1 tasas de interes nominal efectivo

c a p t u l o

Tasas de inters nominales y efectivasy capitalizacin continua

Este captulo ensea al lector a hacer clculos de ingeniera econmicautilizando periodos y frecuencias de capitalizacin diferentes a 1 ao. Elmaterial de este captulo le ayuda a manejar asuntos financieros personalesque, con frecuencia, comprenden periodos de tiempo mensuales, diarios ocontinuos.

fespindola

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

Propsito: Entender Ia forma de hacer ctlculos econmicos para

intereses y periodos de pago diferentes a un ao. ?i~ -_ ,j _ Y>;l_-j_>-~a

86 CAPTUlO 3 l Ingeniera econmica

3.1 TASAS NOMINALES Y EFECTIVAS

En el captulo 1 se introdujeron los conceptos de tasas de inters simple y compuesto. Lasdiferencias bsicas entre las dos es que el inters compuesto incluye el inters sobre elinters ganado durante el periodo anterior mientras que el inters simple no lo hace. Enesencia, las tasas de inters nominales y efectivas tienen la misma relacin que entre sguardan el inters simple y el compuesto. La diferencia es que las tasas de inters efectivasse utilizan cuando el periodo de capitalizacin (o periodo de inters) es menor de un ao.Por tanto, cuando una tasa de inters se expresa en periodos de tiempo menores a un ao,por ejemplo el 1% mensual, deben considerarse los trminos de las tasas de inters nominalesy efectivas.

El diccionario define la palabra nominal como pretendida, llamada, ostensible oprofesada. Estos sinnimos implican que una tasa de inters nominal no es una tasa correcta,real, genuina o efectiva. Como se analiza ms adelante, las tasas de inters nominales debenconvertirse en tasas efectivas con el fin de reflejar, en forma precisa, consideraciones delvalor del tiempo. Antes de analizar las tasas efectivas, sin embargo, es preciso definir la tasade inters nominal, r, como la tasa de inters del periodo por el nmero de periodos. Enforma de ecuacin,

r = tasa de inters del periodo X nmero de periodos

Puede encontrarse una tasa de inters nominal para cualquier periodo de tiempo mayor queel periodo originalmente establecido. Por ejemplo, una tasa de inters de un periodo queaparece como 1.5% mensual tambin puede expresarse como un 4.5% nominal por trimestre(es decir, 1.5% mensual X 3 meses); 9.0% por periodo semestral, 18% anual o 36% por 2aos, etc. La tasa de inters nominal obviamente ignora el valor del dinero en el tiempo y lafrecuencia con la cual se capitaliza el inters. Cuando se considera el valor del dinero en eltiempo al calcular las tasas de inters a partir de las tasas de inters del periodo, la tasa sedenomina tasa de inters efectiva. De igual manera que fue vlido para las tasas de intersnominales, las tasas efectivas pueden determinarse para cualquier periodo de tiempo mayorque el periodo establecido originalmente como se muestra en las prximas dos secciones deeste captulo. Es importante reconocer que todas las frmulas derivadas en el captulo 2estuvieron basadas en inters compuesto y, por consiguiente, en las ecuaciones slo puedenser utilizadas las tasas de inters efectivas.

Para que el anlisis de las tasas de inters nominales y efectivas sea completo, es precisohacer un comentario sobre las diversas formas en las cuales pueden expresarse las tasas deinters. Tres formas generales existen para expresar las tasas de inters como lo indican lostres grupos de expresiones en la tabla 3.1, los cuales muestran en la parte superior de la tablaque es posible determinar una tasa de inters sobre algn periodo de tiempo designado sinespecificar el periodo de capitalizacin. Se supone que esas tasas de inters son tasas efectivasy que el periodo de capitalizacin (PC) es el mismo que la tasa de inters especificada.

Para las expresiones de inters presentadas en la mitad de la tabla 3.1, prevalecen trescondiciones: (1) se identifica el periodo de capitalizacin, (2) este periodo de capitalizacin

Tasas de inters nominales y efectivas y capitalizacin continua 87

(1)Tasas de inters

i = 12% anuali = 1% mensuali = 3/2% trimestral

(21Interpretacin

i = 12% efectivo anual,compuesto anualmente

i = 1% efectivo mensual,compuesto mensualmente

i = 31/2% efectivo trimestral,compuesto trimestralmente

f3)Comentario

Cuando no se especifica unperiodo de capitalizacin, latasa de inters es una tasa efec-tiva, suponiendo que el periodode capitalizacin es igual alperiodo de tiempo especifi-eado.

i = 8% anual, compuestomensualmente

i = 4% trimestral, compuestomensualmente

i = 14% anual. comouesto

i = 8% nominal anual,compuesto mensualmente

= 4% nominal trimestral,compuesto mensualmente

i= 14% nominal anual.

compuesto mensualmente

I

semestralmente

i = 10% efectivo anual,

i = 6% efectivo trimestrali = 1% efectivo mensual,

compuesto diariamente

compuesto semestralmente

i = 10% efectivo anual,

i = 6% efectivo trimestral,compuesto trimestralmente

i = 1% efectivo mensual,compuesto diariamente

Cuando se especifica el periodode capitaliz;si la tasa de0 efectiva,es nominal.+,1;,,ni&.

acin sin determinar: inters es nominalse supone que staEl periodo de capi-

compuesto mensualmente

LaAILlaL,lvu 2s como el expre-sado.

Si la tasa de inteks se expresacomo una tasa efectiva, enton-ces es una tasa efectiva. Si elperioda de capitalizacin noest dado, se supone que esteperiodo de capitalzacn coin-cide con el periodo establecido.

\

es ms corto que el periodo de tiempo en el cual est expresado el inters, y (3) no sedesigna la tasa de inters como nominal o efectiva. En estos casos, se supone que la tasa deinters es nominal y que el periodo de capitalizacin es igual al expresado. (En la siguienteseccin se mostrar la forma de obtener tasas de inters efectivas a partir de stas).

Para el tercer grupo de expresiones de tasa de inters en la tabla 3.1, la palabra efectivosigue a la tasa de inters especificada y tambin se da el periodo de capitalizacin.Obviamente, estas tasas de inters son tasas efectivas durante los periodos de tiempoestablecidos. De igual manera, los periodos de capitalizacin corresponden a los establecidos.En forma similar, si la palabra nominal hubiera precedido a cualquiera de las expresiones deinters, la tasa de inters sera una tasa nominal.

Para que el lector comprenda el resto del material de este captulo, y ciertamente el restodel libro, no se exagera la importancia que tienen el reconocer si una tasa de inters dada esnominal o efectiva. La tabla 3.2 contiene un listado de diversas expresiones de inters(columna 1) junto con sus interpretaciones (columnas 2 y 3).

88 CAPTULO 3 l Ingeniera econmica

Ahora que se ha introducido el concepto de tasa de inters nominal y efectiva, ademsde considerar el periodo de capitalizacin (que tambin se conoce como periodo de inters),ser necesario tambin. tener en cuenta la frecuencia de los pagos o ingresos dentro delintervalo de tiempo del flujo de efectivo. Por simplicidad, la frecuencia de los pagos oingresos se conoce como el periodo de pago (PP). Es importante distinguir entre el periodode capitalizacin y el periodo de pago porque en muchos casos los dos no coinciden. Porejemplo, si una compaa deposit dinero mensualmente en una cuenta que paga una tasade inters nominal del 14% anual compuesto semestralmente, el periodo de pago sera 1mes mientras que el periodo de capitalizacin sera 6 meses, como se muestra en la figura3.1. En forma similar, si una persona deposita dinero cada ao en una cuenta de ahorros quecapitaliza el inters trimestralmente, el periodo de pago es de 1 ao, mientras que el periodode capitalizacin es de 3 meses. En lo sucesivo, para resolver los problemas que involucrenbien sea series uniformes o cantidades de flujos de efectivo de gradiente uniforme, el primerpaso ser determinar la relacin entre el periodo de capitalizacin y el periodo de pago(seccin 3.5).

Problemas 3.1 y 3.2


i = 14% nominal anual, compuesto semestralmente

PC PC6 meses 6 meses

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9l

Io l1 l2 Meses

-IPP I-l mes

Figura 3.1 Diagrama de fluio de efectivo para un periodo de pago(PP) mensual y un periodo de capitalizacin semestral (PC).

3.2 FORMULACIN DE LA TASA DE INTERS EFECTIVA

Para ilustrar la diferencia entre tasas de inters nominales y efectivas, se determina el valor ,futuro de $100 dentro de 1 ao utilizando ambas tasas. Si un banco paga el 12% de interscompuesto anualmente, el valor futuro de $100 utilizando una tasa de inters del 12% anuales:

.F=P(l +i)= 1oo(1.12)1 = $112.00 L3.11

Por otra parte, si el banco paga un inters que es compuesto semestralmente, el valor futurodebe incluir el inters sobre el inters ganado durante el primer periodo. Una tasa de intersdel 1295 anual compuesto semestralmente significa que el banco pagar 6% de inters despusde 6 meses--y otro 6-h &spu& de -12 .m-s.(e~rfcl~;-~daI6..meses). La figura 3.2 es el.-- --..diagrama de flujo de efectivo para capitalizacin semestral para una tasa de inters nominaldel 12% anual compuesto semestralmente. Obviamente, el clculo en la ecuacin [3. l] ignorael inters obtenido durante el primer periodo. Considerando el periodo 1 de inters compuesto,los valores futuros de $100 despus de 6 meses y despus de 12 meses son:

i nominal = 12% anuali efectivo = 6% por periodo semestral F=?

0 112 1 AoI

0 1 2 Periodo de

1 intersP = $100

Figura 3.2 Diagrama de fluio de efectivo para periodos de capitalizacin semestral.


Fe = lOO(1 + 0.06) = $106.00

F,2 = 106(1 + 0.06) = $112.36 L3.21

donde 6% es la tasa de inters efectiva semestral. En este caso, el inters ganado en 1 ao es$12.36 en lugar de $12.00. Por consiguiente, la tasa de inters efectiva anual es 12.36%. Laecuacin para determinar la tasa de inters efectiva a partir de la tasa de inters nominalpuede generalizarse de la siguiente manera:

( 1

m

i= 1t.r -1

m L3.31

donde i = tasa de inters efectiva por periodo:

r = tasa de inters nominal por periodo

m = nmero de periodos de capitalizacin

Se hace referencia a la ecuacin [3.3] como la ecuacin de tasa de inters efectiva. A medidaque el nmero de periodos de capitalizacin aumenta, m se acerca a infinito, en cuyo caso laecuacin representa la tasa de inters para capitalizacin continua. En la seccin 3.4 sepresenta un anlisis detallado de este tema.

3.3 CLCULO DE LAS TASAS DE INTERS EFECTIVAS

Las tasas de inters efectivas pueden calcularse para cualquier periodo de tiempo mayorque el periodo de capitalizacin real, a travs del uso de la ecuacin [3.3]. Es decir, una tasade inters efectiva del 1% mensual, por ejemplo, puede convertirse en tasas efectivastrimestrales, semestrales, por periodos de 1 ao, 2 aos, o por cualquier periodo ms largoque 1 mes (el periodo de capitalizacin). Es importante recordar que en la ecuacin [3.3] lasunidades de tiempo en i y r siempre deben ser las mismas. Por tanto, si se desea una tasa deinters efectiva, i, por periodo semestral, entonces r debe ser la tasa nominal por periodosemestral. La m en la ecuacin [3.3] siempre es igual al nmero de veces que el intersestara compuesto durante el periodo de tiempo sobre el cual se busca i. El siguiente ejemploilustra estas relaciones.

Ejemplo 3.1Una tarjeta de crdito nacional tiene una tasa de inters del 2% mensual sobre el saldo no pagado.(a) Calcule la tasa efectiva por perodo semestral. (b) Si la tasa de inters se expresa como 5% portrimestre, encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y anuales.

Tasas de inters nominales y efectivas y capitalizacin continua 9 1

Solucin(a) En esta parte del ejemplo, el periodo de capitalizacin es mensual. Dado que se desea obtener la

tasa de inters efectiva por periodo semestral, la r en la ecuacin [3.3] debe ser la tasa nominal por6 meses, 0

I = 2% mensual X 6 meses por periodo semestralr = 2% mensual X 6 meses por periodo semestral= 12% por periodo semestral= 12% por periodo semestral

La m en la ecuacin 13.31 es igual a 6, puesto que el inters estara compuesto 6 veces en un periodoLa m en la ecuacin 13.31 es igual a 6, puesto que el inters estara compuesto 6 veces en un periodode 6 meses. Por tanto, la tasa efectiva semestral es:de 6 meses. Por tanto, la tasa efectiva semestral es:

i por cada seis meses =i por cada seis meses = - 1- 1

= 0.1262= 0.1262 (12.62%)(12.62%)

(b) Para una tasa de inters del 5% por trimestre, el periodo de capitalizacin es trimestral. Por(b) Para una tasa de inters del 5% por trimestre, el periodo de capitalizacin es trimestral. Porconsiguiente, en un periodo semestral, m = 2 y r = 10%. En consecuencia,consiguiente, en un periodo semestral, m = 2 y r = 10%. En consecuencia,

i por cada seis meses =i por cada seis meses = - 1- 1

= 0.1025= 0.1025 (10.25%)(10.25%)

La tasa de inters efectiva anual puede determinarse utilizando r = 20% y m = 4, de la siguienteLa tasa de inters efectiva anual puede determinarse utilizando r = 20% y m = 4, de la siguientemanera:manera:

iporcadaao=iporcadaao= - 1- 1

= 0.2155= 0.2155 (21.55%)(21.55%)

ComentarioComentarioObserve que el trmino r/m en la ecuacin [3.3] siempre es igual a la tasa de inters (efectiva) porObserve que el trmino r/m en la ecuacin [3.3] siempre es igual a la tasa de inters (efectiva) porperiodo de capitalizacin. En la parte (u) ste fue 2% mensual, mientras que en la parte (b) ste fue deperiodo de capitalizacin. En la parte (u) ste fue 2% mensual, mientras que en la parte (b) ste fue de5% trimestral.5% trimestral.

La tabla 3.3 presenta la tasa de inters efectiva i para diversas tasas de inters nominal Yque utilizan la ecuacin [3.3] y periodos de capitalizacin de 6 meses, 3 meses, 1 mes, 1semana y 1 da. La columna de capitalizacin continua se analiza en la siguiente seccin.Observe que a medida que la tasa de inters aumenta, el efecto de una capitalizacin msfrecuente se hace ms pronunciado. Cuando se utiliza la ecuacin [3.3] para encontrar unatasa de inters efectiva, la respuesta general es una tasa de inters que no es un nmeroentero, como se ilustra en el ejemplo 3.1 y en la tabla 3.3. Cuando esto sucede, los valoresde factor deseados deben obtenerse, bien sea a travs de interpolacin en las tablas de interso mediante el uso directo de las ecuaciones desarrolladas en el captulo 2. El ejemplo 3.2muestra estos clculos.

92 CAPiTULO 3 . Ingeniera econmica

Tasa Semestralmente Trimestralmente Mensuatmente Semanalmente Diariamente Cdmmmentenominal, f % (m=2) (m=4) (In = 12) (m = 52) (mr36q (m=m;ey-1)

0.25 0.250 0.250 0.250 0.250 0.250 0.2500.50 0.501 0,501 0.501 0.501 0.501 0.5010.75 0.751 0.752 0.753 0.753 0.753 0.7531.00 1.003 1.004. 1 DO5 1 .oOs 1 .Oo5 1.0051.50 1.506 1.508 1.510 1.511 1.511 1.5132 2.010 2.015 2.01% 2.020 2.020 2.0203 3.023 3.034 3.042 3.044 3.045 3.0464 4.045 4.060 4.074 4.079 4.081 4.0815 5.063 5.095 5.116 5.124 5.126 5.1276 6.090 6.136 6.168 6.180 6.180 6.1847 7.123 7.186 7.229 7,246 7.247 7.2518 8.160 8.243 8.300 8.322 8.32% 8.3299 9.203 9.308 9.381 9.409 9.4t7 9.417

10 10.250 10.381 10.471 10.506 10.516 10.517ll 11.303 11.462 ll 572 11.614 ll.623 ll.62812 12.360 12.551 12.683 12.734 12.745 12.75013 13.423 13.648 13.803 13.864 13.878 13.88314 14.490 14.752 14.934 \ 15.006 15,022 15.Q2715 15.563 15.865 16.076 16.158 14.177 16.18316 16.640 16.986 17.227 17.322 17.345 17.35117 17.723 18.115 18.389 18.497 18.524 18.53018 18.810 19.252 19.562 19.684 19.714 19.72219 19.903 20.397 20.745 20.883 20.911 20.92520 21.000 22.551 21.939 22.093 22.132 22.14021 22.103 22.712 23.144 23.315 23.35% 23.36822 23.210 23.883 24.359 ,24.549 24.598 24.60823 24.323 25.061 25.586 25.796 25.849 25.%6024 25.440 26.24% 26.824 27.054 27.113 27.12525 26.563 27.443 28.073 28.325 28.390 28.40326 27.690 28.646 29.333 29.609 29.680 29.69327 28.823 29.859 30.605 30.905 30.982 30,9962% 29.960 3 1.079 31.888 32.213 32.298 32.31329 31.103 32.309 33.183 33.535 33.626 33,64330 32.250 33.547 34.489 34.869 34.968 34.98631 33.403 34.794 35.807 36.217 36.327 36.34332 34.560 36.049 37.137 37.578 37.693 37.71333 35.723 37.313 38.478 38.952 39.076 39.09734 36.890 38.586 39.832 40.339 40,472 40.49535 38.063 39,868 41.198 41.740 41.883 41.90740 44.ooo 46.410 48.213 48.954 49.150 49.18245 50.063 53.179 55.545 56.528 56.78% 56.83150 56.250 60.181 63.209 64.479 64.816 64.872

Tasas de inters nominales y efectivas y capitalizacin continua

Eiemdo 3.2. .El fondo cooperativo de credito de una universidad ha divulgado que su tasa de inters sobre losprstamos es del 1% mensual. Calcule la tasa de inters efectiva anual y utilice las tablas de factor deinters para encontrar el factor P/F correspondiente para n = 8 anos.

Puesto que se desea una tasa de inters anual, r anual = (0.01)(12) = 0.12 y m = 12. Sustituya r/m =0.1202 = 0.01 y 171 = 12 en la ecuacin [3.3].

i = (1 +0.01)2- 1= 1.1268-1= 0.1268 (12.68%)

Con el fin de encontrar el factor P/F para i = 12.68% y n = 8, es necesario interpolar entre i = 12% e = 14% utilizando las tablas de factor de inters.

b @Lc 12% 0.4039 c12.68% P/F 1 d14% 0.3506c = -y- (0.0533) = 0.0181

(P/F, 12.6X%, 8) = 0.4039 - 0.0181 = 0.3858

Una forma ms fcil y ms precisa de encontrar el valor del factor es sustituir i = 12.68% y rz = 8 en larelacin de factor P/F en la ecuacin [2.3].

(P/F 12.68%, 8) = = 0.3858(1 + 0.1268)*

Ejemplo adicional 3.6Problemas 3.3 a 3.16

3.4 TASAS DE INTERS EFECTIVAS PARA CAPITALIZACINCONTINUA

A medida que el periodo de capitalizacin disminuye, el valor de m, nmero de periodos decapitalizacin por periodo de inters, aumenta. Cuando el inters se capitaliza en formacontinua, m se acerca a infinito y la frmula de tasa de inters efectiva en la ecuacin [3.3]puede escribirse de una nueva forma. Primero recuerde la definicin de la base del logaritmonatural.

h

= e = 2.71828+ i3.41

94 CAFiTIIlO 3 l Ingeniera econmica

A medida que m se acerca a infinito, el lmite de la ecuacin [3.3] se encuentra utilizandor/m = llh, lo que hace m = hl:

( 1

m

lim i = lim 1 + L - 1m+z ,-wr m

L3.51

i = d -.l

La ecuacin [3.5] se utiliza para calcular la tusa de inters efectiva continua. Al igual que enla ecuacin [3.3], los periodos de tiempo en i y en r deben ser los mismos. Como ilustracin,para una tasa nominal anual del 15% anual (r = 15% anual), la tasa efectiva continua anuales:

i = e.15 - 1 = 0.16183 (16.183%)

Por conveniencia, la tabla 3.3 incluye la tasa continua para muchas tasas nominales calculadamediante la ecuacin [3.5].

() Para ima tasa de inters del 18% anual compuesto en fo; rma continua, calcule la tasa de inter&efecti va anual Y mensual.

(b) Si un inversioksta exige un retorno efectivo de por lo menos eI 15% sobre su dinero, jcuill es latasa mnima anual nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacin continua?

SghAn_------

ta.#j La tasa de inters mensual, r, es 18/12 = lfh% = 0,015 me nsual. De acuerdo con la eeuaci


Por consiguiente, una tasa del 13.976% anual compuesto en forma continua generar una tasa deretorno efectiva anual del 15%.

ComentarioLa frmula general para encontrar la tasa nominal cuando est dada la tasa efectiva continua i es r =In (1 + i)

Ejemplos adicionales 3.7 y 3.8Problemas 3.17 a 3.25

3.5 CLCULOS PARA PERIODOS DE PAGO IGUALES0 MAYORES QUE LOS PERIODOS DE CAPITALIZACIN

Cuando el periodo de capitalizacin de una inversin o prstamo no coincide con el periodode pago, se hace necesario manipular la tasa de inters y/o el pago con el fin de determinarla cantidad correcta de dinero acumulado o pagado en diversos momentos. Recuerde que siel pago y los periodos de capitalizacin no coinciden no es posible utilizar las tablas deinters hasta hacer las correcciones apropiadas. En esta seccin, se considera la situacin enla cual el periodo de pago (por ejemplo, un ao) es igual o mayor que el periodo decapitalizacin (por ejemplo, un mes). Dos condiciones pueden ocurrir:

1. Los flujos de efectivo requieren el uso de factores de pago nico (P/K F/P).2. Los flujos de efectivo requieren el uso de series uniformes o factores de gradientes.

3.5.1 Factores de pago nico

En esencia, un nmero infinito de procedimientos correctos pueden utilizarse cuandosolamente hay factores nicos involucrados. Esto se debe a que slo hay dos requisitos quedeben ser satisfechos: (1) Debe utilizarse una tasa efectiva para i, y (2) las unidades en TIdeben ser las mismas que aqullas en i. En notacin estndar de factores, entonces, lasecuaciones de pago nico pueden generalizarse de la siguiente manera:

P = F(P/E i efectivo por periodo, nmero de periodos)F = P(F/P, i efectivo por periodo, nmero de periodos)

Por consiguiente, para una tasa de inters del 12% anual compuesto mensualmente, podranutilizarse cualquiera de las i y los valores correspondientes de y1 que aparecen en la tabla 3.4(lo mismo que muchos otros no mostrados) en las frmulas de pago nico. Por ejemplo, sise utiliza la tasa efectiva equivalente por mes para i (1 %), entonces el trmino TZ debe estaren meses (12). Si se utiliza una tasa de inters efectiva trimestral para i, es decir, ( 1.03)3 - 1o 3.03%, entonces el trmino y1 debe estar en trimestres (4).

9 6 CAPiTULO 3 l Ingeniera econmica

Tasa de intersefectiva, i

Unidades para II

1% mensual _

3.03% trimestral

Meses

Trimestres

6.15% semestral Periodos semestrales

12.68% anual

26.97% cada 2 aos

AllOS

Periodos de dos aos

Ejemplo 3.4

d C

Solocin

Si una mujer deposita $1000 ahora, $3000 dentro de cuatrc@sito y $1500 dentro de seis aos a una tas:uAnto dinero tendr en su cuenta den

) aos a partir de la fecha del anteriora de inters del 12% anual compuesto semestralmente,

tro de 10 anos?

El diagrama de flujo de efectivo se muestra en la fig~.. ._ra 3.3. Suponga que se ha decidido utilizar una-tasa de inters anual para resolver el problema. Dado que sc Aamente pueden ser utilizadas tasas deinter& efectivas en las ecuaciones, el primer paso es encontrar la tasa efectiva anual. De acuerdo con latabla 3.3, para r = 12% y capitaiizacin semestral, i efectivo : = 12.36%; o mediante la ecuacin [3.3],

= 0 . 1 2 3 6 ( 1 2 . 3 6 % )

F=?

A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10I I I I I tI

v$1000

v$1500

$3ooo

Figura 3.3 Diagrama de flujo de efectivo, eemplo 3.4.


Dado que i tiene unidades anuales, n debe estar expresado en aos. Por tanto,

F = lOOO(F/P,12.36%,10) + 3OOO(F/P,12.36%,6) + 15OO(F/P,12.36%,4)= $11,634.50

En forma alternativa, se puede utilizar la tasa efectiva del 6% por semestre y luego utilizar periodossemestrales para n. En este caso, el valor futuro es:

F = lOOO(F/P,6%,20) + 3OOO(F/P,6%,32) + 15OO(F/P,6%,8)= $11,634.50

Comentario

El segundo mtodo es el ms fcil de los dos porque pueden utilizarse las tablas de interh sininterpolacin 0 sin las frmulas para calcular factores.

3.5.2 Factores de serie uniforme y gradientes

Cuando el flujo de efectivo del problema indica el uso de uno o ms de los factores de serieuniforme o de gradiente, debe determinarse la relacin entre el periodo de capitalizacin,PC, y el periodo de pago, PP. La relacin estar dada por uno de los tres casos siguientes:

Caso 1. El periodo de pago es igual al periodo de capitalizacin, PP = PC.

Caso 2. El periodo de pago es mayor que el periodo de capitalizacin, PP > PC.

Caso 3. El periodo de pago es menor que el periodo de capitalizacin, PP < PC.

En esta seccin se presenta el procedimiento para resolver problemas que pertenecen a unade las dos primeras categoras. Los problemas del caso 3 se analizan en la siguiente seccin.El siguiente procedimiento se aplica siempre para el caso 1 o caso 2, donde PP = PC oPP>PC:

Paso 1. Cuente el nmero de pagos y utilice ese nmero como n. Por ejemplo, si sehacen pagos trimestralmente durante 5 aos, IZ es 20 trimestres.

Paso 2. Encuentre la tasa de inters efectiva durante el mismo periodo de tiempo que nen el paso 1. Por ejemplo, si n est expresado en trimestres, entonces debe hallarse latasa de inters efectiva por trimestre.

Paso 3. Utilice estos valores de y1 e i (i solamente estos!) en las ecuaciones o frmulas denotacin estndar de factores.

La tabla 3.5 muestra la formulacin correcta (columna 4) para diversas secuencias hipotticasde flujo de efectivo (columna 1) y tasas de inters (columna 2). Observe en la columna 4que n siempre es igual al nmero de pagos e i es una tasa efectiva expresada en el mismoperiodo de tiempo que n.


(1)(1) (2)(2) (31(31 14)14)Secuencia de flujoSecuencia de flujo IbadeIbade Qu encontrarQu encontrar NotacinNotacin

de efectivode efectivo intersinters Qu est dadoQu est dado estndarestndar

$500 semestralmente$500 semestralmente 16% anmI, compuesto16% anmI, compuesto Encuentre P; dado AEncuentre P; dado A P = 5OO(PfA,8%,10)P = 5OO(PfA,8%,10)durante 5 aosdurante 5 aos semestralmentesemestralmente

$75 mensualmente$75 mensualmente 24% anual, cbmpuesto24% anual, cbmpuesto Encuentre F; dado AEncuentre F; dado A F = 75(F/A,2%,36)F = 75(F/A,2%,36)durante 3 aosdurante 3 aos mensualmentemensualmente

$180 trimestralmente$180 trimestralmente 5% trimestral5% trimestral Encuentre F; dado AEncuentre F; dado A F = iSO(F/A,5%,60)F = i8O(F/A,5%,60)durante 15 aosdurante 15 aos

Incremento de $25Incremento de $25 1% mensual1% mensual Encuentre P; dado GEncuentre P; dado G P =25(P/G, 1%,48)P =25(P/G, 1%,48)mensualmente du-mensualmente du-rante 4 aosrante 4 aos

$5000 trmestralmen-$5000 trmestralmen- 1% mensual1% mensual Encuentre A; dado PEncuentre A; dado P A = 5OOO(A/p,3.03%,A = 5OOO(A/p,3.03%,te durante 6 aoste durante 6 aos 24)24)

Ejemplo 3.51 . ..IU JL Y~C Y., vuu.4 .IIYUY uuI*LIw I &L.O, L< r~~~~~ CUIWO L~XIWI en su portafolio deinversiones despus del ltimo depsito si la tasa de inters es 20% anual compuesto trimestralmente?

SolucinEl diagrama de flujo de efectivo se muestra en la figura 34. Dado q(trimestral) es ms corto que el periodo de pago (semestral), ste es u.. k-----^paso es determinar que n, el nmero de pagos, es 14. El valor futuro es:

Iue el periodo de capitalizacinn nrnhlpma de caso 2. El primer

F = SOOfITA, i, 14)

F - 3i = 20% anual comouesto trimestralme-*-

Figura 3.4 Diagrama de depsitos semestrales utilizados para determinar F,ejemplo 3.5.


Ahora, puesto que II est expresado en periodos semestrales, se requiere una tasa de inters semestral.Es necesario utilizar la ecuacin [3.3] con r = 0.10 por cada periodo de 6 meses y m = 2 trimestres porcada periodo semestral.

i por cada seis meses = 0.10 2i 11 + - - 12= 0.1025 (10.25%)

En forma alternativa, la tasa de inters efectiva semestral podra haber sido obtenida de la tabla 3.3utilizando el valor r del 10% con capitalizacin semestral para obtener = 10.25%.

El valor i = 10.25% parece razonable, puesto que se espera que la tasa efectiva sea ligeramentems alta que la tasa nominal del 10% por cada periodo de 6 meses. La tasa efectiva puede ser utilizadaahora para encontrar el valor futuro de los depsitos semestrales, donde IZ = Z(7) = 14 periodos.

F =A(FIA,10.25%,14)= 500(28.489)= $f4,244.50

ComentarioEs importante observar que la tasa de inters efectiva por periodo de pago (6 meses} se utiliza para i yque el nmero total de perodos de pago se utiliza para ~1.

Ejemplo adicional 3.9Problemas 3.24 a 3.32

3 . 6 CLCULOS PARA PERIODOS DE PAGO MENORES QUE LOSPERIODOS DE CAPITALIZACIN

sta es la situacin del caso 3 descrita anteriormente en la seccin 3.5.2. Cuando el periodode pago es ms corto que el periodo de capitalizacin (PP < PC), el procedimiento paracalcular el valor futuro o el valor presente depende de las condiciones especificadas (o su-puestas) en relacin con la capitalizacin entre los periodos. LLI capitalizacin interperidica,como se utiliza aqu, se refiere al manejo de los pagos efectuados entre los periodos de capi-talizacin. Tres casos son posibles:

1 . No hay un inters pagado sobre el dinero depositado (o retirado) entre los periodos decapitalizacin.

2. El dinero depositado (o retirado) entre los periodos de capitalizacin gana un interssimple.

3 . Todas las transacciones entre los periodos ganan un inters compuesto.

Solamente se considera aqu el caso nmero 1 (no hay inters en las transacciones entre losperiodos), ya que la mayora de las transacciones del mundo real se encuentran dentro de

1 0 0 CAPTilLO 3 l Ingeniera econmica

$ 9 0 $120A

$45

0 AoI I I 1 1 1 10 1 2 6 7 8 9 1 0 l l 1 2 Mes

.

$150 v$200

$75$50

$100

Ca)

$1654

$90A

0 AoI I I I I I I I II0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 1 2 Mes

$50

v$150

v $175

t

0

I

2

I

3

I

Trimestre4

(b)

Figura 3.5 Diagrama de fluios de efectivo para periodos trimestrales de capitalizacin sinutilizar inters entre periodos.

esta categora. Si no se paga inters sobre las transacciones entre los periodos, entonces seconsidera que cualquier cantidad de dinero depositado o retirado entre los periodos decapitalizacin ha sido depositada alfinal delperiodo de capitalizacin o retirada alprincipiode dicho periodo. ste es el modo usual de operacin de los bancos y de otras institucionescrediticias. Por tanto, si el periodo de capitalizacin fuera un trimestre, las transaccionesreales que aparecen en la figura 3.5a seran tratadas como se muestra en la figura 3.M. Paraencontrar el valor presente del flujo de efectivo representado por la figura 3Sb, la tasa deinters anual nominal se divide por 4 (puesto que el inters es compuesto trimestralmente)y el valor n apropiado se utiliza en el factor P/F o F/P Si, por ejemplo, la tasa de inters es12% compuesto trimestralmente para los flujos de efectivo de la figura 3.5,

P = -150 - 2OO(P/F,3%,1) - 85(P/F,3%,2) + 165(P/F,3%,3)- 5O(P/F,3%,4)

= $-317.73

Problemas 3.33 a 3.37


EJEMPLOS ADICIONALES

TASAS DE INTfRS EFECTlVAS, SECCIN 3.3 La seora Jones planea colocar dinero en un certificado dedep6sito JUMBO que paga 18% anual compuesto diariamente. Qud tasa efectiva recibir ella(a) anualmente y (b) semestralmente?

(a) Al utilizar la ecuacin [3.3], con r = 0.18 y m = 365,

= 0.19716 (19716%)

depsito.Es decir, la seora Jones obtendr un 19.716% efectivo sobre su

(bj A~ui r = 0.09 durante 6 meses y m = 182 das:., -I \1%2

\

nnai por cada 6 meses = 1 + XX.- - 1

182

= 0.094f5 (9.415%)

Ejemplo 3.7TASA DE INTERS EFECTIMA, SECCIONES 3.1 Y 3.4 El seor Adams y la seora James planean invertirJames planean invertir$5000 durante 10 aos a un 10% anual. Calcule el valor futuro para ambos individuos si eI seor$5000 durante 10 aos a un 10% anual. Calcule el valor futuro para ambos individuos si eI seorAdams obtiene un iuterks compuesto anualmente y la seora James obtiene una capitalizacin con-izacin con-tinua.

Seor Adams. Para una capitaIizacin anual el valor futuro es:F = P(F/p,lO%,lO) = SOOO(2.5937) = $12,969F = P(F/p,lO%,lO) = SOOO(2.5937) = $12,969

SeAora James. Mediante la relacin de capitalizacin continua, la ecuacin [3.5], encuentre primero lai efectiva anual.

El valor futuro es:j = eO. _ 1 = 0.10517 (10.517%)

F= P(F/P,10.517%,10) = 5000(2.7183) = $13,591

ComentarioLa capitalizacin continua representa un aumento de $622 o 4.8% en las ganancias. Slo porcomparacin, observe que una corporacin de ahorro y prstamo podra ofrecer capitalizacin diaria,lo cual produce una tasa efectiva de 10.516% (F = $13,590), mientras que la capitalizacin continuadel 10% ofrece un incremento ligeramente mayor, con 10.517%.


Ejemplo 3.8Ejemplo 3.8CAPITALIZACIN CONTINUA, SECCIN 3.4 Si se depositan $2000 cada ao durante 10 aos a una tasa deCAPITALIZACIN CONTINUA, SECCIN 3.4 Si se depositan $2000 cada ao durante 10 anos a una tasa deinters del 10% anual, compare el valor presente para capitalizacin (a) anual y (b) capitalizacininters del 10% anual, compare el valor presente para capitalizacin (a) anual y (b) capitalizacincontinua.continua.

SoludnSoludn(a) Para capitalizacin anual,(a) Para capitalizacin anual,

P=P = 2OOO(P/A,10%,10) = 2000(6.1446) = $12,2892OOO(P/A,10%,10) = 2000(6.1446) = $12,289

(b) Para capitalizacin continua,(b) Para capitalizacin continua,

i anual = eO-ro- 1= 0.10517 (10517%)i anual = eO-ro- 1 = 0.10517 (10517%)P = 2000(P/A,10.517%,10)P = 2000(P/A,10.517%,10)

= 2000(6.0104)= 2000(6.0104)= $ 12,021= $ 12,021

Como se esperaba, el valor presente para la capitalizacin continua es menor que aqul para laComo se esperaba, el valor presente para la capitalizacin continua es menor que aqul para lacapitalizacin anual, ya que las tasas de inters ms altas requieren mayores descuentos de flujoscapitalizacin anual, ya que las tasas de inters ms altas requieren mayores descuentos de flujosde efectivo futuros.de efectivo futuros. ii

Eiemplo 3.9PERIODOS DE PAGO Y DE CAPWCIN, SECCIN 3.5 La seora Warren desea comprar un auto compactode segunda por $8500. Ella planea obtener el dinero en prstamo de su fondo cooperativo de c&dito yrembolsarlo mensualmente durante un periodo de 4 aos. Si la tasa de inters nominal es del 12%anual compuesto mensualmente, cules sern sus cuotas mensuales?

S0lu1fnEl periodo de capitalizacin es igual al periodo de pago (caso l), con una tasa mensual efectiva de i =1% mensual y n = 12(4) = 4g pagos. Por consiguiente, los pagos mensuales son:

A = 8500(A/P,1%,48) = SSOO(O.02633) = $223.84

Eiemplo 3.9(Hojo de clculo)PERIODOS DE PAGO Y DE CAPlUltZ4Cl&N, SECCI& 35 La seora Warren desea comprar un auto compactode segunda por $8500. Ella planea obtener el dinero en prstamo de su fondo cooperativo de cridito yrembolsarlo mensualmente durante un periodo de 4 aos. Si la tasa de inters nominal es 12% anualcompuesto mensualmente, determine sus cuotas mensuales utilizando una hoja de clculo.


SolucinFijar los valores de i y de n para meses; i = 0.12112 y n = 48 pagos. Aplique entonces la funcin PMTa la hoja de clculo Excel para determinar que A = $223.84. La figura 3.6 muestra en pantalla laformulacin de los datos para determinar la cantidad de pago mensual.

Precio por Dersona

Fiiwa 3. 3.9.6 l-k+ de ckulo pura capitaIizacin mensual y pagos, ejemplo :

RESUMEN DEL CAPTULO

Dado que muchos problemas del mundo real involucran pagos y periodos de capitalizacinque no son iguales a 1 ao, es necesario entender las tasas de inters nominales y efectivas(ecuacin [3.3]). Si el periodo de capitalizacin se hace infinitamente pequeo, el inters secapitaliza de manera continua (ecuacin [3.5]). Todas las frmulas de ingeniera econmicarequieren slo el uso de tasas de inters efectivas. En algunos casos, pueden utilizarse diversastasas efectivas para resolver el problema (como cuando hay cantidades de pago nicoinvolucradas). En otros casos, slo puede utilizarse una tasa efectiva (problemas de serieuniforme y de gradientes).

Para los problemas de serie uniforme y de gradientes, los periodos de inters y de pagodeben coincidir. Si el periodo de capitalizacin es ms corto que el periodo de pago, entoncesse manipula la tasa de inters para obtener una tasa efectiva durante el periodo de pago.Cuando el periodo de capita!iza,c.isn es ms largo qu_e..~l.,~peripdo~~e pago, !oJ,,~QLs~:manpla, de manera que los flujos. de ~fe~~$?%&&~~ con. los periodos de.~apit.alizaci%~~(los depsitos se mueven hacia el final y los retiros se mueven hacia el principio del periodo).._ .-..-. --. ___ -_-__- -


PROBLEMAS

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

Cul es la diferencia entre una tasa de inters nominal y una simple?

Qu significa (a) periodo de inters y (b) periodo de pago?

Cul es la tasa de inters nominal mensual para una tasa de inters de (a) 0.50%cada 2 das y (b) 0.1% diario? Suponga que el mes tiene 30 das.

Identifique las siguientes tasas de inters como nominales o efectivas. (a) i = 1 I/z%mensual, (b) i = 3% trimestral compuesto trimestralmente, (c) i = 0.5% semanalcompuesto diariamente, (d) i = 16% efectivo anual compuesto mensualmente.

Para los niveles de inters del problema 3.4, identifique el periodo de capitalizacin.

Complete la siguiente afirmacin: Una tasa de inters del 4% mensual es una tasa decompuesto mensualmente, una tasa de compuesto

semanalmente y una tasa de compuesto diariamente.

Si el inters se capitaliza diariamente, icul es el valor de m en la ecuacin [3.3] si sedesea encontrar una tasa de inters efectiva (a) anual, (b) semanal, (c) diaria?

Cules son las tasas de inters nominales y efectivas anuales para una tasa de intersde 0.015% diario?

Qu tasa de inters efectiva mensual es equivalente a una tasa de inters semanal de0.3%? Suponga que el mes es de 4 semanas.

Qu tasa nominal mensual es equivalente a un 20% nominal anual compuestodiariamente? Suponga que hay 30.42 das en el mes y 365 das en el ao.

Qu tasa de inters efectiva trimestral es equivalente a un 12% nominal anualcompuesto mensualmente?

Qu tasa de inters nominal mensual es equivalente a un 14% efectivo anualcompuesto (a) mensualmente, (b) diariamente? Suponga que se trata de un mes de30.42 das y de un ao de 365.

Qu tasa de inters trimestral es equivalente a una tasa anual efectiva del 6% anualcompuesto trimestralmente?

Qu tasa nominal por 3 aos es equivalente a una tasa mensual del 1/2%?

Qu tasa de inters es mejor: 20% anual compuesto anualmente o 18% anualcompuesto cada hora? Suponga que se trata de un ao de 8760 horas.

Determine el valor del factor F/P durante 5 aos si la tasa de inters es 1% mensualcompuesto diariamente. Suponga que se trata de un mes de 30 das.

Qu tasa de inters nominal anual compuesto continuamente sera igual a 25% anualcompuesto por semestre?


iA qu frecuencia de capitalizacin se igualaran una tasa anual del 10.2% nominal yuna tasa anual nominal del 10% compuesto continuamente?

3.19

3.20

3.21

3.22

3.23

3.24

3.25

iCules tasas nominales y efectivas mensuales son equivalentes a un 12% anualcompuesto continuamente?

iCul es la diferencia en el valor presente de $50,000 dentro de ocho aos si la tasa deinters es 13% anual compuesto en forma semestral 0 continua?

Como una tctica para atraer depositantes, un banco ha ofrecido a los clientes tasasde inters que aumentan con el tamao del depsito. Por ejemplo, de $1000 hasta$9999 la tasa de inters ofrecida es del 8% anual. Por encima de $10,000, la tasa esdel 9% anual compuesto continuamente. Dado que slo cuenta con $9000 paradepositar, una persona est pensando en obtener en prstamo $1000 de un fondo decrdito cooperativo de manera que tendr $10,000 y ser capaz de aprovechar la tasade inters ms alta. Cul es la tasa de inters efectiva anual mxima que podrapagar sobre los $1000 prestados que hara que su plan de endeudarse fuera al menostan atractivo como no hacerlo?

Una persona est contemplando la posibilidad de obtener en prstamo $200,000 paraempezar un negocio. El fondo cooperativo de crdito A le ha ofrecido prestarle eldinero a una tasa de inters del 14% anual compuesto continuamente. El fondo decrdito B le ha ofrecido el dinero con la estipulacin que lo rembolse mediante pagosmensuales de $5000 durante 5 aos. De cul fondo de crdito deber obtener eldinero en prstamo?

Una pequea compaa de avisos obtuvo en prstamo $175,000 con un acuerdo derembolsar el prstamo en pagos mensuales. El primer pago debe efectuarse dentro deun mes a partir de ahora y ser de $1000. Cada pago posterior aumenta en $100. Si latasa de inters es del 10% anual compuesto continuamente, icunto tiempo pasarantes de que la compaa rembolse por completo el prstamo?

iCunto dinero se podra obtener en prstamo si se promete hacer pagos trimestralesde $650 durante 7 aos, si la tasa de inters es del 16% anual compuestocontinuamente?

Una mujer deposit $125 cada mes durante 10 aos. Si recibi inters a una tasa del8% anual compuesto continuamente, Lcunto tena inmediatamente despus de sultimo depsito?

Una lavandera est comprando un sistema de ozono para sus lavadoras y paratratamiento de aguas de desperdicio teidas. El costo inicial del sistema de ozono es$750,000. LCunto dinero debe ahorrar la compaa cada trimestre (en costos qumicosy en multas) con el fin de justificar la inversin si el sistema durar 5 aos y la tasa deinters es (a) 16% anual compuesto trimestralmente y (b) 12% anual compuestomensualmente?

105

fespindola

fespindola

fespindolaiA

fespindola

106 C A P T U L O 3 l Ingeniera econmica

3.27

3.28

3.29

3.30

3.31

3.33

3.34

3.35

Se espera que las mejoras de las pistas de aterrizaje de un aeropuerto regional cuesten$1.7 millones. Para pagar por las mejoras, la administracin del aeropuerto aumentarlas tarifas de aterrizaje de los aviones comerciales. Si el aeropuerto desea recuperarsu inversin en 4 aos, kcunto dinero deben generar las tarifas ms altas cada an_auna tasa de inters del 8% anual compuesto semestralmente?

Con el fin de mejorar los tiempos que hacen los autos de carreras, una barredera localest planeando suavizar la superficie de la pista mediante el aplanamiento con lser aun costo de $750,000. Se espera que la nueva superficie dure 3 aos. Si el autdromorene 216,000 espectadores por ao, Len cunto tendr que aumentar el precio deltiquete promedio si la tasa de inters es del 1% mensual? Suponga que hay unadistribucin uniforme de espectadores.

Si una persona desea acumular $800,000 para su jubilacin dentro de 30 anos, contadosa partir de este momento, hen cuanto tendra que aumentar (uniformemente) su depsitomensual cada mes si su primer depsito es de $100 y la tasa de inters es de 7% anualcompuesto semanalmente? Suponga que se trata de un mes de 4 semanas.

Una pareja joven que est planeando su futuro est considerando la compra de unafranquicia para un negocio de pizza. La franquicia costar $35,000 y se pedir a lapareja que adquiera ciertas provisiones del franquiciador. Si la utilidad promedio enuna pizza es de $1, Lcuntas pizzas tendrn que vender cada semana durante 5 aospara pagar justo el costo de la franquicia, si la tasa de inters es 3-/,%-t-iiestral- - -compuesto diariamente? Suponga que trata de un mes de 30 das y de un ao de 52semanas.

Si el edificio y equipo en el problema 3.30 cuesta $220,000, kcuntas pizzas debenvenderse diariamente para pagar la franquicia, el edificio y el equipo en 4 anos a unatasa de inters del 12% anual compuesto continuamente? Suponga que se trata de unao de 365 das.

Una inversionista sagaz compra 200 acciones de capital a $23 cada accin. Si ellavende las acciones despus de 7 meses a $26 cada una, qu tasa de retorno anualnominal y efectiva lograr?

iCunto dinero habra en la cuenta de una persona que deposit $1000 ahora y $100cada mes y retir $100 cada 2 meses durante 3 aos ? Utilice una tasa de inters del6% anual sin intereses pagados entre los periodos.

Cunto dinero habra en una cuenta de ahorros en la cual una persona haba depositado$100 cada mes durante 5 aos a una tasa de inters del 5% anual compuestotrimestralmente? Suponga que no hay intereses entre los periodos de inters.

Una compaa de herramientas y troqueles espera tener que remplazar uno de sustomos en 5 aos a un costo de $18,000. Cunto tendra que depositar la compaacada mes para acumular $18,000 en 5 aos, si la tasa de inters es del 6% anualcompuesto semestralmente? Suponga que no hay intereses entre los periodos.


3.36 Qu depsito mensual sera equivalente a un depsito de $600 cada 3 meses durante2 aos si la tasa de inters es del 6% anua1 compuesto semestralmente? Suponga queno hay un inters entre periodos sobre todos los depsitos.

3.37 iCuntos depsitos mensuales de $75 tendra que hacer una persona para acumular$15,000 si la tasa de inters es del 6% anual compuesto semestralmente? Supongaque no se paga inters entre los periodos.

fespindola

ContenidoCapitulo 1: conceptos basicos, trminos y grficasnivel 1capitulo 2: los factores y su usocapitulo 3: tasas de interes nominales y efectivas y capitalizacin continuacapitulo 4: uso de factores multiples

nivel 2capitulo 5: evaluacin del valor presente y del costo capitalizadocapitulo 6: avaluacin del valor anual uniforme equivalentecapitulo 7: calculos de tasa de retorno para un proyecto nicocapitulo 8: evaluacin de la tasa de retorno para alternativas mltiplesCapitulo 9: evaluacin de la razon beneficio/costo

nivel 3capitulo 10: analisis de reposicincapitulo 11: bonoscapitulo 12: inflacin; estimacin de costos y asignacin de costos indirectos

nivel 4capitulo 13: modelos de depreciacin y de agotaminetocapitulo 14: fundamentos de los impuestos sobre la rentacapitulo 15: analisis economico despues de impuestos

nivel 5capitulo 16: analisis de equilibrio y periodo de reintegrocapitulo 17: racionamiento de capital entre propuestas independientescapitulo 18: determinacin de una tasa minima atarctiva de retornocapitulo 19: analisis de sensibilidad y decisiones de valor esperadocapitulo 20: ms sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo

apendice A: fundamentos del uso del programa Excel de microsoftapendice B: elementos basicos de los informes de contabilidad y de las razones de negociosapendice C: respuestas finales a los problemas seleccionados de final de capitulotablas de factores de interesesindice

1 tasas de interes nominal efectivo

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