagrama en el que se grafica la situación física. Recordemos que la velocidad angular está siempre dirigida en la trayectoria del movimiento circular. Nos piden la aceleración angular del ventilador, es decir, el cambio en la velocidad angular con respecto al tiempo.

Debe observarse que entre los datos que nos dan tenemos el valor de la frecuencia, el cual pasamos a unidades del sistema internacional y nos dan también el cambio en la posición angular,que pasamos a unidades de radianes. 

Para hallar la aceleración angular y como tenemos el valor de la frecuencia, podemos hallar la velocidad angular en el punto inicial. Se recuerda la ecuación para cuando tenemos movimiento de rotación con aceleración angular constante. Como el ventilador se detiene, la velocidad angular al final es igual a cero, por lo que podemos despejar de la ecuación la aceleración angular. El signo negativo nos indica que el ventilador sufre una desaceleración, ya que pasa de una velocidad inicial mayor a una velocidad final menor. Para encontrar el tiempo que se demora el ventilador en detenerse por completo se hace uso de una ecuación en la que velocidad angular es igual a la velocidad angular inicial más el ángulo por el tiempo. Como el ventilador se detiene aceleración angular es igual a cero y de ahí podemos despejar la variable tiempo.

7 Ejercicios