algebra y logica algebra i apuntes

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  • 1

    LGEBRA Y LGICA LGEBRA I

    APUNTES DE CLASE

    Escritos por la Profesora Nora Andrada

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    Temas

    El Clculo Proposicional

    lgebra de Conjuntos

    Combinatoria

    Nmeros Enteros

    Nmeros Complejos

    Polinomios

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    EL CLCULO PROPOSICIONAL

    Introduccin

    En la vida diaria, y en el desarrollo de cualquier ciencia deductiva, por ejemplo las matemticas, se utilizan ciertas construcciones gramaticales denominadas enunciados o proposiciones, es decir una oracin declarativa que es verdadera o falsa, por ejemplo:

    (a) 2+2=4 (b) Todos los hombres son mortales. (c) La vida es hermosa. (d) Existen infinitos enteros primos.

    Algunas de estas afirmaciones se consideran a veces vlidas a priori, es decir sin demostracin previa, y son los denominados axiomas : Por un punto exterior a una recta pasa una y slo una paralela, es un axioma de la geometra euclideana. Es decir, entendemos por una proposicin a una sentencia del lenguaje que es verdadera (V) o falsa (F). La verdad o falsedad de una proposicin es su valor de verdad. Denotaremos la proposiciones con las letras P , Q , R , etc. Naturalmente, nosotros estamos ms interesados en proposiciones como la de los ejemplos (a) y (d) , que corresponden al terreno de las matemticas, si bien (b) y (c) son ejemplos legtimos de proposiciones. Podra argirse que (c) no es exactamente una proposicin en virtud de que su validez depende de una interpretacin individual. Pero nuestro objetivo aqu es sintctico, es decir cmo obtener nuevas proposiciones a partir de otras proposiciones. Las proposiciones pueden ser combinadas entre ellas formando proposiciones compuestas, mediante nexos llamados conectivos lgicos. En este sentido las proposiciones: Si la vida es hermosa entonces 2+2 = 4. Si Juan tiene 16 aos, entonces no termin el secundario. se obtienen combinando otras proposiciones mediante un formato comn que se puede sintetizar: ''Si P entonces Q ''

    En una ciencia deductiva, la verdad o falsedad de ciertas proposiciones permite hacer inferencias o tomar decisiones posteriores.

    Si todo hombre es mortal y Scrates es hombre, entonces Scrates es mortal, es una inferencia tpicamente filosfica. Si es ab>0 entonces debe ser a>0 y b>0, o debe ser a

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    Q, R , ect. que intervienen en una determinada construccin. Entonces, si consideramos a P, Q, R como variables que toman los valores en = {V , F }, podemos definir operaciones entre estas variables. Estas operaciones pueden ser 1-arias , 2-arias, 3-arias, etc. Nosotros slo definiremos una operacin 1-aria (unaria) y todas las 2-arias (binarias).

    Negacin lgica: Esta es una operacin 1-aria, que consiste en, dada un proposicin P negar lo que ella afirma. Obtenemos as una nueva proposicin que indicaremos P. Es claro que si P es verdadera P ser falsa. La siguiente Tabla define P , la negacin de P:

    P P F V V F

    Ahora definiremos las operaciones binarias. Si llamamos = {V , F }, hay 4 elementos en x , a saber (F,F), (F,V), (V,F) y (V,V) . Cualquier funcin de x en debe asignar un valor, o F o V , a cada uno de esos elementos. Como a cada uno de esos cuatro elementos se le puede asignar uno de los dos valores F o V, hay 16 posibles funciones de x en . En la siguiente tabla mostramos todas las funciones posibles:

    P Q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 F F F F F F F F F F V V V V V V V V F V F F F F V V V V F F F F V V V V V F F F V V F F V V F F V V F F V V V V F V F V F V F V F V F V F V F V

    Tabla 1

    En la Tabla 1 estn representadas todas las asignaciones posibles de valores de verdad para dos argumentos P y Q, luego, no importa cuan compleja sea una proposicin construida a partir de dos proposiciones bsicas, siempre ser posible calcular su valor de verdad, si podemos verificar leyes. Observando esta Tabla encontramos la representacin para las operaciones o conectivos que queremos definir.

    Columna 1: Conjuncin lgica: responde a P y Q . Intuitivamente es claro que esta nueva proposicin es cierta o verdadera s, y slo s, tanto P como Q son verdaderas. Definimos entonces la conjuncin de P y Q , que indicaremos PQ , mediante la siguiente tabla:

    P Q PQ F F F F V F V F F V V V

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    Columna 7: Disyuncin Lgica : Es una operacin binaria que corresponde a la expresin P o Q , pensando la palabra o en sentido incluyente, lo cual significa que P o Q es verdadera si P es verdadera o Q es verdadera o ambas lo son. La siguiente Tabla define entonces la disyuncin P o Q , que indicaremos PQ :

    P Q PQ F F F F V V V F V V V V

    Columna 6: Inequivalencia Lgica: esta operacin binaria corresponde al o excluyente , el nombre de inequivalencia responde al hecho de que la proposicin compuesta P o Q tiene valor de verdad V cuando P y Q tienen valores de verdad distintos, y F cuando tienen el mismo valor de verdad. La siguiente tabla define entonces la inequivalencia, que indicaremos P Q

    P Q P Q F F F F V V V F V V V F

    Se observa tambin que P est representada en la columna 3 , P en la columna 12 , Q en la columna 5 y Q en la columna 10. La columna 15 es universalmente verdadero y la columna 0 universalmente falsos . En general, dada una columna n de la Tabla, la columna 15 - n , corresponde a su negacin. As: la columna 7 representa la disyuncin (PQ) y la columna 8, su negacin ( ni ).

    Columna 13: esta una nueva operacin entre proposiciones, la llamamos condicional o implicacin e indicamos PQ. que responde a la expresin si P entonces Q o P implica Q. La tabla de valor de verdad del condicional, es:

    P Q P Q F F V F V V V F F V V V

    La columna 15 - 13 = 2 representa la negacin de P implica Q .

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    De igual modo, la columna 9 responde a la expresin P si y slo si Q, operacin que denominamos bicondicional o equivalencia, e indicamos P Q . Luego la tabla de valor de verdad de esta operacin es:

    P Q P Q F F V F V F V F F V V V

    La columna 15-9 = 6 representa la negacin de P si, y slo si Q, que no es sino la inequivalencia. Observemos que la columna 11 representa la operacin Q P .

    POLINOMIOS BOOLEANOS

    Las sumas, productos y diferencias de variables x y z, , ,..., bajo las reglas usuales del lgebra ordinaria, constituyen los Polinomios en esas variables. Por ejemplo: f (x, y) = x.x.y + x.y.y - y.y.y = x

    2y + x y2 - y3

    Si en ese polinomio se reemplaza cada una de las variables por nmeros reales x0, y0 ,... , la expresin f(x0, y0 ) es ella misma un nmero real.

    De igual modo, si P, Q, R, ... son variables proposicionales, combinando estas variables con los conectivos , , ~, , , se obtienen expresiones llamadas Polinomios Booleanos.

    Ejemplo: A (P, Q ) = (P Q ) (~P ) B ( P, Q, R ) = ( P Q ) R son polinomios booleanos en dos y tres variables, respectivamente.

    Tambin puede operarse con polinomios booleanos, de modo que puede hablarse de conjuncin, negacin, disyuncin, etc., de polinomios booleanos.

    Ejemplo: A (P, Q) B ( P, Q, R ) = [(P Q ) (~P )] [ ( P Q ) R ]

    Reemplazando las variables P, Q, R, ... de un polinomio booleano A (P, Q, R, ...) por valores particulares P0, Q0, R0 ,. . . la expresin A (P0, Q0, R0, ...) tiene valor F o V, luego es ella misma una proposicin.

    Ejemplo: A (P, Q) = ~(P ~ Q ) Sean P0 = 2 x es impar. y Q0 = 3 es un nmero primo.

    no es cierto que 2x es par y 3 no es un nmero primo resulta verdadera.

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    Sean P0, Q0, R0, ... proposiciones particulares cuyo valor de verdad coinciden, respectivamente con los de las proposiciones P1, Q1, R1, ..., entonces A (P0, Q0, R0, ...) tiene el mismo valor de verdad que A (P1, Q1, R1, ...). Por ello, el valor de verdad de un Polinomio Booleano evaluado sobre enunciados particulares depende slo de los valores de verdad de los enunciados y no de los enunciados mismos. As hablamos del valor de verdad de cada una de las variables P, Q, R, ... y del valor de verdad del Polinomio. El modo de determinar el valor de verdad de un Polinomio Booleano es a travs de los valores de verdad de las variables que lo integran, mediante la construccin de una Tabla de valor de verdad.

    Ejemplo: A (P, Q, R ) = (P Q ) [ ( ~Q P) R ]

    P Q R P Q ~Q ~Q P (~Q P) R (P Q ) [ ( ~Q P) R ] F F F F V F F V F F V F V F V V F V F F F F F V F V V F F F V V V F F F V V V V V F V F V V V V V V F V F F F F V V V V F F V V

    En la columna final se dan los valores de verdad para el Polinomio booleano dado. Una Tabla de Valor de Verdad es, entonces, un cuadro que muestra el valor de verdad de un polinomio booleano para cada valor de veradd de las proposiciones componenetes.

    Definicin: Si para toda asignacin de valores de verdad de sus variables, un polinomio booleano tiene valor V, entonces diremos que ese polinomio es una tautologa.

    Definicin: de igual modo, si para todo asignacin de valores de verdad de sus variables, un polinomio booleano tiene valor de verdad F, diremos que es una contradiccin.

    Observemos entonces que si un polinomio booleano A (P, Q, R, ...) es una tautologa, entonces ~ A (P, Q, R, ...), es una contradiccin.

    Equivalencia lgica y Consecuencia lgica

    Definicin: Dos polinomios booleanos en las variables P, Q, R, ...; A (P, Q, R, ...) B ( P, Q, R ), son lgicamente equivalentes si y slo si tienen la misma tabla de valor de verdad. Indicaremos A B.

    Que dos polinomios booleanos sean equivalentes no significa que sean la misma cosa. Por ejemplo: Si hoy es lunes entonces tengo clase, y Si x es par, entonces x es