capítulo 4 cinemática en dos dimensiones

Capítulo 4 Cinemática en dos dimensiones

101

4 Cinemática en dos

dimensiones 4.1. Introducción

4.1.1. Movimiento compuesto

Anteriormente se ha estudiado lo que

ocurre cuando un cuerpo se mueve

respecto de un sistema de referencia

cuando un cuerpo se mueve en una

dimensión. Así, conociendo algunos datos, se puede hallar la posición del cuerpo en un instante

determinado y conocer la velocidad con que se mueve, conceptos

que se pueden ampliar a dos dimensiones.

En el universo se comprueba continuamente que el movimiento de un objeto observado desde un sistema de referencia dado resulta

de superponer varios movimientos vistos desde otros sistemas de

referencia. En consecuencia, estos movimientos relativos pasan a

ser componentes del movimiento. En física esta combinación de movimientos se denominan movimiento compuesto.

4.1.2. Composición de movimientos

Si un objeto se mueve y su movimiento es observado y medido por observadores situados en

diferentes sistemas de referencia, entonces cada observador obtendrá desplazamientos ∆ 𝑟1, ∆ 𝑟2, ... ,

∆ 𝑟𝑛; con velocidades 𝑣1, 𝑣2, ....., 𝑣𝑛 y aceleraciones ��1, ��2, ....., ��𝑛 y se verificará que, el

desplazamiento, la velocidad y la aceleración resultante son:

∆ 𝑟𝑅 = ∆ 𝑟1 + ∆ 𝑟2 + ⋯ ⋯ + ∆ 𝑟𝑛 (4.1)

��𝑅 = ��1 + ��2 + ⋯ ⋯ + ��𝑛 (4.2)

��𝑅 = ��1 + ��2 + ⋯ ⋯ + ��𝑛 (4.3)

4.2. Principio de independencia de los movimientos

Este principio que fue establecido por Galileo establece que: “Los movimientos componentes en un

movimiento compuesto, se desarrollan independientemente uno de otro, es decir, el desarrollo de un

movimiento no se ve alterado por la aparición de otro en forma simultánea”.

4.3. Movimiento parabólico

Es una clase de movimiento compuesto en la que el cuerpo describe una curva llamada parábola. Este movimiento se caracteriza por que el cuerpo se ve afectado por una aceleración constante, que sólo

tiene componente en el eje “y”.

A continuación se estudia un experimento, donde desde el borde de una mesa se deja caer una

pelotita, éste tocará el piso en el pie de la vertical (figura 4.1 a). El movimiento es de caída libre (despreciando la resistencia del aíre).

4.1. Introducción

4.2. Principio de independencia de movimientos

4.3. Movimiento parabólico 4.4 Descomposición del movimiento

parabólico 4.5. Tipos de movimiento parabólico

Objetivos

Entender y reconocer el movimiento compuesto y su

independencia en dos dimensiones.

Reconocer que el movimiento parabólico es una composición del

MRU y caída libre. Analizar y resolver problemas del

movimiento de proyectiles.


102

Pero si en vez de dejarla caer, se la coloca en el centro de la mesa y se le da un impulso. Mientras

está sobre la mesa se mueve con movimiento rectilíneo uniforme (si la mesa es horizontal y no existe

rozamiento, figura 4.1 b). Al llegar al borde cae, pero no sobre el pie de la vertical anterior, sino más adelante. La pelotita, al abandonar la mesa, además de su movimiento rectilíneo uniforme adquiere

otro, el movimiento rectilíneo uniformemente variado (caída libre), luego, tiene dos movimientos. El

siguiente paso es determinar si un movimiento tiene influencia sobre el otro.

A continuación, se toman dos pelotitas y, a una de ellas se la coloca en el centro de la mesa y se le da un impulso y, justo cuando abandona la mesa se deja caer la otra (figura 4.1 c). La segunda sólo

tiene movimiento de caída libre, mientras que la primera tienen dos: rectilíneo uniforme y de caída

libre.

Se observa que ambas tocan el piso al mismo tiempo, en consecuencia, el movimiento horizontal no influye sobre el de caída libre, ya que emplean el mismo tiempo, exista o no traslación horizontal.

Posteriormente, se realiza otra experiencia en la que dos pelotitas se colocan en el centro de la mesa

y se les da el mismo impulso (figura 4.2). Una de las pelotita cae y la otra sigue moviéndose sobre

la tabla. A ésta última se la detiene justo cuando la otra toca el piso en el punto B. Se mide las

distancias OC y AB y se ve que son iguales. Por lo tanto, el movimiento de caída libre no tiene ninguna influencia sobre el de traslación horizontal, ya que la pelotita avanza lo mismo, caiga o no.

El experimento anterior se puede observar que el movimiento de la pelotita está compuesto de dos

movimientos: uno de caída libre y otro movimiento horizontal uniforme. Esta combinación de

movimientos recibe el nombre de “movimiento parabólico”.

O

BA

C

Figura 4.1 b

Figura 4.1 c

Figura 4.1 a

Figura 4.2


103

Ahora se estudiará el problema de la pelotita lanzada con una velocidad 𝑣0 y un ángulo θ respecto de

la horizontal, sin tomar en cuenta el rozamiento del aire.

La pelotita va avanzando, primero ascendiendo (hasta que alcanza su altura máxima) y luego descendiendo (hasta tocar el suelo), como indica la figura 4.3, se puede observar que la componente

horizontal de la velocidad 𝑣0𝑥 no sufre cambio alguno en su módulo, dirección y sentido, pero no

ocurre lo mismo con la componente vertical, quién si es afectada por la aceleración de la gravedad.

Como el movimiento parabólico es un movimiento compuesto, entonces la

velocidad inicial debe ser descompuesta, de la figura 4.4:

𝑣0𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (4.4)

𝑣0𝑦 = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 (4.5)

En consecuencia, las fórmulas generales del movimiento parabólico, a

utilizarse en cada eje, en forma independiente son las siguientes:

Eje “x” Eje “y”

𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∗ 𝑡 (4.6) ℎ = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∗ 𝑡 − 1

2 𝑔 𝑡2 (4.7)

𝑣𝑓𝑦 = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑔 𝑡 (4.8)

𝑣𝑓𝑦2 = 𝑣0

2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 2 𝑔 ℎ (4.9)

ℎ = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑣𝑓𝑦

2 𝑡 (4.10)

Xv0

Xv0

Xv0

Xv0

Xv0

0v

Yv0

Y

Xg

g

g

g

g

Figura 4.3

Xv0

Yv0

0v

Figura 4.4


104

4.4 Descomposición del movimiento parabólico

En función a la independencia de los movimientos en los dos ejes coordenados, se pueden deducir las siguientes fórmulas particulares del movimiento:

Despejando el tiempo de la fórmula 4.6 y reemplazando el mismo en la fórmula 4.7 se obtiene la

ecuación general de la trayectoria:

𝑡 =

𝑥

𝑣0 𝑐𝑜𝑠 𝜃

ℎ = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∗ 𝑡 − 1

2 𝑔 𝑡2

} ℎ = 𝑥 𝑡𝑔 𝜃 – 𝑔 𝑥2

2 𝑣𝑜2 𝑐𝑜𝑠2 𝜃

(4.11)

Utilizando relación fundamental de la trigonometría, la ecuación 4.11, se puede escribir como:

𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 = 1 → 𝑡𝑔 2 𝜃 + 1 = 1

𝑐𝑜𝑠2 𝜃

ℎ = 𝑥 𝑡𝑔 𝜃 – 𝑔 𝑥2


} ℎ = 𝑥 𝑡𝑔 𝜃 – 𝑔 𝑥2

2 𝑣𝑜2 ( 𝑡𝑔 2 𝜃 + 1 ) (4.12)

La ecuación de la trayectoria, donde la altura “h” es función de “x”, en una ecuación de segundo grado

o cuadrática es la que da la denominación de movimiento parabólico.

Ejemplo 4.1

Un bombero desea sofocar un incendio en la ventana de un edificio a 11

[m] de altura. Para ello dispone de una manguera capaz de lanzar un

chorro de agua con una velocidad v0 = 20 [m/s]. Si lo más que puede

aproximarse al edificio es a 6 [m] de la base de este ¿Cuál es el ángulo con que el chorro de agua debe abandonar la manguera? La boquilla de

la manguera se encuentra a 1 [m] del suelo.

Solución

La ecuación de la trayectoria:

10 [𝑚] = 6[𝑚] 𝑡𝑔 𝜃 − 9,8 [

𝑚

𝑠2]∗(6[𝑚])2 𝑐𝑜𝑠2 40° (𝑡𝑔 40°+ 3

4)

2∗(20[𝑚

𝑠])

2 (𝑡𝑔2 𝜃 + 1)

10 [𝑚] = 6[𝑚] 𝑡𝑔 𝜃 − 0,44 [𝑚] (𝑡𝑔2 𝜃 + 1) → 0,44 𝑡𝑔2 𝜃 − 6 𝑡𝑔 𝜃 + 10,44 = 0

𝑡𝑔 𝜃 = (6±√(36−4∗0,44∗10,44))

0,88 → 𝜃1 = 85°, 𝜃2 = 64°

Xv0

Yv0

0v

Yv0

YY

X

Xv0

X

R

má

xh

Figura 4.5

x

y

h

Figura 4.6


105

La velocidad de un objeto en movimiento parabólico en cualquier instante, se obtiene mediante el

teorema de Pitágoras:

𝑣 = √𝑣0𝑥2 + 𝑣𝑓𝑦

2 (4.13)

La altura máxima y tiempo de subida se obtienen cuando la componente vertical de la velocidad v0Y

se hace cero (se anula).

De la ecuación 4.9 se halla la altura máxima:

0 = 𝑣02 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 2 𝑔 ℎ𝑚á𝑥 → ℎ𝑚á𝑥 =

𝑣02 𝑠𝑒𝑛2 𝜃

2 𝑔 (4.14)

Y de la ecuación 4.5 el tiempo de subida:

0 = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑔 𝑡𝑠 → 𝑡𝑠 = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑔 (4.15)

Como el tiempo de subida es igual al de bajada, el tiempo de vuelo es el doble del de subida:

𝑡𝑣 = 2 𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑔 (4.16)

Remplazando el tiempo de vuelo en la ecuación 4.6, se obtiene el alcance horizontal:

𝑅 = 2 𝑣0

2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃

𝑔 → 𝑅 =

𝑣02 𝑠𝑒𝑛(2 𝜃)

𝑔 (4.17)

Ejemplo 4.2

Se hace un disparo con un ángulo de 37° y con una rapidez de 80 [m/s]. Calcular:

a) Tiempo en alcanzar su máxima altura.

b) Altura máxima.

c) Distancia horizontal.

Solución

a) t = v0 sen 37°

g → h =

80 [m

s] sen 37°

9,8 [m

s2] = 4,91[s]

b) h = v0

2 sen2 37°

2 g → h =

6400 [m2

s2 ] sen2 45°

2∗9,8 [m

s2] = 118,26 [m]

c) d = v0

2 sen (2 θ)

g → D =

6400 [m2

s2 ] sen (2∗37°)

9,8 [m

s2] = 627,76 [m]

Ejemplo 4.3

Una atleta de salto largo deja el terreno a un ángulo

de 30° y recorre 7,8 [m].

a) ¿Cuál fue se rapidez de despegue? b) ¿Qué altura máxima alcanzo?

c) ¿Qué tiempo estuvo en el aire?

d) ¿Cuál fue su rapidez después de 0,5 [s]?

Solución:

Datos: 𝜃 = 30°; 𝑅 = 7,8 [𝑚]

Figura 4.7

0v

..RN


106

a) 𝑅 = 𝑣0

2 𝑠𝑒𝑛(2 𝜃)

𝑔 → 𝑣𝑜 = √

𝑅 𝑔

𝑠𝑒𝑛 2𝜃 → 𝑣𝑜 = √

7,8 [𝑚]∗9,8 [𝑚

𝑠2]

𝑠𝑒𝑛 (2∗30°) = 9,4 [

𝑚

𝑠]

b) hmáx = v0

2 sen2 θ

2 g → hmáx =

(9,4[m

s])

2 (sen2 30°)

2∗ 9,8 [m

s2] → 1,1 [m]

c) tv = 2 v0 sen θ

g → tv =

2∗9,4[m

s]∗ sen 30°

9,8 [m

s2]= 0,96 [m]

d) vfy = v0 sen θ − g t → vfy = 9,4 [m

s] ∗ sen 30° − 9,8 [

m

s2] ∗ 0,5 [s] = − 0,2 [m s]⁄

𝑣 = √𝑣0𝑥2 + 𝑣𝑓𝑦

2 → 𝑣 = √ (𝑣𝑜 cos 𝜃)2 + 𝑣𝑓𝑦2

𝑣 = √ (9,4 [𝑚

𝑠] ∗ cos 30°)

2

+ (− 0,2 [𝑚 𝑠]⁄ )2 = 8,1 [𝑚

𝑠]

4.4.1. Observaciones

En el movimiento parabólico, el alcance máximo horizontal se logra cuando 𝑠𝑒𝑛(2 𝜃) = 1, en base a

ello θ = 45° y:

𝑅 = v0

2

g (4.18)

Si se realizan dos lanzamientos con la misma velocidad 𝑣0, pero con ángulos diferentes 𝛼 y 𝛽, se

cumple que los alcances serán iguales si dichos ángulos son complementarios, es decir: 𝛼 + 𝛽 = 90°.

Vectorialmente, la posición, velocidad y aceleración de una partícula en movimiento parabólico, en cualquier instante están dados por:

𝑟 = (𝑣0 𝑐𝑜𝑠 𝜃) 𝑡 𝑖 + [(𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ) 𝑡 − 1

2 𝑔 𝑡2] 𝑗 (4.19)

𝑣 = (𝑣0 𝑐𝑜𝑠 𝜃) 𝑖 + (𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑔 𝑡 ) 𝑗 (4.20)

�� = −𝑔 𝑗 → �� = −9,8 [𝑚

𝑠2] 𝑗 (4.21)

x

y

Rmax

Figura 4.8


107

Ejemplo 4.4

Dos proyectiles se lanzan con el mismo ángulo = 80°, el

proyectil A con vA = 30 [m/s] y el proyectil B con vB = 15 [m/s].

Determinar el tiempo en el que las velocidades de ambos

proyectiles son perpendiculares.

Solución

𝑣𝐴 = 30 [𝑚

𝑠] cos 80° 𝑖 + (30 [

𝑚

𝑠] 𝑠𝑒𝑛 80° − 9,8 [

𝑚

𝑠2] 𝑡) 𝑗

𝑣𝐵 = 15 [𝑚

𝑠] 𝑐𝑜𝑠 80° 𝑖 + (15 [

𝑚

𝑠] 𝑠𝑒𝑛 80° − 9,8 [

𝑚

𝑠2] 𝑡) 𝑗-

Se conoce que si las velocidades forman un ángulo de 90°

el producto escalar debe ser nulo, luego:

𝑣𝐴 ∘ 𝑣𝐵 = 13,57 + 436,43 − 434,30 𝑡 + 96,04 𝑡2 = 0

96,04 𝑡2 − 434,30 𝑡 + 450 = 0 → 𝑡1 = 2,91 [𝑠]

𝑡2 = 1,61 [𝑠]}

4.5. Tipos de movimiento parabólico

Los tipos de movimiento parabólico según los parámetros iníciales del movimiento proporcionan tres casos:

Parabólico con caída libre simple

Parabólico con caída libre impulsada

Parabólico con lanzamiento vertical

El movimiento en el eje vertical cumple con las mismas condiciones de caída libre correspondiente.

4.5.1 Parabólico con caída libre simple

Las fórmulas generales del movimiento parabólico, a utilizarse en cada eje, en forma independiente son las

siguientes:


𝑥 = 𝑣𝑜 𝑡 (4.22) ℎ = 1

2 𝑔 𝑡2 (4.23)

𝑣𝑓𝑦 = 𝑔 𝑡 (4.24)

𝑣𝑓𝑦2 = 2 𝑔 ℎ (4.25)

ℎ = 𝑣𝑓𝑦

2 𝑡 (4.26)

Despejando el tiempo de la fórmula 4.22 y reemplazando el mismo en la fórmula 4.23 a se obtiene la

ecuación general de la trayectoria:

𝑡 =

𝑥

𝑣0

ℎ = 1

2 𝑔 𝑡2

} ℎ = 𝑔 𝑥2

2 𝑣𝑜2

(4.27)

)(h

0.. hRN

0v

yfv

)(g

0v

fvx

Figura 4.9

Figura 4.10

X

Y1

1

2

2

..RN


108

Ejemplo 4.5

Un esquiador abandona la plataforma horizontalmente,

como se muestra en la figura. ¿A qué distancia a lo largo de la pendiente de 30° tocará el suelo? La rapidez de salida del

esquiador es de 40 [m/s].

Solución

El punto donde el esquiador toca la pendiente, es la intersección de la parábola:

y = x tg θ +g x2

2 v0 2 cos2 θ

(1)

Con la recta:

tg 30° = y

x → y = x tg 30° (2)

Como θ = 0°, ya que el esquiador sale horizontalmente, la primera ecuación queda:

y =g x2

2 v0 2 (3)

(1) = (3)

g x2

2 v0 2 = x tg 30° → x =

2 v0 2 tg 30°

g =

2∗1 600 [m2

s2 ] tg 30°

9,8 [m

s2] = 188,52 [m]

Como:

x = d cos 30° → d = x

cos 30°=

188,52 [m]

cos 30° = 217,69 [m]

Ejemplo 4.6

Un ferrobús que se mueve a 90 [Km/h], entra en un puente de 10 [m] de largo, un pasajero deja

caer afuera del ferrobús una pelota desde 3 [m]

sobre el nivel del suelo. ¿Cuántos metros antes de

que el ferrobús entre en el puente debería soltar la pelota, para que ésta caiga en la mitad del puente?

Solución: Datos: 𝑣0 = 90 [𝐾𝑚 ℎ]⁄ = 25 [𝑚 𝑠]⁄ ; 𝑑 = 10 [𝑚] ; ℎ = 3 [𝑚]

De la ecuación de la trayectoria,

𝑥 = √ 2 ℎ 𝑣𝑜

2

𝑔 → 𝑥 = √

2×3 [𝑚]∗(25 [𝑚

𝑠])

2

9,8 [𝑚

𝑠2] = 19,6 [𝑚]

Del gráfico, 𝑒 + 𝑑

2= 𝑥 → 𝑒 = 𝑥 −

𝑑

2 → 𝑒 = 19,6 [𝑚] −

10 [𝑚]

2 → 𝑒 = 14,6 [𝑚]

d

2d

2d

e

h

Figura 4.12

30°

d

0v

Figura 4.11


109

4.5.2. Parabólico con caída libre impulsada

Las fórmulas generales del movimiento parabólico, a



𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∗ 𝑡 (4.28) ℎ = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∗ 𝑡 + 1

2 𝑔 𝑡2 (4.29)

𝑣𝑓𝑦 = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑔 𝑡 (4.30)


2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 2 𝑔 ℎ (4.31)

ℎ = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑣𝑓𝑦

2 𝑡 (4.32)

Despejando el tiempo de la fórmula 4.28 y reemplazando el mismo en la fórmula 4.29 se obtiene la ecuación general de la trayectoria:

𝑡 =

𝑥


ℎ = (𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 𝑡 + 1

2 𝑔 𝑡2

} ℎ = 𝑥 𝑡𝑔 𝜃 + 𝑔 𝑥2


(4.33)

O también, ℎ = 𝑥 𝑡𝑔 𝜃 + 𝑔 𝑥2

2 𝑣𝑜2 ( 𝑡𝑔 2 𝜃 + 1 ) (4.34)

Ejemplo 4.7

Durante la segunda guerra mundial los bombarderos en picada

fueron práctica común. Suponiendo que un bombardero pica a un

ángulo de 30° bajo la horizontal a una velocidad de 280 [m/s] y suelta una bomba cuando está a una altura de 400 [m], la que da

contra el blanco, ¿Dónde estaba el blanco en relación con el

bombardero en el momento de soltar la bomba? ¿Cuánto tiempo

transcurrió desde que se soltó la bomba hasta hacer el impacto?

Solución:

Datos: 𝑣0 = 280 [𝑚 𝑠]⁄ ; 𝜃 = 30°; ℎ = 400 [𝑚]

De la ecuación de la trayectoria,

ℎ = 𝑥 𝑡𝑔 𝜃 + 𝑔 𝑥2

2 𝑣𝑜2

( 𝑡𝑔 2 𝜃 + 1 )

𝑔 𝑥2

2 𝑣𝑜2 ( 𝑡𝑔 2 𝜃 + 1 ) + 𝑥 𝑡𝑔 𝜃 − ℎ = 0

9,8 [𝑚

𝑠2] 𝑥2

2∗(280 [𝑚

𝑠])

2 ( 𝑡𝑔 2 30° + 1 ) + 𝑥 𝑡𝑔 30° − 400 = 0 → 8,3 ∗ 10−5 𝑥2 + 0,58 𝑥 − 400 = 0

Resolviendo, 𝑥 = 632 [𝑚]

Luego, 𝑡 = 𝑥

𝑣0 𝑐𝑜𝑠 𝜃 → 𝑡 =

632 [𝑚]

280 [𝑚

𝑠]∗ 𝑐𝑜𝑠 30°

= 2,6 [𝑠]

Figura 4.13

Figura 4.14

)(

h

0.. hRNxov

yfv

)(g

fvx

xov

ov

yov

h )(g

x

ov

0.. hRN


110

4.5.3. Parabólico con lanzamiento vertical

Las fórmulas generales del movimiento parabólico, a



𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∗ 𝑡 (4.35) ℎ = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∗ 𝑡 − 1

2 𝑔 𝑡2 (4.36)

𝑣𝑓𝑦 = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑔 𝑡 (4.37)


2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 − 2 𝑔 ℎ (4.38)

ℎ = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑣𝑓𝑦

2 𝑡 (4.39)

Despejando el tiempo de la fórmula 4.35 y reemplazando el mismo en la fórmula 4.36 se obtiene la ecuación general de la trayectoria:

𝑡 =

𝑥


ℎ = (𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 𝑡 − 1

2 𝑔 𝑡2

} ℎ = 𝑥 𝑡𝑔 𝜃 − 𝑔 𝑥2


(4.40)

O también, ℎ = 𝑥 𝑡𝑔 𝜃 − 𝑔 𝑥2

2 𝑣𝑜2 ( 𝑡𝑔 2 𝜃 + 1 ) (4.41)

Ejemplo 4.8

Se dispara un proyectil desde la orilla de un edificio de 140 [m] de

altura con una rapidez inicial de 100 [m/s] y un ángulo de 37°,

respecto de la horizontal, como se observa en la figura.

a) Calcule el tiempo que tarda el proyectil en llegar al punto P

en el nivel del terreno.

b) Calcule el alcance x del proyectil, medido desde la base del

edificio. c) Calcule las componentes horizontal y vertical de la velocidad

del proyectil, en el instante en que llega al punto P.

d) Halle el módulo de la velocidad en el punto P.

e) Determine el ángulo que hace el vector velocidad con la

horizontal cuando llega al punto P.

Solución:

Datos: 𝑣0 = 100 [𝑚 𝑠]⁄ ; 𝜃 = 37° ; ℎ = 140 [𝑚]

a) Utilizando la ecuación 4.36, con los puntos inicial y final, y además considerando que la altura está por debajo del nivel de referencia y se toma como negativa se tiene:

− ℎ = (𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 𝑡 − 1

2 𝑔 𝑡2

1

2 𝑔 𝑡2 − (𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 𝑡 − ℎ = 0

1

2∗ 9,8 [

𝑚

𝑠2] 𝑡2 − 100 [𝑚]𝑠𝑒𝑛 37° ∗ 𝑡 − 140 [𝑚] = 0

4,9 𝑡2 − 60,2 𝑡 − 140 = 0

Figura 4.15

Figura 4.16

)(h

0.. hRN

yfv

)(g

fvx

xov

ov

yov

xov

h )(g

x

ov

P

0.. hRN


111

𝑡 = − (−60,2) ± √ (−60,2)2 –(4)(4,9)(−140)

(2)(4,9)

Cuya solución es, 𝑡 = 14, 3 [𝑠]

b) 𝑥 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∗ 𝑡 → 𝑥 = 100 [𝑚

𝑠] ∗ 𝑐𝑜𝑠 37° ∗ 14,3 [𝑠] = 1 142 [𝑚]

c) 𝑣𝑓𝑦 = 𝑣0 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝑔 𝑡 → 𝑣𝑓𝑦 = 100 [𝑚

𝑠] ∗ 𝑠𝑒𝑛 37° − 9,8 [

𝑚

𝑠2] ∗ 14,3 [𝑠]

vfy = −80 [m s]⁄

vox = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠 𝜃 → 𝑣𝑜𝑥 = 100 [𝑚 𝑠]⁄ ∗ 𝑐𝑜𝑠 37° → 𝑣𝑜𝑥 = 80 [𝑚 𝑠]⁄

d) 𝑣 = √𝑣0𝑥2 + 𝑣𝑓𝑦

2 → 𝑣 = √ (80 [𝑚 𝑠]⁄ )2 + (80 [𝑚 𝑠]⁄ )2 → 𝑣 = 113 [𝑚 𝑠]⁄

e) 𝑡𝑔 𝜑 = 𝑣𝑓𝑦

𝑣𝑜𝑥 → 𝑡𝑔 𝜑 =

80 [𝑚 𝑠]⁄

80 [𝑚 𝑠]⁄ → 𝜑 = 45°

Ejemplo 4.9

Una pelota A se lanza con una rapidez de 60 [m/s] y formando

un ángulo de 60º con la horizontal. Después de 7 segundos y

a una distancia horizontal “d” se lanza verticalmente hacia

arriba otra pelota B con una rapidez de 45 [m/s]. a) ¿A qué

altura ocurrirá el encuentro? b) ¿A qué distancia horizontal se

produce el encuentro?

Solución:

Datos: 𝑣0𝐴 = 60 [𝑚 𝑠]⁄ ; 𝜃 = 60° ; 𝑡0𝐵 = 7 [𝑠] ; 𝑣0𝐵 = 45 [𝑚 𝑠]⁄

a) Para la pelota A: 𝑦 = (𝑣0𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 𝑡 − 1

2 𝑔 𝑡2 (1)

Para la pelota B: 𝑦 = 𝑣𝑜𝐵 (𝑡 − 𝑡𝑜𝐵) − 1

2 𝑔 (𝑡 − 𝑡𝑜𝐵)2 (2)

Igualando (1) y (2),

𝑣𝑜𝐵 (𝑡 − 𝑡𝑜𝐵) − 1

2 𝑔 (𝑡 − 𝑡𝑜𝐵)2 = (𝑣0𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 𝑡 −

1

2 𝑔 𝑡2

𝑣𝑜𝐵 𝑡 − 𝑣𝑜𝐵 𝑡𝑜𝐵 − 1

2 𝑔 𝑡2 + 𝑔 𝑡 𝑡𝑜𝐵 −

1

2 𝑔 𝑡𝑜𝐵

2 = (𝑣0𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 𝑡 − 1

2 𝑔 𝑡2

(𝑣𝑜𝐵 + 𝑔 𝑡𝑜𝐵 − 𝑣0𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 𝑡 = 1

2 𝑔 𝑡𝑜𝐵

2 + 𝑣𝑜𝐵 𝑡𝑜𝐵

𝑡 = 1

2 𝑔 𝑡𝑜𝐵

2 + 𝑣𝑜𝐵 𝑡𝑜𝐵

𝑣𝑜𝐵 + 𝑔 𝑡𝑜𝐵 − 𝑣0𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃 → 𝑡 =

1

2∗9,8 [

𝑚

𝑠2]∗(7 [𝑠])2 +45 [𝑚

𝑠]∗7 [𝑠]

45 [𝑚

𝑠] + 9,8 [

𝑚

𝑠2]∗7 [𝑠]– 60 [𝑚

𝑠]∗𝑠𝑒𝑛 60°

= 9 [𝑠]

Reemplazando en (1)

𝑦 = 60 [𝑚

𝑠] ∗ 𝑠𝑒𝑛 60° ∗ 9 [𝑠] −

1

2∗ 9,8 [

𝑚

𝑠2] ∗ (9 [𝑠])2

𝑦 = 70,8 [𝑚]

b) 𝑑 = 𝑣0𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∗ 𝑡 → 𝑑 = 60 [𝑚

𝑠] ∗ 9 [𝑠] = 540 [𝑚]

60°

d

Aov

Bov y

Figura 4.17


112

CINEMÁTICA EN DOS DIMENSIONES

4.1. Si una persona lleva una pelota, corre a rapidez constante y desea lanzar la pelota, de modo

que pueda atraparla cuando ésta caiga, debe

a) Lanzar la pelota a un ángulo de unos 45° arriba de la horizontal y mantener la misma

rapidez. b) Lanzar la pelota en línea recta hacia arriba y reducir su rapidez para atraparla.

c) Lanzar pelota en línea recta hacia arriba y mantener la misma rapidez.

4.2. A medida que un proyectil se mueve en su trayectoria parabólica, los vectores de velocidad

y aceleración son perpendiculares entre sí:

a) En cualquier punto a lo largo de su trayectoria. b) En la parte más alta de su trayectoria.

c) En ninguna parte a lo largo de su trayectoria.

d) No hay información suficiente.

4.3. Se dispara un proyectil desde el nivel del piso con velocidad v = 12 i + 24 j ¿Cuál es la

componente horizontal de la velocidad después de 4 [s]?

a) 12 𝑖 [𝑚

𝑠] b) − 8 𝑖 [

𝑚

𝑠] c) 8 𝑖 [

𝑚

𝑠] d) −12 𝑖 [

𝑚

𝑠] e) 12 [

𝑚

𝑠]

4.4. Cuando un proyectil se mueve en una trayectoria parabólica, ¿cuál de las siguientes

magnitudes permanece constante?

a) Velocidad b) Aceleración c) Tiempo d) Posición e) Ninguno

4.5. Desde lo alto de un precipicio se lanzan horizontalmente y

a la vez tres piedras “A”, “B” y “C” con distintas

velocidades. ¿Cuál llega antes al suelo?

a) “A” b) “B”

c) “C”

d) Llegan todas a la vez.

4.6. Un cazador experimentado apunta, con un rifle a la

cabeza de un mono que se encuentra a una distancia de 300 [m] en una rama de un árbol. En el momento justo

del disparo el mono se deja caer al suelo. Entonces la

bala:

a) Dará en la cabeza del mono. b) Dará en el cuerpo del mono.

c) Pasará por encima de la cabeza del mono

siempre. d) Pasará por encima de la cabeza del mono si la

rapidez es grande.

4.7. Una persona va en una moto con velocidad constante, suelta una de sus manos y lanza

verticalmente hacia arriba una bola de acero, dejando la mano extendida. La bola caerá:

a) Detrás del motociclista, si la velocidad de la moto es grande.

b) Delante del motociclista. c) En la mano que la lanzó.

d) Detrás del motociclista siempre.

4.8. Se dispara un proyectil formando un ángulo de 30º con la horizontal. ¿Qué gráfica representa

correctamente la distancia horizontal “X” recorrido por el proyectil en función del tiempo?

A B C

Figura 4.19

Figura 4.18


113

4.9. Se dispara un proyectil formando un ángulo de 30º con la horizontal. ¿Qué magnitud,

referida al proyectil, permanece constante?

a) Vector velocidad. b) Componente horizontal del vector velocidad.

c) Componente vertical del vector velocidad.

d) Módulo del vector velocidad.

4.10. Una persona, situada al borde de un precipicio, lanza dos piedras con la misma velocidad inicial: una piedra “A” verticalmente hacia arriba y otra “B” verticalmente hacia abajo. Si

despreciamos el rozamiento del aire, ¿cuál llega al suelo con mayor velocidad?

a) “A”

b) “B” c) Llegan las dos con la misma velocidad.

d) Es necesario conocer el valor de la masa de cada piedra.

4.11. Desde lo alto de una torre se lanzan tres piedras iguales “A”, “B” y “C”, con velocidades

respectivas 𝑣0 𝑗, − 𝑣0 𝑗, y 𝑣0 𝑖 . ¿Qué relación guardan los módulos de sus velocidades al chocar

contra el suelo?

a) VA > VB > VC

b) VA = VB > VC c) VA = VB = VC

d) VA > VC > VB

4.12. Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad inicial V0. En el mismo instante

se lanza una segunda piedra formando un ángulo de 60º con la horizontal y con la misma velocidad V0. Las dos piedras llegan al suelo:

a) Al mismo tiempo y con la misma velocidad.

b) Al mismo tiempo y distinta velocidad.

c) A la misma velocidad y empleando tiempos distintos.

d) A distinta velocidad y distinto tiempo.

4.13. Un rifle se encuentra sobre una mesa horizontal y con una bala en la recámara (bala “A”).

En el momento que ésta se dispara, se deja caer otra bala (bala “B”) desde la mesa al suelo.

Llamando “t” al tiempo que tardan en chocar con el suelo y “v” la velocidad con la que lo

hacen, ¿qué relación guardan los tiempos y las velocidades?

a) tA > tB y vA = vB b) tA = tB y vA > vB

c) tA > tB y vA > vB

d) tA < tB y vA = vB

4.14. Un niño lanza con una honda una piedra a un pájaro que vuela horizontalmente a una altura de “H”. El tiempo transcurrido desde que la piedra golpea al pájaro hasta que éste choca

contra el suelo sólo depende de:

a) Velocidad que lleva el pájaro.

b) Altura “H”.

t

x

t t t

)a )b )c )d

x x x


114

c) Altura “H” y velocidad que lleva el pájaro.

d) Distancia entre el niño y el pájaro en el momento del impacto y altura “H”.

4.15. Calcular el ángulo de disparo de un proyectil en movimiento parabólico, que en su vuelo alcanza una altura máxima “H”, sabiendo que, si fuera lanzado verticalmente hacia arriba

con la misma rapidez inicial alcanzaría una altura “5 H”.

4.16. Cuando el cuerpo alcanza la máxima altura ¿cuánto vale la velocidad vertical?

4.17. Explicar cómo son las componentes de la velocidad de cada uno de los movimientos que adquiere un cuerpo cuando se lanza formando un ángulo “” con la horizontal.

4.18. Se lanza un proyectil dos veces, con ángulos de inclinación “” y “”, logrando en ambos

casos el mismo alcance horizontal. Si poseen la misma rapidez inicial, hallar la relación entre

“” y “”.

4.19. El alcance horizontal de un proyectil se determina por:

𝑥 = 𝑣0

2 𝑠𝑒𝑛 (2𝛼)

𝑔

Si el proyectil es lanzado desde un móvil que se desplaza con MRU y velocidad “V”, Calcular

el nuevo alcance.

4.20. Un cañón dispara un proyectil con una rapidez inicial v0 inclinado en un ángulo “”. Si el

ángulo se cambia a “β”, el alcance del proyectil aumenta en una distancia “D”. Demostrar que:

𝐷 = 𝑣0

2

𝑔 (𝑠𝑒𝑛 2𝛽 − 𝑠𝑒𝑛 2𝛼)

4.21.

a) Probar que para un proyectil disparado desde la superficie a nivel del terreno con un

ángulo arriba de la horizontal, la razón de la altura máxima “H” y el alcance “R” está

dada por H/R = ¼ tan .

b) Hallar el ángulo de disparo para el cual la altura máxima y el alcance horizontal son

iguales.

4.22. Dos aviones están situados en la misma vertical; la altura sobre el

suelo de uno de ellos es 4 veces mayor que la del otro como se indica en la figura. Pretenden bombardear el mismo objetivo.

Siendo la velocidad del más alto “𝑣” ¿qué velocidad debe llevar el

más bajo?

4.23. Para el tiro parabólico, responder verdadero o falso.

( ) El tiempo de vuelo es el doble del tiempo de subida

( ) El tiempo de bajada es la mitad del tiempo de vuelo

( ) El tiempo de subida es la mitad del tiempo de vuelo ( ) Una partícula es lanzada desde el suelo con cierta velocidad V0, describiendo una

trayectoria parabólica entonces la velocidad de llegada es V0.

( ) Los cuerpos que tienen mayor masa caen con mayor aceleración.

( ) Para un lanzamiento parabólico, en el punto de altura máxima su velocidad es cero.

H

H4

v

Bv

Figura 4.20


115

( ) Para que un proyectil tenga mayor tiempo de vuelo el ángulo de lanzamiento debe

ser 90°.

( ) Al lanzar un cuerpo hacia arriba, el valor de su aceleración en el punto de su altura máxima es cero.

( ) En algún punto de la trayectoria parabólica de un proyectil, la aceleración y la

componente horizontal de la velocidad son perpendiculares.

( ) La rapidez con la que regresa al nivel de lanzamiento, una piedra lanzada hacia arriba es igual a la rapidez con la que fue lanzada.

( ) La aceleración de una piedra lanzada hacia arriba es diferente de cuando regresa

al piso.

4.24. Desde una torre de altura “h” se dispara horizontalmente un proyectil con una velocidad de 30 [m/s] y llega a la superficie en 4 [s]. Hallar la altura de la torre "h" y la distancia desde

la base de la torre y el punto de impacto.

4.25. Desde cierta altura se lanza una piedra con una velocidad horizontal de 40 [m/s]. ¿Qué valor

tiene su velocidad a los 3 [s] del lanzamiento?

4.26. Una bomba es soltada desde un avión que se mueve a una velocidad constante de 50 [m/s] en forma horizontal y a una altura de 2 000 [m]. ¿Qué distancia horizontal recorrió la bomba

hasta llegar al piso?

4.27. Una esferita se lanza horizontalmente con una velocidad inicial de 30 [m/s], desde lo alto

de una torre de 45 [m] de altura. ¿Qué ángulo forma el vector velocidad de la esferita con respecto a la vertical luego de 3 segundos?

4.28. Un avión vuela horizontalmente a 1 960 [m] de altura a una velocidad de 180 [km/h]. Del

avión cae un paquete de provisiones para un grupo de personas. ¿Cuántos metros antes de

volar sobre el grupo debe soltar el paquete?

4.29. Una esfera es lanzada horizontalmente desde cierta altura y al

pasar por el punto “A” el módulo de su velocidad es de 30 √2

[m/s], las direcciones y sentidos de sus velocidades se muestran en la figura 4.20. Calcular la altura “H”.

4.30. En un duelo del lejano Oeste un pistolero dispara horizontalmente una bala con velocidad

de 200 [m/s] desde una altura de 1,25 [m]. Calcular la distancia mínima entre los

adversarios situados en plano horizontal, para que la presunta víctima no sea alcanzada.

4.31. Un tren avanza a una velocidad de 90 [km/h] y entra a un puente de 17 [m] de largo y

justo en el momento de entrar en el puente un pasajero deja caer, afuera del tren, una

pequeña piedra a una altura de 2,45 [m] del suelo. ¿la piedra caerá en el puente?

°45

H

°53

A

B

sm/230

Figura 4.21


116

4.32. Sale agua de un tanque a presión por “A”, con una velocidad

horizontal 𝑣0. ¿Para qué intervalo de valores 𝑣0 el agua

pasará por la abertura “BC”?

4.33. En un bar, un cliente desliza una jarra de cerveza vacía por el mostrador para que se la

rellenen. El camarero está momentáneamente distraído y no ve la jarra, la cual se desliza hasta el borde del mostrador y cae al suelo a una distancia de 1,40 [m] respecto de la base

del mostrador. Si la altura del mostrador es 0,860 [m].

a) ¿Cuál era la velocidad cuando la jarra pasó por el borde del mostrador?

b) ¿Cuál es la dirección del vector velocidad de la jarra justo antes de tocar el suelo?

4.34. Se suelta una canica sobre un plano inclinado tal como se muestra. Determine “”, si la canica tarda 2 [s] en ir desde el borde del plano

hasta el piso.

4.35. Un muchacho situado al borde de un precipicio lanza una

piedra con una velocidad de 25 [m/s] formando un ángulo

de 30º abajo de la horizontal. Si la profundidad del lugar

en que cae la piedra, respecto al nivel del que fue lanzada, es de 100 [m], calcular:

a) ¿Qué tiempo tarda la piedra en caer?

b) El alcance horizontal de la piedra.

c) ¿Con qué velocidad llega la piedra al suelo?

4.36. Una pelota resbala por un tejado que forma un ángulo de 30° con la horizontal, y al llegar

a su extremo, sale con una velocidad de 10 [m/s]. La altura del edificio es 60 [m] y la

anchura de la calle a la que desemboca el tejado es 30 [m]. Calcular:

a) ¿Llegará directamente al suelo o chocará antes con la pared del edificio del otro lado

de la calle? b) Tiempo que tarda en llegar al suelo y velocidad en ese momento.

c) Posición en que se encuentra cuando su velocidad forma un ángulo de 45° con la

horizontal.

Agua0v

1 [m]

2 [m]

1,5 [m]

A

B

C

30 [m]

10 [m]

30°

100 [

m]

25 [m/s]

Figura 4.22

Figura 4.23

Figura 4.24


117

4.37. Un avión de bombardeo baja en picado a una velocidad de 700 [km/h], formando un

ángulo de 45° con la horizontal. Cuando está a una altura de 400 [m] sobre el suelo suelta

una bomba. Calcular:

a) El tiempo que tarda la bomba en llegar al suelo.

b) La velocidad con que llega.

c) La distancia horizontal recorrida por la bomba desde el instante de lanzamiento.

4.38. Si se lanza desde el piso una piedra con una velocidad de 50 [m/s] y formando 37° con la horizontal. Calcular:

a) El tiempo de vuelo

b) El alcance horizontal

c) La máxima altura alcanzada.

4.39. ¿Con que inclinación respecto a la horizontal se debe disparar un proyectil, para que alcance

una altura máxima de 500 [m] si su velocidad inicial es 200 [m/s]?

4.40. Se lanza un objeto, sobre la superficie terrestre describiendo un movimiento parabólico, de

tal forma que alcance una distancia horizontal máxima de 40 [m]. Calcular la velocidad de

lanzamiento.

4.41. Un proyectil se dispara desde la superficie con un ángulo de 53° respecto de la horizontal.

Si el proyectil hace impacto a 24 [m] del punto de lanzamiento. Hallar la altura máxima

alcanzada.

4.42. Se dispara un proyectil con una velocidad de 50 [m/s] con un ángulo de 37° respecto de la horizontal. Calcular después de que tiempo se encontrara a 25 [m] de la superficie por

segunda vez.

4.43. Desde el piso se lanza una pelota con una velocidad inicial que forma 45° con la horizontal.

Si en el punto más alto su velocidad es 30 [m/s], calcular su velocidad inicial.

4.44. Una pelota es lanzada desde el piso con una velocidad de 50 [m/s] de tal manera que forma

53° con la horizontal. ¿Qué ángulo forma la velocidad con la horizontal al cabo de 1 [s] del

lanzamiento?

4.45. Una partícula se lanza con una velocidad inicial de 20 [m/s], haciendo un ángulo de 53° con la horizontal. Hallar el tiempo al cabo del cuál, su velocidad formara un ángulo de 37° con

la horizontal.

4.46. Desde el piso se lanza un objeto con una velocidad "V" formando un ángulo de 53° con la

vertical. Si la máxima altura que alcanza es 180 [m], hallar el valor de "V".

4.47. Si al disparar una bala de cañón con un ángulo “” respecto a la horizontal, se encuentra

que su altura máxima es 15 [m] y su alcance horizontal es de 45 [m]. Encontrar el ángulo

“” de lanzamiento.

4.48. Desde el borde de un edificio, se dispara un proyectil con 50 [m/s] y 37° con la horizontal

y llega a la superficie en 7 [s]. Calcular con que velocidad impacta y que ángulo forma con la horizontal.

4.49. Un objeto es lanzado con una velocidad v0 = 30 i + 40 j [m/s] en el instante t = 0 [s]. ¿A qué

distancia del punto de lanzamiento se encontrara el objeto en el instante t = 2 [s]?

4.50. Un joven tira una piedra con una honda. El blanco a la altura del hombro, esta a una distancia

de 30 [m]. Después de varios intentos da en el blanco, pero observa que debe apuntar a un

punto 4,3 [m] sobre el blanco. Calcular la velocidad con la cual la piedra deja la honda.


118

4.51. En el grafico mostrado determine la rapidez de

lanzamiento, si el proyectil lanzado logra ingresar al canal

horizontalmente.

4.52. Calcular el valor de “h” si la velocidad de lanzamiento es 50 [m/s] y el

tiempo que emplea en llegar al piso es de 10 [s].

4.53. Desde el suelo se lanza un objeto con una velocidad de 20 [m/s] y con un ángulo de 45°.

A 22 [m] hay un edificio de 8 [m] de altura.

a) ¿Llegará este objeto a la azotea o bien chocará contra la pared vertical de este edificio?

b) ¿Si llega a la azotea, a que distancia del borde de la azotea caerá el objeto?

c) ¿Si choca con la pared, a que altura tendrá lugar el impacto?

4.54. Se dispara una bala con una rapidez inicial de 50 [m/s], y un ángulo de tiro de 53°. Se observa que, al caer a tierra, pasa

justo rozando al borde de un precipicio de 200 [m] de altura.

Calcular:

a) Alcance horizontal total.

b) Tiempo en que permanece en el aire.

4.55. Un proyectil disparado por un cañón tiene una velocidad de salida de 1 000 [m/s] se usa

para destruir un blanco en la cima de una montaña. El blanco se encuentra a 2 000 [m] del

cañón en dirección horizontal y a 800 [m] sobre el suelo. ¿Con qué ángulos respecto al

suelo, debe colocarse el cañón?

4.56. Dos proyectiles son lanzados con igual rapidez inicial y con ángulos de inclinación de 45° y

60° respectivamente. Determinar la relación entre sus alturas máximas.

4.57. Una piedra rueda por un declive de 15º y cae en una ladera

cuya pendiente es 3/4. Sabiendo que cuando abandona el declive su rapidez es de 10 [m/s], calcule la distancia “D” a la

que cae sobre la pendiente.

h

37°

15 [m]60°

canal

v =50 [m/s]

200 [

m]

53°

15°

4 [m]

4

3

D

Figura 4.25

Figura 4.26

Figura 4.27

Figura 4.28


119

4.58. En la figura, una pelota se tira desde un plano inclinado

y choca con éste a una distancia S = 76,4 [m]. Si la

pelota sube a una altura máxima H = 19,3 [m] por encima del punto de salida, calcule la velocidad inicial

y la inclinación “”.

4.59. Un motociclista quiere saltar tantos autobuses como sea posible. La rampa de despegue

tiene 18° sobre la horizontal, y la rampa de aterrizaje es idéntica. Cada autobús mide 2,74

[m] de ancho el acróbata deja la rampa con una velocidad de 33,5 [m/s]. Determinar el

número máximo de autobuses que puede saltar.

4.60. Una bola se lanza con una rapidez inicial de 25 [m/s], y con un ángulo de inclinación de 35°

desde la azotea de un edificio de “2L” metros de alto. Si la bola cae al suelo a una distancia “3 L” metros del pie del edificio, calcular “L”.

4.61. Un proyectil se dispara desde cierta altura y0 en un ángulo de 45º, con la intención de que

golpee a un móvil que se mueve con velocidad constante de 21 [m/s] hacia la derecha, que

se encuentra ubicado a 70 [m] del origen sobre el eje x en el instante del disparo. Si el proyectil impacta al móvil al cabo de 10 [s], calcular:

a) La rapidez inicial del proyectil.

b) Su altura inicial.

c) Su altura máxima desde el suelo.

4.62. Sobre el punto “A” de un escalón cae una esfera que rebota con una velocidad inicial vA formando un ángulo de 15º con

la vertical. Hallar vA sabiendo que inmediatamente antes que

la esfera rebote en el punto “B” su velocidad vB forma un

ángulo de 12º con la vertical.

4.63. Desde una altura de 30 [m], un proyectil es lanzado hacia

arriba con velocidad vA formando 30º con respecto de la

horizontal, logrando un alcance horizontal de 50 [m].

¿Cuánto tiempo demora el proyectil en alcanzar una rapidez de 25 [m/s]?

3

1

H

S

H

X

A

B

Av

Figura 4.29

Figura 4.30

Figura 4.31

Figura 4.32

Av

Bv

B

A

0,2 [m]


120

H=

50

[m]

0v

20°

D

4.64. Dos proyectiles “A” y “B” se disparan de un mismo

punto con la misma rapidez v0= 2 [m/s], y formando

ángulos de 20º y “” grados con respecto de la

horizontal. Calcular la distancia “D” entre los

impactos de los proyectiles con la condición de que cada proyectil pase rozando el extremo del plano

horizontal.

4.65. Se lanza un cohete formando un ángulo de 60º con la horizontal con una rapidez inicial de

100 [m/s]. El cohete se mueve a lo largo de su dirección y sentido inicial de movimiento con una aceleración de 30 [m/s2] durante 3 [s]. En ese instante deja de acelerar y empieza a

moverse como un proyectil. Calcular:

a) La altura máxima alcanzada por el cohete.

b) Su tiempo total de vuelo. c) La distancia horizontal.

4.66. Lucho se encuentra a 5 [m] de una pared vertical cuando lanza una pelota de básquetbol

desde 2,25 [m] de altura, con una velocidad inicial de −10 [𝑚

𝑠] 𝑖 + 10 [

𝑚

𝑠] 𝑗. Cuando la pelota

choca con la pared, la componente horizontal de la velocidad de la pelota se invierte y la

componente vertical no cambia su dirección.

a) Hacer el esquema de la situación.

b) ¿A qué distancia de Lucho tocará el suelo la pelota?

4.67. Se apunta un rifle horizontalmente a través de su mira hacia el centro de un blanco grande

que está a 200 [m]. La velocidad inicial de la bala es de 500 [m/s].

a) ¿En dónde golpea la bala en el blanco?

b) Calcular el ángulo de elevación del cañón para dar en el centro del blanco

4.68. Un muchacho tira una pelota al aire lo más fuerte que puede y luego corre como una liebre

para poder atrapar la pelota. Si su rapidez máxima en el lanzamiento de la pelota es 20

[m/s] y su mejor tiempo para recorrer 20 [m] es 3 [s], calcular la altura de la pelota para

que pueda tomarla.

4.69. Un arquero quiere efectuar un tiro parabólico entre

dos acantilados tal y como indica la figura. El

acantilado de la izquierda se halla 4 [m] por arriba

con respecto al de la derecha. Si el arquero sólo

puede disparar con un ángulo de 30° y quiere que las flechas lleguen a 5 [m] del acantilado de la

derecha, calcular con qué velocidad mínima ha de

lanzarlas. También calcular el tiempo de vuelo.

4.70. Una estrategia en las guerras con bolas de nieve es lanzarlas a un gran ángulo sobre el nivel del suelo. Mientras su oponente está viendo esta primera bola de nieve, usted lanza una

segunda a un ángulo menor lanzada en el momento necesario para que llegue a su oponente

ya sea antes o al mismo tiempo que la primera. Suponga que ambas bolas de nieve se

lanzan con una velocidad de 25 [m/s]. La primera se lanza a un ángulo de 70º respecto de la horizontal.

4 [m]

25 [m]

5 [m]30°

Figura 4.33

Figura 4.34


121

a) ¿A qué ángulo debe lanzarse la segunda bola de nieve para llegar al mismo punto

que la primera?

b) ¿cuántos segundos después debe lanzarse la segunda bola después de la primera para que llegue al blanco al mismo tiempo?

4.71. La velocidad de un proyectil cuando alcanza su altura máxima es la mitad de la velocidad

cuando el proyectil se encuentra a la mitad de su altura máxima. ¿Cuál es el ángulo de

lanzamiento inicial?

4.72. Un proyectil se lanza con una rapidez inicial 𝑣𝑜 = 40 [𝑚 𝑠⁄ ] y

ángulo de lanzamiento 𝜃 = 45°. El proyectil sobrepasa una

barrera rectangular de ancho 𝑎 = 60 [𝑚] y altura “ℎ”,

rozando sus dos vértices “A” y “B” (ver la figura 4.35).

a) Calcular la altura de la barrera.

b) Calcular el módulo de la velocidad en el punto “A”.

4.73. Desde una distancia “d” del borde recto de un tobogán,

se dispara un proyectil. Si el tobogán tiene una altura “h”

y un largo “b”, determinar las componentes de la

velocidad inicial del proyectil para que haga contacto con el tobogán justo en el vértice superior y que su velocidad

en ese punto, sea paralela al plano inclinado.

4.74. Determinar la posición en la que una bola lanzada como indica la

figura 4.37 chocará con el plano inclinado. La velocidad inicial de la bola es de 30 [m/s] dirigida según = tan- 1(4/3) con respecto

a la horizontal.

4.75. Un acróbata debe saltar con su auto a través del

pozo lleno de agua que se ve en la figura.

Determine la velocidad v0 del auto y el ángulo “”

de la rampa para que su velocidad en el punto de

llegada sea paralela al plano inclinado.

4.76. Una jugadora de tenis se encuentra a 12,6 [m] de la

red cuando golpea la pelota con un ángulo de 3° por encima de la horizontal. Para salvar la red, la pelota

debe elevarse al menos 0,33 [m]. Si la pelota pasa

justo por encima de la red en el punto más alto de

su trayectoria ¿A qué velocidad se movía la pelota despues de ser golpeada por la raqueta?

d

a

h

0v

A B

d b

h

0v

12 [m]

3 [m]

21

0v

2

1

3

4

0vy

x

d

h

Figura 4.35

Figura 4.36

Figura 4.37

Figura 4.38

Figura 4.39


122

4.77. Se dispara un proyectil desde el nivel del piso con velocidad 𝑣 = 12 [𝑚

𝑠] 𝑖 + 24 [

𝑚

𝑠] 𝑗 ¿Cuál es

la coordenada del punto en el cual el proyectil alcanza su altura máxima?

4.78. Cuando una jugadora de golf lanza la pelota, se permite que la pelota rebote una vez antes

de que llegue al hoyo, basándose en la teoría de que la pelota llega así más rápidamente.

Se supone que el ángulo con el que la pelota deja el suelo, una vez que ha rebotado, es el mismo que el ángulo con el que la jugadora la golpeo como se muestra en la figura pero

que la rapidez de de la pelota después del rebote es la mitad de la que era antes del rebote.

a) Suponiendo que la pelota siempre se manda con la misma rapidez inicial, ¿con que

ángulo “” debe la jugadora golpear la pelota para que recorra con un rebote la misma

distancia D que recorrería si se lanzara hacia arriba con un ángulo de 45,0° sin

rebote?

b) Determinar la relación entre los tiempos para los lanzamientos efectuados sin rebote y con rebote.

4.79. Desde el suelo se lanza un balón con una velocidad de 8 [m/s] y sube por la rampa y frena

con una aceleración de 2 [m/s2]. La altura del plano inclinado es de 2 metros y el balón

recorre 4 metros en el plano.

a) ¿Cuál será la altura máxima durante la caída libre después de abandonar la rampa?

b) ¿A qué distancia horizontal de la base del plano caerá la pelota?

4.80. Se lanzan dos proyectiles “A” y “B” de modo que tienen igual

alcance horizontal “L”. “A” se lanza horizontalmente desde una

altura “H”, que es igual a la altura máxima que alcanza “B”

durante el vuelo.

a) Calcular la razón entre los tiempos de vuelo de “A” y “B”.

b) Calcular la razón entre los componentes horizontales de

la velocidad de los proyectiles.

c) ¿Cuál es la rapidez (magnitud de la velocidad) de cada

uno de ellos al llegar al suelo?

4.81. Un jugador de futbol patea una pelota que sale a razón de 15 [m/s] haciendo un ángulo de

37° con la horizontal. Otro jugador que se encuentra a 25 [m] de distancia y al frente del

primero corre a recoger la pelota. ¿con qué rapidez debe correr este último para recoger la pelota justo en el momento que ésta llega a tierra?

y

x

H

Lo

A

B

Figura 4.40

Figura 4.41

Figura 4.42


123

4.82. Un cuerpo “A” se lanza verticalmente hacia arriba con una

rapidez de 20 [m/s]. ¿A qué altura se encontrara un cuerpo “B”

que fue lanzado con una rapidez de 4 [m/s] y al mismo tiempo que el cuerpo “A” y luego choca con este mismo durante el

vuelo? La distancia horizontal entre las dos posiciones iníciales

de los cuerpos es de 4 [m]. Calcular el tiempo empleado hasta

el instante del choque y la velocidad de ambos cuerpos.

4.83. Simultáneamente se lanzan dos objetos, “A” de forma

horizontal y “B” formando un ángulo θ = 45° respecto

de la horizontal como se muestra en la figura. Si los objetos colisionan, calcular la distancia XA.

4.84. Desde una altura “H” y desde el reposo se suelta un

objeto “A” y al mismo tiempo se lanza un objeto “B”

con velocidad “𝑣𝐵”, haciendo un ángulo de 45° con la

horizontal, el objeto “B” se encuentra a una distancia

horizontal “x” del objeto “A”. Si ambos objetos se encuentran como se indica en la figura, calcular la

distancia “x”.

4.85. En el circo de Sprinfield Krusty y Bob Patiño saltan al mismo tiempo a un trapecio desde

lados opuestos de la carpa, Krusty salta con un ángulo de 60° y Bob con uno de 45° respecto

a la horizontal si ellos llegan al mismo tiempo al trapecio en 0,7 segundos ¿cuál es el ancho “d” de la carpa?

4.86. Dos proyectiles son lanzados desde el origen de coordenadas “O”. El primero con una

velocidad de 100 [m/s], y un ángulo de disparo de 60°, el segundo con velocidad de 150

[m/s], y un ángulo de disparo de 30°, ambos en el mismo plano vertical. El segundo es

lanzado “p” segundos después del primero. ¿Cuál debe ser el valor de “p” para que haya choque?

Kv0

d

°60°45

Bv0

][

30

mH

][50 mx

Bv

Av

Ax

°45

][

30

mH

Ay

By

x

0Av

Bv

Bv

d

Av

Ah

Bhh

Figura 4.43

Figura 4.45

Figura 4.44

Figura 4.46


124

4.87. Un deporte en Timbuctú es golpear con una piedra a un coco

que se lanza verticalmente. Si se lanza el coco hacia arriba con

una velocidad de 10 [m/s] y al mismo tiempo la piedra con un ángulo de 45° de tal manera que la golpee al ras del suelo ¿Cuál

será la velocidad inicial de la piedra?

4.88. Unos agentes de policía que vuelan en un

helicoptero, con una velocidad horizontal constante de 216 [km/h], en vuelo rasante,

desean impactar con un explosivo sobre el

automóvil de un narcotraficante que viaja a 144

[km/h], en una carretera plana, 78,4 [m] abajo. ¿A qué ángulo, con respecto de la horizontal, debe

estar el automóvil en la mira cuando se suelte la

bomba?

4.89. Un jugador de fútbol patea una roca horizontalmente desde el borde de una plataforma de

40 [m] de altura en dirección a una fosa de agua. Si el jugador escucha el sonido del contacto con el agua 3 [s] después de patear la roca, ¿Cuál fue la velocidad inicial de la roca? La

velocidad del sonido en el aire es 340 [m/s].

4.90. Un pájaro vuela horizontalmente con velocidad constante

“𝑣” y altura constante “ℎ”. En el instante inicial t = 0

sobrevuela a un cazador armado de una honda que lanza una

piedra con rapidez “𝑢” y un ángulo “𝜃”. Ignore las

dimensiones del cazador y el pájaro, frente a la altura “ℎ”.

a) ¿Cuál es este ángulo “𝜃” con que el cazador debe

lanzar la piedra de modo de darle al pájaro?

b) Determine el valor mínimo valor que debe tener “𝑢”

para que la piedra alcance al pájaro.

c) Asumiendo que la piedra alcanza al pájaro, calcule la distancia que alcanza a recorrer

el pájaro desde el instante inicial hasta ser malherido.

4.91. Un cazador esta sobre un árbol apuntando a una liebre. El caño del rifle está a 5 [m] de

altura sobre el nivel del suelo, formando un ángulo de 15º por debajo de la horizontal. La

liebre está posando quieta y de golpe advierte la presencia del cazador, emprendiendo la

huida con una aceleración de 1 [m/s2]. Dos segundos después, el cazador dispara acertando a la liebre. El proyectil tiene una rapidez de 150 [m/s]

a) ¿a qué distancia se encontraba la liebre del cazador en el momento de emprender la

huida?

b) ¿Qué velocidad tiene la liebre cuando es alcanzada por el proyectil y que velocidad llevaba el proyectil en ese instante?

4.92. Un cazador realiza un disparo con un rifle cuyo caño se sitúa a una altura de 1,5 [m] y forma

un ángulo de 45º con la horizontal, a un ave que vuela hacia el cazador a una altura

constante de 40 [m]. El proyectil es disparado con una velocidad de 50 [m/s], mientras que

144 [km/h]

216 [km/h]

°45

CvPv

Figura 4.48

Figura 4.47

Figura 4.49


125

el ave se desplaza con una aceleración constante de 0,25 [m/s2]. En el momento que el rifle

es disparado, el ave lleva una velocidad de 5 [m/s].

a) ¿a qué distancia horizontal se encontraba el ave del cazador en el momento que el cazador dispara?

b) ¿Qué velocidad llevaba el ave en el momento de ser impactada y que velocidad

llevaba el proyectil en ese instante?

4.93. Un halcón está volando horizontalmente a una velocidad de 10 [m/s] en línea recta a una altura de 200 [m] sobre el suelo.

Un ratón que llevaba en sus garras se suelta de ellas. El halcón

continúa su trayectoria a la misma velocidad durante 2 [s]

más, antes de precipitarse a recuperar su pieza. Para llevar a cabo la captura se dirige en línea recta hacia abajo con

velocidad constante, alcanzando al ratón a 3 [m] sobre el

suelo. Suponiendo que no hay resistencia del aire:

a) Calcular la velocidad del halcón.

b) ¿Cuál es el ángulo que forma la trayectoria del halcón con la horizontal durante su descenso?

c) ¿Qué tiempo vuela libre el ratón?

H

h

Figura 4.50


126

capítulo 4 cinemática en dos dimensiones

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