tasas de interes y equivalencia entre tasas (2)

7/24/2019 Tasas de Interes y Equivalencia Entre Tasas (2)

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TASAS DE INTERES Y EQUIVALENCIA ENTRE TASAS

TEMARIO

o Introduccino Tasa de inters peridicao Tasa de inters nominalo Tasa de inters efectivoo Tasa de inters anticipadao Tasas equivalenteso Tasa de inters continuoo Clculo del valor futuro dado un valor presenteo Clculo del valor presente dado un valor futuroo Clculo del tiempo (n)o Tasas combinadas o compuesta

Prstamo e inversin en moneda extranjera

Devaluacin Tasa de cambio

o Tasa de cambio fijao Tasa de cambio variable (flotante)

Tasa de devaluacin evaluacin

o Tasa de revaluacin Inflacin !nidad de valor real (!")

#etodolo$%a para el clculo de la !"o &plicacin de las ecuaciones de valor con inters compuesto

INTRODUCCION

TASA DE INTERES PERIODICA

'a tasa de inters peridica se simbolia como i * se aplica siempre al final de cadaperiodo+ ,s aquella tasa en la cual se indica dos elementos bsicos- 'a tasa * elperiodo de aplicacin mientras. no se indique lo contrario se maneja como vencida locual indica que tambin /abr tasa de inters anticipada+ ,s una tasa que puede serincluida en las frmulas que se desarrollan en las matemticas financieras+ ,jemplos-01 mensual 21 bimestral 31 trimestral 451 semestral * 671 anual+

TASA DE INTERES NOMINAL

,s una tasa de inters de referencia * se denomina como r por ser de referencia nomide el valor real de dinero por lo tanto no puede ser incluido en las frmulas de lasmatemticas financieras+ ,s una tasa de inters que necesita de tres elementosbsicos- 'a tasa el periodo de referencia * el periodo de composicin+ ,l periodo de


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referencia mientras no se di$a lo contrario siempre ser el a8o * se dice que estimpl%cito * por tanto no es necesario se8alarlo+ ,l periodo de composicin puede recibirel nombre de- periodo de capitaliacin periodo de liquidacin o periodo de conversin+,l inters nominal tambin puede ser anticipado pero en este caso el per%odo deaplicacin se se8ala de manera anticipada+

Como ejemplos de inters nominales vencidos se pueden se8alar- 21 bimestralcompuesto mensualmente 451 semestral capitaliable trimestralmente 051 anualliquidable cuatrimestralmente 601 convertible mensualmente+

9e pueden mencionar como ejemplos de inters nominal anticipado los si$uientes- 21bimestral compuesto mensualmente anticipado 451 semestral capitaliabletrimestralmente anticipado 051 anual liquidable cuatrimestralmente anticipado 601convertible mensualmente anticipado+ ,n los ejemplos anteriores el per%odo deaplicacin de define o se se8ala de manera anticipada+

9e puede plantear la si$uiente relacin entre la tasa de inters peridica * la tasa deinters nominal-

r = im (4.1) . por lo tanto- i= r

(4.2)

m

donde - i: tasa de inters peridicor: tasa nominal

m: frecuencia de conversin: n;mero de per%odos o de subper%odos que seencuentran en el periodo de referencia que$eneralmente es el a8o+ 9implemente se podr%adefinir como el n;mero de capitaliaciones dentro delperiodo de referencia+

Ejempl 4.1

Defina el valor de m e i en las si$uientes tasas de intereses nominales- a) 051convertible bimensualmente b) 21 bimestral compuesto mensualmente c) 021 anual

compuesto bimestralmente d) 401 semestral compuesto trimestralmente e) 601anual compuesto cuatrimestralmente f) 671 liquidable semestralmente * $) 63 1anual compuesto anualmente+

Solucin:

Para resolver este tipo de ejercicios es necesario asociar el per%odo de capitaliacincon el per%odo de referencia * por lo cual es conveniente pre$untar


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a) r : 051 convertible bimensualmente+

'a pre$unta ser%a-


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i=r=

760=473>1cuatrimestral m

6

f) r : 671 liquidable semestralmente+

'a pre$unta ser%a-


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4 periodo m vecesde referencia

P P

Teniendo en cuenta que- A=(4+i)n por lo tanto A4 =P(4+ie)* A0 =P(4+i)m

por definicin A4=A0. por lo cual se tiene-P(4+ie)= P(4+i)m entonces-

(4+ie)= (4+i)m . obteniendo que- ie =(1+i)m -1 (4.#)

De la anterior expresin se desprende que- i =(1+ie)1/m -1 (4.4)

r

Teniendo en cuenta que i= m . se obtendr- ie =

1+

mr

m -1 (4.%) de la cual se

puede deducir que- r =(1+ie)1/m -1m (4.")

Ejempl 4.2

21anual

Ejempl 4.#


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Determinar la tasa nominal convertible trimestralmente que produce una rentabilidadde 6?1 ,&+

Solucin:

&plicando en forma directa la frmula- r =(4+ie)4@m-4m se tiene-

r =(4+76?)4@2-42=(47>>B)4@2-42=64431T

Ejempl 4.4

1 trimestreanticipado 451 semestre anticipado 05 anual anticipado+

9i una persona obtiene un prstamo de & P/o* de manera anticipada pa$ar%a deinterese & Pia por lo cual le entre$ar%an & P ' &Pia equivalente a & P (1 ia)* al finalpa$ar a la institucin financiera& P para un periodo se tendr%a-

& P & P( 1' ia)


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i1@ periodo i1@ periodo 4Periodo de 4 periodo de

referencia referencia Pia & P & P

9e sabe que A : P(4 E i) n entonces P : P(4F ia)(4 E i) por consi$uiente 4 : (4 G ia)(4E i) por lo cual ise podr%a expresar en funcin de ia o viceversa+

(4E i):4

donde i!1

-1 (4.)

4-ia 1-ia

(4 G ia) : 44+i donde ia: 4-44+i por lo cual ia : 4+i i (4.*)

&nteriormente se manifest que tambin existe el inters nominal anticipado el cual serepresentara por ra a ste inters se le definen tres elementos bsicos- la tasa elperiodo de referencia * el periodo de composicin el cual debe ser anticipado+ ,lperiodo de referencia $eneralmente es el a8o+ Por similitud con las tasas de intersvencidos se tendr-

ra! i+, m (4.-) donde i+ ! ra(4.1)m

,n la anterior frmula se tiene - ra: inters nominal anticipadoia: inters peridico anticipado

m : frecuencia de conversin : umero de periodos ode subperiodos en el periodo de referencia que$eneralmente es el a8o+

9e puede apreciar que el concepto de m no var%a si el inters nominal es vencido o

anticipado

Como ejemplos de inters nominales anticipados se pueden se8alar- 21 bimestralcompuesto mes anticipado 451 semestral capitaliable trimestre anticipado 051anual liquidable cuatrimestre anticipado 601 convertible mes anticipado+

Ejempl 4.%

Defina el valor de m e iaen las si$uientes tasas de intereses nominales anticipados- a)051 convertible bimensual anticipado b) 21 bimestral mes anticipado c) 021 anual


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compuesto bimestral anticipado d) 401 semestral trimestre anticipado e) 601 anualcuatrimestre anticipado f) 671 anual semestre anticipado * $) 631 anual compuestoanual anticipado+Solucin:

Para resolver este tipo de ejercicios es necesario asociar el periodo de capitaliacincon el periodo de referencia * por lo cual es conveniente pre$untar 1 Himensual &nticipadoia = m 02

b) r : 21 bimestral #&+

'a pre$unta ser%a- < Cuntos periodos mensuales /a* en un periodo bimestral=+ 'arespuesta seria 0 meses /a* en un bimestre por lo tanto m ! 2.

ra

=772

=01 mensualanticipadoia = m 0

c) r : 021 anual bimestre anticipado+

'a pre$unta ser%a-


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ra

=740

=31 trimestre anticipadoia = m 0

e) r : 601 anual Cuatrimestre anticipado+

'a pre$unta ser%a-


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* ie =4+4-m

ra

-4. por consi$uiente- ie =4-

4ra

-4. por

lo cual m m

4 -4 Donde se obtiene.ie =1- ma -m -1(4.11)

ie

=ra m r

4- m ie

= (1-ia)-m -1 (4.12)

De la misma manera se puede plantear que ra

=

(1+i

e

)-1/m

-1 (4.1#) * ia

=(1+ie)-1/m -1 (4.14)

TASAS EQUIVALENTES

Dos tasas son equivalentes cuando operando de manera diferente arrojan el mismoresultado+ !na tasa puede operar en forma vencida * otra en forma anticipada o unapuede capitaliar en forma mensual * la otra semestral o una en forma trimestral * laotra en forma anual etc+

'os escenarios que se presentan desde lo vencido cuando se da una tasa * sepretende /allar otra tasa equivalente son los si$uientes-

E0e+ri p+r+

3+

E0e+ri

+


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(4)

Nominal Nominal

(0)

Nominal Efectivo

(6

)

Efectivo Efectivo

(2)

Efectivo Nominal

& partir de cada uno de los escenarios se8alados anteriormente se podr%an $enerari$ualdades que permitirn de una manera fcil * sencilla encontrar las equivalenciasentre diferentes tasas de inters. por ejemplo desde el punto de vista de intersvencido se pueden se8alar las si$uientes i$ualdades-

r m r t

(4) 4+ m =4+ t (4.1%)

(0) 4+

mr m =(4+ie)t (4.1")

(6) (4+ie)m =(4+ie)t (4.1)

(2) (4+ie)m =4+ r t (4.1*) t

,n la i$ualdad o 4 /a* que tener en cuenta que- las r son tasas nominales vencidas rr

* capitalian m* 5veces@a8o por lo tanto * son tasas efectivas para cada mtper%odo m* 5 adems en las i$ualdades planteadas m* 5 mientras no se manifieste

lo contrario se referencian al a8o+

Para los intereses anticipados tambin se pueden plantear i$ualdades que faciliten elproceso de equivalencias entre tasas de inters teniendo en cuenta los si$uientesescenarios-

E0e+ri p+r+ 3+ll+r E0e+ri +(?) Nominal anticipado Nominal anticipado(3) Nominal anticipado Inters peridico anticipado(>) Inters peridico anticipado Inters peridico anticipado(5) Inters peridico anticipado Nominal anticipado


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(?) 4F ma F =4Frat Ft (4.1-)

r m

(3) 4F rm

a Fm =(4-ia)Ft (4.2)

(>) (4-ia)Fm =(4-ia)Ft (4.21)

(5) (4Fia)Fm =4F rat Ft (4.22)

Teniendo en cuenta que existe la posibilidad de buscar equivalencias entres tasas deinters de carcter vencido * anticipado se podr%an plantear combinaciones entre lasi$ualdades que se /an presentado anteriormente * se pueden destacar las que seenumeran a continuacin se$;n los si$uientes escenarios-

E0e+ri p+r+ 3+ll+r E0e+ri +(B)

Nominal vencido Nominal anticipado

(47 Nominal vencido Inters peridico anticipado

(44

Efectivo Inters peridico anticipado

(40

Inters peridico anticipado Efectivo

(46

Nominal anticipado Nominal vencido

(42

Nominal anticipado Efectivo

(4? Efectivo Nominal anticipado

(43

Inters peridico anticipado Nominal vencido

(B) 4+ mr

m =

4- ra

t -t (4.2#)

(47) 4+

mr m (4-ia)-t (4.24)


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=

(44) (4+ie)m =(4-ia)-t (4.2%) (40) (4-ia)Fm = (4+ie)t(4.2")

ra Fm =4+ rt t

(4.2)

(46) 4- m

ra Fm = (4+ie)

t

(4.2*)(42) 4

-m

( ) ra Ft (4.2-)(4?) 4+ie

m=4- t

( ) r t (4.#)(43) 4Fia Fm =4+ t

& continuacin se presentarn ejercicios donde se aplican las i$ualdades se8aladasanteriormente-

Ejempl 4." E0e+ri Nmi+l Nmi+l

allar una tasa nominal bimestral equivalente a una tasa del 631 CT+

Solucin:

r== bimestral por consi$uiente m! "6 en un a8o /a* seis (3) bimestres+r=631 CT en este caso 5 ! 46 en un a8o /a* cuatro (2) trimestres.


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4+ mr m =4+ rt t . 4+ 3r 3 =4+ 7263

2 para encontrar la tasa nominal pedida ( )r el exponente que afecta la variable

debe ser uno * por tanto. se procede

de la si$uiente manera- 4+ r 3@3 = (4+ 77B)2@3 de donde se obtiene- 3

4+

r =(47B)2@3 por lo

tanto- 3

r=(47B)2@3 -43 por lo que-r=76?25Himestral = 6?251bimestral

Ejempl 4. E0e+ri E7e5i8 ' Nmi+l

allar una tasa compuesta trimestralmente equivalente al 0?1 mensual+Solucin:

r== CT por consi$uiente m! 46 en un a8o /a* cuatro (2) trimestres+

i=ie=0?1,# en este caso 5 ! 126 en un a8o /a* doce (40) semestres+

4+ m

r

m=(4+ie)t . 4+ 2r 2 =(4+770?)40 para encontrar la

tasa nominal pedida ( )r el exponente que afecta esta variable debe ser uno por lo

tanto. se procede de la si$uiente manera- 4+r

2@2 = (4+ 770?)40@2

2


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de donde se obtiene- 4+ 2r =(470?)6 por lo tanto- r=(470?)6 -

4

2 por lo

que-

r=767>? CT = 67>?1CT

Ejempl 4.* E0e+ri E7e5i8 E7e5i8

allar una tasa bimensual equivalente a una tasa del 451 semestral

Solucin:

i =ie==bimensual por consi$uiente m! 246 en un a8o /a* veinticuatro (02)

per%odos bimensuales+

i=ie=4519 en este caso 5 ! 26 en un a8o /a* dos (0) semestres+

(4+ie)m =(4+ie)t . (4+ie)02 =(4+745)0 para encontrar la tasa efectivapedida ( )ie el exponente que afecta esta variable se debe volver uno por lo tanto se

procede de la si$uiente manera- (4+ie)02@02 = (4+745)0@02 de donde seobtiene-

(4+ie)=(445)4@40 por lo tanto- i=(445)4@40 -4 por lo que-

i=77465B Himensual =465B1Himensual

Ejempl 4.- E0e+ri Nmi+l 'E7e5i8

allar una tasa cuatrimestral equivalente a una tasa del 60 1 C#Solucin:

i=ie== cuatrimestral por consi$uiente m! # 6 en un a8o /a* tres (6) per%odosCuatrimestrales+

r =601 C# en este caso 5 ! 126 en un a8o /a* doce (40) meses+


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( ) r t . (4+ie)6 =4+7406040 para encontrar la tasa efectivapedida 4+ie

m =4

+t

( )ie el exponente que afecta esta variable debe ser uno por lo tanto. se procede de

la40@6

si$uiente manera-(4+ie)6@6 =4+74060 de dondese obtiene-

2

(4+ie)=(47+60)2 por lo tanto- i=4+ 74060 -4 por lo que-

i=74447 cuatrimestral =44471 cuatrimestral

Desde el punto de vista de intereses anticipados se presentan los si$uientes ejercicioscon el objeto de aplicar las i$ualdades de la ?J a la 5J+

Ejempl 4.1 E0e+ri Nmi+l A5iip+ Nmi+l A5iip+

allar una tasa nominal bimestral anticipada equivalente a una tasa del 631compuesta trimestre anticipada+

Solucin: ra==bimestral&nticipada por consi$uiente m! "6 en un a8o /a* seis

(3) bimestres+

ra=631CT& en este caso 5 ! 46 en un a8o /a* cuatro (2) trimestres.

4Fra Fm =4-rat Ft . 4-r3a F3 =4-7263F2 para encontrar la tasa nominal m

anticipada pedida ( )ra exponente de esta variable debe ser uno por lo tanto. se

procede de la si$uiente manera- 4-

r3a

F3@F3 = (4-77B)F2@F3 de donde

se


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obtiene-

4-r3

a =(7B4)2@3 por lo tanto- ra

=4

-(7B4)2@33 por lo que-

ra= 763?3 Himestral&nticipado.

ra=63?31bimestral&nticipado

Ejempl 4.11 E0e+ri Peri9i A5iip+ Nmi+l A5iip+

allar una tasa compuesta trimestre anticipado equivalente al 0?1 mensualanticipada+

Solucin:

ra== CT& por consi$uiente m! 46 en un a8o /a* cuatro (2) trimestres+

ia = 0?1#& en este caso 5 ! 126 en un a8o /a* doce (40) semestres+

4F

rma Fm =(4-ia)Ft . 4- r2a F2 =(4-770?)F40 para

encontrar la tasa nominal pedida ( )ra el exponente que afecta esta variable debe ser

uno por lo tanto. se procede de la si$uiente manera- 4 ra

F2@F2 = (4-770?)F40@F

2 de donde se

F 2


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obtiene-

4Fr2a

=(7B>?)6

por lo tanto-

ra =4- (7B>?)62 por lo que- ra=70B03CT& = 0B031 &CT&

Ejempl 4.12 E0e+ri Peri9i A5iip+ Peri9i A5iip+

allar una tasa bimensual anticipada equivalente a una tasa del 451 semestralanticipada+

Solucin: ia==bimensual&nticipada por consi$uiente m! 246 en un a8o /a*

veinticuatro

(02) per%odos bimensuales+

ia=4519& en este caso 5 ! 26 en un a8o /a* dos (0) semestres+

(4-ia)Fm =(4-ia)Ft . (4-ia)F02 =(4-745)F0 para encontrar la tasa peridica

semestral anticipada pedida ( )ia el exponente que afecta esta variable debe ser uno

por lo tanto. se procede de la si$uiente manera- (4Fia)F02@F02 = (4F745)F0@F02

de donde se obtiene- (4F ia)=(750)4@40 por lo tanto- ia =1-(0,82)1/12 por loque- ia=77432Himensual&nticipado se puede expresar as%-

ia=4321Himensual&nticipado

Ejempl 4.1# E0e+ri Nmi+l A5iip+ I5er:0 peri9i +5iip+

allar una tasa cuatrimestral anticipada equivalente a una tasa del 60 1 C#&

Solucin: ia ==cuatrimestral&nticipado por consi$uiente m! # 6 en un a8o /a*

tres (6)

per%odos cuatrimestrales+ ra =601C#& en este caso 5 ! 126 en un

a8o /a* doce (40) meses+


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ra Ft . (4Fia)F6 =4F74060F40 para encontrar la

tasa peridica (4-ia)Fm =4F t

cuatrimestral anticipada pedida ( )ia el exponente que afecta esta variable debe ser

uno por lo tanto. se procede de la si$uiente manera- (4-ia)F6@F6 =4- 74060

F40@F6 de donde se obtiene- (4-ia)=(7B>66)2 por lo tanto- ia =1-

(0,9733)4 por lo que- ia=7470?Cuatrimestral &nticipado se puede

expresar de la si$uiente manera-

ia=470?1Cuatrimestral &nticipado

9i se presenta combinaciones entre intereses vencidos con intereses anticipados sepresentan ejercicios para aplicar las i$ualdades BJ a la 43J+

Ejempl 4.14 E0e+ri; Nmi+l A5iip+ ' Nmi+l Vei

allar una tasa nominal bimestral equivalente a una tasa del 631 compuesta trimestreanticipada+Solucin:

r== bimestral por consi$uiente m! "6 en un a8o /a* seis (3) bimestres+ra=631CT& en este caso 5 ! 46 en un a8o /a* cuatro (2) trimestres.

4+ mr m =4-rat Ft .4+ 3r 3 =4-7263F2 para

encontrar la tasa nominal

pedida ( )r el exponente que afecta esta variable debe ser uno por lo tanto. se

4+ r 3@3 = (4-77B)2@F3 de donde seobtiene- procede de la si$uiente manera-

3


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4+ 3

r =(7B4)2@F3 por lo tanto- r= (7B4)2@F3 -43 por lo que-

r= 765B6Himestral r=65B61 bimestral

Ejempl 4.1% E0e+ri; Peri9i +5iip+ ' Nmi+l Vei

allar una tasa compuesta trimestralmente equivalente al 0?1 mensual anticipada+

Solucin:

r== CT por consi$uiente m! 46 en un a8o /a* cuatro (2) trimestres+ ia

= 0?1#& en este caso 5 ! 126 en un a8o /a* doce (40) semestres+

4+ m

r

m=(4-ia)Ft . 4+ 2r 2 =(4-770?)F40 para encontrar la

tasa nominal pedida ( )r el exponente que afecta esta variable debe ser uno por lo

tanto. se procede de si$uiente manera- 4+r

2@2 = (4-770?)F40@2 de donde

se obtiene-

2

4

+2

r =(7B>?)F6 por lo tanto- r= (7B>?)F6 -42 por lo que-

r= 764?3 CT = 64?31 CT

Ejempl 4.1" E0e+ri; Peri9i A5iip+ ' E7e5i8

allar una tasa bimensual equivalente a una tasa del 451 semestral anticipada+

Solucin: i=ie==bimensual por consi$uiente m! 246 en un a8o /a* veinticuatro

(02)

per%odos bimensuales+


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ia=4519& en este caso 5 ! 26 en un a8o /a* dos (0) semestres+

(4+ie)m =(4-ia)Ft . (4+ie)02 =(4-745)F0 para encontrar la tasa efectiva

bimensual pedida ( )ie el exponente que afecta esta variable debe ser uno por lo

tanto. se procede de la si$uiente manera- (4+ie)02@02 = (4F745)F0@02 de

donde se obtiene- (4+ ie)=(750)F4@40 por lo tanto- ie = (750)F4@40-4 por loque- ie=77433Himensual se puede expresar as%-

ie=4331Himensual

Ejempl 4.1 E0e+ri; E7e5i8 ' Peri9i A5iip+

allar una tasa trimestral anticipada equivalente a una tasa del 4?1 semestral+

Solucin: ia==Trimestral &nticipada por consi$uiente m! 46 en un a8o /a*

cuatro (2) per%odos trimestrales+

ia=4?19 en este caso 5 ! 26 en un a8o /a* dos (0) semestres+

(4-ia)Fm =(4+ie)t . (4-ia)F2 =(4+74?)0 para encontrar la tasa efectiva

trimestral anticipada ( )ia el exponente que afecta esta variable debe ser uno por lo

tanto. se procede de la si$uiente manera- (4Fia)F2@F2 = (4+74?)0@F2 de donde

se obtiene- (4-ia)=(44?)F4@0 por lo tanto- ia =1-(44?)-1/2 por lo que-ia=773>?Trimestral&nticipada se puede expresar as%-

ia=3>?1Trimestral&nticipada

Ejempl 4.1* E0e+ri Nmi+l Vei Nmi+l A5iip+


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47

allar una tasa nominal bimestral anticipada equivalente a una tasa del 671 nominal

trimestral+ Solucin: ra==bimestral&nticipada por consi$uiente m! "6 en un

a8o /a* seis (3) bimestres+

r=671 CT en este caso 5 ! 46 en un a8o /a* cuatro (2) trimestres. 4Fra Fm

=4+rt . 4-r3a F3 =4+7267F2 para encontrar la

tasa nominal

m t

anticipada pedida ( )ra exponente de esta variable debe ser uno por lo tanto. se

procede de la si$uiente manera- 4-

r3a F3@F3 = (4-77>?)F2@F3 de

donde se

ra =(7B0?)2@3 por lo tanto- ra = 4-(7B0?)2@3 3 por lo que-obtiene- 4- 3

ra= 7676B Himestral&nticipado .

ra =676B1bimestral&nticipado

Ejempl 4.1- E0e+ri; E7e5i8 ' Nmi+l A5iip+

allar una tasa nominal cuatrimestral anticipada equivalente a una tasa del 63 1

anual Solucin: ra == & cuatrimestral &nticipada por consi$uiente m! # 6 en un

a8o /a* tres (6)

per%odos cuatrimestrales+

ie =631 &nual en este caso 5 ! 1


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4-ra Fm =(4+ie)Ft .4- r6a F6 =(4+763)F4@6 para encontrar latasa nominal

6

anticipada ( )ra el exponente que afecta esta variable debe ser uno por lo tanto. se

ra

F6@6 = (4+763)F4@6 de donde se obtiene- procede de la si$uiente

manera-4

-6 4- ra =(463)F4@6 por lo tanto- ra =4-(463)F

4@66 por lo que-

6 ra=70B06Cuatrimestral&nticipada se puedeexpresar si-

ra=0B061Cuatrimestral &nticipada

Ejempl 4.2 E0e+ri; Nmi+l A5iip+ ' E7e5i8

allar una tasa cuatrimestral equivalente a una tasa del 60 1 C#&

Solucin: ie ==cuatrimestral por consi$uiente m! # 6 en un a8o /a* tres (6)

per%odos

cuatrimestrales+

ra =601C#& en este caso 5 ! 126 en un a8o /a* doce (40) meses+

(4+i ) ra Ft . (4+ie)6 =4F74060F40 para encontrar la tasaefectiva m

e =4F t

pedida

( )ie el exponente que afecta esta variable debe ser uno por lo tanto. se

F40@6

procede de la si$uiente manera- (4+ie)6@6 =4-74060 de donde se obtiene-

(4+ie)=(7B>66)F2 por lo tanto- ie = (7B>66)F2 -4 por lo que-

ie=74426Cuatrimestral se puede expresar si- ie=44261Cuatrimestral


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47

Ejempl 4.21 E0e+ri Nmi+l Vei I5er:0 peri9i +5iip+

allar una tasa bimestral anticipada equivalente a una tasa del 601 anual compuestatrimestralmente+

Solucin: ia==bimestral&nticipada por consi$uiente m! "6 en un a8o /a* seis (3)

bimestres+ ra =601CT en este caso 5 ! 46 en un a8o /a* cuatro (2) trimestres.

(4Fia)Fm =4+rt t . (4-ia)F3 =4+7260F2 para encontrar

la tasa peridica anticipada ( )ia exponente de esta variable debe ser uno por lo

tanto. se procede de la si$uiente manera- (4-ia)F3@F3 = (4+775)F2@F3 de donde seobtiene-

(4-ia)=(475)2@3 por lo tanto- ia = 4-(475)2@3 por lo que-

ia= 7?03Himestral&nticipado. ia =?031bimestral&nticipado

TASA DE INTERES CONTINUO

,s importante tener en cuenta que cuando la tasa de inters nominal permanececonstante pero la capitaliacin es ms frecuente el monto o valor futuro tambincrece. pero no puede pensarse que el monto o valor futuro al final de un cierto tiempocrece sin l%mite cuando el n;mero de periodos de capitaliacin tiende a infinito en lasi$uiente tabla se puede ver que el monto o valor futuro no tiende a infinito cuando lafrecuencia con la que el inters se capitalia crece sin l%mite sino que se acercapaulatinamente a un valor determinado es decir a un l%mite+

Valor futuro para un capital de $ 1000 al 32% de inters anual por un

aFrecuencia

capitalizacin

eriodo por

a!o

"asa de inters

por periodo

Valor futuro

en un a!o

#nual 1 32000% 132000000&emestral 2 1'000% 13()'0000

*uatrimestral 3 10''+% 13))3(','

"rimestral ( -0000% 13'0(--,'

.ensual 12 2'''+% 13+13'')2

/uincenal 2( 13333% 13+(21--2

&emanal )2 0'1)(% 13+)++-02

iaria 3') 00-++% 13+',3(+2

or ora -+'0 0003+% 13++11,+2

or minuto )2)'00 00000'0--% 13++12+'3


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0 1 2 3 4 aos

47

!na tasa de inters continuo r1 se define como aquella cu*o per%odo de capitaliacines lo ms peque8o posible es decir se aplica en intervalos de tiempo infinitesimales+,n el inters continuo la tasa se presenta siempre en forma nominal+

'a tasa de inters efectivo a partir de un inters continuo r1 se determina as%-ie

=r

-4 a continuacin se presentan frmulas que permitirn calcular el valor futuro * el

valor presente para obli$a operaciones financieras realiadas bajo inters continuo+

CALCULO DEL VALOR $UTURO DADO UN VALOR PRESENTE

Teniendo en cuenta que- A=P(4+ i)n se puede plantear que el valor futuro a partir

de un inters continuo se puede expresar de la si$uiente manera- A=P[4+(r

-4)]n por lo que- F=Prn (4.2),l valor de aproximado de equivale a 0>450545052?B+

Ejempl 4.22

9e invierten 4?+777+777 a una tasa de inters del 671+ Calcule el monto compuestodespus de 2 a8os si el monto se capitalia continuamente+

Solucin:

A: =

P : 4?+777+777

A=Prn =4?+777+777 (7672) por lo tanto- A= 4?+777+77740 . de

donde- 'nA= 'n 4?+777+777+40'n. Como 'nes i$ual a 4 entonces-

'nA= 'n 4?+777+777 +40. Donde- 'nA= 4>>06?37>?.

Por lo tanto- A= antiln4>>06?37>?. donde- A= 2B+574+>?652

Ejempl 4.2#


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47

Determine el valor futuro * el inters compuesto de 0+>57+777 invertidos durante ?meses al 671 capitaliable continuamente+

Solucin:

A: =

i : 0?1 mensual

7 4 0 6 ? meses

P : 0+>57+777

r=051anual. i=r=

7+67=770? mensual

m 40

A=Prn

= 0+>57+777 (770??)

por lo tanto- A= 0+>57+777740?

. de

donde- 'nA= 'n0+>57+777+740?'n. Como 'nes i$ual a 4 entonces-

'nA= 'n 0+>57+777 +740? . Donde- 'nA= 42B30B3425

,ntonces- A= antiln42B30B3425. donde- A= 6+4?7+4?0>7

I=A-P = 6+4?7+4?0> - 0+>57+777 = 6>7+4?0>CALCULO DEL VALOR PRESENTE DADO UN VALOR $UTURO

9e demostr que- A=Prn

por lo tanto- P=A-rn

(4.2*)

Ejempl 4.24

!n pa$ar por 2+5B7+777 vence dentro de 0 meses+ Calcular su valor presente al4?1 compuesto continuamente+

Solucin:

A : 2+5B7+777

i : 40?1 mensual

7 4 0 meses

P : =


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47

r=4?1anual . i=r=

7+4?=7740?mensual

m 40

P=AFrn = 2+5B7+777 -(7740?0) por lo tanto- P= 2+5B7+777-770?

. de donde- 'nP= 'n 2+5B7+777 - 770?'n. Como 'n es i$ual a 4

entonces-

'nP= 'n 2+5B7+777 - 770? . Donde- 'nP= 4?6>>>7053

,ntonces- P= antiln4?6>>>7053. donde- P= 2+>3B+03?2>Ejempl 4.2%

!na persona tiene los si$uientes pa$ars- 065?+777 para dentro de 2 meses 2+027+777 para dentro de 5 meses * ?+64?+777 para dentro de 44 meses+ Cul es elpa$o ;nico que debe /acerse dentro de 3 meses que sustitu*e los anteriores pa$arssi la tasa de inters es del 61 mensual capitaliable continuamente+

Solucin:

?+64?+777 2+027+777

0+65?+777

7 4 0 2 3 5 44 meses

K

&IH& = &H&LM (ff!3)

K =0+65?+777(7760) +2+027+777-(7760) +?+64?+777F(776?)

por lo tanto-

" = 2#3$%#000 (2&71$2)0&0' + 4#240#000 (2&71$2)-0&0' + %#31%#000 (2&71$2)-0&1%

K= 44+477+00235

4.1 C


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Partiendo de que- A=P

rn entonces se puede plantear- P

A=

rn aplicando

lo$aritmo a ambos lado de la i$ualdad se tiene- 'nPA

= 'n(rn) por loque-

r NnN'n( )

='nPA

de

donde-

LnF

n= P

(4.2-)

r

Ejempl 4.2"

,n cunto tiempo una inversin de 4+077+777 se convertir en 6+?77+777 si la tasade inters es del 601 convertible continuamente=+Solucin:

A : 6+?77+777

7 n periodos

P : 4+077+777

'nPA 'n6+?77+777

!sando la expresin- n= se tiene- n = 4+077+777 por lotanto- r 760

n= = 66? a8os. entonces- n=66? a8os

TASAS COM=INADAS O COMPUESTA

!na tasa es compuesta o combinada cuando resulta de la aplicacin de otras dostasas as% estas operen diferentes. lo que se busca es encontrar una tasa equivalente


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(ir) que mida el costo o la rentabilidad de la operacin que se est llevando a cabo+ 'atasa ir recibe el nombre de tasa real+

9u aplicacin se da en las si$uientes operaciones financieras- a) Prstamos con inters* comisin b) Prstamos e inversin en moneda extranjera c) Inflacin * d) !"

(!nidad de "alor eal)+

Pr:05+m e i8er0i9 e me+ e>5r+jer+

Cuando se presta en moneda extranjera * lue$o se /ace la conversin a la monedanacional entran en operacin dos tasas de inters la primera es la tasa inters que sele car$a al prstamo en moneda extranjera (ime) * la otra tasa de inters es elreconocimiento de la devaluacin de la moneda nacional frente a la moneda extranjera(i8). lo que se pretende es encontrar una tasa que sea equivalente ( ie?) a la operacinde las otras dos tasas (ime @ i8) que mida el costo del crdito (prstamo) larentabilidad de la inversin. las tasas ime 6 i8 se expresan $eneralmente en trminosanuales+

Para encontrar la tasa equivalente (ie?) se supone que un empresario colombianorealia /o* un prstamo en dlares (US&) en una institucin financiera que cobra unatasa de inters (ime) para ser cancelado al final de un periodo se plantea los si$uientesdia$ramas econmicos+!9

imeime 6 i8ie? 7 4 per%odo 4 per%odo 4 per%odo

!9(4E ime) (4E ime)(4E i8) (4 E ie?)

,n el primer dia$rama al final del periodo 4 se deben cancelar a la institucinfinanciera US&(1 ime) dlares * en el se$undo se deben tener &(1 ime)(1 i8)pesos que $aranticen el pa$o de los US&(1 ime) dlares que se adeudan pero sipara el tercer dia$rama econmico se determina la tasa equivalente a la operacin deiem i8 se tendr tambin los (4 E ie?)pesos que $aranticen la cancelacin de los

US&(1 ime) dlares por lo tanto se puede afirmar que &(1 ime)(1 i8)* (4 E ie?)son i$uales. por consi$uiente-

(1 ie?): (4E ime)(4E i8) . (1 ie?): (4E ime)(4E i8) . ie?: (4E ime)(4E i8) F 4

De donde- ie?! ime i8 ime ,i8(4.#)

'a anterior expresin permite determinar el costo total anual de un crdito o prstamo+


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Para encontrar la rentabilidad total anual de una inversin se parte de la ecuacin

A=P(4+ieq)n

. por lo cual se plantea la si$uiente expresin- 4@n

ieq =PAmonedamoneda

-4 (4.#1)

,l trmino moneda se refiere a la unidad monetaria del pa%s en el cual reside elinversionista+

De8+lB+i9

'a devaluacin es la prdida de valor de la moneda de un pa%s frente en relacin a otramoneda cotiada en los mercados internacionales como son el dlar estadounidenseel euro o el *en+ Por ejemplo si analiamos el comportamiento del peso colombianoversus el dlar * la devaluacin aumenta en Colombia entonces. se tendr que darms pesos por dlar+

'a devaluacin como fenmeno afecta el sector externo de un pa%s en diversos frentede la econom%a un sector que se beneficia por la devaluacin es el de laexportaciones debido a que los exportadores recibirn ms pesos por la venta de sus

productos (bienes * servicios) en el extranjero e incentiva a muc/os empresarios avender sus bienes * servicios en otros pa%ses aumentando as% las reservasinternacionales+ 'a devaluacin aumenta la deuda del pa%s en trminos de pesos. lasimportaciones aumentan de valor provocando una ma*or inflacin * reduce la inversinextranjera debido a que los efectos de la devaluacin disminu*en la rentabilidad de losinversionistas extranjeros+

T+0+ e C+mi

'a tasa de cambio (TC) muestra la relacin que existe entre dos monedas+ ,xpresapor ejemplo la cantidad de pesos que se deben pa$ar o recibir por una unidad

monetaria extranjera+ ,n el caso de Colombia se toma como base el dlar por ser ladivisa ms usada para las transacciones en el exterior ran por la cual ser%a lacantidad de pesos que se necesitan para comprar un dlar+ &l i$ual que con el preciode cualquier bien o servicio la tasa de cambio aumenta o disminu*e dependiendo de laoferta * la demanda pues cuando la oferta es ma*or que la demanda (/a* abundanciade dlares en el mercado * pocos compradores) la tasa de cambio baja. mientras quepor el contrario cuando /a* menos oferta que demanda (/a* escase de dlares *muc/os compradores) la tasa de cambio sube+


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9e pueden adoptar sistemas cambiarios que permitan que se lleve a cambio unadeterminada pol%tica de tasa de cambio+ Aundamentalmente el sistema cambiariopuede ser un sistema de tipo de cambio fijo * variable (flotante)+

T+0+ e +mi 7ij+

,ste sistema tiene como objetivo mantener constante a travs del tiempo la relacinde las dos monedas. es decir que la cantidad de pesos que se necesiten para comprarun dlar (u otra moneda extranjera) sea la misma siempre+ ,n este caso el HancoCentral que en el caso de Colombia es el Hanco de la ep;blica se compromete amantener esta relacin * tomar las acciones necesarias para cumplir con este objetivo+Por lo tanto cuando en el mercado existe muc/a demanda por dlares o cualquier otradivisa (moneda extranjera) el Hanco pone en el mercado la cantidad de dlaresnecesaria para mantener la tasa de cambio en el valor que se determin+ I$ualmentecuando se presentan excesos de oferta (cuando /a* ms dlares en el mercado de losque se estn pidiendo o demandando) el Hanco compra dlares para evitar que la tasade cambio disminu*a+

T+0+ e +mi 8+ri+le (7l5+5e)

,ste r$imen permite que el mercado por medio de la oferta * la demanda de divisas(monedas extranjeras) sea el que determine el comportamiento de la relacin entre lasmonedas+ ,l banco central no interviene para controlar el precio por lo cual la cantidadde pesos que se necesitan para comprar una unidad de moneda extranjera (dlar porejemplo) puede variar a lo lar$o del tiempo+

,n Colombia desde a$osto de 0770 existe una cate$or%a particular de tasa de cambioflotante que se denomina tasa de cambio flotante sucia+ Osta tiene como fundamentoun sistema cambiario de tasa de cambio flotante sin embar$o esta tasa no escompletamente libre porque en un punto determinado buscando evitar cambiosrepentinos * bruscos en el precio de la moneda las autoridades pueden intervenir en elmercado+ 'a diferencia de una tasa de cambio flotante sucia con una tasa de cambiofija es que en este sistema de tasa de cambio no se establecen unas metas fijas porencima o por debajo de las cuales el valor de la moneda no puede estar+

Durante varios a8os existi en Colombia un sistema cambiario denominado andacamiaria+ ,ste sistema de control establece unos l%mites (mximos * m%nimos) dentrode los cuales se debe encontrar la tasa de cambio+ ,l l%mite mximo se llama el tec/oQde la banda cambiaria * el l%mite m%nimo se llama el pisoQ de la banda cambiaria+Detrs de esta banda cambiaria existe una teor%a de oferta * demanda de dinero-cuando la tasa de cambio alcana el tec/o de la banda lo que si$nifica que los dlaresson escasos * el precio est subiendo el Hanco de la ep;blica entonces vendedlares que tiene en reservas+ &l /acerse esto en el mercado *a no /a* escase de lamoneda extranjera * como *a no es dif%cil comprarla el precio de sta baja * la tasa decambio vuelve a estar dentro de los l%mites establecidos+ 'o contrario sucede cuando latasa de cambio se encuentra en el piso de la banda cambiaria lo que quiere decir que/a* abundancia de dlares en el mercado siendo en este momento cuando ,l Hanco

de la ep;blica compra dlares /aciendo que los dlares *a no sean tan abundantes


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en el mercado por lo cual el precio de stos sube ubicando a la tasa de cambio denuevo en la banda+ ,ste sistema se elimin el 0> de septiembre de 4BBB para dar pasoal sistema de tasa de cambio flexible en ste la tasa de cambio sube * baja librementede acuerdo con la oferta * la demanda de divisas. sin embar$o aunque las autoridadespermiten que la tasa de cambio se mueva libremente en al$unos momentos se pueden

$enerar desequilibrios en la econom%a nacional. por este motivo el Hanco de laep;blica tiene la capacidad de intervenir en el mercado de divisas cuando loconsidere indispensable+

T+0+ e De8+lB+i9

,s la prdida porcentual del valor de la moneda de un pa%s frente a la moneda de otropa%s+ !na tasa de devaluacin (i8) se puede determinar a travs de la si$uientei$ualdad-

TC -

idv = TC4

TC7

477 (4.#1). de donde se deduce

7

que TC4TC7

TC4=9on las unidades monetarias que se darn o recibirn por otra unidad monetaria

en el ma8ana (futuro)+

TC7 = 9on las unidades monetarias que se darn o recibirn por otra unidad

monetaria en el /o* (Presente)+

9i se tiene que A=P(4+i)n

. se podr%a expresar la i$ualdad TC4=TC74+idv n

(4.#2). por lo que una tasa de devaluacin promedio se determinar%a con la si$uienteexpresin-

4@nidv

=TCTC7

4-4 (4.##)

Re8+lB+i9

'a revaluacin es la $anancia de valor de la moneda de un pa%s frente a la moneda deotro pa%s lo que si$nifica que /abr que pa$ar menos pesos por el mismo dlar+


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!na ca%da del precio de la divisa se llama revaluacin de la moneda en un r$imen detipo de cambio fijo * apreciacin en uno de tasa flotante+ Cuando la moneda local sereval;a o se aprecia se produce un aumento del poder de compra pues cuesta menosuna unidad de moneda extranjera. en este caso la tasa de cambio baja * la monedalocal se fortalece+ Por ejemplo si una econom%a con esquema de tasa fija recibe una

avalanc/a de dlares por las exportaciones de un producto que tiene altos precios en elmercado mundial como /a sucedido con el petrleo en los ;ltimos a8os. en ese casoel precio de las divisas tender a bajar porque /a* una $ran oferta de ellas es decir/a* una tendencia /acia la revaluacin de la moneda local+ ,n este caso el HancoCentral tendr que intervenir en el mercado comprando divisas para que su precio nocai$a pa$ando por ellas con moneda local. compra de divisas que aumentar lacantidad de dinero que circula en la econom%a+

9i lo expuesto anteriormente se re$istra en un r$imen de tasa de cambio flexible elHanco Central no tiene que intervenir en el mercado cambiario * por lo tanto no sealtera la cantidad de dinero de la econom%a+ ,l precio de la divisa bajar porque suoferta es ma*or que su demanda lo que si$nifica que la tasa de cambio se reducir+ ,nla medida en que cuesta menos una unidad de moneda extranjera el precio enmoneda local de los bienes importados disminuir lo cual puede adems reducir elprecio de los bienes producidos localmente+

T+0+ e re8+lB+i9

,s la medida porcentual de la $anancia de valor de la moneda de un pa%s frente a lamoneda de otro pa%s * se simbolia con ir8 en un instante de tiempo cualquiera sepuede determinar con la si$uiente expresin-

TC4-TC

7477 (4.#4) 6 de donde se deduce que TC TC7

irv=

TC 4

7

9i se tiene que A=P(4+i)n

. se podr%a expresar la i$ualdad TC4=TC7(4-irv)n

(4.#%)

9i la moneda de un pa%s se deval;a en un porcentaje frente a la moneda de otro pa%s

no se puede decir que sta se reval;a en el mismo porcentaje por lo cual se podr%a idv

(4.#") de la misma manera se podr%a establecer que - plantear que -irv

=4+idv

irv

(4.#)


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idv =4-irv

Ejempl 4.2

9i el peso colombiano se deval;a frente al dlar en un 0?1 entonces el dlar sereval;a en el mismo porcentaje+

Solucin:

9i se supone que por un dlar se pa$an 4+777 /o* entonces por efecto de ladevaluacin del peso frente al dlar en un 0?1 se pa$aran 4+0?7 por un dlar+

9i la TC7(@!9) : 4+777. entonces TC7(!9@) : 4@ 4+777

9i la TC4(@!9) : 4+0?7. entonces TC4(!9@) : 4@4+0?7

TC -

Por lo tanto se tiene que- irv = TC4

TC7

477.

7

4 - 4

irv =4+0?7

477= 477=-707. el si$no ne$ativo

4+777indica que el dlar se reval;a frente al peso colombiano en un 071+

Mtra manera de calcular la revaluacin del dlar frente al peso colombiano. ser%a lasi$uiente-

idv . por lo cualirv =4+770?0? =707 =071

irv =4+idv

Ejempl 4.2*

!n inversionista residente en Colombia adquiere un titulo que tiene un valor de ?+777!9 $ana un inters del 21 * tiene un plao de un a8o la tasa de cambio actual es de 4+?77@!9 * se estima una devaluacin en ese a8o del 4?1+ Calcular la rentabilidadque obtendr el inversionista+

Solucin-


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P =(P!9)(TC7) =?+777 !9 N 4+?77@!9 =>+?77+777

A!9 =P!9(4+ico)

n

=?+777!9N(4+772)

4

= ?+077 !9

TC4=TC7(4+idv)n

= 4+?77@!9 N(4+74?)4=4+>0?@!9

A =A!9 NTC4=?+077!9N 4+>0?@!9 = 5+B>7+777

A4@n - 4=5+B>7+777>+?77+7774@4 -4=74B37=4B31 &nual

i=P

Ejempl 4.2-

!n empresario colombiano importa maquinaria a crdito por un valor de 07+777 !9para cancelar al final del a8o ? la tasa que le cobran es del 6?1 ,&+ Calcular el costodel crdito si para los dos primeros a8os se estima una devaluacin promedio del pesofrente al dlar del 401 en el a8o tres el dlar se reval;a frente al peso en un 651 * enlos dos ;ltimos a8os la devaluacin promedio anual del peso frente al dlar se estimaen un 471+ 'a tasa de cambio actual es de 4+377@!9+ Calcule adicionalmente elvalor de la obli$acin en pesos el d%a que se contrae * determine el valor de laobli$acin al final del a8o cinco en dlares como en pesos+

Solucin-

Como la tasa de cambio TC7 est expresada en @!9 la TC4para el a8o ? se

expresar en @!9 por lo tanto la forma a utiliarseria- n n n

TC4=TC74+idv4-0 4+idv6 4+idv2-? para lo cual setendr%a quecalcular para el a8o 6 la devaluacin del peso frente al dlar con la si$uiente expresin-

i

i =rv(!9@)

=7765

=776B? =6B?1,& . por consi$uiente- dv(@!9) 4-i 4-

7765


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rv(!9@)

TC4=4+377@!9(4+740)0(4+776B?)

4(4+747)

0=0+?0222@!9

Para encontrar el costo del crdito se usa la expresin- ieq =ico +idv +(icoNidv)

lo que implicar%a encontrar la tasa de devaluacin promedio la cual se calcular%a de la

si$uiente forma-

idv=TC7TC44@n -4= 0+?02224+377 4@? -4=77B??=B??1,&. por lo cual-

ieq =ico +idv +(ico Nidv)=776?+77B??+(776?N77B??)=74665=46651,&

,l valor de la obli$acin el d%a que se contrae se calcula as%-

P =P!9 NTC7 = 07+777!9N4+377@!9 =60+777+777

Para calcular el valor de la obli$acin en pesos al final del a8o ? es necesariodeterminar el valor en dlares en ese mismo a8o por lo

tanto- A!9 =P!9 N(4+ico)n

=07+777!9N(4+776?)?

=06+>?6>6!9

&/ora el futuro en seria-

A=A!9NTC4=06+>?6>6!9N0+?0222@!9=$ ?B+B32+53343

,l futuro en tambin se podr%a determinar de las si$uientes dos formas-

4) $ =P , (1+i )

, (1+i )

=.., (1+ 6#%)%

, (1+ 6-%%)%

=&%-.-"4.*""61"& & 8

0) A =P N(4+ieq)n

=60+777+777 N(4+74665)?

=?B+B32+53343


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,l costo del crdito se podr%a calcular tambin de la manera-

4@n 4@? A

ieq =P -4=?B+B32+53360+777+77743 -4=74665=46651,&

'as diferencias que se puedan presentar en los diferentes mtodos obedecen a losdecimales por lo cual se recomienda trabajar con el ma*or n;mero de decimales o/acer uso del ,xcel con el fin de darle precisin a los valores calculados+

Ejempl 4.#

,n Colombia un par de apatos vale B?+777 * existe una inflacin del 451 * elcambio actual es de 4+?77@!9+ ,n ,stados !nidos se prev una inflacin promediode 251 anual+ &l final de un a8o


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A!9 =P!9 N(4+idi)n

=3666!9N(4+7725)4= 336>!9

Tambin el precio del art%culo en Colombia al final del a8o se puede determina de la

si$uiente manera- A =A!9 NTC

4. por lo cual es necesario determinar la tasa de

devaluacin por consi$uiente se procede as%-i -

idv = diinterna4+idiexternaidiexterna =7445+7725-

7725=74037=40371,&

,ntonces-

TC4=TC7 N(4+idv)n

=4+?77@!9 N(4+74037)4=4+355B6@!9 . por

consi$uiente

A =A!9 N TC4=336>!9N4+355B6@!9=440+477

Ejempl 4.#1

Dos inversionistas uno residente en el Lapn * otro residente en &lemania se asocianpara comprar una fbrica en Colombia por la suma de cuarenta * cinco mil millones depesos * cada uno participa con el 271 * el 371 respectivamente * esperan venderla alfinal de 2 meses por la suma de cuarenta * oc/o mil doscientos millones de pesos+ a)Calcular la rentabilidad anual total * la rentabilidad real anual de cada uno de lossocios+ b) Cunto tendr cada uno en su respectiva moneda al de los 2 meses=+ Ten$aen cuenta la si$uiente informacin- Inflacin en Lapn 6?1 en &lemania 061+ Tasade devaluacin del peso frente al dlar de 401 el dlar se reval;a frente al *en en un451 * el euro se deval;a frente al dlar en un 601+ 'as tasas de cambios actuales

son- 0477@!9 476? LPR@!9 * 7B>?S@!9+ Solucin-

Re0ie5e e el +p9

Inversin =P= 2?+777+777+777N727=45+777+777+777

etorno de lainversin=A=25+777+777+777N727=4B+077+777+777

4B+077+777+777 5+57>+0?53? !9 B4>+744+>>73 LPR


39/53

47

766 a8os 766 a8os 766

a8os

45+777+777+777 5+?>4+205?> !9 55>+420+5?3B LPR

TC7(@!9)=0+477@!9

TC1(&US&)=TC(&US&),1+i8(&US&)

=&2.1US&,(1+612)

6##

=&2.1*62US&

&/ora que se tienen las TC7(@!9) * TC4(@!9) se proceder a convertir los pesos adlares as%-

P =P

45+777+777+777 =5+?>4+205?>!9

=!9 TC7(@!9) 0+477@!9

A =A

=4B+077+777+777 =557>+0?53? !9

!9 TC4(@!9) 0+45770@!9

&/ora se deben pasar los dlares a *enes por lo cual es necesario determinar laTC4(LPR@!9) a partir de la TC7(LPR@!9)+

TC7(LPR@!9)=476? LPR@!9

Pero como el dlar se reval;a frente al *en es indispensable calcular la devaluacindel *en frente a dlar por lo tanto se tiene-

idv(LPR@!9)=4-irv

irv(!9@LPR

(!9@LPR))=4-

77457745 =77456=4561

,&


40/53

47

TC4(LPR@!9)=TC7 N4+idv(LPR@!9)

n=476?N(4+ 77456)

766

=47240LPR@!9

,ntonces-

P =P , TC (PYUS&) =*.%1.42*6%US& ,1#6% PYUS& = **.142.*% "6- PYPY US&

$ =$ ,TC (PYUS&) =*.*.2%*6"%US&,14612 PYUS& =-1.11.6"PYPY US& 1

&/ora teniendo los valores en *enes se procede a encontrar la rentabilidad total as%-4

4@n 4ieq=PALPR

-4=B4>+744+>>55>+420+5?733B 6-4=74722=47221,& LPR

'ue$o se procede al clculo de la rentabilidad real anual de la si$uiente manera-

ii =

eq-i

di=

74722-776?= 773>4=3>41 ,&

de 4+idi 4+776?

Re0ie5e e Alem+i+

Inversin =P= 2?+777+777+777N737=27+777+777+777

etorno de lainversin=A=25+777+777+777N737=28+577+777+777 05+577+777+777 46+047+55>B> !9 46+74?+63350 S

766 a8os 766 a8os 766

a8os

0>+777+777+777 40+5?>+4205? !9 40+?6?+>420> S


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47

TC7(@!9)=0+477@!9

TC1(&US&)=TC(&US&),1+i8(&US&)

=&2.1US&,(1+612)

6##

=&2.1*62US&

&/ora que se tienen las TC7(@!9) * TC4(@!9) se proceder a convertir los pesos adlares as%-

P = P

=0>+777+777+777 = 40+5?>+4205? !9 !9TC7(@!9) 0+477@!9

A = A

=05+577+777+777 = 46+047+55>B> !9 !9TC4(@!9) 0+45770@!9

&/ora se deben pasar los dlares a euros por lo cual es necesario determinar laTC4(S@!9) a partir de la TC7(S@!9)+

TC7(S@!9)=7B>? S@!9

Pero como el euro se deval;a frente al dlar la TC4 se puede calcular de la si$uienteforma-

TC4(S@!9)=TC7 N 4+idv(S@!9)

n=7B>?N(4+7760)

766=7B5?0S@!9

,ntonces-

P =P ,TC (FUS&) =12.*%.1426*% US& ,6-% FUS& =12.%#%.1462 FF US&

AS =A!9 NTC4(S@!9)=46+047+55>B>!9N7B5?0 S@!9=46+74?+63350S


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47

&/ora teniendo los valores en *enes se procede a encontrar la rentabilidad total as%-

4ieq =PAS 4@n

-4=40+?6?+>4246+74?+6330>50 64-4=744B0=44B01,& S

'ue$o se procede al clculo de la rentabilidad real anual de la si$uiente manera-

i

i = eq-idi = 744B0-7706 = 77B27=9,41 ,&

de 4+idi 4+7706

Inflacin

9obre la inflacin se /an elaborado definiciones desde las diversas perspectivas enque /a sido estudiada entre las cuales se pueden se8alar las si$uientes-a) ,s la disminucin del poder adquisitivo de compra de una unidad monetaria lo

cualse manifiesta cuando un individuo obtiene si$nificativamente menos bienes *servicios con la misma cantidad de dinero a travs del tiempo+

b) &umento $eneraliado del nivel de precios de bienes * servicios+ 'a ca%da en elvalor

de mercado o en el poder adquisitivo de una moneda en una econom%a particular+

c) Inflacin se define como el incremento continuo de los bienes * servicios a travsdeltiempo en un pa%s+

d) #ilton Ariedman de la escuela monetarista manifiesta que 'a inflacin seproducecuando la cantidad de dinero aumenta ms rpidamente que la de losbienes * servicios+

'a tasa de inflacin (ii)se define como la medida porcentual del incremento continuo

de los precios de los bienes * servicios en un pa%s o simplemente representa laprdida porcentual del poder adquisitivo del dinero+ 'a tasa de inflacin se calcula o sedetermina sobre un precio inmediatamente anterior por tal motivo opera como unatasa de inters compuesto lo que permite calcular el costo futuro de un art%culo n

mediante la formula- A =4+idi si el ;nico factor que incide en su aumento

es la

inflacin+ Por ejemplo si se parte de la base que la inflacin promedio anual es del0?1 para los tres a8os si$uientes un art%culo que cuesta /o* 4+777 dentro de tresa8os se adquirir por 4+777(4+0?)6: 4+B?646+ ,l valor calculado se conoce con el

nombre depesos corrientes o inflados+ & la operacin inversa que consiste en quitar


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47

el proceso inflacionario al cabo de los tres a8os se conoce con el nombre dedeflactacin es decir que los 4+B?646 puestos en el futuro pero medidos en pesosde /o* son

Fn

equivalentes a- P = A4+idi por lo cual 4+B?646(4E7+0?)

F6

: 4+777+ & este valorse le denomina como el valor art%culo al cabo de tres a8os medido en pesosconstantes o en pesos de hoy+

,s importante anotar que cuando un flujo de caja de una inversin se da en pesoscorrientes su evaluacin debe realiarse con una tasa que conten$a la inflacin tasaque se conoce con el nombre de inflada (i7). pero si el flujo de caja se expresa enpesos constantes la evaluacin se debe /acer con una tasa que no conten$a lainflacin * que se conoce con el nombre de tasa deflactada (ie)+Teniendo en cuenta que se presentan tres tasas- la tasa de inflacin (ii) la tasa inflada(i7) * la tasa deflactada (ie) es necesario establecer una relacin entre ellas+ 9i /o*se invierte un 4 a una tasa comercial o inflada (i7)anual al cabo del a8o se tendr (1 i7) pero si el dinero perdi poder adquisitivo durante el a8o entonces con los (1

i7 )que se tienen al final del a8o se adquirirn o compraran lo mismo que

4+

if

de /o* por lo tanto un 4 de /o* a una tasa deflactada (ie) anual tendr

4+ididentro de un a8o un poder adquisitivo de compra equivalente a ( 1 ie)pesos de

/o* por lo que se tiene que-

4+if i -

(4+ide) = 4+idi . por consi$uiente-ide = 4f +iididi(4.#*)

Ejempl 4.#2

!n inversionista desea obtener una rentabilidad real del 401 < & qu tasa debe invertirsuponiendo que la inflacin va a ser del 0?1+

Solucin;

i -

Para resolver el ejercicio se parte de la expresin ide = 4

f

+iidi

di


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47

Donde- ie: 401 * ii: 0?1 por lo tanto.

i -70?

740=f

. i = (740 N40?) +70?. i =727

4+70? f f

i =271 ,& f

Ejempl 4.##

!n art%culo es fabricado en ueva Ror * se vende en Carta$ena en >7+777 7+777 =6450 !9

!9 TC7(@!9) 0+077@!9

!na ve conocido el precio del art%culo /o* en ueva Ror se calcula el precio endlares al final del a8o as%-

A!9 =P!9 N(4+idi)n

=6450 !9N(4+776?)4=60B6 !9

Para encontrar el valor del art%culo al final del a8o4 en Carta$ena debe calcularse laTC4(@!9)-

TC4(@!9)=TC7(@!9)N(4+707)n = 0+077@!9N(4+707)4=0+327@!9

Por consi$uiente el precio del articulo al final del a8o 4 en Carta$ena ser-

A =A!9 N TC4 =60B6 !9N0+327@!9 = 53+B6?0

Ejempl 4.#4


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47

!n art%culo es fabricado en Colombia * cuesta 5?+777 cuando el cambio es de 0+?77@!9+ 9uponiendo que el IPP (Undice de precio al productor) de este sector enColombia es del 071 * que el peso se deval;a frente al dlar en un 401 /allar elprecio del mismo art%culo en Colombia * en ,,+!! al final de un a8o+

Solucin:

,l precio /o* del art%culo en ,,+!! se determina as%-

P =P

= 85+777 =34 !9!9 TC7(@!9) 0+?77@!9

Para encontrar el valor del art%culo al final del a8o4 en Colombia se procede as%-

A =P N(4+IPP)n

=5?+777N(4+707)4=470+777

Para determinar el precio del art%culo en ,,+!! se debe calcular la TC4(@!9) as%-

TC4(@!9)=TC7(@!9)N(4+740)n = 0+?77@!9N(4+740)4=0+577@!9

!na ve conocido el precio del art%culo al final del a8o 4 en Colombia se calcula elprecio en dlares al final del a8o as%-

A =A = 470+777 =6326 !9

!9 TC4(@!9) 0+577@!9

Unidad de Valor Real (UVR)

,l art%culo 6V de la 'e* ?23 de 4BBB cre la unidad de valor real (UVR) como unaunidad de cuenta que refleja el poder adquisitivo de la moneda con baseexclusivamente en la variacin del %ndice de precios al consumidor certificada por elD&, cu*o valor se calcula de conformidad con la metodolo$%a adoptada por elWobierno acional mediante Decreto 0>76 del 67 de diciembre de 4BBB+

Para el clculo de la !" se tiene en cuenta la variacin mensual del %ndice deprecios al consumidor (IPC) certificada por el D&, para el mes calendario

inmediatamente anterior al mes del inicio del per%odo calculado+


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47

,sta metodolo$%a si$nifica que durante los meses en los cuales estacionalmente esalta la inflacin la !" tendr un reajuste ma*or al que se presenta en meses de bajainflacin+

,l IPC es el %ndice en que se cotejan los precios de un conjunto de productos (canasta

familiar) determinado en base a la encuesta continua de presupuestos familiares(conocida con el nombre de ,ncuesta de $astos de los /o$ares) que una cantidad deconsumidores adquieren de manera re$ular * la variacin con respecto del precio decada uno respecto de una muestra anterior+ De esta manera se pretende medirmensualmente la evolucin del nivel de precios de bienes * servicios de consumo enun pa%s+

Metodologa para el clculo de la UVR

9e debe entender como periodo de clculo se$;n el decreto 0>76 de diciembre 67 de4BBB el periodo comprendido entre el d%a 43 inclusive de un mes /asta el d%a 4?inclusive del mes si$uiente+

,l D&, publica en los cinco d%as del mes si$uiente (fondo naranja del calendario) lavariacin del IPC del mes inmediatamente anterior es decir el incremento mensual delIPC del mes diciembre del a8o 0775 (7221) tuvo que conocerse a ms tardar el ? deenero de 077B por esta ran cuando se va a calcular la !" para un mesdeterminado se tiene que utiliar la variacin mensual del IPC del mes inmediatamenteanterior *a que la del mes si$uiente es desconocida+

,l Hanco de la ep;blica calcula * publica el nuevo valor de la !" para el tiempo

transcurrido entre el 43 de enero * el 4? de febrero de 077B (fondo aul oscuro delcalendario)+

,,M D, 077B

D ' # # L " 94 0 6

2 ? 3 > 5 B 4744 40 46 42 4? 43 4>45 4B 07 04 00 06 02

0? 0? 0> 05 0B 67 64

A,H,M D, 077B

D ' # # L " 94 0 6 2 ? 3 >5 B 47 44 40 46 424? 43 4> 45 4B 07 0400 06 02 0? 03 0> 05

9e establece un plao prudencial para que el sistema financiero reciba * actualice susbases de datos con los nuevos valores de la !" que se calcularon en el mes vi$ente(fondo verde oliva en el calendario)+ Dic/o plao debe contemplar un posible atraso enla publicacin del IPC por tal ran la metodolo$%a de clculo del !" indica que susnuevos valores deben aplicar del d%a 43 del mes vi$ente /asta el d%a 4? del si$uientemes (fondo amarillo en el calendario)+

,l fondo rojo establecido en el calendario para el d%a 4? de enero indica que el valor dela !" para ese d%a *a fue calculado en el per%odo anterior+


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47

Debido a que el sector financiero realia desembolsos de crditos /ipotecarios paravivienda * a la ve recibe pa$os por el mismo concepto la !" debe tener valoresdiarios+

'a frmula para el clculo de la !" es-

!"t =!"4?(4+IPC)t@d

(4.#-)

!"t: "alor en moneda le$al colombiana de la !" el d%a t del per%odo de clculo+

!"4? : "alor en moneda le$al colombiana de la !" el d%a 4? de cada mes (;ltimod%a del per%odo de clculo anterior)+

IPC : "ariacin mensual del IPC durante el mes calendario inmediatamente anterior al

mes del inicio del periodo de clculo+

t : ;mero de d%as calendario transcurridos desde el inicio de un per%odo de clculo/asta el d%a de clculo de la !"+ Por lo tanto t tendr valores entre 4 * 64 de acuerdocon el n;mero de d%as calendario del respectivo per%odo de clculo+

d : ;mero de d%as calendario del respectivo per%odo de clculo * tendr valores entre05 * 64+

,s importante anotar que la metodolo$%a aplicada por el Hanco de la ep;blica

requiere para el clculo de la !" cuatro decimales+Ejempl 4.#%

Calcular la !" el d%a 64 de enero de 077B

Solucin-

!"t =!"4?(4+IPC)t@d

9e calcula el n;mero de d%as calendario () entre el d%a 43 (inclusive) del mes vi$ente

(enero) /asta el d%a 4? (inclusive) del si$uiente mes (febrero)+ Para el ejemplo eln;mero de d%as calendario es i$ual a 64+

9e determina el n;mero de d%as (5) que transcurren entre el 43 (inclusive) * el 64 deenero (inclusive) para el caso del ejemplo son 43 d%as+

!"t =!"4?(4+IPC)t@d

,l valor de la !" el d%a 4? de enero de 077B fue de 454B63>


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47

!"t =454B63> N(4+77722)43@64

=45062B2

4. 12 APLICACIONES DE ECUACIONES DE VALOR CON INTERES COMPUESTO

Ejempl 4.#"

!na institucin financiera otor$a un prstamo a una empresa con la obli$acin depa$ar 467+777 dentro de 0 meses 027+777 dentro de ? meses * 607+777 en 40+&nte la imposibilidad de pa$ar la institucin financiera le refinancia la deuda as%- 57+777 en 6 meses 6?7+777 en 47 meses * el resto en 43 meses+ 9uponiendo que lecobra el 01 mensual determinar el valor del saldo+

Solucin:

4) Para la solucin del ejercicio es ms conveniente realiar dosdia$ramaseconmicos con el primero se encontrar el valor de la deuda de la

obli$acin ori$inal /o*+ Con el se$undo * a partir de la deuda calculada

anteriormente se determinar el valor del saldo+ P : deuda

i : 01 mensual 7 0 ? 40 meses

467+777 027+777 607+777ff0) ,stablecer la fec/a focal (77) en el periodo cero si$nifica que todos los flujos de caja

/a* que ubicarlos en ese periodo por lo tanto como se encuentran a la derec/a de77se utiliar la frmula para encontrar el valor presente+ es decir P ! $(1 i) .Como la deuda esta ubicada en la fec/a focal no se modifica por lo cual se dejacomo est+

6) 9e enuncia el principio que se utiliara para la solucin del ejercicio que estecasoser -

Deudas : Pa$os (en la ff7)

P : 467+777(4E7+70)F0E 027+777(4E7+70)F?E 607+777(4E7+70)F40

P : ?B2+32? 4? . 'a deuda es i$ual a ?B2+32? 4?

2) !na ve encontrado el valor de la deuda /o* se procede a la realiacin deundia$rama que conten$a el proceso de refinanciacin para encontrar el valor delsaldo+

P : deuda : ?B2+32?4?


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47

i : 01 mensual

7 6 47 43 meses

57+777 6?7+777 K

ff

?) ,stablecer la fec/a focal (77) en el periodo 43 si$nifica que todos los flujos de caja/a* que ubicarlos en ese periodo por lo tanto como se encuentran a la iquierdade 77se utiliar la frmula para encontrar el valor futuro es decir $ ! P(1 i) .Como el saldo esta ubicado en la fec/a focal no se modifica por lo cual se dejacomo est+

3) 9e enuncia el principio que se utiliar para la solucin del ejercicio que este casoser -


?B2+32?4?(4E7+70)43: 57+777(4E7+70)46 E 6?7+777(4E7+70)3E K

K : ?B2+32?4?(4E7+70)43F 57+777(4E7+70)46F 6?7+777(4E7+70)3

K : 645+3>2B5 . @+ ,l valor del pa$o es 645+3>2B5Ejempl 4.#

!na persona contrae tres obli$aciones as%- 077+777 con vencimiento en 3 meses eintereses del 671 C9. 4?7+777 con vencimiento en 43 meses e intereses del 051CT. 007+777 con vencimiento en 07 meses e intereses del 631 C#. * van acancelarse de la si$uiente manera- 677+777 el d%a de /o* * K en 42 meses+ & unatasa de rendimiento del 021 C#


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47

077+777

i : 4?1 9 7+706?3 # 3 meses

4 semestre

$ ! 2#.

!sando i : 4?1 9 se tiene que- A : 077+777(4E7+4?)4: 067+777

!sando i : 7+706?3 # se tiene que- A : 077+777(4E7+706?3)3: 067+777

'os 067+777 si$nifican la suma que la persona deb%a pa$ar si /ubiera cumplido con laobli$acin contra%da+ ,ste valor es el que va en el dia$rama que muestra la

refinanciacin para encontrar el valor de K

6) #onto para la deuda de 4?7+777 a un r : 051 CT+ Por lo tanto /a* queencontrarel valor de i que puede ser de tipo trimestral o mensual+

a) i : r@m : 7+05@2 : >1 ,fectivo Trimestral

b) & partir de la formula- i ! (1 ie)1m1 se puede /allar el inters mensual

i : (4E7+7>)4@6G4 : 7+70057B mensual

4?7+777

i : >1 T 7+70057B # 43 meses

(43@6) Trimestre

$ ! & 21%.1*164

!sando i : >1 T se tiene que - A : 4?7+777(4E7+7>)43@6: 04?+45427

!sando i : 7+70057B # se tiene que- A : 4?7+777(4E7+70057B)43: 04?+45427

'os 04?+45427 si$nifica la suma que la persona deb%a pa$ar si /ubiera cumplido conla obli$acin contra%da * es el valor que va en el dia$rama que muestra larefinanciacin para encontrar el valor de K+

2) #onto para la deuda de 007+777 a un r : 631 C#+ Por lo tanto /a* que

encontrarel valor de i en forma mensual i : r@m : 7+63@40 : 61 ,fectivo mensual


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* 37#344&47

* 230#000 * 21%#1$1&40

0 ' 14 1' 20 ,ss

* 300#000 * "

47

007+777

i : 61 # 0 7 meses

$ ! & #-.#4464

!sando i : 61 # se tiene que- A : 007+777(4E7+76)07: 6B>+6222>

'os 6B>+6222> si$nifican la suma que la persona deb%a pa$ar si /ubiera cumplidocon la obli$acin contra%da * es el valor que va en el dia$rama que muestra larefinanciacin para encontrar el valor de K+

?) !na ve encontrados los montos o valores que la persona deb%a pa$ar si

cumpl%acon la obli$acin financiera se procede a la realiacin del dia$ramaeconmico que representa la refinanciacin en el cual se colocan los montos odeudas calculados * los nuevos pa$os a la tasa r : 021 C# por lo tanto i mensualser -

i : r@m : 7+02@40 : 01 mensual

77

3) ,stablecer la fec/a focal (77) en el periodo 14si$nifica que todos los flujos de caja

/a* que ubicarlos en ese periodo por lo tanto los que se encuentren a la iquierdade 77se utiliar la frmula para encontrar el valor futuro es decir $ ! P(1 i) mientras. que para los que se encuentren a la derec/a de la 77 se usar la frmulaP ! $(1i)' para encontrar el valor presente+ Como el valor de K esta ubicado enla fec/a focal no se modifica por lo cual se deja como est+

>) 9e enuncia el principio que se utiliar para la solucin del ejercicio que este casoser -



52/53

* 100#000* 70#000

* 3%#000

0 % . 12 1$ ,ss

f * 20%#000

47

067+777(4E7+70)5E 04?+45427(4E7+70)F0E 6B>+6222>(4E7+70)F3: 677+777(4E7+70)42E K

K: 067+777(4E7+70)5E 04?+45427(4E7+70)F0E6B>+6222>(4E7+70)F3F 677+777(4E7+70)42

K : 266+0B2+4B . ,l valor de K es i$ual a 266+0B24B

Ejempl 4.#*

!na persona debe cancelar 6?+777 con vencimiento en ? meses. >7+777 a 40meses * 477+777 con vencimiento en un a8o * medio+ 9i /ace un pa$o ;nico de 07?+777 /allar la fec/a en que debe /acerse suponiendo un inters del 021 C#+

Solucin:

i : r@m : 7+02@40 : 01 mensual

,l principio que se utiliar para la solucin del ejercicio que este caso ser-


6?+777(4E7+70)F?E >7+777(4E7+70)F40E 477+777(4E7+70)F45: 07?+777(4E7+70)Fn

4?3+B4472 : 07?+777(4+70)Fn . de donde (4+70)Fn: 4?3+B4472@07?+777

Fnln(4+70) : ln(7+>3?24B) entonces Fn : de donde Gn : F46?meses . n : 46? meses

&/ora se resolver el ejercicio estableciendo la fec/a focal en 45

477+777 >7+777

6?+777

7 ? n 40 45 meses

07?+777


53/53

77

,l principio que se utiliar para la solucin del ejercicio que este caso ser-


6?+777(4E7+70)46E >7+777(4E7+70)3E 477+777 : 07?+777(4E7+70)45Fn

002+47>37 : 07?+777(4+70)45Fn . de donde (4+70)45Fn: 002+47>37@07?+777 . entonces

(4+70)45Fn: 47B607> . (45 F n)ln(4+70) : ln(47B607>) . (45 G n) :

Donde- n : 45 F : 45 G 2+? : 46+? meses . n: 46+? meses

9e conclu*e que independientemente de la fec/a focal que se estableca el resultadosiempre ser el mismo+

40)

tasas de interes y equivalencia entre tasas (2)

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