CONVENIO EAFIT - UNIQUINDIO MAESTRA EN INGENIERA NFASIS: GESTIN DE LA CONSTRUCCIN

CAPITULO IV:TASAS DE INTERSUNIVERSIDAD DEL QUINDOFACULTAD DE INGENIERAPROGRAMA ACADMICO: INGENIERA CIVILEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersTipos de tasas de inters Tasas efectivas Tasas peridicas Tasas anticipadas Tasas vencidas Tasas nominales Resumen tipo de tasas Relacin entre la tasa nominal y la tasa peridica Diferencia entre la tasa nominal y la tasa efectiva Relacin entre las tasas efectivas peridicas

TASAS DE INTERSTasas equivalentes Conversin de tasas Convertir tasa nominal a peridica Convertir tasa anticipada a vencida Cambio de periodo Convertir tasa vencida a anticipada Convertir tasa peridica a nominal Resumen frmulas para conversin de tasas Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersTipos de tasas de inters:En el inters compuesto es normal o comn encontrar diferentes tipos de tasas de inters.

Las cuales pueden ser: nominales, efectivas y peridicas, vencidas y anticipadas; dependiendo de sus propias caractersticas.

Las formulas se trabajan con tasas efectivas vencidas y tasas peridicas vencidas. Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersTipos de tasas de inters:Tasas Efectivas: Las tasas efectivas tienen una capitalizacin, su periodo es anual y se identifican con la letra i. Ejemplo: 21%, 19,76% anual 0,23. En algunos casos se acompaa la tasa del perodo, pero en otros no, entonces no es necesario que el perodo aparezca en las tasas efectivas, en el resto de tasas s es necesario, pues de lo contrario se toman como efectivas, es decir, anual. Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersTipos de tasas de inters:Tasas Peridicas: Las tasas peridicas tienen una capitalizacin y diferentes perodos, por ejemplo: diaria, mensual, bimestral, trimestral, semestral. Una tasa peridica puede ser, entonces, una tasa trimestral. Se debe identificar con la letra i y se acompaa del subndice correspondiente. Ejemplo: 0,1% mensual (im), 6% trimestral (it), 0,01 bimestral (ib), 0,00003% diario (id), 8% semestral (is). Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersTipos de tasas de inters:Tasas Anticipadas: Se caracterizan porque los intereses se calculan y se descuentan en la fecha de emisin del ttulo. Adems, se identifican con el subndice a, ia y su perodo correspondiente. Ejemplo: iat, iam, iad.

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersTipos de tasas de inters:Tasas Vencidas: Los intereses son calculados y pagados en la fecha de vencimiento del ttulo. Si no aparece el subndice a, se entiende o considera como una tasa vencida.

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersTipos de tasas de inters:Tasas Nominales: Las tasas nominales tienen varias capitalizaciones y diversos periodos, dependiendo del nmero de periodos que tenga en el ao ese ser el nmero de capitalizaciones, su presentacin es anual y se identifica con la letra j.

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersTasas nominales:Las instituciones financieras, expresan el costo o rendimiento de sus operaciones con tasas anuales. Para ello multiplican la tasa peridica por la frecuencia del perodo en el ao, es decir, tasas nominales. Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEjemplos de tasas nominales:Por ejemplo, se puede multiplicar la tasa bimestral por el nmero de bimestres del ao, as: j=3% x 6 = 18% y se acompaa de apelativos que identifican la frecuencia de liquidacin de la tasa efectiva en el ao y la forma como se liquida el inters: 18% capitalizable bimestral, 18% pagadero bimestre vencido, 18% convertible bimestral, 18% N.B.V. (Nominal Bimestre Vencido). Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEjemplos de tasas nominales:j = 18% B.V.: se lee dieciocho por ciento, capitalizable bimestre vencido. ja = 18% B.A.: se lee dieciocho por ciento convertible bimestre anticipado. Las tasas nominales se definen como tasas anuales, donde se indica cundo y cmo se liquida el inters. Si el inters se liquida vencido la tasa ser tasa nominal de inters; si el inters se liquida anticipado la tasa ser tasa nominal de descuento, tasa nominal anticipada. Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersComo las tasas nominales se obtienen a partir de la tasa peridica, cuando estas se encuentren en cualquier transaccin, texto o ejercicio, se puede obtener la tasa peridica al dividirla por la frecuencia del perodo de la tasa nominal en el ao.Tasas nominales y peridicas:Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEjemplo de tasas peridicas:Si la tasa conocida es el 18% convertible trimestral y se necesita la trimestral, simplemente se divide el 18% en 4 (nmero de trimestres al ao): 18% 4 = 4,5% trimestral. 24% convertible semestral, 30% convertible diario, 28% capitalizable mensual, es decir, aparece un adjetivo (capitalizable, convertible) adems del tipo de perodo. Otras veces aparecen como nominales (16% nominal, por ejemplo) y se toman como convertibles mensual. Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersRESUMEN TIPOS DE TASAS

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersTasa nominal vs Tasa peridica: Existe una relacin directa y sencilla entre la tasa nominal y la tasa peridica. La tasa nominal la podemos calcular a partir de una tasa de inters peridica, simplemente multiplicando sta ltima por el nmero de perodos que haya en el lapso que se ha estipulado para la tasa nominal.

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersPor ejemplo, si la tasa peridica es del 2% mensual, la tasa nominal ser del 24% anual MV, que resulta de multiplicar 2% por 12 perodos mensuales. Haciendo la operacin contraria, la tasa peridica se puede calcular a partir de la tasa nominal dividindola entre el nmero de periodos. Tasa nominal vs Tasa peridica:

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de Inters

El inters simple supone que los intereses se acumulan si no se pagan, pero no generan nuevos intereses, mientras que el inters compuesto supone su capitalizacin o reinversin peridica y, por consiguiente, generacin de inters sobre inters. Por esta razn, la tasa nominal supone inters simple y la tasa efectiva inters compuesto. Tasa nominal vs Tasa peridica: Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersDiferencia entre la tasanominal y la tasa efectiva: Qu sucede con los intereses cuando se liquidan? Si los intereses al momento de recibirlos se reinvierten, se hace referencia a la tasa efectiva, pero si el inversionista est esperando su fecha de liquidacin para gastarlos, se hace referencia a la tasa nominal o de inters simple, porque los intereses de los perodos siguientes sern liquidados sobre el mismo capital.

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersBajo el esquema prestamista prestatario, la diferencia entre la tasa nominal y la tasa efectiva est en que para el prestamista existe la posibilidad de reinvertir los intereses que recibe y para el prestatario se presenta un costo de oportunidad al no poder trabajar los intereses que le paga al prestamista. Este razonamiento implica que cuando una persona acude a un crdito, sea bancario o comercial, el hecho de tener que pagar intereses en perodos menores al ao, lo hace incurrir en un costo de oportunidad que se refleja en la diferencia entre el valor de la tasa nominal y la tasa efectiva. Por lo anterior, se puede concluir, que la diferencia entre la tasa nominal y la tasa efectiva es el costo de oportunidad. Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersRelacin entre las tasasefectivas peridicas:A diferencia de las tasas nominales, las tasas efectivas peridicas no se fraccionan (no se dividen entre el nmero de perodos), ni se pueden obtener multiplicando la tasa efectiva peridica de menor perodo por el nmero de perodos. La tasa efectiva peridica resulta de hacer la capitalizacin de los intereses peridicos. La forma de calcular una tasa efectiva peridica equivalente a otra efectiva peridica, corresponde a los casos de equivalencias de intereses, o tasas equivalentes.

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersRelacin entre las tasas efectivas peridicas :Las notaciones o simbologas usadas para representar la tasa efectiva son:

TEA = tasa efectiva anual. TES = tasa efectiva semestral. TET = tasa efectiva trimestral. TEB = tasa efectiva bimestral.TEM = tasa efectiva mensual. TED = tasa efectiva diaria.

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersTasas equivalentes:Existen diferentes tipos de tasas de intereses, sin embargo, es posible que se presenten diferentes opciones de inversin con las mismas condiciones de rentabilidad pero expresadas en tasas diferentes, en cuyo caso estas tasas se denominan Tasas Equivalentes.

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersTasas equivalentes:En otras ocasiones la comparacin de diversas rentabilidades obliga a conocerlas todas en el mismo tipo de tasas, pues no es posible con total seguridad decir que una tasa efectiva es mejor que una nominal o peridica, sin antes haber realizado diversas operaciones que las presenten con las mismas caractersticas.

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersTasas equivalentes:Se dice que dos tasas son equivalentes cuando ambas, operando en condiciones diferentes, producen el mismo resultado. En otras palabras, cuando en el mismo tiempo, el mismo capital, produce los mismos intereses.Cuando se habla de equivalencias se est significando igualdad en valor.

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersPasos para realizar la conversin de tasas:1. Convertir una tasa Nominal (j) a Peridica (i) Partiendo de una tasa nominal (j), sta se divide entre el nmero de perodos que tenga el ao y toma el perodo de la nominal sin el adjetivo (convertible, capitalizable), por ejemplo: j = 12% capitalizable mensual i = j/m = 0,12/12 = 0,01 mensual o 1% mensual (desaparece el termino capitalizable).

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersConversin de tasas:2. Convertir una tasa Anticipada a Vencida Para hacer la conversin de una tasa anticipada a vencida, sta deber estar como peridica (i) o efectiva, en el caso de tener una tasa nominal (ja), primero debe convertirse a peridica (ia), como se explic anteriormente. Y luego

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de Inters2. Convertir una tasa Anticipada a Vencida Aplicando la siguiente frmula convertimos una tasa anticipada a una tasa vencida:

En este caso desaparece lo de anticipado o de descuento y conservamos el perodo.

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEjemplo: Cul es la tasa mensual vencida equivalente al 10% anticipada mensual?

ia = 10% anticipado mensual. i = (0,1)/(1 0,1) = 0,1111 mensual i = 11,11% mensual

El ejemplo nos indica que una tasa del 10% anticipado mensual es equivalente a una tasa del 11,11% mensual vencida.

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de Inters3. Cambio de Perodo Como Vf=Vp*(1+i)n y la condicin para tasas equivalentes es que Vp1 y Vf1 transcurrido el mismo tiempo sean iguales a Vp2 y Vf2 entonces partimos de la siguiente igualdad: Vf1 = Vp1(1+i1)n1 y Vf2 = Vp2(1+i2)n2 Donde n1 y n2 corresponden a un nmero de periodos expresados en los periodos de las tasas i1 e i2, que hacen que en tiempo sean iguales, por ejemplo un semestre es igual a ao, 3 bimestres 2 trimestres. Conversin de tasas:

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de Inters3. Cambio de Perodo

Al igualar: VP1(1+i1)n1 = VP2(1+i2)n2 Como VP1 = VP2 tenemos entonces que: (1+i1)n1 = (1+i2)n2 Con esta frmula podemos cambiar de perodos las tasas. *Este mtodo slo es aplicable a tasas efectivas o tasas peridicas vencidas.

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEjemplo: Convertir una tasa del 20% trimestral a semestral, mensual y efectiva anual. a. De trimestral a semestral: Como 2 trimestres son iguales a 1 semestre, entonces: (1+i)1 = (1+0,2)2 1+i = 1,44 i=1,441 i=0,44 semestral, es decir,i = 44% semestral

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEjemplo: Convertir 20% trimestral a semestral, mensual y efectiva anual. b. De trimestral a mensual: Como 1/3 de trimestre es igual a 1 mes, entonces: (1+i)1 = (1+0,2)1/3 1+i=1,062658 i=1,062658-1i = 0,062658 mensual, es decir, i = 6,26% mensual Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEjemplo: Convertir 20% trimestral a semestral, mensual y efectiva anual. c. De trimestral a efectiva anual: 4 trimestres son iguales a 1 ao, entonces: (1+i)1 = (1+0,2)41+i=2,0736 i=2,07361 i=1,0736 anual, es decir, i =107,36% anual

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de Inters4. Convertir una tasa Vencida a Anticipada Igualmente, esta deber estar como peridica (i) o efectiva (en el caso de una nominal (j), primero se convierte a peridica (i)). Aplicando la siguiente formula convertimos una tasa vencida a una tasa anticipada:

El resultado se debe acompaar por la palabra anticipado o de descuento conservndose el perodo.

Conversin de tasas:

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de Inters4. Convertir una tasa Vencida a Anticipada

Ejemplo: Cul es la tasa mensual anticipada equivalente al 10% mensual?

i = 10% mensual ia= i /(1+i) = 0,1/(1+0,1) = 0,090909Entonces: ia = 9,09% Mensual anticipada

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de Inters5. Convertir una tasa Peridica (i) a Nominal (j) Se multiplica la tasa peridica por el nmero de perodos que tenga el ao y sta tomar el nombre de la peridica con el adjetivo (convertible, capitalizable).

Ejemplo: i = 2% mensual. Entonces j = i x m = 0,02 x 12 = 0,24 por lo tanto:j = 24% capitalizable mensual. Conversin de tasas:j = i x m

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersIMPORTANTE: Para evitar el uso de diferentes frmulas, se recomienda el siguiente mtodo que permite realizar todas las conversiones de tasas. ste se debe seguir, estrictamente, en el orden planteado, as: 1. Identificar la tasa, si es nominal (j), convertirla a peridica (i), donde desaparece el adjetivo (convertible, capitalizable, nominal, pagadero) y se convierte de j a i. En el caso que no sea nominal se sigue el paso 2 directamente. 2. Si esta tasa es anticipada, se convierte a vencida, pasando de ia a i. Si es vencida se sigue con el paso 3. Conversin de tasas:

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de Inters3. Teniendo una i tasa vencida es posible cambiar de perodo. Por lo tanto, se puede proceder a cambiarlo cuando no coincidan los perodos. 4. Si se necesita que la tasa sea anticipada, se convierte. 5. Si lo que se necesita es convertir una tasa peridica (i) en nominal (j), se procede a hacer la conversin.

NOTA: Ninguno de los paso se obvia, excepto si se logra el objetivo antes del quinto paso. Conversin de tasas:

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEjemplo: Cul es la tasa convertible trimestral anticipada equivalente al 12% nominal anticipada?

1. De nominal a peridica: ia = ja/m = 0,12/12 = 0,01 mensual anticipada 2. De anticipada a vencida: i = (ia)/(1 ia) = (0,01)/(1 0,01) i=0,010101 mensuali=1,01% mensualEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEjemplo: Cul es la tasa convertible trimestral anticipada equivalente al 12% nominal anticipada?

3. Cambio de perodo (1+i1)n1 = (1+i2)n2 (1+i1)4 = (1+0.010101)12 1+ i1 = 1,03061 i1 = 0,03061 Trimestral i1 = 3,061% Trimestral

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEjemplo: Cul es la tasa convertible trimestral anticipada equivalente al 12% nominal anticipada?

4. De vencida a anticipada ia = (i)/(1 + i) = (0,03061)/(1 + 0,03061) ia = 0,0297 = 2,97% trimestral anticipada 5. De peridica a nominal ja = ia x m = 0,0297 x 4 = 0,1188 = 11,88% N.T.A.Respuesta: La tasa convertible trimestral anticipada equivalente al 12% nominal anticipada es del 11,88%. Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersRESUMEN DE FRMULASPARA CONVERSIN DE TASAS

Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersBIBLIOGRAFAMeza Orozco, Jhonny de Jess. Matemticas Financieras Aplicadas, Ecoe Ediciones, Cuarta Edicin, Bogot, Julio de 2011.

Donneys B., Omar A., Cabal C., Claudia C., Echeverry M, J. Fernando, Ingeniera Econmica. Fussion Creativa. Primera edicin, Armenia 2006. 247p. Economa para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de IntersEconoma para Ingenieros- Capitulo IV: Tasas de Inters44ECONOMA PARA INGENIEROS

GRACIAS POR SU ATENCIN!Ing. Ana Mara Hernndez Arenasamhernandez@uniquindio.edu.co

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