[maths] 6.1.2 logica. algebra proposiciones

LÓGICAÁlgebra de Proposiciones

By Miguel Pérez Fontenla, January 2012

By Miguel Pérez Fontenla, January 2012

ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES

¿Para qué nos servirá esta materia?

Lógica: Argumentos

Simplificación de circuitos lógicosDiseño circuitos eléctricos Diseño circuitos lógicos

Lógica del ordenador. Comprender pseudocódigo

Lenguaje simbólico

LÓGICA PROPOSICIONAL

Es una ciencia auxiliar de la Informática y las Matemáticas, que ayuda a comprenderla, razonarla, etc.

¿Qué es la lógica proposicional?

Puedes ver este video de introducciónhttp://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=x2Hwnd7zoKU


Es una frase o sentencia aseverativa, es decir, que afirma o niega algo.

También podríamos definirla como una expresión lingüística susceptible de ser calificada de verdadera o falsa.

Se les designa con las letras p, q, r, s, t, w …

Ejemplos de enunciados simples “Madrid es la capital de España”“Roma es la capital de Francia”“2 + 2 = 4”“Dos es impar”“3 x 4 = 34”“Las amapolas son azules”“El coseno de un ángulo no es mayor que uno”“Juan estudia todas las noches”

ENUNCIADO


No serían enunciados los siguientes:

Ejemplos de no enunciados“El mejor jugador de fútbol del mundo”“2 + 2 ”“El profesor de TIC”“¡Silencio!”“sen(α)”

ENUNCIADO


Se llama valor de verdad de un enunciado a la condición de verdadero V o falso F del mismo.

Ejemplos de valor de verdad “Santiago es la capital de Galicia” tiene valor de verdad V“Roma es la capital de Francia” tiene valor de verdad F“El 7 es un número natural” tiene valor de verdad V“2 + 2 = 4” tiene valor de verdad V“3 x 4 = 34” tiene valor de verdad F“Las amapolas son azules” tiene valor de verdad F“El cos(α) no es mayor que uno” tiene valor de verdad V“Juan estudia todas las noches” tiene valor de verdad ¿ … ?

VALOR DE VERDAD


Es el que está formado por varios enunciados simples y unas conectivas que vamos a definir a continuación.

Ejemplos de enunciados compuestos “Madrid es la capital de España y 2 + 2 son 4”“Roma es la capital de Francia ó 2 + 2 son 5”“Juan estudia todas las noches ó Juan no aprueba matemáticas”

ENUNCIADO COMPUESTO

LÓGICA PROPOSICIONALEnunciadoEs una frase o sentencia que afirma o niega algo

Ejemplos de Enunciados simples “Madrid es la capital de España”“2 + 2 = 4”“3 x 4 = 34”

Valos de verdadSe llama valor de verdad de un enunciado a la condición de verdadero V o falso F del mismo.

Enunciado compuestoEs el que está formado por varios enunciados simples y unas conectivas que vamos a definir a continuación.

“El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48”.“Si x es número primo, entonces x impar”.

LÓGICA. CONECTIVAS

Dos enunciados simples p y q se pueden combinar con la conectiva ∨ (que se lee ‘o’) formando un enunciado compuesto denominado conjunción de los enunciados iniciales y se escribe p q∨

Que queda definida por su tabla de verdad:

Ejemplo” 3 es un número primo ó 12 es divisible entre 3″

Operador lógico Disyunción p q∨

p q p q∨

V V V

V F V

F V V

F F F

Puedes ver este videohttp://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=E0L4i2JJ5xA

LÓGICA . CONECTIVAS

Dos enunciados simples p y q se pueden combinar con la conectiva ∧ (que se lee ‘y’) formando un enunciado compuesto denominado conjunción de los enunciados iniciales y se escribe p q∧

Para definir adecuadamente una conectiva hay que explicar como actúa y eso se consigue definiendo su tabla de verdad:

Ejemplo” 3 es un número primo y 12 es divisible entre 3″

Operador lógico Conjunción p q∧

p q p q∧

V V V

V F F

F V F

F F F


Un enunciado simple p se pueden combinar con la conectiva (o la ∿ ¬, que se leen ‘no’) formando un nuevo enunciado denominado negación del enunciado inicial y se escribe p ∿ o también ¬p

Que queda definida por su tabla de verdad:

EjemplosEl dinero no da la felicidad. Es falso que el dinero de la felicidad. No es el caso que el dinero de la felicidad. El dinero da cualquier cosa menos la felicidad. Es inaceptable decir que el dinero da la felicidad. No es cierta la afirmación que el dinero da la felicidad.

Operador lógico Negación p ó ∿ ¬p

p ∿p

V F

F V


Calcular el valor de verdad de los siguientes enunciados:

1.“Madrid es la capital de España y 2 + 2 son 4”2.“Roma es la capital de Francia ó 2 + 2 son 5”3.“6 es primo ó 2 + 2 = 4”4.“7 es primo y no es cierto que 2 + 2 = 5”5.“6 no es primo ó 2 + 2 ≠ 5”6.“Juan estudia todas las noches ó Juan no aprueba matemáticas”

Ejercicios

LÓGICA. TABLAS DE VERDAD

Cuando usemos variables p, q , r,… para designar un enunciado y lo combinemos con conectivas , , ∧ ∨ ∿ (y otras que estudiaremos) obtenemos un enunciado compuesto que denominamos proposición y la denotamos por P(p,q,r, …)

El valor de verdad de una proposición depende única y exclusivamente de sus variables y para expresarlo se construye la tabla de verdad

Proposición y tablas de verdad

p q ∿p ∿q ∿p q∧∿ ∿( p ∿ ∧∿q)

V V F F F V

V F F V F V

F V V F F V

F F V V V F


1. Construye la siguiente tabla de verdad

Ejercicio

p q ∿p ∿p V q ∿( p V q)∿

V V

V F

F V

F F

2. Indica cuál es el valor de verdad de la proposición:“No es cierto que: 7 no es primo ó Roma es la capital de Francia”


Dos enunciados simples p y q se pueden combinar con la conectiva ⇾(que se lee ‘implica’ y también ‘solo si’) formando un enunciado compuesto denominado implicación o condicional de los enunciados iniciales y se escribe p q⇾

Que queda definida por su tabla de verdad :

EjemplosSi llueve, entonces voy al cine.Voy al cine si llueve.Cuando llueve, voy al cine.

Operador condicional ó implicación lógica, p ⇾ q

p q p q⇾

V V V

V F F

F V V

F F V


Dos enunciados simples p y q se pueden combinar con la conectiva ⇿(que se lee ‘equivale’ y también ‘si y solo si’) formando un enunciado compuesto denominado equivalencia o bicondicional de los enunciados iniciales y se escribe p ⇿ q

Que queda definida por su tabla de verdad :

EjemplosTe ayudaré si y solo si te ayudas a ti mismo.

Operador bicondicional ó equivalencia lógica, p ⇿ q

p q p q⇿

V V V

V F F

F V F

F F V


RESUMEN OPERADORES LÓGICOS

Operador Símbolo Lectura EjemploDisyunción ∨ Ó p q∨

Conjunción ∧ / & Y p ∧ qNegación ∿ / ¬ No ¬ p

CondicionalImplicación

⇾ si … entonces …/… implica que …

p q⇾

BicondicionalEquivalencia

⇿ / ≡ … equivale a …/… si y solo si …

p q⇿

Otros Símbolo Lectura EjemploDisyunciónExcluyente

↮/ ≢ / ⊕ ó bien … ó bien … ↮ p ↮ q

Negación conjunta ↓ ni … ni … ↓p ↓ q


Una tautología τ es una proposición cuyo valor de verdad es siempre verdadero V para cualquier valor de las variables que la componen.

Una contradicción ƒ es una proposición cuyo valor de verdad es siempre negativo F para cualquier valor de las variables que la componen.

Una contingencia en una proposición que no es ni verdadera ni falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.

Tautologías y contradicciones

Puedes ver este videohttp://superinteresante7.wordpress.com/2011/10/16/tautologias-contradiccion-y-contingencia/


Ejercicio 11. Construye la tabla de verdad de la proposición P(q,r) ≡ (q ∧ r) V ¬(q ∧ r)

Solución

Por lo tanto P ≡ τ, es una tautología

q r q r∧ ¬(q r)∧ (q r) V ∧ ¬ (q r)∧

V V V F V

V F F V V

F V F V V

F F F V V


Ejercicio 21. Demuestra que la ley ‘Modus ponendo ponens’ es una tautología τ.

Solución

Por lo tanto es una tautología

p q p → q (p → q) ^p ((p → q)^p) → q

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

ALGEBRA DE PROPOSICIONESEquivalencia LógicaDos proposiciones P(p,q,r,…) y Q(p,q,r,…) son lógicamente equivalentes, y se escribe P ≡ Q, si tienen la misma tabla de verdad.

EjemploLas proposiciones P: ¬(p q) y Q:(∧ ¬ p V ¬ q) son lógicamente equivalentes pues:

Por lo que escribimos que ¬(p q) ≡ (∧ ¬ p V ¬ q) , conocida como Ley de Morgan.Como ejemplo la proposición “no es cierto que ‘2+2=5’ y ‘6 es primo’ equivale a decir ‘2+2 ≠5’ o ‘6 no es primo’.

p q p ∧q

¬(p q)∧

V V V F

V F F V

F V F V

F F F V

p q ¬p ¬q (¬p V ¬q)

V V F F F

V F F V V

F V V F V

F F V V V


Ejercicio 3Demuestra que p → q es equivalente a ¬p V q

Solución

Por lo tanto p → q ≡ ¬p V q, es decir, podríamos prescindir siempre del operador condicional sustituyéndolo por la negación y la disyunción.

Decir “Si estudias apruebas” equivale lógicamente a “no estudias o apruebas”

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

p q ¬p ¬p V q

V V F V

V F F F

F V V V

F F V V

ALGEBRA DE PROPOSICIONES

Ejercicio 4

Simbolización de Enunciados1.Las computadoras trabajan más rápido que los hombres.2.No tengo un auto azul.3.Marcela estudia en Quito y Pablo en Loja.4.Bailamos o tomamos café.5.Si cantamos entonces necesitamos viajar.6.Leeré este libro si solo si tiene pocas hojas.7.No es cierto que si no tomamos café implica que no es de día.8.La tierra gira alrededor del sol ó no se da que la luna es un planeta.9.Si trabajara los fines de semana y durmiera menos entonces no perdería el vuelo.10.Es falso que vivo en Loja, pero visitaré a mi familia en Cuenca.11.No iremos al partido a menos que salga el sol.12.Ana es profesora o es estudiante pero no puede ser ambas cosas a la vez.

ÁLGEBRA DE PROPOSICIONESLeyes del álgebra de proposiciones

NOMBRE EQUIVALENCIA

Leyes de Idempotencia p ∧ p ≡ pp V p ≡ p

Leyes Conmutativas p ∧ q ≡ q ∧ pp V q ≡ q V p

Leyes Asociativas (p V q) V r ≡ p V (q V r)(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

Leyes Distributivas p V (q ∧ r) ≡ (p V q) (p V∧ r)p ∧ (q V r) ≡ (p q)∧ V (p ∧ r)

Leyes de Identidad p V ƒ ≡ pp ∧ τ ≡ p

Leyes de Dominación p V τ ≡ τp ƒ∧ ≡ ƒ

Leyes de Complemento p V ¬p ≡ τp ∧ ¬p ≡ ƒ

Leyes de Involución ¬ ¬p ≡ p

Leyes de Morgan ¬(p q) ≡ (∧ ¬ p V ¬ q)¬(p V q) ≡ (¬ p ∧ ¬ q)


Demostraciones de las leyes del Álgebra de Proposiciones

Cualquier ley que consista en una equivalencia lógica se demuestra comprobando que las tablas de verdad coinciden.

Ya probamos, en una diapositiva anterior, una Ley de Morgan. Probemos ahora la Ley Distributiva:

p q r q r∧ p V (q r)∧ (p V q) (p V r) [(p V q) (p V r)∧

V V V V V V V V

V V F F V V V V

V F V F V V V V

V F F F V V V V

F V V V V V V V

F V F F F V F F

F F V F F F V F

F F F F F F F F

ALGEBRA DE PROPOSICIONESDefinición: Proposiciones inversa recíproca y contrarrecíproca

Sea una proposición condicional p → q, a partir de ella denominamos proposición inversa a ¬p → ¬qproposición recíproca a q → pproposición contrarrecíproca a ¬q → ¬p

TeoremaUn enunciado condicional p → q y su contrarrecíproco ¬q → ¬p son lógicamente equivalentes.

p q ¬p ¬q p → q ¬p → ¬q q → p ¬q → ¬p

V V F F V V V V

V F F V F V V F

F V V F F F F V

F F V V F V V V

ARGUMENTOS

Definición: ArgumentoUn argumento es una relación entre un conjunto de proposiciones P1, P2, …, Pn llamadas premisas, y otra proposición Q, que denominamos

conclusión. Lo denotamos por P1, P2, …, Pn ˫ Q Definición: Argumento válidoDiremos que un argumento es válido si P1, P2, …, Pn son verdaderas implica

que la conclusión Q es verdadera.

Definición: FalaciaTodo argumento no válido se denomina falacia.

ARGUMENTOSTeoremaUn argumento P1, P2, …, Pn ˫ Q es válido si y solo si (sii) (P1 P∧ 2 … P∧ ∧ n)→ Q es

una tautología.

Ejemplo: Ley del SilogismoDemostrar que si p implica q y q implica r entonces p implica r.En lenguaje simbólico sería el argumento (p → q) , (q → r) ˫ (p → r) y tenemos que

probar que [(p → q) (q ∧ → r) ] → (p → r) es una tautología:p q r p → q q→ r (p → q) (q ∧ →

r)p → r [(p → q) (q ∧ → r)] →(p → r)

V V V V V V V V

V V F V F F F V

V F V F V F V V

V F F F V F F V

F V V V V V V V

F V F V F F V V

F F V V V V V V

F F F V V V V V

ARGUMENTOSEjercicio 6Estudiar la validez del siguiente argumento:

P1: Los hombres solteros son infelicesP2: Los hombres infelices mueren jóvenes…………………….Q: Los hombres solteros mueren jóvenes

SoluciónEs un silogismo, luego por el ejemplo previo, es válido.


P1: Si estas conmigo entonces no me traicionarás.P2: Si estas contra mi entonces me traicionarás.…………………….Q: o estas conmigo o estas contra mi

Solución

p q r ¬q p → ¬q q → r p v q (p → ¬q) (q ∧ → r) [(p → ¬q) (q ∧ → r)] →(p v q)

V V V F F V V F V

V V F F F F V F V

V F V V V V V V V

V F F V V V V V V

F V V F V V V V V

F V F F V F V F V

F F V V V V F V F

F F F V V V F V F


P1: Si Picasso nació en Málaga, entonces no es cierto que naciera en Francia P2: Picasso no nació en Francia …………………….Q: Por tanto, nació en Málaga

SoluciónCodificado quedaría:

P1: p → ¬q

P2: ¬q …………………….Q: p

p q ¬q p →¬q (p → ¬q) (∧ ¬q) [(p → ¬q) (∧ ¬q)] →p

V V F V F V

V F V F F V

F V F V F V

F F V V V F


P1: El Barcelona gana la ligaP2: El Barcelona no gana la liga…………………….Q: Por tanto, el Real Madrid siempre gana

SoluciónCodificado quedaría:

P1: pP2: ¬p …………………….Q: q

p q ¬p p ∧¬p

(p ∧ ¬p) →q

V V F F V

V F F F V

F V V F V

F F V F V


P1: Si estudio no suspenderé las TICP2: Si no juego al fútbol entonces estudioP3: Suspendí las TIC…………………….Q: Por tanto, jugué al fútbol.

LOGICA. INFERENCIAS

Definición: INFERENCIASEs deducir, y deducir es obtener conclusiones a partir de unas premisas. Tiene como finalidad facilitar el análisis de argumentos mediante el lenguaje simbólico y las “Reglas de la Inferencia”.

Reglas de InferenciaLos argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llaman reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración.

LOGICA. INFERENCIAS

A continuación se cita una lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una demostración.a) Reglas de Adición:Con cualquier premisa o conclusión podemos formular una conclusión disyuntiva en la que uno de sus miembros sea esa premisa o conclusión.pˆ pwqb) Reglas de Simplificación:Las premisa o conclusiones conjuntivas pueden simplificarse en cualquiera de sus miembros.ˆ pwqPe) Reglas de Conjunción:Toda premisa o conclusión puede ser enlazada por una conjunción.pqpvrf) Reglas de Ponendo Ponens:En una proposición condicional, siempre que se afirme (Poniendo) el antecedente, podemos afirmar (Ponens) el consecuente.p÷qpq

LOGICA. INFERENCIAS

NOMBRE EQUIVALENCIA

Modus ponendo ponens

El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa-efecto. La regla ‘ponendo ponens’ significa, “afirmando afirmo” y en un condicional establece, que si el antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariamente se afirma el consecuente (segundo término, en este caso q).

P1: p → qP2: P…………..Q: q

Modus tollendo tollens

Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido darse.

P1: p → qP2: ¬ q…………..Q: ¬ p

Silogismo HipotéticoDados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva implicación cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya consecuencia sea el antecedente de la otra implicación, y cuyo consecuente sea el de ésta última, cuyo antecedente era consecuencia del primero.

P1: p → qP2: q → r…………..Q: p → r

Silogismo DisyuntivoDadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos concluir en una nueva premisa en forma de disyunción, cuyos miembros serían los consecuentes de las dos implicaciones. Lógicamente, si planteamos una elección entre dos causas, podemos plantear una elección igualmente entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla.

P1: p → qP2: r → sP3: p V r…………..Q: q V s

Condicional como cláusula

(p → q) ↔ (¬ p q)∨

Contrapositiva ((p → q) ↔ (¬ q → ¬ p)

REGLAS PRINCIPALES DE INFERENCIA LOGICA

LOGICA. INFERENCIAS

Ejemplo¿Es válido el siguiente argumento?:

P1: Si usted invierte en bolsa, entonces se hará rico.P2: Si se hace usted rico, entonces será feliz.…………………….Q: Si usted invierte en bolsa, entonces será feliz.

SoluciónLo codificamos. Sean p, q y r los enunciados:p: ”Usted invierte en bolsa”.q: ”Se hará rico”.r: ”Será feliz”.De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica de la siguiente manera:

P1: p → qP2: q → r…………..Q: p → r

Que es un silogismo y, por lo tanto, el argumento es válido.

LOGICA. DEMOSTRACIONES

Demostración formal directaEl método de demostración formal directa, de hecho, el más usual, está basado en el teorema ya comentado de que P1, P2, …, Pn ˫ Q es válido si y solo si (sii) (P1 P∧ 2 … P∧ ∧ n)→ Q es una tautología.Donde la Pi son llamadas hipótesis o premisas, y Q es llamada conclusión. “Demostrar un teorema”, es demostrar que la implicación es una tautología. Nota que no estamos tratando de demostrar que q (la

conclusión) es verdadera, sino solamente que Q es verdadera si todas las Pi son verdaderas.Toda demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las tautologías y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a la

conclusión.

EjemploAnalizar el siguiente argumento: “Si trabajo o ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar el coche

en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces no ahorro”.SoluciónSeanp: Trabajo.q: Ahorro.r: Compraré una casa.s: Podré guardar el coche en mi casa.El enunciado anterior se puede representar como:

P1: (p V q) → rP2: r → s……………..Q: ¬ s → ¬ q

{[(p V q) → r] ∧ (r → s)} ˫ [¬ s → ¬ q]Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos. A continuación se demuestra el teorema respaldando cada

uno de sus pasos en tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.1.- (p V q) → r Hipótesis2.- r → s Hipótesis3.- q ® (q Ù p) Adición tautología 104.- q ® (p Ú q) 3; ley conmutativa, regla 25.- q ® r 4,1; silogismo hipotético, regla 226.- q ® s 5,2; regla 227.- s’ ® q’ 6; contrapositiva, regla 7.El enunciado es válido aunque la conclusión puede ser falsa o verdadera.Es recomendable numerar cada uno de los pasos. Se puede notar que las primeras líneas son hipótesis, la línea 3 es una tautología

conocida y de la línea 4 a 7 se obtuvieron aplicando reglas de inferencia. Se indica la regla de inferencia aplicada por medio del número de la derecha, y las líneas a las cuales se les aplicó dicha regla de inferencia por medio de los números de la izquierda.

El ejemplo anterior es una demostración sencilla, pero puede ser tan complicada como sea necesario y el método debe funcionar.


Demostración formal por contradicciónEl procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se realizó por el método directo con la diferencia de que las

líneas iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la demostración una línea con la negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo de la demostración es llegar a una contradicción.

La demostración del siguiente teorema por el método de contradicción es como se indica[ p ® (p Ù r) ] Ù [ (q Ú s) ® t ] Ù (p Ú s) Þ tDemostración1.- p ® (p Ù r) Hipótesis2.- (q Ú s) ® t Hipótesis3.- p Ú s Hipótesis4.- t’ Negación de la conclusión5.- (qÚ s)’ 2,4; Modus tollens, regla 256.- q’ Ù s’ 5; Ley de Morgan, 6ª7.- q’ 6; Simplificación, regla 208.- s’ Ù q’ 6; Ley conmutativa, 2b9.- s’ 8; Simplificación, regla 2010.- sÚ p 3; Ley conmutativa, 2ª11.- p 10,9; Silogismo disyuntivo, regla 2112.- q Ù r 11,1; Modus ponens, regla 2413.- q 12; Simplificación, regla 2914.- q Ù q’ 13,7; Conjunción, regla 2315.- Contradicción.Note que juntamente con las premisas se debe incluir la negación de la conclusión. En este momento el alumno ya tiene los elementos

para llevar a cabo demostraciones con el apoyo del maestro. Es conveniente plantear varios enunciados, para que el alumno los represente con simbología lógica en forma de teorema. Que ese mismo teorema lo represente con su tabla de verdad y haga la correspondiente demostración por los dos métodos antes mencionados.


Ejercicio 11Demostrar que si x2 es impar entonces x es impar.

Solución

Sea p: x2 es impar y sea q: x es impar. Queremos demostrar que p → q Pero demostremos su contrarrecíproco, es decir, que ¬q → ¬pSi q:x es impar entonces ¬q:x no es impar ≡ x es par Si x es par es que existe un número entero y tal que x = 2ySi x = 2y entonces x2 = (2y)2 = 4y2 y entonces x2 es un múltiplo de 4 y por

tanto también un número par. Como la contrarrecíproca es verdadera, el enunciado original es verdadero

también.c.q.d. ("Como Queríamos Demostrar", véase Quod erat demonstrandum).

ALGEBRA DE PROPOSICIONESDefinición:

p q ¬p ¬q p → q ¬p → ¬q q → p ¬q → ¬p

V V F F V V V V

V F F V F V V F

F V V F F F F V

F F V V F V V V

• solo los inteligentes y simpáticos estudian lógica

ARITMETICA BINARIA

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