factorización de polinomios

Objetivos• Definir qué es factorización de

números reales• Factorizar polinomios

utilizando los siguientes métodos– Factor en común– Agrupación– Diferencia de cuadrados– Suma y resta de cubos – Forma– Forma

cbxx 2

cbxax 2

¿Qué es factorización?

• Si a es factor de b entonces ac = b, donde a, b y c son reales.– Ejemplos

•3 es factor de 12 porque (3)(4) = 12

• Número primo– Es un entero mayor que

uno cuyos únicos factores son el 1 y el mismo.•Ejemplos

– 5– Menciona otros

Factorización prima de un

número• Hagamos la factorización

prima de:

¿Cuántas factorizaciones primas tiene el

12?

1212 1212 1212

Factorización prima de Factorización prima de un númeroun número

• Hagamos la factorización prima de:

¿Cuántas factorizaciones primas tiene el

24?

2424

2424

2424

Teorema fundamental de

la Aritmética• El Teorema

fundamental de la Aritmética establece que existe una única factorización prima de un número dado

¿Qué es factorización de

polinomios?• Expresar un

polinomio como producto de dos o más polinomios primos

• Existen diferentes métodos para factorizar polinomios. Veamos cuáles son.

Métodos de Factorización

• Factor en común• Agrupación• Diferencia de

cuadrados• Suma o resta de

cubos• Factorización de

trinomios de la forma:– x2+ bx + c

• Factorización de trinomios de la forma:– ax2+ bx + c

Factor en común• Propiedad distributiva

a(b+c) = ab + acab+ac = a(b+c)

• La primera permite cambiar un producto en suma y la segunda una suma en producto.

• En la factorización se trabaja con la segunda

Veamos lo siguiente

• Monomio como factor en común• http://sipan.inictel.gob.pe/

internet/av/fcomun1.htm• Polinomio como factor en

común• http://sipan.inictel.gob.pe/

internet/av/fcomun2.htm• http://

mediateca.educa.madrid.org/reproducir.php?id_video=ht9o834m1wqkp7ua

• Ejemplos

Monomio como factor

bab 93

)(5)(4 baybax

42 42 aa

Método por agrupación

• http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/fcomun3.htm

Método por agrupación

La propiedad distributiva nos permitió factorizar polinomios tales como:

)(2 baaaba

caba

bacbaa

cbacaba

2

También podemos factorizar También podemos factorizar polinomios tales como:polinomios tales como:

Esto se conoce como el método de agrupación

cbacaba 2

Veamos otros ejemplos…

bxcybycx 66 zxxz

Otro ejemplos

cbcxabax 362 223 aaaa

Productos Especiales

Diferencia de cuadrados

• La diferencia de dos cuadrados se factoriza como el producto de la suma y la diferencia de dos números

22 bababa

bababa 22

Diferencia de cuadrados

• http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/dcuadra.htm

Diferencia de cuadrados

• Para que un polinomio sea la diferencia de dos cuadrados perfectos debe cumplir con lo siguiente:– Tener dos

términos.– Incluir la

operación de resta o tomar el opuesto

– Cada término debe ser una cuadrado perfecto

• Cuadrado perfecto– Un número

que se obtiene al multiplicar otro número por sí mismo.

– Ejemplos• 1, 4, 9, 16, …• x², x4, x4, x6…

el exponente es par

• 4 x², 9 y², (a+b)²,…

Ejemplos

22

2

16

188

aba

a

22

2

254

9

yx

x

222 33 yxxyx

Factorización deSuma o resta de

cubo

))((

))((22

22

bababa

bababa

Ejemplos

)42)(2(

)93)(3(2

2

xxx

xxx

Factorización deSuma o resta de

cuboSuma de cuboshttp://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/sdcubos1.htmResta de cuboshttp://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/sdcubos2.htm

Factorización deSuma o resta de

cubo

))((

))((2233

2233

babababa

babababa

Ejemplos

273 x 83 x

Ejemplos

243 3 y

Ejemplos

532235 bbabaa

Factorización de trinomios

de la forma: x2+ bx + c

• Vamos a acceder a la siguiente página– http://sipan.inictel.gob.pe/

internet/av/tformax.htm– http://

mediateca.educa.madrid.org/reproducir.php?id_video=s7jg8jc41ajlspe9

– Otros ejemplos

Factorización de trinomios

de la forma: x2+ bx + c

342 xx

56152 xx

Factorización de trinomios

de la forma: ax2+ bx + c

• http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/tformbx.htm

Factorización de polinomios

Monomio como factor

Agrupación

Diferenciade

cuadrados

Suma oResta de

cubos

TrinomiosTrinomiosxx22+ bx + c+ bx + c

TrinomiosTrinomiosaxax22+ bx + c+ bx + c

Factorización de polinomios