Academia ADUNI

9. Si una raíz de la ecuaciónx3-2xz+bx+a=Q; {a; b} <= Z es 2-3/;i = V-T, determine el valor de a.

A) 10B)-10Q-2D)-26E) 26

10. Dos de las raíces de una ecuación decuarto grado son 2 + V2 y 2 - A/2/. Halleel coeficiente del término cuadráticoen dicha ecuación.Nota/2=-l

A) 22D)24

B) 12 C) 18E) 16

UNAC 2001-II

CLAVES

01 -c ;

02 -B ;

03 -B

04 -D

I 05 -E

; 06 - C

! 07 -A

: 08 -B

; 09 -E

; 10-D

Lima, septiembre de 2010

-6-

ACADEMIA

ADUNISEMINARIO DE ÁLBEBRA

ANUAL INTEGRAL - 2010

Ecuaciones polinomiales de grado superior

La búsqueda de fórmulas que permitanhallar las raíces de los polinomios fue unproblema central del álgebra durante siglos.Scipione del Ferro (1465-1526), Tartaglia(1499-1557), Cardano (1501-1576) mos-traron como resolver ecuaciones de tercergrado, y Ferrari (1522-1565) encontró unmétodo para calcular las raíces de las ecua-ciones de cuarto grado.

Del Ferro Cardano

Ecuación polinomial de grado superior

Forma general

PM=a0xn+a]x"-l+...+arl_lx+an=0

donde o ^ O y / 7 > 3

El objetivo del álgebra clásica es expresarlas raíces de la ecuación de grado n entérminos de los coeficientes a0; a^; a2', ...', an

que pertenecen a R.Ejemplos

• x3-x2-2x+2=0Es una ecuación cúbica.

Para resolver estas ecuaciones general-mente se utiliza las técnicas de factoriza-ción sobre C.

Ejemplo 1Resuelva la ecuación polinomialx3-x2-2x+2=Q

ResoluciónFactorizarnos la ecuación y obtenemos

son las soluciones de la ecuación

.-. CS = {l; V2; - V2}

Ejemplo 2

Resuelva la ecuación polinomial

x4-8*2-9=0

ResoluciónFactorizarnos por el método de aspa simple.

*4 - &x2 -9=0Q

Es una ecuación cuártica.

—> (x

—> x=3 v jr=-3 v x=i v x=-l.: CS={3;-3;/;-/}

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Academia ADUNI

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

Toda ecuación polinomial de grado n,con coeficientes complejos, posee al me-nos una raíz compleja.Por ejemplo, la ecuación x7-xs+2.x-\=Qposee al menos una raíz.Gauss en su disertación doctoral (1799) diola primera demostración rigurosa del teore-ma fundamental del álgebra.

Víifi'ÍÍTi'-l.

Billete alemán conmemorativo a Gauss

Corolario

Toda ecuación polinomial de grado ncon coeficientes complejos, tiene exacta-mente n raíces contadas, cada una de ellassegún lo indique su multiplicidad.Ejemplos• x3-xz-2x+2=Q

Tiene exactamente 3 raíces.

Tiene exactamente 4 raíces.• *12-1=0

Tiene exactamente 1 2 raíces.

TEOREMA DE CARDANO-VIETTE

Relaciona los coeficientes de unaecuación polinomial con sus raíces.

1. Para una ecuación cuadrática

ax2+bx+c=0 de raíces x\2

Suma de raíces

ba

Producto de raíces

2. Para una ecuación cúbica

ax3+bx2+cx+d=0de raíces X]; x2 y x3

Suma de raíces

Suma de productos binarios

Producto de raíces

S3 -d_a

Ejemplo 1Dada la echalle el valor de S-¡, S2 yS3.Dada la ecuación 2x3-5x2+3x-7=0,

ResoluciónPor el teorema de Cardano se tiene que

5, =

S2 -

Viette

_ _ - 5 _ 53 ~ ~ Y ~ 2

33+*2*3 = 2

- 7 _ 7"Y" 2

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Anual Integral ,- Seminario de Álgebra

Ejemplo 2Dada la ecuación polinomial

halle el valor de k si se sabe que el productode dos de sus raíces es 12.

ResoluciónSean x\ x2 y x3 las raíces de la ecuacióncúbica.Por dato se tiene que x}x2=\2.Por el teorema de Cardano se obtiene

= 24

-> x3 = 2 es la tercera raíz de la ecuación.Lo reemplazamos en la ecuación y obtenemos

23+22 + (l-AO(2)-24=0^8+4+2-26-24=0 ,íf

TEOREMAS DE PARIDAD DE RAÍCES

Teorema 1 >:

En toda ecuación polinomial de coefi-cientes reales y grado n>2, si una raízes x}=a+bi; 6^0, entonces, otra raíz esx2=a-bi

Teorema 2

En toda ecuación polinomial de coeficien-tes racionales y grado n > 2, si una raíz esx\ entonces, otra raíz es x2=a—lb.(Se considera a e Q y V f e e Q ' )

Aplicación 1

Calcule el valor de 2m+n si se sabe que unade las raíces de la ecuación de coeficientesreales x3-3x2+2rrar+n=0 es el complejo1+í

ResoluciónComo la ecuación tiene coeficientes realesyjf] = 1 +i es una de las raíces, entonces, porel teorema 1, otra raíz debe ser x2=\.Por el teorema de Cardano se tiene que

X

-> 2 + x3=3 -» *3=1Reemplazando la tercera raíz en la ecuaciónse obtiene

l3-3(l)2+2m(l)+n=0l-3+2m+n=02m+n=2

Aplicación 2

Si 1 - %/2 es una de las raíces de la ecuacióncúbica jc3-6x2+7.x-+4=0, halle las otras dosraíces.

ResoluciónComo x, = 1 - -s/2 es una de las raíces de laecuación de coeficientes racionales, enton-ces, por el teorema 2, otra raíz es x2 = 1 + V2.Por el teorema de Cardano se tiene que

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Academia ADUNI / 7 - - -- ~ ~ %

1. Si r y s son las raíces de la ecuación 4. Dada la ecuación 2x3-5A-2+4x-3=0x2+bx+c=0 de raíces x¡; x2yx3, calcule el valor deel valor de Vr2 + s2 es J_ + _L + _L

xl X1 X3

A) b2+4acB) £>2-4c2 A) - B) - C) 1Q2b+c 4 3

D) Vfc 2 +2c D) -- E) 2E)Vfc 2 -2c

UNFV 2002 5. Si dos raíces de la ecuaciónx3+ax2+bx+c=0, de coeficientes en-

2. En la ecuación polinomial teros, s°bn 2 y (1 -/), determine el valorx3-9x2+mx+n=0, una de sus raíces es de a+b+c.la semisuma de las otras dos. Determi-ne el valor de 3m+n. A) -2 B) 2 C)-3

D) 3 E) 1A) 50 B) 54 C) 27D) 81 E) -27 6. En

x +ax3+bx +cx+d=0, las raíces son:3. La ecuación cúbicax3+10jc2-12x+5=0 x}=&; x2=-5i; x3=-3+5i

tiene CS={a; £>; c}. ' f>- halle la suma de las otras raíces.1 1 1 :Calcule el valor de 1 1 .

ab ac bc ' A)-l B)-3 Q-5ÍA) 5 B) -5 C) 2 D) -2 E) 3iD) 1/5 E) 2/5 UNALM2007-II

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-= PRÁCTICA DOMICII IARIA -»-———--——===1. En la ecuación 5.

kx2-2x+3kx-4k+8=0confeso.Si sus raíces r^ y r2 cumplen la relaciónn + r 9 = — rir9 entonces el valor de

1 ¿ n 1 Z

rj +r2 es

A) 0 B) 1 C) -2,4D) 2,4 E) N.A. 6.

UNFV 1990

2. Dado Xj y x2 raíces de x2+Mx+4=0 halleM si: x¡+X2=l6 A M > 0.

A) 1B) 2C) 3D) 8 ':E) 10

UNALM2007-II

3. Enlaecuación cúbica x3-4x2+6x+n=Qde raíces a; b ye, se cumple que a+b=c.Calcule el valor de n.

A) 4 B) -4 C) 10D) 8 E) 1

4. Al resolver O+l)3+Oc+l)2+3=0 las 8-raíces son r\; rz y r3. Halle el valor de0 0 0

rf+r|+r|.

A) 7B) 11C)9D)6E) 4

UNAC2001-I

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Se tiene la ecuación5jc3+x2+x+2=0 de raíces a; p y 6. Indi-que el valor numérico de a2+p2+02.

A) -6 B) 1 C) 0

6 925 25

Indique la secuencia correcta de vera-cidad (V) o falsedad (F) respecto a lassiguientes proposiciones referidas a laecuación polinomial 2x4+2x3-3x¿+5=0cuyas raíces son *,; x¿ xs y x4.I. X}+X2+X3+X4=-\. x^x 2X3X4= -5/2

U\.x]x2+xlx3+...+x3x4=-3/2

A) VVV B) VFF C) VFVD) FVV E) FFF

UnaraízdeP(x)=2A:2+mji:+6; me Res1 + V^2. Halle el valor de 2+m.

A) -2 B) 2 C) -4D) 4 E) 0

UNAC 2000-11

Dada la ecuación x3+ax2+bx+\=0 decoeficientes racionales, determineb-a, de modo que una raíz de la ecua-ción es (l + >/2).

A) -2B)4C)-4D)2E) -3